御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷十七

　　面部

　　　三角形邊線角度相求

　　三角形邊線角度相求

三角形有直角者為勾股無直角者作中垂線分為

两直角形則亦成两勾股是皆有其二而得其一或

有其三而分為二㮣以邊線相求者也至於割圜之

法則凡三角形有一角即有八線皆成勾股而可比

例以相求故三角形不論角之直與銳鈍要以角度

為凖而三角之度必與两直角之度等角之大者所

對之邊亦大角之小者所對之邊亦小凡三角三邊

但知其三而其餘者悉可得若直角則惟知其二而

其餘者亦可得此三角之法所由立而測量之用所

由廣也如知两角一邊求又一邊者以對所知之角

與對所求之角為比即如所知之邊與所求之邊為

比也知两邊一角求又一角者以對所知之邊與對

所求之邊為比即如所知之角與所求之角為比也

或所知之一角在所知两邊之間而求又一角者則

角無所對之邊而邊亦無所對之角必用两邊之和

較與所知角之外角半弧之切線為比而得所求两

角與所知角之外角半弧之較既得較而角度亦得

矣又如知三邊而求三角者則以三角形求中垂線

法分為两直角形而三角自隨之而得或用三邊之

方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角

而三角亦可得矣若止有三角則三邊無所約束故

不成法葢角度為虚率而邊線為實數無實數而虚

率可馭總以比例四率展轉用之惟在分合有法相

度得宜耳

設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙

　角五十七度丙乙邊五丈求甲乙邊幾何

　　　　　法以丙角五十七度與象限九十度相

　　　　　減餘三十三度為甲角乃以甲角為對

　　　　　所知之角其正弦五萬四千四百六十

　　　　　四為一率丙角為對所求之角其正弦

　　　　　八萬三千八百六十七為二率丙乙邊

　　　　　為所知之邊其數五丈為三率求得四

　　　　　率七丈六尺九寸九分三釐有餘即甲

　　　　　乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己

　　　　　戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之

　　　　　正弦丁己弧為丙角之餘弧即甲角之

　　　　　正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之

　　　　　正弦是故丙角五十七度之餘弧為三

　　　　　十三度丙角五十七度之餘弦為三十

　　　　　三度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股

　　　　　形為同式形故甲角正弦丙庚(即辛/己)與

　　　　　丙角正弦己庚之比同於丙乙邊與甲

　　　　　乙邊之比為相當比例四率也

　　　　　又法以半徑十萬為一率丙角五十七

　　　　　度之正切一十五萬三千九百八十六

　　　　　為二率丙乙邊五丈為三率求得四率

　　　　　七丈六尺九寸九分三釐即甲乙邊也

　　　　　如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊線

　　　　　為丙角之正切則丙戊為半徑庚戊丙

　　　　　與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙戊

　　　　　半徑與庚戊正切之比同於丙乙邊與

　　　　　甲乙邊之比為相當比例四率也

設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙

　角二十三度三十五分甲乙邊三十二丈求丙乙

　邊幾何

　　　　　法以丙角二十三度三十五分與九十

　　　　　度相減餘六十六度二十五分為甲角

　　　　　乃以丙角為對所知之角其正弦四萬

　　　　　零八為一率以甲角為對所求之角其

　　　　　正弦九萬一千六百四十八為二率甲

　　　　　乙邊為所知之邊其數三十二丈為三

　　　　　率求得四率七十三丈三尺零三分有

　　　　　餘即丙乙為所求之邊也如丙丁戊一

　　　　　象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為

　　　　　丙角之正弦丁己弧為丙角之餘弧即

　　　　　甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即

　　　　　甲角之正弦故丙角二十三度三十五

　　　　　分之餘弧為六十六度二十五分丙角

　　　　　二十三度三十五分之餘弦為六十六

　　　　　度二十五分之正弦己庚丙與甲乙丙

　　　　　兩勾股形為同式形故丙角正弦己庚

　　　　　與甲角正弦丙庚之比同於甲乙邊與

　　　　　丙乙邊之比為相當比例四率也

　　　　　又法以半徑十萬為一率丙角二十三

　　　　　度三十五分之餘切線二十二萬九千

　　　　　零七十三為二率甲乙邊三十二丈為

　　　　　三率求得四率七十三丈三尺零三分

　　　　　有餘即丙乙邊也如丙丁戊一象限切

　　　　　丁己弧作丁庚線為丙角之餘切即甲

　　　　　角之正切則丁丙為半徑丙丁庚與甲

　　　　　乙丙兩勾股形為同式形故丁丙半徑

　　　　　與丁庚餘切之比同於甲乙邊與丙乙

　　　　　邊之比為相當比例四率也

設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙

　角四十三度三十七分丙乙邊二十一尺求甲丙

　邊幾何

　　　　　法以丙角四十三度三十七分與九十

　　　　　度相減餘四十六度二十三分為甲角

　　　　　乃以甲角為對所知之角其正弦七萬

　　　　　二千三百九十七為一率(甲角正弦即/丙角餘弦或)

