御製數理精蘊
御製數理精蘊
欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷十六
面部
割圜(割圜八線/八線相求) (六宗限内三要總法二簡法/求象 各線)
割圜八線
圜周定為三百六十度大而周天小而寸許皆如之
葢圜有大小而度分随之其為數則同自圜心平
分圜周為四分名曰四象限每一象限九十度一
象限之中設為正弦餘弦正矢餘矢正切餘切正
割餘割名之曰割圜八線
設如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全
圜為甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每
一象限皆九十度乃自圜心戊任作一
戊己半徑則將甲丁九十度之弧分為
甲己己丁二段己丁為己戊丁角所對
之弧甲己為甲戊己角所對之弧如命
己戊丁為正角則甲戊己為餘角甲戊
己為正角則己戊丁為餘角正角所對
為正弧餘角所對為餘弧今以己丁為
正弧故甲己為餘弧又自己與甲丙全
徑平行作己辛線謂之通弦其對己丁
正弧而立於戊丁半徑者曰正弦又與
戊丁半徑平行作壬己線謂之餘弦以
其為甲己餘弧之所對也於戊丁半徑
内減戊庚餘庚丁謂之正矢於甲戊半
徑内減壬戊餘甲壬謂之餘矢自圜界
與甲戊半徑平行立於戊丁半徑之末
作垂線仍與己戊丁角相對者曰正切
將己戊半徑引長與正切相遇於癸成
戊癸線謂之正割又自圜界與戊丁半
徑平行作甲子線謂之餘切戊癸正割
被甲子餘切截於子所分戊子謂之餘
割每一角一弧即有正弦餘弦正矢餘
矢己成四線於圜界之内復引出半徑
於圜界之外而成正切餘切正割餘割
之四線内外共為八線故曰割圜八線
逐度逐分正弧之餘即為餘弧之正餘
弧之正即為正弧之餘是以前四十五
度之八線正餘互相對待為用不必復
求後四十五度之八線也凡此八線皆
九十度以内鋭角之所成若直角九十
度者則不能成八線葢因半徑即九十
度之正弦甲戊半徑即甲丁弧之弦而
切線割線為平行終無相遇之處也若
鈍角過九十度以外者則於半周一百
八十度内減其角度用其餘度之八線
即如己庚為己丁弧之正弦亦即乙己
弧之正弦也要之八線以正弦為本有
正弦則諸線皆由此生故六宗三要皆
係正弦之法
六宗三要(二簡法附/)
西洋厯算家作割圜八線表始自圜内容六邊四邊
十邊三邊五邊十五邊名曰六宗葢用圜徑求各等
邊形之一邊為相當弧之通弦以為立表之原故謂
之宗然六者實本於三如六邊形之一邊即圜之半
徑不藉他求數無零餘而理最易見此其一也四邊
形之一邊則為半徑所作正方形之對角斜弦此又
其一也十邊形之一邊則為半徑所作連比例三率
之中率西法謂之理分中末線此又其一也至於三
邊形則出於六邊五邊形則出於十邊十五邊形則
又出於三邊及五邊非别自立一法也既得此六種
形之一邊各半之即得六種弧之各正弦爰命此六
種弧為本弧按法可求本弧之餘弦可求倍本弧之
正弦餘弦亦可求半本弧之正弦餘弦是為三要又
以不等两弧之正弦餘弦求相加相減弧之正弦又
两弧距六十度前後之度等得其两正弦之較即得
距弧之正弦是又名為二簡法由此錯綜之可得正
弦一百二十其中最小者為四十五分之弦其次一
度三十分又次為二度十五分又次為三度如此每
越四十五分而得一弦其自一分至四十四分之弦
則以比例求之因弧分甚微與直線所差無幾故以
弦求弦而得之此西法立割圜八線表之大綱也爾
來西法對數表内有設連比例四率以求圜内容七
邊九邊二法因推廣其理於六宗之外增求圜内容
十八邊形十四邊形之法俱以半徑為首率求連比
例四率之第二率即十八邊形十四邊形之每一邊
而七邉又因之以生亦猶三邊之出於六邊五
邊之出於十邊也有此二形與六宗相叅伍可得正
弦三百六十其中最小者為十五分之正弦又增一
法求十五分之三分之一五分之正弦所少者止一
分至四分之正弦較之四十五分為尤密可知矣今
以六宗三要二簡法理分中末線并新增數法皆按
類具例於左
六宗(圜内容六邊形四邊形三邊/形十邊形五邊形十五邊形)
設如圜徑二十萬求内容六邊形之一邊幾何
法以圜徑二十萬折半得半徑十萬即
圜内容六邊形之每一邊也如甲圜内
容六邊形每邊之弧得圜周六分之一
皆六十度試自圜心甲至圜界乙丙二
處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙三
角形則甲角所對之弧為六十度而甲
乙甲丙两腰俱為半徑既相等則乙角
丙角亦必相等而各為六十度矣三角
既等則三邊亦必相等故乙丙邊即與
甲乙甲丙半徑相等也乙丙弧既為六
十度則乙丙邊十萬為六十度之通弦
折半得乙丁五萬即乙戊弧三十度之
正弦也此即六邊起算之理前設圜徑
為二兆者所以求其密合今設圜徑為
二十萬所以取其便於用也
設如圜徑二十萬求内容三邊形之一邊幾何
法以圜徑二十萬為弦自乗得四百億
又以半徑十萬為勾自乗得一百億相
減餘三百億開方得股一十七萬三千
二百零五(小餘○八○/七五六八)即圜内容三邊
形之每一邊也如甲圜内容三邊形毎
邊之弧得圜周三分之一皆一百二十
度為六邊形每邊弧之一倍試自乙角
過圜心至對界作乙丁全徑線又自丁
依半徑度至丙作丁丙線則成六邊形
之每一邊其丙丁弧即為三邊形之每
邊弧之一半而丙角立於圜界之一半
必為直角故半徑為勾全徑為弦求得
股即三邊形之每一邊也乙丙弧既為
一百二十度則乙丙邊一十七萬三千
二百零五(小餘○八○/七五六八)為一百二十度
之通弦折半得乙戊八萬六千六百零
二(小餘五四○/三七八四)即乙己弧六十度之正
弦也
設如圜徑二十萬求内容四邊形之一邊幾何
法以圜徑二十萬折半得半徑十萬自
乗得一百億倍之得二百億開方得一
十四萬一千四百二十一(小餘三五六/二三七三)
即圜内容四邊形之每一邊也如甲圜
内容四邊形每邊之弧得圜周四分之
一皆九十度試自圜心甲至圜界乙丙
二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙
勾股形若命甲乙半徑為股則甲丙半
徑為勾若命甲丙半徑為股則甲乙半
徑為勾因勾股皆為半徑故以半徑自
乗倍之開方而得弦即如勾股各自乗
併之開方而得弦也乙丙弧既為九十
度則乙丙邊一十四萬一千四百二十
一(小餘三五六/二三七三)為九十度之通弦折半
得乙丁七萬零七百一十(小餘六七八/一一八六)
即乙戊弧四十五度之正弦也
理分中末線(此西法名也因命一線為首率將/此首率分為大小两分大分為中)
(率小分為末率與原線共為相連/比例三率故謂之理分中末線也)
設如以十萬為首率作相連比例三率使中率末率
相加與首率等求中率末率各幾何
法以十萬自乗得一百億為長方積以
十萬為長闊之較用帶縱較數開方法
算之得闊六萬一千八百零二即相連
比例之中率以中率與首率十萬相減
餘三萬八千一百九十七即相連比例
之末率也此法葢因連比例三率之首
率末率相乗之長方積與中率自乗之
正方積等而首率之中有一中率一末
率之數故首率自乗之一正方積中有
首率中率相乗之一長方又有首率末
率相乗之一長方即如甲乙為首率丙
乙為中率甲丙為末率丙乙中率自乗
之正方為丁戊乙丙甲丙末率與甲乙
首率相乗之長方為甲丙庚辛(甲辛與/甲乙等)
