御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷三十四

　　末部四

　　　借根方比例(線類/)

　　線類

設如有一竹竿長一丈欲分為大小兩分大分比小

　分多四尺問大小分各幾何

　　　　　　法借一根為小分則大分即為一根多

　　　　　　四尺兩數相加得二根多四尺與一丈

　　　　　　相等二根既多四尺乃減去所多四尺

　　　　　　餘二根又於一丈内亦減去四尺餘六

　　　　　　尺是為二根與六尺相等二根既與六

　　　　　　尺相等則一根必與三尺相等前既借

　　　　　　一根為小分則三尺即小分再加四尺

　　　　　　得七尺即大分也(此減法也於一丈内/減去大分所多之四)

　　　　　　(尺餘六尺折半得三尺即小分之數此/法甚易盖因借根比例之首先設此以)

　　　　　　(明其理使人由/淺以入深也)

設如有銀三百四十三兩分給衆匠其為首一人所

　得之銀與衆匠人數相等衆匠每人得銀六兩問

　共人數幾何

　　　　　　法借一根為為首一人所得之銀數亦

　　　　　　即為衆匠之人數以衆匠之人數一根

　　　　　　與六兩相乗得六根為衆匠之銀數相

　　　　　　加得七根與三百四十三兩相等七根

　　　　　　既與三百四十三兩相等則一根必與

　　　　　　四十九兩相等即為首一人所得之銀

　　　　　　數亦即衆匠之人數以四十九人與六

　　　　　　兩相乗得二百九十四兩即衆匠所得

　　　　　　共銀數再加為首一人所得銀數四十

　　　　　　九兩得三百四十三兩以合原數也(此/歸)

　　　　　　(除法也以每匠得銀六兩加一兩得七/兩以除共銀三百四十三兩即得四十)

　　　　　　(九兩為為首一人所得銀數亦即衆匠/之人數葢為首一人之銀既與衆匠人)

　　　　　　(數等若以為首一人之銀分給衆匠每/人必多得一兩故於每人之銀數外加)

　　　　　　(一兩以除共/銀即得也)

設如有繩二條不言丈數但知其長短之比例同於

　九與五其相差之較與短繩除長繩所得之數相

　等問二繩各長若干

　　　　　　法借九根為長繩之數五根為短繩之

　　　　　　數兩數相減餘四根以五根除九根得

　　　　　　一八即一丈八尺是為四根與一丈八

　　　　　　尺相等四根既與一丈八尺相等則一

　　　　　　根必與四尺五寸相等九因之得四丈

　　　　　　零五寸即長繩數五因之得二丈二尺

　　　　　　五寸即短繩數以二丈二尺五寸與四

　　　　　　丈零五寸相減餘一丈八尺以二丈二

　　　　　　尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺

　　　　　　也(此歸/除法)

設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀九十

　兩乙丙共銀四十五兩甲丙共銀七十三兩問三

　人各銀幾何

　　　　　　法借一根為三人之總銀數以甲乙共

　　　　　　銀九十兩計之則丙為一根少九十兩

　　　　　　以乙丙共銀四十五兩計之則甲為一

　　　　　　根少四十五兩以甲丙共銀七十三兩

　　　　　　計之則乙為一根少七十三兩三數相

　　　　　　加得三根少二百零八兩而與所借之

　　　　　　一根相等三根少二百零八兩與一根

　　　　　　各加二百零八兩得三根與一根多二

　　　　　　百零八兩相等(三根少二百零八兩内/加二百零八兩則補足)

　　　　　　(三根整數一根上再加二百零八/兩則為一根多二百零八兩矣)三根

　　　　　　與一根再各減一根則餘二根與二百

　　　　　　零八兩相等二根既與二百零八兩相

　　　　　　等則一根必與一百零四兩相等即三

　　　　　　人之總銀數總銀一百零四兩内減甲

　　　　　　乙共銀九十兩餘一十四兩為丙銀數

　　　　　　減乙丙共銀四十五兩餘五十九兩為

　　　　　　甲銀數減甲丙共銀七十三兩餘三十

　　　　　　一兩為乙銀數也(此加減法也如以三/數相加得二百零八)

　　　　　　(兩折半得一百零四兩即總銀數總銀/數内減甲乙共銀數餘為丙銀數總銀)

　　　　　　(數内減甲丙共銀數餘為乙銀數總銀/數内減乙丙共銀數餘為甲銀數也)

設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀數比

　丙銀多六十八兩乙丙共銀數比甲銀多一百兩

　丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩問三人各

　銀幾何

　　　　　　法借二根為三人之總銀數以甲乙共

　　　　　　銀數比丙銀多六十八兩計之則甲乙

　　　　　　共銀為一根多三十四兩丙銀為一根

　　　　　　少三十四兩(二根既為三人之總銀數/平分之則甲乙應得一根)

　　　　　　(丙應得一根甲乙共銀比丙所多六十/八兩平分之則甲乙應得三十四兩丙)

　　　　　　(應得三十四兩甲乙所得為多丙所得/為少故甲乙為一根多三十四兩丙為)

　　　　　　(一根少三十四兩共相/差為六十八兩下倣此)以乙丙共銀數

　　　　　　比甲銀多一百兩計之則乙丙共銀為

　　　　　　一根多五十兩甲銀為一根少五十兩

　　　　　　以丙甲共銀數比乙銀多一百二十四

　　　　　　兩計之則丙甲共銀為一根多六十二

　　　　　　兩乙銀為一根少六十二兩乃以丙銀

　　　　　　一根少三十四兩甲銀一根少五十兩

　　　　　　乙銀一根少六十二兩三數相加得三

　　　　　　根少一百四十六兩而與所借之二根

　　　　　　相等三根少一百四十六兩與二根各

　　　　　　加一百四十六兩得三根與二根多一

　　　　　　百四十六兩相等三根與二根再各減

　　　　　　二根則餘一根與一百四十六兩相等

　　　　　　一根既與一百四十六兩相等則二根

　　　　　　必與二百九十二兩相等即三人之總

　　　　　　銀數前既以丙銀為一根少三十四兩

　　　　　　乃於一百四十六兩内減三十四兩餘

　　　　　　一百一十二兩即丙銀數甲為一根少

　　　　　　五十兩乃於一百四十六兩内減五十

　　　　　　兩餘九十六兩即甲銀數乙為一根少

　　　　　　六十二兩乃於一百四十六兩内減六

　　　　　　十二兩餘八十四兩即乙銀數也(此加/減法)

　　　　　　(也如以甲乙比丙所多之六十八兩與/乙丙比甲所多之一百兩相加得一百)

　　　　　　(六十八兩折半得八十四兩即乙銀數/又以乙丙比甲所多之一百兩與甲丙)

　　　　　　(比乙所多之一百二十四兩相加得二/百二十四兩折半得一百一十二兩即)

　　　　　　(丙銀數再以乙丙數相加得一百九十/六兩内減去乙丙比甲所多之一百兩)

　　　　　　(餘九十六兩/即甲銀數也)

設如有銀分賞衆人不言銀數亦不言人數但知第

　一人得銀一兩又得餘銀之十分之一第二人得

　銀二兩又得餘銀之十分之一第三人得銀三兩

　又得餘銀之十分之一以下分賞之數皆準此例

　所得之銀皆相等問人數及銀數各幾何

　　　　　　法借一根為第一人所得餘銀之數

　　　　　　則一兩多一根為第一人所得總銀數

　　　　　　又第一人得餘銀十分之一則餘銀必為

　　　　　　十根減去一根仍餘九根再於九根内

　　　　　　減去第二人所得之二兩為九根少二

　　　　　　兩以九根少二兩取其十分之一得十

　　　　　　分根之九少二錢與第二人之二兩相

　　　　　　加得二兩(作二/十錢)多十分根之九少二錢

　　　　　　為與第一人所得之一兩(作一/十錢)多一根

　　　　　　相等一兩多一根與二兩多十分根之

　　　　　　九少二錢各加二錢得一兩二錢多一

　　　　　　根與二兩多十分根之九相等多一根

　　　　　　與多十分根之九各減十分根之九餘

　　　　　　一兩二錢多十分根之一與二兩相等

　　　　　　一兩二錢與二兩又各減一兩二錢則

　　　　　　餘十分根之一與八錢相等十分根之

　　　　　　一既與八錢相等則一根必與八兩相

　　　　　　等即第一人所得餘銀之數乃以十因

　　　　　　之得八十兩又加第一人所得之一兩

　　　　　　共八十一兩即原共銀數第一人得一

　　　　　　兩又加餘銀八十兩之十分之一八兩

　　　　　　共為九兩第二人得二兩又加餘銀七

　　　　　　十兩之十分之一七兩亦共為九兩第

　　　　　　三人得三兩又加餘銀六十兩之十分

　　　　　　之一六兩亦共為九兩第四人得銀四

　　　　　　兩又加餘銀五十兩之十分之一五兩

　　　　　　亦共為九兩第五人得銀五兩又加餘

　　　　　　銀四十兩之十分之一四兩亦共為九

　　　　　　兩第六人得銀六兩又加餘銀三十兩

　　　　　　之十分之一三兩亦共為九兩第七人

　　　　　　得銀七兩又加餘銀二十兩之十分之

　　　　　　一二兩亦共為九兩第八人得銀八兩

　　　　　　又加餘銀十兩之十分之一一兩亦共

　　　　　　為九兩第九人得銀九兩銀盡無餘是

　　　　　　共九人每人得銀九兩皆相等也(此加/減法)

　　　　　　(也以分母十與分子一相減餘九即人/數以人數九自乗得八十一即總銀數)

　　　　　　(也葢惟人數與每人所得銀數相等者每/人遞加一兩又各加餘銀十分之一所得)

　　　　　　(始能相等故以人數/自乗即得銀數也)

設如有人行路共二千八百里步行則日行七十里

　坐船則日行九十里乗馬則日行一百里但知步

　行之日數倍於坐船坐船之日數倍於乗馬問步

　行及坐船乗馬之日數各若干

　　　　　　法借一根為乗馬之日數則坐船之日

　　　　　　數為二根步行之日數為四根以一根

　　　　　　與一百里相乗得一百根為乗馬所行

　　　　　　之里數以二根與九十里相乗得一百

　　　　　　八十根為坐船所行之里數以四根與

　　　　　　七十里相乗得二百八十根為步行所

　　　　　　行之里數三數相加得五百六十根是

　　　　　　為五百六十根與二千八百里相等五

　　　　　　百六十根既與二千八百里相等則一

　　　　　　百根必與五百里相等前既以一百根

　　　　　　為乗馬所行之里數則與一百根相等

　　　　　　之五百里即乗馬所行之里數以乗馬

　　　　　　每日行一百里除之得五日與一根相

　　　　　　等即乗馬所行之日數倍之得十日即

　　　　　　坐船所行之日數以坐船每日行九十

　　　　　　里乗之得九百里為坐船所行之里數

　　　　　　再以坐船所行之十日倍之得二十日

　　　　　　即步行之日數以步行每日行七十里

　　　　　　乗之得一千四百里為步行之里數以

　　　　　　乗馬所行之五百里與坐船所行之九

　　　　　　百里及步行之一千四百里相併共得

　　　　　　二千八百里以合原數也(此遞加比例/法用借衰互)

　　　　　　(徵法算/之亦可)

設如一驢一馬一車共馱載一千五百二十斤馬所

　馱之數倍於驢仍多四十斤車所載之數倍於馬

　驢共馱之數却少四十斤問驢馬車各馱載幾何

　　　　　　法借一根為驢所馱之數則馬為二根

　　　　　　多四十斤車為六根多四十斤(驢馬數/相併得)