　　　　　(直用丙角/餘弦亦可)以乙角為對所求之角其正

　　　　　弦即半徑十萬為二率丙乙邊為所知

　　　　　之邊其數二十一尺為三率求得四率

　　　　　二十九尺零六釐有餘即甲丙為所求

　　　　　之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙

　　　　　角之正弧丁己弧為丙角之餘弧即甲

　　　　　角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲

　　　　　角之正弦(與丙/庚等)己丙線為半徑即九十

　　　　　度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形

　　　　　為同式形故甲角正弦丙庚與半徑己

　　　　　丙之比同於丙乙邊與甲丙邊之比為

　　　　　相當比例四率也

　　　　　又法以半徑十萬為一率丙角四十三

　　　　　度三十七分之正割一十三萬八千一

　　　　　百二十七為二率丙乙邊二十一尺為

　　　　　三率求得四率二十九尺零六釐有餘

　　　　　即甲丙邊也如丙丁戊一象限切己戊

　　　　　弧作庚戊線為丙角之正切則丙戊為

　　　　　半徑庚丙為正割庚戊丙與甲乙丙兩

　　　　　勾股形為同式形故丙戊半徑與庚丙

　　　　　正割之比同於丙乙邊與甲丙邊之比

　　　　　為相當比例四率也

設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙

　角五十一度五十一分甲丙邊八十九丈零二寸

　二分求甲乙邊丙乙邊各幾何

　　　　　法以丙角五十一度五十一分與九十

　　　　　度相減餘三十八度零九分為甲角求

　　　　　甲乙邊則以乙角為對所知之角其正

　　　　　弦即半徑十萬為一率以丙角為對所

　　　　　求之角其正弦七萬八千六百四十為

　　　　　二率甲丙邊為所知之邊其數八十九

　　　　　丈零二寸二分為三率求得四率七十

　　　　　丈零六分有餘即甲乙為所求之邊也

　　　　　求丙乙邊亦以乙角為對所知之角其

　　　　　正弦即半徑十萬為一率而以甲角為

　　　　　對所求之角其正弦六萬一千七百七

　　　　　十二為二率甲丙邊為所知之邊其數

　　　　　八十九丈零二寸二分為三率求得四

　　　　　率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙為

　　　　　所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧

　　　　　為丙角之正弧己庚線為丙角之正弦

　　　　　丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧

　　　　　辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦

　　　　　己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形

　　　　　故半徑己丙與丙角正弦己庚之比同

　　　　　於甲丙邊與甲乙邊之比為相當比例

　　　　　四率又半徑巳丙與甲角正弦丙庚之

　　　　　比同於甲丙邊與丙乙邊之比為相當

　　　　　比例四率也

　　　　　又法求甲乙邊以丙角五十一度五十

　　　　　一分之正割一十六萬一千八百八十

　　　　　五為一率其正切一十二萬七千三百

　　　　　零六為二率甲丙邊八十九丈零二寸

　　　　　二分為三率求得四率七十丈零六分

　　　　　有餘即甲乙邊也求丙乙邊則仍以丙

　　　　　角正割一十六萬一千八百八十五為

　　　　　一率而以半徑十萬為二率仍以甲丙

　　　　　邊八十九丈零二寸二分為三率求得

　　　　　四率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙

　　　　　邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角

　　　　　之正弧庚戊線為丙角之正切庚丙線

　　　　　為丙角之正割庚戊丙與甲乙丙兩勾

　　　　　股形為同式形故丙角正割庚丙與正

　　　　　切庚戊之比同於甲丙邊與甲乙邊之

　　　　　比又丙角正割庚丙與半徑丙戊之比

　　　　　同於甲丙邊與丙乙邊之比皆為相當

　　　　　比例四率也

設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲

　乙邊二十丈丙乙邊三十四丈六尺四寸一分求

　甲角丙角各幾何

　　　　　法以甲乙邊二十丈為一率丙乙邊三

　　　　　十四丈六尺四寸一分為二率半徑十

　　　　　萬為三率求得四率一十七萬三千二

　　　　　百零五為甲角之正切撿八線表得六

　　　　　十度即甲角之度與九十度相減餘三

　　　　　十度即丙角之度也如先求丙角則以

　　　　　丙乙邊三十四丈六尺四寸一分為一

　　　　　率甲乙邊二十丈為二率半徑十萬為

　　　　　三率求得四率五萬七千七百三十五

　　　　　為丙角之正切撿八線表得三十度即

　　　　　丙角之度與九十度相減餘六十度即

　　　　　甲角之度也如圖先求甲角則如甲丁

　　　　　戊一象限己戊弧為甲角六十度之弧

　　　　　庚戊為甲角之正切甲戊為半徑甲戊

　　　　　庚與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲

　　　　　乙邊與丙乙邊之比同於甲戊半徑與

　　　　　庚戊正切之比為相當比例四率先求

　　　　　丙角則如丙丁戊一象限己丁弧為丙

　　　　　角三十度之弧辛丁為丙角之正切丙

　　　　　丁為半徑丙丁辛與丙乙甲兩勾股形

　　　　　為同式形故丙乙邊與甲乙邊之比同

　　　　　於丙丁半徑與辛丁正切之比為相當

　　　　　比例四率也

　　　　　又法以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十

　　　　　四丈六尺四寸一分相加得五十四丈

　　　　　六尺四寸一分為兩邊之和為一率又

　　　　　以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十四丈

　　　　　六尺四寸一分相減餘一十四丈六尺

　　　　　四寸一分為兩邊之較為二率以乙角

　　　　　之外角九十度折半得四十五度為半

　　　　　外角其正切十萬為三率(四十五度之/正切與半徑)

