句股引蒙

欽定四庫全書

　句股引蒙卷二

　　　　　　　　　　　　海寜　陳訏　撰

開方

　　開方為句股積冪測量步算之源其法取積實歸

　　除使均齊方正知每邊得若干數其用籌除實視

　　某格為某商若干等類俱如前法有平方大籌立

　　方大籌置廉用散籌

　　平方開面立方開體皆開除所積之實平方則開

　　平面所積之方故大籌每格止一自乗立方則開

　　立體所積之方故大籌每格其右邊直行先平列

　　一自乘數其中左兩行雖有斜格而平行每格又

　　以自乗之數與每格之一二三四五六七八九相

　　乗蓋如圍棋子平方則四邊十九而三百六十一

　　為十九个十九也立方則十九个三百六十一也

　　又平方立方俱以第一次大籌除實之格為方根

　　後各依法加廉其大籌所除之格其實即隅積其

　　平行之數即隅數且隅積即在平廉約法中并列

　　并除此天然之巧也凡測算雖極逺極大其所測

　　中心止憑一㸃其逺近多少相距亦止憑一㸃從

　　此㸃至彼㸃則有線線即有所積之面面即有所

　　積之體故平方開面立方開體皆因其所積之面

　　與體以求其所距之線與所測之㸃為句股三角

　　之用也(此所測之㸃非開/方㸃定開位之㸃)

開平方法

　先㸃定開位從末單位㸃起(如積實尾無單位者/於尾位置○㸃起)隔

　一位㸃以至實首一㸃一開二㸃二開開不盡者命

　分

　一㸃者根必單二㸃者根必十(俱以/次増)先從左大數視

　平方籌相近之格除之開數定則方根之十百千萬

　亦定矣(立方同/)

　凡初商除至前第一㸃止次商除至前第二㸃止如

　次商㸃位前原止二位而籌格有三位不得除至第

　二㸃後便須置○於次商為次商○三商以下皆然

初商法

　平方籌取近少除實至前第一㸃止在第幾格即為

　初商若干此第一次除之商數名為方根

　㸃前無餘者從籌上一二三格之單位除㸃前有餘

　者從籌上四五六七八九格之雙位除如實少於籌

　者用退位法除

次商法

　以初商所得數倍之為廉以所倍之廉數列籌於平

　方籌左取某格近少除之為次商若干

三商法

　以次商所得數倍之為廉列籌於次商籌之右平方

　籌之左除實同前法(各商同此/)

　　每商置○定位三則(開方定位依㸃逓加不/用順尋逆尋法立方同)

