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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第九十二卷目錄

　儀象部彙考十

皇清四

　　靈臺儀象志四

曆法典第九十二卷

儀象部彙考十

皇清四

《靈臺儀象志四》驗氣說

氣者四元行之一，葢天之於地有上、中、下三域。上域近火，近火常熱；下域近水土，水土常為太陽所射，故氣煖也；中域上遠於天，下遠於地，故寒也。然則各域之界由何而分。今姑以極峻之山，畫三界以喻之。山之巔為上域，風雨之所不至者也，故其氣極清而人與物不可居焉。其下為中域，霜雪必爾凝結也。又其下則為下域，而其寒煖之分又有輕重厚薄之不同焉。若南北二極之下，因遠太陽，則上下之煖處薄，中之寒處厚。若赤道之下，因近太陽，則上下之煖處厚，中之寒處薄。以是知氣域之不齊也。

四元行之中，惟氣行為最易變，以氣在天地之間，上依星辰異照，下依土水異情。其星辰各有德性而資育萬物者也。然各曜又因相會相對之勢而變異其情，則其效遂因之而亦異。且氣甚微甚順，易受諸天之變諸效之染也。但其所為易變者，難以分別，而大概則自冷熱乾濕而來。然能驗其為然者，則全賴人觸覺之官。蓋人之五官所司，惟觸司頑鈍而不能顯証其氣細微之變。〈其觸司所以能覺者，賴一身脈絡所通之肌膚〉何以言之。如有外熱攻伐吾身，而身內之本熱與之相等，則觸司必不之覺也。惟外來之熱有過，不及於吾身之熱，而人之觸司方能辨其熱之強弱也。故〈仁〉特造一器而藉視司，即五司之最靈者以補足觸司之所不及焉。其器之屬有三：一作法，一用法，一效驗之所以。然所謂作法者，用琉璃器，如甲、乙、丙、丁置木板架，如〈一百九圖〉上毬甲與下管乙丙丁相通，大小長短有一定之則，木架隨管長短分三層，以象天地間元氣之三域。下管之小半以地水平為準，其上大半兩邊各分十度，其所畫之度分俱不均分，必須與天氣寒熱加減之勢相應，故其度分離地平線上下遠近若干，則其大小應加減亦若干。假如冬月在本球內之天氣加厚，而其從前所占八寸之地自收斂而歸於二寸之地。若五日內如皆八分之冷，則球內之氣第一日加厚一寸，第二日不及一寸，第三日不過五分，第四、五日加至三分而不動矣，若六日內八分之冷氣與此相同，而其加厚之寸分每日不同。蓋冷熱之驗有所必然者，故候氣之具自與之相應，而以冷熱之度大小不平分相對之。至於用之法頗多，總歸於一，即所謂辨冷熱之分是也。冷熱者，天地萬變之所起，造化之功所由成也。今姑舉其用之有四以驗之：一測天氣，一測地氣，一測人物氣，一測月星等之氣。先以測天氣言之，天之氣晝夜無間而無不變易。在卯酉子午時，其氣之升降不同，器內之水亦應之。如卯時太陽上地平，天氣加熱而升，午時氣更熱而更升，〈氣升降之理有本論〉在乙庚管之水亦然。酉時太陽下地平，而天氣降，子時更降，在管之水隨之而歸於地平。如明日較今日天氣熱冷若干，而在管之水因而升降亦若于。蓋晝夜如此，而周年每節氣日亦如此。是以冬氣與春氣，又春氣與夏、秋等氣彼此相比，因管之水升降度分若干可以推其冷熱若干，又今年之節氣於次年之節氣彼此相比亦然。欲辨東西南北等風之氣何如，則以此管對之，風熱則水必升，風冷則水必降。捷如影響，毫不爽焉。又以測地氣者言之，凡山谷房屋上下左右之地氣，其清濁、輕重、乾濕諸理，即以冷熱之分而大略可推焉。蓋凡此諸氣之理，或從冷熱而生，或因他有而起，則冷熱隨之。元行之輕而且微，以其所染外氣易入人物而熏染之。由是推知人物之智愚、強弱、病否諸理，皆感受於其各地之氣而有所異焉。今欲辨其各地之氣何如，則置此器於地內。少頃，視水之升降可以別其地氣之冷熱矣。又以測人物之氣者言之，譬有兩人於此，其齒同，欲分別其氣質何如，則使之各

