句股引蒙

欽定四庫全書

　句股引蒙卷一

　　　　　　　　　　　　海寜　陳訏　撰

　　筆算

　　　(古用珠算今資毫穎凡寫法俱左為大右/為小其法不外加減乗除其用視籌格)

加

　如先有幾百幾十尺(舉尺以/例其餘)又幾百幾十幾尺又幾

　十幾尺俱平寫寫完用横畫為界併之從末小位起

　每留零數寫於本位每滿十數即於前位加一㸃其

　前位仝先所寫數又所加一㸃直下併之留零數進

　十數如前法一路併向左去凡滿十者不論或百或

　千或萬總之左位比本位多十倍俱稱為十也

　　　假如一百三十四尺　又九十六尺　又一百

　　　七十八尺

　　四六八八　(從末位併起如四六八為一十八進/一㸃于前左位留八零數寫本位)

　　三九七○　(此三九七同所進一㸃併之得二十/進兩㸃于前左位而本位無零置○)

　　一　一四　(此首位有一一又連兩㸃併之得四/竟寫四字於下)

　　　右共四百○八尺(從左首位至末小位/)

減

　先從左大位減至右末小位

　　　假如四百○八尺先減一百七十八尺(存二百/)

　　　(三十尺/)

　　八　　　四

　　○　三四三

　　四三二一

　　　又減九十六尺(存一百三十四尺如右/)

　　　　如再減若干亦同此法

乗

　有自乗如以一百七十八乗一百七十八有相乗如

　以一百七十八乗九十六之類依位數畫或方或長

　格各管所乗之位為縱横式俱左為大右為小又每

　格斜界從末小位界起為斜式亦左為大右為小斜

　界之末格為最小之位無可併進其餘斜界一路併

　去留零數於本位而以滿一十者進一㸃於前滿二

　十者進二㸃如前加法倒併至左寫完看末位應是

　尺是寸逆推而上即得所乗之萬千百十

　　假如自乗以一百七十八乗一百七十八

　　　先寫一七八於上(平寫/)再寫一七八於側(直寫/)

　　　依平位側位畫縱横格(或平位多畫長方格或/側位多畫直方格)

　　　再畫斜格(末小/位起)

　　　先從右邊末位乗起以末位之八乗平寫之末

　　　位八得六十四寫六字於末位斜格之左寫四

　　　字於右

　　　再以右邊之八乗平寫中位之七得五十六寫

　　　五字於下格斜界之左寫六字於右

　　　再以右邊之八乗平寫首位之一得八寫八字

　　　於下格斜界之右(以上右邊之八乘完/)

　　　次以右邊中位之七乗平寫末位之八得五十

　　　六寫五字於中位斜格之左寫六字於右次以

　　　右邊之七乗平寫中位之七得四十九寫四字

　　　於中格斜界之左寫九字於右

　　　次以右邊中位之七乗平寫之一得一七如七

　　　寫七字於中格斜界之右(以上右邊之七乗完/)

　　　又以右邊之一乗平寫末位之八得八寫八字

　　　於上位斜格之右

　　　次以右邊之一乗平寫中位之七得七寫七字

　　　於上位斜格之右

　　　次以右邊之一乗平寫首位之一得一寫一字

　　　於上位斜格之右(以上右邊之一乗完/)

　　　各位俱乗畢將斜界各數併之圖具右方

　　　右末位是尺乘尺即知四字是尺從尺逆推而

　　　上至三字是萬位得三萬一千六百八十四尺

　　　(若以尺乗寸則末位之四是/四寸凡兩錢斤之類俱同此)

　　假如相乗圖算俱同自乗

除

　除與減相似而不同猶加與乗亦相似而不同葢加

　減止用小九數如二與三為五而乗與除則兩字合

　呼如二三得六也除即九歸法列籌除實西法始創

　先列籌式如左

　　籌算(附籌式/)

　　　(籌每副九根每根九格左為大數右為小數以/第一格右邊字為某號籌如一字即為一號籌)

　　　(二字即為二號籌算時照為法之數列籌從左/而右看列實數近少除之其每籌之背俱合九)

　　　(數面一背必八面二背必七第九號籌之背則/虚界斜格無字為法數之○用其除法用法另)

　　　(詳/)

