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卷56

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第五十六卷目錄

　曆法總部彙考五十六

　　新法曆書六〈月離曆指二〉

曆法典第五十六卷

曆法總部彙考五十六

新法曆書六

月離曆指二推太陰之實經度第十三

前論因本輪之自行度，加減立第一均數，以得定朔定朢朔周轉周。又因兩弦之自行差與朔朢異，用次輪之自行加減立第二均數。於理為盡從，是可得太陰之視行實經度，今論次如左。

查平行表簡，得太陰太陽之相距度分，及月距本輪最高度分，用平面三角形法，可得其實經度。〈用古法解之〉第一法，西古史依巴谷在羅德島，

地中海島，北極出地三十六度，

於總積之四千五百八十七年，為漢武帝元朔二年甲寅三月〈建寅之月〉初七日子正後八十四刻一十四分，〈順天睿時刻〉用渾儀測得月距太陽為四十八度○六分，於時日視行躔鶉首一十○度四十○分，即月視行度必在鶉火二十八度三十七分，此時此地為午正後一十二刻，依正升斜升表，算得月準在黃平象限，無東西差。

今用月離表試之，依表是時太陽之平行為鶉首一十二度○三分，均數為一度二十三分，當時太陽最高在實沈宮初，以減四十八度○六分，得四十六度四十三分，為太陰距太陽之平行度。

此於實距內減均數而得平行。蓋太陽在最高，後平大視小，用減法。若在最高衝，平小視大，用加法。

查表於時太陰自行為三百三十三度，又平行距太

圖

陽為四十五度　五分，視平兩行之較為一度三十八分。更用兩小輪圖試之，從自行之最高甲左旋過己至乙，得三百三十三度。乙為心，作次輪圈，作乙丙聯兩心線，割次輪於壬，從壬至戊為日月相距之倍

圖

數九十○度一十○分。次作乙戊、戊丁、戊丙三線，成戊乙丙三角形，形有丙乙一一○三，有乙戊二三一，有乙角。

壬戊弧九十度一十分，

求丙戊邊，及戊丙乙角。

乙為鈍角，宜引長丙乙邊，作戊子垂線，成戊乙子直角形。有乙戊邊二

圖

三一，有戊乙子角一十分。戊乙子角者，戊乙丙過九十之餘也。先求戊子，得二五七弱，次求乙子，得○○一，以並丙乙，得一一○四，戊子、子丙各自之並，而開方得一一二五不盡，為戊丙。又子丙與全數，若戊子與

圖

丙角之切線，得一十二度一十○分，為乙辛弧。

次以甲己乙弧並乙辛，得三百四十五度一十一分，其餘弧一十四度四十九分，為甲辛或甲丙辛角。次戊丙丁形，有戊丙一一二五，有戊丙丁角〈戊丙甲角之餘〉一百六十五度一十一分，

圖

丙丁為全數，求戊丁丙角，

引長丁丙邊，從戊作戊子垂線，戊子丙直角形，有角有邊，求戊子為二八七，子丙為一○八五。子戊丁直角形有兩邊，求第三丁戊，得一○一八五，為月距地心。次求丁角，為子丁邊數與全，

圖

若戊子邊數與丁角之切線，二八四，查表

得一度三十八分，如上所測數為確合。

第二法，太陽經二百六十九度○四分，太陰經二百五十七度四十三分，太陰自行為一百二十二度四十九分，日月相距為一十

圖

一度二十一分，倍之為二十二度四十二分。如圖，甲乙為太陰自行度，壬戊為倍數，丙乙戊形有丙乙、乙戊兩邊，有乙角，壬戊弧之角，求丙角，得五度五十二分，為辛乙弧。求丙戊邊，得五十六分，以乙辛減乙甲，

