御製數理精蘊
御製數理精蘊
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十八
面部八
測量(勾股測量/三角測量)
測量
周髀曰偃矩以窺髙覆矩以測深卧矩以知逺蓋以矩
度或表杆相度窺測立者則取其直平者則取其方必
使成直角以大小勾股為比例以在器之勾股比所測
之勾股彼此相形而得之者也然勾股必為直角而三
角形則惟變所適而無定形要以角度為準而用割圜
八線以為比例凡求角求邊皆以三角形之法為本總
以對所知為一率對所求為二率所知為三率得四率
即所求也或一測或屢測惟在隨時而致用或用正或
用餘惟在比例之相當不特凡物之髙深廣逺可得而
推即七政之躔度天地之形體俱可得而測也
勾股測量(凡用矩度或立表杆必用垂線取其/與地平成直角以為準則若地不平)
(須記取某處與人/目所看相平為記)
設如有一旗杆欲測其髙但知距旗杆之逺為三丈
問得髙幾何
法用矩度(矩度之制必用正方每邊定/一百分或二百分横𥪡俱界)
(線畫成小方分自中心所出線俱平分/每邊一半對中心所出線兩邉安定表)
(取中心安遊表看分數必以其自中/心所出線為準見幾何原本十二卷)定
準墜線以定表看地平遊表看旗杆頂
得距地平分四十分(此矩度前邊為百/分自中心平分半)
(邊為五/十分)乃以中心平分距分五十分為
一率所得距分四十分為二率距旗杆
之逺三丈為三率求得四率二丈四尺
即矩度中心定表所對地平至旗杆頂
之髙加矩度中心距地之髙四尺共得
二丈八尺即所求旗杆之髙也如圖甲
乙為旗杆之髙丙乙為距旗杆之逺丁
為矩度中心丁丙為矩度中心距地之
高己庚為定表所對地平為戊辛壬為
遊表看旗杆頂甲其丁庚為矩度中心
平分距分五十分壬庚為遊表距地平
分四十分其丁庚與壬庚之比同於丁
戊與甲戊之比故丁庚五十分為一率
壬庚四十分為二率丁戊距旗杆之逺
三丈為三率得四率甲戊二丈四尺加
同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈
八尺為旗杆之高也
又用表杆測法於距旗杆三丈處立一
表高四尺向前又立一表高八尺看二
表端與旗杆頂齊量二表間相距得五
尺乃以五尺為一率前表八尺内減後
表四尺餘四尺為二率距旗杆之逺三
丈為三率求得四率二丈四尺加入後
表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也
如圖甲乙為旗杆之高乙丙為距旗杆
之逺三丈丁丙為後表之髙四尺戊己
為前表之高八尺丙己為二表之距五
尺戊庚為二表之較四尺丁戊甲為人
目視線試與乙丙平行作辛丁線遂成
甲辛丁戊庚丁兩勾股形為同式形故
丁庚與戊庚之比同於丁辛與甲辛之
比既得甲辛加與丁丙相等之辛乙即
得甲乙為旗杆之高也
設如一樹欲測其逺爰取一直角横量十五丈問得
逺幾何
法以矩度定表與遊表定準直角以定
表對樹遊表隨直角立表杆二三處横
量十五丈於此處復安矩度以定表對
所立表杆取直看原處以遊表看樹得
距矩度中心平分線距分三十分乃以
所得距分三十分為一率矩度中心平
分距分五十分為二率横量十五丈為
三率求得四率二十五丈即離樹之逺
也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙為
直角乙丙為横量十五丈丁戊為所立
二表杆丙為矩度中心丙己為矩度中
心平分距分五十分己庚為所得距分
三十分丙己庚勾股形與甲乙丙勾股
形為同式形故己庚與己丙之比即同
於丙乙與甲乙之比也
又用表杆測法先立一表於乙取直角
横量十五丈至丙次立一表於丙自丙
對甲相直復立一表於丁次依丁丙度
引至乙丙線上截乙丙於戊乃以丙戊
折半於己遂得丁己丙勾股形與甲乙
丙勾股形為同式形因量丙己得三丈
為一率丁己得五丈為二率丙乙十五
丈為三率求得四率二十五丈即甲乙
之逺也
設如有山一座欲知其高用重矩之法測之問山之
高得幾何
法用矩度定準墜線以定表看地平遊
表看山頂得距地平分四十分又向後
量九丈復安矩度定準墜線以定表仍
看前矩度定表所看地平原處遊表看
山頂得距地平分三十二分乃以前矩
度距地平分四十分為一率中心平分
距分五十分為二率後矩度距地平分
三十二分為三率求得四率四十分為
前矩度遊表與後矩度遊表同距地平
分所得之中心距分乃以所得四十分
與後矩度中心平分距分五十分相減
餘十分為一率後矩度距地平分三十
二分為二率向後量九丈為三率求得
四率二十八丈八尺即矩度中心定表
所對地平至山頂之高加矩度中心距
地之高四尺共得二十九丈二尺即所
求之山之髙也如圖甲乙為山之高丙
為前矩度中心丙庚為定表所對地平
為戊丙己為遊表看山頂甲其己庚為
遊表距地平分四十分丙庚為中心平
分距分五十分丙丁為向後量九丈丁
為後矩度中心丁壬為定表所對地平
亦為戊丁辛為遊表看山頂甲其辛壬
為遊表距地平分三十二分丁壬為中
心平分距分五十分試依後矩度遊表
距地平分辛壬度於前矩度作癸子線
則丙子中心距分必小於丙庚故己庚
與丙庚之比同於癸子與丙子之比而
得丙子之分既得丙子則以丙子與丁
壬相減餘丁丑(與前矩度/子庚等)即前後兩矩
度遊表同距地平分所得中心距分之
較乃自辛至丑作辛丑線遂成辛壬丑
勾股形與癸子丙同度俱與甲戊丙勾
股形為同式形而辛壬丁勾股形又與
甲戊丁勾股形為同式形且丁丙與丁
丑皆為兩勾股形之各股之較故辛丑
丁三角形與甲丙丁三角形亦為同式
形是以丁丑與辛壬之比同於丁丙與
甲戊之比而為相當比例四率也
又法用矩度定準墜線以定表看地平
遊表看山頂向後量九丈復安矩度定
準墜線以定表仍看前矩度定表所看
地平原處遊表看山頂得距地平分三
十二分其中心平分距分為五十分爰
察前矩度距地平分三十二分處得距
中心距分為四十分乃以所得四十分
與後矩度中心平分距分五十分相減
餘十分為一率距地平分三十二分為
二率向後量九丈為三率求得四率二
十八丈八尺即矩度中心定表所對地
