御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷三十五

　　末部五

　　　借根方比例(面類/)

　　面類

設如大小兩正方面積共二百一十八尺其大方面

　積比小方面積多一百二十尺問大小方面積各

　幾何

　　　　　法借一根為小方面毎邊之數自乘得

　　　　　一平方為小方面積則大方面積為一

　　　　　平方多一百二十尺兩數相加得二平

　　　　　方多一百二十尺與共積二百一十八

　　　　　尺相等一百二十尺與二百一十八尺

　　　　　各減去一百二十尺餘二平方與九十

　　　　　八尺相等二平方旣與九十八尺相等

　　　　　則一平方必與四十九尺相等卽小方

　　　　　面積加一百二十尺得一百六十九尺

　　　　　卽大方面積也(此卽減法因面類之/首故設此最易者焉)

設如甲乙二長方面積共三百尺甲長八尺乙長二

　丈四尺其甲闊比乙闊為二倍問二長方闊數積

　數各幾何

　　　　　法借一根為乙之闊數則甲之闊為二

　　　　　根以一根與一丈四尺相乘得十四根

　　　　　為乙之面積以二根與八尺相乘得十

　　　　　六根為甲之面積相加得三十根與三

　　　　　百尺相等三十根旣與三百尺相等則

　　　　　一根必與十尺相等卽乙之闊數與長

　　　　　一丈四尺相乘得一百四十尺為乙之

　　　　　面積於共積三百尺内減之餘一百六

　　　　　十尺為甲之面積或倍乙之闊十尺得

　　　　　二十尺為甲之闊與長八尺相乘亦得

　　　　　一百六十尺為甲之面積也(此歸/除法)

設如有甲乙丙三長方甲方闊十尺不知長乙方闊

　十六尺長與甲等丙方闊四尺面積與甲之長相

　等又甲乙二方之共面積與丙方之長數相併為

　三千一百五十尺問三方各長若干

　　　　　法借一根為甲方之長數以闊十尺乘

　　　　　之得十根為甲方之面積乙方之長與

　　　　　甲等亦為一根以闊十六尺乘之得十

　　　　　六根為乙方之面積丙方之面積與甲

　　　　　之長相等亦為一根以闊四尺除之得

　　　　　四分根之一為丙方之長數以甲方之

　　　　　面積十根乙方之面積十六根丙方之

　　　　　長數四分根之一相併共得二十六根

　　　　　又四分根之一與三千一百五十尺相

　　　　　等二十六根又四分根之一旣與三千

　　　　　一百五十尺相等則一根必與一百二

　　　　　十尺相等卽甲方之長數亦卽乙方之

　　　　　長數亦卽丙方之面積以甲方闊十尺

　　　　　與長一百二十尺相乘得一千二百尺

　　　　　卽甲方之面積以乙方闊十六尺與長

　　　　　一百二十尺相乘得一千九百二十尺

　　　　　卽乙方之面積以丙方闊四尺除面積

　　　　　一百二十尺得三十尺卽丙方之長數

　　　　　也(此歸/除法)

設如有長方形其長闊和五百零四丈面積為闊自

　乘之七倍問長闊各幾何

　　　　　法借一根為闊數則長數為五百零四

　　　　　丈少一根以一根與五百零四丈少一

　　　　　根相乘得五百零四根少一平方為長

　　　　　方面積又以一根自乘得一平方七因

　　　　　之得七平方亦為長方面積而與五百

　　　　　零四根少一平方相等兩邊各加一平

　　　　　方得八平方與五百零四根相等八平

　　　　　方與五百零四根各降一位則為八根

　　　　　與五百零四丈相等八根旣與五百零

　　　　　四丈相等則一根必與六十三丈相等

　　　　　卽長方之闊數與五百零四丈相減餘

　　　　　四百四十一丈卽長數也以闊六十三

　　　　　丈自乘得三千九百六十九丈以闊六

　　　　　十三丈與長四百四十一丈相乘得二

　　　　　萬七千七百八十三丈為闊自乘之七

　　　　　倍也(此比/例法)

設如有樓一座不知髙數正方池一面不知邊數但

　云以六丈與樓之髙數相乘與池之邊數等以一

　百零八丈與樓之髙數相乘與池之面積等問樓

　髙及池邊數各幾何

　　　　　法借一根為樓之髙數以一根與六丈

　　　　　相乘得六根為池之邊數自乘得三十

　　　　　六平方為池之面積又以一根與一百

　　　　　零八丈相乘得一百零八根亦為池之

　　　　　面積是為三十六平方與一百零八根

　　　　　相等三十六平方與一百零八根各降

　　　　　一位則為三十六根與一百零八丈相

　　　　　等三十六根旣與一百零八丈相等則

　　　　　一根必與三丈相等卽樓之髙數以六

　　　　　丈乘之得一十八丈為池之邊數自乘

　　　　　得三百二十四丈為池之面積又以一

　　　　　百零八丈與樓髙三丈相乘亦得三百

　　　　　二十四丈與池之面積相等也(此面積/相除法)

設如甲乙二人有銀不言兩數但知其銀之比例同

　於八與五若以二人銀相併則與二人銀相乘之

　數等問二人銀各若干

　　　　　法借八根為甲銀數五根為乙銀數相

　　　　　乘得四十平方又以八根與五根相加

　　　　　得一十三根是為四十平方與十三根

　　　　　相等四十平方與十三根各降一位則

　　　　　為四十根與十三兩相等四十根旣與

　　　　　十三兩相等則八根必與二兩六錢相

　　　　　等卽甲銀數五根必與一兩六錢二分

　　　　　五釐相等卽乙銀數兩數相加得四兩

　　　　　二錢二分五釐若以兩數相乘亦得四

　　　　　兩二錢二分五釐也(此比/例法)

設如有大小二正方池小池毎邊為大池毎邊之三

　分之一二池共邊數為二池共面積之五十分之

　一問二池邊數面積各幾何

　　　　　法借一根為小池毎邊之數則大池毎

　　　　　池之數為三根兩邊數相加得四根又

　　　　　以一根自乘得一平方為小池面積以

　　　　　三根自乘得九平方為大池面積兩面

　　　　　積相加得十平方為二池共邊之五十

　　　　　倍乃以共邊四根以五十乘之得二百

　　　　　根是為十平方與二百根相等十平方

　　　　　與二百根各降一位則為十根與二百

　　　　　丈相等十根旣與二百丈相等則一根

　　　　　必與二十丈相等卽小池毎邊之數三

　　　　　因之得六十丈卽大池毎邊之數也兩

　　　　　邊數相加得八十丈又以小池毎邊二

　　　　　十丈自乘得四百丈為小池面積以大

　　　　　池毎邊六十丈自乘得三千六百丈為

　　　　　大池面積兩面積相加得四千丈為共

　　　　　邊之五十倍也(此二正方邊線/面積比例法)

