KR7a0003

卷103

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百三卷目錄

　測量部彙考四

　　詩經〈鄘風定之方中　大雅公劉〉

　　易緯〈通卦驗〉

　　書緯〈考靈曜〉

　　淮南子〈天文訓〉

　　隋書〈天文志〉

　　宋史〈律曆志〉

　　宣和博古圖〈周雙螭表座　漢表座〉

　　元史〈天文志〉

　　新法曆書一〈大測上〉

曆法典第一百三卷

測量部彙考四

《詩經》鄘風定之方中

定之方中，作于楚宮。揆之以日，作于楚室。

〈傳〉定，營室也。揆，度也。度日出日入以知東西，南視定北準極以正南北。室，猶宮也。〈箋〉定星昏中而正，於是可以營制宮室，故謂之營室。定昏中而正，謂小雪時，其體與東壁連正四方。〈疏〉《正義》曰：此度日出日入，謂度其影也。故《公劉傳》曰：考於日影是也。其術則匠人云水地以縣，置槷以懸視，以影為規，識日出之影，與日入之影。晝參諸日中之影，夜考之極星，以正朝夕。注云：於四角立植而懸以水，望其高下。高下既定，乃為位而平也。於所平之地中央樹八尺之槷以懸正之視之以其影端，以至日入既則為規。測影兩端之內規之，規之交乃其審也。度兩交之間，中屈之以指槷，則南北正也，日中之影最短者也。極星謂北辰也，是揆日瞻星，以正東西南北之事也。如匠人注：度日出日入之影，不假于視，定視極而東西南北皆知之。此傳度日出入以知東西，視定極以正南北者，考工之文，止言以正朝夕，無正南北之語。故規影之下，別言考之，極星是視，極乃南北正矣。但鄭因屈橫度之繩，即可以知南北，故細言之，與此不為乖也。

大雅公劉

篤公劉，既溥既長，既景迺岡。相其陰陽，觀其流泉。

〈傳〉既景，乃岡考于日景，參之高岡。〈箋〉以日景定其經界于山之脊觀，相其陰陽寒煖所宜，流泉浸潤所及，皆為利民富國。〈疏〉日影定其經界者，民居田畝，或南或東，皆須正其方面，故以日影定之。

《易緯》通卦驗

冬至之日，樹八尺之表。日中視其晷景長短，以占和否。夏至影一尺四寸八分，冬至一丈三尺。

《書緯》考靈曜

日末影尺五寸，日短景尺三寸。

《淮南子》天文訓

正朝夕，先樹一表東方，操一表卻去前表十步以參望。日始出，北廉日直入。又樹一表于東方，因西方之表以參望，日方入北廉，則定東方。兩表之中與西方之表則東西之正也。日冬至，日出東南，維入西南。維至春秋分，日出東中入西中。夏至出東北，維入西北。維至則正南。欲知東西南北廣袤之數者，立四表以為方一里距先春分若秋分十餘日。從距北表參望，日始出及旦以候相應，相應則此與日直也。輒以南表參望之，以入前表數為法。除舉廣，除立表。袤以知從，此東西之數也。假使視日出入，前表中一寸，是寸得一里也。一里積萬八千寸得從，此東萬八千里。視日方入，入前表半寸，則半寸得一里。半寸而除一里，積寸得三萬六千里。除則從此，西里數也，并之東西里數也，則極徑也，未春分而直，已秋分而不直，此處南也。未秋分而直，已春分而不直，此處北也。分至而直，此處南北中也。從中處欲知中南也，未秋分而不直，此處南北中也。從中處欲知南北，極遠近從西南表參望日。日夏至始出，與北表參則是東。與東北表等，正東萬八千里則從中，北亦萬八千里也。倍之南北之里數也，其不從中之數也。以出入前表之數益損之。表入一寸，寸減日近一里；表出一寸，寸益遠一里。欲知天之高，樹表高一丈，正南北，相去千里同日度其陰，北表二尺，南表尺九寸，是南千里陰短寸，南二萬里則無景，是直日下也。陰二尺而得高一丈者，南一而高五也。則置從此南至日下里數，因而五之為十萬里，則天高也。若使景與表等，則高與遠等也。

《隋書》天文志

《周禮》：大司徒職，以土圭之法測土深，正日景以求地中，此則渾天之正說，立儀象之大本。故云：日南則景短，多暑；日北則景長，多寒；日東則景夕多風，日西則景朝多陰。日至之景，尺有五寸，謂之地中，天地之所合也，四時之所交也，風雨之所會也，陰陽之所和也。然則百物阜安乃建王國焉。又考工記匠人建國水地以縣置槷，以縣視。以景為規，識日出之景與日入之景。晝參諸日中之影，夜考之極星以正朝夕。按：土圭正影，經文闕略，先儒解說，又非明審。祖暅錯綜經注以推地中，其法曰：先驗昏旦，定刻漏，分辰次，乃立儀表于準平之地，名曰南表。漏刻上水居日之中，更立一表於南，表影末，名曰中表。夜依中表以望北極樞而立北表，令參相直。三表皆以縣準定乃觀，三表直者，其立表之地，即當子午之正。三表曲者，地偏僻。每觀中表以知所偏，中表在西，則立表處在地中之西，當更向東求地中。若中表在東，則立表處在地中之東也，當更向西求地中。取三表直者為地中之正。又以春秋二分之日，旦始出東方半體，乃立表於中表之東，名曰東表。令東表與日及中表參相直，是日之夕。日入西方半體，又立表於中表之西，名曰西表。亦從中表西望西表。及日參相直，乃觀三表直者，即地南北之中也。若中表差近南，則所測之地在卯酉之南。中表差在北，則所測之地在卯酉之北。進退南北求三表直，正東西者則其地處中，居卯酉之正也。〈地中〉

