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卷61

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第六十一卷目錄

　曆法總部彙考六十一

　　新法曆書十一〈交食曆指三〉

曆法典第六十一卷

曆法總部彙考六十一

新法曆書十一

交食曆指三食限第一〈凡六章〉

食限者，日月行兩道，各推其經度，距交若干為有食之始也。而日與月不同，月食則太陰與地景相遇，兩周相切，以其兩視半徑較白道距黃道度，又以距度推交周度定食限。若日食則太陽與太陰相遇，雖兩周相切，其兩視半徑未可定，兩道之距度為有視差，必以之相加，而得距度，故特論半徑則日食之二徑狹，月食之二徑廣。論日食之限反大於月食之限，以視差也。

太陰食限

表中地景半徑最大者先定四十七分，太陰半徑最大者一十七分二十○秒，并得一度○四分二十○秒。日月兩道之距在此數以內可有月食，〈可食者可不食也〉以此距度推其相值之交常，得一十二度二十八分為月食限。推法最大距度〈四度五十八分半〉與象限九十度若距度與交常之弧也，其最小者地半景定四十三分，月半徑一十五分一十五秒，并得五十八分一十五秒，若距度與之等者，依前法推交常度得一十一度一十六分，此限以內月過景必有食也。〈必食者無不食也〉抑此兩者皆論實望時之食限耳，若論平望其限尤寬。

如圖甲乙為黃道，甲丙當白道，乙為地景心，丙為太陰心，月切景在丁，其最大兩半徑為乙丙，得一度○

圖

四分二十○秒，則相值之甲丙得一十二度二十八分，為定望食限。設平望尚在前為戊，則戊平望距丙定望最遠者二度三十八分有奇為丙戊弧，以加甲丙弧，得甲戊一十五度○六分有奇為太陰切景之時，以其心距兩交之度西。

古史多祿某定實望之食限一十二度一十二分，中望之食限一十五度一十二分，其所定視半徑最小之食限一十○度五十○分。

何謂平望。距定望最遠得二度三十八分，曰太陽均度最大者二度○三分一十五秒，太陰均度最大者四度五十八分二十七秒，并得七度○一分四十二秒為兩交時。日月以實度相距極遠之弧也，從此太陰逐及於日行，訖七度○二分，此時間太陽又自行三十二分二十八秒，太陰又須逐及更行三十二分，

圖

此時間太陽又行三分弱，共為三十五分，以加太陽均度得二度三十八分為日月之實會望距。其中望也，如上圖甲乙為地心所出過本輪心直線，至黃道乙指中會，太陰實行在丙，太陽實行在丁，總丙丁弧七度○二分，太陰行至丁，

太陽已過丁，而前又逐及之終合於己，故丁己弧三十五分加乙丁共得乙己中實兩會相距二度三十八分。

太陽食限

表中太陽之最大半徑一十五分三十○秒，太陰之最大半徑一十七分二十○秒，并得三十二分五十○秒，所謂二徑折半也，以此推相值之交常為六度四十○分，是太陽不論視差，不分南北，正居實會之食限也。第日食不在天頂，即有高庳視差，太陰每偏而在下，交會時以此差，故或就近於太陽，或移遠隨地，隨時各各不同，安得以實度遽定日食之限乎。測太陰交食時最大高庳差得一度○四分，

因距遠五十四地半徑故。

減太陽之最大高庳差三分，餘一度○一分，

此為太陰偏南之極多者，凡日食時必有一方能見其然，是為大地公共之最大差，

以加二徑折半，得總視距度一度三十三分五十○秒，外此即無日食，在其內則可食。依前法求食限，得兩交前後各一十八度五十○分，為兩大視徑折半之限也，若以小半徑求食限，與前差度并得一度三十一分有奇，推相值之交周度一十七度四十八分為小視徑折半之日食限，若日月會入此限內者，日必食。但非總大地能見，必有地能見耳。若以中會論食限，又須加入實會距中會之度，其最大弧三度，則中會有食之限二十餘度。如圖甲乙為黃道，甲戊為白道，太陰以實度在己，以視度在丙。太陽乙與太陰丙視相切於丁，則己丙為高庳差，己戊為東西差，而

圖

丙戊為南北差，南北差之最大者一度○一分，以加乙丙為總距度乙戊，若乙丙為大折半，〈二徑折半省曰折半〉推得甲戊食限一十八度五十○分，或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分，設中會更在前為辛，得食限甲辛更多於

甲戊。

求北中界日食限

北中界者，地居赤道之北，南不至赤道，北不至北極也。今依南方極出地十八度，北方極出地四十二度，定日食之限，則最廣者太陰距南其交常度七度三十一分，太陰距北其交常度一十七度三十五分為可食之限。最狹者太陰距南交常七度，距北交常一十六度五十三分為必食之限。其所繇廣狹者，因二徑折半有大有小，即相會時所當距度不同，故所限交周度亦異也。太陰分南北而定最大日食之限有二義，其一論地總本界中有一方焉，距北之最大者以十七度為限，又有一方焉，距南之最大者以七度為限。非謂一方所見距北可得十七，距南又可得七也。其一論黃道度為本界中有地，有時太陰或南或北，距天頂最遠則其視距度最大。以加於太陰實距度，得其最大限在北可至十七度，在南可得七度，亦非謂諸宮交會皆可得七度十七度之限也。今試於本界中論地，先論其極高四十度者，又於本地論時，先論其不甚遠於天頂者，如日月交會在夏至鶉首宮初度，設當時不會於正午，其高庳差變為南北差者必少，而所增視距度亦少，即所得者不為其最大限。必設實會正午，月距黃道北得其高弧七十三度二十八分，以推高庳差一十八分○八秒，全變為太陰南北差。依法加於二徑折半得五十○分五十八秒為黃白兩道之視距度，則所值交周度得一十○度，為順天府北極同高地黃道本度。月距北，日食之最大限，可食也。設月距南，則二徑折半共三十二分五十○秒，反減太陰南北差一十八分○八秒，得兩道視距一十四分四十二秒，所值交周止二度五十○分，為本地本度。月距南，日食之大限，可食也。次論其甚遠於天頂者，設日月在冬至星紀宮初度，會亦正午，其高弧二十六度三十○分，推得高庳差即南北差五十六分二十四秒，加二徑折半，得黃白兩道總距一度二十九分一十四秒。為月實距南所推最大日可食之限一十七度二十四分，所以然者人目所見日月以兩心合會，必在太陰所離視道交黃道