摩上球甲至刻之一二分，〈一分即六十秒定分秒之法有本論大約以脈一至可當一秒〉視水升降若干，則兩人之氣質分矣。醫者用是法可定病之輕重、進退，亦可以別藥材、花草等香味、力氣，以定其性之溫熱、平冷，其用無窮也。又以測太陰、金、木等星之情氣者言之，或曰天星之光下，照必同帶熱氣。今欲辨之，則用此器而對太陰之光，則乙庚之水必退分數而向地平，若有他物遮隔其光，則水必上地平而歸原數，故知太陰之光全屬冷氣。測金、木等星之情氣皆倣此，但星光愈微，則所用測器必愈大矣。又以升降之所以然者言之。夫水之升降為熱冷之效固矣。然其故何也。蓋如上球甲一觸外來熱氣，則內所含之氣稀微舒放，奮力充塞，則球隘既無所容，又無隙漏可出，勢必逼左管之水從地平而下至丁，右管之水從地平而上至戊矣。此熱之理所必然也。若冷之理，則反是。蓋冷氣於凡所透之物收斂凝固。如本球甲一觸外來之冷氣，則內所含之氣必收斂，左管之水欲實其虛，故不得不強之而上升矣。總之天下之物皆貫通聯屬，必相濟而後能相保，此空虛之所以必欲其實也。今甲丁之氣既被外冷而收斂，則原占之所較前必小。假如前占甲丁之所，而自收斂之後不過甲己耳。設丁丙水不上以至己，則己丁之管盡無氣而空矣。然物性既不容空，則丁丙之水勢不得不強升以補之。假使塞管之口而不使通外氣，則甲丁內氣為外冷所逼，勢必收斂凝固，雖甲丁之器為銅鐵所成，必自破裂而受外氣以補盈其空闕矣。又自外來之氣甚熱，而內氣必欲舒放，無隙可出，則甲丁既無所容，亦必自破裂而奮出矣。

測氣燥濕之分

夫燥氣之性，於凡物之所入，即收斂而固結之。濕氣之性反是。欲察天氣燥濕之變，而萬物中惟鳥獸之筋皮顯而易見，故借其筋弦以為測器。〈見一百九圖〉法曰：用新造鹿筋，弦長約二尺，厚一分，以相稱之斤兩墜之，以通氣之明架空中橫收之，上截架內緊夾之，下截以長表穿之，表之下安地平盤，令表中心即筋弦垂線正對地平中心。本表以龍魚之形為飾驗。法曰：天氣燥，則龍表左轉，氣濕則龍表右轉。氣之燥濕加減若干，則表左右轉亦加減若干。其加減之度數，則於地平盤上之左右邊明畫之，而其器備矣。其地平盤上面界分左右，各畫十度，而闊狹不等，為燥濕之數。左為燥氣之界，右為濕氣之界。其度各有闊狹者，蓋天氣收斂，其筋弦有鬆緊之分，故其度有大小以應之。譬如人用力緊紉一物，初用八分之力，其物可旋繞一周，再用八分之力物，繞不及一周。復再用八分之力，而物繞則僅半周矣。其用力同而旋繞不同，夫天氣加減，燥濕之氣收斂，筋弦之理亦有然者。凡欲分別東西南北各方之風氣，或上、下、左、右各房屋之氣燥濕何如，以此器驗之，無不可也。夫氣之有厚薄也，疏密也，輕重也。加減而遞相為焉，何以明其然邪。今以氣自然所在之地為七十分之一分而設言之。假如有氣於此，其自然所在之地止能盈寸。若用法以強之，則此一寸之氣能放而盈七十寸之地。又有氣於此，其自然所在之地則盈七十寸。若用法以強之，而即揫斂於一寸之地。此諸氣厚薄、輕重之力與諸測法也。其強之法與器詳見水法之本論。