昔者周公測晷景於陽城，以參考曆紀。其於周禮，在大司徒之職，以土圭之法測土深，正日景以求地中。日至之景，尺有五寸，則天地之所合，四時之所交，百物阜安乃建王國。然則日為陽精元象之著然者也。生靈因之動息，寒暑由其逓代。觀陰陽之升降，揆天地之高遠。正位辨方，定時考閏，莫近於茲也。古法簡略，旨趣難究。術家考測，互有異同。先儒皆云：夏至立八尺表於陽城，其影與土圭等。案《尚書·考靈曜》稱，日永景尺五寸，日短景尺三寸。《易通卦驗》曰：冬至之日，樹八尺之表，日中視其晷景長短以占和否。夏至景一尺四寸八分，冬至一丈三尺。《周髀》云：成周土中夏至景一尺六寸，冬至景一丈三尺五寸。劉向《鴻範傳》曰：夏至景長一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分，春秋二分景七尺三寸六分。後漢《四分曆》、魏《景初曆》、宋《元嘉曆》、《大明祖沖之曆》皆與《考靈曜》同。漢魏及宋所都，皆別四家曆法。候景則齊，且緯候所陳，恐難依據。劉向二分之景直以率推，非因表候定其長短。然尋晷景尺丈，雖有大較，或地域不改而分寸參差，或南北殊方而長短維一。蓋術士未能精驗，馮古所以致乖。今刪其繁雜，附於此云：梁天監中、祖暅造八尺銅表，其下與圭相連。圭上為溝，置水以取平，正揆測日晷求其盈縮。至大同十年，太史令虞𠠎又用九尺表格，江左之景夏至一尺三寸二分，冬至一丈三尺七分。立夏、立秋二尺四寸五分，春分、秋分五尺三寸九分。陳氏一代，唯用梁法。齊神武以洛陽舊器，並徙鄴中以暨。文宣受終，竟未考驗。至武平七年，訖於景禮。始薦劉孝孫、張孟賓等於後主劉張建表，測景以考分至之氣，草創未就，仍遇朝亡。周自天和以來，言曆者紛紛復出，亦驗二至之景以考曆之精粗。及高祖踐極之後，大議造曆。張胄元兼明揆測言：日長之瑞有詔司，存而莫能考決。至開皇十九年，袁充為太史令，欲成胄元舊事，復表曰：隋興已後，日景漸長。開皇元年冬至之景長一丈二尺七寸二分，自爾漸短。至十七年，冬至景一丈二尺六寸三分。四年冬至，在洛陽測景長一丈二尺八寸八分，二年夏至景一尺四寸八分，自爾漸短。至十六年夏至景一尺四寸五分，其十八年冬至陰雲，不測。元年十七年、十八年亦陰雲，不測。周官以土圭之法正日景，日至之景尺有五寸。鄭元云：冬至之景一丈三尺，今十六年夏至之景短於舊五分。十七年冬至之景短於舊三寸七分。日去極近則景短，而日長去極遠則景長。而日短行內道則去極近，行外道則去極遠。《堯典》云：日短星昴以正仲冬據昴星昏中，則知堯時仲冬日在須女十度。以曆數推之，開皇以來冬至日在斗十一度，與唐堯之代去極俱近。謹案《元命包》云：日月出內道，璇璣得其常。天帝崇靈聖王，初功京房別對曰：太平日行上道升平，日行次道霸代，日行下道伏惟。大隋啟運上感乾元景短日長，振古希有是。時廢庶人勇晉王廣初為太子，充奏此事，深合時宜。上臨朝謂百官曰：景長之慶，天之祐也。今太子新立，當須改元，宜取日長之意以為年號。由是改開皇二十一年為仁壽元年。此後百工作役，並加程課，以日長故也。皇太子率百官詣闕，陳賀案日徐疾盈縮無常，充等以為祥瑞，大為議者所貶。又《考靈曜》、《周髀》、張衡《靈憲》及鄭元《注周官》並云：日影於地千里而差一寸。案宋元嘉十九年，壬午使使往交州測影，夏至之日影出表南三寸二分。何承天遙取陽城云：夏至一尺五寸。計陽城去交州路當萬里，而影實差一尺八寸二分，是六百里而差一寸也。又梁大同中，二至所測以八尺表率取之，夏至當一尺一寸七分彊。後魏信都芳注周髀四術稱，永平元年戊子，當梁天監之七年，見洛陽測影又見。公孫崇集諸朝士共觀，祕書影同是。夏至日其中影皆長一尺五寸八分。以此推之，金陵去淮南北略當千里而影差四寸，則二百五十里而影差一寸也。況人路迂迴，山川登降，方於鳥道所校彌多，則千里之言未足依也。其揆測參差如此，故備論之。〈晷影〉