自行不過半周，故應減，

餘一百一十六度五十三分，為甲辛弧。其餘六十三度○七分，即辛丙丁角。次丙戊丁形有丙戊、丙丁兩邊，有丙角，求丁角，得四度四十二分，為白道上之庚癸弧。因在自行前半周，以減平行，得二百五十三度五十七分，是太陰本時之實經度。〈從春分起算〉篇中屢言黃平象限者，是黃道在地平以上之九十度限也。兩道在地平上下，皆半周赤道，恒定不易，其半周上九十度限，恒在午正線，黃道斜迤，時時不一，其九十度限，時東時西，又隨地多寡。若極出地四十度，則差多者至距午二十五度。惟南北二至乃與午線同度分耳。其法其表詳載交食曆，今略舉如左。法欲求本地本時之黃平象限，於本月日時簡本地本宮之黃平限表，其第一直行，本日之月離宮度也。第二第三四行為其時分秒。第五第六為其月離象限度分，先約得月離經度若干，極四十度表有時之秒，他極減之，而少一行。查表取其橫相對時分，〈子正起算〉得某時月在黃平象限。更以本時簡月表，求月離經度，得某宮某度分。又對取其時分為月在象限之正時，假如崇禎四年八月十四日，求本日何時月在黃平象限，先約月在娵訾宮六度，本表求時得二十一時○一分五十三秒，以此時查月表，求月經度，查本宮七度一十分，查時得二十一時三分五十三秒，為月在黃平限之時。可測其高，欲密合更以此時求經度，更求時。

系凡月生明或生魄作直線聯兩角，此線若過天頂為地平上之垂線，即太陰必在黃平限點上，而此直線亦與白道為直角，引長之必過黃道之極。

圖

黃白二道在太陰曆中每作一道論，其所差甚微故。

此線直過天頂，及黃道極必分地平上之黃道弧為兩平分。

此兩圈相交有細解，其本論見球圈原本。

月朢時無從得角，從月駁定月體之南北兩極，如前。直線用之，知其過黃道極及在黃平象限之上。

二十八宿距度第十四

中西古今曆法理同數異。大同小異。理大同者，共戴一天，同資七政也。數小異者，如周天有平度、日度，度法有用六、用十之類。會而通之，罔或弗合，亦無害其大同也。獨恆星宮次，中曆依赤道為二十八宿，北為三垣，南方無垣，則附見於諸宿。西曆依黃道為十二象，通計南北為五十二象，此即大不相侔矣。以故回回曆翻譯並存，今恒星曆各註黃赤經緯度分，星名位次，皆按中曆更定，免致凌雜。而間考西古太陰曆，則亦有二十八舍，譯謂月所宿留之處。即又與宿次同義，且二十八距星亦皆脗合。其不合者，獨觜宿距星不用觜，用天關耳。竟不知其何繇而同，若疑上古相通，則此法之外又何以畢無一合，亦一奇也。其諸法義圖表俱見恒星曆指，今欲推太陰宮宿度，仍用本表，先定黃道所離經度，依表求得本時刻太陰所離某宿某度，法曰：表中求月所離之宮度數，內減去近小宿數，所餘者為本宿之度分。

假如月離鶉火二十八度三十七分，本宮近小數為星宿二十二度○九分，相減之得六度二十八分，乃月在星宿六度有奇。宿距星在宮次　　度　分

斗　　　星紀　○五○三

牛　　　　　　二八五四

女　　　元枵　○八○○

虛　　　　　　一八一四

危　　　　　　二八一三

室　　　娵訾　一八二○

壁　　　降婁　○四○一

奎　　　　　　一七一七

婁　　　　　　二八四六

胃　　　大梁　一一四六

昴　　　　　　二四四七

畢　　　實沈　○三一六

觜　　　　　　一八三五

參　　　　　　一七一四

井　　　鶉首　○○○七

鬼　　　鶉火　○○三三

柳　　　　　　○六○三

宿距星在宮次　　度　分

星　　　　　　二二○九

張　　　鶉尾　○○三二

翼　　　　　　一八三六

軫　　　壽星　○五三六

角　　　　　　一八三九

亢　　　　　　二九一四

氏　　　大火　○九五四

房　　　　　　二七四八

心　　　析木　○二三四

尾　　　　　　一○○七

箕　　　　　　二五四三

此表崇禎元年定測，以後每年加五十二秒，七十年一度。

見恆星曆指，有細行之表用之。

擇月食以定交周第十五

如上論，定朔朢轉周實經度訖，次當定交周度分。其法亦用兩月食，兩食者，須太陽之距最高等，須太陰自行度等，須食分等，須食在陽曆或在陰曆亦等。乃可推月行交道滿若干周而復還於故處，第舊史不載食分，亦不載陰陽曆，無憑推步。即西古多祿某〈漢順帝時〉亦未覺太陽之最高隨天運行，