平至山頂之高加矩度中心距地之高
四尺共得二十九丈二尺即所求之山
之高也如圖甲乙為山之高丙為前矩
度中心定表所對地平為戊遊表看山
頂甲丙丁為向後量九丈丁為後矩度
中心其辛壬為遊表距地平分三十二
分丁壬為中心平分距分五十分試依
後矩度距地平分三十二分辛壬度於
前矩度三十二分處作己庚線其丙庚
距中心距分得四十分乃以丙庚四十
分截後矩度丁壬中心平分距分於癸
則丁癸為減餘十分其丁癸與辛壬之
比即同於丁丙與甲戊之比也前法兩
矩度遊表距地平分不同故用比例四
率而得其距地平相等之中心距分以
取其兩中心距分之較此法因取其距
地平相等之分故其兩中心距分不同
相減即得其兩中心距分之較也
設如一牆欲知其逺用重矩之法測之問牆之逺得
幾何
法用矩度定凖墜線以定表看地平遊
表看牆頂得距地平分四十分又向後
量一丈復安矩度定凖墜線以定表仍
看前矩度定表所看地平原處遊表看
牆頂得距地平分二十四分乃以前矩
度距地平分四十分為一率中心平分
距分五十分為二率後矩度距地平分
二十四分為三率求得四率三十分為
前矩度遊表與後矩度遊表同距地平
分所得之中心距分乃以所得三十分
與後矩度中心平分距分五十分相減
餘二十分為一率前矩度所得中心距
分三十分為二率向後量一丈為三率
求得四率一丈五尺即前矩度距牆之
逺若求後矩度距牆之逺則以後矩度
中心平分距分五十分為二率所得四
率二丈五尺即後矩度距牆之逺也如
圖甲乙為牆之高丙為前矩度中心丙
庚為定表所對地平為戊丙己為遊表
看牆頂甲其己庚為遊表距地平分四
十分丙庚為中心平分距分五十分丙
丁為向後量一丈丁為後矩度中心丁
壬為定表所對地平亦為戊丁辛為遊
表看牆頂甲其辛壬為遊表距地平分
二十四分丁壬為中心平分距分五十
分試依後矩度遊表距地平分辛壬度
於前矩度作癸子線則丙子中心距分
必小於丙庚故己庚與丙庚之比同於
癸子與丙子之比而得丙子之分既得
丙子則以丙子與丁壬相減餘丁丑(與/前)
(矩度子/庚等)即前後兩矩度遊表同距地平
分所得中心距分之較乃自辛至丑作
辛丑線遂成辛壬丑勾股形與癸子丙
同度俱與甲戊丙勾股形為同式形而
辛壬丁勾股形又與甲戊丁勾股形為
同式形且丁丙與丁丑皆為兩勾股形
之各股之較故辛丑丁三角形與甲丙
丁三角形亦為同式形是以丁丑與丑
壬之比同於丁丙與丙戊之比又丁丑
與丁壬之比亦同於丁丙與丁戊之比
也
又法用矩度定凖墜線以定表看地平
遊表看牆頂向後量一丈復安矩度定
凖墜線以定表對前矩度中心遊表看
牆頂得距地平分二十四分其中心平
分距分為五十分爰察前矩度距地平
分二十四分處得距中心距分為三十
分乃以所得三十分與後矩度中心平
分距分五十分相減餘二十分為一率
前矩度中心距分三十分為二率向後
量一丈為三率求得四率一丈五尺即
前矩度距牆之逺若求後矩度距牆之
逺則以後矩度中心平分距分五十分
為二率所得四率二丈五尺即後矩度
距牆之逺也如圖甲乙為牆之高丙為
前矩度中心定表所對地平為戊遊表
看牆頂甲丙丁為向後量一丈丁為後
矩度中心其辛壬為遊表距地平分二
十四分丁壬為中心平分距分五十分
試依後矩度距地平分二十四分辛壬
度於前矩度二十四分處作己庚線其
丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚
三十分截後矩度丁壬中心平分距分
於癸則丁癸為減餘二十分其丁癸與
癸壬之比同於丁丙與丙戊之比又丁
癸與丁壬之比亦同於丁丙與丁戊之
比也
設如一石欲知其逺不取直角於左右兩處横量三
十九丈測之問兩處各距石幾何
法先平安矩度於右以定表看左矩度
之中心遊表看石得距矩度中心距分
三十七分五釐其遊表之斜距分為六
十二分五釐次平安矩度於左以定表
看右矩度之中心遊表看石得距矩度
中心距分十一分二釐五豪其遊表之
斜距分為五十一分二釐五豪乃以所
得兩距分相併得四十八分七釐五豪
為一率右矩度所得之遊表斜距分六
十二分五釐為二率横量三十九丈為
三率求得四率五十丈為右矩度距石
之逺若求左矩度距石之逺則仍以兩
距分相併為一率左矩度所得之遊表
斜距分五十一分二釐五豪為二率橫
量三十九丈為三率求得四率四十一
丈為左矩度距石之逺也如圖甲為石
乙為右矩度中心其丁戊為距分三十
七分五釐戊乙為遊表斜距分六十二
分五釐乙丙為横量三十九丈丙為左
矩度中心其己庚為距分十一分二釐
五豪己丙為遊表斜距分五十一分二
釐五豪試自甲角至乙丙線作甲辛垂
線分為兩勾股形則丁戊乙勾股形與
甲辛乙勾股形為同式形已庚丙勾股
形與甲辛丙勾股形為同式形而乙丙
即為兩勾之和故以丁戊與己庚兩勾
相併與戊乙之比同於乙丙與甲乙之
比又丁戊與己庚兩勾相併與己丙之
比同於乙丙與甲丙之比俱為相當比
例四率也
設如隔河一樹欲測其逺不能定直角爰取兩處俱
斜對樹横量十七丈測之問離樹之逺得幾何
法先平安矩度於一處隨定表横量十
七丈復安一矩度(若止用一矩度則/記凖一處亦可)以
先安矩度定表看後安矩度中心遊表
看樹得距矩度中心距分四十九分其
遊表之斜距分為七十分次以後安矩
度定表看先安矩度中心遊表看樹得
距矩度中心距分十五分其遊表之斜
距分為五十二分二釐乃以先安矩度
之中心距分四十九分與後安矩度之
中心距分十五分相減餘三十四分為
一率先安矩度遊表斜距分七十分為
二率横量十七丈為三率求得四率三
十五丈為先安矩度距樹之逺若以後
安矩度遊表斜距分五十二分二釐為
二率則得四率二十六丈一尺為後安
矩度距樹之逺也如圖甲為樹乙為先
安矩度中心其丁戊為距矩度中心距
分四十九分戊乙為遊表斜距分七十
分乙丙為横量十七丈丙為後安矩度
中心其己庚為距矩度中心距分十五
分庚丙為遊表斜距分五十二分二釐
按己庚十五分截丁戊四十九分於辛
則辛戊為減餘三十四分乃自辛至乙
作辛乙線與庚丙等又將乙丙線引長
於壬自甲作甲壬垂線遂成甲壬丙甲
壬乙兩勾股形其乙丁辛勾股形與丙
己庚勾股形同度俱與甲壬丙勾股形