《宋史》律曆志

英宗明天曆法，升降分：皇極躔衰有陟降率，麟德以日景差、陟降率、日晷景消息為之，義通軌漏。夫南至之後，日行漸升，去極近，故晷短而萬物皆盛；北至之後，日行漸降，去極遠，故晷長而萬物寖衰。自大衍以下，皆從麟德。今曆消息日行之升降，積而為盈縮焉。岳臺日晷，岳臺者，今京師岳臺坊地曰浚儀近古候景之所，《尚書·洛誥》稱東土是也。《禮·玉人職》土圭長尺有五寸以致日，此即日有常數也。司徒職以圭正日晷，日至之景尺有五寸，謂之地中，此即是地土中，致日景與土圭等。然表長八尺，見於《周髀》。夫天有常運，地有常中，曆有正象，表有定數。言日至者，明其日至此也。景尺有五寸與圭等者，是其景晷之真效然。夏至之日尺有五寸之景，不因八尺之表，將何以得。故經見夏至日景者，明表有定數也。

【宣和博古圖】

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【周雙螭表座】

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右表座高一尺三寸七分，下徑一尺九寸三分，重五十五斤。無銘。周官置槷晝以參諸日中之景。槷即表也。是器形若大盤，上蟠雙螭，而仰其首於兩螭間。又出一筩，中通上下，是為表座中通。所以植槷無欹，側以取其端焉。

【漢表座】

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右表座高四寸六分，深四寸二分，闊七寸一分，口徑一寸一分，重三斤九兩。無銘。是器，表座也。作三圜筩相合為一體，措之地則一筩端立可以立表。周官所謂槷者，是器所以為測日之具也。

《元史》天文志

魯哈麻亦渺凹只，漢言春秋分晷影堂。為屋二間，脊開東西橫罅，以斜通日晷。中有臺，隨晷影南高北下，上仰置銅半環，刻天度一百八十，以準地上之半天，斜倚銳首銅尺，長六尺，闊一寸六分，上結半環之中，下加半環之上，可以往來窺運，側望漏屋晷影，驗度數，以定春秋二分。魯哈麻亦木思塔餘，漢言冬夏至晷影堂也。為屋五間，屋下為坎，深二丈二尺，脊開南北一罅，以直通日晷。隨罅立壁，附壁懸銅尺，長一丈六尺。壁仰畫天度半規，其尺亦可往來規運，直望漏屋晷影，以定冬夏二至。

《新法曆書一》大測上

大測者，測三角形法也。凡測算皆以此測彼。而此一彼一不可得。測九章算多以三測，一獨句股章以二測。一則皆三角形也，其不言句股者，句與股交必為直角。直角者，正方角也，遇斜角則句股窮矣。分斜角為兩直角，亦句股也。遇或不可得分，又窮矣。三角形之理，非句股可盡，故不名句股也。句股之易測者，直線也，平面也。測天則圜面曲線，非句股所能得也。故有弧矢弦割圜之法。弧者，曲線。弦矢者，直線也。以弧求弧無法可得，必以直線曲弧相當相準，乃可得之。相當相準者，圍徑之法也。而圍與徑終古，無相準之率。古云：徑一圍，三實圍以內。二徑之六弦，非圍也。祖沖之密率云：徑七圍二十二，則其外切線也，非圍也。劉徽密率云：徑五十圍百五十七，則又其內弦也，非圍也。或推至萬萬億以上然。而小損即內弦，小益即外切線也，終非圍也。曆家以句股開方，展轉商求，累時方成一率。然不能離徑一圍三之法，即祖率已繁，不復能用，況徽率乎。況萬萬億以上乎。是以甚難而實謬。今西法以周天一象限分為半弧，而各取其正半弦。其術從二徑六弦，始以次求得六宗率皆度數之正義無可疑者。次用三要法相分相準，以求各率，而得各弧之正半弦。又以其餘弧之正弦為餘弦，以餘弦減半徑為矢弧之外，與正弦平行而，交於割線者，為切線。以他半徑截弧之一端而交於切線者，為割線。其與餘弦平行者，則餘切線也。即正割一線交於餘切線，而止者，餘割線也。以正弦減半徑者，餘矢也。總之為八線，其弧度分為五千四百。每一度分有八線焉，合之為四萬三千二百率也。其用之則一形中有三邊、三角，任有其三可得其餘三也。凡測候所得者，皆弧度分也。以此二三弧求彼一弧，先簡此弧之某直線與彼弧之某直線，推算得數簡表，即得彼弧之度分。不勞餘力，不費晷刻。為之者，勞用之者，逸方之句股。開方以測圓者，甚易而實是也。然則必無差乎。曰：有之。或在其末位。如半徑設十萬，則所差者，十萬分之一也。設千萬則所差者，千萬分之一也。曆家推演至微，纖以下率皆棄去，即謂之無差亦可。故論此法者，謂於推步術中為模範矣。測天者，所必須大於他測，故名大測，其解義六篇，謹列如左：