順七政右旋，每百年約行一度。

故所擇兩月食見黃道上之經度等，即謂太陽之距最高亦等，而實則不等，其法亦不可用。至近世歌白泥〈正德間〉擇用兩食，於法為合。但所用兩食，一在陽曆，一在陰曆，雖內外不等而度分之對待相等，如日月

圖

之在朔朢，皆名交會，不害為可用也。

第一食總積之四千五百四十年，為漢文帝六年，日躔大梁宮六度四分，五月

酉月也，實建申之月，

初二日子正後三十一刻，

順天府時刻不見食甚。

月食十二分之七，在陽曆

圖

中交，即月在南，初虧東北，於時月自行為一百六十三度三十三分。

多祿某、歌白泥兩算同

均數為一度二十三分，

未滿半周一百八十度，故用減法。

第二食〈歌白泥所記〉六千二百二十二年，為正德四年己

巳，日躔實沈宮二十一度，六月〈實建酉之月〉初二日子正後二十四刻一分。

順天府時刻不見食甚。

月食十二分之八，在陰曆正交，即月在北，初虧東南，於時月自行為一百五十九度五十五分。

兩食時月自行差止三度半，可勿論，其日躔前後相距不等。然多祿某所測太陽最高為實沈六度，所用食時日躔在最高前三十度弱。歌白泥時最高在鶉首五度，所用食時日躔在最高前十四度。兩距之較雖十六度，以最高旁近度距地心之數為差微，即地景大小無二，亦可勿論。

今論兩食時之月自行略等，太陰距地心之度分略等，則所差者在食分也，為十二分之一。

計兩食之中積為平年〈三百六十五日〉一千六百八十三年八十八日九十刻○五分，或六十一萬四千三百八十三日九十刻○五分，得交會〈即朔朢〉二萬○八百○五，會交終則二萬二千五百七十七周外，餘一百七十九度二十四分。

後食大於前食，為十二分之一，月體之徑於天度略為三十分，則食差為二分三十秒，交前後之緯距二分三十秒，其經度為三十分。次食既大於前食，即近交其較半度，則未滿半周之較為三十分，查表求兩食之兩均數，一加一減，其較二十一分以減三十分，得九分，為不及半周之數，實餘一百七十九度五十一分。

上文推定。

依巴谷及多祿某先後推定見本篇第四。

月交會五千四百五十八，則交終五千九百二十三。依此用三率法，以交會率〈二千九百有奇〉為法，中積日為實而一，得二萬○八百○五會，再用三率法，以交終為法而一，得二萬二千五百七十七交半。

置交數〈二二五七七半〉以三百六十乘之，以會數〈二○八○五〉而一，得一會時〈二十九日有奇〉交行之度分。

又以會數〈五四五八〉為一率，交數〈五九二三〉為二率，一日之太陰平行

一十二度一十一分二十七秒，

為三率，求得一十三度一十三分四十六秒，為一日交行之度，以日求月求年，準此法。

論交行第十六

交行有二：一順經度行，一逆經度行。順行者，月平行一日一十三度一十三分四十六秒，是為月行距交之度。則以交為界，又如前定月平行一日一十三度一十分三十五秒○五微，是為月行距宮次或節氣之度。則以宮次或節氣為界，兩數之較得三分一十一秒，是則兩交一日逆行之數，所謂羅計行度也。順行者，如七政右旋，自西而東，逆行者，如宗動左旋，自東而西。右旋者，先降婁，次大梁，左旋者，先元枵，次星紀，故月行兩界：一為定界，一為不定界。定者，宮次如娵訾等，節氣如冬至等。不定者，謂正中二交也。兩界則兩數，其較則為不定界之行分，不定界之數大於定界之數，故累積其較，則與月行相背矣。