三商式

　　　　　　如列實三㸃為三開(從末零位㸃/起每開一位)㸃

　　　　　　前無餘該大籌單位除實三格内除

　　　　　　九為初商三寫三字在首㸃積實之

　　　二　　上

　三　九　　次商應倍初商之三列六號籌為廉除

　　　○　　實若取近少莫如三格但次㸃位前實

　　　　　　止有二位而籌有三位不得除至次㸃

　　　　　　位後便須置○是為次商得○寫○於

　　　　　　次㸃位積實上隔○籌於平方籌左

　　　　　　三商既列六號籌○籌於平方籌之左

　　　　　　便應統取近少除至末㸃位止今四格

　　　　　　恰除盡為三商得四寫四於末㸃位積

　　　　　　實之上

　　　　　　三商根必百故初商之三為三百

四商式

　　　　　　㸃前無餘大籌單位除九初商得三書

　　　　　　商數及置○與三商俱同前法

　　　　　　四商倍三商之四列八號籌於大籌之

　　　　　　左及前六號籌與○籌之右四格除盡

　　　　　　為四商四

　　　　　　四商根必千故初商之三為三千

四商○○式

　　　　　　初商視平方籌取三格除九為初商得

　　　　　　三次商倍方根列六號籌於表左應除

　　　　　　至次㸃位止但次㸃前實止一位而法

　　　　　　之一格兩位下俱三位便須置○隔○

　　　　　　籌於前列籌右平方籌左為次商得○

　　　　　　三商應除至三㸃位止但三㸃前止三

　　　　　　位取近少在三格法有四位便須置○

　　　　　　隔(○/)籌於前列籌右平方籌左為三商

　　　　　　得(○/)四商四格恰除盡為四商得四

　　　　　　四商根必千故初商之三為三千

加籌

　凡商除之後如兩廉必倍前商之數如前商一加二

　號籌前商二加四號籌之類此易明惟前商五倍之

　加一十則加一號○號兩籌葢五加一籌○籌方是

　一十若不𢃄○籌則一為單數矣若前商之廉是十

　數又當為升籌

升籌

　凡商除之後如有加兩籌者當用升籌法葢同位則

　升也如平方三開其初商二是為二百次商倍之為

　廉是四百應列四號籌矣其次商六是為六十三商

　倍之為廉是一百二十似應再列一號二號籌於前

　商四號籌之右然從四號籌挨次而來似乎四百一

　十二而非倍六十之一百二十矣故應將一百與四

　百併之為五百連二十為五百二十升作五二籌列

　於平方籌左而前商之四號籌去之

隔籌

　每商必加倍數籌以為廉法故前商既置○矣亦須

　隔○籌於前列籌之右以為後商之廉法而取近少

　除實為後商其前列籌固倍數也而○不必倍者葢

　置一○只應隔一○籌耳(立方每隔○○/兩籌與平方異)

命分

　見前籌算法視末商籌之第一格為若干分視所餘

　不盡之實命為若干分之若干分

　　如餘積五十七如末商兩廉列八號四號籌(連前/商籌)

　　(在/内)視第一格八四一命為八百四十一分之五百

　　七十分葢第一格是兩廉每加一分之全數故止

　　視第一格而命其全數與現在不盡之分也

求分杪

　凡有開不盡者或不命分欲知若干分杪於餘實下

　增兩○位為○○則多開一位而分杪可得矣(平方/隔一)

　(位㸃是每開兩/位故増○○)

　　　右皆開平方法其平方帶縱者開方附左

平方𢃄縱

　列積實依開方商除法每商除實得商數以乘縱數

　除餘實其次商倍初商數除實以次商數乗縱數除

　餘實但倍商不倍縱餘商同法合每商之數為闊(即/正)

　(方/)加縱數即𢃄縱之長方

　如縱數有比例可求者先以比例分其積而餘積以

　平方開之得闊因以知其長

　　開方得闊加縱式

　　　假如長田六百二十四步　　闊不及長二步

　　　　初商得二除四百步　又以商數二乗縱二

　　　　步(二二/如四)除四十步　　餘一百八十四步

　　　　又倍初商列四號籌次商四格除一百七十

　　　　六步　又以商數四乘縱二步(二四/如八)　共一

　　　　百八十四步除盡為次商四

　　　開得闊二十四步　加縱二步為長二十六步

　　比例分積式

　　　假如直田積四百五十步　長多闊一倍

　　　　法平分其積得二百二十五步平方開之得

　　　　闊一十五步倍之得三十步即長

　　　假如長田積二百五十二步　長比闊多四分

　　　(分母/)之三(分子/)

　　　　法以分子三加分母四共七為法以分母四

　　　　乗積為實法除實得一百四十四步開方得

　　　　闊一十二步又以闊一十二步七因四除之

　　　　得二十一步為長(長比闊多九步較之/十二步為四分之三)

