數學鑰

欽定四庫全書

　數學鑰巻二凡例

　　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰

凡例

　　一則

圓必中規不中規者不得為圓形形界曲線曰周(如甲/乙丙)

　　　　　　　(丁/線)過心直線曰徑(如丁/丙線)

　　二則

一率自乘之數等于兩率相乘之數則此率為兩率之

　中率如甲與乙之比例猶乙與丙則乙為甲丙之中

　率

　　三則

設内外兩形内形或以角或以邊抵外形之界而不交

　　　　　　　曰相切如丙為甲乙之内切形甲乙

　　　　　　　為丙之外切形

　　四則

曲線直線相雜曰雜線形

　　五則

割甲乙丙丁圓之一分為甲乙丙弧矢形甲乙丙曲線

　　　　　　　曰背甲乙衡線曰弦丙丁縱線曰矢

　　　　　　　丙己曰全徑丁己曰餘徑丁戊曰離

　　　　　　　徑丙戊曰半徑

　　六則

設甲乙直線以線為徑作甲乙丙丁圓形曰甲乙線上

　　　　　　　圓形

　數學鑰巻二凡例

欽定四庫全書

　數學鑰卷二目録

　　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰

　方田下(曲線/類)

　　一則圓徑求周

　　二則圓周求徑

　　三則圓周徑求積

　　四則圓徑求積

　　五則圓周求積

　　六則圓積求徑

　　七則圓積求周

　　八則圓環求積

　　(增/)九則圓環以積及内周求外周

　　(增/)十則圓環以積及外周求内周

　　十一則圓環以積及内外周求環濶

　　(增/)十二則圓環以兩周求環濶

　　(增/)十三則圓環以積及濶求兩周

　　(增/)十四則圓環以積及濶求徑

　　十五則圓環以全徑及虚徑求積

　　(西/法)十六則撱圓求積

　　(西/法)十七則弧矢求積

　　(增/)十八則弧矢形以積矢弦及離徑求背

　　(西/法)十九則弧矢形以矢弦求餘徑(求全徑離徑半/)

　　　(徑附/)

　　(西/法)二十則弧矢形以矢徑求弦

　　二十一則弧矢形以離徑半徑求弦

　　(西/法)二十二則弧矢形以弦及餘徑求矢

　　(增/)二十三則弧矢形以弦及全徑求矢

　　二十四則弧矢形以半弦半徑求矢

　　二十五則弧矢形以半弦及離徑求矢

　　(增/)二十六則弧矢形以半徑半弦較及半弦離徑

　　　較求矢與弦

　　二十七則舊弧矢法以矢弦求積

　　二十八則舊弧矢法以積矢求弦

　　二十九則舊弧矢法以積弦求矢

　　(增/)三十則增弧矢法以矢弦求積

　　(增/)三十一則圓截圓

　　三十二則圓截弧矢

　　(西/法)三十三則弧矢形截雜線三角形

　　三十四則方内減圓以餘積求圓積

　　三十五則方内減圓以餘積求方積(求方邊圓徑/)

　　　(附/)

　　三十六則圓内減方以餘積求方積(求方邊圓徑/)

　　　(附/)

　　三十七則圓内減方以餘積求圓積

　　三十八則方内減不相切之圓以餘積求方邊及

　　　圓徑

　　(增/)三十九則圓内減不相切之方以餘積求圓徑

　　　及方弦

　　四十則諸雜線形求積

　數學鑰巻二目録

欽定四庫全書

　數學鑰巻二

　　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰

　方田下(曲線/類)

　　一則

圓徑求周

　設圓田徑二十八步求周法曰置徑為實以周法二

　十二乘之(得六百一/十六步)以徑法七除之得八十八步即

　所求

　　　　　　　解曰徑法七周法二十二者徑與周

　　　　　　　之比例若七與二十二也何也西洋

　　　　　　　亞竒黙德云圓徑與圓周三倍又七

　　　　　　　十之十則朒(謂周不及/此數也)三倍又七十

　一之十則盈(謂周過于/此數也)先論三倍又七十之十曰丁

　甲乙半圜戊為心從甲作午子切線從乙從丁作乙

　己壬丁線各與乙戊半徑等設乙戊己角六十度己

　戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己

　過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六

　十度則午子為等角形之邊設甲午股一百五十三

　　　　　　　步則戊午弦必三百零六步(戊午元/與午子)

　　　　　　　(等午子既倍大于甲午則/戊午亦必倍大于甲午)各自乘甲

　　　　　　　午股得二萬三千四百零九步戊午

　　　　　　　弦得九萬三千六百三十六步兩數

　　　　　　　相減餘七萬零二百二十七步平方

　　　　　　　開之得二百六十五步有竒為戊甲

　　　　　　　勾(即半/徑)則戊甲與甲午之比例為二

　　　　　　　百六十五步有竒與一百五十三步

　次平分午戊甲角作戊庚線任分甲午于庚(庚戊線/割圜界)

　(于酉己酉甲酉兩弧等兩弧既等則酉戊己酉戊甲/兩角必等故曰平分甲庚庚午兩線不等故曰任分)