　　　　　(十萬/等)求得四率二十六萬七千九百四

　　　　　十八為半較角之正切撿八線表得十

　　　　　五度為半較角與半外角四十五度相

　　　　　減餘三十度即丙角之度如以半較角

　　　　　十五度與半外角四十五度相加得六

　　　　　十度即甲角之度也如圖甲乙丙直角

　　　　　三角形以乙直角為心甲乙小邊為半

　　　　　徑作一甲戊丁圜截丙乙大邊於戊將

　　　　　丙乙引長至圜界丁則丁乙戊乙俱為

　　　　　半徑與甲乙等自丁至丙即兩邊之和

　　　　　自戊至丙即兩邊之較甲乙丁角即乙

　　　　　角之外角試自甲至戊作一甲戊線則

　　　　　成甲乙戊直角三角形其乙甲戊與乙

　　　　　戊甲二角相併與甲乙丁外角度等今

　　　　　折半用其正切即如用甲戊乙角之正

　　　　　切又心角與邊角度等其切線亦等故

　　　　　自甲至丁作一丁甲線即甲戊丁角之

　　　　　正切又戊甲丙角即甲角大於甲戊乙

　　　　　角之較又即丙角小於甲戊乙角之較

　　　　　故於圜界戊至甲丙邊己作己戊線與

　　　　　甲丁線平行即戊甲己角之正切且丙

　　　　　丁甲三角形與丙戊己三角形為同式

　　　　　形故兩邊之和丙丁與甲戊丁半外角

　　　　　切線甲丁之比即同於兩邊之較丙戊

　　　　　與半較角切線己戊之比為相當比例

　　　　　四率也

設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲

　乙邊六十尺丙乙邊三十二尺求甲丙邊幾何

　　　　　法以甲乙邊六十尺為一率丙乙邊三

　　　　　十二尺為二率半徑十萬為三率求得

　　　　　四率五萬三千三百三十三為甲角之

　　　　　正切撿八線表得二十八度零四分即

　　　　　甲角之度(如用丙乙邊作一率甲乙/邊作二率即先得丙角度)乃

　　　　　以甲角為對所知之角其正弦四萬七

　　　　　千零五十為一率乙角為對所求之角

　　　　　其正弦即半徑十萬為二率丙乙邊為

　　　　　所知之邊其數三十二尺為三率求得

　　　　　四率六十八尺零一分二釐有餘即甲

　　　　　丙為所求之邊也又既得甲角之後用

　　　　　割線法則以半徑為一率甲角之正割

　　　　　為二率甲乙邊為三率求得四率即甲

　　　　　丙為所求之邊也或得丙角則用丙角

　　　　　之正割為二率丙乙邊為三率亦得甲

　　　　　丙邊若得丙角仍用甲乙邊為三率則

　　　　　用丙角餘割(即甲角/之正割)為二率而亦得甲

　　　　　丙邊也

　　　　　又法用勾股求弦以甲乙為股丙乙為

　　　　　勾求得弦即甲丙邊也法已載於勾股

　　　　　集中

設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲

　丙邊一百零二丈二尺丙乙邊四十八丈求甲角

　丙角各幾何

　　　　　法以甲丙邊為對所知之邊其數一百

　　　　　零二丈二尺為一率丙乙邊為對所求

　　　　　之邊其數四十八丈為二率乙角為所

　　　　　知之角其正弦即半徑十萬為三率求

　　　　　得四率四萬六千九百六十六為甲角

　　　　　之正弦撿八線表得二十八度零一分

　　　　　即甲角之度也甲角之餘弦即丙角之

　　　　　正弦如撿八線表餘弦數得六十一度

　　　　　五十九分即丙角之度也如甲丁戊一

　　　　　象限己庚爲甲角正弦辛己與甲庚等

　　　　　為甲角之餘弦即丙角之正弦甲庚己

　　　　　與甲乙丙両勾股形為同式形故甲丙

　　　　　邊與丙乙邊之比同於甲己半徑與己

　　　　　庚正弦之比為相當比例四率也

　　　　　又法以丙乙邊四十八丈為一率甲丙

　　　　　邊一百零二丈二尺為二率半徑十萬

　　　　　為三率求得四率二十一萬二千九百

　　　　　一十六為丙角之正割撿八線表得六

　　　　　十一度五十九分即丙角之度也其丙

　　　　　角之餘割即甲角之正割如撿餘割數

　　　　　得二十八度零一分即甲角之度也如

　　　　　丙丁戊一象限丙戊為半徑己戊為丙

　　　　　角之正切己丙為丙角之正割甲乙丙

　　　　　與己戊丙兩勾股形為同式形故丙乙

　　　　　邊與甲丙邊之比同與丙戊半徑與己

　　　　　丙正割之比為相當比例四率也

設如甲乙丙銳角三角形知乙丙邊三十二丈乙角

　六十度丙角四十六度求甲乙邊甲丙邊各幾何

　　　　　法以乙角六十度與丙角四十六度相

　　　　　加得一百零六度與半圜一百八十度

　　　　　相減餘七十四度為甲角求甲丙邊則

　　　　　以甲角為對所知之角其正弦九萬六

　　　　　千一百二十六為一率以乙角為對所

　　　　　求之角其正弦八萬六千六百零三為

　　　　　二率乙丙邊為所知之邊其數三十二

　　　　　丈為三率求得四率二十八丈八尺二

　　　　　寸九分有餘即甲丙為所求之一邊也

　　　　　求甲乙邊則仍以甲角為對所知之角

　　　　　其正弦九萬六千一百二十六為一率

　　　　　而以丙角為對所求之角其正弦七萬

　　　　　一千九百三十四為二率仍以乙丙邊

　　　　　為所知之邊其數三十二丈為三率求

　　　　　得四率二十三丈九尺四寸六分有餘

　　　　　即甲乙為所求之又一邊也如圖甲乙

　　　　　丙三角形作含三角形之圜則每界角

　　　　　各對一弧試自圜心丁作三角形各邊

　　　　　之垂線即将每角所對之弧平分一半

　　　　　各成兩心角其每一心角與相當各界

　　　　　角之度等(見幾何原本四/卷第十三節)是以乙角所

　　　　　對甲丙弧原係一百二十度今為丁庚

　　　　　癸垂線所平分各為六十度一為甲丁

　　　　　癸一為癸丁丙皆與乙角原度等丙角

　　　　　所對甲乙弧原係九十二度今為丁戊

　　　　　辛垂線所平分各為四十六度一為甲

　　　　　丁辛一為辛丁乙皆與丙角原度等甲

　　　　　角所對乙丙弧原係一百四十八度今

　　　　　為丁己壬垂線所平分各為七十四度

　　　　　一為乙丁壬一為壬丁丙皆與甲角原

　　　　　度等乙己為乙丁壬角之正弦己丙為

　　　　　壬丁丙角之正弦亦即甲角之正弦甲

　　　　　庚為甲丁癸角之正弦庚丙為癸丁丙

　　　　　角之正弦亦即乙角之正弦甲戊為甲

　　　　　丁辛角之正弦戊乙為辛丁乙角之正

　　　　　弦亦即丙角之正弦故求甲丙邊者以

　　　　　乙己與甲庚之比或己丙與庚丙之比

　　　　　皆同於乙丙與甲丙之比又如求甲乙

　　　　　邊者以己丙與甲戊之比或乙己與戊

　　　　　乙之比皆同於乙丙與甲乙之比俱是

　　　　　半與半全與全之比例而各為相當比

　　　　　例四率也又圖求甲丙邊者則用甲丙

　　　　　為半徑自丙角至甲乙界作丙丁垂線

　　　　　為甲角正弦又依甲丙度截丙乙於戊

　　　　　使戊乙與甲丙等(凡用正弦比例因在/圜内皆同半徑今使)