此一正方一長方之積等而甲乙首率
自乗之正方為甲乙己辛丙乙中率與
甲乙首率相乗之長方為丙乙己庚(丙/庚)
(與甲/乙等)夫甲丙庚辛之長方既與丁戊乙
丙之正方等則甲乙己辛之正方亦必
與丁戊己庚之長方等是以丁戊己庚
長方形之闊即中率其長比闊之較即
首率故以首率自乗為長方積仍以首
率為長比闊之較用帶縱平方法開之
得闊為中率也
又法以首率十萬為股首率十萬折半
得五萬為勾求得弦一十一萬一千八
百零三内減勾五萬餘六萬一千八百
零三為相連比例之中率以中率與首
率相減餘三萬八千一百九十七即為
相連比例之末率也如圖甲乙與乙丙
皆為首率今以甲乙為股乙丙折半得
乙丁為勾求得甲丁弦試依甲丁弦度
將乙丁勾引長至戊作丁乙戊線仍自
甲至戊作一圜界則甲丁戊丁同為半
徑且皆為弦於戊丁弦内減乙丁勾所
餘乙戊與己乙等即中率於甲乙首率
内減去與乙戊相等之己乙中率所餘
甲己即末率也此法與前法理實相同
帶縱較數開方法有以半較自乗與原
積相加開方得半和於半和内減半較
得闊者今此法以首率為股自乘得甲
乙丙壬正方形即與庚戊丙辛長方形
積等乙丙即長闊之較乙丁即半較戊
丁即半和今以乙丁為勾自乘甲乙為
股自乘相加開方得甲丁弦即如乙丁
半較自乘與甲乙自乘原積相加開方
而得甲丁與戊丁等戊丁内減乙丁餘
戊乙即半和内減半較得闊為中率也
設如圜徑二十萬求内容十邊形之一邊幾何
法用連比例三率有首率求中率末率
使中率末率相加與首率等之法以圜
徑二十萬折半得十萬為首率自乘得
一百億為長方積以十萬為長闊之較
用帶縱較數開方法算之得六萬一千
八百零三(小餘三九八/八七四九)為連比例之中
率即圜内容十邊形之每一邊也如甲
圜内容十邊形每邊之弧得圜周十分
之一皆三十六度其通弦即圜内十邊
形之一邊試自圜心甲至圜界乙丙二
處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙
三角形復自圜界乙至圜界戊作一乙
戊線則截甲丙線於丁又成乙丙丁三
角形而乙戊遂為一百零八度之通弦
此乙丙丁三角形與甲乙丙三角形為
同式形(乙丙丁三角形之乙角當戊丙/弧為乙丙弧之倍則乙丙丁三)
(角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角/等又同用丙角其餘一角亦必等故為)
(同式/形)其相當各邊俱成相連比例故甲
乙與乙丙之比同於乙丙與丙丁之比
為相連比例三率而甲乙為首率乙丙
為中率丙丁為末率也又甲乙丙三角
形其甲角既居全圜十分之一為三十
六度則乙角必比甲角大一倍為七十
二度(三角形之三角共一百八十度甲/角既為三十六度則乙丙两角必)
(為一百四十四度平分之各得/七十二度比甲角為大一倍也)而乙丙
丁三角形之乙角與甲乙丙三角形之
甲角等則甲丁乙三角形之乙角亦必
與甲角等是則甲丁乙三角形必两邊
相等之三角形而乙丙丁三角形亦為
两邊相等之三角形也夫甲丁既與丁
乙等而丁乙又與乙丙中率等則甲丁
亦必與中率等矣是以甲丁中率與丁
丙末率相加與甲丙首率等故用連比
例三率有首率求中率法算之得中率
為十邊形之一邊也
又法以圜徑二十萬折半得半徑十萬
為股自乘得一百億又以半徑十萬折
半得五萬為勾自乗得二十五億相加
得一百二十五億開方得弦一十一萬
一千八百零三(小餘三九八/八七四九)於弦數内
減去勾數餘六萬一千八百零三(小餘/三九)
(八八七/四九)即圜内容十邊形之每一邊也
如甲圜内容十邊形每邊之弧得圜周
十分之一皆三十六度試自圜心甲至
圜界乙作甲乙半徑線為股又自圜心
甲取直角作甲丙半徑線折半得甲丁
為勾求得乙丁弦内減與甲丁相等之
戊丁餘乙戊即與乙己等為圜内容十
邊形之毎一邊也乙己弧既為三十六
度則乙己邊六萬一千八百零三(小餘/三九)
(八八七/四九)為三十六度之通弦折半得乙
庚三萬零九百零一(小餘六九九/四三七四)即乙
辛弧十八度之正弦也
設如圜徑二十萬求内容五邊形之一邊幾何
法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與
圜内容十邊形之一邊六萬一千八百
零三(小餘三九八/八七四九)為兩腰用三角形求
中垂線法算之得中垂線五萬八千七
百七十八(小餘五二五/二二九二)倍之得一十一
萬七千五百五十七(小餘○五○/四五八四)即圜
内容五邊形之每一邊也如甲圜内容
五邊形每邊之弧得圜周五分之一皆
七十二度試自圜心甲至圜界乙丙二
處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙
三角形其乙丙邊為七十二度之通弦
如以乙丙弧七十二度折半於丁作乙
丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜
心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲
乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於
戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂
線即五邊形每邊之一半故以甲丁半
徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十邊形
之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之
為五邊形之毎一邊也
又法以半徑十萬為股自乘得一百億
圜内容十邊形之一邊六萬一千八百
零三(小餘三九八/八七四九)為勾自乘得三十八
億一千九百六十六萬零一百一十二
(小餘四八九九九○/五八五八五○○一)相加得一百三十
八億一千九百六十六萬零一百一十
二(小餘四八九九九○/五八五八五○○一)開方得弦一十
一萬七千五百五十七(小餘○五○/四五八四)即
圜内容五邊形之每一邊也此法葢因
半徑自乘十邊形之一邊自乘兩自乘
方積相併即與五邊形之一邊自乘之
方積等故用勾股求弦之法算之如甲
圜内容五邊形將乙丙弧折半於丁作
乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自
圜心甲至丁作甲丁半徑線遂成甲乙
丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑
於己作乙己線成乙己丁三角形與甲
乙丁三角形為同式形故甲乙為首率
乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙
丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率
於戊又成乙戊丁勾股形乙戊五邊形
每邊之半為股丁戊末率之半為勾乙
丁中率為弦試依甲丁半徑度作甲庚
辛丁正方形又依乙丙五邊形之一邊
度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正