圖

之處，距其兩道實交尚一十一度。又本南北差減二徑折半得距度二十三分三十四秒，相當者得四度三十二分，為太陰尚不及實交，未過黃道南而以視差，故人目所見則已過交出日食限之外矣。如圖：丙為太陰，丁為太陽，甲為黃

圖

白兩道之實交。論實距度，則日月至甲宜相掩而食，今冬至南北差甚大，太陰之視行循丙乙，視道尚在己，距甲遠，即己切太陽周入日食之限，後太陽丁行黃道至乙，與太陰視道相遇，是為視交，即二曜以兩心合會能全食。若更前至

辛，日月亦未及，實交甲，太陰實未過黃道，南而視行則已過太陽之南即丙，不能掩日，亦不能切日，不食矣。可見太陰實距北在己，為順天府同緯地最大食限得一十七度有奇。至辛遂出食限之外，況過甲而後實距南，其視度距太陽甚遠，安得尚有食乎。再於木界中論地，論其極高一十八度者，先設日月在冬至星紀宮初度，實會在正午，得高弧四十八度三十○分，高庳差全變為南北差四十一分五十八秒，加二徑折半總得兩道相距一度一十四分四十八秒，外此無日食。在其內可食，相值之食限一十四度三十二分，其食甚。亦未至實交也，若行至實交，則太陰以視度過交而南四十一分五十八秒矣，以較二徑折半，則視距為大，不已出兩食限之外乎。安得有食。設日月會於夏至鶉首宮初度，此在天頂北五度三十○分，得高弧八十四度三十○分，推南北差得六分○八秒，以加二徑折半得三十八分五十八秒，為太陰入陽曆，兩道相距度，二曜至此，即以周相切推得日食限七度三十一分，若月距北，則兩半徑減南

圖

北差餘二十六分五十二秒，僅得五度一十○分，為日食限也，如圖：地居夏至之南，目視丙，月則偏北，故太陰之實度在黃道南，為本道上之乙，與太陽之實度丁甚相遠，卻以南北視差移而就近，及以甲乙為食限，二曜相掩，必未至甲

也。若其過實交甲，至己在黃道北，則因南北差見月更在北，與太陽相距更遠，不復能相掩矣。

太陽太陰越六月皆能再食

越六月者，如寅月食申月，得再食也。如左圖：甲、丙、乙、丁為太陰離道交黃道於甲、於乙，甲丙乙為其距北半圈，餘乙丁甲為距南半圈，己庚戊辛皆為食限。依多祿某隨迤北諸方所定中會時，甲己及乙戊入陰曆為日食限二十○度四十一分，〈地愈向北，食限愈大故也〉甲庚及乙辛入陽曆得一十一度二十二分，則限外弧己

圖

丙戊得一百三十九度，庚丁辛得一百五十七度一十六分，越六月之中積交周一百八十四度有奇，〈先去全周〉則大於己丙戊及庚丁辛兩弧，故初月在食限內與正交相近者。六月後則近中交亦在食限內，而日能再食。若月食不論陰陽

曆，其限皆一十五度一十二分，則己丙戊弧、庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分，皆小於中積交周度，故初月交周度入己甲庚食限內，後六月又在戊乙辛食限內而月能再食。

太陰越五月能再食越七月不再食

以距月之中積交周度與初月食限外之弧相比，若度贏者，則此食限內能起，彼食限內能止，即兩皆有食。若度縮者，則一起一止，或在兩食限之外不再食矣。如五平月交周得一百五十三度二十一分，〈去全周己〉月食於高庳中處其實限一十一度三十○分，南北同得限外無食之弧一百五十七度，亦南北同是，皆大於交周弧，則五平月中不可得兩食矣。亦有可兩食者，則大月也，太陽躔赤道南，在其最庳左右必速行，同時太陰去全周，在其最高遲行，必得定朔策少。月大，交周弧亦大，夫五月之平朔策去太陰全周得一百四十五度三十二分，中分之左右并得太陽均度四度三十八分，又太陰五月自行一百二十九度○五分，中分之以最大加減得其并均度八度四十

圖

○分，太陽均度應加，

實度距最庳左右比平度遠故。

太陰均度應減。

設月逐日，實未追及，故

得日月以實行相距總弧一十三度一十八分。為月逐日未及之弧。如圖：太陽從秋向春行本天小半周，

以當黃道正半周必速行，以甲乙直線中分其平行，左右各得丙丁均度。太陰在本輪自戊過最高辛，至己遲行，以甲辛平分其遲行弧，左右得壬辛及庚辛均度，日月兩均度不同類，一加一減并之得一十三度一十八分，為太陽以實行在前，太陰以實行在後之弧，而太陰逐太陽行一十三度，此時間太陽更行一度○六分，以并於太陽均度，總得五度四十四分，為五大月過五平月之度，亦為實交周過平交周之度，以加平交周一百五十三度二十一分，得一百五