設如有甲乙丙三正方乙方毎邊為甲方毎邊之四

　分之一丙方毎邊為甲方毎邊之八分之一而乙

　丙兩方之共面積為甲方毎邊之十倍問三方邊

　數面積各幾何

　　　　　法借八根為甲方毎邊之數則乙方毎

　　　　　邊之數為二根丙方毎邊之數為一根

　　　　　以二根自乘得四平方為乙方面積以

　　　　　一根自乘得一平方為丙方面積兩面

　　　　　積相加得五平方為甲方毎邊之十倍

　　　　　乃以甲方毎邊八根十因之得八十根

　　　　　是為五平方與八十根相等五平方與

　　　　　八十根各降一位則為五根與八十尺

　　　　　相等五根旣與八十尺相等則一根必

　　　　　與十六尺相等卽丙方毎邊之數倍之

　　　　　得三十二尺卽乙方毎邊之數八因之

　　　　　得一百二十八尺卽甲方毎邊之數也

　　　　　以乙方每邊三十二尺自乘得一千零

　　　　　二十四尺為乙方面積以丙方毎邊十

　　　　　六尺自乘得二百五十六尺為丙方面

　　　　　積兩面積相加得一千二百八十尺為

　　　　　甲方毎邊之十倍也(此三正方邊線/面積比例法)

設如有甲乙二正方甲方為乙方毎邊之三倍以甲

　方邊四分之一與乙方面積相乘則與甲方面積

　等問二方邊數面積各幾何

　　　　　法借十二根為甲方毎邊之數則乙方

　　　　　毎邊之數為四根以十二根自乘得一

　　　　　百四十四平方為甲方面積以四根自

　　　　　乘得一十六平方為乙方面積取甲方

　　　　　邊四分之一三根與乙方面積一十六

　　　　　平方相乘得四十八立方是為四十八

　　　　　立方與一百四十四平方相等四十八

　　　　　立方與一百四十四平方各降二位則

　　　　　為四十八根與一百四十四尺相等四

　　　　　十八根旣與一百四十四尺相等則十

　　　　　二根必與三十六尺相等卽甲方毎邊

　　　　　之數三歸之得十二尺卽乙方毎邊之

　　　　　數也以三十六尺自乘得一千二百九

　　　　　十六尺卽甲方之面積以十二尺自乘

　　　　　得一百四十四尺卽乙方之面積以甲

　　　　　方毎邊四分之一九尺與乙方面積相

　　　　　乘得一千二百九十六尺與甲方面積

　　　　　相等也(此二正方邊線/面積比例法)

設如有大小二正方大方邊與小方邊之比例同於

　五與三大方面積比小方面積多二千三百零四

　丈問大小二方邊各幾何

　　　　　法借三根為小方毎邊之數則大方毎

　　　　　邊之數為五根以三根自乘得九平方

　　　　　為小方之面積以五根自乘得二十五

　　　　　平方為大方之面積二面積相減餘一

　　　　　十六平方與二千三百零四丈相等一

　　　　　十六平方旣與二千三百零四丈相等

　　　　　則一平方必與一百四十四丈相等開

　　　　　平方得一十二丈為一根之數三因之

　　　　　得三十六丈卽小方毎邊之數五因之

　　　　　得六十丈卽大方毎邊之數以三十六

　　　　　丈自乘得一千二百九十六丈為小方

　　　　　面積以六十丈自乘得三千六百丈為

　　　　　大方面積兩面積相減餘二千三百零

　　　　　四丈以合原數也(此二正方比/例開平方法)

設如有甲乙二正方甲方毎邊為乙方毎邊之三倍

　又有丙一長方其長與甲方之毎邊等其闊與乙

　方之毎邊等三方面積共二萬零八百丈問三方

　邊數面積各若干

　　　　　法借一根為乙方毎邊之數則甲方毎

　　　　　邊之數為三根以一根自乘得一平方

　　　　　為乙方之面積以三根自乘得九平方

　　　　　為甲方之面積以一根與三根相乘得

　　　　　三平方為丙方之面積三面積相加得

　　　　　一十三平方與二萬零八百丈相等十

　　　　　三平方旣與二萬零八百丈相等則一

　　　　　平方必與一千六百丈相等卽乙方之

　　　　　面積開平方得四十丈為一根之數卽

　　　　　乙方毎邊之數三因之得一百二十丈

　　　　　卽甲方毎邊之數以一百二十丈自乘

　　　　　得一萬四千四百丈卽甲方之面積以

　　　　　四十丈與一百二十丈相乘得四千八

　　　　　百丈卽丙方之面積三面積相併共得

　　　　　二萬零八百丈以合原數也(此二正方/比例開平)

　　　　　(方/法)

設如有兵二萬九千四百八十四名欲排作三軍俱

　為正方第二軍每邊比第一軍每邊為三倍第三

　軍每邊比第二軍每邊亦為三倍問三軍兵數各

　若干

　　　　　法借一根為第一軍每邊之數則第二

　　　　　軍每邊之數為三根第三軍毎邊之數

　　　　　為九根以一根自乘得一平方為第一

　　　　　軍之總數以三根自乘得九平方為第

　　　　　二軍之總數以九根自乘得八十一平

　　　　　方為第三軍之總數三總數相加得九

　　　　　十一平方與二萬九千四百八十四相

　　　　　等九十一平方旣與二萬九千四百八

　　　　　十四相等則一平方必與三百二十四

　　　　　相等卽第一軍之總數開平方得十八

　　　　　為一根之數卽第一軍每邊之數也以

　　　　　第一軍毎邊之數用三乘之得五十四

　　　　　卽第二軍毎邊之數以第一軍之總數

　　　　　用九乘之得二千九百一十六卽第二

　　　　　軍之總數又以第一軍毎邊之數用九

　　　　　乘之得一百六十二卽第三軍每邊之

　　　　　數以第一軍之總數用八十一乘之得

　　　　　二萬六千二百四十四卽第三軍之總

　　　　　數三總數相加共二萬九千四百八十

　　　　　四以合原數也(此三正方比/例開平方法)

設如一正方一長方俱不知其邊數但知長方之面

　積為八萬一千尺其長為正方邊之十五分之二

　其闊為正方邊之二十五分之三問二方邊各若

　干

　　　　　法借一根為正方每邊之數則長方之

　　　　　長為十五分根之二長方之闊為二十

　　　　　五分根之三以正方邊一根自乘得一

　　　　　平方為正方之面積以長方之長闊相

　　　　　乘得三百七十五分平方之六(以兩分/母十五)

　　　　　(與二十五相乘得三百七十五以兩分/子二與三相乘得六故為三百七十五)