　　　　　(戊乙與甲丙相同而/後正弦之大小乃見)乃自戊至甲乙界

　　　　　又作戊己垂線為乙角正弦觀戊己小

　　　　　於丙丁則知甲丙(同戊/乙)亦小於乙丙故

　　　　　甲角正弦丙丁與乙角正弦戊己之比

　　　　　同於乙丙邊與甲丙邊之比為相當比

　　　　　例四率也又如求甲乙邊者則用甲乙

　　　　　為半徑自乙角至甲丙界作乙丁垂線

　　　　　為甲角正弦又依甲乙度截乙丙於戊

　　　　　使戊丙與甲乙等乃自戊至甲丙界又

　　　　　作戊己垂線為丙角正弦觀戊己小於

　　　　　乙丁則知甲乙(同戊/丙)亦小於乙丙故甲

　　　　　角正弦乙丁與丙角正弦戊己之比同

　　　　　於乙丙邊與甲乙邊之比為相當比例

　　　　　四率也

　　　　　又法求甲乙邊以乙角六十度之餘切

　　　　　五萬七千七百三十五與丙角四十六

　　　　　度之餘切九萬六千五百六十九相加

　　　　　得一十五萬四千三百零四為一率乙

　　　　　角之餘割一十一萬五千四百七十為

　　　　　二率乙丙邊三十二丈為三率求得四

　　　　　率二十三丈九尺四寸六分有餘即甲

　　　　　乙邊求甲丙邊則仍以兩角餘切相加

　　　　　之一十五萬四千三百零四為一率而

　　　　　以丙角餘割一十三萬九千零一十六

　　　　　為二率仍以乙丙邊三十二丈為三率

　　　　　求得四率二十八丈八尺二寸九分有

　　　　　餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一鋭

　　　　　角三角形分為甲丁乙甲丁丙兩直角

　　　　　三角形即如乙角六十度與象限九十

　　　　　度相減餘三十度為甲丁乙三角形之

　　　　　甲角又丙角四十六度與象限九十度

　　　　　相減餘四十四度為甲丁丙三角形之

　　　　　甲角乙角之餘切戊己即甲丁乙三角

　　　　　形之甲角之正切如壬癸乙角之餘割

　　　　　己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割

　　　　　如甲壬而丙角之餘切庚辛即甲丁丙

　　　　　三角形之甲角之正切如癸子丙角之

　　　　　餘割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之

　　　　　正割如甲子若乙角丙角兩餘切相加

　　　　　即兩甲角正切相加之和如壬子甲癸

　　　　　壬與甲丁乙兩三角形為同式形甲癸

　　　　　子與甲丁丙兩三角形為同式形故甲

　　　　　壬子與甲乙丙兩三角形亦為同式形

　　　　　是故求甲乙邊者以壬子與甲壬之比

　　　　　同於乙丙與甲乙之比求甲丙邊者以

　　　　　壬子與甲子之比同於乙丙與甲丙之

　　　　　比皆為相當比例四率也

設如甲乙丙鋭角三角形知甲角五十度乙角七十

　度乙丙邊九丈七尺八寸求丙角甲乙邊甲丙邊

　各幾何

　　　　　法以甲角五十度與乙角七十度相加

　　　　　得一百二十度與半圜一百八十度相

　　　　　減餘六十度為丙角求甲乙邊則以甲

　　　　　角為對所知之角其正弦七萬六千六

　　　　　百零四為一率以丙角為對所求之角

　　　　　其正弦八萬六千六百零三為二率乙

　　　　　丙邊為所知之邊其數九丈七尺八寸

　　　　　為三率求得四率一十一丈零五寸六

　　　　　分有餘即甲乙為所求之一邊也求甲

　　　　　丙邊則仍以甲角為對所知之角其正

　　　　　弦七萬六千六百零四為一率而以乙

　　　　　角為對所求之角其正弦九萬三千九

　　　　　百六十九為二率仍以乙丙邊為所知

　　　　　之邊其數九丈七尺八寸為三率求得

　　　　　四率一十一丈九尺九寸六分有餘即

　　　　　甲丙為所求之又一邊也此法所知之

　　　　　角與邊雖與前法少異然總是有兩角

　　　　　一邊得其所餘一角則仍與前法同矣

設如甲乙丙鈍角三角形知乙角二十四度丙角三

　十六度三十分乙丙邊七十九丈零一寸求甲乙

　邊甲丙邊各幾何

　　　　　法以乙角二十四度與丙角三十六度

　　　　　三十分相加得六十度三十分與半圜

　　　　　一百八十度相減餘一百一十九度三

　　　　　十分為甲鈍角求甲乙邊則以甲鈍角

　　　　　為對所知之角夫甲角既為鈍角過九

　　　　　十度乃用其外角将甲角一百一十九

　　　　　度三十分與半圜一百八十度相減餘

　　　　　六十度三十分為甲角之外角其正弦

　　　　　八萬七千零三十六為一率(凡鈍角之/外角其正)

　　　　　(弦即鈍角之正弦/解見割圜集内)丙角為對所求之角

　　　　　其正弦五萬九千四百八十二為二率

　　　　　乙丙邊為所知之邊其數七十九丈零

　　　　　一寸為三率求得四率五十三丈九尺

　　　　　九寸七分即甲乙為所求之一邊也如

　　　　　求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角

　　　　　用其外角正弦八萬七千零三十六為

　　　　　一率而以乙角為對所求之角其正弦

　　　　　四萬零六百七十四為二率仍以乙丙

　　　　　邊七十九丈零一寸為三率求得四率

　　　　　三十六丈九尺二寸三分有餘(如既得/甲乙邊)

　　　　　(而以丙角為對所知之角其正弦為一/率甲乙邊為所知之邊其數為三率所)

　　　　　(得亦/同)即甲丙為所求之又一邊也此法

　　　　　亦有兩角一邊但甲為鈍角故用外角

　　　　　正弦求法畧異試以求甲乙邊言之則

　　　　　甲乙邊為半徑於甲角之外作乙丁垂

　　　　　線則成乙甲丁之外角其乙丁垂線即

　　　　　乙甲丁外角之正弦又按甲乙邊度截

　　　　　乙丙邊於戊使戊丙與甲乙半徑等作

　　　　　戊己垂線即丙角之正弦夫戊己丙與

　　　　　乙丁丙两勾股形為同式形故乙甲丁

　　　　　外角之正弦乙丁與丙角之正弦戊己

　　　　　之比即同於乙丙邊與等甲乙邊之戊

　　　　　丙之比為相當比例四率也其求甲丙

　　　　　邊用外角正弦其理亦同

　　　　　又法求甲乙邊以乙角二十四度之餘

　　　　　切二十二萬四千六百零四與丙角三

　　　　　十六度三十分之餘切一十三萬五千

　　　　　一百四十二相加得三十五萬九千七

　　　　　百四十六為一率乙角之餘割二十四

　　　　　萬五千八百五十九為二率乙丙邊七

　　　　　十九丈零一寸為三率求得四率五十

　　　　　三丈九尺九寸七分有餘即甲乙邊求

　　　　　甲丙邊則仍以两角餘切相加之三十

　　　　　五萬九千七百四十六為一率而以丙

　　　　　角之餘割一十六萬八千一百一十七

　　　　　為二率乙丙邊七十九丈零一寸為三

　　　　　率求得四率三十六丈九尺二寸三分

　　　　　有餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一

　　　　　鈍角三角形分為甲丁乙甲丁丙两直

　　　　　角三角形其乙角之餘切戊己即甲丁

　　　　　乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角

　　　　　之餘割己乙即甲丁乙三角形之甲角

　　　　　之正割如甲壬而丙角之餘切庚辛即

　　　　　甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子

　　　　　丙角之餘割庚丙即甲丁丙三角形之

　　　　　甲角之正割如甲子乙角丙角两餘切

　　　　　相加之數即两甲角正切相加之和如

　　　　　壬子甲癸壬與甲丁乙两三角形為同

　　　　　式形甲癸子與甲丁丙两三角形為同

　　　　　式形故甲壬子與甲乙丙两三角形亦

　　　　　為同式形是以求甲乙邊者以壬子與

　　　　　甲壬之比同於乙丙與甲乙之比求甲

　　　　　丙邊者以壬子與甲子之比同於乙丙

　　　　　與甲丙之比皆為相當比例四率也

設如甲乙丙鈍角三角形知乙角三十三度三十八

　分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙邊一

　十六丈求甲角甲乙邊甲丙邊各幾何

　　　　　法以乙角三十三度三十八分四十秒

　　　　　與丙外角五十五度五十三分相減餘

　　　　　二十二度一十四分二十秒即甲角(取/甲)

　　　　　(角當以丙外角與半圜一百八十度相/減餘為丙鈍角仍以丙鈍角與乙角相)

　　　　　(加又與半圜一百八十度相減餘為甲/角今止以丙外角内減乙角即得甲角)

　　　　　(者葢因丙外角與乙甲二内角相倂之/度等又三角形三角相倂共為一百八)

　　　　　(十度與半圜等今於半圜内減去丙鈍/角所餘為丙外角而一百八十度内減)

　　　　　(丙鈍角則餘乙甲二角共度是甲乙二/角共度與丙外角之度等故於丙外角)

　　　　　(内減去乙角/即甲角也)求甲乙邊則以甲角為對

　　　　　所知之角其正弦三萬七千八百四十

　　　　　七為一率以丙外角為對所求之角其

　　　　　正弦八萬二千七百九十為二率乙丙

　　　　　邊為所知之邊其數一十六丈為三率

　　　　　求得四率三十五丈即甲乙為所求之

　　　　　一邊求甲丙邊則仍以甲角為對所知

　　　　　之角其正弦三萬七千八百四十七為

　　　　　一率而以乙角為對所求之角其正弦

　　　　　五萬五千四百零四為二率仍以乙丙

　　　　　邊為所知之邊其數一十六丈為三率

　　　　　求得四率二十三丈四尺二寸二分有

　　　　　餘(如既得甲乙邊而以丙外角為對所/知之角其正弦為一率甲乙邊為所)