方形内甲子丑已為乙丁弦自乘之一
正方(甲已既與乙丁弦等故甲/子丑已為弦自乘之正方)已寅辛
丁長方形亦與乙丁弦自乘之一正方
等(丁辛原與甲丁首率等己丁末率與/丁辛首率相乘自與乙丁中率自乘)
(之正/方等)而子庚寅丑長方形為乙丁弦自
乘之一正方内少勾自乘之四正方(葢/子)
(庚辛夘長方形為首率與末率相乘之/長方與乙丁中率自乘之正方等内却)
(少丑寅辛夘正方形而丑寅辛夘正方/形實為戊丁勾自乘之四正方故子庚)
(寅丑長方形為乙丁弦自乘之/一正方少勾自乘之四正方也)是則甲
丁半徑自乘之甲庚辛丁正方形内有
弦自乘之三正方而少勾自乘之四正
方再加乙丁弦自乘之一正方共得弦
自乘之四正方而少勾自乘之四正方
大凡弦自乘之正方内原有勾自乘之
一正方股自乘之一正方今弦自乘之
四正方内少勾自乘之四正方即與股
自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之
乙丙癸壬正方形實為乙戊股自乘之
四正方然則甲丁半徑自乘方與乙丁
十邊形之一邊自乘方相併既與乙戊
股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘
之正方豈不與甲丁半徑自乘乙丁十
邊形之一邊自乘之兩正方等乎故以
甲丁半徑為股乙丁十邊形之一邊為
勾求得弦而為五邊形之一邊也
又法以半徑十萬自乘得一百億為長
方積仍以半徑十萬為長闊之較用帶
縱較數開方法算之得長一十六萬一
千八百零三(小餘三九八/八七四九)折半得八萬
零九百零一(小餘六九九/四三七四)為自圜心至
五邊形每邊之垂線乃以半徑十萬為
弦圜心至五邊形每邊之垂線為股求
得勾五萬八千七百七十八(小餘五二/五二二九)
(二/)倍之得一十一萬七千五百五十七
(小餘○五○/四五八四)即圜内容五邊形之每一
邊也如甲圜内容五邊形將乙丙弧折
半於丁作乙丁線即圜内容十邊形之
一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線
成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲
丁半徑於己作乙己線成乙己丁三角
形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙
為首率乙丁為中率己丁為末率甲己
亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己
丁末率於戊是以己戊與戊丁俱為半
末率而甲戊自圜心至邊之垂線則為
一中率半末率之共數今以半徑首率
自乘為長方積開帶縱平方得長乃首
率與中率之和其内有兩中率一末率
折半得一中率半末率即甲戊自圜心
至邊之垂線既得甲戊垂線乃以甲乙
半徑為弦甲戊垂線為股求得乙戊勾
倍之得乙丙即圜内容五邊形之一邊
也或以乙丁中率為弦戊丁半末率為
勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五邊
形之一邊也乙丙弧既為七十二度則
乙丙邊一十一萬七千五百五十七(小/餘)
(○五○四/五八四)為七十二度之通弦折半得
乙戊五萬八千七百七十八(小餘五二/五二二九)
(二/)即乙丁弧三十六度之正弦也
設如圜徑二十萬求内容十五邊形之一邊幾何
法以半徑十萬為弦圜内容五邊形之
半五萬八千七百七十八(小餘五二五/二二九二)
為勾求得股八萬零九百零一(小餘六/九九四)
(三七/五)内減半徑之半五萬餘三萬零九
百零一(小餘六九九/四三七五)為股次以圜内容
三邊形之一邊一十七萬三千二百零
五(小餘○八○/七五六八)内減圜内容五邊形之
一邊一十一萬七千五百五十七(小餘/○五)
(○四五/八四)餘五萬五千六百四十八(小餘/○三)
(○二九/八四)折半得二萬七千八百二十四
(小餘○一五/一四九二)為勾求得弦四萬一千五
百八十二(小餘三三八/一六三五)即圜内容十五
邊形之每一邊也如甲圜内容十五邊
形每邊之弧得圜周十五分之一皆二
十四度試從圜界乙作圜内容三邊形
又作圜内容五邊形将三邊形之每一
邊弧分五段五邊形之每一邊弧分三
段即得十五邊形之每一邊弧如戊庚
與己丁二段皆為十五邊形之弧故以
甲丁半徑為弦丁丙五邊之半為勾求
得甲丙股内減甲辛自圜心至三角底
邊之垂線為半徑之半餘辛丙與癸丁
或壬庚等復於三邊形之戊己邊内減
五邊形之庚丁邊即如戊己線内減壬
癸餘戊壬與癸己二段折半得癸己或
戊壬今任以癸丁或壬庚為股癸己或
戊壬為勾求得己丁弦或戊庚弦即圜
内容十五邊形之每一邊也己丁弧既
為二十四度則己丁邊四萬一千五百
八十二(小餘三三八/一六三五)為二十四度之通
弦折半得己子二萬零七百九十一(小/餘)
(一六九○/八一七)即己丑弧十二度之正弦也
新增按分作相連比例四率法
設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四
率相加與二率三倍等問二率三率四率各幾何
法以一率十萬自乘再乘得一千兆(成/一)
(立方/積)為實又以一率十萬自乘三因之
得三百億(成三平/面積)為法以除原實一千
兆得三萬乃以三萬自乘再乘得二十
七兆益於原實一千兆内得一千零二
十七兆為共實按除法以所得三萬與
法三百億相因得九百兆與共實相減
餘一百二十七兆為第二位實以法之
三百億除之得四千乃以首位所得三
萬合次位所得四千共三萬四千自乘
再乘得三十九兆三千零四十億仍益
於原實一千兆内得一千零三十九兆
三千零四十億為共實按除法減首位
所得三萬與法三百億相因之九百兆
又減次位所得四千與法三百億相因
之一百二十兆餘一十九兆三千零四
十億為第三位實以法之三百億除之
得六百所餘太多因益積故取畧大之
數為七百合前两位所得三萬四千共
三萬四千七百自乘再乘得四十一兆
七千八百一十九億二千三百萬仍益
於原實一千兆内得一千零四十一兆
七千八百一十九億二千三百萬為共
實按除法減首位所得三萬與法三百
億相因之九百兆又減次位所得四千
與法三百億相因之一百二十兆又減
三位所得七百與法三百億相因之二
十一兆餘七千八百一十九億二千三
百萬為第四位實以法之三百億除之
得二十合前三位所得三萬四千七百
共三萬四千七百二十自乘再乘得四
十一兆八千五百四十二億一千零四
萬八千仍益於原實一千兆内得一千
零四十一兆八千五百四十二億一千
零四萬八千為共實按除法減首位所
得三萬與法三百億相因之九百兆又
減次位所得四千與法三百億相因之
一百二十兆又減三位所得七百與法
三百億相因之二十一兆又減四位所
得二十與法三百億相因之六千億餘
二千五百四十二億一千零四萬八千
為末位實以法之三百億除之得八所
餘亦太多因益積仍取畧大之數為九
合前四位所得三萬四千七百二十共
三萬四千七百二十九自乘再乘得四
十一兆八千八百六十七億六千六百
四十萬零二千四百八十九仍益於原
實一千兆内得一千零四十一兆八千
八百六十七億六千六百四十萬二千