開立方法

　從末單位㸃起每㸃隔二位視列實位一㸃一開二

　㸃二開餘同

　凡一㸃者方根必單二㸃者方根必十以次而増先

　從列實左大位視立方籌取近少除之

　㸃前無餘除一二格之單位㸃前餘一除三四格之

　十位㸃前餘二除五六七八九之百位

　　立方根單其積實必從單至幾百止如九之所積

　　其平面自乗得八十一而立體則九與八十一相

　　乗得七百二十九故根單必積實至百位而單位

　　㸃起隔兩位至百也

　　立方根十其積實必從幾千至幾萬幾十萬止如

　　九十之所積其平面自乗得八千一百而立體則

　　九十與八千一百相乗得七十二萬九千故根十

　　其積實必從千位萬位至十萬位止而㸃亦隔兩

　　位也餘以類推

　　立方積實必得三位故一㸃一開二㸃二開而開

　　數定於此矣一㸃者根必單二㸃者根必十方根

　　定於此矣初商除至左首㸃位止次商除至次㸃

　　位止置○肇於此矣若尾位列實止於十則實右

　　補一○列實止於百則實右補○○以便從單位

　　㸃起若列實不至單位止則㸃位一錯而開數方

　　根置○俱因之以錯矣故列至單位開方之異於

　　籌除者在此

初商

　法同平方視列實用立方大籌視單位十位百位依

　法取近少除之至前首㸃位止在第幾格為初商若

　干為方根

次商

　以初商方根自之(即自乗/)又三倍自乗之實得若干

　列某號籌於立方籌之左為平廉法

　再以初商方根竟三倍之列某號籌於立方籌之右

　為長廉法

　視平廉籌及大籌某格近少列為平廉約數

　將平廉約數在某格之隅數(即大籌兩行/平寫之數)乗立方大

　籌右之長廉(如九格之八一為隅數即將長廉籌/八格一格所列之數依大小次併之)得

　若干數為長廉約法

　併平廉長廉兩約數若干以減初商所餘之實至次

　㸃位止為次商若干

　如併兩廉數浮於實須退位改商如位多於實應置

　○不得除至次㸃位後

　　　右立方有平廉三長廉三與平方異

三商

　去前商左右列籌

　以初商兩商自之又三倍之為平廉列籌於立方籌

　左

　再以初次兩商竟三倍之為長廉列籌於立方籌右

　如前商法除至三㸃位止

四商(以下皆同/)

　去前商籌依法列平廉長廉籌除至末㸃位止為四

　商若干如尚有餘實依命分法

　　右前法俱前商之後即將前各商數自之又三倍

　　之為平廉列籌視某格與餘實近少列為平廉約

　　數再以前各商竟三倍之為長廉列籌(俱依前法/分列大籌)

　　(左/右)視平廉約數在某格之隅數取以乗長廉得若

　　干數為長廉約數其萬千百十各依位數附於平

　　廉之本位併之而除餘實其隅數即在大籌之除

　　格其廉積即在散籌之每格仍是於全數中除兩

　　廉應除之餘實而隅數亦不煩再乗再除也梅定

　　九先生籌算仍依古法先以前商三倍之為廉法

　　以前商數自之又三倍之為方法以方法除餘積

　　得次商既得次商用其數以乗方法為三平廉積

　　又次商自乗以乗廉法為三長廉積再以次商為

　　隅法以隅法自乗再乗得小立方形為隅積三共

　　併之除餘積不知既列籌除則籌之每格即乗有

　　廉之全積何必多此一乗且大籌在初商為方根

　　在每商即為隅積今用籌倂除何必又自乘再乗

　　耶

　　　立方籌右行隅數定位

　　二開　次商三格以上是單位　　四格以下是

　　　　　十位

　　三開　三商三格以上是單位　　四格以下是

　　　　　十位

　　　　　次商三格以上是百位　　四格以下是

　　　　　千位

　　四開　四商三格以上是單位　　四格以下是

　　　　　十位

　　　　　三商三格以上是百位　　四格以下是

　　　　　千位

　　　　　次商三格以上是萬位　　四格以下是

　　　　　十萬位

　　　　右隅數以末商三格以上是單四格以下是

　　　　十起層累逓加

　　法式

二開商式

　　假如積實六千八百五十九

　　　　　　　　兩㸃兩開

　　　　　　　　兩㸃根必十

　　　　　　　　㸃前無餘從單位

　　　　　　　　㸃俱隔二位(連本位共三位/)

　初商　列立方大籌視第四格之六四雖係近少然

　　㸃前無餘必從單位除寜可在第一格除一蓋第

　　二格雖亦單位然八浮於六不可除實故除一格

　　之一為近少除去一千為初商一(兩㸃根必十此/初商一為方根)

　　(一/十)