圖

十九度○五分，較食限外之弧贏二度○五分。則月食於甲乙限內，為壬距乙甚近，而限外交周度壬庚越五月復可食於庚。然食之分數少矣。又證太陰越七月不能復食者，則小月也，月大或平，即交周弧大於食限外之弧，不可得食。

圖

今太陽在其最高，左右遲行，太陰在其本輪最庳，左右速行，因而成小月。夫七月之平朔策得二百○三度四十五分，同時太陰自行一百八十○度四十三分。如圖：甲乙分日月平行，甲辛分太陰自行，太陽左右各得最大均度丙丁，并

為四度四十二分，應減，

實度距最高左右比平度近故。

太陰均度壬辛及庚辛并為九度五十八分，應加。〈設月以實行過太陽故〉一加一減并兩均度得一十四度四十○分為太陰過太陽之弧，此時間太陽亦行一度一十分，以加其均度得五度五十五分，是為七小月間實行不及其平行之度。又為七月間交周平行之弧所減，以成七小月實行之度。今以平行二百一十四度四十二分，去減五度五十五分得二百○八度四十

圖

七分，以加於食限外之弧，

此第論太陰在其高庳中處。甲丙左右四食限

為戊乙壬或己庚丁，僅得二百○三度，小於七小月之實交周二百○八度有奇，則月初食在戊丁限內，後七月不能於己壬限內再食也。

圖

太陽越五月或七月，皆能再食

此越五月能再食者必大月也，其間交周實行可得一百五十九度○五分，設日月在高庳中處得二徑折半三十二分二十○秒，設太陰距度亦正得三十二分二十○秒，則以前法

求得距交六度一十二分，當在乙或在丁，而乙丙丁弧乃得一百六十七度三十六分，若太陰絕無視差者，即食限外之弧乙丙丁大於實交周弧八度三十一分，日月合會，先在甲乙弧內有食，越五大月復會，必不能及丁戊為再食矣。然太陰既有南北視差，則以交周度不及食限內之弧八度三十一分，平分之兩加於食限，得甲己及戊辛各一十○度二十八分，而太陰在己或在辛皆距黃道五十四分三十○秒，減二徑折半餘視差二十二分三十○秒，倍之，得己及辛兩視差共四十五分，則諸方能得南北差及此分者，所見太陰必偏南下掩太陽得有食也。今所論五大月，太陽速行先於太陰一十三度一十八分，又於太陰逐及時間行一度○六分，總得一十四度二十四分，太陰行盡此度乃及日，須一日○九刻，是為五大月過五平月時刻，則五大月得一百四十八日一十八小時，故先定朔在酉正，後必在午正，若先在午，則後在卯，又太陽五大月行一百五十一度以最庳，平分左右得先定朔在壽星宮二十一度，次定朔

圖

在娵訾宮二十一度，諸方地面得極高二十餘度，見太陰離是二壤，值是二時。南北視差并得四十五分，則越五月得再食。此外極出地愈高，南北差愈大，食限愈寬。凡交周在黃道北，入甲己食限，越五大月必入辛戊食限，人居赤道北

圖

者，可見兩食或；交周在黃道南，入戊壬食限，越五大月必入庚甲食限，人居赤道南者，可見兩食。

謂太陽越七月而再食，則小月也，否則交周度大於正交及中交之總食限，而先在內後必在外，不食矣。若七小月間交周行依前，

得二百○八度四十七分，而設無南北差者，則以日月兩半徑為食限，得甲乙及戊丁各六度一十二分，而總乙己丁弧一百九十二度二十四分，小於交周一十六度二十三分，即太陽先食於丁戊限內。越七月後必己出甲乙限外，亦不食也。既常有南北視差，則以較餘交周弧一十六度二十三分，平分之以加於甲乙及戊丁，得甲壬及戊癸二限各一十四度二十三分，而壬己癸與交周弧相等，又甲壬及戊癸一十四度二十三分，得相值之距度一度一十三分三十八秒，減二徑折半得四十一分一十八秒，為各視差倍之得一度二十三分，則諸方有此視差者得有食也。今所論七小月，太陽遲行後於太陰共一十四度四十○分，為太陰一日五小時所行之弧，是一日五小時者，七小月不及七平月之時刻也。總七小月得二百○五日一十二小時，故越七月得再會。先會在卯，後會必在酉。又太陽行七小月，實得一百九十八度。〈前已證〉從最高平分之得，先會太陰在娵訾宮二十七度，後會在壽星宮一十五度，則凡離是二壤值，是二時所見。太陰南北視差并得一度二十三分者，必越七月得再見日食也。此為極出地三十四度以上，蓋距赤道愈遠，視差愈大，所見食分愈多矣。

食分第二〈凡四章〉

欲知此月內有無交食，則以食限求之。〈見上文〉欲知此食食分幾何，則以距度求之。距度者，在月食為太陰心實距地景之心，兩心愈相近，月食分愈多；在日食為日月兩心以視度相距，其近其遠皆以目視為準，不依實推，蓋定朔為實交，會天下所同。而人見日食，東西南北各異，所以然者，皆視度所為也。日食詳說見後篇，此先解月食分，則論定朢實，會人所見者，東西九服各異，南北天下不殊也。如左。

太陰食甚分數

太陰在食限內過地景，其兩心最相近時為食甚，而食分必多，欲知食甚之處，用距度求之。蓋距度與地半景及月半徑相減得月入景之分。

此言分者，天周度數之分，非平分月徑之分也。稱分有二類，見下二文。

如兩半徑得一度，距度四十○分，相減餘二十分為所求月入景之分也。但距度與半景或等或不等，若過不及之分小於月半徑，則月不全入景而止，食其半或太半或少半而已。若距度小於半景者，為太陰之正半徑，則雖全食，隨復生光，其食分即太陰之全徑。以月自行推之，若絕無距度，即太陰遇景正在兩交，則并其兩半徑可推月食之分也。