　則午戊與戊甲若午庚與甲庚合之戊午偕戊甲而

　與戊甲若午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午並戊甲

　而與甲午(甲午即午/庚偕甲庚)若戊甲與甲庚先定戊午戊甲

　並為五百七十一步有竒午甲為一百五十三步則

　戊午並戊甲與甲午之比例若五百七十一步有竒

　與一百五十三步則戊甲與甲庚之比例亦若五百

　七十一步有竒與一百五十三步矣即以兩數各自

　乘並而開方得五百九十一步又八之一不盡為庚

　戊線(戊甲為勾甲庚/為股庚戊為弦)則庚戊與甲庚之比例若五百

　九十一步又八之一不盡與一百五十三步次平分

　庚戊甲角作戊辛線則戊庚並戊甲一千一百六十

　二步又八之一與庚甲一百五十三步若戊甲與甲

　辛若設甲辛為一百五十三步則戊甲為一千一百

　六十二步又八之一有竒兩數各自乘並而開方得

　一千一百七十二步又八之一為辛戊線(甲戊為勾/甲辛為股)

　(辛戊/為弦)則辛戊與辛甲之比例若一千一百七十二步

　又八之一與一百五十三步次平分辛戊甲角作戊

　寅線則辛戊並戊甲二千三百三十四步又四之一

　與辛甲一百五十三步若戊甲與甲寅設甲寅為一

　百五十三步則戊甲為二千三百三十四步又四之

　一兩數各自乘並而開方得二千三百三十九步又

　四之一有竒為寅戊線(戊甲為勾甲寅/為股寅戊為弦)則寅戊與寅

　甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒與

　一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊

　並戊甲四千六百七十三步五分有竒與寅甲一百

　五十三步若戊甲與甲未若設甲未為一百五十三

　步則戊甲為四千六百七十三步五分有竒子戊午

　為半圜三分之一即為全圜六分之一甲戊午為十

　二分之一甲戊庚為二十四分之一甲戊辛為四十

　八分之一甲戊寅為九十六分之一甲戊未為一百

　九十二分之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未

　戊申三角形未甲申其切線也為九十六邊形之一

　邊此邊與全徑之比例若一百五十三步與四千六

　百七十三步五分(未申倍大于未甲乙丁全/徑亦倍大于甲戊半徑)以一百

　五十三步乘九十六邊得一萬四千六百八十八步

　則全邊與全徑之比例為一萬四千六百八十八步

　與四千六百七十三步五分約之為三又七之一不

　足夫形外切線尚不及三又七之一況圜周乎　次

　論三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙徑戊心

　從丙作丙甲與半徑戊丙等(甲丙即六邊/形之一邊)從乙作乙

　甲線成乙甲丙勾股形而甲為方角設甲丙勾為七

　百八十步乙丙弦為一千五百六十步兩數各自乘

　相減開方得一千三百五十一步不足為乙甲股則

　乙甲與甲丙之比例為一千三百五十一步與七百

　　　　　　　八十步次平分甲乙丙角作乙丁線

　　　　　　　以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己兩勾

　　　　　　　股形自相似葢同用丁方角在半圜

　　　　　　　内甲丁丁丙兩線所乘之弧等則丁

　　　　　　　丙己丁乙丙兩弧之角必等凡兩形

　　　　　　　有兩角等者各腰俱相似則乙丁(大/股)

　　　　　　　與丙丁(大/勾)若丁丙(小/股)與丁己(小/勾)又乙

　　　　　　　丙(大/弦)與丁丙(大/勾)若己丙(小/弦)與丁己(小/勾)

　更之乙丙與己丙(兩/弦)若丁丙與丁己(兩/勾)是乙丁與丁

　丙(兩/股)丁丙與丁己(兩/勾)乙丙與己丙(兩/弦)三比例皆等又

　乙丙與己丙(兩/弦)若乙丙並甲乙(兩/腰)與甲丙底之兩分

　則乙丁與丁丙亦若乙丙並乙甲與甲丙先定乙甲

　一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙

　甲乙丙並為二千九百一十一步弱甲丙先設七百

　八十步則乙丁與丁丙亦為二千九百一十一步弱

　與七百八十步各自乘並而開方得三千零一十三

　步又四之一弱為乙丙線(乙丁丙/形之弦)則乙丙與丁丙之

　比例為三千零一十三步又四之一弱與七百八十

　步次平分丁乙丙角作辛乙線依前論丁乙並乙丙

　與丙丁若乙辛與辛丙先定乙丙三千零一十三步

　又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱並為五千

　九百二十四步又四之一弱今丙丁為七百八十步

　則乙辛與辛丙為五千九百二十四步又四之一弱

　與七百八十步欲省數改設辛丙二百四十步改設

　乙辛一千八百二十三步弱兩數各自乘並而開方

　得一千八百三十八步又十一之九弱為乙丙線(乙/辛)