　次商　以方根一十自之又三倍自乗之實得三百

　　列三號籌於立方籌左為平廉籌又以方根竟三

　　倍之得三十列三號籌於立方籌右為長廉籌

　　前商餘實五八五九視平廉籌之九格三四二九

　　相近列為平廉約數其九格之隅數八一乗長廉

　　之三十得二千四百三十為長廉約數

　　併兩廉約數共五千八百五十九除實盡在第九

　　格為次商九

　　　次商在九格除盡即次商隅數九亦在除内葢

　　　隅在長平兩廉相凑之角故次商之隅即同次

　　　商之商數其在大籌之第幾格者為隅之邊數

　　　而在第幾格之自乗者為隅之實數今與大籌

　　　並列同除故隅亦在其中也

　　　三平廉貼於前商方形之正面側面及或上或

　　　下而後成四方平等之方故次商先以方根自

　　　乗者乗平廉一面之全數也三倍之則所貼方

　　　根三面之平廉全數也但全數與方根等方而

　　　全數之積多於現在之餘積故於此三平廉全

　　　數中視某格與餘實近少而為平廉約數然此

　　　三平廉者與方根闊狹厚薄相等今三面貼凑

　　　止能悉照方根之方而不能凑合成方根外加

　　　廉之方故又有長廉三一縱二横補於平廉不

　　　能合縫之際始得凑合成方法以方根又三倍

　　　之者成三個長廉之全數也再以平廉之隅數

　　　乗長廉則為現在平廉貼身應得之數為長廉

　　　約數併之除餘實而隅亦在所除之中而此四

　　　面之方凑合無缺矣葢平廉以方根為準長廉

　　　以平廉為準而隅數與平廉長廉又互相為準

　　　數藏大籌巧在與大籌並列同除法精密矣

初商次商退位除式

　　假如積實一萬九千六百八十三

　初商二十　積實兩㸃兩開方根必十㸃前餘一位

　　應從立方籌之十位除實但籌之三格四格俱大

　　於積實應退在第二格之八除八千(籌格退位/)餘

　　一一六八三

　　　此退位不用三四格除實而退至二格者籌數

　　　浮於實數用退位除恰除至㸃位止故取二格

　　　之八為近少也此初商止退籌格不退商位

　次商七　先以方根二十自之得四百又三倍之得

　　一千二百取一號二號籌列立方籌左為平廉以

　　方根二十竟三倍之得六十取六號籌列立方籌

　　右為長廉　雖九格一萬一千五百二十九相近

　　然再加長廉便浮於實故不取九格(凡平廉籌格/與除至㸃位)

　　(之實位數相當者則萬千十百之數亦必相符今/㸃位前實係一萬一千六百八十三平廉九格恰)

　　(五位便是一萬一千五百二十九矣蓋二開次商/得九以九乗平廉法得廉約數一萬○八百加隅)

　　(約數七百二十九共數如前以此推算即得實數/然不如即視位數更為簡㨗故比㸃位少一位則)

　　(其數必小多一/位便須置○也)八格之一○五一二雖更相近然

　　若以八格之隅數六十四乗長廉之六十得三千

　　八百四十併平廉八格之一○五一二為一萬四

　　千三百五十二亦浮於現在之餘實故又應退格

　　取七格之八千七百四十三單為平廉約數取七

　　格之四九隅數乗長廉之六十得二千九百四十

　　為長廉約數俱係千數可併進而除首位次位之

　　一　一矣於是併兩廉約數共一萬一千六百八十

　　三單除盡為次商七

　　　(此退格約廉因籌數雖浮籌位不多於餘實故/止退格而不改商也)

　　　　自乗再乗還原

次商置○式　三商加○籌式

　假如積實一億二千九百五十五萬四千二百一十

　六

　　　　　　　　　三㸃三開

　　　　　　　　　㸃前餘二位

　初商㸃前餘二位視立方大籌百位除實第五格之

　一二五近少除之得初商五百

　次商以方根五百自之得二十五萬又三倍之得

　　七十五萬為平廉列七號五號籌於立方籌左以

　　方根竟三倍之得一千五百為長廉列一號五號

　　籌於立方籌右若取平廉籌相近莫如第六格之

　　四五二一六相近然次商應除至次㸃位止今籌

　　位多實位少若依籌位即平廉巳除至㸃位後何

　　况更有長廉是必變商之大位為小位則有後商

　　㸃前之實應除而不患除至㸃位之後故應商數

　　置○為次商○(前二商式是退格併亷此處次商/是退位再商故有置○不置○之)

　　(别/)

　三商　因前平廉籌巳備三廉實數尚未商除而前

　　商之○又無實數可三倍故不去前籌不將前商

　　自之又三倍之止於立方籌左前平廉籌右加○

　　○兩籌蓋立方毎㸃隔二位今加○○籌則前商

　　變為後商變次商之十為三商之單矣故平廉籌

　　仍照前七十五萬而七五列籌之第六格之四百

　　五十萬相近又立方大籌六格之二百一十六單

　　共四五○○二十六列為平廉約數

　　再以隅數之三六在三開次商為三千六百者今

　　為三開三商之三十六(見前隅/數定位)以之乗三倍方根

　　之一千五百為五萬四千列為長廉約數併之共

　　四百五十五萬四千二百一十六除餘實盡為三

　　商六

　　　　右共開方得五百○六

　　　　　自乘再乘還原

五開

　　三商列籌不隔○　商數置○式

　　四商隔○籌式　　又商數置○式

　　五商又隔○籌式

　假如積實一萬七千三百一十八億(即萬/萬)九千○百

　九十一萬六千七百二十九

　　　(按他書十萬曰億算學書萬萬曰億後同/)