四百八十九為共實按除法以五次所
得之數與法相因之數遞減之仍餘一
百六十七億六千六百四十萬二千四
百八十九不盡是共除得三萬四千七
百二十九為相連比例之二率也以二
率之三萬四千七百二十九自乘得一
十二億零六百一十萬三千四百四十
一以一率之十萬除之得一萬二千零
六十一為三率以二率之三萬四千七
百二十九三倍之得十萬四千一百八
十七内減去一率之十萬餘四千一百
八十七為四率如以三率之一萬二千
零六十一自乘以二率之三萬四千七
百二十九除之亦得四千一百八十七
為四率也此為益實歸除之法葢因此
法止有一率之數作相連比例四率使
一率與四率之共數與二率三倍等而
連比例四率之理一率自乘用四率再
乘與二率自乘再乘之數等今立法以
一率自乘再乘為原實較之三倍二率
與一率自乘之面積相乘之數却少一
二率自乘再乘之數故以累除所得之
數屢次自乘再乘益入原實然後按法
除之始足二率三倍之數也如圖甲乙
為一率庚子子辰辰乙皆為二率庚甲
為四率庚乙為一率四率之共數又為
二率之三倍甲乙丙丁戊己為一率自
乘再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為三
倍二率與一率自乘面積相乘之長方
體(一率自乘三因之得三平面如以二/率乘之成三扁方體合之即成三倍)
(二率乘一率自乘/面積之一長方體)比一率自乘再乘之
正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此
扁方體即一率自乘用四率再乘之數
與二率自乘再乘之積等若於一率自
乘再乘之正方體内加入二率自乘再
乘之正方體即如於甲乙丙丁戊己正
方體上加一庚甲酉戊壬癸之扁方體
成庚乙丙丁壬癸之長方體而以一率
自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙
為二率之三倍苟合乙丙丁申與辰己
午未及子丑寅夘三方面除之必得庚
子或子辰或辰乙為二率若不加積止
以三方面除之則所得仍為一率之三
分之一比二率數必小故以屢除所得
之數屢次自乘再乘益入原積則積漸
增而得數亦漸大遞及末位則所少之
積已足而除得之數即為二率之全數
焉
設如圜徑二十萬求内容十八邊形之一邊幾何
法用連比例四率有一率求二率使一
率與四率相加與二率三倍等之法以
圜徑二十萬折半得十萬為一率自乘
再乘得一千兆為實又以半徑十萬自
乘三因之得三百億為法按益實歸除
之法除實得三萬四千七百二十九(小/餘)
(六三五五/三三四)為二率即圜内十八邊形之
每一邊也如甲圜内容十八邊形每邊
之弧得圜周十八分之一皆二十度其
通弦即圜内十八邊形之一邊試自圜
心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線
遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜
界庚作一乙庚線則截甲丙線於戊又
成乙丙戊三角形而乙庚為六十度之
通弦復自圜界丙按丙戊線度至乙庚
線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三
角形此三三角形皆為同式形(乙丙戊/三角形)
(之乙角當庚丙弧為乙丙弧之倍則乙/丙戊三角形之乙角與甲乙丙三角形)
(之甲角等又與甲乙丙三角形同用丙/角丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半)
(徑平行則丙丁戊三角形之丙角與甲/丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必)
(等又與乙丙戊三角形同用戊角是此/三三角形之各角互相等而為同式形)
(也/)其相當各邊俱成相連比例故甲乙
與乙丙之比同於乙丙與丙戊之比乙
丙與丙戊之比又同於丙戊與戊丁之
比為相連比例四率而甲乙為一率乙
丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也
又乙庚為六十度之通弦與甲乙一率
等而乙戊丁己己庚三段皆與乙丙二
率等是乙庚一率中有乙丙二率之三
倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率
與丁戊四率相加方與乙丙二率之三
倍等故用連比例四率有一率求二率
法算之得二率為十八邊形之一邊也
乙丙弧既為二十度乙丙邊三萬四千
七百二十九(小餘六三五/五三三四)為二十度之
通弦折半得一萬七千三百六十四(小/餘)
(八一七七/六六七)即十度之正弦也
設如圜徑二十萬求内容九邊形之一邊幾何
法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與
圜内容十八邊形之一邊三萬四千七
百二十九(小餘六三五/五三三四)為兩腰用三角
形求中垂線法算之得中垂線三萬四
千二百零二(小餘○一四/三三二六)倍之得六萬
八千四百零四(小餘○二八/六六五二)即圜内容
九邊形之每一邊也如甲圜容九邊形
每邊之弧得圜周九分之一皆四十度
試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙
甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其
乙丙邊為四十度之通弦如以乙丙弧
四十度折半於丁作乙丁線即圜内容
十八邊形之一邊仍自圜心甲至圜界
丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形
而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線
為甲乙丁三角形之中垂線即九邊形
每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙
半徑為大腰乙丁十八邊形之一邊為
小腰求得中垂線倍之為九邊形之每
一邊也乙丙弧既為四十度乙丙邊為
四十度之通弦其乙戊中垂線三萬四
千二百零二(小餘○一四/三三二六)即乙丁弧二
十度之正弦也
按分作相連比例四率又法
設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四
率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二率
三率四率各幾何
法以一率十萬自乘再乘得一千兆(成/一)
(立方/體)為實又以一率十萬自乘二因之
得二百億(成二平/面積)為法以除原實一千
兆得五萬為盡數因減實大於益實故
取畧小之數為四萬乃以四萬自乘再
乘得六十四兆益於原實一千兆内得
一千零六十四兆為益實復以所得四
萬自乘得一十六億以一率十萬再乘
得一百六十兆於益實内減之餘九百
零四兆為正實按除法以所得四萬與
法二百億相因得八百兆與正實相減
餘一百零四兆為第二位實以法之二