測天諸氣之法於蒙氣之差所係為最大。其差加減之於高度，則其所測之合天與否可定也。其測法并其差表具載日躔曆指諸書中。但蒙氣差細微之處極繁，不過數分秒耳。今姑舉他體通廣之差，并其測法差表以明其理而推廣。夫儀器之用法，夫通廣之體有二，一光明易為透徹，一難透徹，皆由本體各有厚薄之分。厚薄有加減，則其所通光之差亦因之而有加減。又凡其所差，以天頂線為主，其頂線則立於光所，初入之地，夫日月諸星之光，若從易通光之體而難入通光之體，則其所透之光必向頂線而凝聚矣。若從難通光之體而入易通光之體，則其所透之光必離頂線而渙散矣。〈見一百十三圖〉假如丙丁為水盈之盤，於其底而置一錢，而錢所升之象與太陽之升光同一理也。其象交水盤之邊而初入空明之氣。若立頂線，如壬丙己，則明見其象，不依直線而射於乙，必更離於壬丙己頂線而偏射於辛，因從難透之水體入易透之氣體故也。又試觀空明之地，如辛有光，而以頂線壬丙己，從本盤之底己至立水面丙，立有直

表，而辛光之一道照至於丙點，其光道與表影不依直線而射戊地，必依曲線向壬丙己頂線而偏於甲，因從易透空明之氣體入難透之水體故也。其測法用兩象限儀，一在水面上，一正對於水面下，〈見一百十四圖〉而以水中表影所射之度數對比於水外日高之度數。假如東西壬辛為半球空影，其東西全徑於地平線平行，其壬東辛西兩象限儀各平分九十度，兩象限儀相對同穿於壬辛頂線軸上，而任意左右轉移以對於太陽之高度，次半球形用水盈之地平東西之線令齊，而甲乙窺衡表對於太陽之高度，則半徑辛乙表端之影水中所對射之度數為氣水高下差之度數矣。若不用日光，則目依窺衡表，甲乙線水中所窺對之度數為氣水差之度數也。今照比例法列為六等之表，以明三等體所通光之差，各體立氣水等差。二表見於後篇，今約舉數端以解之。

水差者，光既從空明之氣而入透於水，則其水中所射之高度比在空明氣之高度所差若干度分也。〈見一百四圖〉假如太陽空明處距天頂線八十度，而其射光一道徑過半徑表端甲，若圓球形之器內無水，測其光道與表影，在圓器內依徑線正射八十度矣。若充其水齊邊，測其光道，止射五十度矣。因而通氣通水之光道差三十度為其玻璃差者，則光〈或是物象同一理〉從空明之器透玻璃，離於徑線近遠之差也。見上氣水差之圖，而以丁線為直徑線，以水盈之圓球形為玻璃球形也。凡玻璃望遠、顯微等鏡，其所以發現物象近遠、大小、暗明、正斜之眾端，皆可從此差之理而明之，詳見本論。

水氣差者，則光或物象從水中升出而射空明之氣，其所以射光之線，水內氣內各離頂線近遠不同之差也。假如射光之道，其在水內離頂線五十度，其在空明氣內離本頂線六十五度，兩差十五度，則此推表之度數準合於儀器之所測矣。試於大盂內照氣水差表製界節氣線日晷，盂中注水與表端齊，則太陽之光照表，其表影盂底正對於本日節氣線，及時刻纖毫不爽也。若盂內無水，則表影與本節氣線不對而大謬矣。其照界節氣線日晷依常法，空明氣中製之，則表端與本節氣線難免有過、不及之差。今依氣水差表製之，豈有表影與其所測之高度不相合者哉。

諸曜出入地平蒙氣廣度差表諸曜出入地平，必在蒙氣之中，故其出入之廣度有加分、有減分，北加而南減，多寡不等，依各地北極之高度多寡不等也。今依蒙氣之高差最大者三十四分而推其出入廣度之差分，悉照各方極之出地之高度，列表如左：

諸曜出入地平蒙缺氣水等差表

氣水差者，即光及物象從氣入水而斜透水內高度之差也。所謂水氣差者，即光從水入氣而斜透，則氣內高度之差也。氣玻璃差及水玻璃差等俱倣此，皆以光離天頂之遠近為主。假如太陽離天頂線四十度，氣水差表內相對為三十度，其相差者乃十度。也水氣差表內相對之度為五十一度，其差則十一度也。氣玻璃差表內相對之度為二十五度，則所差為十五度也。其餘倣此。