　　　　五開列實如左

　　　　　　　　　　五㸃五開

　　　　　　　　　　五㸃根必萬

　　　　　　　　　　㸃前無餘從單位

　初商　㸃前無餘從立方籌單位一格除實一萬億

　　為初商方根一萬

　次商　以初商一萬自之得一億又三倍之得三億

　　列三號籌於立方籌左為平廉

　　以方根一萬竟三倍之得三萬列三號籌於立方

　　籌右為長廉

　　視第二格之六○八近少為平廉約數

　　以此三號籌二格之隅數四乗長廉之四得一二

　　為長廉約數(按隅數五開次商三格以上是百萬/位)

　　　　　併之除七千二百八十億為次商二千

　三商　以前初商除一萬億次商除七千二百八十

　　億餘實三八九○九一六七二九

　　去前所列籌以初次兩商(共一萬二千/)自之得一

　　四四又三倍之得四三二列籌於立方籌左為平

　　廉

　　　(凡乗大數各存○餘位則從單位逆推乗數定/位不紊)

　　　　　　　　　　　　　上圖如兩商一十二

　　　　　　　　　　　　　萬自之得一億四千

　　　　　　　　　　　　　四百○○萬

　　再以初次兩商一萬二千竟三倍之得三萬六千

　　列立方籌右為長廉法

　　如法列兩廉約數取近少莫如九格(三八九五二/)

　　(九/)但三商應除至三㸃位止今籌格六位而第三

　　㸃前連㸃位亦止四位法實不符應商除退位不

　　但變大數商為小數商又有後商㸃前之實可合

　　籌格之多位應本商置○為三商○百

　四商　立方凡前商置○則後商應隔○○兩籌以

　　當每㸃之隔二位列於平方籌左前商平廉四三

　　二號籌之右為平廉再如法列長廉籌取兩廉約

　　數併除餘實又莫如九格(三八八○/七二九)但五開四商

　　應除至第四㸃止今第四㸃之前止七位而籌格

　　有八故又應置○為四商○十

　五商　依立方法後商應去前商之廉籌另依商法

　　置平長兩廉籌約數除實今前三四兩商俱未除

　　實俱退商數置有○○今五商仍存前商廉籌及

　　○○籌再加○○籌以當每㸃之隔二位列於立

　　方籌左廉籌及○○籌之右為五商之平廉仍用

　　九格之三八八八○○○七二九為平廉約數(此/)

　　(約數首位三係十億位/)

　　再以九格之隅數八十一(五開五商次格以下是/)

　　(十位/)乗長廉之三萬六千得二百九十一萬六千

　　為長廉約數併之除餘實至五開尾㸃位止為五

　　商九

　　　　右五商共一萬二千○○九

　　　　　(末商平廉/ 長廉)　(三八八八○○○七二九/ 二九一六)

　　　　　　　(併之/)　(三八九○九一六七二九/)

　　　右五開式末商九是單數凡立方積不過至十

　　　位百位止今何以能除至三十八億九千○百

　　　萬各位之多葢三商○四商○雖兩商無除而

　　　○無定位列實未除之三八九○萬即皆前商

　　　平廉之所應有之數改商而未嘗改廉但因籌

　　　數位多實數位少故知三四商之皆應置○而

　　　前商未除之平廉其約數仍在至五商則但以

　　　五商之隅數乗前商原有之長廉以為長廉約

　　　數葢隅因亷為升降而亷依方限不因商為升降

　　　特借五商之九同格幷除非單九能除至十億位也

立方帶縱

　方為闊加縱為長法與開方無異先視某格與方根

　近少為商數乗縱數再乗得縱積併入方積以減原

　實為初商

　次商以下更加縱積縱廉積除餘實為次商(餘商/同)併

　兩商數得闊因闊以知長

　　　(用㸃定開位悉依立方/)　(縱積除至㸃後/)