交有平行，又有自行，與日月相似。自行有遲有疾，黃白二道之相距亦時多時少，古來未覺有此。苐谷累年密測，得交行惟朔朢時無加減。

圖

與日在最高最高衝同理。

恒得五度弱，過此漸加，至兩弦而極，而此自行恒半月滿一周。

與太陰次輪行度同理，

如圖，甲為月天球上之黃道一極，人目在他極外斜看黃道面，戊庚己為黃道

圖

圈，去甲五度○八分，得乙。乙為心，作戊癸己球上大圈，為平白道，兩圈相遇，各平分於己於戊，為兩交庚癸相距之限，五度○八分是為兩交相距之中數。

兩相距之小數為四度五十八分三十秒，大數為五度一十七分三十

秒，相減得較，半之以並小數，得五度○八分，相距之中數也。

而己戊為兩交平行之度。

次乙為心，作丁丙小圈，其徑為大小兩數之較一十九分，小圈之周恒負正白道之心。

如黃極遶赤極作一圈，名極圈。又白極遶黃極作一圈，名白極圈。此小圈與之同理，正白道之心，如丙丑丁寅皆是也。

半月，

圖

十四日有奇，半朔策也。

行一周，

若正白道之心在丑，

最近黃道極，惟朔朢則然。

以丑為心，作球上大圈，如辰辛子辛為正白道。

若球上作大圈過白黃兩極，宜為乙丑庚弧，今

圖

依視法作直線。

其距黃道為辛庚，〈本大圈之一弧〉辛癸為中白道，正白道之差，而正白道兩交黃道於辰於子，則辰子為兩道〈朔朢〉〈時〉之正交，是交食所用之兩交也。

若正白道之心在寅，〈兩弦時〉以寅為心作卯壬未大圈，

圖

定癸壬為中白道，正白道之差，而庚壬得五度一十七分三十○秒，是為黃白二道相距之極遠。

寅心距甲心為極遠故，

則卯未為兩遠交距，戊己兩平交為戊卯、未己距，卯未兩近交為卯辰、未子。

遠交者，兩弦之交。近交

者，朔朢之交。平交者，半弦策之交。

凡正白道心在寅之上〈兩弦前後〉丑之下〈朔朢前後〉若干度分，則中正兩白道之大距，〈相距之最遠〉在壬之上辛之下亦若干度分，而兩交在卯未之上辰子之下，亦若干度分。

若正白道心或在丙或在丁，則正中兩道之大距相合於癸弧之上，而丁甲癸或丙甲癸為兩象限，兩交則在辰卯子未之間，戊己之左右。

本曆表中有正交之加減，有正白道與黃道相距之度分，其原葢出於此。如圖，正白道為辰辛子，即有辛辰庚角可推正白道之各度分，距黃道若干，〈與黃赤二道距〉〈度同法〉若在癸在壬俱倣此。

若正白道在辛癸壬之外，

在辛壬限內而不在三點之上，

則先求丁之上下距甲若干，以得癸之上下距庚若干，蓋丁甲癸為一象限，甲癸庚亦一象限，甲丁大癸庚亦大，若小亦小，其加減率及用法見本曆表。

定交行之曆元第十七

上文言擇兩月食以定交周，因其經時若干而滿周，以知交終及歲月日時交行之數。然止用兩食相對較勘多寡，不知其距交幾何度分，今欲審某時距交若干，以定交應，亦須兩月食，其距太陽之遠近等，兩食分等，兩食之在陰曆、陽曆正交、中交等，既諸率各等，則距交必等，因而折取中數，則得本時正交所躔度分。〈此歌白泥法〉

第一食：

多祿某所記即前第六章定本輪所用，第二食

總積之四千八百四十七年，為漢順帝陽嘉三年甲戌十月〈建戊之月〉二十四日子正後一十七刻〈順天府時刻〉一十分，月食十二分之十，在黃道南，初虧東北，於時太陽躔壽星宮二十五度一十分，月自行為六十四度三十○分，用減法得均數為四度二十○分。

第二食〈歌白泥所測〉總期之六千二百一十三年，為弘治十三年庚申十一月某日子正後三十一刻正，〈順天府時〉〈刻〉月食十二分之十，在黃道南，初虧東北，日躔大火宮二十三度一十一分，

兩食之中積時為一千三百六十六年，其間太陽行最高一十六度有奇，以減日躔兩度差二十八度，得一十二度，為前後日距最高之差，日在最高旁近，其距地之差甚微，地景無二，與無差同。