因明篇第一

總論〈凡三十二條〉

三角形者，一形而三邊。容有三角也。如左圖：甲乙丙

圖

為平面三角形，丁戊己為球面三角形。

三角形各以兩邊容一角，此兩邊為角形之兩腰，第三邊為角形之底。

如上：甲乙丙形，若以甲乙甲丙為兩腰，則容乙甲丙角，〈第二字為所指角〉乙丙其底也，餘二同，丁戊己亦同。

圖

各邊向一角者，名為對角。如上甲乙線向丙角者，名為對丙角，甲丙向乙名為對乙角。

角以何為尺度。一弧之心在交點，從心引出線為兩腰，而弧在兩腰之間，此弧即此角之尺度。

如上乙甲丙角，其尺度則

圖

丁丙或戊己皆是。其法甲為心其界或近如丁丙，或遠如戊己。

大測法：分圈三百六十為度，度析百分，〈中曆〉或六十分，〈遠西〉分或百析為秒，遞析為百至纖而止。〈中曆〉或析為六十秒，遞析為六十至十位而止。〈遠西〉

圈愈大，其度分亦愈大。兩弧之分數等，其圈等弧亦等。其圈不等，弧亦不等。其不等之兩弧，名相似弧。如上丁丙雖小於戊己，而同對甲角，即同為若干度分之弧也。

圈四分之一為九十度，有弧不足九十度，則其外

圖

至九十者，名餘弧，亦曰較弧，亦曰差弧。

如甲丁弧四十度，則丁至丙五十度為餘弧。

有弧大於象限，〈在九十以上〉名為過弧。

如甲乙弧大於甲丁，過九十度則丁乙為過弧。半圈界一百八十度，有弧小於半圈，則其外至百八十度者，名為半圈之較弧。

如甲乙弧小於甲乙丙半圈，則乙丙為其較弧。凡交角俱相等。

如甲與乙，丙與丁，皆交角相等。〈見幾何第一卷十五題〉如戊與己亦交角相等。

圖

角有二類：一直角，一斜角。凡直角其度皆九十。斜角有二類：一銳角，一鈍角。

鈍角者，其度大於象限。銳角者，其度小於象限。角之餘，與弧同理。〈或曰較角或曰差角〉

有兩角并在一線，上為同

方，角并之等於兩直角。如右圖甲與乙，丙與丁皆是同方，兩角等於兩直角，故彼角為此角之較。

如前乙角即甲之較，甲亦乙之較。

三角形或三邊等，或兩邊等，或三不等。

三角形兩腰等，其底線上兩角亦等。底上兩角等，則兩腰亦等。〈見幾何一卷第五〉

三邊形之三角等，則三邊亦等。

三角形之角有二類：一為直角三邊形，一為斜角三邊形。

直角三邊形，形內止有一直角。

直角三邊形之對直角邊名弦，兩腰名句股。

遠西句股，俱各垂線互用之。

斜角形其角皆斜。

斜角形有二類：一曰銳角，一曰鈍角。

鈍角形止有一鈍角。

銳角形三皆銳角。

三角形有二類：一曰平面上形，一曰球上形。

論平面上三角形〈凡十一條〉

平面上三角形有三種：一直線，一曲線，一雜線。大測所論皆直線也。

凡等角，兩三邊形其在等角旁之各兩腰線相與為比例必等。而對等角之邊為相似邊。〈幾何六卷第四題〉凡兩三角形其角兩邊之比例等，即兩形為等角形。而對各相似邊之角各等。〈幾何六卷第五題〉

此二題為大測之根本，不用開方，直以比例得之。法至簡，用至大也。

如左圖甲乙丙、丁戊己兩形，甲與丁，乙與戊，丙與己

圖

皆等角，其旁各兩腰之比例等者，十與六若五與三也。更之，則十與五若六與三也。反之，則六與十若三與五也。

凡兩形中，各對相當等角之邊皆相似之邊。如甲丙對乙，丁己對戊。而乙戊為等角者，即甲丙丁己為相似之邊也。

三角形之外角與相對之內兩角并等。〈幾何一卷之三十二〉如上甲乙丙形之乙甲兩角并，與甲丙丁角等。三角形之三角并，等於兩直角。

如上圖丁己庚直角與乙角等，其甲丙二角并與丁

圖

己戊角等。

平面上三角形止有一直角或一鈍角，其餘二必皆銳角。

三邊形內之第三角為前兩角之餘角，何者。為前兩角不滿二直角故。

直角旁之兩腰，其能與弦等。能等者謂兩腰，上兩方

圖

形并與弦上方形等也。〈幾何一卷之四七〉

此理之用為：先得二邊以求第三邊。如甲乙丙形先得甲乙、乙丙兩邊，而求第三邊法：以甲乙三自之為九，乙丙四自之為十六，并得二十五，與甲丙之實等。開方得甲丙弦五。若先得

圖

直角旁之一腰，如甲乙三，又得甲丙弦五，而求乙丙。則以甲丙自之得二十五，乙甲自之得九，相減之較十六，開方得乙丙四。直角形之兩等邊有數，則其弦無數，可推。若弦有數，則兩等邊無數，可推。如圖甲乙、甲丙各三自之