　(丙形/之弦)則二百四十步與一千八百三十八步又十一

　之九弱為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙

　壬線以壬丙線聨之辛乙乙丙兩數並三千六百六

　十一步又十一之九弱與辛丙二百四十步為乙壬

　與壬丙之比例又改設壬丙六十六步改設乙壬一

　千零七步弱兩數各自乘並而開方得一千零九步

　弱則六十六步與一千零九步弱為壬丙與乙丙之

　比例末平分壬乙丙角作乙庚線以庚丙線聨之乙

　庚與庚丙若壬乙並乙丙二千零一十六步又六之

　一與丙壬六十六步兩數各自乘並而開方得二千

　零一十七步又四之一弱為乙丙線(乙庚丙/形之弦)則庚丙

　與乙丙之比例為六十六步與二千零一十七步又

　四之一弱丙甲弧為全圜六分之一丙丁十二分之

　一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九

　十六分之一是丙庚為九十六邊内切圜形之一邊

　也以六十六步乘九十六邊得六千三百三十六步

　為九十六邊内切形之周乙丙徑為二千零一十七

　步又四之一弱約之徑一周三又七十一之十強夫

　圜内切線為三又七十一之十尚強況圜周乎○按

　三又七十一之十設徑一則周三一四零八四五零

　七零四二二有竒設周一則徑三一八三八五六五

　零二二再約之徑七十一步周二百二十三步三又

　七十之十設徑一則周三一四二八五七一四二八

　五七有竒設周一則徑三一八一八一八一八一八

　有竒再約之徑七步周二十二步兩數皆不能與周

　徑脗合但徑七周二十二其數少整姑從之

　　二則

圓周求徑

　設圓田周八十八步求徑法曰置周為實以徑法七

　因之(得六百一/十六步)以周法二十二除之得二十八步即

　所求

　解曰即前法反用之

　　三則

圓周徑求積

　設圓田周八十八步徑二十八步求積法曰置周折

　半(得四十/四步)為實以徑折半(得一十/四步)為法乘之得六百

　　　　　　　一十六步即所求

　　　　　　　解曰圓形與半徑為高全周為底之

　　　　　　　三角形等何也測量全義云甲乙丙

　　　　　　　丁圜自戊心百分之必皆成三角形

　而己戊甲其百分之一也次依甲戊半徑作庚戊辛

　三角形令庚辛底與圜之全周等自戊角百分之亦

　必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲

　戊壬兩分形己甲甲壬兩底既等又戊甲同高因推

　其容必等夫百倍己戊甲為甲乙丙丁全圜百倍甲

　　　　　　　戊壬為庚戊辛三角形兩分形既等

　　　　　　　兩全形有不等乎故法以半徑乘半

　　　　　　　周得庚戊辛三角形之積即得甲乙

　　　　　　　丙丁圜之積也○或云己戊甲雖全

　　　　　　　圜百分之一其底終屬曲線不可與

　　　　　　　直線三角形為比不知甲戊壬角大

　　　　　　　于己戊甲角而己戊甲中垂線大于

　　　　　　　甲戊壬中垂線兩相折准即謂之無

　　　　　　　差亦可

　　四則

圓徑求積

　設圓田徑二十八步求積法曰置徑自乘(得七百八/十四步)

　再以十一乘之(得八千六百/二十四步)以十四除之得六百一

　十六步即所求

　解曰測量全義云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半

　徑為高以圜周為底己壬為圜徑上方形己丁直形

　以全徑為濶以半徑為高而為己壬方形之半己戊

　癸三角形亦以全徑為濶半徑為高而為己丁直形

　　　　　　　之半己戊癸形既為己丁直形之半

　　　　　　　必為倍大于己丁之己壬方形四之

　　　　　　　一又己戊癸與庚戊辛兩形同以半

　　　　　　　徑為高凡兩形等高者形與形之比

　　　　　　　例若線與線(兩線即兩底○/一巻四十五則)今庚辛

　　　　　　　底與圜周等己癸底與圜徑等是己

　　　　　　　戊癸庚戊辛兩形之比例若圜徑七

　　　　　　　與圜周二十二若以四倍大于己戊

　　　　　　　癸之己壬方形與庚戊辛三角形較

　其比例必若二十八與二十二矣各以二約之為十

　四與十一夫庚戊辛三角形與圓形等(本巻/三則)故方圓

　之比例亦若十四與十一法以圓徑自乘求己壬方

　形之積也以十一乘十四除取方積十四分之十一

　以為圓積也

　　五則

圓周求積

　設圓田周八十八步求積法曰置周自乘(得七千七/百四十四)

　(步/)以七因之(得五萬四千/二百零八步)以八十八除之得六百一

　　　　　　　　　　　　　　十六步即所求

　　　　　　　　　　　　　　解曰戊己庚辛圜

　　　　　　　　　　　　　　戊己徑與甲乙丙

　　　　　　　　　　　　　　丁圜周等則兩圜

　　　　　　　　　　　　　　之比例為其徑與

　　　　　　　　　　　　　　徑再加之比例再

　　　　　　　　　　　　　　加云者以兩徑各

　　　　　　　　　　　　　　自乘之數以為比

　　　　　　　　　　　　　　例也設甲乙徑七

　戊己徑二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四

　百八十四是兩圜之比例若四十九與四百八十四

　又壬癸方形與戊己庚辛圜元若十四與十一(本巻/四則)

