九章錄要
九章錄要
欽定四庫全書
九章錄要卷十
松江屠文漪撰
方程法
古九章八曰方程以御錯揉正負
二色方程例 假如綾五匹紗八匹共價銀二十四兩
又綾七匹紗四匹共價二十二兩八錢問綾紗每匹
價各㡬何法依所問列左右二行以綾五互乗綾七
紗四及價所得數各注於其下(綾得三十五紗得二/十價得一百一十四)
亦以綾七互乗綾五紗八及價注所得數如前(綾得/三十)
(五紗得五十六價/得一百六十八)兩綾數相對減盡兩紗數減餘(三/十)
(六/)為法兩價數減餘(五十/四)為實以法除實得紗每匹
價一兩五錢乃就一行中以紗匹數乗價減共價餘
以綾匹數除之得綾每匹價二兩四錢
按右例若以紗互乗即先得綾價於法皆通以後各
例倣此
又按例以綾互乗則兩綾所得數必相對減盡矣立
法之意正欲使兩綾數等而後價數之不齊由於紗
數之不齊顯然可推也然旣知此義則以後凡同物
相乘如綾之比者直可省之故槪不贅書惟於右一
條具文見義云
又如七釵九鈿共重九兩四錢釵重鈿輕於中互换
其一則輕重適等問釵鈿各重㡬何法依所問釵鈿
互換其一以六釵一鈿一釵八鈿左右對列而中分
其總重之數繫之兩行如前求之得一釵之重七錢
一鈿之重五錢
二色方程兼正負例 假如賣米七石買麥三石米家
得銀九兩六錢又賣米三石買麥九石米家出銀三
兩六錢問米麥每石價各㡬何法以米為正麥為負
米家所得之價為正米家所出之價為負列左右兩
行如前若以米互乘麥及價者(麥負九得六十三價/負得二十五兩二錢)
(麥負三得九價正/得二十八兩八錢)而麥數減餘(五十/四)為法兩價數相
并(五十/四)為實以法除實得麥每石價一兩乃以麥負
九石乘價減負價餘以米三石除之或以麥負三石
乘價并正價以米七石除之得米每石價一兩八錢
按負有背負之義謂正之反也亦有負欠之義此
例從米家賣米言之故賣米為正買麥為負米家所
得之價為正所出之價為負若從麥家言者反是其
并減之法此以兩正及兩負同名者相減一正一負
異名者相并自互乗得數及已得一物之價而以其
物數乗價與原正負價幷減求第二物之價皆然
二色正負反用并減例 凡互乗所得數固以兩正兩
負同名相減一正一負異名相并為常法而亦有反
用之者假如賣米五石麥五石得銀一十四兩賣米
四石買麥七石出銀二兩問米麥每石價各㡬何此
若以米互乗麥與價(米係兩/正同名)則兩米相乘所得數自
必相對減盡不待乗而可知矣兩麥兩價俱係正負
異名其乘得數固宜相并如常法也(麥正得二十麥/負得三十五并)
(得五十五價正得五十六/價負得一十并得六十六)若以麥互乗米與價(麥係/正負)
(異/名)則兩麥相乘所得數乃須相并殊非立法之意故
變通其法反以兩麥相減而兩米俱正同名反相并
(米五得三十五米四/得二十并得五十五)兩價正負異名亦反相減(價正/得九)
(十八價負得一/十減得八十八)此其義何也賣米買麥而出銀猶之
買米賣麥而得銀然則正可變為負負可變為正今
不變其正負之名但變其并減之法此法之變生乎
常而常變不殊其用者也且非特此也同名相減取
其數之齊者以相比例而其餘之不齊可得而推故
同減而異必并異名相減取其數之齊者以相償補
而其餘之不齊亦可得而推故異減而同必并此法
之變反乎常而常變各成其用者也依法求之得米
每石價一兩六錢麥每石價一兩二錢自三色正負
以上凡互乘所得數則兩法並用若已得一物之價
而以其物數乗價與原正負價相并減求第二物之
價者只依常法不在變通之例
按右所論同減異并異減同并明其所以然之故益
見法之當然而不可易矣乃旣經并減後所得之數
謂之正乎謂之負乎此在二色方程但取其數為法
實以相除猶不必深辨也若三色以上而不分正負
後更與他數相并減其道何由故特剖而論之曰凡
并減雖兩行相對要以一行為主如以正并者(為主/之行)
(繫正/也)得數仍為正以負并者得數仍為負也以正減
者減而有餘(為主之行/有餘也)則為正減而不足則為負以
負減者減而有餘則為負減而不足則為正也此一
定之理斷不容混耳更有為主之行無數而借相對
之行所有數虛立於本行以為數者或遇應借而不
知借或借而槩稱為負則非矣夫數豈可借盖實非
借也試思兩正相減而此少彼多猶謂之負則此無
彼有得不謂之負乎(兩負相/減亦然)又試思以正幷負而此
有正數猶取彼負以益之則此無正數得不取彼負