為同式形而乙丁戊勾股形又與甲壬
乙勾股形為同式形故乙戊辛三角形
與甲乙丙三角形亦為同式形是以辛
戊與乙戊之比同於乙丙與甲乙之比
而辛戊與乙辛(乙辛即與/丙庚度等)之比又同於
乙丙與甲丙之比也此法蓋因遊表視
線俱在對角以外故甲壬垂線所成甲
壬乙甲壬丙兩勾股形同以甲壬為股
而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛兩勾
股形(乙丁辛即/丙己庚)亦同以乙丁為股故即
成兩兩同式形若遊表視線在對角以
内或一在對角之内一在對角之外所
得距矩度中心距分不同者則須取其
同距矩度中心距分之度以為比例如
後法
設如隔河一亭欲測其逺不能定直角爰取兩處俱
斜對亭横量三十丈測之問距亭之逺得幾何
法先平安矩度於一處隨定表横量三
十丈復安一矩度以先安矩度定表看
後安矩度中心遊表看亭得距矩度中
心距分二十七分其遊表之斜距分為
五十六分八釐有餘次以後安矩度看
先安矩度中心遊表看亭亦察距矩度
中心距分二十七分處得距中心距分
三十分其遊表之斜距分為四十分三
釐有餘乃以所得距中心距分三十分
與先安矩度中心平分距分五十分相
減餘二十分為一率先安矩度遊表斜
距分五十六分八釐有餘為二率横量
三十丈為三率求得四率八十五丈二
尺有餘為先安矩度距亭之逺若以後
安矩度遊表斜距分四十分三釐有餘
為二率則得四率六十丈四尺五寸有
餘為後安矩度距亭之逺也如圖甲為
亭乙為先安矩度中心其丁戊為距矩
度中心距分二十七分乙戊為中心平
分距分五十分丁乙為遊表斜距分五
十六分八釐有餘乙丙為横量三十丈
丙為後安矩度中心其己庚亦為距矩
度中心距分二十七分丙庚為距中心
平分距分三十分己丙為遊表斜距分
四十分三釐有餘按丙庚三十分截乙
戊中心平分距分五十分於辛則乙辛
為減餘二十分又自丁至辛作丁辛線
與己丙等又將乙丙線引長於壬自甲
作甲壬垂線遂成甲壬丙甲壬乙兩勾
股形其丁戊辛勾股形與己庚丙勾股
形同度俱與甲壬丙勾股形為同式形
而丁戊乙勾股形又與甲壬乙勾股形
為同式形故丁乙辛三角形與甲乙丙
三角形亦為同式形是以乙辛與丁乙
之比同於乙丙與甲乙之比又乙辛與
丁辛(即己/丙)之比同於乙丙與甲丙之比
也此法蓋因遊表視線俱在對角以内
故甲壬垂線所成甲壬乙甲壬丙兩勾
股形同以甲壬為勾而兩矩度上亦取
與丁戊相等之己庚為勾使成兩兩同
式形然後可以為比例也
設如有塔一座欲知其高用相等兩表測之問得高
幾何
法先立一表比人目高四尺看塔頂得
距分六尺又自前表向後量六丈復立
一表亦比人目高四尺看塔頂得距分
八尺乃以前距分六尺與後距分八尺
相減餘二尺為一率表比人目高四尺
為二率向後量六丈為三率求得四率
十二丈加表比人目之高四尺共得十
二丈四尺即人目以上之高也若求前
表距塔頂下地平之逺則以兩距分相
減之較為一率前表距分六尺為二率
向後量之數為三率得四率十八丈為
前表距塔頂下地平之逺若求後表距
塔頂下地平之逺則以後表距分八尺
為二率得四率二十四丈即後表距塔
頂下地平之逺也如圖甲乙為塔之高
丙丁與戊己為兩表比人目之高四尺
丁目為前表距分六尺丁己為向後量
六丈己目為後表距分八尺試依前距
分丁目六尺度截後距分己目於庚則
庚目為減餘二尺乃自戊過丙至辛作
戊丙辛線又自戊至庚作戊庚線遂成
戊己庚勾股形與丙丁目勾股形同度
俱與甲辛丙勾股形為同式形而戊己
目勾股形又與甲辛戊勾股形為同式
形且丙戊與庚目皆為兩勾股形之各
股之較故戊庚目三角形與甲丙戊三
角形又為同式形是以庚目與戊己之
比同於戊丙與甲辛之比又庚目與己
庚之比同於丙戊與辛丙之比庚目與
己目之比並同於丙戊與辛戊之比也
設如有樓一座欲知其高用不等兩表測之問得高
幾何
法先立長表比人目高六尺看樓脊得
距分五尺四寸又自先立長表向後量
二丈立短表比人目高四尺看樓脊得
距分六尺四寸乃以前表比人目之高
六尺為一率前表距分五尺四寸為二
率後表比人目之高四尺為三率求得
四率三尺六寸為前表與後表同高所
得之距分爰以所得之三尺六寸與後
表距分六尺四寸相減餘二尺八寸為
一率後表比人目之高四尺為二率以
前表距分五尺四寸内減所得之三尺
六寸餘一尺八寸與兩表相距二丈相
減餘一丈八尺二寸為三率求得四率
二丈六尺加後表比人目之高四尺得
三丈即人目以上之高也如圖甲乙為
樓之高丙丁為前表比人目之高六尺
丁目為前表距分五尺四寸丁己為向
後量二丈戊己為後表比人目之高四
尺己目為後表距分六尺四寸試依後
表戊己度作庚辛垂線截丁目於辛則
辛目距分必小於丁目故丙丁與丁目
之比同於庚辛與辛目之比而得辛目
之分既得辛目則以辛目與己目相減
餘壬目即前後兩表同高所得距分之
較又於兩表相距丁己内減丁辛餘辛
己即同高兩表相距之分故壬目與戊
己(即庚/辛)之比即同於戊庚(即辛/己)與甲癸
之比也
三角度數測量(度數測量必取資於儀器全圜/儀半圜儀象限儀雖為體不同)
(其為用則一以九十度為準以定表遊表/為二視線其相距之度即為所測之角)
設如一塔不知其髙但知距塔之逺為三十丈欲測
其高幾何
法以儀器定凖墜線以定表看地平遊
表看塔尖得兩表相距二十四度乃以
二十四度與九十度相減餘六十六度
為對所知之角其正弦九萬一千三百
五十五為一率儀器上二十四度為對
所求之角其正弦四萬零六百七十四
為二率距塔之逺三十丈為所知之邊
為三率求得四率十三丈三尺五寸七
分加儀器之高即所求之塔之高也如
圖甲乙為塔之高丙乙為距塔之逺儀
器中心為丁丁丙為儀器中心距地之
高丁戊為定表所對地平為庚丁己為
遊表看塔尖甲得兩表距弧二十四度
為己戊其正弦為己辛其餘弦為壬己
與丁辛等象限九十度内減二十四度
餘六十六度為癸己即甲角之正弧其
正弦即壬己是以與壬己相等之丁辛
與己辛之比同於丁庚與甲庚之比為
相當比例四率既得甲庚加同丁丙高
之庚乙得甲乙即塔之高也
又法以半徑十萬為一率二十四度之
切線四萬四千五百二十三為二率距