月自行為二百九十一度三十五分，用加法得均數為四度二十八分。

兩食時月本輪最高前後等距。

前過最高六十四度，後未至最高六十九度，其較五度，距地之差甚微，與無差同。

食分大小等，初虧方位等，則兩食之月距交等，度

中積為一千三百六十六平年三百五十八日一十七刻九分。

此時自行滿交周外，其距交為一百五十九度五十五分。

如圖，甲乙丙丁為白道，乙丁為正中二交，甲為北，為內，為上，為陰曆。丙為南，為外，為下，為陽曆。乙戊己丁為距交等之兩弧，是兩食時月體一過交，一不及交之度戊在乙，交之前己在丁，交之後前食用減法得

圖

均數四度二十○分。

減者，月在自行之前半周，依表平交行為甲乙庚減庚戊，得甲乙戊戊為月所至之實處。

取戊庚，後食用加法，得均數四度二十八分。

加者，月在自行之後半周，依表平交行為甲丙

圖

辛加辛己，得甲丙己己為月所至之實處，

取己辛、庚辛為兩食中積，月距交之平行一百五十九度，並戊庚、辛巳，得戊丙己兩距之實行一百六十八度四十三分，其餘一十一度一十七分為乙戊丁己兩弧，並半之，得五度三

十九分，為兩食時月距交之度。乙庚得九度五十九

分，若半交甲為界，則甲乙庚得九十九度五十九分，是第一食時之交行根，所謂交應也。若他時他處，求交應，依此加減之。

今擬崇禎元年戊辰天正冬至為曆元，順天府為曆元本所，如日躔表推算本曜恒年表。〈如後卷〉

交行兩界任用，但月體行度多端，差數繁曲，既成加減均齊，則或用定界從宮次節氣起算，或用不定界從羅計起算，所得正等。

測黃道白道相距度分第十八

西史多祿某〈漢光武時〉其地為北極高三十○度五十八分，用三直儀〈測高儀皆可用〉測得月軌極北距天頂二度○七分，以減北極出地度，得二十八度五十一分，為月距赤道度分，於時黃赤距度為二十三度五十一分。

黃赤距古遠今近說，見日躔曆指。

以減太陰距赤度，餘五度，正為黃白相距之度。此測因月近天頂，地半徑差極微，可以勿論。又軌度最高在清蒙限外，亦無差分。若在近濁測月軌高，不先定地半徑差，清蒙差，以為加減，即所得者，非實度分。西古史多言黃白距五度正，上古則云四度五十八分，回回曆則五度○二分，皆不遠近世。苐谷〈萬曆間〉密測詳推，功倍古人。其言曰：朔朢時古測僅少一分半，若上下兩弦則五度一十七分。本書有測法，有算數，今略舉如左。

總積四千八百○○年，為漢章帝章和元年丁亥八月〈建未之月〉十八日〈本地〉午正後二十九刻一十分，月在正午時為上弦，依本表算得距交八十六度一十七分，于時測得月距黃道，

地半徑、蒙氣二差，俱加減訖外，

為五度一十三分。

右二則所言度分通為日度，則五度一分半者，當為五度九分八十二秒，五度一十七分者，當為五度三十六分，五度一十三分者，當為五度二十九分。

大統以前諸曆黃白相距俱六度，正通為平度，則是五度五十五分，距度恒大於西術，以推算月食，往往小于天驗，殆緣於此。

西術定黃白距度求月軌極高，得距赤度分，去減黃赤距度，餘為黃白距度。此古今通法，但多祿某當漢光武時去今一千四百餘年，於時黃赤距二十三度五十一分，所減大，所餘必小，今時則二十三度三十一分半，所減小，所餘必大，故今之黃白距較古為大。

是黃赤漸近而黃白不移，其所以然難可窺度。

又恆星曆言近至之恆星，古今緯度不一。在冬至則南緯度小北緯度大，夏至反是，亦黃赤漸近之徵也。今推黃白距度列表，略同黃赤距度法。〈見日躔曆指及測量八卷〉其用法見月離表。