　今戊己庚辛圜既為四百八十四壬癸方形必六百

　一十六是壬癸方形與甲乙丙丁圜必若六百一十

　六與四十九矣各以七約之為八十八與七法以圜

　周自乘即壬癸方形之積也以七乘八十八除取方

　積八十八分之七以為甲乙丙丁圜積也

　　六則

圓積求徑

　設圓田積六百一十六步求徑法曰置積為實以十

　四乘之(得八千六百/二十四步)以十一除之(得七百八/十四步)平方開

　　　　　　　之得二十八步即所求

　　　　　　　解曰以十四乘十一除者因圜積以

　　　　　　　求戊己方積也平方開之得方邊即

　　　　　　　得圜徑者方邊與圜徑等也

　　七則

圓積求周

　設圓田積六百一十六步求周法曰置積為實以八

　十八乘之(得五萬四千/二百零八步)以七除之(得七千七百/四十四步)平方

　開之得八十八步即所求

　解曰以八十八乘七除者因圜積以求圜周上方積

　也(本巻/五則)故平方開之得圜周

　　八則

圓環求積

　設環田外周六十六步内周一十一步求積法曰置

　内外兩周各自乘(外周得四千三百五十六/步内周得一百二十一步)兩數相

　減(餘四千二百/三十五步)以七乘之(得二萬九千六/百四十五步)以八十八

　　　　　　　除之得三百三十六步八分七釐五

　　　　　　　毫即所求

　　　　　　　解曰與方環求積同(一巻三十三則/及本巻五則)

　　九則

圓環以積及内周求外周

　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫内周一

　十一步求外周法曰置積為實以八十八乘之(得二/萬九)

　(千六百四/十五步)以七除之(得四千二百/三十五步)另置内周自乘(得/一)

　(百二十/一步)兩數並(共四千三百/五十六步)平方開之得六十六步

　即所求

　解曰兩數並共成周上方積故平方開之得外周

　　十則

圓環以積及外周求内周

　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六

　十六步求内周法曰置外周自乘(得四千三百/五十六步)另置

　環積以八十八乘之(得二萬九千六/百四十五步)以七除之(得四/千二)

　(百三十/五步)兩數相減(餘百二/十一步)平方開之得一十一步即

　所求

　解曰外周上方積減去八十八乘七除之環積所餘

　即内周上方積也故平方開之得内周

　　十一則

圓環以積及内外周求環濶

　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六

　十六步内周一十一步求環濶法曰置積為實以兩

　周相並(共七十/七步)折半(得三十八/步五分)為法除之得八步七

　分五釐即所求

　解曰全圓既同三角形則圓環必同梯形圓環之兩

　周猶梯形之兩濶也圓環之濶猶梯形之中長也故

　用梯形求長法(一巻四/十八則)即得環濶

　　十二則

圓環以兩周求環濶

　設圓環田外周六十六步内周一十一步求環濶法

　曰置兩周各以七乘之(外周得四百六十二/步内周得七十七步)各以二

　十二除之(外周得二十一步/内周得三步五分)兩數相減(餘一十七/步五分)折

　半得八步七分五釐即所求

　解曰外周所得者圓之全徑也内周所得者環内虚

　徑也全徑減虚徑所餘即環之兩濶故折半得一濶

　也

　　十三則

圓環以積及濶求兩周

　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步

　七分五釐求兩周法曰置積為實以濶除之得三十

　八步五分另置濶以二十二乘之(得一百九十/二步五分)以七

　除之(得二十七/步五分)與三十八步五分相並得六十六步

　即外周與三十八步五分相減得一十一步即内周

　解曰此亦梯形求濶法也法以環濶除積所得之三

　十八步五分即兩環周之中度也環濶為全徑與虚

　徑相差之半以二十二乘七除則為内外兩周相差

　之半矣故以之增減兩周之中度得兩周也

　　十四則

圓環以積及濶求徑

　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步

　七分五釐求全徑及虚徑法曰置積以十四乘之(得/四)

　(千七百一十六/步二分五釐)十一除之(得四百二十八/步七分五釐)另置濶自

　乘(得七十六步五分/六釐二毫五絲)以四因之(得三百零六/步二分五釐)兩數相

　減(餘一百二十/二步五分)為實以四因濶(得三十/五步)為法除之得

　三步五分即虚徑倍濶(得一十七/步五分)加之得二十一步

　即全徑

　解曰置積以十四乘十一除者令圓環積化為方環

　積也餘即方環求内方法(一巻五/十六則)

　　十五則

圓環以全徑及虚徑求積

　設圓環田全徑二十一步虚徑三步五分求積法曰

　置兩徑各自乘(全徑得四百四十一步虚/徑得一十二步二分五釐)兩數相減

　(餘四百二十八/步七分五釐)以十一乘之(得四千七百一十/六步二分五釐)十四

　除之得三百三十六步八分七釐五毫即所求

　解曰兩徑各自乘相減者求方環積也十一乘十四

　除者因方環積以求圓環積也

　　十六則

撱圓求積

　設撱圓田大徑九十步小徑四十步求積法曰置兩

　徑相乘(得三千/六百步)以十一乘之(得三萬九/千六百步)以十四除之

　得二千八百二十八步五分七釐有竒即所求

　　　　　　　　　　解曰西洋亞竒黙德云取撱

　　　　　　　　　　圓兩徑之中率為徑作圓其

　　　　　　　　　　容與撱圓等(四九之中率為/六謂四之與六)

　　　　　　　　　　(猶六之/與九也)夫求中率之法以兩

　徑相乘平方開之即得然中率自乘之數實即兩徑

　相乘之數故法以兩徑相乘十一乘十四除為撱圓

　積也(撱圓形狀不同/恐不能無小差)

　　十七則

弧矢求積

　設弧矢田矢濶五步弦長一十七步三分二釐有竒

　背二十步零九分五釐二毫有竒離徑五步求積法

　　　　　　　　　　曰置背以離徑並矢(共十/步)乘

　　　　　　　　　　之(得二百零九步五/分二釐三毫有竒)另置弦

　　　　　　　　　　以離徑乘之(得八十六步/六分有竒)兩

　　　　　　　　　　數相減(餘一百二十二步九/分二釐三毫有竒)