　　　　　(之/六)為長方面積是為三百七十五分平

　　　　　方之六與八萬一千尺相等乃以六分

　　　　　為一率八萬一千尺為二率三百七十

　　　　　五分為三率求得四率五百零六萬二

　　　　　千五百尺與一平方相等(葢三百七十/五分平方之)

　　　　　(六者將一平方分為三百七十五分而/得其六分也六分旣為八萬一千尺則)

　　　　　(三百七十五分必為五百/零六萬二千五百尺也)開平方得二

　　　　　千二百五十尺為一根之數卽正方每

　　　　　邊之數其十五分之二為三百尺卽長

　　　　　方之長其二十五分之三為二百七十

　　　　　尺卽長方之闊相乘得八萬一千尺以

　　　　　合原數也(此帶分比例/開平方法)

設如有大小二正方大方比小方毎邊多六尺面積

　多一千七百一十六尺問二方邊數面積各幾何

　　　　　法借一根為小方每邊之數則大方每

　　　　　邊之數為一根多六尺以一根自乘得

　　　　　一平方為小方之面積以一根多六尺

　　　　　自乘得一平方多十二根多三十六尺

　　　　　為大方之面積大方旣比小方面積多

　　　　　一千七百一十六尺則以小方之面積

　　　　　一平方加一千七百一十六尺與大方

　　　　　之面積一平方多十二根多三十六尺

　　　　　相等兩邊各減去一平方又各減三十

　　　　　六尺得十二根與一千六百八十尺相

　　　　　等十二根旣與一千六百八十尺相等

　　　　　則一根必與一百四十尺相等卽小方

　　　　　毎邊之數加六尺得一百四十六尺卽

　　　　　大方每邊之數以一百四十尺自乘得

　　　　　一萬九千六百尺卽小方之面積以一

　　　　　百四十六尺自乘得二萬一千三百一

　　　　　十六尺卽大方之面積兩面積相減餘

　　　　　一千七百一十六尺以合原數也(此二/正方)

　　　　　(有邊較積/較求邊法)

設如有大小二正方大方比小方每邊多二十四尺

　面積共七千二百五十尺問二方邊數面積各幾

　何

　　　　　法借一根為小方毎邊之數則大方毎

　　　　　邊之數為一根多二十四尺以一根自

　　　　　乘得一平方為小方之面積以一根多

　　　　　二十四尺自乘得一平方多四十八根

　　　　　又多五百七十六尺為大方之面積兩

　　　　　面積相加得二平方多四十八根又多

　　　　　五百七十六尺與七千二百五十尺相

　　　　　等兩邊各減五百七十六尺得二平方

　　　　　多四十八根與六千六百七十四尺相

　　　　　等二平方多四十八根旣與六千六百

　　　　　七十四尺相等則一平方多二十四根

　　　　　必與三千三百三十七尺相等乃以三

　　　　　千三百三十七尺為長方積以二十四

　　　　　根作二十四尺為長闊較用帶縱較數

　　　　　開平方法算之得闊四十七尺為一根

　　　　　之數卽小方每邊之數加二十四尺得

　　　　　七十一尺卽大方每邊之數以四十七

　　　　　尺自乘得二千二百零九尺卽小方之

　　　　　面積以七十一尺自乘得五千零四十

　　　　　一尺卽大方之面積兩面積相加共七

　　　　　千二百五十尺以合原數也(此二正方/有邊較積)

　　　　　(和求/邊法)

設如有大小二正方邊數共三十六尺面積共六百

　六十六尺問二方邊數面積各幾何

　　　　　法借一根為小方毎邊之數則大方每

　　　　　邊之數為三十六尺少一根以一根自

　　　　　乘得一平方為小方之面積以三十六

　　　　　尺少一根自乘得一千二百九十六尺

　　　　　少七十二根多一平方為大方之面積

　　　　　兩面積相加得一千二百九十六尺少

　　　　　七十二根多二平方與六百六十六尺

　　　　　相等兩邊各加七十二根得一千二百

　　　　　九十六尺多二平方與六百六十六尺

　　　　　多七十二根相等兩邊各減六百六十

　　　　　六尺得六百三十尺多二平方與七十

　　　　　二根相等六百三十尺多二平方旣與

　　　　　七十二根相等則三百一十五尺多一

　　　　　平方必與三十六根相等乃以三百一

　　　　　十五尺為長方積以三十六根作三十

　　　　　六尺為長闊和用帶縱和數開平方法

　　　　　算之得闊一十五尺為一根之數卽小

　　　　　方每邊之數與共邊三十六尺相減餘

　　　　　二十一尺卽大方毎邊之數以小方每

　　　　　邊一十五尺自乘得二百二十五尺卽

　　　　　小方之面積以大方每邊二十一尺自

　　　　　乘得四百四十一尺卽大方之面積兩

　　　　　面積相加共六百六十六尺以合原數

　　　　　也(此二正方有邊/和積和求邊法)

設如有大小二正方邊數共一百一十尺大方比小

　方面積為五倍少四尺問二方邊數面積各幾何

　　　　　法借一根為小方毎邊之數則大方毎

　　　　　邊之數為一百一十尺少一根以一根

　　　　　自乘得一平方為小方之面積以一百

　　　　　一十尺少一根自乘得一萬二千一百

　　　　　尺少二百二十根多一平方為大方之

　　　　　面積大方旣比小方面積為五倍少四

　　　　　尺則將小方加五倍將大方加四尺是

　　　　　為五平方與一萬二千一百零四尺少

　　　　　二百二十根多一平方相等兩邊各減

　　　　　一平方得四平方與一萬二千一百零

　　　　　四尺少二百二十根相等四平方旣與

　　　　　一萬二千一百零四尺少二百二十根

　　　　　相等則一平方必與三千零二十六尺

　　　　　少五十五根相等乃以三千零二十六

　　　　　尺為長方積以五十五根作五十五尺

　　　　　為長闊較用帶縱較數開平方法算之

　　　　　得闊三十四尺為一根之數卽小方每

　　　　　邊之數與共邊一百一十尺相減餘七

　　　　　十六尺卽大方毎邊之數以三十四尺

　　　　　自乘得一千一百五十六尺卽小方之

　　　　　面積以七十六尺自乘得五千七百七

　　　　　十六尺卽大方之面積再加四尺得五

　　　　　千七百八十尺為小方面積一千一百

　　　　　五十六尺之五倍也(此亦二正方有邊/和積較法但積較)

　　　　　(有倍/分耳)