論月視差第十九

日躔曆指論地球半徑與月天半徑為比例，若本天視地為遠為高，則比例為小。若為近為庳，則比例為大。

兩數相近，其比例名為大，相遠名為小。

凡視差有三：〈清蒙不與〉一曰地平緯差，二曰黃道經差，三曰去極緯差。其根則一，地球之半徑是也。蓋推算之地平緯恆與地心為對，人目所見之地平緯恒與地面為對，故因地之半徑而生視差，若日月星在天頂，即實行與視行為一線，即測驗與推算為一率。自此而外，七政皆有視差。但以去地遠近，出地高庳，分別大小耳。今所論者，地平緯差也，〈餘二差詳見交食曆指〉前史謂之南北差，因曜實在北，所見在南，故立此名，今通稱之。

求月視差法，依表算得月在極南，

即冬至。但此論經度非時也，故稱南至以別之。

近冬至十度以內，又在兩交之中。

正半交、中半交，黃白相距極遠之際。

又在黃平象限之上測其地平以上之高，是為視高。次用赤道出地度，南至距赤緯度，太陰距黃緯度，推得月在地平以上之高，是為實高。次以視高減實高，其較為地半徑之視差，若不用南至，任以恒日，依表推月過子午線或黃平象限上，求其黃道上經度，及其距交經度，距黃緯度，得地平以上之實高。亦測其視高兩數之較，為地半徑之視差。此法古今累測所得數無異，略舉如左。

總積四千八百四十八年，為漢順帝陽嘉四年乙亥十月〈建酉之月〉初三日，西史多祿某在本地極高三十度五十八分，太陽躔壽星宮五度二十八分，月在子午線亦為黃平象限。

凡兩至在黃平象限與子午線同度。

推其經度為星紀宮三度○九分，月距交為七十四度四十○分，其距黃緯度為四度五十九分，計本地赤道高五十九度○二分，星紀三度九分之距赤緯。

圖

於時為二十三度四十八分，以減赤道高，得緯度高為三十五度一十四分，〈黃道某度地平上高〉加月距黃緯度〈在黃道北故加〉得四十○度一十三分，為太陰之實高。次測得三十九度○五分為視高，一推一測，其較一度八分，為地半徑視差。

又總積六千二百三十五年，為嘉靖元年壬午九月〈建申之月〉二十七日午正後二十二刻一十分，西史歌白泥測得月軌視高七度一十分，於時日躔壽星一十三度二十九分，月自行得三百五十八度，為本輪之最高。推黃道經為在星紀一十二度三十三分，距交七十二度五十二分，距黃緯為四度四十七分，因推得月距赤道二十七度四十一分，本地赤道高三十五度三十八分，去減月距赤道度，餘七度五十七分，為月在地平上之實高。一測一推之較為四十四分，即月在最高地半徑視差。

右兩術所推太陰之地半徑差，各依本法論定太陰出入地平時，若在本輪之最高則多祿某為○度五十三分，歌白泥為五十分。若在最高衝則多祿某為一度一十九分，歌白泥為六十六分，異同若此，將何適從。所以然者，緣兩史測月時未悟月近地平，有清蒙一差故也。〈說見日躔曆指〉清蒙映物，能升卑為高。凡測月之地平高所得數，乃所見之視高，〈與人目平行〉非月行之實高，〈與地心平行〉以地半徑差減實高，則為視高。又以清蒙差加視高，則為真視高。近世苐谷依此法推得太陰出入地平時在最高為五十六分二十一秒，在最庳為六十六分○六秒，其各遠近之差在多祿某為二十六分，歌白泥為一十六分，苐谷為一十分，三家皆有地半徑差表，今以苐谷新術為正。

以地半徑大差求月距地心第二十

如左圖，甲為地心，乙丙為視地平，乙甲為地半徑，丙角為視差〈用苐谷之大數〉六十六分○六秒，乙為直角，乙甲半徑為度。

圖

為度者，恒呼為一，以上累加之。

求月距地心之甲丙。法為全數〈內〉與乙甲，〈外〉若丙角之餘割線〈內〉與甲丙，得五十二又十萬之二萬一千○二十五，是月極近地為五十二地半徑有奇，若用小數五十六分二十一秒，