　折半得六十一步四分六釐一毫有竒即所求

　解曰甲乙丙弧矢形戊為圜心自甲自乙作甲戊乙

　戊兩線成甲戊乙丙雜線形其丙丁矢與丁戊離徑

　並即全圓之半徑甲丙乙背又為圓周之分線求積

　之法當與圓同夫圓以半徑乘周折半得積(本巻/三則)則

　雜線形亦必以半徑乘背折半得積矣又雜線形内

　以甲乙線分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三

　角形其三角形以甲乙弦為濶以丁戊離徑為高若

　以高乘濶折半必得三角形之積(一巻/五則)于雜線形内

　減去三角積所餘非弧矢積而何故法以半徑乘背

　離徑乘弦相減折半得積也(相減而後折半與各折/半而後相減得數同)

　　十八則

弧矢形以積矢弦及離徑求背

　設弧矢田積六十一步四分六釐一毫有竒矢五步

　　　　　　　弦一十七步三分二釐有竒離徑五

　　　　　　　步求背法曰置積倍之(得一百二十/二步九分二)

　　　　　　　(釐三毫/有竒)另置弦以離徑乘之(得八十/六步六)

　　　　　　　(分有/竒)兩數並(得二百零九步五/分二釐三毫有竒)以矢

　並離徑(共十/步)除之得二十步零九分五釐二毫有竒

　即所求

　解曰即前則求積法反用之

　　十九則

弧矢形以矢弦求餘徑(求全徑離/徑半徑附)

　設弧矢田矢五步弦一十七步三分二釐有竒求餘

　徑法曰置弦折半(得八步六分/六釐有竒)自乘(得七十/五步)以矢除

　之得一十五步即所求

　解曰甲乙丙弧矢形丙丁為矢丁戊為離徑丁己為

　　　　　　　　　　　　　　餘徑自圓心戊作

　　　　　　　　　　　　　　戊乙線成丁戊乙

　　　　　　　　　　　　　　勾股形丁乙半弦

　　　　　　　　　　　　　　為股丁戊離徑為

　　　　　　　　　　　　　　勾戊乙半徑為弦

　　　　　　　　　　　　　　另作辛夘形為丁

　戊勾上方形庚壬形為戊乙弦上方形夫庚壬之大

　于辛夘者為癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于

　乙丁股上方形何也弦上方形與勾股上兩方形並

　等故也(六巻/一則)若移子于寅則成癸丑寅直形必以勾

　弦較為濶勾弦和為長今戊乙弦等于戊丙戊丙之

　大于丁戊勾者為丙丁是丙丁矢即勾弦較也故以

　矢除丁乙半弦(弧矢形/之弦)自乘之積即得勾弦和又乙

　戊弦(勾股形/之弦)既半徑必與戊己等戊己合丁戊非丁

　己餘徑而何○求得餘徑加矢即全徑減矢折半即

　離徑加矢折半即半徑

　　二十則

弧矢形以矢徑求弦

　設弧矢田矢五步徑二十步求弦法曰以矢減徑(餘/一)

　(十五/步)以矢乘之(得七十/五步)平方開之(得八步六分/六釐有竒)倍之

　得一十七步三分二釐有竒即所求

　解曰依前解矢與餘徑相乘之數即半弦自乘之數

　故平方開之得半弦倍之得全弦也

　　二十一則

弧矢形以離徑半徑求弦

　設弧矢田半徑十步離徑五步求弦法曰置半徑離

　徑各自乘(半徑得一百步離/徑得二十五步)兩數相減(餘七十/五步)平方

　　　　　　　開之(得八步六分/六釐有竒)倍之得一十七步

　　　　　　　三分二釐有竒即所求

　　　　　　　解曰半徑乙戊為弦(勾股形/之弦)離徑丁

　　　　　　　戊為勾求得乙丁股即半弦也(弧矢/形之)

　(弦/)故倍之得全弦

　　二十二則

弧矢形以弦及餘徑求矢

　設弧矢田弦一十七步三分二釐有竒餘徑一十五

　步求矢法曰置弦折半(得八步六分/六釐有竒)自乘(得七十/五步)以

　餘徑除之得五步即所求

　解曰依十九則解半弦自乘之數即矢偕餘徑相乘

　之數故以餘徑除之得矢

　　二十三則

弧矢形以弦及全徑求矢

　設弧矢田弦一十七步三分二釐有竒全徑二十步

　求矢法曰置弦徑各自乘(弦得三百步/徑得四百步)兩數相減(餘/一)

　(百/步)平方開之(得十/步)以減全徑(餘十/步)折半得五步即所

　求

　解曰全徑上方形當矢偕餘徑矩内形四及矢與餘

　徑之較線上方形一(一巻十/三則)全弦上方形當半弦上

　方形四又半弦上方形與矢偕餘徑矩内形等(本巻/十九)