圖

各九，并之得十八。乙丙上實十八，開方得四，餘實二分之，或為八分之二或為九分之二。八分之二則大於真率，九分之二則小於真率。其乙丙真率無數可得更細分之，亦復不盡。直角三邊形之兩銳角，彼銳為此銳之餘。

圖

如乙丙二銳角，丙為餘角，為三角并等二直角。此二銳應等一直角，乙一角不足一直角，故丙角為乙角與直角相減之較。

平邊三角形在圈內，其各角之度數皆為其對弧度數之半。

如上甲乙丙形三邊等分

圖

圈為三，各弧俱一百二十度。本形之三角等二直角，并得一百八十。則對弧百二十度倍於對角六十度也。

平面兩三角形在圈內，同底兩形之頂相連成一四邊形。此形內有兩對角線，則此形相對之各兩邊，各

圖

相偕為兩直角，形并與兩對角線相偕為直角形等。如上甲乙丙、甲丁丙兩三角形在甲乙丁丙圈內，甲丙同底，其頂乙丁相連成甲乙丁丙四邊形。形內有甲丁、乙丙兩對角線，以此兩線相偕為直角形。次以乙丁、甲丙兩相對邊以甲

乙、丁丙兩相對邊各相偕為直角形。題言後兩形并與前一形等。

其用為：先得五線，以求第六線。〈多羅某之法〉

論球上三角形〈凡二十條〉

凡球上三角形，皆用大圈相交之角。

大測所用三角形之各弧，必小於大圈之半。

球大圈分球為兩平，分離於兩極，各九十度。

彼大圈過此大圈之極，此兩圈必相交為直角。兩大圈相交為直角，必彼大圈過此大圈之極。

圖

如甲丙大圈，其極乙丁有乙戊丁己大圈過兩極，其交處如戊，如己，各成四直角。

球上角之度，必從交引出為兩弧，各九十度而遇一象限之弧，兩遇處相去之度即此角之大。

如甲乙丙球上三角形，欲

圖

知甲角之大為幾何度分，不得用己庚弧為其尺度，必從甲引出至乙、至丙各為一象限之弧。而戊丁亦大圈之一象限弧也。丁戊弧與甲乙、甲丙相遇，即乙丙弧之大為甲角之大。球上角之兩邊引出之至相遇，即兩弧俱成半圈，而