　　　　右每籌九格每格已備所乘之數如一號籌一

　　　一如一　一二如二如第二號籌則第一格即一

　　　二如二第二格即二二如四第三格即二三如

　　　六第四格即二四如八第五格即二五得一十

　　　此一十之一字寫在斜格之左為大數第六格

　　　即二六得一十二以一字寫斜格之左二字寫

　　　斜格之右凡籌俱左為大數右為小數也其列

　　　籌亦分左大右小如法數或係一十九則一號

　　　籌列左九號籌列右也凡兩籌相並成斜方格

　　　　右每籌九格每格已備所乘之數如一號籌一

　　　一如一　一二如二如第二號籌則第一格即一

　　　二如二第二格即二二如四第三格即二三如

　　　六第四格即二四如八第五格即二五得一十

　　　此一十之一字寫在斜格之左為大數第六格

　　　即二六得一十二以一字寫斜格之左二字寫

　　　斜格之右凡籌俱左為大數右為小數也其列

　　　籌亦分左大右小如法數或係一十九則一號

　　　籌列左九號籌列右也凡兩籌相並成斜方格

　　　其斜方格内之數須合併算滿十即進於左位

　　　而留零數於本位其在斜方外者不可合也

除取近少

　除即珠算之歸法如以物求價物為法照物之數列

　籌價為實共若干價横寫數目(亦左邊起/寫至右邉)視列籌某

　格近少除之(如在第一格除即寫一字如在第/二格除即寫二字為商除之數)所以

　取近少者蓋以法除實必非一除可盡故留餘實以

　便再除

　　　假如做工三百八十四丈用銀三千五百七十

　　　一兩二錢求每丈該銀若干以做工為法列三

　　　八四籌以銀為實横寫三五七一二取格之近

　　　少除之

　　　右列三八四號籌除實視每格自一格至八格

　　　俱少惟九格之　　　　　　　　　三四

　　　五六與實近少除之因在第九格為初商九

　　　餘實一一五二視列籌第三格之

　　　(為十一進一/㸃于前)一一五二除實盡為次商三

　　　　按初商之九寫於實首位者因在三號籌左

　　　　邊之字除起(左邊是大數/即是十位)遇十在本身故第

　　　　一次除寫實之第一位所謂在本身也

　　　右工每丈該銀九兩三錢

　　　　按定位(詳後/)凡法小實大者從實首順尋法

　　　　首而法前得令如工三百較之銀三千是為

　　　　法小實大應實上順尋法首今實之第二位

　　　　是百即為法之首位而法前得令則實之第

　　　　一位是法前而第一位上之初商九乃是九

　　　　兩蓋令者兩斤尺石之所由起也九既為兩

　　　　則三為錢無疑故貴定位也詳後法

置○(開方置○不用此法/)

　　　逢單須進位　　遇十在本身

　　　退位單仍十　　兩一位還升

　各籌俱右為單位左為十位其左邊無字而兩籌斜

　格相併如五與六併為一十一之類則進於十位亦

　謂之十也此進位之位與本身之身俱指所商之數

　應寫實數上之第幾位如初商在第一位次商在二

　位之類為一定之位而進位則從本位而進於左位

　也依此寫法有不相連接中間空一位者是商數大

　小相懸應置○也

　退位單仍十句即補首句逢單須進位之所未盡蓋

　如同是籌上之單位除實而所除之實位或有用退

　位除者則雖在籌右格之單位除仍作遇十在本身

　其所寫商數初商在首位次商在次位也

　　　假如實一十一兩七錢二分　法二十三石(列/籌)

　　　列三號三號籌視五格至九格俱浮於實惟退

　　　位除則第四格　之九二是零數與一之大數

　　　相近故從實首除籌之一十為九除十而於次

　　　位還一則所除乃在第二位而書商數於實首

　　　位是為單仍十耳然次位除起而實首書商數

　　　則依然逢單進位也

　兩一位還升句承上退位句以申明逢單須進位也

　謂惟退位除者雖單亦同十耳若實首是一法首亦

　是一而恰用第一格除實則逢單應書商數於實首

　一之前位上葢總以籌之左大右小為逢單遇十故

　前句是退位除者雖在單格亦作十論而在本身置

　商此句兩一是雖或一十一百而在籌格之單位除

　者亦作單論而在本身前一位置商也

　　　假如實一百五十七兩　　法一百二十六石

　　　列一二六籌在第一格右小位除實則應置商

　　　於實本位之前一位

　　若法實俱是一在左大格除者不宜進位置商

　　　假如實一七八二　法一八

　　　列一八籌初次商俱在九格除實俱籌上併進

　　　左大位是十位是遇十在本身其商數不宜進

　　　位也

　　右依前法寫商數而中間空缺不接連者即○位

　　也

定位

　法小實大順尋法首而於法前得令

　　　假如人參三十五兩用價共二百二十七兩五

　　　錢

　　　　求每參一兩價若干(以銀為實/)　(以參為法/)