假如甲乙為地景，

定朢時月入此則失光，亦名闇虛

圖

之半徑。乙丙為太陰半徑，總得甲丙為月食限限者，乙點為二周相切之處，食從乙點起漸入漸大，若兩周相分於乙點，則不食也。食有三等：一曰不全食、二曰全食、三曰正食。不全食者，如一圖：甲丁為黃道，丁辛當白道，月心在辛，即入

圖

景者半，是為半食；或月心在庚，則如二圖，入景者大半，是為大半食；或在戊，則入景者少半，為少半食，皆不全食也。求食分法，以距度減二徑折半，如圖：甲己與甲丙等，為二徑折半，甲戊為距度，以甲戊減甲己，餘戊己，戊己與辛庚恆相

圖

等，故於二半徑減距度即得其入景，辛庚為此食之分也。全食者，如三圖：月心在戊，距度甲戊兩道如前，而距度入於半景者為太陰之半徑戊己。則己庚入景之分為全徑，但全入以後，太陰或向交行欲至丁，或離交行欲至辛，其周旋出景外，則無既內分矣。

圖

以上二者皆有距度，則皆不食於交點，皆偏食也。若第四圖：太陰食甚時絕無距度，則月心與景心皆會於甲，甲乙為半景徑，甲戊為半月徑，兩半徑并為甲丙，設甲乙丙為黃道，甲丁為白道，太陰從丁行，以戊

邊至甲己，全入於丁甲半景之內矣。又行至邊及戊乃食甚，故更得甲戊為既內分，總得丁戊兩半徑并為此食之分，此月食之最大食於交點者也，正食也。

食分二類

求食分之大幾何有二類。其一為天周度數之分，如上文所論者皆是也。月食之最大者，可得一度○四分有奇。其一為太陰本徑之分，則惟曆家所命。如命月體之全徑為十二平分，則最大食得二十二分五十四秒也。如命為十平分，則最大食得一十九分○五秒也。又此二類者，皆係太陰及地景之視徑，雖距度同分，而大小多寡，猶多變易，設距度恆為二十五分，因太陰自行在最高，得月食度數之分為三十三分一十五秒，太陰在最庳，得食度數分為三十九分二十○秒，其自行在一宮或在一十一宮，〈俱近最高〉得三十三分三十八秒；在二或十宮，得三十四分三十六秒；在三或九宮，得三十六分；在四或八宮，得三十七分三十○秒；在五或七宮，〈俱近最庳〉得三十八分四十五秒。如前法，以太陰半徑半景并每去減二十五分即得此食分之數。他距度依此推之，其所繇漸漸有差者，則因太陰距其最高愈遠，即視徑愈大故也。又平分本徑亦有多寡、有大小，蓋太陰在最庳，其全體之天度分為三十四分四十○秒，得平徑一十○分。設食甚正在交點無距度，則二徑折半得天度一度○四分二十○秒，推總食之平徑分，得一十八分三十四秒，而一平徑分當天度三分二十八秒。又設太陰在高庳之中食甚，距度如前，其平徑亦一十○分，以兩半徑推總食得一十八分四十四秒，而一平徑分當天度三分一十五秒，與前不同，則以視徑故，更設太陰在最高，其視徑更小，僅得天度三十○分三十○秒。食甚在交，皆如前，亦得平徑一十○分，而所推總食分更多於前，為一十九分○五秒，則一平徑分當天度三分○三秒，可見距度同平分，徑同而食分不同者，月自行有高庳，其去地之遠近異，視徑亦異故也。

求月食徑分

太陰入景，以本徑分明暗之限，為人目所見之分。若

圖

全食，更加入景之餘分，〈即既內分〉推得總食分，則距度能翕張，其二徑為食分多寡之緣也。今或依第三卷所定太陰及地景視徑表，用引數求之，并而去減其距度，則太陰視徑與十平分；若其二半徑減距度之餘分與食分；或依第二卷前

圖

所設求太陰均度之圖，用甲乙丁三角形求之，蓋乙甲丁太陰均度角之正弦與乙丁直線，若甲乙丁總自行餘弧角之正弦與甲丁直線，既得甲丁為太陰，距地遠次求太陰視徑，則其距地遠，甲丙與太陰實徑之正弦，丁乙若全數與

丁丙乙角之切線，次以太陰半徑與地半景大小之比例，為一五○與四○三，推地景視半徑蓋一五○與四○三，若太陰視半徑之正弦與景視半徑之正弦也。既得視半徑用三率法。如前推算，食分欲用表則於引數查視半徑，而以月視徑及兩半徑減距度之餘數，查食分然表中列數。從引數出其理一也。

求月食面積分

前論月食分皆目可見，器可測之，視徑分也。若求其不全食之面，入景之分則有別法。設甲為地景之心，

圖

乙為太陰之心，以距度得其兩心相距為甲乙直線。又先得甲丙為地景視半徑，得乙丙為太陰視半徑。則甲乙丙三角形內有其三直線，可求三角。又甲乙丁三角形與甲乙丙三角形等，則以丙甲丁總角得丙戊丁弧。亦以丙乙丁總

圖

角得丙己丁弧。今欲以徑與圈之比例，推丙戊丁及丙己丁兩弧，與其本圈半徑同類之分若干。

弧曲線與直線異類，以周徑法變曲線分為直線分，故曰同類。

其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁兩半徑弧形。

兩半徑弧形者，兩半徑為兩腰，弧為底，求得其容積也。說見《測量全義》第三卷

亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁兩半徑弧形，又丙丁直線為等腰，兩三角形之公底線求其半，得丙辛以乘甲辛，得甲丙丁三角形之積，以乘乙辛得乙丙丁三角形之積，次以兩三角形之積各減其兩半徑弧形之積，所餘丙，戊丁己長圓形，為太陰入景之面。可得其餘，不入景之面也。