圖缺圖缺論飛葭之無合於曆。

如前驗氣之法，其微妙如此，且不可以測天上之節氣分也。況葭管、飛灰其術莫驗，又安所用之哉。故凡引鐘律以為驗節氣法者，不過欲附會欺世而擾紊曆法耳。天其可欺也哉。今約舉四端以辨之。

一、春分之日，太陽正交赤道之日也。萬國同是此日，故萬國同日，皆可以測驗。飛灰候氣全係地氣，地氣有冷熱、乾濕之不同，萬國有不同之地氣，無不一之春分也。

二、每年太陽一交赤道便為春分，則春分萬年如一，永不改變。若地氣至春分時，各國每年改變不同。設欲以地氣測春分，則春分年年不同矣。

三、春分只有一日，春分前後幾日，地氣乾濕冷熱大概相同，難以分別。況春分等節氣只在本日一刻之間，本日自朝至暮，地氣亦大概如一，又難以分別，何可就地氣以測定春分在某日某時刻乎。

四、地氣本乎地勢，或傍山，或近江湖，常有變換，又有風雨雲霧，皆能變易地氣。春分之日，全憑太陽交赤道度，距地甚遠，與地何涉。豈可以多變之地氣測驗不變之春分也。

測中域雲高度之法

假如空際有雲象，〈見一百十圖〉其一端為甲，兩人各用象限儀，一從乙處，一從丁處，〈從丙處更便〉測其高度，因於甲乙丁三角形內得其三角，并乙丁線之步數，故照法推知甲乙線。今以甲戊線為從雲而下之垂線，甲乙戊三角形內既得甲乙線，而甲戊乙為直角，則依句股法之理推知甲戊線之步數，而可得雲之高度矣。虹霓諸類之高度與雲象諸測法皆倣此。其測彗孛新星等另有本論。若測雷起處距地近遠等，則以測時刻分秒之垂球儀可推而知也。詳見別集。

測空際異色并虹霓珥暈諸象

格物家論色之異有二，一真實，一幻妄。何謂真實。蓋從寒、熱、燥、濕四元行之情相交而生，然必雜體可見而純體不可見也。何謂幻妄。蓋從光照物體退返之勢而生，雖易顯著，亦易渙散。夫二者亦各分五等，正相反者有二：純白、純黑是也。又中等者有三：黃、紅、青是也。由是五等彼此相交相變而各色生矣。〈見一百十一圖〉姑以各色玻璃相交映之勢言之，於一密室中，戶牖皆閉，務令幽暗，或戶或牖微開一隙，其大小與玻璃相稱，而以通日光隙內置各色玻璃，用潔白紙對之。其日光透射玻璃，玻璃所映之色必映於紙上。如隙內並置玻璃兩片，一黃色，一紅色者，則紙上必現黃金之色矣。如並置兩片，一黃一青者，則紙上必現綠色矣。如並置兩片，一紅一青者，則紙上必現紫色矣。餘倣此。若以銅圓柱鏡對於通日光之隙，則周圍返照之光而五彩虹霓之象俱顯矣。至於各色明麗、深淺、濃淡之加減，則隨其圓柱鏡之光有斜正返照之勢而生焉。蓋圓柱鏡返照之日光愈斜，則其所映之光愈昏，而其色之變異，遂去日之原光愈遠矣。若夫真實之色別有闡發，今止就幻妄之色而論之。大凡有形象者，皆由質模作為四者而成諸異色也。其質者即空際之氣也。氣必稍厚而密，方可成色。其模者即光也，光道愈密，則各色必愈明麗矣。其作者即太陽與射光之星月也，其為者即六合品彙之全而萬有之美也。其色之異者或由夫氣質之厚薄，或由夫光輝之進退，或由夫空際之異勢。蓋凡光照，空際之體厚，則其

所生之色必深而黑；若體稍薄而濕，則其色必青；若又稍薄，則其色必紅；若體薄甚，則其色青綠；若體精而稍厚，色則為黃矣。即日月星辰之異色，多為空際之所映射而致，正如火焰之異色由煙氣熏灼而成耳。