圖

兩對角必等。

如甲乙丙三角形，從兩腰各引出之至丁，則甲丙丁、甲乙丁兩弧皆成半圈，而甲與丁兩角等。

球上三角形有相對彼三角形與同底，而對角等，即彼形之兩腰為此形兩腰之餘腰。

圖

初腰不足一百八十度，故後腰為半圈之餘。

其彼此之同方，兩角亦等。兩直角而彼角為此角之餘角。

如上甲乙丙三角形與相對之乙丙丁同乙丙底，而甲乙兩角等，即乙丁為甲乙之餘弧，丙丁為甲丙之

圖

餘弧，丁乙丙角為甲乙丙之餘角。

為甲乙丙不足兩直角故。

乙丙丁角為甲丙乙之餘角。

球上直角三邊形，或有一直角，或二直角，或三俱直角。

圖

球上三邊形有一直角者，或有兩銳角，或有兩鈍角，或一鈍一銳角。

如上甲乙丙形，甲為直角，其乙丙為兩銳角。乙丁丙形，丁為直角，其乙丙為兩鈍角。若丁戊己形則其戊為銳角，其己為鈍角。甲戊己形則其戊為鈍角；其己

為銳角。

球上直角三邊形有兩銳角，則其對直角之直角三邊形有兩鈍角。

如前圖，甲乙丙之甲直角與乙丁丙之丁直角相對者是。

球上直角三邊形有兩銳角，其三弧皆小於象限。如前圖甲乙丙是。

球上直角三邊形有兩鈍角，其兩腰皆大於象限，而第三弧必小於象限。

圖

如前圖乙丁丙是。

球上直角三邊形有一銳一鈍角，其銳角之相對三角形亦有一直角、兩銳角，如上圖丁乙丙三邊形，丙為直角，丁為銳角，乙為鈍角，即丁銳角之相對乙丙戊形，其丙為直角。

與乙丙丁并等兩直角，

圖

其乙與戊為兩銳角。球上三邊形有多直角，其對直角之各弧皆為一象限。

如甲為直角，乙丙弧對之為一象限。餘二同。

此圖為三直角，題言多者，以該二直角也。

球上三邊形有二直角，若

圖

第三為銳角，即對角之弧小於象限。若鈍角，即對角之弧大於象限。

如上丁戊己形丁戊皆直角，己為銳角，即對己之丁戊弧小於象限。甲乙丙形甲丙皆直角，乙為鈍角，則對角之甲丙弧大於象限。球上斜三角形有三類：或

圖

俱銳角，或俱鈍角，或雜銳鈍角。

球上斜三角形俱銳角者，其相對三角形有兩鈍角，一銳角。

如上甲乙丙形三皆銳角，即相對丁乙丙形其乙丙為兩鈍角，丁為銳角。球上三邊形俱鈍角者，其

圖

相對三角形有兩銳角，一鈍角。

如上甲乙丙形三皆鈍角，即相對乙丙丁形其乙丙為兩銳角，丁為鈍角。球上三角形之三角并，大於兩直角。

有二直角即大，何況一直一鈍以上。

割圓篇第二

總論〈凡二十六條〉

三角形有六率：三角、三邊是也。測三角形者，於六率中先得其三，而測其餘三也。

測三角形者，止測其線，非測其容。測或作推，或作解，下文通用。

測三角形必藉同比例法。〈亦曰三率法〉同比例者，四率同。比例先有三而求第四也。故三角形之六率，其比例欲定，其分數欲明。

三角形六率之比例，其中用弧者，最為難定。何者圓線與直線之比例，從古至今未有其法。故

三角形何以有弧。曰：球上三角形其三邊皆弧也，其三角皆弧角也。即平面三角形，其可以直線測者，三邊耳。欲測其角，非弧不得。而弧為圓，線無數可測。故測弧者，必求其與弧相當之直線。

與弧相當之直線者，割圓界而求其直線之分，與弧分相當者是也。

割圓之直線有四：一曰弦，一名通弦，二曰半弦，皆在

圖

圓界內。三曰切線，在圓界外。四曰割線，在圓界之內外。

弦者，直線在圈內，從此點至彼點分圈為兩分。凡弦皆，對兩弧一上一下。如上圖甲乙為弦，分甲丙乙丁圈為兩分，甲丁乙為大分，甲丙乙為小分。則甲

圖

乙弦上當甲丙乙小弧，下當甲丁乙大弧。

正弧者，從弧作垂線至全徑上。

如上圖從丁作甲乙之垂線，若從丁直至戊則為通弦，故丁丙為半弦。

半弦又有二種：有正弦，有倒弦。

圖

正半弦是直線在半圈內，從弧作垂線至徑上，分半圈為不等之兩分，一大弧，一小弧。此半弦者，當小弧，亦當大弧。

當者，為小弧之半弦，亦為大弧之半弦。

如上圖從己弧下至甲乙全徑，上作己庚垂線，分甲

丙乙半圈為不等兩分：乙己弧為小分，己丙甲弧為大分。則己庚為己乙小弧之半弦，又為己丙甲大弧之半弦。

正半弦從一點作兩半弦。第一為前半弦，第二為後半弦。又為餘弧弦，又為較弦，又為差弦。

如前圖先論，己庚即為前半弦，其己戊即為後半弦。又為餘為較者，乙己丙弧九十度。乙己不足九十度，則己丙為餘弧，亦為較弧。故己戊為餘弦較弦也。前後兩半弦，其能等於半徑。

圖

如上圖庚己為前弦當乙己弧，己戊為後弦當己丙餘弧。戊己弦等於丁庚。〈幾何一卷三十四〉則丁己半徑上方與庚己己戊上兩方并等，故云兩半弦之能等於半徑。

論曰：其兩半弦可互為垂線，則己庚丁為直角，而對

圖

直角之弦己丁上方與句股上兩方并等也。〈幾何一卷四十七〉

系直角三邊形內有半徑，亦有一半弦，即可求後半弦。

法曰：半徑上方形實減半弦上方形實，其較即後半弦上方形之實。開方得後

圖

半弦。

如丙乙半徑十，甲乙前半弦六，而有丙甲乙直角，今求丙甲後半弦。其法：丙乙自之為百，甲乙自之為三十六，相減餘六十四，即甲丙方之實平方法，開之得八。

兩正弦之較與紀限左右

圖

距等，弧之半弦等。〈六十度為紀限〉解曰：甲乙丙象限內有丙己小弧，丙己戊丁大弧，丙戊弧為六十度，而戊己戊丁兩弧等其兩半弦：一為己辛，一為丁庚。兩半弦之較為丁癸。題言：丁癸較與己壬半弦壬丁半弦各等。論曰：試作一己子線，則丁

己子成三邊等角形，何也。此形中有子丁壬、壬己子兩三角形，此兩角形等，又何也。子戊同腰而丁壬、壬己兩腰等，則丁壬、己壬兩直角亦等，而丁子、子己兩底亦等，子丁己、子己丁兩角亦等。又丙戊弧既六十度，其餘戊乙弧必三十度，其乙甲戊角為三十度角。甲乙庚丁既平行，甲戊線截二線於子，即內外角等。而丁子戊角亦三十度，戊子己角亦三十度，是丁子己為六十度角也。丁與己與全子三角既等，兩直角〈一卷三十二〉則共為一百八十度。於中減全子角六十度，

圖

則丁、己兩角百二十度。而此兩角既等，即各得六十度，則此形之三角三邊俱等。夫丁己、巳子兩線等，則己癸垂線所分之丁癸、子癸兩直角亦等，而己癸同腰則丁癸與癸子必等。丁癸為丁子之半，丁壬為丁己之半，全線等則所分必