　(則/)于全徑上方積内減去全弦上方積即減去矢偕

　餘徑矩内積四也則所餘必矢與餘徑之較線上方

　積平方開之即得矢與餘徑之較線故以之減徑折

　半得矢也

　　二十四則

弧矢形以半弦半徑求矢

　設弧矢田半弦八步六分六釐有竒半徑十步求矢

　法曰置半弦半徑各自乘(半弦得七十五步/半徑得一百步)兩數相

　　　　　　　減(餘二十/五步)平方開之(得五/步)以減半徑

　　　　　　　得五步即所求

　　　　　　　解曰半弦丁乙為股戊乙半徑為弦

　　　　　　　求得丁戊勾即離徑也故以之減半

　徑得矢

　　二十五則

弧矢形以半弦及離徑求矢

　設弧矢田半弦八步六分六釐有竒離徑五步求矢

　法曰置半弦離徑各自乘(半弦得七十五步/離徑得二十五步)兩數並

　(得一/百步)平方開之(得十/步)減去離徑得五步即所求

　解曰半弦丁乙(圖同/前則)為股離徑丁戊為勾求得乙戊

　弦即徑也故減去離徑得矢

　　二十六則

弧矢形以半徑半弦較及半弦離徑較求矢與弦

　設弧矢田半徑多半弦一步三分四釐弱半弦多離

　徑三步六分六釐強求矢及弦法曰並兩數(共五/步)以

　半徑多半弦之數乘之(得六步/七分)倍之(得一十三/步四分)平方

　開之(得三步六/分六釐)以加半徑多半弦之數得五步即離

　徑再加半弦多離徑之數得八步六分六釐即半弦

　再加半徑多半弦之數得十步即半徑半徑減去離

　徑餘五步即矢

　解曰戊乙半徑(圖同二/十四則)多于丁乙半弦之數即股弦

　較丁乙半弦多于丁戊離徑之數即勾股較勾股較

　並股弦較即勾弦較此即勾弦較股弦較求勾股弦

　法也(六巻二/十則)

　　二十七則

舊弧矢法以矢弦求積

　設弧矢田矢十步弦二十步求積法曰置矢弦相並

　(共三/十步)折半(得一十/五步)以矢乘之得一百五十步即所求

　解曰舊説圓徑一周三甲乙丙丁圓徑二十步周六

　　　　　　　十步甲乙丙弧矢形為全圓之半其

　　　　　　　背為全周之半必三十步法以矢弦

　　　　　　　相並即與弧背等折半以矢乘之猶

　　　　　　　圓法以半徑乘周折半得積之義也

　(本巻/三則)以舊法論全圓得積三百步而半圓之弧得積

　一百五十步與圍三徑一之數脗合無差過此以往

　其矢漸短弧形漸細其差漸多甚至百步之積有差

　至二十餘步者即如十七則弧矢田弦一十七步三

　分二釐有竒矢五步依舊法求之止得積五十五步

　八分較前法所求之積則少五步六分六釐有竒前

　法雖密于舊法然必背矢弦皆具方可起算舊法有

　矢有弦即可得積故並存之

　　二十八則

舊弧矢法以積矢求弦

　設弧矢田積五十五步八分矢五步求弦法曰置積

　倍之(得一百分十/一步六)以矢除之(得二十二步/三分二釐)減去矢餘

　　　　　　　一十七步三分二釐即所求

　　　　　　　解曰舊法以矢乘半弦半矢得弧矢

　　　　　　　積若以矢除弧矢積必仍得半弦半

　　　　　　　矢以矢除弧矢積既得半弦半矢以

　矢除弧矢之倍積不得一弦一矢乎一弦一矢内減

　去一矢所餘非弦而何

　　二十九則

舊弧矢法以積弦求矢

　設弧矢田積五十五步八分弦一十七步三分二釐

　求矢法曰置積八因之(得四百四十/六步四分)另置弦自乘(得/二)

　　　　　　　(百九十九步九分/八釐二毫四絲)兩數並(共七百四/十六步三)

　　　　　　　(分八釐二/毫四絲)平方開之(得二十七步/三分二釐)減

　　　　　　　去弦(餘十/步)折半得五步即所求

　　　　　　　解曰甲丁方形邊與一弦二矢等甲

　　　　　　　戊乙己丁庚丙辛各與矢等其戊己

　等四直形即矢偕一弦一矢矩内形壬子即弦上方

　形也又弧矢形以矢乘半弦半矢得積(本巻二/十七則)而當

　一直形之半則四直形必當八弧矢積矣是一弦二

　矢上方形與弦上方積一及弧矢積八並等反之則

　弦上方積一及弧矢積八並為一方其邊必一弦二

　矢也法並兩數以平方開之所得即一弦二矢之度

　故減弦折半得矢也○舊弧矢法弦背積及徑輾轉

　相求共三百二十六法實亦不出十七則以下十法

　之外其不能該者止以上三法耳故存之

　　三十則

增弧矢法以矢弦求積

　設甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙弦一十七步三

　分二釐有竒求積法曰有矢與弦可得丁壬餘徑餘

　徑加矢可得丙壬全徑(本卷十/九則)甲己與丙壬等即以

　　　　　　　甲己為弦甲乙為股求乙巳勾得十

　　　　　　　步(六卷/三則)為乙巳庚餘弧之弦又將乙

　　　　　　　己折半得巳辛復為勾戊巳半徑為

　　　　　　　弦求戊辛股以減半徑(戊庚與/戊巳等)餘庚

　辛一步三分四釐為乙己庚餘弧之矢另求甲己徑

　上半圓積(得一百五十七步一分四/釐二毫八絲○本巻三則)次求甲乙己勾

　股積(得八十六步六/分○一巻四則)與半圓積相減(餘七十步零五/分四釐二毫八)