夫空際彩色之異，從雲氣之厚薄而生，前論已悉之矣。今更借玻璃之五彩以明之。如三稜角玻璃，從每角起至對角面止，則玻璃之體漸次加厚。〈見一百十二圖〉甲乙、戊己為三稜角玻璃分三等厚薄之界線，因而所見彩色約分三等焉。如香圓色、紅花色、天青色是也。其餘諸色從此三色交映而生。蓋太陽之光斜透玻璃必多混雜，其玻璃厚薄若干，則日光混雜亦若干，而其所現彩色濃淡即若干矣。如玻璃上層甲乙較他層更薄，日光易透，故其所映之光稍混，而彩色與原光相近，其所現之色淺淡，如香圓色是也，玻璃下層戊己較他層厚甚，日光難透，故其所映之光朦混，而彩色與原光相遠，其所現之色深濃，如天青色是也；玻璃中層在厚薄之間，故人目透視之，日光其彩色乃在青黃之中，如紅花色是也。然則日光之濃淡、昏明無不從玻璃之厚薄而生也。審此，則玻璃所現之彩色與虹霓之彩色其理固無異矣。又虹霓本然之妙及其所以然之，奇為眾象首原。夫虹霓乃潤雲被日對照而成多色之弧也。蓋雲者，虹之質而雲之潤。乃所以必成其虹質之勢也。一被日對照而虹乃由之以成矣。夫雲非當其化雨，則不能生虹，而雲非承日光則虹無由而成，又日光非正對則虹又無由而成。故虹之見也，必朝西而暮東，亦或東北也。曰：弧者，虹形之曲也。曰：多色者，別虹於諸色他弧、他象也。次曰：同時多虹可成。假如日當於午東西方，各有雲氣，日光照之，遂成虹矣。但因人目限於一方，止見其一而不能并見其他耳。假使一方而有二雲，日光照之，其一正對者變虹矣而其迴光照及相近之雲又二變而為虹矣。又由此雲所照之日光退傳至於他雲，又三變而為虹矣。若論其色之奇，三變不如其二變，二變不如其初變，蓋初所變之虹則受日光之正照，而二變與三所變之虹不過受斜退之光已耳。虹色雖多，約分為三：上如香圓色也；中如青草色也；下如紅花色也。然其所以不同之故，由於雲之厚薄異勢。故雲之上白而且薄，接日之照則現黃色中之體，厚則現綠色，其下尤厚則現紅色矣，至若雲之厚薄之異，由於氣之勢異也。氣之輕且薄者，騰愈高，接日光愈深，其迴光愈弱，所生之色愈輕淡矣。氣之濁且厚者，騰愈下，日光愈淺，其迴光愈強，所生之色愈濃深矣。至言二變之虹，較之初變之虹，色雖同而序相反。上反為紅中綠，自若而下者反黃矣。次曰：日、月、暈、虹、霓等象皆為圓形，其所以然者，乃由日光斜透之勢耳。凡現虹霓之時皆太陽所映彩色。故碧落之雲無不變現，但人目止見一圓弧之異色，因其斜透圓弧之光，道皆離太陽及離人目有一定之遠近故耳。如鵓鴿之頸、孔雀之翎，向日空中雖發多色，人目旁見之，必有一定之近遠，若或過、或不及，則異色俱不見矣。天文家常測得虹霓之半徑為四十五度，日暈半徑為二十二度半。如甲為日，乙為人目，丙丁為日暈，中心為庚，過中心之光道甲庚乙為日暈之軸也。太陽所透周圍之光道各離日暈之中軸二十二度半，而此度數以內、以外之光道乙日皆不得見，其所映之彩色矣。月暈、日珥及日月旁氣之象，其彩、其形皆倣此。凡此類，通光並生雜色之雲氣，比之取火之玻璃鏡，如太陽之透玻璃鏡，遠近無不射其光，但其聚光、聚火之處，在圓光之中。離玻璃後面有一定之近遠，人目所見雲內彩色之處，亦在過不及之中耳。

凡從原光所生之彩色，皆為次光之類，比之原光，猶燈光之比日光焉。然燈光白日淡而不顯，夜則大顯五彩之光亦然。暗地則大顯者，是各發其所以映之異色也。夫太陽在地平之上，終日照耀四方，無不斜透空際之雲氣，而映成多色矣。凡異色於白日不顯，至晨昏倍覺分明，職此故耳。