塔之逺三十丈為三率求得四率十三
丈三尺五寸七分加儀器之高即塔之
高也如圖己戊弧為二十四度丁戊為
半徑壬戊為二十四度之正切故丁戊
與壬戊之比同於丁庚與甲庚之比為
相當比例四率也
設如一樹欲知其逺取一直角横量十五丈測之問
得幾何
法以儀器定遊表於九十度定表看樹
對遊表立兩表竿取直橫量十五丈復
安儀器於此以定表看原處遊表看樹
得兩表相距六十度乃以六十度與九
十度相減餘三十度為對所知之角其
正弦五萬為一率儀器上六十度為對
所求之角其正弦八萬六千六百零三
為二率横量十五丈為所知之邊為三
率求得四率二十五丈九尺八寸即所
測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為距
樹之逺乙為所定直角丙乙為横量十
五丈丙為儀器中心丙丁為定表看原
處乙丙戊為遊表看甲得兩表距弧六
十度為戊丁其正弦為戊己餘弦為庚
戊與丙己等象限九十度内減六十度
餘三十度為辛戊即甲角之正弧其正
弦即庚戊是以與庚戊相等之丙己與
戊己之比同於丙乙與甲乙之比為相
當比例四率也
又法以半徑十萬為一率丙角六十度
之正切十七萬三千二百零五為二率
横量十五丈為三率求得四率二十五
丈九尺八寸即所測之樹之逺也若求
甲丙斜距則以半徑十萬為一率丙角
六十度之正割二十萬為二率横量十
五丈為三率求得四率三十丈即甲丙
斜距之逺也如圖戊丁弧為六十度丙
丁為半徑己丁為六十度之正切己丙
為六十度之正割故丙丁與己丁之比
同於丙乙與甲乙之比又丙丁與己丙
之比同於丙乙與甲丙之比俱各為相
當比例四率也
設如一山欲知其高用重測之法測之退步十丈問
山之高得幾何
法先安儀器定準墜線以定表看地平
遊表看山頂得兩表相距五十度又退
行十丈復安儀器定準墜線以定表仍
看前儀器定表所看地平原處仍以遊
表看山頂得兩表相距四十度乃以前
儀器所得五十度内減後儀器所得四
十度餘十度為對所知之角其正弦一
萬七千三百六十五為一率後儀器所
得四十度為對所求之角其正弦六萬
四千二百七十九為二率退行十丈為
所知之邊為三率求得四率三十七丈
零一寸為前儀器中心至山頂之斜距
次以山頂垂線與地平所成直角為對
所知之角其正弦即半徑十萬為一率
前儀器所得五十度為對所求之角其
正弦七萬六千六百零四為二率前儀
器中心至山頂之斜距三十七丈零一
寸為所知之邊為三率求得四率二十
八丈三尺五寸即所測之山之高也如
圖甲乙為山之高丙丁為退行十丈前
測得丙角五十度後測得丁角四十度
而丙角為甲丙丁三角形之外角與丁
甲二内角相併之度等(解見三角形邊/線角度相求巻)
(中/)故丙角五十度内減丁角四十度餘
十度即甲丙丁三角形之甲角故先用
甲丙丁鈍角三角形求甲丙邊既得甲
丙邊然後用甲乙丙直角三角形求甲
乙邊為山之高也
又法以前測所得五十度之餘切八萬
三千九百一十與後測所得四十度之
餘切十一萬九千一百七十五相減餘
三萬五千二百六十五為一率半徑十
萬為二率退行十丈為三率求得四率
二十八丈三尺五寸即所求之山之高
也如圖戊己為丙角之餘切即丙甲乙
角之正切與壬癸等庚辛為丁角之餘
切即丁甲乙角之正切與子癸等子壬
即兩餘切之較甲癸與戊丙及庚丁俱
同為半徑甲癸壬三角形與甲乙丙三
角形為同式形而甲癸子三角形與甲
乙丁三角形為同式形故甲壬子三角
形與甲丙丁三角形亦為同式形是以
子壬與甲癸之比同於丁丙與甲乙之
比而為相當比例四率也
設如人在山上欲測山之高但知山前有二樹與山
參直二樹相距十八丈問山之高得幾何
法於山頂安儀器定準墜線以定表向
空中取一平線先以遊表看逺樹得遊
表距垂線四十九度次以遊表看近樹
得遊表距垂線三十八度乃以所得兩
數相減餘十一度為對所知之角其正
弦一萬九千零八十一為一率以看逺
樹所得之四十九度與九十度相減餘
四十一度為對所求之角其正弦六萬
五千六百零六為二率二樹相距十八
丈為三率求得四率六十一丈八尺九
寸為近樹距山頂之斜距次以山頂垂
線與地平所成直角為對所知之角其
正弦即半徑十萬為一率以看近樹所
得之三十八度與九十度相減餘五十
二度為對所求之角其正弦七萬八千
八百零一為二率近樹距山頂之斜距
六十一丈八尺九寸為所知之邊為三
率求得四率四十八丈七尺七寸即所
測之山之高也如圖甲乙為兩樹相距
十八丈丙丁為山之高甲丙丁角為看
逺樹所得之四十九度乙丙丁角為看
近樹所得之三十八度兩數相減餘十
一度為甲丙乙角甲丙丁角四十九度
與九十度相減所餘之四十一度為甲
角乙丙丁角三十八度與九十度相減
所餘之五十二度為乙角先用甲乙丙
鈍角三角形求丙乙邊既得丙乙邊然
後用乙丙丁直角三角形求丙丁邊為
山之高也
又法以先看逺樹所得四十九度之正
切十一萬五千零三十七與後看近樹
所得三十八度之正切七萬八千一百
二十九相減餘三萬六千九百零八為
一率半徑十萬為二率二樹相距之十
八丈為三率求得四率四十八丈七尺
七寸即山之高也如圖戊己為甲丙丁
角之正切庚己為乙丙丁角之正切戊
庚即兩正切之較丙己為半徑故戊庚
與丙己之比同於甲乙與丙丁之比而
為相當比例四率也
設如一石欲知其逺不取直角於左右兩處横量五
十丈測之問兩處各距石幾何
法先平安儀器於左以定表看右儀器
之中心遊表看石得兩表相距七十度
次平安儀器於右以定表看左儀器之
中心遊表看石得兩表相距六十度乃
以兩角度相併得一百三十度與一百
八十度相減餘五十度為對所知之角
其正弦七萬六千六百零四為一率求
右邊則以左邊儀器所得七十度為對
所求之角其正弦九萬三千九百六十
九為二率左右相距五十丈為所知之
邊為三率求得四率六十一丈三尺三
寸為右邊距石之逺若求左邊距石之
逺則以右邊儀器所得六十度為對所
求之角其正弦八萬六千六百零三為
二率左右相距五十丈為所知之邊為
三率求得四率五十六丈五尺三寸為
左邊距石之逺也如圖甲為石乙丙為
左右相距五十丈乙角為左邊所測七
十度丙角為右邊所測六十度兩角相
併與一百八十度相減得甲角五十度
