莊氏算學
莊氏算學
欽定四庫全書
莊氏算學卷六
淮徐海道莊亨陽撰
比例十法
一法正方
邊求積(設正方邊五十/步問積數若干)
法以方邊五十步自乗得二千五百步即正方積如係
田地則以畆法二百四十除之得畆數二十四步為一
分滿一百畆為頃凡面積皆同
積求邊
即開平方法
方求斜(設正方邊五十/尺求對角斜線)
法以方邊五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺
開方得七十尺七寸一分○六毫有餘即對角斜線
又倍積求邊與此法同
斜求方(設對角斜線五/十尺求正方邊)
法以對角斜線五十尺自乗得二千五百尺折半得一
千二百五十尺開平方得三十五尺三十五分五釐三
毫有餘即正方邊○又正方積折半求方邊與此法同
四倍積求邊
法以方邊數加倍即得
二法長方
邊求積(設濶八尺長十/二尺求長方積)
法以濶八尺與長十二尺相乗得九十六尺即長方面積
積求邊
有長濶較或長濶和者用開帶縱平方法算之有濶
邊者以濶數除積得長邊有長邊者以長數除積得濶
邊
更面(設長方形長十二尺濶八尺今將長積倍/之仍與原長方同式問得長濶各幾何)
法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺
開方得一十一尺三寸一分三釐有餘即所求之濶乃
以原濶八尺為一率原長十二尺為二率今濶一十一
尺三寸一分三釐為三率得四率一十六尺九寸七分
有餘即所求之長
三法斜方形(有兩/直角)
有邊求積
法以上濶二十丈與下濶二十八丈相加得四十八丈
折半得二十四丈與長五十丈相乗得一千二百丈即
斜方形積數
有積數有長有上下兩濶較求上下濶
法將積數加倍以長除之得數為上下兩濶和加較折
半得下濶減較折半得上濶
有積有上下濶求長
法將積加倍以兩濶共數除之得數即所求之長梯形
(算法與前/斜方形同)
四法三角形
有中長有底濶求積(設底濶八十尺中長/七十五尺問面積)
法以中長七十五尺與底濶八十尺相乗得六千尺折
半得三千尺即三角形面積
有積數有底濶求中長(設三角形積三千尺/底濶八十尺問中長)
法以積三千尺倍之得六千尺以底濶八十尺除之得
七十五尺即三角形之中長
有積數有中長求底濶
與前法同
勾股形
有邊求積有積求邊算法俱與三角形同葢三角形之
中長即勾股形之股三角形之底為勾之兩倍三角形
積亦勾股形積之兩倍俱得長方面之一半故全與全
半與半為比其數相同
甲丙丁為三角形丙丁為底濶甲乙為中長甲
丙乙為勾股形甲乙為股丙乙為勾甲丙為弦
五法鋭角鈍角三角形(多邊/形附)
三角形求中垂線及面積(設三角形大股十七尺/小股十尺底二十一尺)
法以底二十一尺為一率兩腰相加得二十七尺為二率兩
腰相減餘七尺為三率求得四率九尺為底邊之較(如圖/戊丙)
與底二十一尺相減餘十二尺(如圖/乙戊)折半得六尺(如圖/乙丁)乃
用勾弦求股法以甲乙小腰十尺為弦自乗得一百尺
為弦方乙丁六尺為勾自乗得三十六尺為勾方弦方
内減去勾方餘六十四尺開方得八尺為股即甲丁中
垂線再以中垂線八尺與乙丙底二十一尺相乗得一百
六十八尺折半得八十四尺即三角形面積
凡十字正方角為直角大于直角者為鈍角(如圖/甲角)不及
直角者為鋭角(如圖乙角/丙角也)甲乙邊為小腰甲丙邊為大
腰乙丙邊為底戊丙為底較甲丁為中垂線
多邊形
有邊有對角斜線求面積
法依對角斜線分多邊形為幾形算之
六法兩兩等邊無直角斜方形(此等形必有對角/斜線方可命算)
有邊求積(設斜方形兩小邊皆二十五尺兩大邊/皆三十九尺對兩鋭角斜線五十六尺)
(問面/積)
法以對角斜線分斜方形為兩三角形以對角斜線五
十六尺為底大邊三十九尺小邊二十五尺為兩腰用
三角形求中垂線法(法載三角/形條下)求得中垂線十五尺乃
以對角斜線與中垂線相乗得八百四十尺即斜方形之
面積
有勾有股求弦
法以股自乗得股方以勾自乗得勾方兩自乗數相加
開平方得數為弦
有勾有弦求股
法以勾自乗得勾方以弦自乗得弦方弦方内減勾方
餘數開平方得數為股
有股有弦求勾
法以股自乗得股方以弦自乗得弦方弦方内減股方
餘數開平方得數為勾
甲乙為對角斜線丁己與丙戊俱為中垂線
七法方環形
有邊求積(設方環外周二十八丈/内周一十二丈求面積)
法以外周二十八丈四歸之得七丈自乗得四十九丈
又以内周一十二丈四歸之得三丈自乗得九丈兩自
乗數相減餘四十丈即方環面積
有積及濶求内外邊(設面積四千尺濶二/十尺求内外方邊)
法以濶二十尺自乗得四百尺(如圖之甲壬/寅戊小正方)四因之(為/四)
(正/方)得一千六百尺與環積四千尺相減餘二千四百尺
(壬戊子辛等/四縦方共積)四歸之得六百尺(一線/方積)以濶二十尺除之
得三十尺即内方邊又以濶二十尺(如圖/甲壬)倍之(如甲/壬并)
(子/丁)得四十尺加内方邊三十尺(如戊辛與/壬子等)得七十尺即
外方邊
有内外方邊求邊