以實之乎(以負并/正亦然)故借正為負借負為正凡以同名
互乘相減者固宜如是也若以異名互乗則亦當借
正為正借負為負此皆自然之理施之於算無往不
合者其要則曰同減異借異減同借兩言而已每見
算家之書於已經并減之數及應借之數處之茫然
莫能致辨於是誤在毫釐失之千里縱復强為牽合
究且於率難通則方程之法或㡬乎廢矣兹因論并
減異同而並暢其説然後以三色四色方程著例於
左覽者當如觀火而自五色以上直可推之至於無
窮也(右一條/新訂)
三色方程例 假如綾五匹紗三匹紬五匹共價二十
二兩五錢又綾四匹紗二匹紬七匹共價二十一兩
又綾八匹紗六匹紬九匹共價三十九兩問三物每
匹價各㡬何法依所問列左右中三行乃以左行中
行綾互乘紗紬及價又以右行中行綾互乗紗紬及
價所得數各注於其下次以中行左行相減且如左
行為主(或以中行/為主亦可)減得紗正八紬負二十價負一十
二注左行之旁又以中行右行相減且如右行為主
減得紗正二紬負一十五價負一十五注右行之旁
(圖式具後其左右中三行/上中三層俱可互換耳)
兩旁所注數即是二色方程再依二色法求之得紬
每匹價一兩二錢紗每匹一兩五錢二價旣得綾價
易見每匹二兩四錢(按右例原數無正負因相減而/有正負也若左例原數已兼正)
(負則别為一條借又按方程章惟右一例不可用借/徴法餘並可以 徴求之而條縷多者方程為便)
三色方程兼正負例 假如綾五匹換紗三匹綾家得
銀七兩五錢又綾四匹換紗二匹紬七匹綾家出銀
一兩八錢又綾八匹換紬九匹綾家得銀八兩四錢
問三物每匹價各㡬何法如前列左右中三行其一
物而三行俱有者用以互乘餘物及價各注所得數
空者闕之(依後圖以上乗下為便故第一層/三行俱實而空位則在下諸層也)次以中
行左行相并減且如左行為主借得紗正一十六減
得紬正二十并得價正四十八又以中行右行相并
減且如右行為主減得紗負二借得紬正三十五并
得價正三十九注於兩旁
再以二色方程法求之(物價同前例/右一條新增)
三色方程兼正負又例(前法止於三色而已此法/則四色五色所從出也) 假
如依前例綾正五紗負三價正七兩五錢綾正四紗
負二紬負七價負一兩八錢綾正八紬負九價正八
兩四錢求各物價法列三行如後圖式(惟第一行第/三層第三行)
(第二層可虗可/實餘必如圖)專以第三行為主先以第三行紗互
乗第一行綾紬及價以第一行紗互乗第三行綾及
價各注所得數乃以第三行與第一行相并減借得
紬正二十一減得綾負二并得價正二十兩零四錢
次以第三行借紬互乗第二行綾及價以第二行紬
互乗第三行綾及價(就第一行互乗相并減之/數而乗之非乗原數也)各注
所得數乃以第三行與第二行相并減減得綾正一
百五十為法并得價正三百六十兩為實以法除實
得綾每匹價以次求各價
又如行程顧騾一匹馬一匹共價錢七百又顧馬二
匹驢一匹共價八百四十又顧騾一匹驢三匹共價
七百問三物每匹顧値各㡬何法列三行如前以第
三行與第一行互乗乃相并減借得馬負一驢無并
減只用乗得之數價減盡不存次與第二行互乗第
三行價已盡無乗闕之乃相并減并得驢正七為法
借得價正八百四十為實以法除實得驢每匹價一
百二十以次求各價驢每匹三百四十馬每匹三百
六十
按此例三物及價俱正而云正負者三物中缺其一
是乃所謂負也算家就物强分正負則謬之甚者
又如依前所問更置其位先求一騾之力
又更置其位先求一馬之力(此例算家誤甚/故反覆以明之)
(右一條三/式俱新訂)
四色方程兼正負例(四色五色以上皆與三色/一法聊著此以見例云)假如
綾二匹紗七匹共價一十五兩三錢又紗 匹絹三
匹共價九兩又絹五匹紬五匹共價一十一兩又紬
四匹綾三匹共價一十二兩問四物每匹價各㡬何
法列四行如後圖式乃依前法以第四行為主先與
第一行互乘而并減之次第二行次第三行最後減
得紬負一百五十五為法價負一百八十六為實以
法除實得紬每匹價一兩二錢餘價次第求之綾每
匹二兩四錢紗每匹一兩五錢絹每匹一兩
按自三色方程以上凡前諸行所有之物為末行所
無者互乗後即借其乘得之數下層之價亦然如末
行無價與第一行互乘而借其數或第一行亦無價
則待至二三行互乘後有數而借之也若有數而減
盡即彼此俱無數當於次行互乗後借之其末行所
有之物為前諸行所無者無可并減末行只用互乗
所得之數下層之價亦然(右一條/新訂)
九章錄要卷十