共為甲乙丙銳角三角形蓋知乙丙二
角及乙丙邊而求甲乙邊及甲丙邊也
又法以左邊儀器所得七十度之餘切
三萬六千三百九十七與右邊儀器所
得六十度之餘切五萬七千七百三十
五相併得九萬四千一百三十二為一
率右邊儀器所得六十度之餘割十一
萬五千四百三十為二率左右相距五
十丈為三率求得四率六十一丈三尺
三寸為右邊距石之逺若求左邉距石
之逺則以左邊儀器所得七十度之餘
割十萬六千四百一十八為二率左右
相距五十丈為三率求得四率五十六
丈五尺三寸為左邊距石之逺也如圖
甲為石乙丙為左右相距五十丈乙角
為左邊所測七十度丙角為右邊所測
六十度試自甲至乙丙線上作甲丁垂
線分為甲丁乙甲丁丙兩直角形戊己
為丙角之餘切即丁甲丙角之正切與
壬癸等己丙為丙角之餘割即丁甲丙
角之正割與甲癸等庚辛為乙角之餘
切即丁甲乙角之正切與壬子等庚乙
為乙角之餘割即丁甲乙角之正割與
甲子等而癸子即兩餘切之和甲壬癸
與甲丁丙為同式形甲壬子與甲丁乙
為同式形故甲子癸與甲乙丙亦為同
式形是以癸子與甲癸之比同於丙乙
與甲丙之比又癸子與甲子之比同於
丙乙與甲乙之比皆為相當比例四率
也
設如隔河一樹欲知其逺不能定直角爰取兩處俱
斜對樹横量十二丈測之問離樹之逺得幾何
法平安儀器於一處隨定表横量十二
丈復安一儀器(若止用一儀器則/記凖一處亦可)以先
安儀器定表看後安儀器中心遊表看
樹得兩表相距一百一十度次以後安
儀器定表看先安儀器中心遊表看樹
得兩表相距四十度乃以兩角度相併
得一百五十度與一百八十度相減餘
三十度為對所知之角其正弦五萬為
一率後安儀器所得四十度為對所求
之角其正弦六萬四千二百七十九為
二率横量十二丈為所知之邊為三率
求得四率十五丈四尺二寸七分即所
測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離
樹之逺乙丙為横量十二丈乙角為一
百一十度丙角為四十度兩角相併與
一百八十度相減得甲角三十度共為
甲乙丙鈍角三角形蓋知乙丙二角及
乙丙邊而求甲乙邊也
又法以先安儀器所得之外角七十度
之餘切三萬六千三百九十七與後安
儀器所得四十度之餘切十一萬九千
一百七十五相減餘八萬二千七百七
十八為一率先安儀器所得之外角七
十度之餘割十萬六千四百一十八為
二率横量十二丈為三率求得四率十
五丈四尺二寸七分即所測之樹之逺
也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙丙
為横量十二丈乙角為先安儀器所得
一百一十度丙角為後安儀器所得四
十度試將乙丙線引長自甲角作甲丁
垂線遂成甲丁乙直角三角形而甲乙
丁角即乙角之外角戊己為乙外角之
餘切即乙甲丁角之正切與壬癸等己
乙為乙外角之餘割即乙甲丁角之正
割與甲壬等庚辛為丙角之餘切即丙
甲丁角之正切與子癸等子壬即兩餘
切之較甲癸壬三角形與甲丁乙三角
形為同式形甲癸子三角形與甲丁丙
三角形為同式形故甲壬子三角形與
甲乙丙三角形亦為同式形是以子壬
與甲壬之比同於丙乙與甲乙之比而
為相當比例四率也
設如逺望一山欲知其高不得退步爰取左右兩處
横量一百丈先求斜距測之問山之高得幾何
法以儀器斜對山頂隨定表横量一百
丈任記一處遊表看山頂得兩表相距
八十六度五十三分又隨定表横量一
百丈所記之處復安儀器斜對山頂以
定表看原處遊表看山頂得兩表相距
七十八度零七分乃以兩角度相併得
一百六十五度與一百八十度相減餘
一十五度為對所知之角其正弦二萬
五千八百八十二為一率後測所得七
十八度零七分為對所求之角其正弦
九萬七千八百五十七為二率横量一
百丈為所知之邊為三率求得四率三
百七十八丈零九寸為先安儀器至山
頂之斜距次以儀器安於原處定凖墜
線定表看地平遊表看山頂得兩表相
距五十一度乃以山頂垂線與地平所
成直角為對所知之角其正弦即半徑
十萬為一率儀器所得五十一度為對
所求之角其正弦七萬七千七百一十
五為二率儀器至山頂之斜距三百七
十八丈零九寸為所知之邊為三率求
得四率二百九十三丈八尺三寸即所
測之山之高也如圖甲為山頂甲乙為
先安儀器至山頂之斜距乙丙為横量
一百丈甲丙為後安儀器至山頂之斜
距乙角為八十六度五十三分丙角為
七十八度零七分兩角相併與一百八
十度相減得甲角一十五度遂成甲乙
丙鋭角三角形今有乙丙二角與乙丙
邊求甲乙邊即先安儀器至山頂之斜
距又甲丁為山之高甲乙為儀器至山
頂之斜距丁角即山頂垂線與地平所
成直角乙角為五十一度復成甲丁乙
直角三角形今有乙丁二角與甲乙邊
求甲丁邊即山之高也
設如人在山坡測山之高前後不得地平爰取斜坡
前後兩處相距一百丈測之問山之高得幾何
法於山坡先安儀器定準墜線以定表
空取一地平以遊表看山頂得兩表相
距四十度於是向後就斜坡直量一百
丈復安儀器定準墜線以定表空取一
地平以遊表看山頂得兩表相距三十
五度又以遊表看前儀器中心得兩表
相距十三度乃以前儀器所得四十度
内減後儀器所得三十五度餘五度為
對所知之角其正弦八千七百一十六
為一率以前儀器所得四十度内減後
儀器看前儀器中心所得十三度餘二
十七度為對所求之外角其正弦四萬
五千三百九十九為二率退量一百丈
為所知之邊為三率求得四率五百二
十丈八尺七寸為山頂至後儀器之斜
距次以山頂垂線與地平所成直角為
對所知之角其正弦即半徑十萬為一
率後儀器所得三十五度為對所求之
角其正弦五萬七千三百五十八為二
率山頂至後儀器之斜距五百二十丈
八尺七寸為所知之邊為三率求得四
率二百九十八丈七尺六寸即所測之
山之高也如圖甲乙為山之高丙丁為
山坡斜距一百丈甲丙戊角為前儀器
所得四十度甲丁乙角為後儀器所得
三十五度丙丁乙角為後儀器看前儀
器中心所得十三度若將戊丙線引長
至己則甲己戊角與甲丁乙角為二平
行線之内外角其度必等故於甲丙戊
角四十度内減甲丁乙角三十五度餘
五度為丁甲丙角(此即前題退/步兩測之理)又試將