百億除之得五千仍取畧小之數為四
千乃以首位所得四萬合次位所得四
千共四萬四千自乘再乘得八十五兆
一千八百四十億益於原實一千兆内
得一千零八十五兆一千八百四十億
為益實復以所得四萬四千自乘得一
十九億三千六百萬以一率十萬再乘
得一百九十三兆六千億於益實内減
之餘八百九十一兆五千八百四十億
為正實按除法減首位所得四萬與法
二百億相因之八百兆又減次位所得
四千與法二百億相因之八十兆餘一
十一兆五千八百四十億為第三位實
以法之二百億除之得五百合前两位
所得四萬四千共四萬四千五百自乗
再乗得八十八兆一千二百一十一億
二千五百萬益於原實一千兆内得一
千零八十八兆一千二百一十一億二
千五百萬為益實復以所得四萬四千
五百自乗得一十九億八千零二十五
萬以一率十萬再乗得一百九十八兆
零二百五十億於益實内減之餘八百
九十兆零九百六十一億二千五百萬
為正實按除法減首位所得四萬與法
二百億相因之八百兆又減次位所得
四千與法二百億相因之八十兆又減
三位所得五百與法二百億相因之一
十兆餘九百六十一億二千五百萬為
第四位實以法之二百億除之實不足
法乃以第四位為空位而第五位得四
故以四為末位合前四位所得四萬四
千五百空十共四萬四千五百零四自
乗再乗得八十八兆一千四百四十八
億九千零一十三萬六千零六十四益
於原實一千兆内得一千零八十八兆
一千四百四十八億九千零一十三萬
六千零六十四為益實復以所得四萬
四千五百零四自乗得一十九億八千
零六十萬六千零一十六以十萬再乗
得一百九十八兆零六百零六億零一
百六十萬於益實内減之餘八百九十
兆零八百四十二億八千八百五十二
萬六千零六十四為正實按除法以五
次所得之數於法相因之數遞減之仍
餘四十二億八千八百五十三萬六千
零六十四不盡是共除得四萬四千五
百零四為相連比例之二率也以二率
之四萬四千五百零四自乗得一十九
億八千零六十萬六千零一十六以一
率之十萬除之得一萬九千八百零六
為三率以二率之四萬四千五百零四
二因之與三率之一萬九千八百零六
相加得十萬八千八百一十四減去一
率之十萬餘八千八百一十四為四率
如以三率之一萬九千八百零六自乗
以一率之四萬四千五百零四除之亦
得八千八百一十四為四率也此為益
實兼減實歸除之法葢因此法止有一
率之數作相連比例四率使一率與四
率之共數與二率两倍再加一三率之
數等而相連比例四率之理一率自乗
用四率再乗與二率自乘再乗之數等
又一率自乗用三率再乗與二率自乗
用一率再乗之數等今立法以一率自
乘再乗為原實較之二率加倍與一率
自乗之面積相乗之數却少一一率自
乗四率再乗之數又多一一率自乗三
率再乗之數故以屢除所得之數屢次
自乗再乗益入原實又以屢除所得之
數屢次自乗以一率再乗與益實相減
然後按法除之始足二率两倍之數也
如圖甲乙為一率庚子子辰皆為二率
辰乙為三率庚甲為四率庚乙為一率
四率之共數又為二率两倍再加一三
率之共數甲乙丙丁戊巳為一率自乗
再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為两倍
二率併一三率與一率自乗面積相乘
之長方體比一率自乗再乗之正方體
多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體
即一率自乗四率再乗之扁方體與二
率自乗再乗之積等比两倍二率與一
率自乗面積相乗之扁方體多一辰乙
丙丁午未扁方體此扁方體即一率自
乗三率再乗之扁方體與二率自乗一
率再乗之積等若於一率自乗再乗之
正方體内加入二率自乗再乗之數再
減去二率自乗一率再乗之數即如於
甲乙丙丁戊己正方體内加入庚甲酉
戊壬癸之扁方體減去辰乙丙丁午未
之扁方體成一庚辰己午壬癸之扁方
體而以一率自乗之辰己午未方面除
之必得庚辰為二率之两倍苟合辰巳
午未子丑寅夘二方面除之必得庚子
或子辰為二率若不益少減多而以二
方面除之則所得仍為一率之二分之
一比二率數必大故以屢除所得之數
屢次自乗再乗益入原積復以屢除所
得之數自乗用一率再乗逐層與原積
相減遞及末位則所少之積漸足所多
之積漸消而除得之數即為二率之全
數焉
設如圜徑二十萬求内容十四邊形之一邊幾何
法用連比例四率有一率求第二率使
一率與四率相加與二率兩倍再加一
三率等之法以圜徑二十萬折半得十
萬為一率自乗再乗得一千兆為實又
以半徑十萬自乗倍之得二百億為法
按益實兼減實歸除之法除實得四萬
四千五百零四(小餘一八六/七九一三)為二率即
圜内十四邊形之每一邊也如甲圜内
容十四邊形每邊之弧得圜周十四分
之一皆二十五度四十二分五十一秒
有餘其通弦即圜内十四邊形之一邊
試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二
半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界
乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線
於戊又成乙丙戊三角形復自圜界丙
按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁
線則又成丙丁戊三角形此三三角形
皆為同式形(乙戊丙三角形之乙角當/丙庚弧為乙丙弧之倍則)
(乙戊丙三角形之乙角與乙甲丙三角/形之甲角等又與乙甲丙三角形同用)
(丙角而丙丁戊三角形之丁丙線與甲/辛半徑平行即丙丁戊三角形之丙角)
(與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角/亦必等又與乙丙戊三角形同用戊角)
(是此三三角形之各角/互相等而為同式形也)其相當各邊俱
成相連比例故甲乙與乙丙之比同於
乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又
同於丙戊與戊丁之比為相連比例四
率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為
三率戊丁為四率也又按乙戊度作壬
戊線與丁丙平行則截甲乙線於壬乃
自壬與乙丙平行作壬子線復自壬與
乙戊平行作壬癸線則又成甲壬子與
壬戊癸丙三角形與乙丙戊三角形等
成壬癸子一三角形與丙丁戊三角形
等其甲子癸戊皆與乙丙二率等而癸
子與丁戊四率等是甲丙一率内有兩
二率一三率而少一四率也若以甲丙
一率與癸子四率相加方與二率之兩
倍再加一三率之數等故用連比例四
率有一率求二率法算之得二率為十
四邊形之每一邊也
設如圜徑二十萬求内容七邊形之一邊幾何
法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與
圜内容十四邊形之一邊四萬四千五
百零四(小餘一八六/七九一三)為兩腰用三角形
求中垂線法算之得中垂線四萬三千
三百八十八(小餘三七三/九一一八)倍之得八萬
六千七百七十六(小餘七四七/八二三六)即圜内
容七邊形之每一邊也如甲圜容七邊