　　　　　　(三根多四十斤倍之為六根多八十斤/内減去少四十斤則為六根多四十斤)

　　　　　　三數相加得九根多八十斤是為九根

　　　　　　多八十斤與一千五百二十斤相等多

　　　　　　八十斤與一千五百二十斤各減去八

　　　　　　十斤則餘九根與一千四百四十斤相

　　　　　　等九根既與一千四百四十斤相等則

　　　　　　一根必與一百六十斤相等即驢所馱

　　　　　　之數倍之得三百二十斤再加四十斤

　　　　　　得三百六十斤為馬所馱之數將馬驢

　　　　　　所馱之數相加得五百二十斤倍之得

　　　　　　一千零四十斤再減去四十斤得一千

　　　　　　斤即車所載之數驢馱一百六十斤馬

　　　　　　馱三百六十斤車載一千斤三數相加

　　　　　　共一千五百二十斤以合原數也(此按/數加)

　　　　　　(減比例法用借衰/互徵法算之亦可)

設如有銀三百八十五兩令十一人挨次遞加三兩

　分之問每人各得若干

　　　　　　法借一根為第一人所得銀數以十一

　　　　　　乗之得十一根又以第一人至第十一

　　　　　　人遞加三兩計之共得多一百六十五

　　　　　　兩是為十一根多一百六十五兩與三

　　　　　　百八十五兩相等十一根多一百六十

　　　　　　五兩與三百八十五兩各減一百六十

　　　　　　五兩則餘十一根與二百二十兩相等

　　　　　　十一根既與二百二十兩相等則一根

　　　　　　必與二十兩相等即第一人所得銀數

　　　　　　遞加三兩則知第二人得二十三兩第

　　　　　　三人得二十六兩第四人得二十九兩

　　　　　　第五人得三十二兩第六人得三十五

　　　　　　兩第七人得三十八兩第八人得四十

　　　　　　一兩第九人得四十四兩第十人得四

　　　　　　十七兩第十一人得五十兩各數相加

　　　　　　共得三百八十五兩以合原數也(此按/數加)

　　　　　　(減比/例法)

設如有銀四百七十四兩令十二人挨次遞加分之

　但知第一人得銀一十二兩問每人各得若干

　　　　　　法借一根為每人遞加之數以第一人

　　　　　　至第十二人遞加一根計之則得六十

　　　　　　六根再以十二兩與十二人相乗得一

　　　　　　百四十四兩是為六十六根多一百四

　　　　　　十四兩與四百七十四兩相等六十六

　　　　　　根多一百四十四兩與四百七十四兩

　　　　　　各減去一百四十四兩則餘六十六根

　　　　　　與三百三十兩相等六十六根既與三

　　　　　　百三十兩相等則一根必與五兩相等

　　　　　　即每人遞加之數以第一人所得十二

　　　　　　兩加五兩即第二人所得十七兩依此

　　　　　　遞加則知第三人得二十二兩第四人

　　　　　　得二十七兩第五人得三十二兩第六

　　　　　　人得三十七兩第七人得四十二兩第

　　　　　　八人得四十七兩第九人得五十二兩

　　　　　　第十人得五十七兩第十一人得六十

　　　　　　二兩第十二人得六十七兩各數相加

　　　　　　共得四百七十四兩以合原數也(此按/數加)

　　　　　　(減比/例法)

設如一人借銀營利三次每次得利之後則還銀二

　百四十兩復以餘銀作本其每次所得利銀皆與

　每次本銀相等至第三次還銀後則銀盡無餘問

　原借銀若干

　　　　　　法借一根為原借本銀數則第一次利

　　　　　　銀亦為一根是本利共二根除還銀二

　　　　　　百四十兩則初次餘銀即為二根少二

　　　　　　百四十兩再以二根少二百四十兩為

　　　　　　第二次本銀數加第二次利銀則為四

　　　　　　根少四百八十兩除還銀二百四十兩

　　　　　　則第二次餘銀即為四根少七百二十

　　　　　　兩再以四根少七百二十兩為第三次

　　　　　　本銀數加第三次利銀則為八根少一

　　　　　　千四百四十兩除還銀二百四十兩則

　　　　　　第三次餘銀當為八根少一千六百八

　　　　　　十兩八根少一千六百八十兩而銀盡

　　　　　　無餘即八根與一千六百八十兩相等

　　　　　　也八根既與一千六百八十兩相等則

　　　　　　一根必與二百一十兩相等即原借本

　　　　　　銀之數因每次所得利銀皆與本銀相

　　　　　　等故以原借本銀之數倍之得四百二

　　　　　　十兩除還二百四十兩餘一百八十兩

　　　　　　為第二次本銀之數又倍之得三百六

　　　　　　十兩又除還二百四十兩餘一百二十

　　　　　　兩為第三次本銀之數又倍之得二百

　　　　　　四十兩再還二百四十兩則銀恰盡無

　　　　　　餘也(此按分遞折比例法用/疊借互徵法算之亦可)

設如甲乙丙三人各作一器則甲六日可完乙八日

　可完丙二十四日可完今命三人同作問得日幾

　何

　　　　　　法借一千一百五十二根(三分母連/乗之數)為

　　　　　　三人同作完之日數以甲六日計之則

　　　　　　甲每日得一百九十二根以乙八日計

　　　　　　之則乙每日得一百四十四根以丙二

　　　　　　十四日計之則丙每日得四十八根三

　　　　　　數相加共得三百八十四根與一日相

　　　　　　等三百八十四根既與一日相等則一

　　　　　　千一百五十二根必與三日相等即三

　　　　　　人同作完之日數也(此和數/比例法)

設如甲丙二商不言本銀若干但知甲之本銀四倍

　於丙而甲本銀内減去七十二兩則兩人之銀適

　等問二人本銀各幾何

　　　　　　法借一根為丙本銀數則甲本銀為四

　　　　　　根以甲本銀減七十二兩與丙銀相等

　　　　　　計之則於甲本銀四根内減七十二兩

　　　　　　是為甲四根少七十二兩與丙一根相

　　　　　　等四根少七十二兩與一根各加七十

　　　　　　二兩得四根與一根多七十二兩相等

　　　　　　四根與一根各減去一根則餘三根與

　　　　　　七十二兩相等三根既與七十二兩相

　　　　　　等則一根必與二十四兩相等即丙本

　　　　　　銀數再加七十二兩得九十六兩即甲

　　　　　　本銀數也(此較數/比例法)

設如甲乙二人分銀其數相等甲用過一百兩乙用

　過三十兩則乙之餘銀三倍於甲問二人原各分

　銀幾何

　　　　　　法借一根為原分銀之數則甲之餘銀

　　　　　　為一根少一百兩乙之餘銀為一根少

　　　　　　三十兩乙之餘銀既三倍於甲則將甲

　　　　　　餘銀一根少一百兩三倍之為三根少

　　　　　　三百兩即與乙之餘銀一根少三十兩

　　　　　　相等矣三根少三百兩與一根少三十

　　　　　　兩各加三百兩則得三根與一根多二

　　　　　　百七十兩相等(甲三根少三百兩今加/三百兩則補足三根整)

　　　　　　(數乙一根少三十兩今加三百兩以三/十兩補原少之數則止多二百七十兩)

　　　　　　三根與一根各減去一根則餘二根與

　　　　　　二百七十兩相等二根既與二百七十

　　　　　　兩相等則一根必與一百三十五兩相

　　　　　　等前既借一根為原分銀之數則此一

　　　　　　百三十五兩即原分銀之數矣甲用過

　　　　　　一百兩餘三十五兩乙用過三十兩餘

　　　　　　一百零五兩故乙之餘銀三倍於甲也

　　　　　　(此較數比例法用疊/借互徵法算之亦可)

設如甲乙二人行路兩日行到初日乙所行之路四

　倍於甲次日甲所行之路三倍於乙但知初日乙

　行二百四十里甲行六十里問次日二人各行若

　干

　　　　　　法借一根為次日乙所行之路則甲次

　　　　　　日所行之路為三根以初日乙行二百

　　　　　　四十里與一根相加得一根多二百四

　　　　　　十里為乙兩日所行之路以初日甲行

　　　　　　六十里與三根相加得三根多六十里

　　　　　　為甲兩日所行之路是為乙一根多二

　　　　　　百四十里與甲三根多六十里相等一

　　　　　　根與三根各減一根多二百四十里與

　　　　　　多六十里各減六十里則餘一百八十

　　　　　　里與二根相等一百八十里既與二根

　　　　　　相等則九十里必與一根相等即次日

　　　　　　乙所行之路三因之得二百七十里即

　　　　　　次日甲所行之路以乙次日所行九十

　　　　　　里與初日所行二百四十里相加得三

　　　　　　百三十里以甲次日所行二百七十里

　　　　　　與初日所行六十里相加亦得三百三

　　　　　　十里是兩人同行俱到也(此較數/比例法)

設如有甲乙二商各有本銀生理但知乙本銀比甲

　本銀多六兩數年得利之後甲本利共銀比原銀

　為十一倍乙本利共銀比原銀為七倍而兩人之

　銀適等問二人原有本銀各幾何

　　　　　　法借一根為甲本銀數則乙本銀為一

　　　　　　根多六兩甲本利共銀既比原銀為十

　　　　　　一倍則以十一乗一根得十一根為甲

　　　　　　本利共銀數乙本利共銀既比原銀為

　　　　　　七倍則以七乗一根多六兩得七根多

　　　　　　四十二兩為乙本利共銀數是為甲十

　　　　　　一根與乙七根多四十二兩相等十一

　　　　　　根與七根各減七根餘四根與四十二

　　　　　　兩相等四根既與四十二兩相等則一

　　　　　　根必與十兩零五錢相等即甲原銀之

　　　　　　數十一乗之得一百一十五兩五錢即

　　　　　　甲本利共銀之數以六兩與十兩零五

　　　　　　錢相加得一十六兩五錢即乙原銀之

　　　　　　數七因之亦得一百一十五兩五錢為

　　　　　　乙本利共銀之數也(此較數比例法用/疊借互徵法算之)

　　　　　　(亦/可)

設如甲乙二人分銀其數相等甲銀外加三百兩乙

　銀外加六十五兩則甲之共銀三倍於乙問二人

　原各分銀若干

　　　　　　法借一根為原分銀之數則乙之共銀

　　　　　　為一根多六十五兩甲之共銀為一根

　　　　　　多三百兩甲之共銀既三倍於乙則將

　　　　　　乙之共銀一根多六十五兩三倍之為

　　　　　　三根多一百九十五兩即與甲之共銀

　　　　　　一根多三百兩相等矣三根多一百九

　　　　　　十五兩與一根多三百兩各減一百九

　　　　　　十五兩則餘三根與一根多一百零五

　　　　　　兩相等三根與一根再各減去一根則

　　　　　　餘二根與一百零五兩相等二根既與

　　　　　　一百零五兩相等則一根必與五十二

　　　　　　兩五錢相等前既借一根為原分銀之

　　　　　　數則此五十二兩五錢即原分銀之數

　　　　　　矣以五十二兩五錢與六十五兩相加

　　　　　　得一百一十七兩五錢為乙之共銀數

　　　　　　以五十二兩五錢與三百兩相加得三

　　　　　　百五十二兩五錢為甲之共銀數即乙

　　　　　　之共銀之三倍也(此較數比例法用疊/借互徵法算之亦可)