丁丙線引長至庚則庚丙戊角與丙丁
乙角亦為二平行線之内外角其度亦
等故於甲丙戊角四十度内減與庚丙
戊角相等之丙丁乙角十三度餘甲丙
庚角二十七度為甲丙丁鈍角之外角
故先用甲丙丁鈍角三角形求甲丁邊
為後儀器至山頂之斜距次用甲乙丁
直角三角形求甲乙邊為山之高也
設如東西二樹欲知其相距之逺測處距西樹五十
丈距東樹七十丈問二樹相距幾何
法以儀器定表看東樹遊表看西樹得
兩表相距五十度乃以距西樹五十丈
與距東樹七十丈相加得一百二十丈
為一率又以五十丈與七十丈相減餘
二十丈為二率兩表相距五十度與一
百八十度相減餘一百三十度為外角
折半得六十五度為半外角其正切二
十一萬四千四百五十一為三率求得
四率三萬五千七百四十二為半較角
之正切檢表得十九度四十分與半外
角六十五度相減餘四十五度二十分
為小角與半外角六十五度相加得八
十四度四十分為大角既得二角則以
小角四十五度二十分為對所知之角
其正弦七萬一千一百二十一為一率
兩表相距五十度為對所求之角其正
弦七萬六千六百零四為二率距西樹
之逺為所知之邊其數五十丈為三率
求得四率五十三丈八尺五寸即東西
二樹相距之逺也如圖甲為西樹乙為
東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五
十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為兩
表視線相距五十度今以丙角為心甲
丙小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙
大邊於戊將乙丙引長至圜界丁則丙
戊丙丁俱為半徑與甲丙等自丁至乙
即兩邊之和自戊至乙即兩邊之較試
自甲至戊作甲戊線則成丙甲戊三角
形其丙甲戊與丙戊甲二角併之與甲
丙丁外角度等今折半用其正切即如
用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲
丁線即丁戊甲角之正切又戊甲乙角
即甲角大於丙甲戊角之較亦即乙角
小於丙戊甲角之較故自圜界戊至甲
乙邊作己戊線與甲丁平行即戊甲乙
角之正切且乙甲丁與乙己戊為同式
形故兩邊之和乙丁與丁戊甲半外角
切線甲丁之比即同於兩邊之較乙戊
與半較角切線己戊之比為相當比例
四率也
又法以半徑十萬為一率兩表相距五
十度之正弦七萬六千六百零四為二
率距西樹之逺五十丈為三率求得四
率三十八丈三尺為西樹至看東樹視
線上之垂線又以半徑十萬為一率兩
表相距五十度之餘弦六萬四千二百
七十九為二率距西樹之逺五十丈為
三率求得四率三十二丈一尺四寸為
西樹至看東樹視線上垂線所分之小
段分邊線將此數與距東樹之逺七十
丈相減餘三十七丈八尺六寸亦為西
樹至看東樹視線上垂線所分之大段
分邊線爰以此線為勾所得垂線為股
求得弦五十三丈八尺五寸即東西二
樹相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲
為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙
為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十
丈試自甲角至乙丙視線上作甲丁垂
線遂分甲乙丙三角形為甲丁乙甲丁
丙兩直角三角形先求得甲丁垂線為
股次求得丁丙小段分邊線與乙丙相
減餘乙丁大段分邊線為勾求得甲乙
弦即二樹相距之逺也
又法以距西樹之逺五十丈為一率距
東樹之逺七十丈為二率兩表相距五
十度之餘割一十三萬零五百四十一
為三率求得四率一十八萬二千七百
五十七為西樹至看東樹視線上垂線
所分兩分角之兩正切之和内減兩表
相距五十度之餘切八萬三千九百一
十餘九萬八千八百四十七為對西樹
視線之對邊角之餘切檢表得四十五
度二十分即對西樹視線之對邊角乃
以此角度為對所知之角其正弦七萬
一千一百二十一為一率兩表相距五
十度為對所求之角其正弦七萬六千
六百零四為二率距西樹之逺為所知
之邊其數五十丈為三率求得四率五
十三丈八尺五寸即東西二樹相距之
逺也如圖甲乙丙三角形甲為西樹乙
為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹
五十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為
兩表視線相距五十度試自甲角至乙
丙視線上作甲丁垂線遂分甲乙丙三
角形為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形
以甲角為心作一戊己庚半圜則甲丁
垂線平分於己兩邊各成一象限又與
乙丙平行作一辛壬線則辛己一段為
乙甲丁分角之正切即乙角之餘切己
壬一段為丙甲丁分角之正切即丙角
之餘切而甲壬為丙甲丁分角之正割
亦即丙角之餘割甲辛壬與甲乙丙兩
三角形為同式形故甲丙邊與乙丙邊
之比同於丙角餘割甲壬(即丙甲丁分/角之正割)
與丙甲丁乙甲丁兩分角之正切相合
之辛壬之比為相當比例四率既得辛
壬兩分角之共切内減去丙甲丁分角
之正切己壬(即丙角/之餘切)所餘辛己為乙甲
丁分角之正切即為乙角之餘切檢表
即得乙角既得乙角則用兩角一邊比
例求之而得甲乙邊矣
設如南北二橋欲知其相距之逺測處距南橋九十
丈距北橋一百二十丈問二橋相距幾何
法以儀器定表看北橋遊表看南橋得
兩表相距一百二十度乃以距南橋九
十丈與距北橋一百二十丈相加得二
百一十丈為一率又以九十丈與一百
二十丈相減餘三十丈為二率兩表相
距一百二十度與一百八十度相減餘
六十度為外角折半得三十度為半外
角其正切五萬七千七百三十五為三
率求得四率八千二百四十八為半較
角之正切檢表得四度四十三分與半
外角三十度相減餘二十五度一十七
分為小角與半外角三十度相加得三