　　　　　(知之邊其數為/三率所得亦同)即甲丙為所求之又一

　　　　　邊也此法亦有两角一邊與前法同但

　　　　　先有外角少異耳

　　　　　又法求甲乙邊以乙角三十三度三十

　　　　　八分四十秒之餘切一十五萬零二百

　　　　　五十九與丙外角五十五度五十三分

　　　　　之餘切六萬七千七百四十八相減餘

　　　　　八萬二千五百一十一為一率乙角之

　　　　　餘割一十八萬零四百九十三為二率

　　　　　乙丙邊一十六丈為三率求得四率三

　　　　　十五丈即甲乙邊求甲丙邊則仍以兩

　　　　　角餘切相減之八萬二千五百一十一

　　　　　為一率而以丙外角之餘割一十二萬

　　　　　零七百八十八為二率仍以乙丙邊一

　　　　　十六丈為三率求得四率二十三丈四

　　　　　尺二寸二分有餘即甲丙邊也此法葢

　　　　　以乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂

　　　　　成甲丁乙甲丁丙兩直角三角形甲丁

　　　　　丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之

　　　　　丙角之外角其餘切戊己即甲丁丙三

　　　　　角形之甲角之正切如壬癸丙外角之

　　　　　餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之

　　　　　正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之

　　　　　餘切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之

　　　　　正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之

　　　　　餘割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之

　　　　　正割如甲子甲丁丙三角形之丙角餘

　　　　　切與甲丁乙三角形之乙角餘切相減

　　　　　之數即兩甲角之正切相減之較如子

　　　　　壬甲癸壬三角形與甲丁丙三角形為

　　　　　同式形甲癸子三角形與甲丁乙三角

　　　　　形為同式形故甲子壬三角形與甲乙

　　　　　丙三角形亦為同式形是以子壬與甲

　　　　　子之比同於乙丙與甲乙之比又子壬

　　　　　與甲壬之比同於乙丙與甲丙之比皆

　　　　　為相當比例四率也

設如甲乙丙鋭角三角形知甲角六十度甲乙邊四

　十丈甲丙邊二十六丈一尺零八分求乙角丙角

　及乙丙邊各幾何

　　　　　法以甲乙邊四十丈與甲丙邊二十六

　　　　　丈一尺零八分相加得六十六丈一尺

　　　　　零八分為兩邊之和為一率又以甲乙

　　　　　邊四十丈與甲丙邊二十六丈一尺零

　　　　　八分相減餘一十三丈八尺九寸二分

　　　　　為兩邊之較為二率以甲角六十度與

　　　　　半圜一百八十度相減餘一百二十度

　　　　　為外角折半得六十度為半外角其正

　　　　　切一十七萬三千二百零五為三率求

　　　　　得四率三萬六千三百九十七為半較

　　　　　角之正切撿八線表得二十度為半較

　　　　　角與半外角六十度相減餘四十度即

　　　　　乙角之度如以半較角二十度與半外

　　　　　角六十度相加得八十度即丙角之度

　　　　　也既得乙丙兩角即以丙角為對所知

　　　　　之角其正弦九萬八千四百八十一為

　　　　　一率以甲角為對所求之角其正弦八

　　　　　萬六千六百零三為二率甲乙邊為所

　　　　　知之邊其數四十丈為三率求得四率

　　　　　三十五丈一尺七寸五分有餘即乙丙

　　　　　為所求之邊也如圖甲乙丙鋭角三角

　　　　　形以甲角為心甲丙小邊為半徑作一

　　　　　丙丁戊圜截甲乙大邊於戊將甲乙引

　　　　　長至圜界丁則甲丁甲戊俱為半徑與

　　　　　甲丙等自丁至乙即兩邊之和自戊至

　　　　　乙即兩邊之較丁甲丙角即甲角之外

　　　　　角試自丙至戊作一丙戊線則成甲丙

　　　　　戊三角形其甲丙戊與甲戊丙二角併

　　　　　之與丁甲丙外角度等今折半用其正

　　　　　切即如用丁戊丙角之正切又心角與

　　　　　邊角度等其切線亦等故自丙至丁作

　　　　　一丙丁線即丁戊丙角之正切又戊丙

　　　　　乙角即丙角大於甲戊丙角之較亦即

　　　　　乙角小於甲戊丙角之較故自圜界戊

　　　　　至乙丙邊己作己戊線與丙丁平行即

　　　　　戊丙己角之正切且乙丁丙三角形與

　　　　　乙戊己三角形為同式形故兩邊之和

　　　　　丁乙與丁戊丙半外角切線丁丙之比

　　　　　即同於兩邊之較戊乙與半較角切線

　　　　　戊己之比為相當比例四率也

　　　　　又法自丙角作丙丁垂線分為丙丁甲

　　　　　丙丁乙兩直角形算之先用丙丁甲直

　　　　　角形求丙丁垂線及甲丁分邊以丁角

　　　　　為對所知之角其正弦即半徑十萬為

　　　　　一率以甲角為對所求之角其正弦八

　　　　　萬六千六百零三為二率甲丙邊為所

　　　　　知之邊其數二十六丈一尺零八分為

　　　　　三率求得四率二十二丈六尺一寸有

　　　　　餘為丙丁垂線又以丁角為對所知之

　　　　　角其正弦即半徑十萬為一率以甲角

　　　　　六十度與九十度相減餘三十度即甲

　　　　　丙丁角(即丙之/分角)為對所求之角其正弦

　　　　　五萬為二率(直用甲角/餘弦亦可)甲丙邊為所知

　　　　　之邊其數二十六丈一尺零八分為三

　　　　　率求得四率十三丈零五寸四分為甲

　　　　　丁分邊既得甲丁分邊乃與甲乙邊四

　　　　　十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分

　　　　　為丁乙分邊於是用丙丁乙直角形求

　　　　　乙角及乙丙邊以丁乙二十六丈九尺

　　　　　四寸六分為一率丙丁二十二丈六尺

　　　　　一寸有餘為二率半徑十萬為三率求

　　　　　得四率八萬三千九百零八為乙角正