　(絲/)為甲乙丙與乙己庚兩弧之共積置為實兩弧各

　以三弦一矢相並以矢乘之(甲乙丙弧得二百八十/四步八分乙己庚弧得)

　(四十一步九分/九釐五毫六絲)以甲乙丙弧數乘實(得二萬零九十/步零五分八釐)

　(九毫四/絲四忽)並兩弧數(共三百二十六步七/分九釐五毫六絲)除之得六十

　一步四分七釐七毫五絲有竒即所求

　解曰此借兩弧三弦一矢以矢乘之之數為比例以

　分共積也此法較舊法為密然大弧既盈則小弧必

　朒較十七則未免有千一之差如必欲得弧積眞數

　密量弧背從十七則可也

　　三十一則

圓截圓

　　　　　　　設圓田徑二十一步依外周截積三

　　　　　　　百三十六步八分七釐五毫求餘圓

　　　　　　　徑法曰置徑自乘(得四百四/十一步)另置截

　　　　　　　積以十四乘之(得四千七百一十/六步二分五釐)十

　一除之(得四百二十八/步七分五釐)兩數相減(餘一十二步/二分五釐)平方

　開之得三步五分即所求

　解曰此與方環截積同(一巻五/十六則)

　　三十二則

圓截弧矢(舊/法)

　　　　　　　設圓田徑一十三步截弧矢積三十

　　　　　　　二步求矢法曰置截積自乘(得一千/零二十)

　　　　　　　(四/步)為實用商法商矢四步即以所商

　　　　　　　之矢乘截積(得一百二/十八步)為上亷另以

　矢每步加負隅二分五釐(得五/步)與徑相減餘八步為

　餘徑又以所商之矢自乘(得一十/六步)以乘餘徑(得一百/二十八)

　(步/)為下亷並兩亷(共二百五/十六步)為法除實得四步即所

　求

　解曰弧矢之積元以矢乘半弦半矢而得(本巻二/十七則)若

　以半弦半矢相並除積必得矢法置截積自乘是倍

　截積為三十二若以三十二半弦與三十二半矢並

　除倍積必亦得矢法以矢乘截積得三十二全矢是

　多三十二半矢少三十二半弦若以半弦大于半矢

　　　　　　　之數三十二倍之與三十二全矢並

　　　　　　　即與三十二半弦三十二半矢相並

　　　　　　　之數同今無半弦數須以矢乘餘徑

　　　　　　　以為半弦自乘之方(本巻十/九則)如甲乙

　方形甲己為半弦甲丁為半矢丁己為半矢弦較(即/半)

　(弦大于半/矢之度)則丁己乙戊直形必半矢弦較以半弦為

　倍數者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁則庚丙戊

　辛直形必半矢弦較以半矢為倍數者也兩直形並

　再以矢乘之必半矢弦較以截積三十二為倍數者

　也何也弧矢之積元以矢乘半弦半矢而得故也甲

　乙大方形減去丁己乙戊與庚丙戊辛兩直形餘甲

　丙小方形為甲丁半矢之冪法所謂負隅也負隅既

　為半矢之冪必為全矢冪四分之一故法以二分五

　釐為負隅也法用矢自乘以乘餘徑與用矢乘餘徑

　再以矢乘之得數同也○按元注云所得之矢過于

　所商之矢為約矢太短不及所商之矢為約矢太長

　宜更商之商約之法既無一定惟以意斟酌之若整

　齊之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商

　不能得者古人于此條實無善法姑以此考驗所商

　之合否耳若止欲考驗所商之合否又何如以所商

　之矢求半弦(本巻二/十則)再加半矢以矢乘之(本巻二/十七則)合

　積為準過積為約矢太長不及積為約矢太短不較

　捷乎

　　三十三則

弧矢截雜線三角形

　設半圓弧矢田弦二十步自心截雜線三角形背長

　一十步零四分七釐六毫一絲六忽求截積法曰置

　　　　　　　截背以弦折半(得十/步)乘之(得一百零/四步七分)

　　　　　　　(六釐一/毫六絲)折半得五十二步三分八釐

　　　　　　　零八絲即所求

　　　　　　　解曰雜線三角形為圓之分形故求

　積之法同圓(本巻/三則)

　　三十四則

方内減圓以餘積求圓積

　設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求

　圓積法曰置積為實以圓法十一乘之(得一千八百/四十八步)

　　　　　　　以圓法十一與方法十四相減餘三

　　　　　　　為法除之得六百一十六步即所求

　　　　　　　解曰圓既為方十四分之十一則方

　　　　　　　内減圓之餘積必為方十四分之三

　圓十一分之三矣故十一乘三歸得圓積也

　　三十五則

方内減圓以餘積求方積(求方邊/圓徑附)

　設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求

　方積法曰置積為實以十四乘之(得二千三百/五十二步)以圓

　法十一與方法十四相減餘三為法歸之得七百八

　十四步即所求

　解同前○置方積平方開之即方邊亦即圓徑

　　三十六則

圓内減方以餘積求方積(求方邊/圓徑附)