形每邊之弧得圜周七分之一皆五十
一度二十五分四十二秒有餘試自圜
心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二
半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊
為五十一度二十五分四十二秒有餘
之通弦如以乙丙弧五十一度二十五
分四十二秒有餘折半於丁作乙丁線
即圜内容十四邊形之一邊仍自圜心
甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙
丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊
此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線
即七邊形每邊之一半故以甲丁半徑
為底甲乙半徑為大腰乙丁十四邊形
之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之
為七邊形之每一邊也
三要(有本弧之正弦求本弧之餘弦有本弧之/正弦餘弦求倍弧之正弦餘弦有本弧之)
(正弦餘弦求半/弧之正弦餘弦)
設如本弧三十六度之正弦五萬八千七百七十八
(小餘五二五/二二九二)求餘弧五十四度之正弦幾何
法以三十六度之正弦五萬八千七百
七十八(小餘五二五/二二九二)為勾半徑十萬為
弦求得股八萬零九百零一(小餘六九/九四三七)
(五/)為五十四度之正弦即三十六度之
餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其
甲乙正弧三十六度乙丙餘弧五十四
度乙丁為三十六度之正弦試自乙至
象限中心戊作乙戊半徑線遂成乙丁
戊勾股形乙戊為弦乙丁為勾求得丁
戊股與乙己等為乙丙餘弧五十四度
之正弦即甲乙正弧三十六度之餘弦
也
設如本弧三十六度之正弦五萬八千七百七十八
(小餘五二五/二二九二)餘弦八萬零九百零一(小餘六九九/四三七五)
求倍弧七十二度之正弦餘弦各幾何
法以半徑十萬為一率本弧之正弦五
萬八千七百七十八(小餘五二五/二二九二)為二
率本弧之餘弦八萬零九百零一(小餘/六九)
(九四三/七五)為三率求得四率四萬七千五
百五十二(小餘八二五/八一四七)倍之得九萬五
千一百零五(小餘六五一/六二九四)即倍弧七十
二度之正弦也求餘弦則以三十六度
之正弦五萬八千七百七十八(小餘五/二五二)
(二九/二)自乘以半徑十萬除之得三萬四
千五百四十九(小餘一五○/二八一二)倍之得六
萬九千零九十八(小餘三○○/五六二四)與半徑
十萬相減餘三萬零九百零一(小餘六/九九四)
(三七/六)即倍弧七十二度之餘弦也如甲
乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十
六度倍之為甲丁弧七十二度乙己為
三十六度之正弦庚乙為三十六度之
餘弦與戊辛等(葢辛甲與乙己等則戊/辛必與戊己等戊己即)
(庚乙/也)丁壬為七十二度之正弦試與乙
己平行作辛癸線遂成戊乙己戊辛癸
同式兩勾股形其戊乙己勾股形之戊
乙弦與乙己勾之比同於戊辛癸勾股
形之戊辛弦與辛癸勾之比為相當比
例四率而辛癸與子壬等為丁壬之半
(葢辛甲為丁甲之半則/辛癸亦為丁壬之半)故倍之得丁壬
為甲丁七十二度之正弦也又如求餘
弦其甲辛戊甲癸辛為同式兩勾股形
其甲辛戊勾股形之甲戊弦與甲辛勾
之比同於甲癸辛勾股形之甲辛弦與
甲癸勾之比為相連比例三率既得甲
癸倍之得甲壬(葢甲丁為甲辛之倍則/甲壬亦為甲癸之倍)
與甲戊半徑相減餘壬戊與丁丑等即
甲丁七十二度之餘弦也
設如本弧四十五度之正弦七萬零七百一十(小餘/六七)
(八一一/八六)餘弦亦七萬零七百一十(小餘六七八/一一八六)求
半弧二十二度三十分之正弦幾何
法以本弧之正弦七萬零七百一十(小/餘)
(六七八一/一八六)為股本弧之餘弦七萬零七
百一十(小餘六七八/一一八六)與半徑十萬相減
餘二萬九千二百八十九(小餘三二一/八八一四)
為勾求得弦七萬六千五百三十六(小/餘)
(六八六四/七三○)折半得三萬八千二百六十
八(小餘三四三/二三六五)即半弧二十二度三十
分之正弦也如甲乙丙九十度之一象
限其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧
二十二度三十分乙己為四十五度之
正弦戊己與庚乙等為四十五度之餘
弦於戊甲半徑内減去戊己餘己甲為
勾乙己為股求弦得乙甲為四十五度
之通弦折半得乙辛即丁乙二十二度
三十分之正弦也
又捷法以本弧四十五度之餘弦七萬
零七百一十(小餘六七八/一一八六)與半徑十萬
相減餘二萬九千二百八十九(小餘三/二一八)
(八一/四)折半得一萬四千六百四十四(小/餘)
(六六○九/四○七)與半徑十萬相乘開方得三
萬八千二百六十八(小餘三四三/二三六五)即半
弧二十二度三十分之正弦也葢乙己
為四十五度之正弦甲己為四十五度
之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分
之正弦如與乙己平行作一辛壬線平
分甲己於壬成甲辛戊甲壬辛同式兩
勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊弦與
甲辛勾之比同於甲壬辛勾股形之甲
辛弦與甲壬勾之比為連比例三率故
首率甲戊與末率甲壬相乘(首率甲戊/與末率甲)
(壬相乘與中率甲/辛自乘之積相等)開方得甲辛為二十
二度三十分之正弦也
新增有本弧之餘弦求倍弧之餘弦及半弧之
餘弦
設如本弧三十六度之餘弦八萬零九百零一(小餘/六九)
(九四三/七五)求倍弧七十二度之餘弦幾何
法以本弧三十六度之餘弦八萬零九
百零一(小餘六九九/四三七五)自乘以半徑十萬
除之得六萬五千四百五十(小餘八四/九七一八)
(七/)與半徑十萬相減餘三萬四千五百
四十九(小餘一五○/二八一三)倍之得六萬九千
零九十八(小餘三○○/五六二六)仍與半徑十萬
相減餘三萬零九百零一(小餘六九九/四三七四)
即倍弧七十二度之餘弦也如甲乙丙
九十度之一象限其甲乙弧三十六度
倍之為甲丁弧七十二度丁己為三十
六度之正弦戊己為三十六度之餘弦
丁庚為七十二度之正弦辛丁為七十
二度之餘弦與戊庚等試自己至壬作
己壬垂線遂成甲己戊己壬戊同式兩
勾股形其甲己戊勾股形之戊甲弦與
戊己股之比同於己壬戊勾股形之戊
己弦與戊壬股之比為連比例三率故
中率戊己自乘以首率戊甲除之得末
率戊壬既得戊壬與戊甲半徑相減餘
壬甲倍之得庚甲仍與戊甲半徑相減
餘戊庚與辛丁等即甲丁弧七十二度
之餘弦也
設如本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘/六七)
(八一一/八六)求半弧二十二度三十分之餘弦幾何
法以本弧四十五度之餘弦七萬零七
百一十(小餘六七八/一一八六)與半徑十萬相減