設如有一長方又有大小二正方三面積共四百四

　十一丈大正方邊與長方之長等小正方邊與長

　方之闊等但知小正方邊為九丈問大正方邊若

　干

　　　　　法借一根為大方毎邊之數自乘得一

　　　　　平方為大方之面積以九丈自乘得八

　　　　　十一丈為小方之面積以九丈與一根

　　　　　相乘得九根為長方之面積三面積相

　　　　　加得一平方多九根又多八十一丈與

　　　　　四百四十一丈相等兩邊各減八十一

　　　　　丈得一平方多九根與三百六十丈相

　　　　　等乃以三百六十丈為長方積以九根

　　　　　作九丈為長闊較用帶縱較數開平方

　　　　　法算之得闊十五丈為一根之數卽大

　　　　　方毎邊之數以十五丈自乘得二百二

　　　　　十五丈卽大方之面積以十五丈與九

　　　　　丈相乘得一百三十五丈卽長方之面

　　　　　積三面積相併共得四百四十一丈以

　　　　　合原數也(此帶縱較數/開平方法)

設如有一長方又有大小二正方三面積共四百五

　十七丈長方之長與大正方邊等長方之闊與小

　正方邊等長闊共二十四丈問長闊各幾何

　　　　　法借一根為長方之闊則長方之長為

　　　　　二十四丈少一根以一根自乘得一平

　　　　　方為小正方之面積以二十四丈少一

　　　　　根自乘得五百七十六丈少四十八根

　　　　　多一平方為大正方之面積以一根與

　　　　　二十四丈少一根相乘得二十四根少

　　　　　一平方為長方之面積三面積相加得

　　　　　一平方多五百七十六丈少二十四根

　　　　　與四百五十七丈相等兩邊各加二十

　　　　　四根得一平方多五百七十六丈與二

　　　　　十四根多四百五十七丈相等兩邊各

　　　　　減四百五十七丈得一平方多一百一

　　　　　十九丈與二十四根相等乃以一百一

　　　　　十九丈為長方積以二十四根作二十

　　　　　四丈為長闊和用帶縱和數開平方法

　　　　　算之得闊七丈為一根之數卽長方之

　　　　　闊與二十四丈相減餘一十七丈卽長

　　　　　方之長以七丈自乘得四十九丈卽小

　　　　　正方之面積以一十七丈自乘得二百

　　　　　八十九丈卽大正方之面積以七丈與

　　　　　一十七丈相乘得一百一十九丈卽長

　　　　　方之面積三面積相併共得四百五十

　　　　　七丈以合原數也(此帶縱和數/開平方法)

設如有一長方其面積八萬三千二百三十二丈又

　有一正方其毎邊與長方之闊等若以正方面積

　自乘則與兩方之共面積等問二方邊數各若干

　　　　　法借一根為正方之面積自乘得一平

　　　　　方為正方面積自乘之數又以一根與

　　　　　八萬三千二百三十二丈相加得一根

　　　　　多八萬三千二百三十二丈與一平方

　　　　　相等乃以八萬三千二百三十二丈為

　　　　　長方積以一根作一丈為長闊較用帶

　　　　　縱較數開平方法算之得長二百八十

　　　　　九丈為一根之數卽正方之面積亦卽

　　　　　長方之長開平方得一十七丈卽正方

　　　　　之邊亦卽長方之闊以正方面積二百

　　　　　八十九丈與長方面積八萬三千二百

　　　　　三十二丈相併共得八萬三千五百二

　　　　　十一丈又以正方面積二百八十九丈

　　　　　自乘亦得八萬三千五百二十一丈是

　　　　　與兩方之共面積相等也(此帶縱較數/開平方法)

設如有銀買駝馬共六十一匹駝毎匹之價與共駝

　數等馬毎匹之價與共馬數等今賣馬一匹之價

　與共駝數等賣駝一匹之價為共馬數之二倍共

　得利銀七百一十九兩問駝數馬數及毎匹價各

　若干

　　　　　法借一根為共馬數則六十一匹少一

　　　　　根為共駝數以共馬數一根自乘得一

　　　　　平方為買馬之共價以共駝數六十一

　　　　　匹少一根自乘得三千七百二十一兩

　　　　　少一百二十二根多一平方為買駝之

　　　　　共價兩共價相加得三千七百二十一

　　　　　兩少一百二十二根多二平方為買駝

　　　　　馬之總銀數又以共馬數一根與共駝

　　　　　數六十一匹少一根相乘得六十一根

　　　　　少一平方為賣馬之共銀數以共駝數

　　　　　六十一匹少一根與二倍共馬數二根

　　　　　相乘得一百二十二根少二平方為賣

　　　　　駝之共銀數兩共銀數相加得一百八

　　　　　十三根少三平方為賣駝馬之總銀數

　　　　　内減買駝馬總銀數三千七百二十一

　　　　　兩少一百二十二根多一平方餘三百

　　　　　零五根少五平方又少三千七百二十

　　　　　一兩與利銀七百一十九兩相等兩邊

　　　　　各加三千七百二十一兩得三百零五

　　　　　根少五平方與四千四百四十兩相等

　　　　　三百零五根少五平方旣與四千四百

　　　　　四十兩相等則六十一根少一平方必

　　　　　與八百八十八兩相等乃以八百八十

　　　　　八兩為長方積以六十一根作六十一

　　　　　為長闊和用帶縱和數開平方法算之

　　　　　得闊二十四為一根之數卽共馬數亦

　　　　　卽馬毎匹之價為二十四兩也以二十

　　　　　四匹與六十一匹相減餘三十七匹卽

　　　　　共駝數亦卽駝毎匹之價為三十七兩

　　　　　也以二十四匹與二十四兩相乘得五

　　　　　百七十六兩為買馬之共銀數以三十

　　　　　七匹與三十七兩相乘得一千三百六

　　　　　十九兩為買駝之共銀數相加得一千

　　　　　九百四十五兩卽買駝馬之總銀數以

　　　　　二十四匹與三十七兩相乘得八百八

　　　　　十八兩為賣馬之共銀數以三十七匹

　　　　　與四十八兩相乘得一千七百七十六

　　　　　兩為賣駝之共銀數相加得二千六百

　　　　　六十四兩卽賣駝馬之總銀數比買駝

　　　　　馬之總銀數多七百一十九兩為利銀

　　　　　數也(此帶縱和數/開平方法)