　　　　　　　設圓田減去内切方田餘積二百二

　　　　　　　十四步求方積法曰置積為實以七

　　　　　　　乘之(得一千五百/六十八步)以七與圓法十一

　　　　　　　相減餘四為法歸之得三百九十二

　步即所求

　解曰内切方形之弦與外切方形之邊等則内切方

　形必倍小于外切方形而若七之與十四夫圓既為

　外方十四分之十一而内方不為圓十一分之七乎

　圓内減方之餘積為圓十一分之四即為内方七分

　之四故七乘四除得内切方積也○置方積平方開

　之即得方邊倍方積平方開之即得圓徑

　　三十七則

圓内減方以餘積求圓積

　設圓田減去内切方田餘積二百二十四步求圓積

　法曰置積為實以圓法十一乘之(得二千四百/六十四步)以圓

　法十一與七相減餘四為法歸之得六百一十六步

　即所求

　解同前

　　三十八則

方内減不相切之圓以餘積求方邊及圓徑

　設方田内減圓田方邊至圓周五步餘積一千七百

　二十五步求方邊及圓徑法曰置五步自乘(得二十/五步)

　以三因之(得七十/五步)與餘積並(共一千/八百步)另置五步以六

　因之(得三/十步)為縱方以平方帶縱開之(得九十步則/一巻十三)減

　　　　　　　　　　去縱方餘六十步即方邊再

　　　　　　　　　　減兩邊各五步(共十/步)餘五十

　　　　　　　　　　步即圓徑

　　　　　　　　　　解曰依圖分之成甲乙等方

　　　　　　　　　　形四子丑等直形八乾坎等

　雜線三角形四其甲乙等四形即方邊至圓周五步

　自乘之方形也子丑等八形亦各以五步為濶其長

　　　　　　　　　　則圓之半徑也乾坎等四形

　　　　　　　　　　為方減内切圓形之餘積以

　　　　　　　　　　方四圓三推之(舊法謂方内/容圓圓居方)

　　　　　　　　　　(四分/之三)四形並必當方四分之

　　　　　　　　　　一乾坎艮三形並必足以補

　　　　　　　　　　癸形之闕而與一小方二直

　　　　　　　　　　形一雜形並共凑成一坤震

　　　　　　　　　　方形矣次移甲于丁移乙于

　戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于

　酉移辰于戌移巳于亥尚闕庚辛壬三形故法取方

　邊至圓周之五步自乘以三因之加入積内也自壬

　至丁凡六形每形濶五步共計三十步故法取方邊

　至圓周之五步以六因之為縱方也帶縱開方法置

　積四因之縱方自乘兩數並平方開之得長濶相和

　之度(即兑巽與/巽震並)減去縱方(即兑/坤)餘兩濶(即坤巽與/巽震並)即

　方邊方邊之大于圓徑者為兩邊之各五步故減之

　得圓徑(本則及下則皆/用周三徑一法)

　　三十九則

圓内減不相切之方以餘積求圓徑及方弦

　設圓田内減方田圓周至方角一步餘積四十三步

　　　　　　　　　　求圓徑及方弦法曰置一步

　　　　　　　　　　自乘(仍得/一步)以二因之(得二/步)與

　　　　　　　　　　餘積並(並四十/五步)另置一步以

　　　　　　　　　　四因之(得四/步)為縱方以平方

　　　　　　　　　　帶縱開之(得一十/四步)減去縱方

　即圓徑再減圓周至方角各一步(共二/步)餘八步即方

　弦

　解曰依内方角作一圓線此圓線偕外圓周必成一

　圓環形次依環濶改作方環圓環當方環四分之三

　　　　　　　　　　故止作方環之三隅即與圓

　　　　　　　　　　環等依圖分之成甲乙丙三

　　　　　　　　　　方形丁戊己庚辛壬六直形

　　　　　　　　　　尚餘癸子丑寅四弧矢形為

　　　　　　　　　　圓減内切方形之餘積以圓

　　　　　　　　　　三方二推之(舊法謂圓内容/方方居圓三分)

　　　　　　　　　　(之/二)四弧矢形並當圓三分之

　一必當内方二分之一而夘癸辰方形亦當内方二

　分之一則四弧矢形必能補夘癸辰方形之闕而與

　辛壬丙三形並共輳成一震坎方形矣次移甲于巳

　移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于乾

　尚闕未申二形故法取圓周至方角一步自乘二因

　之補入積内也自巳至申凡四形每形濶一步共四

　步故取圓周至方角之一步四因之為縱方也以平

　方帶縱開之得巽艮艮坎長濶相和之度減去縱方

　巽震餘震艮艮坎兩濶即圓徑圓徑之大于方弦者

　為兩邊之各一步故減之得方弦

　　四十則

諸雜線形求積

　第一圖可作一弧矢形而減一弧矢形第二圖可作

　半弧矢形而減半弧矢形第三圖可作兩弧矢形第

　四圖移甲丙實形補乙丁虚形成戊三角形又移己

　實形補庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑

　自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第

　五圖甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移

　　　　　　　　　　　　　　　　　戊實形補

　　　　　　　　　　　　　　　　　己虚形庚

　　　　　　　　　　　　　　　　　亦成三角

　　　　　　　　　　　　　　　　　形癸借壬

　　　　　　　　　　　　　　　　　虚形亦成

　　　　　　　　　　　　　　　　　三角形(得/積)

　　　　　　　　　　　　　　　　　(減去壬/圓形)此

　　　　　　　　　　　　　　　　　一大形内

　成弧矢形二三角形五而減一圓形凡屬雜線形者

　皆依五形例裁之

　數學鑰巻二