莊氏算學

欽定四庫全書

　莊氏算學卷五

　　　　　　　　　　　淮徐海道莊亨陽撰

　中西筆算

　度量權衡

　　度法

丈　尺　寸　分　釐　毫　絲　忽　微　纎　沙

塵埃　𣺌　漠　模糊　逡巡　須㬰　瞬息　彈指

刹那　六徳　虚空　清浄(俱逓以/十析)

　　量法

石　斗　升　合　勺　撮　抄　圭(俱逓以/十析)　粟(六/粟)

(為/圭)

　　權衡

兩　錢　分　釐　毫　絲　忽(俱逓以十析忽以/下並與度法同)

凡丈　石　兩以上則為十　百　千　萬(逓増/十倍)　億

　兆　京　垓　秭　穰　溝　澗　正　載　極

恒河沙　阿僧秖　那由他(不可思議無量數億/以下俱逓増萬倍)

　　田法

頃(百畆/為頃)畆(二百四十/步為一畆)分(二十四/步為分)步(方五尺/為步)

　　斤法

斤(十六兩/為一斤)兩(以下俱與/權衡同)

　　里法

里(三百六十步為一/里計一百八十丈)

　　厯法

周天(十二宫/為周)宮(三十度/為宫)度(六十分/為度)分　秒　微　纎

忽　芒　塵(俱逓以/六十析)

　　日時

日(十二時又為/二十四小時)時(八刻又為/二小時)刻(十五/分)分以下俱與前同

　　石法

石(積二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此係舊法/如以尺度較倉積先將現用斗較准然後用為比例)

(方得宻/合也)

　　命位

凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸分

釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈則進

而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺則進而

為十丈則進而為百量法命石為單位則斗升合勺皆

為竒零命斗為單位則升以下為竒零而石則進而為

十若命升為單位則合以下為竒零而斗則進而為十

石則進而為百衡法命兩為單位則錢分釐毫皆為竒

零命錢為單位則分以下為竒零而兩則進而為十若

命分為單位則釐以下為竒零而錢則進而為十兩則

進而為百故凡列數單為一位十為二位百為三位千

為四位萬為五位如有數一萬二千三百四十五則以

單位為末向前列之共有五位即知此數首位是萬矣

至于厯法宮度分秒日時刻分之定位則每項命兩位

如宫曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類

葢因秒以六十而進分分以六十而進度度以三十而

進宮故常列一位即命一等者宫度時刻則兩位命為

一等而每一等有十單之列焉此又命位之最要者也

　　加法

加者命衆數而總成也葢數始于一終于九至十又復

為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名之為

一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之

數合前後之位言之有單十千萬之等先自單數加起

成十則進前一位仍為一以單數紀本位下挨次并之

即得總數若夫宮度時刻斤兩之數則不以十進必足

所命之分始進一位

　　減法

減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有之

數書于上應減之數書于下横列必對其位相減必從

其類(如千減千百/減百之類)如或下數大于上數不足減則借前

之一以減本位(加法由後而進前減法則/借前而退後其理一也)前位作一㸃

以誌之既得本位則前位所借之一并于前數而為減

數然數相減必先辯其多寡首位必大于減數始可其

定位亦然原列之次為減餘位

　　因乗

因乗者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有幾

數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則必至

于繁而無統此因乗之所以立也因者一位相因而得

如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而

得如兩位以上則各以每位所因之數而又層累以積

之也其法以原數為實乗數為法實列于上法列于下

必使法實相當(如千對千百對百十/對十單對單之類)按法乗實合而加

之為所得數定位之法視其法實所命之單位後有竒

零與否如無竒零則實中所命之單位相對即法尾之

數若有竒零則法實相乗者法實之一位統得數之二

位(如單位後竒零有一位則截得數之二位竒零/有二位則截得數之四位向前為單位紀之)法實

相乗再以法乗者(即自乗/再乗也)法實之一位統得數之三位

(如單位後竒零有一位則截得數之三竒零/有二位則截得數之六位向前為單位紀之)是故得數

以一位論者則為單十百千之類以兩位論者則為自

乗之類以三位論者則為自乗再乗之類錯綜交互用

法不一必須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如

于左

　　開平方法

平方積者兩數相乗所得之數也開之之法每方積二

位得方邊一位

法以自乗數與方根相商以相合者即定為初商書于

積之上而以自乗之數書于初商積之下爰以方邊末

位積數續書于下為次商亷隅之共積乃以初商之數

倍之為亷法以除餘積足幾倍即定次商為幾倍書于

方積之上而以次商數為隅法與亷法數相加得數為

亷隅共法書于餘積之左以次商數乗之得數與次商

亷隅共積相減減盡則已如有餘數又為第三位以後

積數商開之法與次商同

　開帶縱平方法

　　較法

法以縦方積四因以較自乗二數相加以開平方法開

之得邊總加較折半為長減較折半為濶也

又法以縱多折半自乗與原積相加以開平方法開之

得數為半和于半和較減半較得濶于半和加半較得

長也

較數縱平方有較無長濶和故四因積數與較自乗數

相加得長濶和積開方為長濶和

和數縱平方有長濶和無長濶較故用和自乗得和積

與四因積相減餘數為較積開平方為長濶較

總之有長濶和有較者于和内加較折半為長減較折

半為濶其理同也

　　和法

法以縱方積數四因以和自乘得數減去四因之數以

開平方法開之即長濶相較之數以較數與和數相加

折半為長減較即濶也

又法以和數折半為半和自乗與原積相減以開平方

法開之得數為半較于半和減半較為濶于半和加半

較為長

　　開立方法

立方者自乗再乗所得之數也有正方體之積數而求

其每一邊之數也每積數三位得邊數一位其體形有

初商之一大正方(此為自一至九/自乗再乗數)為首位用各數自乗

再乗為首位積以減通積餘數為次位以後積數次位

積形為磬折體包大方之三面故有三平亷其邊與大

方等其厚與次商數等有三長亷其長與大方等其寛

厚皆與次商數等有一小隅係次商自乗再乗之數法

以初商數自乗相因為三平廉面積與餘積相商約得

幾倍(用為少/之數)即定次位為幾數然後以次商數與初商

數相乗三因為三長亷面積又以次商自乗為小隅面

積三數相并為平亷長亷小隅之共面積再以次商數

乗之為磬折形通積以減餘積減盡則止如有餘數又

為第三位以後積數開之之法與次商同

開平方者有正方面之積數而求其每一邊之數也每

積二位得方邊一位以縱横之積數能至十倍故也法

以各數自乗之數除首位積其餘數為第二位以後積

數次以首位數加倍為亷法以商餘積得幾倍即定次

位為幾數並以此數為隅法然後以第二位數與亷法

隅法相乗以減餘積減盡則止再有不盡之數又為第

三位積數照前商除其法皆同

　　田地頃畆分法

縱横方五尺為一步二百四十步為一畆一百畆為一

頃凡地縱横相乗得積步得積步以二百四十步除之

得畆數再二十四步為一分除不盡者為零若干步凡

得積丈以六十除之得畆數(每邊數一丈/得積四步)再六丈為一

分除不盡者為零若干丈尺

　　正比例

以原有之兩數及現有之一數而求所不知之一數也

其法以原有為兩數為一率二率以現有之一數為三

率二率三率相乗一率除之得四率為所求三率與一

率同類四率與二率同類

　莊氏算學卷五