十四度四十三分為大角既得二角則
以小角二十五度十七分為對所知之
角其正弦四萬二千七百零九為一率
兩表相距一百二十度為對所求之角
其外角六十度之正弦八萬六千六百
零三為二率距南橋之逺為所知之邊
其數九十丈為三率求得四率一百八
十二丈四尺九寸為南北二橋相距之
逺也如圖甲為南橋乙為北橋丙為儀
器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為
距北橋一百二十丈丙角為兩表視線
相距一百二十度今以丙角為心甲丙
小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙大
邊於戊將乙丙引長至圜界丁則乙丁
為兩邊之和乙戊為兩邊之較試自甲
至戊作甲戊線成甲丙戊三角形其丙
甲戊與丙戊甲二角併之與甲丙丁外
角度等今折半用其正切即如用丁戊
甲角之正切故自甲至丁作甲丁線即
丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角
大於丙甲戊角之較亦即乙角小於丙
戊甲角之較故自圜界戊至甲乙邊作
己戊線與甲丁平行即戊甲乙角之正
切且乙甲丁與乙己戊為同式形故兩
邊之和乙丁與丁戊甲半外角切線甲
丁之比即同於兩邊之較乙戊與半較
角切線己戊之比為相當比例四率也
又法以半徑十萬為一率兩表相距一
百二十度之外角六十度之正弦八萬
六千六百零三為二率距南橋之逺九
十丈為三率求得四率七十七丈九尺
四寸為南橋至看北橋視線引長虚邊
線上之垂線又以半徑十萬為一率兩
表相距一百二十度之外角六十度之
餘弦五萬為二率距南橋之逺五十丈
為三率求得四率四十五丈為南橋至
看北橋視線引長所成直角之虚邊線
與距北橋一百二十丈相加得一百六
十五丈為南橋至看北橋視線引長之
總邊線爰以此線為股所得南橋至虚
邊之垂線為勾求得弦一百八十二丈
四尺八寸即南北二橋相距之逺也如
圖甲乙丙三角形甲為南橋乙為北橋
丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈
乙丙為距北橋一百二十丈試將乙丙
線引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁
丙甲丁乙兩直角三角形先求得甲丁
垂線為勾次求得丙丁虚邊線與乙丙
相加得乙丁總邊線為股求得甲乙弦
即二橋相距之逺也
又法以距南橋之逺九十丈為一率距
北橋之逺一百二十丈為二率兩表相
距一百二十度之外角六十度之餘割
一十一萬五千四百七十為三率求得
四率一十五萬三千九百六十為南橋
至看北橋視線引長虚邊線上之垂線
所成兩分角之正切之較與兩表相距
一百二十度之外角六十度之餘切五
萬七十七百三十五相加得二十一萬
一千六百九十五為對南橋視線之對
邊角之餘切檢表得二十五度十七分
即對南橋視線之對邊角乃以此角度
為對所知之角其正弦四萬二千七百
零九為一率兩表相距一百二十度為
對所求之角其外角六十度之正弦八
萬六千六百零三為二率距南橋之逺
為所知之邊其數九十丈為三率求得
四率一百八十二丈四尺九寸即南北
二橋相距之逺也如圖甲乙丙三角形
甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲
丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一
百二十丈丙角為兩表視線相距一百
二十度試將乙丙邊引長自甲角作甲
丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙兩直角三
角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙
三角形之丙角之外角其餘切戊己即
甲丁丙三(角/)形之甲角之正切如度辛
丙外角之餘割己丙即甲丁丙三角形
之甲角之正割如甲庚而甲乙丙三角
形之乙角之餘切壬癸即甲丁乙三角
形之甲角之正切如子辛若甲丁乙三
角形之乙角餘切與甲丁丙三角形之
丙角餘切相減即兩甲角相差之較如
子庚甲辛庚三角形與甲丁丙三角形
為同式形甲辛子三角形與甲丁乙三
角形為同式形故甲子庚三角形與甲
乙丙三角形亦為同式形是以甲丙邊
與乙丙邊之比同於丙外角餘割甲庚
(即己/丙)與兩餘切之較子庚之比為相當
比例四率既得子庚兩餘切之較與丙
外角之餘切庚辛(即戊/己)相加得子辛即
乙角之餘切撿表得乙角既得乙角則
用兩角一邊比例求之而得甲乙邊矣
設如隔河東西二樹欲知其相距之逺爰對一樹取
一直角左右横量十三丈測之問二樹相距幾何
法先對西樹安儀器於右定遊表於九
十度以定表看西樹隨遊表横量十三
丈乃以遊表看東樹得西樹視線距横
量邊線九十度東樹視線距横量邊線
三十八度西樹東樹兩視線相距為五
十二度次於直角横量十三丈處安儀
器於左以定表看右儀器中心遊表看
東樹得東樹視線距横量邊線一百一
十度復以遊表看西樹得西樹視線距
横量邊線四十五度乃先求右儀器距
西樹之逺以左儀器看西樹距横量邊
線之四十五度與九十度相減餘四十
五度為對所知之角其正弦七萬零七
百一十一為一率以左儀器看西樹距
横量邊線之四十五度為對所求之角
其正弦七萬零七百一十一為二率左
右横量十三丈為所知之邊為三率求
得四率十三丈為右儀器距西樹之逺
次求右儀器距東樹之逺以右儀器看
東樹距横量邊線三十八度與左儀器
看東樹距横量邊線一百一十度相併
得一百四十八度與一百八十度相減
餘三十二度為對所知之角其正弦五
萬二千九百九十二為一率以左儀器
看東樹距横量邊線一百一十度為對
所求之角其外角七十度之正弦九萬
三千九百六十九為二率左右横量十
三丈為所知之邊為三率求得四率二
十三丈零五寸為右儀器距東樹之逺
末求東西二樹相距之逺以右儀器距
西樹十三丈與右儀器距東樹二十三