等。是丁癸與丁壬等，與壬己亦等。

系題兩弧各有其正半弦，兩半弦至弧之點在六十度之左右，而距度點等其前兩正半弦之較，即後兩半弦。

如前圖，丙己戊弧六十度，丙己弧五十度，己戊弧十度，丙己之正半弦己辛，簡表先得七千六百六十。丙丁弧七十度，丁戊弧亦十度。丙丁弧之正半弦為丁庚，先得九千三百九十六，今求丁戊弧之半弦。其法：以己辛、丁庚兩半弦相減得丁癸，較一千七百三十

圖

六，即丁戌弧十度之丁壬半弦。〈此設數半徑一萬〉倒弦者，餘弦與全數之較，本名為矢。

如上圖，甲丙徑以乙丁正半弦，分徑為二：分一為甲丁，一為丁丙。其丁丙即乙丁，正半弦之倒弦也。矢有二，有大有小。

如前圖：甲丁為大矢，與甲乙弧相當。丁丙為小矢，與乙丙弧相當。

矢加於餘半弦即半徑。

如前圖，乙己為乙丁正弦之餘弦以加丁丙，即半徑為乙己，與丁戊等故。

切線者，弧之外有線，為徑一端之垂線，半徑為底線而交於截弧之弦線。

弦線者，句股之弦，非弧矢之弦也。

如上圖，戊丙弧乙丙為半徑，從丙出垂線至丁，又從

圖

乙出線截戊丙弧於戊，而與丁丙線交於丁。即丁丙為切線，而與戊丙弧相當也。

割線者，從心過弧之一端而交於切線。

如上圖，乙戊丁線為割線，與戊丙弧相當也。故戊丙弧在三角形內。其句為半

圖

徑，其股為切線，其弦為割線，皆與戊丙弧相當之直線。

又戊丙一弧，其相當之直線有四：一丁丙切線，一乙丁割線，一戊己正半弦，一己丙矢。

定割圓之數當作割圓線，以立成表。

圖

一名三角形表，一名度數表，今名大測表。

大測表不過一象限。

古用弦則須半周。

如上圖用弦，則乙丙弧必得乙丙弦，乃至乙庚弧必得乙庚弦。故百八十度之弧，必得百八十度之弦也。因此術既繁且難，後從簡

圖

便。則以半弦當之為各半弦，可當上下兩弧，故不過一象限而足也。

如上圖辛壬半弦當乙壬小弧，亦當壬己甲大弧。庚己半弦當乙己小弧，亦當己甲大弧。且一象限之外無切線，而亦無割線，故用半圈之全不如象限之半

也。

大測表不止有各弧之各度數，亦有其各分數。

欲極詳，亦可析分為十，為六也，但少用耳。

作大測表，先定半徑為若干，分愈多愈細。

凡割圓四線，大抵皆不盡之數。無論全數不盡，即以畸零法命其分，亦不能盡。故大測表不得謂其不差。但所差甚少，不至半徑全數中之一耳。

假如半徑為千萬，表中諸線中不至差千萬分之一分。自一以內或半，或大，或少，不能無差而微乎微矣。故作表中半徑必用極大之數，最少者，一萬以上或至百萬千萬，或至萬萬可也。

七位即千萬，八位即萬萬。

定半徑之全數，即可求一象限內各弧各度分之半弦。以此半弦可求得其切線、割線。

凡半徑用數少即差多。

如用千則差千之一，用萬則差萬之一。

用極大之數，即難推。

如用萬萬以上數，極繁矣。

今定為幾何，則可曰：凡半徑之數，其中之小分與半弧度分之小分大約相等，而上之即是中數。

假如欲測有分之弧，問半徑應定幾何。分曰一象限九十度，每度六十分，則一象限五千四百分。又古率圓與徑之比例大略為二十二與七，則象限弧與半徑之比例若十一與七。

如左圖，周二十二四分之，則一象限為五又半。徑七二分之，則三又半。此二比例有畸零之數，故各倍之為十一與七也。

圖

今用同比例法：〈即三率法〉以象限十一為第一數，以半徑七為第二數，以象限五千四百分為第三數，而求得第四數為三千四百三十六。故半徑分為三千四百三十六，則半徑之各分略相等於一象限之各分，五千四百也。故用大數最少，

圖

一萬為與五千相近。用此乃可推有分之弧也。欲推弧分之秒，亦用此法。其象限為三十二萬四千秒。依三率法，十一與七若三十二萬四千與二十○萬六千一百八十二。其半徑細分，與象限之分秒相等，而上之必用百萬。

表原篇第三

表原者，作表之原本也。測圓無法，必以直線。直線與圓相準不差，又極易見者，獨有六邊一率而已。古云：徑一圍三是也，然此六弧之弦，非六弧之本數。自此以外，雖分至百千萬億，皆弦耳。故測弧必以弦，弦愈細數愈密，其法仍由六邊之一準率始。自此又推得五率，此六率皆相準不差。但後五率其理難見，推求乃得是名。為六宗率其法：先定半徑為若干數，〈今用一千萬〉則作圈內六種多邊形。〈俱見幾何第四卷〉推此六形各等邊之數得此六數，即為六通弦，各當其本弧。因以為作表原本。

宗率一　圈內六邊等切形求邊數

幾何原本四卷十五題言六邊等形在圈內者，其各邊俱與半徑等。半徑既定為千萬，即邊亦千萬。凡邊皆弦也。圈分三百六十度，此各弦相當之弧各六十度，各與千萬相當矣。相當者千萬，即六十度弧之弦也。