推得六十一又十萬之二千七百八十二。

系既定甲乙、乙丙之比例，若有月距天頂之戊丁弧，或稱戊乙丁角，或稱丁乙甲之餘角，任高任下，皆用甲乙丁形，有乙甲、甲丁，有丁乙甲角，求乙丁甲角，恆為地半徑之角。

如前論月本天本輪、次輪各半徑之比例，為十萬，為一一○二，為二二一，并之得地心至太陰極遠〈最高〉之線一一三三三。次用變率法，一一三三三得六十一地半徑又十萬之二千七百八十二。則本輪之半徑

圖

一一○二得若干，次輪之半徑二三一得若干，依此推之。

系如圖，得丁戊，

月距地心十萬分之幾

若干數，亦可得月距地心若干地半徑數，有表。〈圖說見前〉二系地半徑差，月距地心恒互推。

三系若定地半徑若干里，亦可得月近遠若干里。〈有本解〉

論太陰清蒙氣第二十一

日躔曆指有論有法以測清蒙差度分，因之列表。凡測太陰得其視高，則求地半徑差加之，得數又以清蒙氣差減之，為其實高。凡推太陰得其實高，則以地半徑差減之，得數又以清蒙氣差加之，為其視高。但清蒙之差因地因時所在各異，今表其折衷通用之率也。必求本地本時之確數，宜隨處所積歲月累測以定之。

測月徑地景徑第二十二

測日月徑度，西古史有本用儀器，今以月食立法，則曆家之正術也。

總積四千○九十三年，為周襄王三十一年庚子月日子正後〈順天府時刻下同〉四十一刻○五分，月食十二分之三，約為四之一，於時日躔降婁宮二十七度○五分，月離壽星二十七度○五分，月自行為三百四十○度○五分，月距交九度二十分，距黃道北四十八分半。〈依表算〉

又總積四千一百九十一年，為周景王二十二年戊寅月日子正後一十四刻五分，月食十二分之六，約為半徑。於時日躔星紀一十八度一十二分，月離鶉首一十八度一十二分，月自行二十八度五十四分。

前食月距本輪最高二十度弱，兩食之較八度有奇。俱在本輪上弧，不能變遠近之數。

月距交七度四十八分，距黃道南四十分四十秒。如圖，日光照地面即地背生景形如角體，漸小以趨

圖

盡，月過交入地景〈一名圖虛〉有高庳，食分為之大小。今兩食時同在最高之左右，其距地等，食分一為半徑，一為四之一，其較為四之一，距黃道一為四十分四十秒，一為四十八分三十秒，其較七分五十秒，依法算月徑四之一，得七分五十

秒，依法四之，得三十一分二十秒，是月距最高二十度之似徑也。

測月徑度法詳見三圓比例說

系凡食分為月之半徑，即月距黃道為景之半徑，因上數，當食時，地影半徑為四十分四十秒。

二系若食時，能測定食分，又推算得躔離、自行、距交、距黃等諸率，可得月徑及景徑，不必用古兩食法。

日月距地率、日月實徑率、地景長率、總論第二十三

圖乙圖乙

如右圖，乙甲丙為日，己丁戊為地，日光照地以兩光線，從乙過己，從丙過戊，而遇於丑。是生己戊丑角體之景，次從乙從丙至地心，作乙丁、丙丁二線，又作甲丁丑線過日地兩心，次從地心丁上下取月距地心之數。

地半徑為度如上文所定。

為丁庚為丁寅兩距等，作庚辛、壬己、戊寅子線，皆平行，其太陽似徑之度為三十一分二十○秒。

欲解土義，先定太陽之似徑，此在三圖說有各種

圖

法。今用者，古多祿某所定也。又太陽行最高最庳不等，似徑亦不等。本章所用者，日在最高之似徑也。論月亦在小輪之最高，如下文。

庚辛丁直角形有庚丁〈月距地〉六十四又六之一，有丁角〈甲丙度〉一十五分四十　秒，求庚辛。法為全〈內〉與丁庚六十四又六之一，〈外〉若丁角之切線四五五〈內〉與某數，〈外〉得地半徑十萬分之二萬九千一百九十六，次求寅子。