　　　　　切撿八線表得四十度為乙角以乙角

　　　　　四十度與甲角六十度相加得一百度

　　　　　與一百八十度相減餘八十度為丙角

　　　　　既得乙丙两角則用两角一邊求又一

　　　　　邊之法算之即得乙丙邊矣或先求乙

　　　　　丙邊則以丁乙二十六丈九尺四寸六

　　　　　分為勾丙丁二十二丈六尺一寸為股

　　　　　求得弦三十五丈一尺七寸五分有餘

　　　　　即乙丙邊也

　　　　　又法先求甲丁分邊比例而得乙角以

　　　　　半徑十萬為一率(即丁直角/之正弦)以甲角六

　　　　　十度之餘弦五萬為二率(即丙分角/之正弦)以

　　　　　甲丙邊二十六丈一尺零八分為三率

　　　　　求得四率十三丈零五寸四分為甲丁

　　　　　分邊乃以甲丁分邊十三丈零五寸四

　　　　　分為一率以甲丁分邊與甲乙全邊四

　　　　　十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分

　　　　　為丁乙分邊為二率甲角六十度之餘

　　　　　切五萬七千七百三十五為三率求得

　　　　　四率一十一萬九千一百七十六為乙

　　　　　角餘切撿表得四十度即乙角也如甲

　　　　　角之戊庚一象限其庚己為甲角之餘

　　　　　切而庚己甲與甲丁丙為同式形又如

　　　　　乙角之辛癸一象限其壬癸為乙角之

　　　　　餘切而壬癸乙與乙丁丙為同式形故

　　　　　甲丁與丁乙之比同於庚己與壬癸之

　　　　　比也

　　　　　又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以

　　　　　甲丙邊二十六丈一尺零八分為一率

　　　　　甲乙邊四十丈為二率甲角六十度餘

　　　　　割一十一萬五千四百七十為三率求

　　　　　得四率一十七萬六千九百一十一為

　　　　　甲角餘切與乙角餘切之共數即甲丙

　　　　　丁與乙丙丁两分角之共切又将甲角

　　　　　六十度與象限九十度相減餘三十度

　　　　　即甲丙丁之分角撿其正切五萬七千

　　　　　七百三十五與两分角之共切一十七

　　　　　萬六千九百一十一相減餘一十一萬

　　　　　九千一百七十六為丁丙乙分角之正

　　　　　切即乙角之餘切撿表得四十度即乙

　　　　　角之度也以乙角四十度與甲角六十

　　　　　度相加得一百度又與半圜一百八十

　　　　　度相減餘八十度即丙角之度也如甲

　　　　　乙丙鋭角三角形作丙丁垂線分為甲

　　　　　丁丙與乙丁丙两直角形以丙角為心

　　　　　作一戊己庚半圜則丙丁垂線平分於

　　　　　己两邊各成一象限試與甲乙邊平行

　　　　　作一辛壬線則辛己一段為甲丙丁分

　　　　　角之正切即甲角之餘切己壬一段為

　　　　　乙丙丁分角之正切又即乙角之餘切

　　　　　而辛丙為甲丙丁分角之正割亦即甲

　　　　　角之餘割辛壬丙與甲乙丙两三角形

　　　　　為同式形故甲丙邊與甲乙邊之比即

　　　　　同於甲角餘割辛丙(即甲丙丁分/角之正割)與甲

　　　　　丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛

　　　　　壬之比為相當比例四率也既得辛壬

　　　　　两分角之共切内減去甲丙丁分角三

　　　　　十度之正切辛己所餘己壬為乙丙丁

　　　　　分角之正切即為乙角之餘切撿表即

　　　　　得乙角也

設如甲乙丙鈍角三角形知甲角一百一十九度三

　十四分甲乙邊五十四尺甲丙邊三十六尺九寸

　求乙角丙角及乙丙邊各幾何

　　　　　法以甲乙邊五十四尺與甲丙邊三十

　　　　　六尺九寸相加得九十尺九寸為两邊

　　　　　之和為一率又以甲乙邊與甲丙邊相

　　　　　減餘一十七尺一寸為两邊之較為二

　　　　　率以甲角一百一十九度三十四分與

　　　　　半圜一百八十度相減餘六十度二十

　　　　　六分為外角折半得三十度一十三分

　　　　　為半外角其正切五萬八千二百四十

　　　　　為三率求得四率一萬零九百五十六

　　　　　為半較角之正切撿八線表得六度一

　　　　　十五分為半較角與半外角三十度一

　　　　　十三分相減餘二十三度五十八分即

　　　　　乙角之度如以半較角六度一十五分

　　　　　與半外角三十度一十三分相加得三

　　　　　十六度二十八分即丙角之度也既得

　　　　　乙丙二角求乙丙邊則以丙角為對所

　　　　　知之角其正弦五萬九千四百三十五

　　　　　為一率甲外角為對所求之角(甲角為/鈍角故)

　　　　　(用外/角)其正弦八萬六千九百七十八為

　　　　　二率甲乙邊為所知之邊其數五十四

　　　　　尺為三率求得四率七十九尺零二分

　　　　　四釐有餘即乙丙邊也如圖甲乙丙鈍

　　　　　角三角形以甲角為心甲丙為半徑作

　　　　　一丙丁戊圜其乙丁為两邊之和乙戊

　　　　　為两邊之較丙丁為半外角之正切己

　　　　　戊為半較角之正切乙丁丙三角形與

　　　　　乙戊己三角形為同式形故以两邊之

　　　　　和乙丁與丁戊丙半外角切線丙丁之

　　　　　比即同於两邊之較乙戊與半較角切

　　　　　線己戊之比為相當比例四率也

　　　　　又法自丙角作丙丁垂線於形外成丙

　　　　　丁乙與丙丁甲两直角形先用丙丁乙

　　　　　直角形求丙丁垂線及甲丁虚邊以丁

　　　　　直角為對所知之角其正弦即半徑十

　　　　　萬為一率以甲角一百一十九度三十

　　　　　四分與半圜一百八十度相減餘六十

　　　　　度二十六分即甲外角為對所求之角

　　　　　其正弦八萬六千九百七十八為二率

　　　　　甲丙邊為所知之邊其數三十六尺九

　　　　　寸為三率求得四率三十二尺零九分

　　　　　五釐為丙丁垂線又以丁直角為對所

　　　　　知之角其正弦即半徑十萬為一率又

　　　　　以甲外角六十度二十六分與九十度

　　　　　相減餘二十九度三十四分為甲丙丁

　　　　　角(即丙外/分角)為對所求之角其正弦四萬

　　　　　九千三百四十四為二率(如直用甲外/角之餘弦為)