設如金球十二銀球十八其輕重適等若將銀球七

　換金球七則銀球邊多三百二十二兩問金球銀

　球各重幾何

　　　　　　法借一根為金球換銀球之差數以七

　　　　　　乗之得七根為七金球換七銀球之差

　　　　　　數是為七根與三百二十二兩相等七

　　　　　　根既與三百二十二兩相等則一根必

　　　　　　與四十六兩相等即一金球一銀球相

　　　　　　換之差數一金球一銀球相換之差數

　　　　　　既為四十六兩則一金球比一銀球之

　　　　　　重必差二十三兩一金球比一銀球既

　　　　　　重二十三兩則十二金球比十二銀球

　　　　　　必重二百七十六兩如以銀球再加六

　　　　　　個(十八/個)即與十二金球等是銀球六個

　　　　　　與二百七十六兩相等也乃以六歸之

　　　　　　得四十六兩即一銀球之重數加二十

　　　　　　三兩得六十九兩即一金球之重數以

　　　　　　四十六兩與十八銀球相乗得八百二

　　　　　　十八兩以六十九兩與十二金球相乗

　　　　　　亦得八百二十八兩也(此較數/比例法)

設如一人買縀十二疋一人買紬三十二疋用銀適

　等但知緞每疋價比紬每疋價多六兩問紬緞價

　銀各若干

　　　　　　法借一根為紬價則緞價為一根多六

　　　　　　兩各以總數乗之則紬總價得三十二

　　　　　　根緞總價得十二根多七十二兩是為

　　　　　　紬價三十二根與緞價十二根多七十

　　　　　　二兩相等三十二根與十二根各減去

　　　　　　十二根則餘二十根與七十二兩相等

　　　　　　二十根既與七十二兩相等則一根必

　　　　　　與三兩六錢相等即紬每疋之價加緞

　　　　　　每疋比紬每疋多六兩得九兩六錢即

　　　　　　緞每疋之價以九兩六錢乗十二疋得

　　　　　　一百一十五兩二錢為緞總價以三兩

　　　　　　六錢乗三十二疋亦得一百一十五兩

　　　　　　二錢為紬總價兩數適等也(此較數/比例法)

設如甲乙二人共買緞一百疋甲買三十八疋止與

　銀三百一十二兩乙買六十二疋止與銀六百兩

　而兩人所欠之銀適等問緞價及欠銀各若干

　　　　　　法借一根為緞每疋價銀數則甲三十

　　　　　　八疋總銀數為三十八根又甲止與銀

　　　　　　三百一十二兩則甲所欠之銀即為三

　　　　　　十八根少三百一十二兩乙六十二疋

　　　　　　總銀數為六十二根又乙止與銀六百

　　　　　　兩則乙所欠之銀即為六十二根少六

　　　　　　百兩是為甲三十八根少三百一十二

　　　　　　兩與乙六十二根少六百兩相等少三

　　　　　　百一十二兩與少六百兩各加六百兩

　　　　　　得三十八根多二百八十八兩與六十

　　　　　　二根相等(乙為六十二根少六百兩今/加六百兩則補足六十二根)

　　　　　　(整數甲為三十八根少三百一十二兩/今加六百兩以三百一十二兩補原少)

　　　　　　(之數則止多二/百八十八兩也)又三十八根與六十二

　　　　　　根各減去三十八根則餘二十四根與

　　　　　　二百八十八兩相等二十四根既與二

　　　　　　百八十八兩相等則一根必與十二兩

　　　　　　相等即緞每疋之價銀數再以十二兩

　　　　　　乗三十八疋得四百五十六兩即甲所

　　　　　　買緞之總銀數内減甲與銀三百一十

　　　　　　二兩餘一百四十四兩為甲所欠銀數

　　　　　　又以十二兩乗六十二疋得七百四十

　　　　　　四兩為乙所買緞之總銀數内減乙與

　　　　　　銀六百兩亦餘一百四十四兩為乙所

　　　　　　欠銀數也(此較數/比例法)

設如有米分給大小二等工人但知小工人數比大

　工人數為七倍大工人給米一升二合小工人給

　米八合共給過米五石四斗四升問人數米數各

　幾何

　　　　　　法借一根為大工人之數則七根為小

　　　　　　工人之數以一根與一升二合相乗(作/一)

　　　　　　(十二/合)得一十二根為大工人米數以七

　　　　　　根與八合相乗得五十六根為小工人

　　　　　　米數兩米數相加得六十八根與五石

　　　　　　四斗四升相等六十八根既與五石四

　　　　　　斗四升相等則十二根必與九斗六升

　　　　　　相等前既以十二根為大工人米數則

　　　　　　與十二根相等之九斗六升即大工人

　　　　　　之米數爰以大工人每人所得一升二

　　　　　　合除之得八十人與一根相等即大工

　　　　　　人之數七因之得五百六十即小工人

　　　　　　之數以八合乗之得四石四斗八升即

　　　　　　小工人之米數也(此和較比例法用疊/借互徵法算之亦可)

設如有銀一百兩分給大小二等匠人共一百名大

　匠人每人給銀一兩五錢小匠人每人給銀五錢

　問大小匠人各若干

　　　　　　法借一根為大匠人數則小匠人為一

　　　　　　百少一根以一兩五錢與一根相乗得

　　　　　　十五根為大匠人共銀數又以五錢與

　　　　　　一百少一根相乗得五十兩(作五/百錢)少五

　　　　　　根為小匠人共銀數兩銀數相加得五

　　　　　　十兩(作五/百錢)多十根(原少五根加十五/根則反多十根也)與

　　　　　　銀一百兩(作一/千錢)相等五十兩與一百兩

　　　　　　各減去五十兩則餘十根與五十兩相

　　　　　　等十根既與五十兩相等則十五根必

　　　　　　與七十五兩(即七百/五十錢)相等前既以十五

　　　　　　根為大匠人共銀數則與十五根相等

　　　　　　之七十五兩即大匠人之共銀數爰以

　　　　　　大匠人每人所得一兩五錢除之得五

　　　　　　十人與一根相等即大匠人之數於共

　　　　　　一百人内減大匠人五十人餘五十人

　　　　　　即小匠人之數以五錢乗之得二十五

　　　　　　兩即小匠人之共銀數也(此和較比例/法用方程法)

　　　　　　(算之/亦可)

設如有銀一百兩分賞馬步兵共一百名馬兵一人

　賞三兩步兵三人賞一兩問馬步兵各若干

　　　　　　法借一根為步兵所得銀數則馬兵所

　　　　　　得銀數即為三根相加得四根為馬步

　　　　　　兵共得銀數是為四根與一百兩相等

　　　　　　四根既與一百兩相等則一根必與二

　　　　　　十五兩相等即步兵所得銀數於一百

　　　　　　兩内減之餘七十五兩為馬兵所得銀

　　　　　　數以每人三兩歸之得二十五即馬兵

　　　　　　人數於一百名内減之餘七十五即步

　　　　　　兵人數也(此和較/比例法)

設如雞兔同籠但知共頭三十六共足一百問雞兔

　各若干

　　　　　　法借一根為兔數則雞為三十六少一

　　　　　　根以兔四足乗兔一根得四根為兔之

　　　　　　共足數以雞二足乗雞三十六少一根

　　　　　　得七十二少二根為雞之共足數兩數

　　　　　　相加得七十二多二根與一百相等七

　　　　　　十二與一百各減七十二則餘二根與

　　　　　　二十八相等二根既與二十八相等則

　　　　　　一根必與十四相等即兔數於共三十

　　　　　　六内減兔十四餘二十二即雞數兔十

　　　　　　四以四足乗之得五十六為兔共足數

　　　　　　雞二十二以二足乗之得四十四為雞

　　　　　　共足數相加得一百以合原數也(此和/較比)

　　　　　　(例/法)

設如有人行路乗馬乗船共六十三日乗馬日行一

　百六十里乗船日行一百四十四里乗船所行之

　里數比乗馬所行之里數為十八倍問乗馬乗船

　之日數各若干

　　　　　　法借一根為乗馬之日數則乗船之日

　　　　　　數為六十三日少一根以一根與一百

　　　　　　六十里相乗得一百六十根為乗馬所

　　　　　　行之里數以六十三日少一根與一百

　　　　　　四十四里相乗得九千零七十二里少一

　　　　　　百四十四根為乗船所行之里數乗船

　　　　　　所行里數既為乗馬所行里數之十

　　　　　　八倍則以十八乗乗馬所行之里數一

　　　　　　百六十根得二千八百八十根是為二

　　　　　　千八百八十根與九千零七十二里少

　　　　　　一百四十四根相等二千八百八十根

　　　　　　與少一百四十四根各加一百四十四

　　　　　　根得三千零二十四根與九千零七十

　　　　　　二里相等三千零二十四根既與九千

　　　　　　零七十二里相等則一百六十根必與

　　　　　　四百八十里相等前既以一百六十根

　　　　　　為乗馬所行之里數則與一百六十根

　　　　　　相等之四百八十里即乗馬所行之里

　　　　　　數以乗馬每日所行一百六十里除之

　　　　　　得三日與一根相等即乗馬所行之日

　　　　　　數以三日與六十三日相減餘六十日

　　　　　　為乗船所行之日數以乗船每日行一

　　　　　　百四十四里乗之得八千六百四十里

　　　　　　即乗船所行之里數為乗馬所行之里

　　　　　　數之十八倍也(此和較比例法用疊/借互徵法算之亦可)

設如有青緞藍緞二色共七十疋青緞每疋長四十

　七尺藍緞每疋長六十尺其藍緞總尺數比青緞

　總尺數多二十七尺問青緞藍緞二色各若干

　　　　　　法借一根為青緞疋數則藍緞為七十

　　　　　　疋少一根各以尺數乗之則青緞之總

　　　　　　尺數得四十七根藍緞之總尺數得四

　　　　　　千二百尺少六十根於藍緞總尺數内

　　　　　　減去比青緞所多之二十七尺得四千

　　　　　　一百七十三尺少六十根是為青緞四

　　　　　　十七根與藍緞四千一百七十三尺少

　　　　　　六十根相等四十七根與少六十根各

　　　　　　加六十根得一百零七根與四千一百

　　　　　　七十三尺相等一百零七根既與四千

　　　　　　一百七十三尺相等則四十七根必與

　　　　　　一千八百三十三尺相等前既以四十

　　　　　　七根為青緞之總尺數則與四十七根

　　　　　　相等之一千八百三十三尺即青緞之

　　　　　　總尺數以每疋長四十七尺除之得三

　　　　　　十九疋與一根相等即青緞之疋數以

　　　　　　三十九疋與七十疋相減餘三十一疋

　　　　　　即藍緞之疋數以三十一疋與六十尺

　　　　　　相乗得一千八百六十尺即藍緞之總

　　　　　　尺數比青緞多二十七尺也(此和較/比例法)

設如有人買絹紬二色共價銀一百二十七兩四錢

　絹一尺價銀七分紬一尺價銀一錢四分其絹之

　尺數比紬之尺數為五倍問絹紬尺數各若干

　　　　　　法借一根為紬之尺數則絹之尺數為

　　　　　　五根以紬價一錢四分(作一十/四分)乗一根

　　　　　　得一十四根為紬共價以絹價七分乗

　　　　　　五根得三十五根為絹共價兩數相加

　　　　　　共得四十九根是為四十九根與一百

　　　　　　二十七兩四錢相等四十九根既與一

　　　　　　百二十七兩四錢相等則十四根必與

　　　　　　三十六兩四錢相等前既以十四根為

　　　　　　紬共價則與十四根相等之三十六兩

　　　　　　四錢即紬之共價以紬每尺價一錢四

　　　　　　分除之得二百六十尺與一根相等即

　　　　　　紬之尺數五因之得一千三百尺即絹

　　　　　　之尺數也(此和較/比例法)