庚壬丑三角形內有庚壬、丁戊、寅子三線，相距等。

圖

用逓加法，三率之第一第三並為第二率之倍數，

庚辛為月最高半徑度，依多祿某說，約與日半徑度等。又寅子為地景之半徑四十分四十秒，即兩數之比例。

庚辛十五分四十秒，寅子四十分四十秒。

為若五與十三，先得庚辛二九一九六。用三率法，得寅子為地半徑十萬分之七萬五千九百○九，以并庚辛，得一十○萬五千一百○五，以滿丁戊之倍數二十萬，為不足地半徑十萬分之九萬四千八百九

圖圖

十五，為辛壬。

丁戊倍之為二十萬，與庚壬寅子并等，於倍數內減庚辛、寅子，並所餘為辛壬。

次丙戊、戊丁兩線所作戊角，擬為直角，

實非直角，其差極微，非算所及。

丙戊甲丁兩線亦擬為平行，

實非平行，以差微故。

用幾何法，〈第六卷第二題〉為戊丙與壬丙，若丁丙與辛丙，又丁甲與庚甲若戊丁〈地半徑十萬〉與壬辛，〈九四八九五〉既丁甲

圖圖

與庚甲若戊丁與壬辛，則甲丁為十萬，〈若戊丁〉庚甲為九四八九五，〈若壬辛〉所餘之庚丁必為○○五千一百○五。先定庚丁為六十四地半徑又六之一，依變率法，求甲丁得一二一○，是日距地心如地之半徑者一千二百一十也。

以上係古法，後世累代密推，有亞巴德於總積五千六百○四年，為唐昭宗大順二年辛亥，推得一千一百四十六倍。歌白泥於正德間，推得一千一百七十九倍。苐谷於萬曆間推得一千一百八十二倍。此差列數至微，推算極難，或月徑月徑加減以分計，則其差以數百倍計，故名曆家於此殫思竭慮焉。今時所用，大都歌白泥之率也。

一系依上論，丁戊地半徑為一萬分，庚辛月半徑為一萬分之二千九百二十六，是為地月之兩實徑，用此比例可推兩體之比例。

二系甲丙丁庚辛丁兩形相似，則庚丁與庚辛若丁甲與甲丙，推得日實徑與月實徑之比例。

三系可得甲丙與丁戊日地兩實徑之比例。

以上三系詳見三圖說。

四系置日距地度及日與地之比例，又距月行本輪距地度。〈於上圖為丁寅〉可得月所過地景之徑，列表。其引數為月本輪自行之數，然圖說所設者，日在最高。若去最高，即復異此。故表有本行名地景差，其引數為太陽之引數，以所得之分與引數相減，即得。〈無加法〉蓋日在高景大，在庳景小故也。

月距地視差、視徑三家異率第二十四

漢章帝時西史多祿某術：

月距諸率為地半徑　　地半徑視差　　　月視差

十單又十分　度十分〈天度〉十分十秒

極遠〈二輪並遠〉六四　○九　○五四　二九本輪最高五三　五○　一五八　　　　　三二○八本輪心　四八　五一　一○一　　　　　三八四二本輪最庳四三　五一　一○四　　　　　三八○八極近〈二輪並近〉三三　三三　一二四　五五遠近限差三○　三七　○三○　　　　　二六正德間西史歌白泥術：

月距諸率為地半徑　　地半徑視差　　　月視徑

十單又十分　十分十秒　　　　十分十秒

極遠　　六八　二一　五○一九　　　　二七四○本輪最高六五　三○　五二二四　　　　三○一○本輪心　六○　一九　五八二五　　　　三二四四本輪最庳五五　○八　六二二一　　　　五五四○極近　　五二　一七　六五四四　　　　三六○八遠近限差一六　　　　一五二五　　　　○八三○萬曆間西史苐谷術：

十單又十分　十分十秒　　　　十分十秒

極遠　　六○　三六　五七四四

本輪最高五八　○八　五九○九　　　　三○三○本輪心　五六　五○　六○五一　　　　三二三四本輪最庳五四　五○　六二三九　　　　三四四○極近　　五二　一四　六五三六

遠近限差　八　　　　八五三

苐谷及其門人刻爾白改之法，今所用。又測太陽視徑為冬至三十一分半，夏至三十分。〈以上原本曆指卷六〉

〈月離之二〉