　　　　　(二率/亦可)甲丙邊為所知之邊其數三十六

　　　　　尺九寸為三率求得四率十八尺二寸

　　　　　零八釐為甲丁虚邊與甲乙邊五十四

　　　　　尺相加得七十二尺二寸零八釐為乙

　　　　　丁全邊又以乙丁全邊七十二尺二寸

　　　　　零八釐為一率丙丁垂線三十二尺零

　　　　　九分五釐為二率半徑十萬為三率求

　　　　　得四率四萬四千四百四十八為乙角

　　　　　正切撿八線表得二十三度五十八分

　　　　　為乙角之度與甲外角六十度二十六

　　　　　分相減餘三十六度二十八分即丙角

　　　　　之度(甲外角與乙丙二内角等/故減去乙角餘即丙角)既得乙

　　　　　丙二角則用两角一邊求又一邊之法

　　　　　算之即得乙丙邊或先求乙丙邊則以

　　　　　乙丁全邊七十二尺二寸零八釐為股

　　　　　丙丁垂線三十二尺零九分五釐為勾

　　　　　求得弦七十九尺零二分即乙丙邊也

　　　　　又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以

　　　　　甲丙邊三十六尺九寸為一率甲乙邊

　　　　　五十四尺為二率以甲外角六十度二

　　　　　十六分之餘割一十一萬四千九百七

　　　　　十一為三率求得四率一十六萬八千

　　　　　二百五十為甲外角餘切與乙角餘切

　　　　　之較數乃以甲外角六十度二十六分

　　　　　之餘切五萬六千七百三十一與两餘

　　　　　切之較相加得二十二萬四千九百八

　　　　　十一為乙角餘切撿表得二十三度五

　　　　　十八分即乙角之度與甲角一百一十

　　　　　九度三十四分相加得一百四十三度

　　　　　三十二分與半圜一百八十度相減餘

　　　　　三十六度二十八分即丙角之度也如

　　　　　甲乙丙鈍角形将甲乙邊引長自丙角

　　　　　作丙丁垂線遂成丙丁甲丙丁乙两直

　　　　　角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲

　　　　　乙丙三角形之甲角之外角其餘切戊

　　　　　己即丙丁甲三角形之丙角之正切如

　　　　　庚辛甲外角之餘割甲己即丙丁甲三

　　　　　角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙

　　　　　三角形之乙角之餘切壬癸即丙丁乙

　　　　　三角形之丙角之正切如子辛若丙丁

　　　　　乙三角形之乙角餘切與丙丁甲三角

　　　　　形之甲角餘切相減即两丙角相差之

　　　　　較如子庚丙辛庚三角形與丙丁甲三

　　　　　角形為同式形丙辛子三角形與丙丁

　　　　　乙三角形為同式形故丙庚子三角形

　　　　　與丙甲乙三角形亦為同式形是以甲

　　　　　丙邊與甲乙邊之比同於甲外角餘割

　　　　　庚丙(即甲/己)與两餘切之較子庚之比為

　　　　　相當比例四率也既得子庚两餘切之

　　　　　較與甲外角之餘切庚辛(即戊/己)相加得

　　　　　子辛即乙角之餘切撿表得乙角度既

　　　　　得乙角則以乙角與甲角相併與半圜

　　　　　相減餘即丙角矣

設如甲乙丙鋭角三角形知乙角六十度甲乙邊八

　十丈甲丙邊七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙

　丙邊各幾何

　　　　　法以甲丙邊為對所知之邊其數七十

　　　　　丈三尺四寸為一率甲乙邊為對所求

　　　　　之邊其數八十丈為二率乙角為所知

　　　　　之角其正弦八萬六千六百零三為三

　　　　　率求得四率九萬八千四百九十六為

　　　　　丙角正弦撿表得八十度零三分即丙

　　　　　角度也既得丙角度則以乙角六十度

　　　　　與丙角八十度零三分相加得一百四

　　　　　十度零三分與一百八十度相減餘三

　　　　　十九度五十七分即甲角度也既得甲

　　　　　角求乙丙邊則以乙角為對所知之角

　　　　　其正弦八萬六千六百零三為一率甲

　　　　　角為對所求之角其正弦六萬四千二

　　　　　百一十二為二率甲丙邊為所知之邊

　　　　　其數七十丈三尺四寸為三率求得四

　　　　　率五十二丈一尺五寸三分有餘即乙

　　　　　丙為所求之邊也

　　　　　又法用餘割求丙角以甲乙邊八十丈

　　　　　為一率甲丙邊七十丈三尺四寸為二

　　　　　率乙角六十度之餘割十一萬五千四

　　　　　百七十為三率求得四率十萬一千五

　　　　　百二十六為丙角餘割撿表得八十度

　　　　　零三分即丙角度也如甲乙丙鋭角三

　　　　　角形作甲丁垂線分為甲丁乙甲丁丙

　　　　　两直角三角形其乙角之餘割戊乙即

　　　　　甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚

　　　　　丙角之餘割己丙即甲丁丙三角形之

　　　　　甲角之正割如甲辛甲庚辛與甲乙丙

　　　　　两三角形為同式形故甲乙邊與甲丙

　　　　　邊之比同於乙角餘割甲庚(即戊/乙)與丙

　　　　　角餘割甲辛(即己/丙)之比為相當比例四

　　　　　率也

設如甲乙丙鈍角三角形知丙角一百一十度甲乙

　邊二十二丈五尺五寸甲丙邊十二丈求甲角乙

　角及乙丙邊各幾何

　　　　　法以甲乙邊為對所知之邊其數二十

　　　　　二丈五尺五寸為一率甲丙邊為對所

　　　　　求之邊其數十二丈為二率丙角為所

　　　　　知之角其外角七十度之正弦九萬三

　　　　　千九百六十九為三率求得四率五萬

　　　　　為乙角正弦撿表得三十度即乙角度

　　　　　也既得乙角度則以乙角三十度與丙

　　　　　角一百一十度相加得一百四十度與

　　　　　一百八十度相減餘四十度即甲角度

　　　　　也既得甲角求乙丙邊則以乙角為對

　　　　　所知之角其正弦五萬為一率甲角為

　　　　　對所求之角其正弦六萬四千二百七

　　　　　十九為二率甲丙邊為所知之邊其數

　　　　　十二丈為三率求得四率十五丈四尺

　　　　　二寸七分即乙丙為所求之邊也

　　　　　又法用餘割求乙角以甲丙邊十二丈

　　　　　為一率甲乙邊二十二丈五尺五寸為

　　　　　二率丙外角七十度之餘割十萬六千

　　　　　四百一十八為三率求得四率一十九

　　　　　萬九千九百七十七為乙角之餘割撿

　　　　　表得三十度即乙角度也如甲乙丙鈍

　　　　　角三角形将乙丙邊引長自甲角作甲

　　　　　丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙两直角三

　　　　　角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙

　　　　　三角形之丙角之外角其餘割己丙即

　　　　　甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛

　　　　　甲丁乙三角形之乙角之餘割戊乙即

　　　　　甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚

　　　　　甲庚辛與甲乙丙两三角形為同式形

　　　　　故甲丙邊與甲乙邊之比同於丙外角

　　　　　餘割甲辛(即己/丙)與乙角餘割甲庚(即戊/乙)

　　　　　之比為相當比例四率也

設如甲乙丙鋭角三角形知甲乙邊一百二十二尺

　甲丙邊一百一十二尺乙丙邊一百五十尺求甲

　乙丙三角各幾何

　　　　　法求丙角以甲丙邊一百一十二尺與

　　　　　乙丙邊一百五十尺相乗得一萬六千

　　　　　八百尺倍之得三萬三千六百尺為一

　　　　　率以甲丙邊一百一十二尺自乘得一

　　　　　萬二千五百四十四尺乙丙邊一百五

　　　　　十尺自乘得二萬二千五百尺以两邊

　　　　　各自乘數相加得三萬五千零四十四

　　　　　尺又以甲乙邊一百二十二尺自乘得

　　　　　一萬四千八百八十四尺與两邊各自

　　　　　乘相加數三萬五千零四十四尺相減

　　　　　餘二萬零一尺六十尺為二率半徑十

　　　　　萬為三率求得四率六萬為甲分角之

　　　　　正弦即丙角之餘弦撿表得五十三度

　　　　　零八分即丙角之度也求乙角則以甲

　　　　　乙邊與乙丙邊相乘得數倍之為一率

　　　　　以甲乙邊乙丙邊各自乘相加内減去

　　　　　甲丙邊自乘之數餘為二率半徑十萬

　　　　　為三率求得四率為甲分角之正弦即

　　　　　乙角之餘弦撿表即得乙角之度也或

　　　　　既得丙角用两邊一角比例之法即得

　　　　　甲乙二角矣此法葢以三邊之面積互

　　　　　相加減使面與面比而得線與線之比

　　　　　也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙邊

　　　　　作一甲丁垂線分為甲丁丙甲丁乙两

　　　　　勾股形又作三邊之各正方復作两邊

　　　　　相乘之長方其甲丙戊己為甲丙邊自

　　　　　乘之一正方庚辛乙甲為甲乙邊自乘

　　　　　之一正方乙壬癸丙為乙丙邊自乘之

　　　　　一正方丙癸丑子為甲丙邊與乙丙邊

　　　　　相乘之一長方倍之為丙癸卯寅一大

　　　　　長方今於甲丙戊己與乙壬癸丙两正

　　　　　方相併數内減庚辛乙甲一正方則是

　　　　　減去辰己午甲一正方即如甲丙戊己

　　　　　之一正方又減去庚辛乙午己辰一磬

　　　　　折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊

　　　　　己之正方所多之較其積與乙壬申未

　　　　　一長方等(甲丁丙甲丁乙两勾股形同/用一甲丁股是以甲丙弦方)

　　　　　(内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙/弦方内有甲丁一股方乙丁一勾方因)

　　　　　(两三角形同用一股故其两弦較與两/弦和相乘之數两勾較與两勾和相乗)

　　　　　(之數必然相等午乙即两弦之較辰己/與辛乙相併即两弦之和庚辛乙午己)

　　　　　(辰磬折形即两弦較與两弦和相乗之/積而乙未為两勾之較乙丙為两勾之)