丈零五寸相加得三十六丈零五寸為
一率又以十三丈與二十三丈零五寸
相減餘十丈零五寸為二率以右儀器
看西樹東樹兩表相距五十二度與一
百八十度相減餘一百二十八度為外
角折半得六十四度為半外角其正切
二十萬零五千零三十為三率求得四
率五萬七千一百五十八為半較角之
正切撿表得二十九度四十五分與半
外角六十四度相減餘三十四度十五
分為小角以半較角二十九度四十五
分與半外角六十四度相加得九十三
度四十五分為大角乃以小角三十四
度十五分為對所知之角其正弦五萬
六千二百八十為一率看西樹東樹兩
表相距之五十二度為對所求之角其
正弦七萬八千八百零一為二率右儀
器距西樹之逺十三丈為所知之邊為
三率求得四率十八丈二尺為東西二
樹相距之逺也如圖甲為西樹乙為東
樹丙為右儀器中心丁為左儀器中心
丙丁為兩測之距十三丈甲丙丁角為
直角九十度甲丙乙角為右儀器看東
樹西樹兩表相距之五十二度乙丙丁
角為右儀器看東樹視線距横量邊線
三十八度乙丁丙角為左儀器看東樹
視線距横量邊線一百一十度甲丁丙
角為左儀器看西樹距横量邊線四十
五度先以甲丁丙角四十五度與九十
度相減餘四十五度為丁甲丙角遂成
甲丙丁三角形求甲丙邊為右儀器距
西樹之逺次以乙丙丁角三十八度與
乙丁丙角一百一十度併之與一百八
十度相減餘三十二度為丙乙丁角遂
成乙丙丁三角形求乙丙邊為右儀器
距東樹之逺末以甲乙丙三角形之甲
丙乙丙二邊甲丙乙一角求乙甲丙大
角九十三度四十五分甲乙丙小角三
十四度十五分而得甲乙邊為東西二
樹相距之逺也
設如南北二峯欲知其相距之逺不取直角於左右
兩處横量一百丈測之問二峯相距幾何
法安儀器於右隨定表向左横量一百
丈乃以遊表看南峯得南峯視線距横
量邊線一百零七度復以遊表看北峯
得北峯視線距横量邊線四十六度南
峯北峯兩視線相距為六十一度次於
横量一百丈處安儀器於左以定表看
右儀器中心遊表看北峯得北峯視線
距横量邊線九十九度復以遊表看南
峯得南峯視線距横量邊線五十度北
峯南峯兩視線相距為四十九度乃先
求左儀器距北峯之逺以右儀器看北
峯距横量邊線之四十六度與左儀器
看北峯距横量邊線之九十九度相倂
得一百四十五度與一百八十度相減
餘三十五度為對所知之角其正弦五
萬七千三百五十八為一率以右儀器
看北峯距横量邊線之四十六度為對
所求之角其正弦七萬一千九百三十
四為二率横量一百丈為所知之邊為
三率求得四率一百二十五丈四尺一
寸為左儀器距北峯之逺次求左儀器
距南峯之逺以左儀器看南峯距横量
邊線之五十度與右儀器看南峯距横
量邊線之一百零七度相併得一百五
十七度與一百八十度相減餘二十三
度為對所知之角其正弦三萬九千零
七十三為一率右儀器看南峯距横量
邊線一百零七度為對所求之角其外
角七十三度之正弦九萬五千六百三
十為二率横量一百丈為所知之邊為
三率求得四率二百四十四丈七尺四
寸為左儀器距南峯之逺末求南北二
峯相距之逺以左儀器距北峯一百二
十五丈四尺一寸與左儀器距南峯二
百四十四丈七尺四寸相加得三百七
十丈一尺五寸為一率又以一百二十
五丈四尺一寸與二百四十四丈七尺
四寸相減餘一百一十九丈三尺三寸
為二率以左儀器看南峯北峯兩視線
相距四十九度與一百八十度相減餘
一百三十一度為外角折半得六十五
度三十分為半外角其正切二十一萬
九千四百三十為三率求得四率七萬
零七百四十為半較角之正切查表得
三十五度十六分與半外角六十五度
三十分相減餘三十度十四分為小角
與半外角六十五度三十分相加得一
百度四十六分為大角乃以小角三十
度十四分為對所知之角其正弦五萬
零三百五十二為一率左儀器看南峯
北峯兩視線相距之四十九度為對所
求之角其正弦七萬五千四百七十一
為二率左儀器距北峯之逺一百二十
五丈四尺一寸為所知之邊為三率求
得四率一百八十七丈九尺七寸為南
北二峯相距之逺也又法求自北峯至
左儀器距南峯視線上之垂線作勾股
法算之則以垂線所分直角為對所知
之角其正弦即半徑十萬為一率左儀
器看南峯北峯兩視線相距之四十九
度為對所求之角其正弦七萬五千四
百七十一為二率左儀器距北峯之逺
為所知之邊其數一百二十五丈四尺
一寸為三率求得四率九十四丈六尺
四寸為自北峯至左儀器距南峯視線
上之垂線次求左儀器至垂線末之分
邊線仍以垂線所分直角為對所知之
角其正弦即半徑十萬為一率以左儀
器看南峯北峯兩視線相距之四十九
度與九十度相減餘四十一度為對所
求之角其正弦六萬五千六百零六為
二率(即四十九/度之餘弦)左儀器距北峯之逺為
所知之邊其數一百二十五丈四尺一
寸為三率求得四率八十二丈二尺七
寸為自左儀器至垂線末之分邊線與
左儀器距南峯之二百四十四丈七尺
四寸相減餘一百六十二丈四尺七寸
為南峯距垂線末之分邊線乃以此數
為股所得垂線九十四丈六尺四寸為
勾求得弦一百八十八丈零二寸即南
北二峯相距之逺也如圖甲為南峯乙
為北峯丙為右儀器中心丁為左儀器
中心丙丁為兩測之距一百丈甲丙丁
角為右儀器看南峯視線距横量邊線
一百零七度乙丙丁角為右儀器看北
峯視線距横量邊線四十六度乙丁丙
角為左儀器看北峯視線距横量邊線
九十九度甲丁丙角為左儀器看南峯
視線距横量邊線五十度甲丁乙角為
左儀器看南峯北峯兩表相距之四十
九度先以乙丙丁角四十六度與乙丁
丙角九十九度併之與一百八十度相
減餘三十五度為丁乙丙角遂成乙丁
丙三角形而求乙丁邊為左儀器距北
峯之逺次以甲丁丙角五十度與甲丙
丁角一百零七度併之與一百八十度
相減餘二十三度為丁甲丙角遂成甲
丙丁三角形而求甲丁邊為左儀器距
南峯之逺末以甲乙丁三角形之甲丁
乙丁二邊甲丁乙一角求甲乙丁大角
一百度四十六分乙甲丁小角三十度
十四分而得甲乙邊為南北二峯相距
之逺也又或求得乙戊垂線又求得丁
戊為左儀器至垂線末之分邊線則以
丁戊與甲丁相減餘甲戊為股乙戊垂
線為勾而得甲乙弦為南北二峯相距
之逺也
御製數理精藴下編卷十八