假如崇禎五年壬申九月十四日夜，朢月食四分四

圖

十二秒食，甚太陰距度四十四分其視半徑一十六分二十五秒，地半景四十三分二十三秒，設甲乙為距度，乙丙為月半徑，甲丙為景半徑，則最大線甲乙與餘兩腰線甲丙丙乙，若兩腰線相減之餘，線甲丁與大線之分也。即算得大

圖

線之分甲戊，以其餘平分之為戊辛辛乙，次從丙作丙辛，必為甲乙之垂線矣。既得各線如圖皆通為秒。以求甲角及乙角，則甲辛與全數十萬若，甲丙與丙甲辛角之割線，算得甲角二十一度四十○分倍之，得四十三度二十○分為

丙戊丁地景之弧。又辛乙與全數若乙丙與辛乙丙角之割線，算得乙角七十七度○六分。倍之得一百。五十四度一十二分，為丁己丙太陰周之弧。次求其各與本圈半徑同類之分，則月徑及地景徑各與其本周若七分與二十二分也，推得地景周一六三六一月，周六一九一，因此用丙戊丁及丙己丁兩弧各求其本圈徑，同類之分，則全周一六三六一與所截丙戊丁弧之分，若全周三百六十度與本截弧四十三度二十○分，算得一九六九為丙戊丁弧，其半九

圖

八四為丙戊半弧也。又太陰全周之分六一九一與丙己丁弧之分，亦若三百六十度與本截弧一百五十四度一十二分，算得二六五一為丁己丙弧，半之，得一三二五為丙己半弧也。次以甲戊乘丙戊，得丙甲丁地景兩半徑弧形之

圖

積二五六一三五二。以乙己乘丙巳得丙乙丁太陰兩半徑弧形之積。又丙甲辛角之切線。〈乙丙也〉與丙辛若全數。〈甲丙也〉與甲辛得丙辛九六○，則彼此求兩等邊起線三角形之積，與求兩半徑弧形之積通為一法。得甲丙丁三角形之積

二三二二二四○。乙丙丁三角形之積二一一二○○。各減其兩半徑弧形之積，得丙辛丁戊分圈形之積二三九一一二。丙己丁辛一○九三九二五并之，得總數一三三三○三七。即丙己丁戊全形之積也。又以太陰半徑九八五乘其半周三○九，得三○四八五七五，與總數比，得太陰入景之面，與其未食之面，若一十三分與三十○分也。

食甚前後時刻第三〈凡三章〉

食甚前，初虧也。食甚後，復圓也。兩限間之，時刻多寡，其緣有三：一在太陰本時距度。因距度或多、或寡，每食不同，即太陰入景淺深不同，淺則時刻必少，深則時刻必多；其二在月及景兩視半徑。半徑小，太陰過之所須時刻少，半徑大太陰過之所須時刻多；其三在太陰自行。自行有時速，有時遲雖則距度同、視徑同，而自行遲疾不同，即所須時刻不同矣。推距度及視徑皆依前所設法，此專求太陰實行以定食時刻分。

月食起復行度

圖

太陰入景，自初虧至食甚之弧，與其出景自食甚至復圓之弧，兩者略相等。故求其一，倍之，得在景之總弧。如圖甲為景心躔，甲乙黃道，乙丙為白道。太陰心至丁為初虧，在丙為食甚。復圓在戊丁。戊者，天周之弧也。而所截弧極小，故作

圖

直線用之，又甲乙丙三角形也，而乙角極小，乙丙與乙甲略等，故作平行線用之。因而甲丙可為垂線，因而丁丙與丙戊亦可為等。今自甲出兩直線為甲丁、為甲戊。皆當太陰地景之兩半徑，而甲丙為太陰距度，故甲丁戌三角形以甲

丁方減甲丙方，得甲丁方其根為太陰初虧至食甚

行過太陽之弧。若不用開方，則有別法以角求對邊線。如甲丁線與丙直角，若甲丙線與甲丁丙角既得，丁角餘為丁甲丙角，則丙直角與甲丁線，若甲角與月行景之半線，丙丁也。雖食分不同，或半月入景，或全體在景，求初虧至食甚之弧恒倣此。次求食既至食甚亦倣此，倍之，得太陰全入景至生光及復圓之總弧。如左圖，甲乙為黃道，乙丙為白道，太陰心行至丁則全入景，既至戊即生光，得丙丁及丙戊略相等，

圖

故先得丙丁，倍之，即丁戊也。此則以甲丙為距度，甲丁為地，半景減月半徑之餘於甲丙丁三角形，用此兩線及甲丙丁直角，推丙丁線，與前同法。若欲精求之，不聽甲乙、乙丙為平行，仍作兩線斜交於乙，太陰初虧在丁，食甚在丙，復圓

圖

在戊，丙丁是太陰在景之半。為距交一十二分之一。即作丁庚線與甲乙平行，取丙庚亦丙甲距度一十二分之一，以減甲丙得甲庚，是太陰初虧之距度。以加甲丙得甲己，是太陰復圓之距度。次以甲丁、甲庚兩線及庚直角求得庚丁

線，以庚丁、庚丙兩線及庚直角求得丙丁線，為初虧至食甚行度。後以甲己甲戊兩線及己直角求得戊己線，以戊己、己丙兩線及己直角求得丙戊線，為食甚至復圓行度也。

食甚距度線與白道當為垂線

求食時刻。設太陰食甚前行度與食甚後行度等。即距度線必當為白道之垂線。不然者，必行度前後不等，而時刻亦不等。如左圖，甲乙為白道，甲丙為黃道，太陰在丁，自庚黃極出線，過丁月為庚丁弧，至戊黃