　　如初商視立方大籌某格近少之格數取為方根

　　依定位列於原實之下又以方根之數因縱數若

　　干即以因得之數再乗方根數得若干為縱積依

　　定位列方根之下併減原實為初商若干

　　　(按方根悉如開方法但未即除實如併縱積多/于原實應退位或改商或退格在方根不可除)

　　　(至㸃後其併縱積則除至㸃位之後葢縱在立/方之外積非立方之積不可以每㸃之位為定)

　　　(也/)

　　如次商列平廉長廉法悉如立方先取平廉約數

　　依定位列餘實之下再取長廉約數列平廉約數

　　之下次以次商之商數(有兩廉約數在某/格即某格是商數)因縱數

　　得若干再以商數乗之為次商縱積依定位列兩

　　廉約數之下又以縱數倍之為縱廉法乗初商數

　　得若干以乗得之數與次商數乗之得若干為縱

　　廉積依位列於約數之下共併之減原實為次商

　　若干

　　　右𢃄縱方兩開者次商之平廉必列至次㸃位

　　　止如有三開者則加縱積縱廉積除至次㸃位

　　　之後(與開方/不同)止兩開者即併積亦必次㸃位止

　　　若併積之位浮於餘實應退格改商以除實若

　　　平廉各格多於㸃前之實或應退格或應置○

　　　同前開方置○法

　　三商以下列廉法悉如前其縱廉法應乗上初商

　　次商再以乗得之數乗末商為縱廉積併除實(四/)

　　(商以下同/)

　如積實九萬七千二百○十○尺但云闊不及長三

　尺

　　初商近少在四格即方根四十闊不及長三尺即

　　三為縱法乗初商之四十得一百二十(此縱靣/)再

　　以初商四十乗一百二十得縱積四千八百(此縱/)

　　(體/)先以方根積六萬四千照位列實下又以縱積

　　四千八百列方根積之千位下併之得六萬八千

　　八百減原實為初商四十餘實二萬八千四百

　　　不先除方根者恐加縱積多於原實故先併後

　　　除

　　次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之

　　得四千八百為平廉列大籌左再以方根四十竟

　　三倍之得一百二十為長廉列大籌右取平廉第

　　五格(二四一二五/)為近少為平廉約數以五格之

　　隅數(二五/)乗長廉之一百二十得三千(兩開次商/四格以下)

　　(隅數/是十)為長廉約數列於平廉下之千位

　　以縱法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十

　　五得七十五為次商縱積照定位列於兩廉之下

　　又以縱法之三竟三倍之得六為縱廉法乗次商

　　四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一

　　千二百為縱廉積照定位列於縱積之下

　　併之共除餘實二萬八千四百盡為次商五

　　　　右共開方四十五尺加長三尺為長四十八

　　　　尺

　如積實二百萬○○○○○○尺　但云闊不及長

　三尺

　　　　　　　　　　三㸃三開　初商是百

　　　　　　　　　　㸃前無餘

　初商一(在大籌單/位除實)以三為縱法乗商數一百得三百

　　(此縱靣/)又以商數一百乗三百得三萬(此縱體/)合

　　方根積共一百○三萬減積實為初商闊之一百

　　　　按此初商除方根并除長三尺之縱但止除

　　　　方根等形之縱未除次商後加縱廉積之縱

　次商依立方法平廉三萬長廉三百取近少(三格九/二七以)

　　(相近因𢃄縱有縱積/應加故退格約廉)二格之六○八相近為平廉

　　約數

　　以第二格隅數四(三開次商三格/以上是百位)乗長廉得一十

　　二萬為長廉約數

　　以縱法三尺乗次商二十(取平廉長廉約數俱/在二格即是二十)得

　　縱面六十又以商數二十乗縱面六十得縱積一

　　千二百

　　以縱法三尺倍之得六為縱廉(次商方根加廉則/所𢃄之縱亦應加)

　　(廉但次商之縱是小於方根加廉之縱而非短於/方根之縱止縱旁兩邊有廉而縱頂無廉故法止)