測水法

水之周遶於地，同為圓形，已詳於別集矣。〈并見全地圖〉今略舉測水平之器與其法而言之。夫水平，人人之所知也。然水平之理及測法之極致則取水平者，皆有所不知焉。如五六丈之遠以取平，難見其謬。若至數十丈或數里之遠，并其測

法俱窮矣。且測法之準與不準，所係為甚鉅。蓋

國家之大工如挑濬河渠為興利防患計者，不越

乎此。夫水之通塞分於毫末之高庳，其說別詳於引水法論。蓋水平之與地平有異，所謂地平者，乃地上一線與過地中心之垂線為直角也。其線兩端距地中心近遠不同，而與地平無礙。〈見一百三圖〉甲、丙、戊、丁為地水球甲乙線之兩端，甲與乙去地中心戊近遠不同，但其本線與垂線甲戊作直角，實為地平線也。所謂地平線者，必其兩端去地中心近遠無二。如上圖內，辛壬線是也。今姑舉數題以明其測法。

第一題：

測定兩地同在水平線上下若干，法曰：取其平器安於兩地互相距度數之中。〈見一百四圖〉假如測戊、己兩處同在戊己水平線中，否則取平儀安於丁，而從本儀左右之兩端表窺測兩處，從右表窺向左處，從左表窺向右處。若測戊、丁兩處而儀器止安於一端，如丁則以丁戊線為水平線，而大誤矣。若照此線引水從丁至戊，則其水必從戊向丁倒流矣。蓋測定高法以垂線為主，而垂線以地平中心為定向，不拘何物之垂線在地面上若干，則其本物之為高低亦若干。今戊癸線為戊高之垂線，丁、戊兩處所差之高度則戊癸線也。戊、丁兩處互相距愈遠，其差愈多。古有測山之高而每有所誤者，多在於此。〈見一百五圖〉乙、丙為高山在地面上，古用象限儀從遠處戊測其高，以目所窺壬處為山頂，而以其在地平戊己線上之垂線，壬己為山之高。但山之高則以其向地中心之垂線乙丙丁為主，而以其在地面上乙丙垂線為本山之高，其測法在測量山岳之論內詳之。今姑以測地近遠法內所列測高遠表，可推而定焉。夫定水平法原係細微之法，若儀之安法、或窺法有分秒之差，而以測高低則大謬矣。假如一處相距百步，而安取平儀、或窺法之誤不過一分之數釐，而其水平線遂差至四五尺有餘也。若測兩處高低之差，其兩處相距倘不甚遠，則於其適中處安儀而依法以測之即可，以取定其平矣。若相距甚遠須於相距處均畫數方，而於每方之居中安儀，測定左右各至之高低，然後將所測定各方左右兩處之高低總歸於一而相比之，則可以定其相距之高低矣。測大海、江河、泉井等水之深淺、輕重、鹹淡若干，各有本法本器，另有本論詳之。

垂線球儀

垂線球何昉乎。蓋近今數十年以來，遠西之曆學名家特創新意，而曲盡其測驗之法者也。故凡時刻之分秒纖微天行，毫末之差數靡不於時而可悉焉。不寧惟是舉天下運動之疾，如空際之雷響諸類也，弓所發之矢也；銃所激之彈也；皆可以測而推之也。其器較諸儀為最簡，而其為用則甚便云。

測法三題

第一題：測日月之全徑。〈見一百十五圖〉此題甚有係於推測曆理蓋凡定二曜之大小、及交食之分秒、地影之廣狹，與太陽太陰距地之遠近，四時并每月各有不同。以至日月與本天有最高、最卑之處，大約皆用加減表等算法而定也。今以垂線球可測而定之。法曰：安定三角形線，〈見一百十五圖〉對天正南北之線，測候須以二人。如甲人測候至日月體之西弧，與南北三角形線及窺目相參直，次乙人放垂線而數其往來之秒至本曜之東弧與角線，并窺目相參直，彼時若本曜行赤道線，則以本表查時刻之分秒，而變通於天度之分秒，即得本徑之分秒矣。若本曜雜於赤道之內外，則定其緯度與赤道平行圈相距之度分若干，而以本圈之分秒與相應赤道之分秒相對，則通變之以求其分秒，即得矣。見大小圈度相應表。