圖

道，指太陰實度在戊，因太陰在丁，得交常分甲丁，而庚丁與庚乙，若甲丁與甲戊，〈皆用正弦算〉若得甲丁四十五度，與甲戊最差之限得六分。

甲戊少於甲丁，在圖為己丁。

若甲丁在食限內其與甲

戊差又不及三分矣，因兩道之最大距不過五度，故也設甲丁弧得二十○度，而以甲乙與乙丙之比例，推甲丁與丁戊，得丁戊距度一度四十二分。今作戊己與甲乙為垂線，又以甲丙與丙乙之比例，推甲戊與戊己亦得戊己相距一度四十二分。可見丁與己見有差。戊己與戊丁有微差不足見也。今不用戊丁開方而用戊己，又以戊己平分，太陰入景與出景之弧，其不得有差甚明矣。

太陰食在景時刻

前第二卷論月食以食甚時為主，於食甚前之初虧至食甚後之復圓，總推定時刻分秒，其法以太陰在景中行度變為時刻。如先得食甚前行度，求所當初虧至食甚時刻，倍之，得其餘行度。亦變時刻，皆依先所定行度，用比例法推筭也。如崇禎五年壬申三月朢太陰初虧至食甚行四十○分一十六秒。欲變時用三率法，太陰行三十三分一十一秒得一小時今四十○分一十六秒，應得一時一十二分四十三秒。但太陰自行恒異，平行食時間恆，不居本輪之一處。故所用一小時之行分，以定食間行之時，不得用平行必須考將食之實行，查太陰實行時表法，恒以自行宮度得一小時之實行，每度所值，各各不同，如太陰平行一時得三十○分二十九秒，以本時自行求均度，或加、或減，於平行得實行，若加減度表對，自行初宮三十二分四十○秒，得均度二分四十六秒，以減三十○分二十九秒，得二十七分四十三秒，為表中相當引數，初宮初度之率也。加減度表對自行一宮三十二分四十○秒，得均度二分二十五秒。以減一小時之平行，餘二十八分○四秒。為相當引數，一宮及一十一宮之率也。其餘皆倣此第，自行在本輪最高，左右必減，均度得一時之實，行在最庳，左右必加，均度得一時之實行耳。

既以實行推定總時刻，則以食既至食甚之時減先定食甚時刻分秒，得食既時刻分秒，以相加得生光時刻分秒，又以減食甚前總時，得初虧，以相加得復圓。又以初虧減復圓，得總食之時刻分秒。若初虧在子時前，復圓在子時後，則即以丑初為十三時，{{Annotation|午正起算〈用小時〉丑正為十四時，如是接續減之。

交食圖義第四〈凡三章〉

求日月失光之面向何方位，則有兩緣：其一從太陰距黃道度作大圈，令過太陰、太陽兩心。〈此日食也〉或太陰與地景兩心，〈此月食也〉下至地平周遭，移指交食所向之方也；其二黃道斜交於地平，日月隨之行，遇食必有時向東、南、西、北，有時向東、北、西、南也。欲繪交食圖，必先察日月所向、起復方位，第舊法祗以陰陽二曆分別南北殊粗率，今法必可得其度，分頗為繁細耳。

圖

距度變日月食所向方位

太陰食起復之間，以本行屢遷其度分，即作過兩心。〈月心地景心也〉大圈至地平時刻各異，所向方位亦時刻各異，欲盡推之其多無數，故當求其初虧、食既、食甚、生光、復圓五向而止。如圖，甲

圖

為地景心，甲乙為黃道，戊丙為白道，兩道之大距不遠，故作平行線論初虧，太陰在丙，食既在丁，食甚在戊，即甲丙、甲丁、甲戊皆過月地景兩心之弧，因太陰漸近於地景心，甲其距度遠近，漸次不同，而乙甲丙角、乙甲丁角、乙甲戊角之

小大亦不同，則太陰所向地平之方位度分亦不同。故恆以本距度推本角，如甲丙初虧之距為半景月半徑并之，甲丁食既之距為半景減半月徑之，甲戊食甚則為太陰之正距度也。甲戊丁角可當直角，不論其甲戊線與甲丙戊對角，若甲丙線與丁戊甲直角，得甲丙戊角與乙甲丙角相等。〈乙甲丙為所求〉又甲丁戊三角形，依此法推甲丁戊角與乙甲丁角〈此為所求〉相等。而食甚乙甲戊為直角，故在甲諸角，其線不等。即所向方位不等，論日食則甲丙為日月兩半徑，甲戊為

圖

太陰距太陽食甚之視度，以求甲丙戊角向下，皆同前法，今更作圖，甲為景心，乙丙為黃道，若太陰初虧在乙，其入景之面必正向東，若復圓在丙。

初虧在乙，復圓必不在丙，故曰若指他食也。

其出景之面必正向西，皆

無距度，故若其距北在丁，或在戊，即入景之面向東南、或西南，若其距南或在己、或在庚，即入景之面向東北、或西北也。論日食設甲為太陽心，其理同此，但出入之面所向與月食所向正相反，此為異耳。

黃道出沒變日月食所向方位

黃赤兩道之兩交切地平，若一在正卯，一在正酉，不偏南北，即諸方俱無闊度矣。外此或黃道距南、或距北，其距漸多，其出沒之闊度去離卯酉亦漸多。又南北極愈高，其相離更遠，如北極出地三十六度，黃道度去離春秋分、或南、或北一宮，其闊度左右各一十四度一十五分。若去離二宮，則更遠，其闊度各二十五度一十三分，最遠者得二十九度二十九分。若北極出地四十度，即一宮得闊度一十五度○四分，二宮得二十六度四十五分，最遠則三十一度一十九分也。太陰既隨黃道行其食也。亦必依其闊度，則起復之所向方位，太陰亦必依闊度之左右也。今欲定其多寡，如左圖，南、西、北、東為地平圈，丁甲戊為黃道，食時得闊度戊距正東，若干太陰心在丙，景心在甲，