餘二萬九千二百八十九(小餘三二一/八八一四)
折半得一萬四千六百四十四(小餘六/六○九)
(四○/七)與本弧四十五度之餘弦七萬零
七百一十(小餘六七八/一一八六)相加得八萬五
千三百五十五(小餘三三九/○五九三)與半徑十
萬相乘開方得九萬二千三百八十七
(小餘九五三/二五一一)即半弧二十二度三十分
之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限
其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧二
十二度三十分乙己為四十五度之正
弦戊己與庚乙等為四十五度之餘弦
乙辛為二十二度三十分之正弦戊辛
為二十二度三十分之餘弦戊己四十
五度之餘弦與戊甲半徑相減餘己甲
折半得己壬再與戊己相加得戊壬試
自辛至壬作辛壬垂線遂成甲辛戊辛
壬戊同式兩勾股形其甲辛戊勾股形
之戊甲弦與戊辛股之比同於辛壬戊
勾股形之戊辛弦與戊壬股之比為連
比例三率故首率戊甲與末率戊壬相
乘開方得戊辛為二十二度三十分之
餘弦也
新增有本弧之正弦求其三分之一弧之正弦
設如三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘/五二)
(五二二/九二)求其三分之一十二度之正弦幾何
法用連比例四率有一率求二率使一
率與四率相加與二率三倍等之法以
三十六度之正弦五萬八千七百七十
八(小餘五二五/二二九二)倍之得一十一萬七千
五百五十七(小餘○五○/四五八四)為七十二度
之通弦乃以半徑十萬自乘得一百億
用七十二度之通弦再乘得一千一百
七十五兆五千七百零五億零四百五
十八萬四千為實又以半徑十萬自乘
三因之得三百億為法按益實歸除之
法除實得四萬一千五百八十二(小餘/三三)
(八一六/三四)為二十四度之通弦折半得二
萬零七百九十一(小餘一六九/○八一七)即十二
度之正弦也如甲乙丙九十度之一象
限其甲乙弧三十六度甲丁為其正弦
倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之
通弦試以七十二度取其三分之一二
十四度為甲庚弧其通弦甲庚與甲戊
庚戊兩半徑成一戊甲庚三角形又庚
戊半徑截甲己通弦於辛成一庚甲辛
三角形又依庚辛度向辛甲邊作庚壬
線成一庚辛壬三角形此兩三角形俱
與戊甲庚三角形為同式形其相當各
邊俱成相連比例故戊甲為一率甲庚
為二率庚辛為三率辛壬為四率也今
甲己七十二度之通弦内有甲庚二率
之三倍而少一辛壬四率(葢己癸癸壬/辛甲三段皆)
(與甲庚二率等而癸壬辛甲二段内却/重辛壬一小段是甲己通弦内有己癸)
(癸壬辛甲三二率而/少一辛壬四率也)若以甲己通弦為
髙與一率半徑自乘之方面相乘所成
之長方體則比三倍二率為高與一率
半徑自乘之方面相乘所成之長方體
必少一四率為高與一率半徑自乘之
方面相乘所成之扁方體此扁方體與
二率自乘再乘之正方體等故以一率
半徑自乘之三方面為法除實每次所
得二率之數自乘再乘益入原積則積
漸增與三倍二率與一率半徑自乘之
方面相乘所成之長方體合而除得之
數即為二率既得甲庚二率為二十四
度之通弦半之得甲子即甲丑弧十二
度之正弦也
二簡法(有兩弧之正弦餘弦求兩弧相加相減/之正弦有距六十度前後相等弧之正)
(弦求距弧/之正弦)
設如四十五度之正弦七萬零七百一十(小餘六七/八一一八)
(六/)餘弦亦七萬零七百一十(小餘六七八/一一八六)又有二
十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四/三○七五)
餘弦九萬一千三百五十四(小餘五四五/七六四二)求兩弧
相加六十九度之正弦及兩弧相減二十一度之
正弦各幾何
法以半徑十萬為一率四十五度之正
弦七萬零七百一十(小餘六七八/一一八六)為二
率二十四度之餘弦九萬一千三百五
十四(小餘五四五/七六四二)為三率求得四率六
萬四千五百九十七(小餘四一八/八○二○)又以
半徑十萬為一率四十五度之餘弦七
萬零七百一十(小餘六七八/一一八六)為二率二
十四度之正弦四萬零六百七十三(小/餘)
(六六四三/○七五)為三率求得四率二萬八千
七百六十(小餘六二三/八四七六)乃以兩四率相
加得九萬三千三百五十八(小餘○四/二六四九)
(六/)即兩弧相加所得六十九度之正弦
如以兩四率相減餘三萬五千八百三
十六(小餘七九四/九五四五)即兩弧相減所餘二
十一度之正弦也如甲乙丙丁九十度
之一象限其乙甲弧四十五度乙己為
四十五度之正弦己戊為四十五度之
餘弦於乙甲弧四十五度加丙乙弧二
十四度得丙甲弧六十九度又於乙甲
弧四十五度減乙子弧二十四度餘子
甲弧二十一度試自丙至子作丙子線
則丙乙弧乙子弧皆為二十四度丙庚
與庚子皆為二十四度之正弦庚戊則
為二十四度之餘弦今以乙戊半徑為
一率乙己四十五度之正弦為二率庚
戊二十四度之餘弦為三率求得四率
庚辛與壬癸等又以乙戊半徑為一率
己戊四十五度之餘弦為二率丙庚二
十四度之正弦為三率求得四率丙壬
故以丙壬加於庚辛(庚辛原與/壬癸等)共得丙
癸即丙甲弧六十九度之正弦如於庚
辛内減與丙壬相等之庚夘餘夘辛與
子丑等即子甲弧二十一度之正弦也
葢乙己戊與庚辛戊為同式勾股形故
乙戊與乙己之比同於庚戊與庚辛之
比為相當比例四率又寅癸戊與乙己
戊亦為同式勾股形而寅癸戊勾股形
之寅角與丙庚寅勾股形之寅角為兩
尖相對角其度等癸角與庚角俱為直
角其度又等則戊角必與丙角等如作
庚壬線成丙壬庚勾股形則此形之丙
角既與乙己戊勾股形之戊角等而壬
角又為直角與乙己戊勾股形之己角
等故亦為同式勾股形而乙戊與己戊
之比同於丙庚與丙壬之比為相當比
例四率也
設如八十四度之弧距六十度二十四度其正弦九
萬九千四百五十二(小餘一八九/五三六八)又有三十六度
之弧距六十度亦二十四度其正弦五萬八千七
百七十八(小餘五二五/二二九二)求距弧二十四度之正弦
幾何
法以八十四度之正弦九萬九千四百
五十二(小餘一八九/五三六八)内減三十六度之
正弦五萬八千七百七十八(小餘五二/五二二九)
(二/)餘四萬零六百七十三(小餘六六四/三○七六)
即距弧二十四度之正弦也如有距六
十度前二十四度為三十六度其正弦
五萬八千七百七十八(小餘五二五/二二九二)距
弧二十四度之正弦四萬零六百七十
三(小餘六六四/三○七六)求距六十度後二十四
度為八十四度之正弦則以三十六度
之正弦五萬八千七百七十八(小餘五/二五二)
(二九/二)與距弧二十四度之正弦四萬零
六百七十三(小餘六六四/三○七六)相加得九萬
九千四百五十二(小餘一八九/五三六八)即八十
四度之正弦也又如有距六十度後二
十四度為八十四度其正弦九萬九千
四百五十二(小餘一八九/五三六八)距弧二十四
度之正弦四萬零六百七十三(小餘六/六四三)
(○七/六)求距六十度前二十四度為三十
六度之正弦則以八十四度之正弦九
萬九千四百五十二(小餘一八九/五三六八)與距
弧二十四度之正弦四萬零六百七十