第二題：測天上不拘何兩星，相距赤道經度之分秒。法曰：照前題測候，此兩星與上三角形線相參直，而兩中間凡有垂球往來之分秒，照前法變度數之分秒。凡二星密近，用他儀測候，難得其相距之分秒，用此垂線儀，則一仰觀而即得矣。

第三題：凡重物隕墜所行之丈尺，并求其所須時刻之分秒，有再加之比例，其比例以不平分之數而明之，如一三五七九十一等。假如有重物於此自高墜下，若第一秒內下行一丈，則第二秒內行三丈，第三秒內行五丈，第五秒內行七丈，後行、前行相并，如第一秒之行一丈，第

二秒之行三丈，則并之為四丈，又第三秒之行五丈，并於第二秒之行四丈，則共得九丈。又有八寸之垂線球於此，其一往一來而相應則十微也。設有物之重八兩者自高墜下，則五十微內下行一丈，其遞加倣此，今依此比例之數列表如左：

八寸垂　　　　一一二二

線球〈單行〉五○五○五

相秒〈○一二三四〉

應微〈五四三二一○○○○○〉

〈重物分行丈數〉一三五七九

〈重物總行丈數〉一四九〈一二六五〉

不平分數一三五七九

用法

手握垂球，不急不緩，任意離之於頂線。〈見六十四圖〉假如甲自甲至乙乃釋手放之，則球之中心恆當天頂一圈線之中。自上下往來而離頂線，其左右則作圈線弧，如甲、乙、丙，而其圈之中心在於軸之中心，如戊。此圈弧短小如將盡時，即照前法，提球而放之，令往來一日相繼以定時刻分秒之準則焉。但初放時其圈弧不可太過大，略在四十五度之內。又從而提之，不可等球往來全盡，如將盡，則又提球而放之，各有定規學者習而熟之，無所施而不可也。今約舉數題以解之。

第一題：凡垂球一來一往之單行，其相應之時刻分秒皆相等，又凡垂球往來之雙行，其相應之時刻分秒亦相等。所謂單行者即垂球之一往或一來也。假若從甲至乙為一往之單行，從乙至甲為一來之單行，從甲至乙并從乙回至甲即往來之雙行也。解曰：若用測分秒之赤道大儀，或細微沙漏、水漏，或本人脈息之數，而對比之，夫垂球往來之數，必觀其大弧之往來與小弧之往來，論時刻之分秒皆相等也。又大弧之往來疾，小弧之往來遲遲疾不同，而其所歷時刻之秒大弧小弧皆相同也。又試依正南、北安定三角形線，而晴夜測候不拘為何星，而交切之，一交切則放垂球而數其往來至他星，正交之時，則記其數若干。〈兩星相距愈遠其測法愈準〉次夜又測候前兩星交三角形線之時，又放球如前，而記其往來之數，此兩夜中就其往來之弧大小各有不同，究之。次夜所記之數必與前一夜所記之數相同也。如法，三夜連測之，其從角宿交切本三角形線至大角星交切之，則兩間球之往來皆至三千二百十二之數。蓋莫準於此也。

第二題有兩垂線球，除垂線長短不等，其餘相等，其短者之尺寸與長者之尺寸，如長者往來之方數比短者於相等時刻往來之方數。假如兩垂線球甲、乙，甲球之垂線長一尺，乙球之垂線長二尺。試觀甲球往來八十五次之時，則乙球必往來六十次耳。然六十之方數即三千六百與八十五之方數，即七千二百如一與二夫八十五之方數，雖本為七千二百二十五，而其與前方數有微差。原從垂線往來之總數而生，若論其細分即無差矣。蓋垂線一往一來，各有細分。但難以分別之，又設若乙球之垂線長三尺，甲球之垂線仍一尺，則甲球六十次往來之時，乙球之往來必一百零四次。而其方數即一萬○千八百十六與三千六百，約如三與一也。