設如有木匠瓦匠共三十名又有匠頭不知名數但

　知毎匠頭一人得銀三十六兩其木匠一人之銀

　數與瓦匠之人數等瓦匠一人之銀數與木匠之

　人數等而匠頭之人數與木匠瓦匠相差之數等

　匠頭之共銀數與木匠之共銀數等問匠頭與木

　匠瓦匠之人數及毎人所得之銀數各幾何

　　　　　法借一根為木匠之人數則瓦匠之人

　　　　　數為三十少一根以一根與三十少一

　　　　　根相乘得三十根少一平方為木匠之

　　　　　共銀數亦為瓦匠之共銀數又以木匠

　　　　　之人數一根與瓦匠之人數三十少一

　　　　　根相減得三十少二根為匠頭之人數

　　　　　與毎人三十六兩相乘得一千零八十

　　　　　兩少七十二根為匠頭之總銀數與木

　　　　　匠之共銀數三十根少一平方相等兩

　　　　　邊各加七十二根得一百零二根少一

　　　　　平方與一千零八十兩相等乃以一千

　　　　　零八十兩為長方積以一百零二根作

　　　　　一百零二為長闊和用帶縱和數開平

　　　　　方法算之得闊一十二為一根之數卽

　　　　　木匠之人數以一十二人與三十人相

　　　　　減餘一十八人卽瓦匠之人數以十二

　　　　　與十八相乘得二百一十六兩卽木匠

　　　　　之共銀數亦卽瓦匠之共銀數以十二

　　　　　與十八相減餘六卽匠頭之人數與三

　　　　　十六兩相乘亦得二十一十六兩卽匠

　　　　　頭之共銀數與木匠之共銀數等也(此/帶)

　　　　　(縱和數開/平方法)

設如有馬騾䭾物不言馬騾共數亦不言馬騾各數

　但知馬比騾多十匹馬共䭾一萬二千斤騾亦共

　䭾一萬二千斤而騾一匹所䭾之數比馬一匹所

　䭾之數多四十斤問馬騾數及所䭾數各若干

　　　　　法借一根為騾數則馬數為一根多十

　　　　　匹以一根除一萬二千斤得一根之一

　　　　　萬二千斤為騾一匹所䭾之數以一根

　　　　　多十匹除一萬二千斤得一根多十匹

　　　　　之一萬二千斤為馬一匹所䭾之數因

　　　　　兩分母不同乃用互乘法以齊其分將

　　　　　馬分母一根多十匹與騾分子一萬二

　　　　　千斤相乘得一萬二千根多一十二萬

　　　　　斤以騾分母一根與馬分子一萬二千

　　　　　斤相乘得一萬二千根以互乘所得兩

　　　　　分子相減餘一十二萬斤為騾比馬多

　　　　　䭾之數又以馬分母一根多十匹與騾

　　　　　分母一根相乘得一平方多十根又以

　　　　　四十斤乘之得四十平方多四百根亦

　　　　　為騾比馬多䭾之數是為四十平方多

　　　　　四百根與一十二萬斤相等四十平方

　　　　　多四百根旣與一十二萬斤相等則一

　　　　　平方多十根必與三千斤相等乃以三

　　　　　千為長方積以十根作一十為長闊較

　　　　　用帶縱較數開平方法算之得闊五十

　　　　　為一根之數卽騾數加十匹得六十匹

　　　　　卽馬數以五十匹除一萬二千斤得二

　　　　　百四十斤卽騾一匹所䭾之數以六十

　　　　　匹除一萬二千斤得二百斤卽馬一匹

　　　　　所䭾之數也(此帶縱較數/開平方法)

設如有數一十萬欲分為大小兩分與全分為相連

　比例三率問大小兩分各幾何

　　　　　法借一根為大分則小分為十萬少一

　　　　　根是全分十萬為首率而一根為中率

　　　　　十萬少一根為末率矣乃以首率十萬

　　　　　與末率十萬少一根相乘得一百億少

　　　　　十萬根而與中率一根自乘之一平方

　　　　　相等乃以一百億為長方積十萬根作

　　　　　十萬為長闊數用帶縱較數開平方法

　　　　　算之得闊六萬一千八百零三為一根

　　　　　之數卽大分與全分十萬相減餘三萬

　　　　　八千一百九十七卽小分也葢十萬與

　　　　　六萬一千八百零三之比卽同於六萬

　　　　　一千八百零三與三萬八千一百九十

　　　　　七之比而為相連比例之三率也(此即/求圜)

　　　　　(内容十/邊法)

設如有股二十尺勾弦較十尺問勾弦各幾何

　　　　　法借一根為勾數則一根多一十尺為

　　　　　弦數以一根自乘得一平方為勾自乘

　　　　　之數以一根多一十尺自乘得一平方

　　　　　多二十根又多一百尺為弦自乘之數

　　　　　兩自乘之數相減得二十根多一百尺

　　　　　為股自乘之數而與股二十尺自乘之

　　　　　四百尺為相等兩邊各減一百尺得二

　　　　　十根與三百尺相等二十根旣與三百

　　　　　尺相等則一根必與一十五尺相等卽

　　　　　勾數加勾弦較十尺得二十五尺卽弦

　　　　　數也如圗甲乙為弦甲丙為勾(乙丁/同)丙

　　　　　乙為勾弦較甲丁為勾弦和甲己戊乙

　　　　　為弦自乘方庚己壬辛為勾自乘方甲

　　　　　乙戊壬辛庚磬折形為股自乘數與甲

　　　　　庚勾弦較(甲庚與/丙乙等)乘甲丁勾弦和之甲

　　　　　庚癸丁長方積等借一根為勾數者卽

　　　　　庚己或庚辛也(庚己庚辛皆/與甲丙等)一根多十

　　　　　尺為弦數者卽庚己加庚甲也一根自

　　　　　乘得一平方為勾自乘方者卽庚己壬

　　　　　辛之正方也一根多十尺自乘得一平

　　　　　方多二十根多一百尺為弦自乘方者

　　　　　卽庚己壬辛一平方多甲庚辛丙及辛

　　　　　壬戊子之二十根(甲庚較十尺乘甲丙/一根得十根為甲庚)

　　　　　(辛丙長方辛子較十尺乘子戊一根得/十根為辛壬戊子長方是共為二十根)

　　　　　又多丙辛子乙之一百尺共為甲己戊

　　　　　乙之正方也於甲己戊乙弦自乘方内

　　　　　減去庚己壬辛勾自乘之一平方餘二

　　　　　十根多一百尺卽甲乙戊壬辛庚之磬

　　　　　折形亦卽甲庚癸丁之長方形而與股

　　　　　自乘之四百尺相等也又甲庚癸丁長

　　　　　方内減去丙辛子乙一百尺餘甲庚辛

　　　　　丙及乙子癸丁卽二十根之數為三百

　　　　　尺也二十根之數為三百尺則一根之

　　　　　數必為十五尺也(此勾股弦和/較相求法)

設如有股二十四尺勾弦和三十二尺問勾弦各幾

　何

　　　　　法借一根為勾數則三十二尺少一根

　　　　　為弦數以一根自乘得一平方為勾自

　　　　　乘之數以三十二尺少一根自乘得一

　　　　　千零二十四尺少六十四根多一平方

　　　　　為弦自乘之數兩自乘之數相減得一

　　　　　千零二十四尺少六十四根為股自乘

　　　　　之數而與股二十四尺自乘之五百七

　　　　　十六尺為相等兩邊各加六十四根得

　　　　　一千零二十四尺與五百七十六尺多

　　　　　六十四根相等兩邊各減五百七十六

　　　　　尺得四百四十八尺與六十四根相等

　　　　　四百四十八尺旣與六十四根相等則

　　　　　七尺必與一根相等卽勾數以勾七尺

　　　　　與勾弦和三十二尺相減餘二十五尺

　　　　　卽弦數也(此勾股弦和/較相求法)