法以外周二十八丈四歸之得七丈(如圖/甲丁)又以内周一十
二丈四歸之得三丈(如圖戊辛/與壬子等)七丈與三丈相減餘四
丈(如圖甲壬及/子丁二段)折半得二丈即方環外周至内周之濶
八法圓面
徑求周(設圓徑一/尺二寸)
法用周徑定率比例以徑數一一三為一率周數三五
五為二率現設圓徑一尺二寸為三率求得四率三尺
七寸六分九釐九毫有餘即所求之圓周
周求徑(設圓周一/丈五尺)
法以周四三五五為一率徑數一一三為二率現設圓
周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四釐六
毫有餘即所求之圓徑
徑求面積(設徑/八寸)
法用徑求周法求得圓周二尺五寸一分三釐二毫七
絲有餘折半得一尺二寸五分六釐六毫三絲有餘又
將徑八寸折半得四寸兩折半數相乗得五十寸二十
六分五十四釐八十二毫即所求之圓面積
又法用方周圓周定率比例以方周定率四五二為一
率圓周定率三五五為一率現設圓徑八寸自乗為三
率求得四率即圓面積
周求面積(設圓周六/尺六寸)
法用周求徑法求得圓徑二尺一寸零八毫四絲五忽
折半得一尺○五分○四毫二絲二忽又將周六尺六
寸折半得三尺三寸兩折半數相乗得三尺四十六寸
六十三分九十四釐五十八毫即所求之圓面積又法用
圓周方積與圓積定率比例以圓周方積一○○○○
○○○○為一率圓積七九五七七四七為二率現設
之圓周六尺六寸自乗為三率求得四率即圓面積
圓面積求徑(設圓面積六/尺一十六寸)
法用圓周方周定率比例以圓周二五五為一率方周
四五二為二率現設之圓面積六尺一十六寸為三率
求得四率七尺八十四寸三十一分五十四釐九十三
毫為正方面積開方得二尺八寸○五毫有餘即所求
之圓徑
圓面積求圓周(設圓面積六/尺一十六寸)
法用圓積求徑法求得圓徑二尺八寸零五毫有餘又
用圓徑求周法求得八尺七寸九分八釐有餘即圓之
周數
九法撱圓(一名鴨/蛋形)
徑求面積(設大徑九尺小/徑六尺問面積)
法以大徑九尺與小徑六尺相乗得五十四尺為長方
積乃用方積圓積之定率比例以方積一○○○○○
○○○為一率圓積七八五三九八一六為二率長方
積五十四尺為三率求得四率四十二尺四十一寸一
十五分有餘即所求撱圓形之面積
積求徑(設撱圓積四十二尺四十一寸一十/五分零六十四毫大徑九尺問小徑)
法用圓積方積之定率比例以圓積七八五三九八 一
六為一率方積一○○○○○○○○為二率現設撱圓
積四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫為三率
求得四率五十四尺為長方積以大徑九尺除之得六
尺即撱圓形之小徑如有小徑求大徑則以小徑數除長
方積得數即大徑
十法圓環形
圓環形有内外周及濶求面積(設外周二十一尺三/寸内周七尺一寸)
(濶二尺二寸/六分問面積)
法以外周二十一尺三寸與内周七尺一寸相加得二
十八尺四寸折半得十四尺二寸以濶二尺二寸六分
乗之得三十二尺零九寸二十分即圓環形之面積
圓環形有内外徑求面積
法用圓徑求周法以内徑數求得内周外徑數求得外
周又以内徑與外徑相減餘數折半為環濶依前有内
外周及濶求面積法算之即徑
圓環形有内外周求面積
法用圓周求徑法以内周數求得内徑外周數求得外
徑乃以兩徑相減餘數折半為環濶依前有内外周及
濶求面積法算之即得
圓環形有面積及濶求内外徑(設面積四百六十二/尺濶七尺求内外徑)
法以濶七尺除面積得六十六尺即内外周相併折半
之數為中周(如圖戊/己周)乃用周求徑法求得徑二十一尺
有餘為内外徑相併折半之數為中徑(如圖戊/己徑)加濶七
尺得二十八尺有餘即外徑中徑内減濶七尺餘十四
尺有零即内徑
圓環形有面積及濶求内外周
依前法求得内外徑再用徑求周法算之即得
圓環形有面積及内周求外周并濶(設面積三尺/三十六寸内)
(周一尺/一寸)
法以内周一尺一寸用周求徑法求得内徑三寸五分
零一毫有餘又用周徑求積法求得内周圓面積九寸
六十二分七十七厘五十毫與圓環積三尺三十六寸
相加得三尺四十五寸六十二分七十七釐五十毫即
外周圓面積乃用有圓面積求徑法求得外周徑二尺
零九分七釐七毫内減去内徑三寸五分零一毫餘一
尺七寸四分七釐六毫折半得八寸七分三釐八毫即
圓環形之濶又用徑求周法求得周六尺五寸九分有
餘即外周數也
圓環形有面積及外周求内周并濶(設面積三尺/百八十四)
(外周八/十八尺)
法以外周八十八尺用周求徑法求得外徑二十八尺
零一分一釐一毫有餘又用周徑求積法求得外周圓
面積六百一十六尺二十四寸六十四分内減去環積
三百八十四尺餘二百三十二尺二十四寸六十四分
為内周圓面積乃用有圓面積求徑法求得内周徑一
十七尺一寸九分六釐與外徑二十八尺零一分一釐
二毫相減餘一十尺八寸一分五釐二毫折半得五尺
四寸零七釐六毫即圓環形之濶再用徑求周法求得
周五十四尺零二分二釐八毫有餘即内周數也
莊氏算學巻六