第三題：有兩垂線球甲、乙，除垂線長短不等，其餘相等，以甲球往來之數，求乙球往來之數。法曰：甲球往來之方數與其垂線長之尺寸分釐相乘，而所得之商數與乙球垂線長之尺寸分釐，歸之，又歸除之商數，依開方法，取其根。蓋根數多寡若干，則乙球之往來多寡若干。第四題：以垂線球之往來，求相應之時刻分秒。

法曰：以其準定分秒之日晷法，如赤道大儀，

或以兩星相距定分秒之度數，照前第一題交切南北線，求某垂線球往來之總數，相應天上分秒之總數幾何。然後以三率法推定本球每一往一來相應之分秒幾何。依此法曾製垂線球，推定其一往一來相應天上一秒，六十次往來正對一分，所以一刻內有九百往來，四刻內共三千六百往來之數。

第五題：以某垂線球相應之分秒，求他不拘大小垂球相應之分秒纖微等。法曰：照第三題用比例法，其一往一來相應三十微，其往來之

雙行相應一秒，因而上第四題所定之垂球六十次往來之時，此垂球往來一百二十次，又更加細微亦曾另製小垂線球推，定其一往一來相應天上十微，所以六次往來對一秒，六十往來對十秒，三百六十往來對一分。若以之定自鳴鐘，雖歷二三月之久不調，其輪牌而分秒無差，待此器至中夏之時，自詳言其用法。

第六題：凡求時刻之分秒，如無諸儀參測其細微，則隨時隨處而以本身之脈息可推而知也。蓋人當氣血平和之時，其一息大率應時刻分之一秒。如當測時，切脈而自數其息，則以其定秒推之，而以球之往來較之。假如球每一往一來為一秒，而其六十次之往來為一分，當彼六十次往來之時，若己之脈息亦至六十次。則每一息代秒用之，若有過不及之差則用比例法。假如球六十次往來之時數己之脈息至六十八次，則一次為比例之共率，因得三十四脈息，相應三十秒十七脈息，相應十五秒餘，倣此，蓋六十八與三十四如六十與三十，又六十八與十七如六十與十五，同一比例之理也。第七題：擬天以下之疾行比，而推天以上之疾行。近今有測量名家；依前定秒微，諸法曾驗。放小銃時，於三秒內其彈行一百八十二丈之遠。設使此彈常飛行空中而不斷，則必閱十一年零一百一十八日，而其所行不能盡太陽一日所行之度也。照此推算，則六十秒即一分內行三千六百四十丈之遠，而六十分即四刻內行二十一萬八千四百丈之遠。若九十六刻即一日內行五百二十四萬一千六百丈之遠。今以丈數歸之里數，凡一里既為二百一十六丈，則前所計丈數共為二萬四千二百六十六里，一百四十丈也。然地球每一度為二百五十里算之，則天下週圍共九萬里，而銃之彈一日止行二萬四千二百六十七里矣。若行至九萬里之遠，則必須三日零六十八刻有餘。曆學公論曰：地球之全徑其在於太陽，天之全徑者。如一與一千一百四十二之比例，今週與週、如徑與徑之比例，則太陽天週圍之里數包地週圍之里數一千一百四十二倍也。若照前所擬，銃彈行空三日而不斷，則必須四千二百三十三日即十一年零一百一十八日始行盡於太陽天一日內所行一週之里數矣。又恆星天全徑與太陽天全徑如十二與一，則恆星天一週包日天一週十二倍也。故夫銃彈以行盡太陽天之數，推之則必須一百三十九年零八十四日，始行盡於恆星一日所行之里數矣。然凡此天行之疾，則又有何所比擬哉。

作法假如；〈六十四圖〉庚辛為銅橫條，釘穩於橫木梁上，令毫不動搖。壬丁戊己為粗銅耳。中安銅軸，而軸長徑線丁戊須與地平線平行，軸中繫垂線球，其球隨本橫軸轉動恆，當甲丙過天頂一圈線之中往來而不離於左右，其軸之長徑與垂球之徑相等。以便自此軸中心至球之中心比測，而定垂線長短之尺寸，分釐其垂線為小圈相連之銅鎖，其垂線之長短，其重之分兩，又垂球之分兩，皆須預知而準定，使毫不差失而器於是乎全已。