設如甲有十成銀一百二十四兩丙有三成銀不知

　數但知將二色銀鎔於一處則俱為五成銀問三

　成銀幾何

　　　　　　法借一根為丙銀數因二色銀鎔於一

　　　　　　處俱為五成故以五成與丙銀三成相

　　　　　　減餘二成為每兩所少之數以五成與

　　　　　　甲銀十成相減餘五成為每兩所多之

　　　　　　數乃以每兩所少二成乗丙銀一根得

　　　　　　二根以每兩所多五成乗甲銀一百二

　　　　　　十四兩得六百二十成是為二根與六

　　　　　　百二十成相等(丙之所少即甲之/所多其數相等也)以丙

　　　　　　銀每兩少二成除之則得一根與三百

　　　　　　一十兩相等前既借一根為丙銀數則

　　　　　　與一根相等之三百一十兩即丙之銀

　　　　　　數也(此和較/比例法)

設如有銀大小共九百二十四錠重二百七十六兩

　大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二問大小

　錠各若干

　　　　　　法借一根為大錠數則小錠為九百二

　　　　　　十四錠少一根因大錠重三分兩之一

　　　　　　小錠重七分兩之二其分母不同乃以

　　　　　　兩分母三與七相乗得二十一為共母

　　　　　　數又以小錠分母七互乗大錠分子一

　　　　　　得七即變三分之一為二十一分之七

　　　　　　為大錠之重數又以大錠分母三互乗

　　　　　　小錠分子二得六即變七分之二為二

　　　　　　十一分之六為小錠之重數乃以一根

　　　　　　與大錠分子七相乗得七根為大錠之

　　　　　　重數以九百二十四錠少一根與小錠

　　　　　　分子六相乗得五千五百四十四少六

　　　　　　根為小錠之重數兩數相加得五千五

　　　　　　百四十四多一根為共重數又各重數

　　　　　　既皆通為二十一分則共重二百七十

　　　　　　六兩亦以分母二十一通之得五千七

　　　　　　百九十六是為五千五百四十四多一

　　　　　　根與五千七百九十六相等五千五百

　　　　　　四十四與五千七百九十六各減五千

　　　　　　五百四十四則餘一根與二百五十二

　　　　　　相等即大錠之共數與共九百二十四

　　　　　　錠相減餘六百七十二為小錠之共數

　　　　　　以大錠重三分兩之一與大錠共數相

　　　　　　乗得八十四兩為大錠之共重數以小

　　　　　　錠重七分兩之二與小錠共數相乗得

　　　　　　一百九十二兩為小錠之共重數相加

　　　　　　得二百七十六兩以合原數也(此和較/比例法)

設如衆人雇船每人出銀一兩二錢則少四兩四錢

　每人出銀一兩五錢則多八兩二錢問人數及船

　價銀各若干

　　　　　　法借一根為人數以一根與一兩五錢

　　　　　　相乗得十五根則船價銀為十五根少

　　　　　　八兩二錢又以一根與一兩二錢相乗

　　　　　　得十二根則船價銀又為十二根多四

　　　　　　兩四錢此二數為相等兩邊各加八兩

　　　　　　二錢得十五根與十二根多十二兩多

　　　　　　錢相等兩邊再各減十二根則餘三根

　　　　　　與十二兩六錢相等三根既與十二兩

　　　　　　六錢相等則一根必與四兩二錢相等

　　　　　　前既借一根為人數則此四兩二錢即

　　　　　　為四十二人為雇船之人數以每人出

　　　　　　一兩二錢乗之得五十兩零四錢再加

　　　　　　四兩四錢得五十四兩八錢為船價以

　　　　　　每人出一兩五錢乗之得六十三兩減

　　　　　　去八兩二錢亦為五十四兩八錢兩數

　　　　　　相同也(此盈/朒法)

設如有銀買緞二色下號緞每疋價銀八兩上號緞

　每疋價銀十一兩若俱買下號者則銀多二百九

　十六兩若俱買上號者則銀多三十二兩問緞數

　及銀數各若干

　　　　　　法借一根為緞數以一根與十一兩相

　　　　　　乗得十一根為上號緞共價則共銀為

　　　　　　十一根多三十二兩又以一根與八兩

　　　　　　相乗得八根為下號緞共價則共銀為

　　　　　　八根多二百九十二兩此二數為相等

　　　　　　兩邊各減三十二兩得十一根與八根

　　　　　　多二百六十四兩相等兩邊再各減八

　　　　　　根則餘三根與二百六十四兩相等三

　　　　　　根既與二百六十四兩相等則一根必

　　　　　　與八十八兩相等前既借一根為緞數

　　　　　　則此八十八兩即為八十八疋為緞之

　　　　　　總數以每疋八兩乗之得七百零四兩

　　　　　　為下號緞共價數加多二百九十六兩

　　　　　　得一千兩為共有銀數以每疋十一兩

　　　　　　乗之得九百六十八兩為上號緞共價

　　　　　　數加多三十二兩亦得一千兩兩數相

　　　　　　同也(此盈/朒法)

設如有井一口不知其深有繩一條不知其長但知

　取繩六分之一比井深少三尺四寸取繩四分之

　一比井深適等問井深及繩長各若干

　　　　　　法借二十四根為繩長數(兩分母相/乗之數)取

　　　　　　其四分之一得六根則井深即為六根

　　　　　　又取其六分之一得四根則井深又為

　　　　　　四根多三尺四寸此二數為相等兩邊

　　　　　　各減四根得二根與三尺四寸相等二

　　　　　　根既與三尺四寸相等則一根必與一

　　　　　　尺七寸相等而二十四根必與四丈零

　　　　　　八寸相等即繩之長數也取其六分之

　　　　　　一得六尺八寸再加三尺四寸共得一

　　　　　　丈零二寸為井深或取其四分之一亦

　　　　　　得一丈零二寸兩數相同也(此盈/朒法)

設如有人買房用本銀三分之二則比房價多五十

　九兩用本銀五分之二則比房價少四十九兩八

　錢問本銀房價各若干

　　　　　　法借十五根為本銀數(兩分母相/乗之數)以用

　　　　　　本銀三分之二比房價多五十九兩計

　　　　　　之則房價為十根少五十九兩以用本

　　　　　　銀五分之二比房價少四十九兩八錢

　　　　　　計之則房價又為六根多四十九兩八

　　　　　　錢此二數為相等兩邊各加五十九兩

　　　　　　得十根與六根多一百零八兩八錢相

　　　　　　等兩邊再各減去六根則餘四根與一

　　　　　　百零八兩八錢相等四根既與一百零

　　　　　　八兩八錢相等則一根必與二十七兩

　　　　　　二錢相等而十五根必與四百零八兩

　　　　　　相等即本銀數取其三分之二得二百

　　　　　　七十二兩減多五十九兩得二百一十

　　　　　　三兩為房價數又將本銀取其五分之

　　　　　　二得一百六十三兩二錢加少四十九

　　　　　　兩八錢亦得二百一十三兩兩數相同

　　　　　　也(此盈/朒法)

設如有銀分給二等人其上等人比下等人多一倍

　上等人比下等人每人多得四兩今欲與下等人

　每人三兩則銀多七十三兩每人四兩則銀少二

　十兩問人數及銀數各若干

　　　　　　法借一根為下等人數則上等人數為

　　　　　　二根以一根與四兩相乗得四根為下

　　　　　　等人所得共銀數以二根與八兩(下等/每人)

　　　　　　(四兩上等多四/兩故每人八兩)相乗得十六根為上等

　　　　　　人所得共銀數兩數相加得二十根為

　　　　　　上下二等人所得共銀數則原銀數即

　　　　　　為二十根少二十兩又以一根與三兩

　　　　　　相乗得三根為下等人所得共銀數以

　　　　　　二根與七兩相乗得十四根為上等人

　　　　　　所得共銀數兩數相加得十七根為上

　　　　　　下二等人所得共銀數則原銀數即為

　　　　　　十七根多七十三兩此兩數為相等兩

　　　　　　邊各加二十兩得二十根與十七根多

　　　　　　九十三兩相等兩邊再各減十七根則

　　　　　　餘三根與九十三兩相等三根既與九

　　　　　　十三兩相等則一根必與三十一兩相

　　　　　　等前既借一根為下等人數則此三十

　　　　　　一兩即為三十一人為下等人數倍之

　　　　　　得六十二人即上等人數以下等三十

　　　　　　一人用三兩乗之得九十三兩以上等

　　　　　　六十二人用七兩乗之得四百三十四

　　　　　　兩兩數相加共得五百二十七兩再加

　　　　　　所多七十三兩得六百兩為原銀數若

　　　　　　以下等三十一人用四兩乗之得一百

　　　　　　二十四兩以上等六十二人用八兩乗

　　　　　　之得四百九十六兩兩數相加共得六

　　　　　　百二十兩減去所少二十兩亦得六百

　　　　　　兩兩數相同也(此盈/朒法)

設如有人分銀不言人數亦不言銀數但知毎四人

　分銀十八兩則銀少八兩每三人分銀十一兩則

　銀多十二兩問人數及銀數各若干

　　　　　　法借十二根為人數以四人分銀十八

　　　　　　兩計之則每人應得四兩五錢爰以四

　　　　　　兩五錢乗十二根得五十四根為共分

　　　　　　銀之數而原銀即為五十四根少八兩

　　　　　　以三人分銀十一兩計之則每人應得

　　　　　　三兩又三分兩之二爰以三兩又三分

　　　　　　兩之二乗十二根得四十四根為共分

　　　　　　銀之數而原銀又為四十四根多十二

　　　　　　兩此兩數為相等兩邊各加八兩得五

　　　　　　十四根與四十四根多二十兩相等兩

　　　　　　邊各減四十四根得十根與二十兩相

　　　　　　等十根既與二十兩相等則十二根必

　　　　　　與二十四兩相等前既借十二根為人

　　　　　　數則此二十四兩即為二十四人為共

　　　　　　人數也以三人為一率十一兩為二率

　　　　　　二十四人為三率求得四率八十八兩

　　　　　　加多十二兩共一百兩為原銀數或以

　　　　　　四人為一率十八兩為二率二十四人

　　　　　　為三率求得四率一百零八兩減少八

　　　　　　兩亦得一百兩兩數相同也(此雙套/盈朒法)

設如有一商人販緞不言每疋價銀之數亦不言每

　疋稅銀之數但知販緞八十疋納稅用緞四疋則

　多銀二兩販緞三百一十疋納稅用緞十四疋則

　少銀六兩五錢問每疋價銀及稅銀幾何

　　　　　　法借一根為緞一疋之價銀數以納稅

　　　　　　用緞四疋多銀二兩計之則緞八十疋

　　　　　　之稅銀數為四根少銀二兩以納稅用

　　　　　　緞十四疋少銀六兩五錢計之則緞三

　　　　　　百一十疋之稅銀數為十四根多銀六

　　　　　　兩五錢此兩緞數不相等故難用比例

　　　　　　須用互乗法以八十疋與三百一十疋

　　　　　　相乗得二萬四千八百疋為共緞數乃

　　　　　　以三百一十疋乗四根少銀二兩得一

　　　　　　千二百四十根少銀六百二十兩為二

　　　　　　萬四千八百疋之稅銀數又以八十疋

　　　　　　乗十四根多銀六兩五錢得一千一百

　　　　　　二十根多五百二十兩亦為二萬四千

　　　　　　八百疋之稅銀數此兩緞數既為相等

　　　　　　故乗出之稅銀數亦為相等兩邊各加

　　　　　　六百二十兩得一千二百四十根與一

　　　　　　千一百二十根多一千一百四十兩相

　　　　　　等兩邊再各減一千一百二十根則餘

　　　　　　一百二十根與一千一百四十兩相等

　　　　　　一百二十根既與一千一百四十兩相

　　　　　　等則一根必與九兩五錢相等即緞一

　　　　　　疋之價銀數以緞四疋與銀九兩五錢

　　　　　　相乗得三十八兩減去多二兩餘三十

　　　　　　六兩即緞八十疋之稅銀數以八十疋

　　　　　　除三十六兩得四錢五分即緞一疋之

　　　　　　稅銀數以四錢五分與緞三百一十疋

　　　　　　相乗得一百三十九兩五錢即緞三百

　　　　　　一十疋之稅銀數又以緞十四疋與九

　　　　　　兩五錢相乗得一百三十三兩再加少

　　　　　　六兩五錢亦得一百三十九兩五錢兩

　　　　　　數相同也(此雙套/盈朒法)