　　　五　　列三號五號籌(此即參/為法)除實

　　　七　　籌第六格除二十一是遇十在本身寫

　五　二　　六字於實之第一位上餘實一七五除第

　六　二　　五格亦遇十在本身寫五字於實之第

　　　　　　二位上(除/盡)

　　　　　　順尋法首者如上所列實二百二十七

　　　　　　兩五錢人參為法是三十五兩則十為

　　　　　　法首而實之第二位是十為法首位直

　　　　　　上所寫商數之五即法首位而法前得

　　　　　　令令者兩也實首直上之六為法前法

　　　　　　前得令為六兩六既為兩則五為錢矣

　　　　　　答曰每參一兩價銀六兩五錢

　法大實小逆尋法首而於法前得令

　　　假如堤工三百五十用銀二十二兩七錢五分

　　　　求每一工該銀若干(以銀為實以工為法/)

　　　　　　列三號五號籌除實同前

　　　　　　法之首是百實之首乃是十是為法大

　　　　　　實小當實首十逆推法首百則實之前

　　　　　　位即法首位而實前第二位是法前位

　　　　　　以之得令為兩而順逓推下則初商之

　　　　　　六乃是分位次商之五乃是釐矣

　　　　　　答曰每人一工該銀六分五釐

　　又如法愈大實愈小則實前逆尋法首或二○三

　　四○法前得令仝前

　　　假如隄三千四百工共銀一十五兩三錢

　　　　求每工該銀若干(以銀為實以工為法/)

　　　實　　列三號四號籌除實

　　　三　　初商四次商五俱籌上左邊除實商數

　　　　　　各依遇十在本身寫法數千銀數十為

　　　　　　法大實小從實首十數逆尋法首則實

　　　　　　前二位為法首而又於法前得令起兩

　　　　　　退右挨數則實首上之四為四釐挨右

　　　　　　之五為五毫矣

　　　　　　答曰每工四釐五毫

　法實等者實首即為法首而於法前得令

　　法實相等如同是千同是百之類

命分

　凡除至單位而止故曰實如法而一所謂一者即單

　也其除之至單位仍有不盡之餘實則以分命之

　　其一除之至盡如錢分釐毫絲忽以次求之

　　其一以法數為分母不盡者為分子命為幾分之

　　幾

　　　假如十九人分銀二百五十四兩依商除法已

　　　各該一十七兩矣不盡七兩命之曰十九分兩

　　　之七(葢以不盡之七剖為七个十九分得一併/百三十三分以十九人分之各得七分)

　　　(整數零數為每人分得十七兩○十九分兩之/七)

　　附約法(厯法用之便於積算餘可不必/)

　　　凡命分可約者約之古法曰可半者半之不可

　　　半者以少減多更相減損求其有等者以等約

　　　之西法謂之紐數以等數約母子數則皆除盡

　　　(如八十一人分銀二十七兩不能各得一兩并/不能各得五錢依命分法命為八十一分兩之)

　　　(二十七今以法約之為三之一葢八十一是三/个二十七若剖兩為八十一分即各得二十七)

　　　(分是三/之一也)

　　　(均分法曰置分母八十一用逓減法以分子二/十七減之餘五十四復以二十七減之餘仍二)

　　　(十七兩數相同是有等也即用此二十七轉除/分母得三除分子得一如此不用細分但以每)

　　　(兩均剖為三而各得其/一分即三人共一兩也)

　　　(若分子是五十四則用轉減法以子五十四轉/減母八十一餘二十七又以母餘二十七轉減)

　　　(子五十四亦餘二十七是相等也即以此等數二/為法除母得三除子五四得二是為約得三之)

　　　(又㨗法八十一乃九九相乗之數二十七乃三/九相乗之數皆九也即可為紐數約之為九分)

　　　(兩之/三)

當位

　籌算求兩斤尺石之類竟除近少或即除盡不用當

　位法惟開方每商後應取兩廉約數故如餘實一百

　先取長廉時雖或籌之第一格是一百寜可取第九

　格除九十以便取長廉也今開方依西法用籌故先

　附此

　　　右各法俱籌算入門之始從此開方句股三角

　　　握算推步無慮紊悮矣(惟開方置○與此不同/)

　句股引蒙卷一