　　　　　(和乙壬申未即两勾較與两勾/和相乗之積所以知其相等也)所餘為

　　　　　未申癸丙一長方試以甲丁垂線引長

　　　　　則平分未申癸丙一長方為未申酉丁

　　　　　與丁酉癸丙二長方此二長方與丙癸

　　　　　丑子子丑夘寅二長方同用一邊為二

　　　　　平行線内所有二方面互相為比同於

　　　　　其底互相為比之例故丙癸夘寅之長

　　　　　方與未申癸丙之長方之比即同於丙

　　　　　寅邊與未丙邊之比也又比例之理全

　　　　　與全半與半之比例相同故丙癸夘寅

　　　　　之長方(為甲丙邊與乙丙邊/相乗又加一倍之積)與未申癸

　　　　　丙之長方(即甲丙邊乙丙邊两正方相/併内減甲乙邊一正方所餘)

　　　　　(之/積)相比同於丙子邊(與甲丙/邊同)與丁丙邊

　　　　　之比也又甲丙邊即如甲丁垂線所分

　　　　　丁直角之正弦而甲丁垂線所分之丁

　　　　　丙邊即如甲分角之正弦是以甲丙邊

　　　　　與乙丙邊相乘加倍之丙癸夘寅長方

　　　　　積為一率甲丙邊乙丙邊两正方相併

　　　　　積内減甲乙邊一正方所餘未申癸丙

　　　　　長方積為二率對丁直角之正弦半徑

　　　　　十萬為三率求得四率為甲分角之正

　　　　　弦即丙角之餘弦也

　　　　　又求分邊得角法以乙丙邊為底其數

　　　　　一百五十尺為一率甲乙邊大腰一百

　　　　　二十二尺與甲丙邊小腰一百一十二

　　　　　尺相加得二百三十四尺為二率两邊

　　　　　相減餘一十尺為三率求得四率一十

　　　　　五尺六寸為分邊之較與乙丙邊一百

　　　　　五十尺相減餘一百三十四尺四寸折

　　　　　半得六十七尺二寸為丁丙分邊之數

　　　　　乃以甲丙邊為對所知之邊其數一百

　　　　　一十二尺為一率丁丙分邊為對所求

　　　　　之邊其數六十七尺二寸為二率丁角

　　　　　為所知之角其正弦半徑十萬為三率

　　　　　求得四率六萬為甲丁丙三角形之甲

　　　　　角正弦又即丙角之餘弦撿表得五十

　　　　　三度零八分為丙角之度既得丙角則

　　　　　用两邊一角比例之法遂得甲乙二角

　　　　　矣如圖以甲角為心甲丙小邊為半徑

　　　　　作一戊丙己庚圜截甲乙邊於庚截丙

　　　　　乙邊於戊将甲乙引長至圜界己則甲

　　　　　己與甲丙等自己至乙即两邊之和自

　　　　　庚至乙即两邊之較乙戊即乙丁丁丙

　　　　　两分邊之較是故分邊之和乙丙與两

　　　　　邊之和己乙之比即同於两邊之較庚

　　　　　乙與分邊之較乙戊之比為轉比例四

　　　　　率也

　　　　　又法以甲乙邊一百二十二尺乙丙邊

　　　　　一百五十尺甲丙邊一百一十二尺三

　　　　　數相加得三百八十四尺為三邊之總

　　　　　折半得一百九十二尺為半總以甲乙

　　　　　邊一百二十二尺與半總一百九十二

　　　　　尺相減餘七十尺為甲乙邊與半總之

　　　　　較以乙丙邊一百五十尺與半總一百

　　　　　九十二尺相減餘四十二尺為乙丙邊

　　　　　與半總之較以甲丙邊一百一十二尺

　　　　　與半總一百九十二尺相減餘八十尺

　　　　　為甲丙邊與半總之較乃以半總一百

　　　　　九十二尺為一率甲丙邊與半總之較

　　　　　八十尺為二率甲乙邊與半總之較七

　　　　　十尺與乙丙邊與半總之較四十二尺

　　　　　相乗得二千九百四十尺為三率求得

　　　　　四率一千二百二十五尺開方得三十

　　　　　五尺為三角形自中心至三邊之垂線

　　　　　先求丙角則用甲乙邊與半總之較七

　　　　　十尺為一率三角形自中心至三邊之

　　　　　垂線三十五尺為二率半徑十萬為三

　　　　　率求得四率五萬為丙半角之正切撿

　　　　　表得二十六度三十四分倍之得五十

　　　　　三度零八分即丙角之度也如先求乙

　　　　　角則用甲丙邊與半總之較八十尺為

　　　　　一率先求甲角則用乙丙邊與半總之

　　　　　較四十二尺為一率俱用三角形自中

　　　　　心至三邊之垂線三十五尺為二率半

　　　　　徑十萬為三率即各得各半角之正切

　　　　　焉此法葢一率二率以線與線為比三

　　　　　率四率以面與面為比也如甲乙丙三

　　　　　角形自中心丁至三邊各作一垂線又

　　　　　自中心丁至三角各作一分角線即成

　　　　　六直角三角形俱两两相等(丁己丙與/丁庚丙等)

　　　　　(丁己乙與丁戊乙等/丁戊甲與丁庚甲等)又按甲戊度引乙

　　　　　丙線至辛則乙辛為三邊之半總即三

　　　　　較之和(乙己與乙戊等即甲丙邊與半/總之較己丙與丙庚等即甲乙)

　　　　　(邊與半總之較丙辛與甲戊甲/庚等即乙丙邊與半總之較)試自辛

　　　　　作直角將乙丁線引長作一乙辛壬直

　　　　　角形則壬辛與丁己平行乙辛壬形與

　　　　　乙己丁形遂為同式形其乙辛與乙己

　　　　　之比即同於壬辛與丁己之比然乙辛

　　　　　一率乙己二率之數雖有而壬辛之數

　　　　　却無又但知己丙與丙辛相乘之數即

　　　　　丁己與壬辛相乘之數故以己丙與丙

　　　　　辛相乘之數為三率(何以知己丙與丙/辛相乘之數即丁)

　　　　　(己與壬辛相乘之數試作壬丙線壬癸/線使丙癸與丙辛等癸角辛角皆為直)

　　　　　(角癸丙辛角與辛壬癸角相合共成一/百八十度然庚丙己角為癸丙辛角之)

　　　　　(外角相合亦共成一百八十度是庚丙/己角與辛壬癸角等庚丁己角與癸丙)

　　　　　(辛角等是以壬癸丙辛形與丙庚丁己/形為同式形而丙辛壬勾股形與丁巳)

　　　　　(丙勾股形亦為同式形可互相比例矣/以丁己作一率己丙作二率丙辛作三)

　　　　　(率即得四率壬辛是以己丙二率與丙/辛三率相乘之數即與丁己一率壬辛)

　　　　　(四率相乘之數等故直以己/丙丙辛相乘之數作三率也)其所得四

　　　　　率即丁己自乘之數是故乙辛與乙己

　　　　　之比同於丁己與壬辛相乘之面(即己/丙與)

　　　　　(丙辛相/乗之面)與丁己自乘之面之比也既得

　　　　　丁己自乘之面故開方而得丁己為三

　　　　　角形自中心至三邊之垂線與丁戊與

　　　　　丁庚俱相等又即三角形容圜之半徑

　　　　　也

製數理蘊下編卷十七