設如有弦五尺勾股和七尺問勾股各幾何

　　　　　法借一根為股數則七尺少一根為勾

　　　　　數以一根自乘得一平方為股自乘之

　　　　　數以七尺少一根自乘得四十九尺少

　　　　　一十四根多一平方為勾自乘之數兩

　　　　　自乘數相加得四十九尺少一十四根

　　　　　多二平方為弦自乘之數而與弦五尺

　　　　　自乘之二十五尺為相等兩邊各加一

　　　　　十四根得四十九尺多二平方與二十

　　　　　五尺多一十四根相等兩邊各減四十

　　　　　九尺得二平方與一十四根少二十四

　　　　　尺相等二平方旣與十四根少二十四

　　　　　尺相等則一平方必與七根少十二尺

　　　　　相等乃以十二尺為長方積七根作七

　　　　　尺為長闊和用帶縱和數開平方法算

　　　　　之得長四尺為一根之數卽股數以股

　　　　　四尺與勾股和七尺相減餘三尺卽勾

　　　　　數也如圗甲乙丙勾股形甲乙股四尺

　　　　　乙丙勾三尺甲丙弦五尺甲丁勾股和

　　　　　七尺甲丁戊己為勾股和自乘方辛丙

　　　　　庚己為股自乘方乙丁壬丙為勾自乘

　　　　　方借一根為股數者卽甲乙也(壬戊己/庚皆與)

　　　　　(甲乙等為/一根數)一根自乘得一平方為股自

　　　　　乘方者卽辛丙庚己也七尺少一根自

　　　　　乘得四十九尺少十四根多一平方為

　　　　　勾自乘方者卽甲丁戊己勾股和自乘

　　　　　方内減去甲乙庚己之七根及辛壬戊

　　　　　己之七根共為十四根(甲乙一根乘甲/己和七尺得七)

　　　　　(根為甲乙庚己長方辛己一根乘己戊/和得七根為辛壬戊己長方共十四根)

　　　　　又加辛丙庚己一平方始得乙丁壬丙

　　　　　勾自乘方也(於甲丁戊己勾股和自乘/方内減去甲乙丙壬戊己)

　　　　　(磬折形餘乙丁壬丙為勾自乘數今減/去十四根乃減去甲乙庚己一長方又)

　　　　　(減去辛壬戊己一長方是比磬折形多/減去辛丙庚己一平方故必加一平方)

　　　　　(以補多減之數始為乙/丁壬丙勾自乘方也)辛丙庚己股自

　　　　　乘數乙丁壬丙勾自乘數相加與弦自

　　　　　乘之數相等兩邊各加各減得一平方

　　　　　與七根少十二尺相等者卽辛丙庚己

　　　　　一平方與甲乙庚己七根數相較而少

　　　　　甲乙丙辛之長方十二尺也今不知七

　　　　　根之數又不知一平方之數但知一平

　　　　　方與七根相較之甲乙丙辛長方為十

　　　　　二尺故卽以十二尺為長方積以甲己

　　　　　為長闊和用帶縱和數開平方法算之

　　　　　得甲乙長而為股數也(此勾股弦和/較相求法)

設如有勾弦和五十尺股弦和八十一尺問勾股弦

　各幾何

　　　　　法借一根為勾數則五十尺少一根為

　　　　　弦數一根多三十一尺為股數(以五十/尺與八)

　　　　　(十一尺相減餘三十一尺為勾股/較故一根多三十一尺為股數)以一

　　　　　根自乘得一平方為勾自乘之數以五

　　　　　十尺少一根自乘得二千五百尺少一

　　　　　百根多一平方為弦自乘之數以一根

　　　　　多三十一尺自乘得一平方多六十二

　　　　　根又多九百六十一尺為股自乘之數

　　　　　以股自乘之數與弦自乘之數相減得

　　　　　一千五百三十九尺少一百六十二根

　　　　　亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘

　　　　　之一平方為相等乃以一千五百三十

　　　　　九尺為長方積以一百六十二根作一

　　　　　百六十二尺為長闊較用帶縱較數開

　　　　　平方法算之得闊九尺為一根之數卽

　　　　　勾數以勾九尺與勾弦和五十尺相減

　　　　　餘四十一尺卽弦數以勾九尺與勾股

　　　　　較三十一尺相加得四十尺卽股數也

　　　　　(此勾股弦和/較相求法)

設如有勾股和二十三尺勾弦和二十五尺問勾股

　弦各幾何

　　　　　法借一根為勾數則二十三尺少一根

　　　　　為股數二十五尺少一根為弦數以一

　　　　　根自乘得一平方為勾自乘之數以二

　　　　　十三尺少一根自乘得五百二十九尺

　　　　　少四十六根多一平方為股自乘之數

　　　　　以二十五尺少一根自乘得六百二十

　　　　　五尺少五十根多一平方為弦自乘之

　　　　　數以股自乘之數與弦自乘之數相減

　　　　　得九十六尺少四根亦為勾自乘之數

　　　　　而與勾數一根自乘之一平方為相等

　　　　　乃以九十六尺為長方積四根作四尺

　　　　　為長闊較用帶縱較數開平方法算之

　　　　　得闊八尺為一根之數卽勾數以勾八

　　　　　尺與勾股和二十三尺相減餘十五尺

　　　　　卽股數以勾八尺與勾弦和二十五尺

　　　　　相減餘十七尺卽弦數也(此勾股弦和/較相求法)

設如有股弦和二十五尺勾弦較八尺問勾股弦各

　幾何

　　　　　法借一根為股數則二十五尺少一根

　　　　　為弦數十七尺少一根為勾數(股弦和/二十五)

　　　　　(尺内減勾弦較八尺得一十七尺/為勾股和故勾為十七尺少一根)以一

　　　　　根自乘得一平方為股自乘之數以一

　　　　　十七尺少一根自乘得二百八十九尺

　　　　　少三十四根多一平方為勾自乘之數

　　　　　以二十五尺少一根自乘得六百二十

　　　　　五尺少五十根多一平方為弦自乘之

　　　　　數以勾自乘之數與弦自乘之數相減

　　　　　得三百三十六尺少一十六根亦為股

　　　　　自乘之數而與股數一根自乘之一平

　　　　　方為相等乃以三百三十六尺為長方

　　　　　積十六根作十六尺為長闊較用帶縱

　　　　　較數開平方法算之得闊十二尺為一

　　　　　根之數卽股數以股十二尺與股弦和

　　　　　二十五尺相減餘一十三尺卽弦數内

　　　　　減勾弦較八尺餘五尺卽勾數也(此勾/股弦)