設如有銀一千二百零九兩令甲乙二人分之取甲

　四分之一與乙三分之一相加即與甲銀等問二

　人各得幾何

　　　　　　法借十二根(兩分母/相乗數)為甲銀數則乙銀

　　　　　　為一千二百零九兩少十二根取甲銀

　　　　　　四分之一為三根取乙銀三分之一為

　　　　　　四百零三兩少四根相加得四百零三

　　　　　　兩少一根是為十二根與四百零三兩

　　　　　　少一根相等十二根與少一根各加一

　　　　　　根得十三根與四百零三兩相等十三

　　　　　　根既與四百零三兩相等則十二根必

　　　　　　與三百七十二兩相等即甲銀數於總

　　　　　　銀内減甲銀數餘八百三十七兩即乙

　　　　　　銀數取甲銀四分之一得九十三兩取

　　　　　　乙銀三分之一得二百七十九兩相加

　　　　　　得三百七十二兩與甲銀等也(此借衰/互徵法)

　　　　　　(用方程法/算之亦可)

設如有銀一千兩令甲乙丙三人分之乙所得之數

　倍於甲仍多三十兩丙所得之數倍於乙問每人

　各得若干

　　　　　　法借一根為甲銀數則乙為二根多三

　　　　　　十兩丙為四根多六十兩三數相併共

　　　　　　得七根多九十兩而與一千兩相等九

　　　　　　十兩與一千兩各減九十兩餘七根與

　　　　　　九百一十兩相等七根既與九百一十

　　　　　　兩相等則一根必與一百三十兩相等

　　　　　　即甲所得銀數倍之再加三十兩得二

　　　　　　百九十兩為乙所得銀數又倍之得五

　　　　　　百八十兩為丙所得銀數也(此借衰互/徵法用方)

　　　　　　(程法算/之亦可)

設如甲乙丙三人分銀六千兩乙得甲三分之一丙

　得乙二分之一問三人各得幾何

　　　　　　法借一根為甲銀數則乙銀為三分根

　　　　　　之一丙銀為六分根之一三數相加得

　　　　　　六分根之九(以甲一根為六分則乙為/六分根之二丙為六分根)

　　　　　　(之一共得六分根/之九即一根半)與六千兩相等各以

　　　　　　六乗之得九根與三萬六千兩相等九

　　　　　　根既與三萬六千兩相等則一根必與

　　　　　　四千兩相等即甲銀數三分之得一千

　　　　　　三百三十三兩又三分兩之一為乙銀

　　　　　　數又二分之得六百六十六兩又三分

　　　　　　兩之二為丙銀數也

　　　　　　又法借一根為丙銀數則乙銀為二根

　　　　　　甲銀為六根相加得九根與六千兩相

　　　　　　等九根既與六千兩相等則一根必與

　　　　　　六百六十六兩又三分兩之二相等即

　　　　　　丙銀數倍之得一千三百三十三兩又

　　　　　　三分兩之一為乙銀數三因之得四千

　　　　　　兩即甲銀數也(此借衰/互徵法)

設如有金銀錫銅四色不言重數但知共數五分之

　二為銅數金銀錫共數七分之四為錫數金銀共

　數八分之五為銀數金重三千零二十四兩問四

　色各重若干

　　　　　　法借二百八十根為共數(用三分母連/乗之數取其)

　　　　　　(可以度/盡也)取其五分之二得一百一十二

　　　　　　根為銅數與二百八十根相減餘一百

　　　　　　六十八根為金銀錫之共數取其七分

　　　　　　之四得九十六根為錫數與一百六十

　　　　　　八根相減餘七十二根為金銀之共數

　　　　　　又取其八分之五得四十五根為銀數

　　　　　　與七十二根相減餘二十七根為金數

　　　　　　是為二十七根與三千零二十四兩相

　　　　　　等二十七根既與三千零二十四兩相

　　　　　　等則一根必與一百一十二兩相等四

　　　　　　十五根必與五千零四十兩相等即銀

　　　　　　數九十六根必與一萬零七百五十二

　　　　　　兩相等即錫數一百一十二根必與一

　　　　　　萬二千五百四十四兩相等即銅數四

　　　　　　數相加共得三萬一千三百六十兩以

　　　　　　所借共重二百八十根與每一根之一

　　　　　　百一十二兩相乗亦得三萬一千三百

　　　　　　六十兩為四色之共數也(此借衰/互徵法)

設如有銀三百五十六兩分與三等人一等五人二

　等四人三等三人一等所得倍於二等内少二兩

　二等所得倍於三等又多四兩問三等人每人各

　得幾何

　　　　　　法借一根為三等一人所得銀數則二

　　　　　　等一人所得銀數為二根多四兩一等

　　　　　　一人所得銀數為四根多六兩以各等

　　　　　　共人數因之則三等所得共銀數為三

　　　　　　根二等所得共銀數為八根多十六兩

　　　　　　一等所得共銀數為二十根多三十兩

　　　　　　三數相加共得三十一根多四十六兩

　　　　　　為與三百五十六兩相等三十一根多

　　　　　　四十六兩與三百五十六兩各減去四

　　　　　　十六兩則餘三十一根與三百一十兩

　　　　　　相等三十一根既與三百一十兩相等

　　　　　　則一根必與十兩相等即三等一人所

　　　　　　得銀數倍之加四兩得二十四兩即二

　　　　　　等一人所得銀數又倍之減二兩得四

　　　　　　十六兩即一等一人所得銀數三等三

　　　　　　人共得三十兩二等四人共得九十六

　　　　　　兩一等五人共得二百三十兩三數相

　　　　　　加共得三百五十六兩以合原數也(此/借)

　　　　　　(衰互/徵法)

設如甲丙二人共有米三百八十四石甲納官八分

　之一丙納官六分之一共納五十四石問二人原

　米及納官米各若干

　　　　　　法借一根為甲納米數則丙納米為五

　　　　　　十四石少一根將甲納米一根八因之

　　　　　　得八根為甲原米數丙納米五十四石

　　　　　　少一根六因之得三百二十四石少六

　　　　　　根為丙原米數相加得三百二十四石

　　　　　　多二根為甲丙共米數是為三百二十

　　　　　　四石多二根與三百八十四石相等三

　　　　　　百二十四石與三百八十四石各減去

　　　　　　三百二十四石餘二根與六十石相等

　　　　　　二根既與六十石相等則一根必與三

　　　　　　十石相等即甲所納米數八因之得二

　　　　　　百四十石為甲原米數以甲原米數與

　　　　　　三百八十四石相減餘一百四十四石

　　　　　　為丙原米數六歸之得二十四石即丙

　　　　　　所納米數也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如甲乙二人不言本銀若干但知以乙本銀三分

　之一與甲本銀相加再加六十兩共得一千兩以

　甲本銀五分之一與乙本銀相加亦得一千兩問

　二人本銀各幾何

　　　　　　法借十五根(兩分母/相乗數)為乙本銀數以乙

　　　　　　三分之一與甲本銀相加又加六十兩

　　　　　　共得一千兩計之則甲本銀應得九百

　　　　　　四十兩少五根取其五分之一則為一

　　　　　　百八十八兩少一根以甲本銀五分之

　　　　　　一一百八十八兩少一根與乙本銀十

　　　　　　五根相加得一百八十八兩多十四根

　　　　　　與一千兩相等一邊一百八十八兩一

　　　　　　邊一千兩各減去一百八十八兩則得

　　　　　　十四根與八百一十二兩相等十四根

　　　　　　既與八百一十二兩相等則一根必與

　　　　　　五十八兩相等前既借十五根為乙本

　　　　　　銀數乃以十五乗之得八百七十兩即

　　　　　　乙本銀數取其三分之一得二百九十

　　　　　　兩與一千兩相減又減六十兩餘六百

　　　　　　五十兩即甲本銀數也(此疊借互徵法/用方程法算之)

　　　　　　(亦/可)