　　(倍/之)乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得

　　縱廉積一萬二千

　　　併之

　　　　　平廉約數六十○萬八千

　　　　　長廉約數一十二萬

　　　　　縱積一千二百

　　　　　縱廉積一萬二千

　　共七十四萬一千二百減餘積仍餘二十二萬八

　　千八百○十○單

　　為次商二十

　三商平廉三千二百長廉三百六十依開方法置籌

　　取第五格近少二十一萬六千一百二十五為平

　　廉約數

　　以第五格隅數二十五乗長廉三百六十得九千

　　為長廉約數

　　以縱法三尺乗商數五得一十五又以商數五乗

　　一十五得七十五為縱積

　　以縱廉六(縱法三尺/倍之得六)乗初次兩商之一百二十得

　　七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百

　　為縱廉積

　　依法併之共二十二萬八千八百○○除實盡為

　　三商五

　　　右共開方一百二十五尺加縱三尺為一百二

　　　十八尺

　　按立方𢃄縱初商未開之前其所開之方未有定

　　數而縱長三尺則有定數然雖有定數而如三開

　　者其方闊必等於每開立方之邊或匾縱或長縱

　　故每商必先依開方法開本身立方之方再以縱

　　之三尺乗商數得縱之面更以商數乗縱之面而

　　得縱之積在初商無廉故止併方根積與縱積除

　　實為初商若干也至於次商則方根有廉而所立

　　之方其形更大於方根今𢃄縱方則其長雖定於

　　三尺而其方之大小應與次商之方相等但立方

　　之廉有三而此𢃄縱方則縱首無廉止應兩旁有

　　廉故廉止於二但此兩廉亦止如方根之方其合

　　縫之處亦如立方平廉之不能凑合必有一長廉

　　焉於是以縱法乗次商而得𢃄縱長廉之面又以

　　次商商數乗縱面而得𢃄縱長廉之積此所謂縱

　　積也其實乃𢃄縱之長廉積也于是𢃄縱之兩平

　　廉以縱法倍之即以乗初商之數為𢃄縱平廉之

　　面以此𢃄縱平廉之面乗次商商數而得𢃄縱平

　　廉之積於是所𢃄之縱其縱則定於三尺而其方

　　之形與次商之方等矣葢其法與開立方同而立

　　方則先有平廉後有長廉今開所𢃄之縱乃先有

　　長廉後有平廉此為異耳至三商與次商同惟縱

　　廉積以縱法乗初商次商之商數而以乗得之數

　　再乗三商之商數葢必連初商次商再乗三商方

　　是三商𢃄縱之平廉其廉比初商次商較薄而其

　　方之形則初商次商後之三商其闊狹與三商有

　　廉之方相等其理一也

　附立方減縱法

　假如立方積五千七百七十六尺　但云長不及闊

　三尺

　　　　　　　　　㸃前無餘除單格

　　初商除一格之單位因二格之八浮於列實故止

　　除一格之一為商數以三尺為縱法乗商數一十

　　(兩㸃根/必十)得三十再以三十乗商數一十得縱積三

　　百以初商方根積一千減去縱積三百餘七百以

　　減原實為初商一十

　　　餘實五千○七十六尺

　　次商依開立方法列平廉長廉籌近少取三號籌

　　(次商以初商自/之又三倍之)之九格三千四百二十九為平廉

　　約數以隅乗長廉得二千四百三十尺為長廉約

　　數合之為五千八百五十九(其數稍浮於實者立/方積也後以縱積等)

　　(減之乃成匾方形故凡減縱之/末商必約數浮於實以待後減)為立方兩廉約數

　　次以縱法三尺乗次商九得二十七尺為縱面又

　　以次商九乗縱面之二十七得二百四十三尺為

　　立方減縱之長廉積今名縱積

　　次以縱法三尺倍之得六尺為縱廉以乗初商一

　　十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺為

　　立方減縱之兩平廉積今名縱廉積

　　合縱積縱廉積共七百八十三尺以減立方之兩

　　廉約數餘廉積五千○七十六尺減餘實盡為次

　　商九(此餘廉積即前立方兩廉不浮之約數葢既/先于前所稍浮之立方廉約中除縱廉等積)

　　(則所餘者乃方根應有各廉之真數/因本商未除故末後除之而合也)

　　　右共開得闊一十九尺減長不及闊三尺為十

　　　六尺長

　　　　　以上𢃄縱方開法初商方根積必至首㸃

　　　　　位止次商平廉長廉共約數必至次㸃位

　　　　　止不得除至㸃位之後惟減縱每商之廉

　　　　　其約數應稍浮于列實以待後減縱廉等

　　　　　積

　句股引蒙卷二