　　　　　(和較相/求法)

設如有股弦較一尺勾弦較三十二尺問勾股弦各

　幾何

　　　　　法借一根為勾數則一根多三十二尺

　　　　　為弦數一根多三十一尺為股數(股弦/較與)

　　　　　(勾弦較相減餘三十一尺為勾股/較故股為一根多三十一尺也)以一

　　　　　根自乘得一平方為勾自乘之數以一

　　　　　根多三十二尺自乘得一平方多六十

　　　　　四根又多一千零二十四尺為弦自乘

　　　　　之數以一根多三十一尺自乘得一平

　　　　　方多六十二根又多九百六十一尺為

　　　　　股自乘之數以股自乘之數與弦自乘

　　　　　之數相減得二根多六十三尺亦為勾

　　　　　自乘之數而與勾數一根自乘之一平

　　　　　方為相等乃以六十三尺為長方積以

　　　　　二根作二尺為長闊較用帶縱較數開

　　　　　平方法算之得長九尺為一根之數卽

　　　　　勾數以勾九尺與勾弦較三十二尺相

　　　　　加得四十一尺卽弦數内減股弦較一

　　　　　尺餘四十尺卽股數也(此勾股弦和/較相求法)

設如有勾股和七十三尺勾弦較與股弦較之和三

　十三尺問勾股弦各幾何

　　　　　法借一根為勾數則七十三尺少一根

　　　　　為股數五十三尺為弦數(以勾股和七/十三尺加勾)

　　　　　(弦較與股弦較之和三十三尺得一百/零六尺卽二弦數故半之得五十三尺)

　　　　　(為弦/數也)以一根自乘得一平方為勾自乘

　　　　　之數以七十三尺少一根自乘得五千

　　　　　三百二十九尺少一百四十六根多一

　　　　　平方為股自乘之數以五十三尺自乘

　　　　　得二千八百零九尺為弦自乘之數以

　　　　　股自乘之數與弦自乘之數相減得一

　　　　　百四十六根少二千五百二十尺又少

　　　　　一平方亦為勾自乘之數而與勾數一

　　　　　根自乘之一平方為相等兩邊各加一

　　　　　平方得一百四十六根少二千五百二

　　　　　十尺與二平方相等一百四十六根少

　　　　　二千五百二十尺旣與二平方相等則

　　　　　七十三根少一千二百六十尺必與一

　　　　　平方相等乃以一千二百六十尺為長

　　　　　方積七十三根作七十三尺為長闊和

　　　　　用帶縱和數開平方法算之得闊二十

　　　　　八尺為一根之數卽勾數以勾二十八

　　　　　尺與勾股和七十三尺相減餘四十五

　　　　　尺卽股數也(此勾股弦和/較相求法)

設如有勾股弦總和一百五十尺勾股較股弦較勾

　弦較共八十尺問勾股弦各幾何

　　　　　法借一根為勾數則一根多四十尺為

　　　　　弦數(將三較共八十尺折半/得四十尺卽勾弦較)一百一十

　　　　　尺少二根為股數(總和一百五十尺内/減去勾數一根又減)

　　　　　(去弦數一根多四十尺得一/百一十尺少二根為股數)以一根自

　　　　　乘得一平方為勾自乘之數以一根多

　　　　　四十尺自乘得一平方多八十根又多

　　　　　一千六百尺為弦自乘之數以一百一

　　　　　十尺少二根自乘得一萬二千一百尺

　　　　　少四百四十根多四平方為股自乘之

　　　　　數以股自乘之數與弦自乘之數相減

　　　　　得五百二十根少三平方又少一萬零

　　　　　五百尺亦為勾自乘之數而與勾數一

　　　　　根自乘之一平方為相等兩邊各加三

　　　　　平方得五百二十根少一萬零五百尺

　　　　　與四平方相等五百二十根少一萬零

　　　　　五百尺旣與四平方相等則一百三十

　　　　　根少二千六百二十五尺必與一平方

　　　　　相等乃以二千六百二十五尺為長方

　　　　　積以一百三十根作一百三十尺為長

　　　　　闊和用帶縱和數開平方法算之得闊

　　　　　二十五尺為一根之數卽勾數以勾二

　　　　　十五尺與勾弦較四十尺相加得六十

　　　　　五尺卽弦數以勾弦和九十尺與勾股

　　　　　弦總和一百五十尺相減餘六十尺卽

　　　　　股數也(此勾股弦和/較相求法)

設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之較十尺問

　勾股弦各幾何

　　　　　法借一根為勾股較數則一根多十尺

　　　　　為弦數以一根自乘得一平方為勾股

　　　　　較自乘之數以一根多十尺自乘得一

　　　　　平方多二十根又多一百尺為弦自乘

　　　　　之數倍之得二平方多四十根又多二

　　　　　百尺内減去勾股較自乘之一平方餘

　　　　　一平方多四十根多二百尺為勾股和

　　　　　自乘之數而與勾股和二十三尺自乘

　　　　　之五百二十九尺為相等兩邊各減去

　　　　　二百尺得一平方多四十根與三百二

　　　　　十九尺相等乃以三百二十九尺為長

　　　　　方積以多四十根作四十尺為長闊較

　　　　　用帶縱較數開平方法算之得闊七尺

　　　　　為一根之數卽勾股較與勾股和二十

　　　　　三尺相加得三十尺折半得十五尺為

　　　　　股内減較七尺餘八尺為勾又以勾股

　　　　　較七尺與弦與勾股較之較十尺相加

　　　　　得十七尺為弦也(此勾股弦和/較相求法)

設如有勾股積一千零八十尺勾股弦總和一百八

　十尺問勾股弦各幾何

　　　　　法借一根為弦數則一百八十尺少一

　　　　　根為勾股和數以一根自乘得一平方

　　　　　為弦自乘之數以一百八十尺少一根

　　　　　自乘得三萬二千四百尺少三百六十

　　　　　根多一平方為勾股和自乘之數又以

　　　　　勾股積一千零八十尺四因之得四千

　　　　　三百二十尺與弦自乘之一平方相加

　　　　　得一平方多四千三百二十尺亦為勾

　　　　　股和自乘之數而與勾股和自乘之三

　　　　　萬二千四百尺少三百六十根多一平

　　　　　方為相等(勾股和自乘數内有一弦自/乘方有四勾股積故四因勾)