設如甲乙二商不言本銀若干但知各得利銀九十

　兩其甲之本利共銀三倍於乙之本銀乙之本利

　共銀二倍於甲之本銀問每人本銀幾何

　　　　　　法借三根為甲之本銀數加利銀九十

　　　　　　兩得三根多九十兩為甲之本利共銀

　　　　　　數甲之本利共銀既三倍於乙之本銀

　　　　　　則乙之本銀數即為一根多三十兩再

　　　　　　加利銀九十兩得一根多一百二十兩

　　　　　　為乙之本利共銀數亦為甲之本銀之

　　　　　　二倍也乃以甲之本銀三根倍之得六

　　　　　　根與乙之一根多一百二十兩相等六

　　　　　　根與一根各減去一根則餘五根與一

　　　　　　百二十兩相等五根既與一百二十兩

　　　　　　相等則三根必與七十二兩相等即甲

　　　　　　之本銀數加利銀九十兩得一百六十

　　　　　　二兩三歸之得五十四兩為乙之本銀

　　　　　　數以乙本銀五十四兩加利銀九十兩

　　　　　　共一百四十四兩為甲之本銀之二倍

　　　　　　也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如甲丙二人有銀不言其數但知甲銀加九兩為

　丙銀之三倍丙銀加七兩為甲銀之二倍問二人

　各銀若干

　　　　　　法借六根(三倍二倍/相乗數)為甲銀數加九兩

　　　　　　為六根多九兩甲銀加九兩既為丙銀

　　　　　　之三倍則以三歸之得二根多三兩為

　　　　　　丙銀數加七兩為二根多十兩丙銀加

　　　　　　七兩既為甲銀之二倍則以二歸之得

　　　　　　一根多五兩仍為甲銀數先借六根與

　　　　　　今所得一根多五兩既同為甲銀數則

　　　　　　其數必等六根與一根各減一根餘五

　　　　　　根與五兩相等五根既與五兩相等則

　　　　　　六根必與六兩相等即甲銀數加九兩

　　　　　　得一十五兩三歸之得五兩即丙銀數

　　　　　　加七兩得一十二兩即甲銀六兩之二

　　　　　　倍也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如甲丙二人有銀不言其數但知將丙銀與甲二

　兩則甲銀為丙銀之二倍若將甲銀與丙三兩則

　丙銀為甲銀之三倍問二人各銀若干

　　　　　　法借六根(二倍三倍/相乗數)為甲原銀數加丙

　　　　　　與甲二兩得六根多二兩以丙銀與甲

　　　　　　二兩則甲銀為丙銀之二倍計之則以

　　　　　　六根多二兩半之得三根多一兩為丙

　　　　　　餘銀數丙先以二兩與甲則丙之原銀

　　　　　　必為三根多三兩加甲與丙二兩得三

　　　　　　根多六兩以甲銀與丙三兩則丙銀為

　　　　　　甲銀之三倍計之則以三根多六兩三

　　　　　　歸之得一根多二兩為甲餘銀數甲先

　　　　　　以三兩與丙則甲之原銀必為一根多

　　　　　　五兩夫先借六根與今所得一根多五

　　　　　　兩既同為甲原銀數則其數必等六根

　　　　　　與一根各減一根餘五根與五兩相等

　　　　　　五根既與五兩相等則六根必與六兩

　　　　　　相等即甲原銀之數加丙與甲二兩得

　　　　　　八兩半之得四兩為丙餘銀之數丙餘

　　　　　　銀既為四兩則原銀必為六兩加甲與

　　　　　　丙三兩得九兩三歸之得三兩即甲餘

　　　　　　銀之數也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如甲乙二人共銀一千二百四十兩於甲銀内加

　乙銀四分之一乙銀内加甲銀五分之一其數相

　等問二人原銀各幾何

　　　　　　法借二十根(兩分母/相乗數)為甲原銀數則一

　　　　　　千二百四十兩少二十根為乙原銀數

　　　　　　甲原銀五分之一為四根乙原銀四分

　　　　　　之一為三百一十兩少五根將甲原銀

　　　　　　五分之一四根與乙原銀一千二百四

　　　　　　十兩少二十根相加得一千二百四十

　　　　　　兩少十六根(原少二十根加入/四根止少十六根)將乙原

　　　　　　銀四分之一三百一十兩少五根與甲

　　　　　　原銀二十根相加得三百一十兩多十

　　　　　　五根(原二十根補乙少/五根餘十五根)此二數為相等

　　　　　　少十六根與多十五根各加十六根則

　　　　　　得一千二百四十兩與三百一十兩多

　　　　　　三十一根相等再一千二百四十兩與

　　　　　　三百一十兩各減三百一十兩則餘九

　　　　　　百三十兩與三十一根相等九百三十

　　　　　　兩既與三十一根相等則六百兩必與

　　　　　　二十根相等前既借二十根為甲原銀

　　　　　　數則此六百兩即甲原銀之數以六百

　　　　　　兩與一千二百四十兩相減餘六百四

　　　　　　十兩即乙原銀之數若甲銀内加乙原

　　　　　　銀四分之一一百六十兩乙銀内加甲

　　　　　　原銀五分之一一百二十兩則俱為七

　　　　　　百六十兩也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如甲原有銀五十兩乙原有銀八十兩乙用過之

　銀比甲用過之銀爲三分之一甲所餘之銀比乙

　所餘之銀亦爲三分之一問二人用銀及餘銀各

　若干

　　　　　　法借一根爲乙用過銀數則甲用過之

　　　　　　銀爲三根而乙所餘之銀爲八十兩少

　　　　　　一根甲所餘之銀爲五十兩少三根甲

　　　　　　餘銀既比乙餘銀爲三分之一則以甲

　　　　　　餘銀五十兩少三根三因之爲一百五

　　　　　　十兩少九根是爲乙餘銀八十兩少一

　　　　　　根與甲餘銀一百五十兩少九根相等

　　　　　　少一根與少九根各加九根得八十兩

　　　　　　多八根與一百五十兩相等再八十兩

　　　　　　與一百五十兩各減八十兩餘八根與

　　　　　　七十兩相等八根既與七十兩相等則

　　　　　　一根必與八兩七錢五分相等即乙用

　　　　　　過銀數三因之得二十六兩二錢五分

　　　　　　即甲用過銀數以甲用過銀數與甲原

　　　　　　有銀數相減餘二十三兩七錢五分爲

　　　　　　甲所餘銀數三因之得七十一兩二錢

　　　　　　五分即乙所餘銀數也(此疊借互徵法/用方程法算之)

　　　　　　(亦/可)

設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲銀比乙銀所

　多之數與丙銀四分之一相等乙銀比丙銀所多

　之數與甲銀五分之一相等若以乙銀五分之二

　與丙銀相較則丙銀多一百一十四兩問三人各

　銀幾何

　　　　　　法借五根爲乙銀數則丙銀數爲二根

　　　　　　多一百一十四兩於乙銀數五根内減

　　　　　　去丙銀數二根多一百一十四兩餘三

　　　　　　根少一百一十四兩爲乙銀比丙銀所

　　　　　　多之數與甲銀五分之一相等五因之

　　　　　　得一十五根少五百七十兩爲甲銀數

　　　　　　又於甲銀數一十五根少五百七十兩

　　　　　　内減去乙銀數五根餘十根少五百七

　　　　　　十兩爲甲銀比乙銀所多之數與丙銀

　　　　　　四分之一相等四因之得四十根少二

　　　　　　千二百八十兩亦爲丙銀數此四十根

　　　　　　少二千二百八十兩與二根多一百一

　　　　　　十四兩既同爲丙銀數是爲相等乃於

　　　　　　二根多一百一十四兩與四十根少二

　　　　　　千二百八十兩各加二千二百八十兩

　　　　　　得二根多二千三百九十四兩與四十

　　　　　　根相等二根與四十根再各減二根則

　　　　　　餘三十八根與二千三百九十四兩相

　　　　　　等三十八根既與二千三百九十四兩

　　　　　　相等則一根必與六十三兩相等而五

　　　　　　根必與三百一十五兩相等即乙銀數

　　　　　　丙銀數既爲二根多一百一十四兩乃

　　　　　　以六十三兩倍之得一百二十六兩(即/二)

　　　　　　(根之數亦即乙/五分之二之數)加一百一十四兩共得

　　　　　　二百四十兩即丙銀數甲銀比乙銀所

　　　　　　多之數既爲丙銀四分之一乃以丙銀

　　　　　　數四歸之得六十兩與乙銀三百一十

　　　　　　五兩相加得三百七十五兩即甲銀數

　　　　　　也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如甲乙丙三人有銀但知甲銀七十兩乙銀三十

　四兩而丙銀不知數如以丙銀與甲銀相減又以

　丙銀與乙銀相減其甲銀之餘則三倍於乙問丙

　銀若干

　　　　　　法借一根爲丙銀數則甲丙相減之餘

　　　　　　爲七十兩少一根乙丙相減之餘爲三

　　　　　　十四兩少一根甲之餘銀既三倍於乙

　　　　　　則以乙丙相減之餘三十四兩少一根

　　　　　　三因之得一百零二兩少三根是爲七

　　　　　　十兩少一根與一百零二兩少三根相

　　　　　　等少一根與少三根各加三根得七十

　　　　　　兩多二根與一百零二兩相等七十兩

　　　　　　與一百零二兩各減七十兩則餘二根

　　　　　　與三十二兩相等二根既與三十二兩

　　　　　　相等則一根必與十六兩相等即丙銀

　　　　　　數與甲銀七十兩相減餘五十四兩與

　　　　　　乙銀三十四兩相減餘十八兩是甲餘

　　　　　　銀爲乙餘銀之三倍也(此疊借互徵法/用方程法算之)

　　　　　　(亦/可)

設如甲乙丙三人各有銀不言數但知將乙銀十兩

　與甲則甲乙二人之銀相等若將丙銀十四兩與

　乙則乙丙二人之銀相等若將甲銀十八兩與丙

　則丙銀比甲銀爲五倍問三人各銀若干

　　　　　　法借一根爲甲原銀數則乙之原銀必

　　　　　　爲一根多二十兩(以十兩與甲則皆爲/一根多十兩其數相)

　　　　　　(等/)丙之原銀必爲一根多四十八兩(乙/之)

　　　　　　(原銀既爲一根多二十兩再加十四/兩俱爲一根多三十四兩其數相等)又

　　　　　　甲之原銀既爲一根以十八兩與丙計

　　　　　　之則爲一根少十八兩丙之原銀既爲

　　　　　　一根多四十八兩今再加十八兩則爲

　　　　　　一根多六十六兩此丙之一根多六十

　　　　　　六兩比甲之一根少十八兩既爲五倍

　　　　　　則以甲之一根少十八兩五因之得五

　　　　　　根少九十兩而與丙之一根多六十六

　　　　　　兩爲相等少九十兩與多六十六兩各

　　　　　　加九十兩得五根與一根多一百五十

　　　　　　六兩相等五根與一根各減一根則餘

　　　　　　四根與一百五十六兩相等四根既與

　　　　　　一百五十六兩相等則一根必與三十

　　　　　　九兩相等即甲原銀之數甲原銀既爲

　　　　　　三十九兩則乙原銀必爲五十九兩以

　　　　　　十兩與甲則皆得四十九兩乙原銀既

　　　　　　爲五十九兩則丙原銀必爲八十七兩

　　　　　　以十四兩與乙則皆得七十三兩丙原

　　　　　　銀既爲八十七兩甲原銀既爲三十九

　　　　　　兩甲以十八兩與丙則丙爲一百零五

　　　　　　兩而甲爲二十一兩是丙銀比甲銀爲

　　　　　　五倍也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如甲乙丙三人有銀但知甲銀二萬五千兩乙得

　甲丙共銀二分之一丙得甲乙共銀八分之一問

　乙丙二人各銀幾何

　　　　　　法借二根爲丙銀數則甲乙共銀數爲

　　　　　　十六根乙銀數爲十六根少二萬五千

　　　　　　兩甲丙共銀數爲二根多二萬五千兩

　　　　　　半之又得乙銀數爲一根多一萬二千

　　　　　　五百兩十六根少二萬五千兩與一根

　　　　　　多一萬二千五百兩既同爲乙銀數則

　　　　　　爲相等十六根少二萬五千兩與一根

　　　　　　多一萬二千五百兩各加二萬五千兩

　　　　　　得十六根與一根多三萬七千五百兩

　　　　　　相等十六根與一根各減一根則餘十

　　　　　　五根與三萬七千五百兩相等十五根

　　　　　　既與三萬七千五百兩相等則二根必

　　　　　　與五千兩相等即丙銀數與甲銀二萬

　　　　　　五千兩相加得三萬兩半之得一萬五

　　　　　　千兩即乙銀數也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如一商貿易不言本銀若干但知第一次所得利

　銀比本銀爲四分之一用去銀二十兩第二次所

　得利銀比第二次本銀爲五分之二用去銀十四

　兩第三次所得利銀比第三次本銀爲三分之一

　用去銀十五兩合計所餘利銀共八十兩問原本

　銀及每次所得利銀各幾何

　　　　　　法借十二根爲原本銀數則第一次利

　　　　　　銀爲三根本利相加得十五根内減用

　　　　　　去銀二十兩得十五根少二十兩爲第

　　　　　　二次本銀數取其五分之二得六根少

　　　　　　八兩爲第二次利銀數本利相加得二

　　　　　　十一根少二十八兩又減用去銀十四

　　　　　　兩得二十一根少四十二兩爲第三次

　　　　　　本銀數取其三分之一得七根少十四

　　　　　　兩爲第三次利銀數以第三次本利相

　　　　　　加得二十八根少五十六兩又減用去

　　　　　　銀十五兩則爲二十八根少七十一兩

　　　　　　而原借十二根與所餘利銀八十兩遂

　　　　　　爲十二根多八十兩是爲二十八根少

　　　　　　七十一兩與十二根多八十兩相等少

　　　　　　七十一兩與多八十兩各加七十一兩

　　　　　　得二十八根與十二根多一百五十一

　　　　　　兩相等二十八根與十二根各減十二

　　　　　　根得十六根與一百五十一兩相等十

　　　　　　六根既與一百五十一兩相等則十二

　　　　　　根必與一百一十三兩二錢五分相等

　　　　　　即原本銀數四歸之得二十八兩三錢

　　　　　　一分二釐五毫即第一次所得利銀數

　　　　　　本利相加減用去二十兩得一百二十

　　　　　　一兩五錢六分二釐五毫即第二次本

　　　　　　銀數取其五分之二得四十八兩六錢

一　　　　　二分五釐即第二次所得利銀數本利

一　　　　　相加又減用去十四兩得一百五十六

　　　　　　兩一錢八分七釐五毫即第三次本銀

　　　　　　數三歸之得五十二兩零六分二釐五

　　　　　　毫即第三次所得利銀數本利相加又

　　　　　　減用去十五兩得一百九十三兩二錢

　　　　　　五分即原本銀與三次所餘共利銀相

　　　　　　加之數蓋原本銀一百一十三兩二錢

　　　　　　五分又加所餘共利銀八十兩即一百

　　　　　　九十三兩二錢五分兩數相等也(此疊/借互)