三(小餘六六四/三○七六)相減餘五萬八千七百
七十八(小餘五二五/二二九二)即三十六度之正
弦也如甲乙丙丁九十度之一象限其
己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距
己二十四度乙甲弧三十六度乙距己
亦二十四度丙庚為八十四度之正弦
乙辛為三十六度之正弦與壬庚等丙
壬為兩正弦之較試自巳至象限中心
戊作己戊線又自丙至乙作丙乙線則
丙癸癸乙皆為距弧二十四度之正弦
與丙壬兩正弦之較相等葢己戊甲角
六十度則己戊丁角為三十度丙庚與
丁戊平行則丙子己角與丁戊己角為
二平行線上所成之内外角必相等皆
為三十度丙癸子角為直角則子丙癸
角必為六十度矣又自乙至子作乙子
線則乙癸子與丙癸子為同形勾股形
癸乙子角亦必為六十度癸子乙角亦
必為三十度兩勾股形合之共成一丙
乙子三角形而丙子乙角亦必為六十
度矣三角度既等則三邊必相等今丙
壬為丙子之半丙癸為丙乙之半丙子
既與丙乙等故丙壬亦必與丙癸等也
有此法凡有六十度以前各弧之正弦
則以各距弧之正弦與之相加可得六
十度以後三十度各弧之正弦若有六
十度以後各弧之正弦則以各距弧之
正弦與之相減可得六十度以前三十
度各弧之正弦六十度前後三十度之
正弦用加減而即得較之勾股比例諸
法甚為簡便也
八線相求
設如四十八度之正弦七萬四千三百一十四(小餘/四八)
(二五四/七七)餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○/六三五八)
求正矢正切正割各幾何
法以半徑十萬内減四十八度之餘弦
六萬六千九百一十三(小餘○六○/六三五八)餘
三萬三千零八十六(小餘九三九/三六四二)為正
矢以餘弦六萬六千九百一十三(小餘/○六)
(○六三/五八)為一率正弦七萬四千三百一
十四(小餘四八二/五四七七)為二率半徑十萬為
三率求得四率一十一萬一千零六十
一(小餘二五一/四八三○)為正切以餘弦六萬六
千九百一十三(小餘○六○/六三五八)為一率半
徑十萬為二率仍以半徑十萬為三率
求得四率一十四萬九千四百四十七
(小餘六五四/九八六六)為正割也如圖甲乙弧四
十八度甲丙為正弦甲丁為餘弦與丙
戊等乙丙為正矢故乙戊半徑内減與
甲丁餘弦相等之丙戊餘乙丙即為正
矢己乙為正切巳戊為正割甲丙戊己
乙戊兩勾股形為同式形故丙戊餘弦
與甲丙正弦之比同於乙戊半徑與己
乙正切之比為相當比例四率又丙戊
餘弦與甲戊半徑之比同於乙戊半徑
與己戊正割之比亦為相當比例四率
也
又正切求正割捷法以餘弧折半得二
十一度乃以二十一度之正切三萬八
千三百八十六(小餘四○三/三五○三六)與本弧之
正切一十一萬一千零六十一(小餘二/五一四)
(八三/○)相加得一十四萬九千四百四十
七(小餘六五四/八三三三)即為本弧之正割也如
圖甲乙弧四十八度己乙為正切己戊
為正割試將甲庚餘弧四十二度折半
得庚辛二十一度移於乙壬又作乙癸
為乙壬弧二十一度之正切與己乙相
加得己癸與己戊正割相等葢甲戊乙
角四十八度己乙戊角為直角九十度
二角併之為一百三十八度於一百八
十度内減之餘四十二度為戊己乙角
今於甲戊乙角四十八度加乙戊壬角
二十一度遂成己戊癸角為六十九度
仍與戊己乙角四十二度相加於一百
八十度内減之所餘亦六十九度即為
戊癸己角戊癸己角既與己戊癸角相
等則己戊與己癸邊亦必相等也有此
法則凡有逐度逐分之切線求割線可
止用加法不用四率矣又凡有本弧之
正切正割相減即得半餘弧之正切若
有本弧之正割及半餘弧之正切相減
即得本弧之正切也
設如四十八度之正弧七萬四千三百一十四(小餘/四八)
(二五四/七七)餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○/六三五八)
求餘矢餘切餘割各幾何
法以半徑十萬内減四十八度之正弦
七萬四千三百一十四(小餘四八二/五四七七)餘
二萬五千六百八十五(小餘五一七/四五二三)為
餘矢以正弦七萬四千三百一十四(小/餘)
(四八二五/四七七)為一率餘弦六萬六千九百
一十三(小餘○六○/六三五八)為二率半徑十萬
為三率求得四率九萬零四十(小餘四/○四四)
(二九/七)為餘切以正弦七萬四千三百一
十四(小餘四八二/五四七七)為一率半徑十萬為
二率仍以半徑十萬為三率求得四率
一十三萬四千五百六十三(小餘二七/二九六○)
(七/)為餘割也如圖甲乙弧四十八度甲
丙為正弦與丁戊等甲丁為餘弦巳丁
為餘矢故已戊半徑内減與甲丙正弦
相等之丁戊餘己丁即為餘矢庚己為
餘切庚戊為餘割甲丁戊庚己戊兩勾
股形為同式形故丁戊正弦與甲丁餘
弦之比同於己戊半徑與庚己餘切之
比為相當比例四率又丁戊正弦與甲
戊半徑之比同於己戊半徑與庚戊餘
割之比亦為相當比例四率也
又餘切求餘割捷法以本弧折半得二
十四度乃以二十四度之正切四萬四
千五百二十二(小餘六八六/五三一○)與本弧之
餘切九萬零四十(小餘四○四/四二九七)相加得
一十三萬四千五百六十三(小餘二七/二九六○)
(七/)即為本弧之餘割也如圖甲乙弧四
十八度庚己為其餘切庚戊為其餘割
試將甲乙正弧四十八度折半得辛乙
二十四度移於壬己又作癸己為壬己
弧二十四度之正切與庚己相加得庚
癸與庚戊餘割相等葢甲戊己角四十
二度庚己戊角為直角九十度二角相
併為一百三十二度於一百八十度内
減之餘四十八度為戊庚己角今於甲
戊己角四十二度加己戊壬角二十四
度遂成庚戊癸角為六十六度仍與戊
庚己角四十八度相加於一百八十度
内減之所餘亦為六十六度即為戊癸
庚角戊癸庚角既與庚戊癸角相等則
庚戊與庚癸邊亦必相等也有此法則
凡有逐度逐分之切線求餘割亦可止
用加法不用四率矣又凡有本弧之餘
切餘割相減即得半本弧之正切若有
本弧之餘割及半本弧之正切相減即
得本弧之餘切矣
求象限内各線總法
六宗倂新增十八邊形及九邊形之每邊各半之得
八弧之正弦用要法之一各求其餘弦次取十二度
(十五邊/之半)用要法之三折半四次得六度三度一度三
十分及四十五分之正弦復用新增法求其三分之
一得十五分之正弦復求其三分之一即得五分之
正弦既得五分之正弦乃用簡法之一求六十度以
内之正弦每越五分而得一弦可得七百二十又用
簡法之二求六十度以外之正弦亦越五分而得一
弦又得三百六十(如以一度之弦與五十九度之弦/相加即六十一度之弦以二度之)
(弦與五十八度之弦相加即六十二度之弦以至二/十九度之弦與三十一度之弦相加即得八十九度)
(之弦/也)總而計之一象限中共得正弦一千零八十己
居全表五分之一(象限中逐分計之共正弦五千四/百故一千零八十為五分之一也)
再以五分之弦用要法之三得二分三十秒之弦復
用新增法求其三分之一得五十秒之弦乃以五十
秒之弧為一率五十秒之弦為二率一分之弧化六
十秒為三率得四率為一分之弦既得一分之弦即
用簡法之一簡法之二錯綜加減之則一象限中每
度每分之正弦悉得矣既得每度每分之正弦則用
前八線相求之法即得每度每分之切割諸線矣如
於一分之中欲析為六十秒則以比例四率求之即
得每秒之八線也
御製數理精蘊下編卷十六