如左，乙丙圈內有六邊等形，其半徑甲乙既定為千

圖

萬，即乙丙弦為六邊形之一邊，亦千萬。而相當之乙丙弧六十度。

宗率二　內切圈直角方形求邊數

幾何四卷第六言：一線在圈內對一象限為方形邊，其上方形等於兩半徑上方形并，〈幾何一卷四七〉此句股法

圖

也。故用兩半徑之實，并而開方而得本形邊。

如上乙丙圈內方形，甲乙為半徑。句股法：甲乙、甲丙上兩方并，與乙丙上方等。即以之開方而得乙丙邊，今兩半徑上方形并為二○、○○○○、○○○○、○○○○○。

此數為二百萬萬萬。○旁作點者，萬也。末○為單數。

以開方得其邊一千四百一十四萬二千一百九十六，此為乙丙弧之弦也。乙丙弧為四分圈之一九十度，則乙丙弧數為乙丙九十度弦相當之數。

宗率三　圈內三邊等切形，求邊數

幾何十三卷十二題言三邊等形內切圈，其各邊上方形三倍於半徑上方形。

丁乙方與丙丁、丙乙兩方等，而四倍於丙丁形。則

圖

丙乙為丁乙四之三，而三倍於丙丁。

如上圖，乙丙圈甲乙為半徑，乙丙上方三倍大於甲乙上方，即三因半徑上方為三○、○○○○、○○○○、○○○○○。

此數為三百萬萬萬有奇。

圖

開方得一千七百三十二萬○五○八弱。

宗率四　圈內十邊等切形求邊數

幾何十三卷九題言：以比例分半徑為自分，連比例線，其大分則十邊等形之一邊。

如上圖，甲乙半徑與戊己

圖

等，用自分連比例法。

幾何六卷三十稱理分中末線

分為大小分。其大分為丁己，與十邊形之乙丙邊等。蓋戊己線與己癸等，己癸線既兩平分於庚，則戊己己庚線上兩方并，與庚戊上方等。〈幾何一卷四十七〉今以庚

戊上方開得庚戊線為一千一百一十八萬○四百三十○。次減去己庚五百萬餘六百一十八萬○四百三十○，即丁己線，亦即乙丙弦。而乙丙弦為全圈十分之一，得三十六度，是乙丙為三十六度弧之弦。

宗率五　圈內五邊等切形求邊數

幾何十三卷第十題言：圈內五邊等切形，其一邊上方形與六邊等形、十邊等形之各一邊上方形并等也。

如左圈內，甲乙戊為五邊等形，甲丙己為六邊等形，

圖

甲丁乙為十邊等形。題言：甲丁、甲丙上兩方并，與甲乙上方等者，前言甲丙半徑為千萬，甲丁線為六百一十八萬○四百三十○，各自之，并得數開方，得甲乙線為一千一百七十五萬五千七百○四弱。其弧五分全圈得七十二，即甲

乙為七十二度弧之弦。

宗率六　圈內十五邊等切形，求邊數。

幾何四卷十六題言，圈內從一點作一三邊等形，又作一五邊等形。同以此點為其一角，從此角求兩形相近之第一差弧，即十五邊形之一邊。

如左圖，從甲點作甲乙丙三邊形，甲丁戊五邊形，求得兩形相近之第一差為乙戊，即十五邊等形之一邊，乃丁乙全差之半。其數先有三邊形之乙丙，一百二十度之弦為一千七百三十二萬○五百○八弱。

圖

又有五邊形之戊子，七十二度之弦為一千一百七十五萬五千七百○四弱。則乙庚六十度之正弦為乙丙之半，得八百六十六萬○二百五十四弱。戊辛三十六度之正弦為戊子之半，得五百八十七萬七千八百五十二。兩相減餘

為乙癸，得二百七十八萬二千四百○二。夫乙己半徑上方減壬乙六十度之正弦，乙庚上方餘己庚。依開方法為五百萬。己子半徑上方，與己辛三十六度之正弦辛子上兩方并等。依前法亦得己辛八百○九萬○一百七十○。己辛、己庚兩相減餘為庚辛，得三百○九萬○一百七十○，庚辛即戊癸也。既得乙癸二百七十八萬二千四百○二，今得戊癸三百○九萬○一百七十○，用句股術求得乙戊弦為四百一十五萬八千二百三十四，為十五邊等形之一邊。其乙戊弧為全圈十五分之一，得二十四，則乙戊為二十四度弧之相當弦。

六題總表

邊　　　弧度　　　　　　弦數

三　　　一百二十　　　　一七三二○五○八四　　　九十　　　　　　一四一四二一九六五　　　七十二　　　　　一一七五五七○四六　　　六十

十　　　三十六　　　　　六一八○三四○十五　　二十四　　　　　四一五八二三四既得全數，今推半弧、〈即半角〉半弦。

弧度　　半弦

六十　　八六六○二五四

四十五　七○七一○九八

三十六　五八七七八五二

三十　　五○○○○○○

十八　　三○九○一七○

十二　　二○七九一一七〈以上原本卷一〉