　　　　　　(徵/法)

設如有人貿易四次第一次所得利銀比原本銀爲

　九分之一用去銀比原本銀爲十二分之一第二

　次所得利銀比原本銀爲六分之一用去銀比原

　本銀爲九分之四第三次所得利銀比原本銀爲

　四分之一用去銀比原本銀爲二分之一第四次

　所得利銀比原本銀爲三分之一用去銀比原本

　銀爲三分之二合四次利銀已用盡仍用本銀六

　百兩問本利銀各若干

　　　　　　法借三十六根爲本銀數(借三十六者/以九與十二)

　　　　　　(與六皆係用三可以度盡之數獨四與/九不能度盡故借四九相乘之數則各)

　　　　　　(分母皆可/以度盡也)則第一次利銀爲四根第二

　　　　　　次利銀爲六根第三次利銀爲九根第

　　　　　　四次利銀爲十二根四數相加共得三

　　　　　　十一根爲四次利銀之共數第一次用

　　　　　　去爲三根第二次用去爲十六根第三

　　　　　　次用去爲十八根第四次用去爲二十

　　　　　　四根四數相加共得六十一根爲四次

　　　　　　用去銀之共數以四次利銀皆用盡仍

　　　　　　用本銀六百兩計之則四次利銀之共

　　　　　　數三十一根仍如本銀六百兩乃與四

　　　　　　次用去銀之共數六十一根相等也三

　　　　　　十一根與六十一根各減去三十一根

　　　　　　則餘三十根與六百兩相等三十根既

　　　　　　與六百兩相等則一根必與二十兩相

　　　　　　等而三十六根必與七百二十兩相等

　　　　　　即本銀數三十一根又與六百二十兩

　　　　　　相等即利銀數六十一根又與一千二

　　　　　　百二十兩相等即用去銀數也(此疊借/互徵法)

設如甲乙丙丁四人同出銀作生理内甲丙丁三人

　所出銀不言數但知乙出銀五兩若將甲所出銀

　二分之一與乙又將乙所出銀五分之一與丙又

　將丙所出銀七分之一與丁又將丁所出銀九分

　之一與甲則四人所出之銀皆相等問四人各出

　銀若干

　　　　　　法借二根爲甲出銀數則甲將一根(二/分)

　　　　　　(之/一)與乙乙將一兩(五分/之一)與丙是甲爲一

　　　　　　根乙爲一根多四兩今以甲與乙相較

　　　　　　則數不相等蓋因甲尚當得丁銀九分

　　　　　　之一也甲因未得丁銀九分之一故比

　　　　　　乙銀少四兩是四兩即丁銀之九分之

　　　　　　一也九分之一既爲四兩則三十六兩

　　　　　　即爲丁原銀數丁既以四兩與甲則丁

　　　　　　所餘止三十二兩以丁三十二兩與乙

　　　　　　一根多四兩相較其數又不相等蓋因

　　　　　　丁尚當得丙銀七分之一也丁因未得

　　　　　　丙銀七分之一故比乙銀差一根少二

　　　　　　十八兩(於乙一根多四兩内減去三十/二兩即餘一根少二十八兩也)

　　　　　　是一根少二十八兩即丙銀之七分之

　　　　　　一也七分之一既爲一根少二十八兩

　　　　　　則七根少一百九十六兩即爲丙原銀

　　　　　　數丙既以一根少二十八兩與丁則丙

　　　　　　所餘爲六根少一百六十八兩再加乙

　　　　　　所與之一兩則丙得六根少一百六十

　　　　　　七兩矣夫四人既按分各與之則乙爲

　　　　　　一根多四兩甲餘一根又得丁四兩亦

　　　　　　爲一根多四兩丁餘三十二兩又得丙

　　　　　　一根少二十八兩亦爲一根多四兩其

　　　　　　數皆相等則丙之六根少一百六十七

　　　　　　兩亦必與一根多四兩爲相等矣少一

　　　　　　百六十七兩與多四兩各加一百六十

　　　　　　七兩得六根與一根多一百七十一兩

　　　　　　相等六根與一根各減一根則餘五根

　　　　　　與一百七十一兩相等五根既與一百

　　　　　　七十一兩相等則一根必與三十四兩

　　　　　　二錢相等而二根必與六十八兩四錢

　　　　　　相等即甲所出銀數又七根必與二百

　　　　　　三十九兩四錢相等内減去一百九十

　　　　　　六兩(丙原爲七根少/一百九十六兩)餘四十三兩四錢

　　　　　　爲丙所出銀數乃於丁所出銀内減九

　　　　　　分之一(餘三十/二兩)加丙銀之七分之一(六/兩)

　　　　　　(二/錢)得三十八兩二錢於丙所出銀内減

　　　　　　七分之一(餘三十七/兩二錢)加乙銀之五分之

　　　　　　一(一/兩)亦得銀三十八兩二錢於乙所出

　　　　　　銀内減五分之一(餘四/兩)加甲銀之二分

　　　　　　之一(三十四/兩二錢)亦得銀三十八兩二錢於

　　　　　　甲所出銀内減二分之一(餘三十四/兩二錢)加

　　　　　　丁銀之九分之一(四/兩)亦得銀三十八兩

　　　　　　二錢也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如甲乙丙丁戊五人各出銀不言數但知甲乙共

　銀二百四十兩丙銀爲甲銀三分之一丁銀爲乙

　銀四分之一戊銀七十二兩與丙丁共數相等問

　五人各銀若干

　　　　　　法借十二根爲甲銀數則乙銀爲二百

　　　　　　四十兩少十二根丙銀爲四根丁銀爲

　　　　　　六十兩少三根以丙丁二數相加得六

　　　　　　十兩多一根而與戊銀七十二兩相等

　　　　　　七十二兩與六十兩各減六十兩得十

　　　　　　二兩與一根相等十二兩既與一根相

　　　　　　等則十二根必與一百四十四兩相等

　　　　　　即甲銀數甲乙共銀二百四十兩内減

　　　　　　甲銀數餘九十六兩即乙銀數將甲銀

　　　　　　數三歸之得四十八兩即丙銀數將乙

　　　　　　銀數四歸之得二十四兩即丁銀數也

　　　　　　(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如有銀六百兩令甲乙丙丁戊己六人分之甲乙

　共得二百兩丙丁共得二百兩戊己共得二百兩

　丙所得銀比甲所得銀爲四分之一戊所得銀比

　丁所得銀爲三分之一乙所得銀比己所得銀爲

　二分之一問六人各分銀幾何

　　　　　　法借十二根爲甲所得銀數則乙所得

　　　　　　銀爲二百兩少十二根丙所得銀爲三

　　　　　　根丁所得銀爲二百兩少三根戊所得

　　　　　　銀爲六十六兩又三分兩之二少一根

　　　　　　(戊比丁爲三分之一/以三除丁數即是)己所得銀爲四百

　　　　　　兩少二十四根(乙比己爲二分之一/以二乗乙數即是)以

　　　　　　戊己兩數相加得四百六十六兩又三

　　　　　　分兩之二少二十五根是爲二百兩與

　　　　　　四百六十六兩又三分兩之二少二十

　　　　　　五根相等二百兩與四百六十六兩又

　　　　　　三分兩之二少二十五根各加二十五

　　　　　　根得二百兩多二十五根與四百六十

　　　　　　六兩又三分兩之二相等二百兩與四

　　　　　　百六十六兩又三分兩之二各減二百

　　　　　　兩則餘二十五根與二百六十六兩又

　　　　　　三分兩之二相等二十五根既與二百

　　　　　　六十六兩又三分兩之二相等則一根

　　　　　　必與十兩又三分兩之二相等三根必

　　　　　　與三十二兩相等即丙所得銀數四因

　　　　　　之得一百二十八兩爲甲所得銀數甲

　　　　　　乙共得二百兩内減甲所得銀數餘七

　　　　　　十二兩爲乙所得銀數丙丁共得二百

　　　　　　兩内減丙所得銀數餘一百六十八兩

　　　　　　爲丁所得銀數乙所得銀七十二兩二

　　　　　　因之得一百四十四兩爲己所得銀數

　　　　　　丁所得銀一百六十八兩三歸之得五

　　　　　　十六兩爲戊所得銀數也(此疊借互徵/法用方程法)

　　　　　　(算之/亦可)

設如有駝一羣七十二個馬一羣不知數牛一羣與

　駝馬相併之數等羊一羣與駝馬相乗之數等又

　爲牛數之六十倍問馬牛羊各幾何

　　　　　　法借一根爲馬數則一根多七十二爲

　　　　　　牛數以駝數七十二與馬數一根相乗

　　　　　　得七十二根爲羊數再以牛數一根多

　　　　　　七十二與六十相乗得六十根多四千

　　　　　　三百二十亦爲羊數此兩數既同爲羊

　　　　　　數則爲相等七十二根與六十根各減

　　　　　　六十根則餘十二根與四千三百二十

　　　　　　相等十二根既與四千三百二十相等

　　　　　　則一根必與三百六十相等即馬一羣

　　　　　　之數與駝數相加得四百三十二即牛

　　　　　　一羣之數再與六十相乗得二萬五千

　　　　　　九百二十即羊一羣之數以駝七十二

　　　　　　與馬三百六十相乘亦得二萬五千九

　　　　　　百二十爲相等也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如有大小二石不知重數有銅條一根重十二兩

　均分十二分以繩繫於第五分之上一頭五分一

　頭七分將大石掛於銅條之端離提繫五分而以

　小石作砣稱之離提繫六分始平又將小石掛於

　銅條之端離提繫五分而以大石作砣稱之離提

　繫四分始平問二石各重若干

　　　　　　法先以五分加一倍與十二分相減餘

　　　　　　二分折半得一分與五分相加爲六分

　　　　　　乃以五分爲一率六分爲二率餘二分

　　　　　　之重二兩爲三率求得四率二兩四錢

　　　　　　即五分之端加二兩四錢始與七分相

　　　　　　平也今大石離提繫五分小石離提繫

　　　　　　六分而平是大石重六分小石重五分

　　　　　　而大石多二兩四錢則小石爲大石六

　　　　　　分之五而少二兩也(銅條五分之端應/加二兩四錢而平)

　　　　　　(今大石在五分之一頭是大石多二兩/四錢也將二兩四錢以大石之六分除)

　　　　　　(之每分得四錢是大石比小石每分多/四錢以小石五分計之則大石比小石)

　　　　　　(多二兩故小石爲大石之/六分之五而少二兩也)又小石離提

　　　　　　繫五分大石離提繫四分而平是小石

　　　　　　重四分大石重五分而小石多二兩四

　　　　　　錢則小石爲大石五分之四而多二兩

　　　　　　四錢也(銅條五分之端應加二兩四錢/而平今小石在五分之一頭是)

　　　　　　(小石多二兩四錢也將二兩四錢以小/石之四分除之每分得六錢是小石比)

　　　　　　(大石每分多六錢以小石四分計之則/小石比大石多二兩四錢故小石爲大)

　　　　　　(石之五分之四而/多二兩四錢也)乃借三十根(六分五/分相乗)