圖

過兩心之庚甲己，大圈指己，因戊黃道度距正東遠，己隨之距正東亦遠，而丙月之初入景所向為己也。今求東己弧。先設辛為天頂出高庳弧，過甲至壬為頂極圈，又作一癸午弧與甲庚為直角，次甲乙丙小三角刑有乙丙距度、有甲

丙兩半徑、有甲乙丙直角，依比例推得甲角，次以食時及甲景所躔黃道度得戊甲辛角。即得其餘辛甲乙角，又得辛甲乙所分之辛甲午角。〈減乙甲丙小角〉次甲辛午三角形有甲角，有午直角，又以北極高及黃道，距赤度得甲辛弧，可推得辛午線，以加辛癸象限，得午癸總弧，為午己癸角，其餘角為甲己壬也。而己甲壬為辛甲午之對角，甲壬為辛甲之餘弧，因可推壬己弧。又戊甲壬三角形有原推之甲戊，有甲壬戊直角，有乙甲辛相對之壬甲戊角，因可推壬戊弧，去減先得之壬己，餘己戊為所求太陰初入景所向東南維之地平經度。以加初所得東戊弧，則得東己總弧。

月食圖

西曆恒推日月食所向方位，以其所虧及復圓距度作圖，求距度。食甚前與食甚後為一法，以太陰自初虧至食甚之實行加入太陽同時所行分秒，得太陰初虧至食甚在景之總分。以加前所定食甚交常度，得復圓交常度，以減得初虧交常度，次求初虧距度，則全數與其交常度。若黃白之大距度與其距度，求復圓距度倣此。

假如崇禎五年壬申三月朢太陰初虧至食甚景中行過太陽四十○分一十六秒，為時四刻一十二分四十三秒，同時太陽行二分五十七秒，以加前行得四十三分一十三秒為太陰在景之總行，其食甚交常度為過中交八度三十五分五十八秒，以加太陰總行四十三分一十三秒，得復圓交常度一十○度一十九分一十一秒，其正弦一七九一四，以減得初虧交常度七度五十二分四十五秒。其正弦一三七

圖

一○，算得太陰初虧距度四十一分，復圓四十九分三十○秒。若用表以時分查太陽本行以交常度，查太陰距度更易得矣。欲依本食作圖，其外大圈之半徑為月半徑、地半景，并得一度○四分三十二秒。

圖

量用比例規或先平分一直線

內取食時，所得地半景，

此為四十六分三十五

秒。

作內圈以當景，次查距度，此食在南，初虧四十一分。復圓四十九分，得太陰初在乙，後在丁，食甚亦依其

距度在丙為食之定，分圖上、下、左、右書四方，其起復所向方位，必與天合也。〈以上原本曆指卷十二交食之四〉

視差以人目為主第一〈凡四章〉

前言實會中會視時食限等，皆日月食之公法也。是皆準於地心。今再論月食生於地景，景生於日，故天上之實食，即人所見之視食，無二食也。日食不然。有天上之實食，有人所見之視食，其食分之有無、多寡，加時之早晚、先後，各各不同。推步日食難於太陰者，以此其推算視食，則依人目與地面為準。

視會

凡交會者必參相直，不參直不相掩也。日之有實食也，地心與月與日參居一線之上也。其有視食也，人目與月與日參居一線之上也。人目居地面之上，與地心相距之差為大地之半徑，則所見日食與實食恆偏左、偏右分為兩直線，各至於宗動天其所指不得同，度分是生視差而人目所參對之線，不得為實會，而特為視會。

如左圖，甲為地心，乙為地面，丙為天頂，若丁為日，戊

圖

為月，即在甲丙一直線上。則實會，即為視會。因地心與人目無分線，故也若日在辛，必月至壬，方與地面乙作一線為視會矣。若月至己，與地心甲作一線則實會也。今言交食惟以目見為憑，故日食全論視會若所居地面不同，即食分

圖

多寡，加時早晏，亦隨之異也。又視會實會在日月，本天皆無度分可指，而全依宗動天之黃道圈度分，則此實會線所指，謂之實度，視會線所指謂之視度，如圖甲辛線所指為黃道之庚，則庚為太陽之實度，若乙目視辛日至黃道，癸視

己月至黃道，午則癸為太陽之視度，午為太陰之視度也。

日月目見之度非實度

譬之畫圖者作平圓形，則一舉手一運規即得矣。若欲為螺旋線，先須依法作識，又依法作線，乃成形焉。測天之法亦猶是耳。今欲知日月躔離東、西、南、北，亦轉儀闚表一覽可知，若欲定其本行所在，則非聊一寓目遽能得之。必先後累測度分展轉較勘乃可定也。假令目居地之中心，〈地之心即宗動天之心〉極目所見，則有恆星以當彼界。兩界中間有日月、五星，是名七曜，七曜相視，有遠有近，無有同者，即論一曜亦各，時遠時近，無時同者，是則目所能見也。然因目所見得其視度於彼界，因以視度測其與某恆星相距若干度分，因以是度推其實與地相距若干遠近，則可，謂即目所見，遂得其實，行能分別其去地遠近，則不可，何者七政。諸本天雖居恒星，天之內乃不見火木土等內天之星，以本體能掩最外之恒星，則何從辨其內外遠近乎。又目所見者太陰、太陽二體相若，何從知其內外之相，距絕遠二體之小大，絕不相等乎。內天之兩星參對於外天之兩經，星目見之能知外者之兩相距甚遠，內者之兩相距不甚遠乎。是三者皆目力難憑之效也。或曰：是則然矣。測量之法皆憑目所見也。則可廢乎。曰：何可廢也。惟測內天之星得彼界所指之點，以為即在恆星之天，聊可得之矣。何者凡用在界之弧以測其輳心之角，無弗真者。目測恆星之天，其在地面與其在地心也，無以異。