　　　　　(股積與弦自乘之數相加卽/與勾股和自乘之數相等也)兩邊各減

　　　　　四千三百二十尺得二萬八千零八十

　　　　　尺少三百六十根多一平方與一平方

　　　　　相等兩邊各加三百六十根得二萬八

　　　　　千零八十尺多一平方與一平方多三

　　　　　百六十根相等兩邊再各減一平方得

　　　　　三百六十根與二萬八千零八十尺相

　　　　　等三百六十根旣與二萬八千零八十

　　　　　尺相等則一根必與七十八尺相等卽

　　　　　弦數以弦七十八尺與一百八十尺相

　　　　　減餘一百零二尺卽勾股和又以弦自

　　　　　乘得六千零八十四尺與四勾股積四

　　　　　千三百二十尺相減餘一千七百六十

　　　　　四尺平方開之得四十二尺卽勾股較

　　　　　與勾股和一百零二尺相減餘六十尺

　　　　　折半得三十尺卽勾數加勾股較四十

　　　　　二尺得七十二尺卽股數也(此勾股積/與勾股弦)

　　　　　(和較相/求法)

設如有勾股積六十尺弦與勾股和之較六尺問勾

　股弦各幾何

　　　　　法借一根為弦數則一根多六尺為勾

　　　　　股和數以一根自乘得一平方為弦自

　　　　　乘之數以一根多六尺自乘得一平方

　　　　　多十二根多三十六尺為勾股和自乘

　　　　　之數又以勾股積六十尺四因之得二

　　　　　百四十尺與弦自乘之一平方相加得

　　　　　一平方多二百四十尺亦為勾股和自

　　　　　乘之數而與勾股和自乘之一平方多

　　　　　十二根多三十六尺為相等兩邊各減

　　　　　去一平方得十二根多三十六尺與二

　　　　　百四十尺相等兩邊又各減去三十六

　　　　　尺得十二根與二百零四尺相等十二

　　　　　根旣與二百零四尺相等則一根必與

　　　　　十七尺相等卽弦數加弦與勾股和之

　　　　　較六尺得二十三尺為勾股和用有弦

　　　　　有勾股和求勾股法算之得股十五尺

　　　　　勾八尺也(此勾股積與勾股/弦和較相求法)

設如有三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺

　求中垂線幾何

　　　　　法借一根為中垂線之面積以小腰十

　　　　　尺自乘得一百尺内減去一根得一百

　　　　　尺少一根為小分底之面積(中垂線為/股小腰為)

　　　　　(弦小分底為勾於弦積内/減去股積餘為勾積也)又以大腰十

　　　　　七尺自乘得二百八十九尺内減去一

　　　　　根餘二百八十九尺少一根為大分底

　　　　　之面積(中垂線為股大腰為弦大分底/為勾於弦積内減去股積餘為)

　　　　　(勾積/也)又以底二十一尺自乘得四百四

　　　　　十一尺内減大小兩分底之共面積三

　　　　　百八十九尺少二根餘五十二尺多二

　　　　　根折半得二十六尺多一根為小分底

　　　　　乘大分底之面積(底邊自乘内有大分/底自乘之一正方小)

　　　　　(分底自乘之一正方小分底乘大分底/之二長方故減去二正方餘數折半卽)

　　　　　(為小分底乘大分/底之一長方也)此數與小分底之面

　　　　　積及大分底之面積為相連比例三率

　　　　　葢大分底之面積為首率而小分底乘

　　　　　大分底之面積為中率小分底之面積

　　　　　為末率也乃以首率大分底之面積二

　　　　　百八十九尺少一根與末率小分底之

　　　　　面積一百尺少一根相乘得二萬八千

　　　　　九百尺少三百八十九根多一平方又

　　　　　以中率小分底乘大分底之面積二十

　　　　　六尺多一根自乘得六百七十六尺多

　　　　　五十二根多一平方此二數為相等兩

　　　　　邊各加三百八十九根得二萬八千九

　　　　　百尺多一平方與六百七十六尺多四

　　　　　百四十一根多一平方相等兩邊各減

　　　　　一平方得二萬八千九百尺與六百七

　　　　　十六尺多四百四十一根相等兩邊再

　　　　　各減去六百七十六尺得二萬八千二

　　　　　百二十四尺與四百四十一根相等二

　　　　　萬八千二百二十四尺旣與四百四十

　　　　　一根相等則六十四尺必與一根相等

　　　　　卽中垂線之面積開平方得八尺卽中

　　　　　垂線也(此三角形求/中垂線法)

設如有三角形底十四尺大腰與中垂線之較三尺

　小腰與中垂線之較一尺求中垂線及兩腰各幾

　何

　　　　　法借一根為中垂線則大腰為一根多

　　　　　三尺小腰為一根多一尺以一根自乘

　　　　　得一平方為中垂線之面積以一根多

　　　　　三尺自乘得一平方多六根多九尺為

　　　　　大腰之面積内減去中垂線之面積一

　　　　　平方餘六根多九尺為大分底之面積

　　　　　以一根多一尺自乘得一平方多二根

　　　　　多一尺為小腰之面積内減去中垂線

　　　　　之面積一平方餘二根多一尺為小分

　　　　　底之面積又以底十四尺自乘得一百

　　　　　九十六尺内減去大小兩分底之共面

　　　　　積八根多十尺餘一百八十六尺少八

　　　　　根折半得九十三尺少四根為小分底

　　　　　乘大分底之面積此數與大分底之面

　　　　　積及小分底之面積為相連比例三率

　　　　　葢大分底之面積為首率而小分底乘

　　　　　大分底之面積為中率小分底之面積

　　　　　為末率也乃以首率大分底之面積六

　　　　　根多九尺與末率小分底之面積二根

　　　　　多一尺相乘得十二平方多二十四根

　　　　　多九尺又以中率之小分底乘大分底

　　　　　之面積九十三尺少四根自乘得八千

　　　　　六百四十九尺少七百四十四根多十

　　　　　　六平方此二數為相等兩邊各加七百

　　　　　　四十四根得十二平方多七百六十八

　　　　　　根多九尺與八千六百四十九尺多十

　　　　　　六平方相等兩邊各減十二平方得七

　　　　　　百六十八根多九尺與八千六百四十

　　　　　　九尺多四平方相等兩邊再各減八千

　　　　　　六百四十九尺得七百六十八根少八

　　　　　　千六百四十尺與四平方相等七百六

　　　　　　十八根少八千六百四十尺旣與四平

　　　　　　方相等則一百九十二根少二千一百

　　　　　　六十尺必與一平方相等乃以二千一

　　　　　　百六十尺為長方積以一百九十二根

　　　　　　作一百九十二尺為長闊和用帶縱和

　　　　　　數開平方法算之得闊十二尺為一根

　　　　　　之數卽中垂線加三尺得十五尺卽大

　　　　　　腰加一尺得十三尺卽小腰也(此三角/形和較)

　　　　　　(相求/法)

御製數理精藴下編卷三十五