　　　　　　(之/數)爲大石之重數以小石爲大石六分

　　　　　　之五而少二兩計之則小石之重爲二

　　　　　　十五根少二兩以小石爲大石五分之

　　　　　　四而多二兩四錢計之則小石之重又

　　　　　　爲二十四根多二兩四錢此兩數爲相

　　　　　　等兩邊各加二兩得二十五根與二十

　　　　　　四根多四兩四錢相等兩邊再各減去

　　　　　　二十四根餘一根與四兩四錢相等一

　　　　　　根既與四兩四錢相等則三十根必與

　　　　　　一百三十二兩相等即大石之重數六

　　　　　　歸之得二十二兩五因之得一百一十

　　　　　　兩減去二兩得一百零八兩即小石之

　　　　　　重數或以大石之重數五歸之得二十

　　　　　　六兩四錢四因之得一百零五兩六錢

　　　　　　加二兩四錢亦得一百零八兩爲小石

　　　　　　之重數也(此疊借互徵法用/方程法算之亦可)

設如有銀買馬牛二色馬四匹牛八頭共價五十六

　兩又馬三匹牛五頭共價三十八兩問馬牛各價

　若干

　　　　　　法借一根爲牛一頭之價則前牛八頭

　　　　　　之共價爲八根前馬四匹之共價爲五

　　　　　　十六兩少八根而後牛五頭之共價爲

　　　　　　五根乃以前馬四匹爲一率共價五十

　　　　　　六兩少八根爲二率後馬三匹爲三率

　　　　　　求得四率四十二兩少六根爲後馬三

　　　　　　匹之共價内加後牛五頭之共價五根

　　　　　　得四十二兩少一根爲後馬三匹牛五

　　　　　　頭之共價與後共價三十八兩相等四

　　　　　　十二兩少一根與三十八兩各加一根

　　　　　　得四十二兩與三十八兩多一根相等

　　　　　　四十二兩與三十八兩多一根再各減

　　　　　　去三十八兩則餘四兩與一根相等即

　　　　　　牛一頭之價八因之得三十二兩爲前

　　　　　　牛八頭之共價於前共價五十六兩内

　　　　　　減之餘二十四兩爲前馬四匹之共價

　　　　　　四歸之得六兩爲馬一匹之價又以後

　　　　　　馬三匹因之得十八兩爲後馬三匹之

　　　　　　共價於後共價三十八兩内減之餘二

　　　　　　十兩爲後牛五頭之共價五歸之亦得

　　　　　　四兩爲牛一頭之價也(此二色和/數方程法)

設如有錢買桃梨二色桃四個比梨八個少錢十二

　文桃九個比梨六個多錢二十一文問桃梨多價

　若干

　　　　　　法借一根爲桃一個之價則前桃四個

　　　　　　之共價爲四根前梨八個之共價爲十

　　　　　　二文多四根而後桃九個之共價爲九

　　　　　　根乃以前梨八個爲一率共價十二文

　　　　　　多四根爲二率後梨六個爲三率求得

　　　　　　四率九文多三根爲後梨六個之共價

　　　　　　加後桃比梨多錢二十一文得三十文

　　　　　　多三根與後桃九個之共價九根相等

　　　　　　(九桃比六梨多二十一文故以二十一/文與六梨之價相加即與九桃之價等)

　　　　　　(也/)三十文多三根與九根各減去三根

　　　　　　則餘三十文與六根相等三十文既與

　　　　　　六根相等則五文必與一根相等即桃

　　　　　　一個之價四因之得二十文爲前桃四

　　　　　　個之共價加入桃比梨少錢十二文得

　　　　　　三十二文爲前梨八個之共價八歸之

　　　　　　得四文爲梨一個之價又以後梨六個

　　　　　　因之得二十四文爲後梨六個之共價

　　　　　　加入桃比梨多錢二十一文得四十五

　　　　　　文爲後桃九個之共價九歸之亦得五

　　　　　　文爲桃一個之價也(此二色較/數方程法)

設如有銀買緞紗紬三色初次買緞二疋紗六疋紬

　八疋共價八十四兩二次買緞一疋紗四疋紬七

　疋共價六十兩三次買緞三疋紗五疋紬九疋共

　價九十兩問緞紗紬每疋各價若干

　　　　　　法借一根爲紬每疋之價則初次紬之

　　　　　　共價爲八根二次紬之共價爲七根三

　　　　　　次紬之共價爲九根而初次緞之共價

　　　　　　爲八十四兩少八根仍少紗六疋乃以

　　　　　　初次緞二疋爲一率緞價八十四兩少

　　　　　　八根仍少紗六疋爲二率二次緞一疋

　　　　　　爲三率求得四率四十二兩少四根仍

　　　　　　少紗三疋爲二次緞價加入二次紬價

　　　　　　七根紗四疋得四十二兩多三根仍多

　　　　　　紗一疋爲二次緞一疋紗四疋紬七疋

　　　　　　之共價與二次共價六十兩相等四十

　　　　　　二兩多三根多紗一疋與六十兩各減

　　　　　　去四十二兩餘三根多紗一疋與十八

　　　　　　兩相等三根多紗一疋與十八兩再各

　　　　　　減去三根餘紗一疋與十八兩少三根

　　　　　　相等即紗一疋之價爲十八兩少三根

　　　　　　也又以二次緞一疋爲一率緞價四十

　　　　　　二兩少四根仍少紗三疋爲二率三次

　　　　　　緞三疋爲三率求得四率一百二十六

　　　　　　兩少十二根仍少紗九疋爲三次緞價

　　　　　　加入三次紬價九根紗五疋得一百二

　　　　　　十六兩少三根仍少紗四疋爲三次緞

　　　　　　三疋紗五疋紬九疋之共價與三次共

　　　　　　價九十兩相等一百二十六兩少三根

　　　　　　少紗四疋與九十兩各加紗四疋得一

　　　　　　百二十六兩少三根與九十兩多紗四

　　　　　　疋相等一百二十六兩少三根與九十

　　　　　　兩多紗四疋再各減去九十兩餘三十

　　　　　　六兩少三根與紗四疋相等即紗四疋

　　　　　　之價爲三十六兩少三根也前所得紗

　　　　　　一疋之價爲十八兩少三根今又得紗

　　　　　　四疋之價爲三十六兩少三根此二分

　　　　　　雖同而疋數不一故又以紗一疋爲一

　　　　　　率前所得之紗一疋之價十八兩少三

　　　　　　根爲二率今紗四疋爲三率求得四率

　　　　　　七十二兩少十二根爲紗四疋之價乃

　　　　　　與後所得紗四疋之價三十六兩少三

　　　　　　根相等三十六兩少三根與七十二兩

　　　　　　少十二根各加十二根得三十六兩多

　　　　　　九根與七十二兩相等三十六兩多九

　　　　　　根與七十二兩再各減去三十六兩餘

　　　　　　九根與三十六兩相等九根既與三十

　　　　　　六兩相等則一根必與四兩相等即紬

　　　　　　一疋之價也紗一疋之價既爲十八兩

　　　　　　少三根則於十八兩内減去三根之共

　　　　　　數十二兩餘六兩即紗一疋之價初次

　　　　　　紗六疋以紗價六兩乘之得三十六兩

　　　　　　初次紬八疋以紬價四兩乘之得三十

　　　　　　二兩兩數相加得六十八兩與初次共

　　　　　　銀八十四兩相減餘十六兩爲緞二疋

　　　　　　之價二歸之得八兩即緞一疋之價也

　　　　　　其二次緞之共價爲八兩紗之共價爲

　　　　　　二十四兩紬之共價爲二十八兩相加

　　　　　　共得六十兩三次緞之共價爲二十四

　　　　　　兩紗之共價爲三十兩紬之共價爲三

　　　　　　十六兩相加共得九十兩皆合原數也

　　　　　　(此三色和/數方程法)

設如甲乙丙三人各有銀買銅鐵錫三色甲買銅二

　斤鐵二斤錫一斤共銀九錢乙買銅三斤比鐵六

　斤錫二斤之價多二錢丙買銅二斤鐵四斤與錫

　四斤之價相等問銅鐵錫每斤各價若干

　　　　　　法借一根爲錫每斤之價則甲錫之價

　　　　　　即爲一根乙錫之價爲二根丙錫之價

　　　　　　爲四根而甲銅之共價爲九錢少一根

　　　　　　仍少鐵二斤乃以甲銅二斤爲一率銅

　　　　　　價九錢少一根仍少鐵二斤爲二率乙

　　　　　　銅三斤爲三率求得四率一兩三錢五

　　　　　　分少一根半仍少鐵三斤爲乙銅三斤

　　　　　　之價内減比錫二斤鐵六斤所多之二

　　　　　　錢餘一兩一錢五分少一根半仍少鐵

　　　　　　三斤與乙錫二斤之共價二根多鐵六

　　　　　　斤相等一兩一錢五分少一根半少鐵

　　　　　　三斤與二根多鐵六斤各加鐵三斤得

　　　　　　一兩一錢五分少一根半與二根多鐵

　　　　　　九斤相等一兩一錢五分少一根半與

　　　　　　二根多鐵九斤再各減去二根餘一兩

　　　　　　一錢五分少三根半與鐵九斤相等即

　　　　　　鐵九斤之價爲一兩一錢五分少三根

　　　　　　半也又以甲銅二斤之共價九錢少一

　　　　　　根仍少鐵二斤即爲丙銅二斤之共價

　　　　　　(丙銅與甲銅俱爲二斤故/其共價相等省一四率也)加鐵四斤得

　　　　　　九錢少一根多鐵二斤與丙錫四斤之

　　　　　　共價四根相等九錢少一根多鐵二斤

　　　　　　與四根各加一根得九錢多鐵二斤與

　　　　　　五根相等九錢多鐵二斤與五根再各

　　　　　　減去九錢餘鐵二斤與五根少九錢相

　　　　　　等即鐵二斤之價爲五根少九錢也前

　　　　　　所得鐵九斤之價爲一兩一錢五分少

　　　　　　三根半今又得鐵二斤之價爲五根少

　　　　　　九錢此二分雖同而斤數不一故又以

　　　　　　鐵二斤爲一率今所得之鐵二斤之價

　　　　　　五根少九錢爲二率前所得之鐵九斤

　　　　　　爲三率求得四率二十二根半少四兩

　　　　　　零五分爲鐵九斤之價乃與前所得鐵

　　　　　　九斤之價一兩一錢五分少三根半相

　　　　　　等二十二根半少四兩零五分與一兩

　　　　　　一錢五分少三根半各加四兩零五分

　　　　　　得二十二根半與五兩二錢少三根半

　　　　　　相等二十二根半與五兩二錢少三根

　　　　　　半再各加三根半得二十六根與五兩

　　　　　　二錢相等二十六根既與五兩二錢相

　　　　　　等則一根必與二錢相等即錫每斤之

　　　　　　價也鐵二斤之價既爲五根少九錢則

　　　　　　以五根之共數一兩内減去九錢餘一

　　　　　　　錢爲鐵二斤之共價半之得五分即鐵

　　　　　　　每斤之價於甲共銀九錢内減去鐵二

　　　　　　　斤之價一錢又減去錫一斤之價二錢

　　　　　　　餘六錢爲銅二斤之共價半之得三錢

　　　　　　　爲銅每斤之價也其乙銅三斤之共價

　　　　　　　爲九錢乙鐵六斤之共價爲三錢乙錫

　　　　　　　二斤之共價爲四錢是銅三斤比錫二

　　　　　　　斤鐵六斤之價多二錢也丙銅二斤之

　　　　　　　共價爲六錢丙鐵四斤之共價爲二錢

　　　　　　　丙錫四斤之共價爲八錢是銅二斤鐵

　　　　　　　四斤與錫四斤之價等也(此三色和較/兼用方程法)

御製數理精藴下編卷三十四