地居恆星天中止當一點

若測內天諸曜目，雖不在地心，相距亦不甚遠。故測日月五星於彼界上得點，即與實度相近。

曰：聊可得之。曰：距不甚遠。曰：近其實度，皆因有地半徑視差故。

但恆星有時不見，或與內天諸曜不相值，故曆家以地平代恆星，更用遠視之器以助目力，得日月五星之視度分，依法推步，乃正得其實度分矣。

人視差

兩目<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page3926-18px-GJfont.pdf.jpg' />存不惟相助以為明，相代以備患，亦能彼此互用，以察物之遠近，蓋各以其心〈目睛最中之一點為心〉受外物之象，其過心之兩直線，至物體則相遇為兩腰，兩睛心自相距為底，成三角形。因以其比例之大小，別物距目之遠近，是謂目差。緣此，可推天上之視差以小喻大，其理一也。若物大，遠於人，目則底線極小，兩腰極長，是過睛心之兩徑線與平行無異。正如地球比恒星天之高，特以一點為底，視差無所繇生矣。如左圖，兩目之心為甲、為乙，目所視之物為丙，若甲乙線可比於甲丙線，〈可比者不甚遠則有比例〉則兩戊己徑線漸

圖

相就如己，而相遇於丙，若物更相近為丁，則兩徑速相就為辛庚。

甲乙丙及甲乙丁兩三角形皆等邊，又同一底線，則丁角大於丙角，而丁甲乙角必小於丙甲乙角。

而兩目之光線皆從己斂

向於庚，自覺所視之物變遠為近矣。若物與目相去甚遠，則無比例者，因兩徑絕難相就、絕難相遇，故也。今借此理明視差之公理。如本圖，設丁物之前有橫堵為壬癸，令甲目獨視丁物，則所見若在壬令，乙目獨視丁則所見反在癸，而丁前、丁後兩交角形必相似，即丁物亦不遠於壬，不遠於癸，蓋視之目分兩線為交角，即能分本物之遠近也。若不能分兩線，即不能分遠近。

地半徑差

目視星欲辨六曜，〈月五星也〉恆星之內勢不能也，則當借地體之大，補目力之不及。法用地半徑為底，以推測量所指之界，即可得七政遠近、上下，各居本天之實處。如左圖，甲乙兩目相距為底則二寸耳，今以兩地相距數千里或數里，當之以為底，如甲為順天府，乙為廣州府，丁為太陰。兩人同測之，一在甲，一在乙，因此大底之遠近比於各距太陰之兩腰，得大小之比例，則甲丁及乙丁兩直線必覺彼此相就以趨於丁矣。再使壬、癸為列宿天之兩恆星，

圖

或壬癸為太陽之全體，壬當其南周，癸當其北周。

測者一從甲見太陰，丁若在壬以本體合於一星之體。

或太陰之南周，齊太陽之南周。

一從乙測太陰反在癸，轉

圖

就北以合於他星。〈或太陽之北周〉若甲乙兩測之距愈相遠，即所見丁月兩指之極高，亦愈相遠。

一偏南，一偏北，東西亦同。

而人在甲能見太陰掩日，為日食。人在乙即不可得見矣。以此壬癸當宗動天

上之弧，正所謂視差與前言目見之小視差，其理一

也。第兩人相距千里、萬里，同時並測太陰其勢甚難，故立別法代之。

詳見本書第六卷下文略言之。

假令人正居地心，推其所得太陰距天頂應若干度分。又同時居地面者，實測太陰距天頂得若干度分，兩度之差即所謂視差也。如圖，甲乙丙為地球，丁為天頂，甲戊丁直線所至也。若太陰在此線左，右為己，從甲地心測月，見之當在庚。自地面乙測之，乃在辛。

圖

則先推定丁甲庚角或所當之丁庚弧，後推丁乙辛角或所當之丁辛弧。

乙距甲與乙距丁無比例，甲乙至小故。

以兩角或兩弧相減，得視差之弧庚辛。

問一星距天頂，測其宗動天上所指度分，在地心測

圖

之則距近，在地面測之則距遠。若論角則地面之乙角大於地心之甲角。何以證之。其故何也。曰：因其一遠一近。如圖，太陰在本天，其距頂之弧為己戊，己戊之距，地心甲與其距地面乙遠近之差，則目所能識也，所能分也。

圖

因地之半徑與月本天之半徑有比例故。

則目之在甲與在乙所受己戊弧之象實不能無大小為己戊弧等，而兩角之大小不等。

目受物象皆以角形，見交食第一卷。

相近者必大，遠者必小也。

角既有大有小，所相當之弧不得不有大小，則辛之距天頂視庚之距天頂不得不遠矣。又論辛庚視差實為辛甲庚角，所定何用辛巳庚或甲己乙角乎。曰甲乙線與甲庚線無比例。〈小大絕遠故〉而甲乙與甲己則有比例，即甲己與甲庚亦無比例也。既甲乙與甲己同為微末，不以入算，則用辛巳庚角代辛甲庚角無以異矣。若論角，則丁乙辛角與丁辛弧相當。〈因甲乙與乙丁無大小之比例〉又丁乙巳角與乙甲己及甲己乙兩角并等。〈見幾何第一卷十六題〉則兩角并亦與丁辛弧相當矣。今丁庚弧既與丁甲庚角相當，則餘弧庚辛必與餘角甲己乙或辛巳庚相當也。