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卷114

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百十四卷目錄

　算法部彙考六

　　算法統宗二〈算義總二〉

曆法典第一百十四卷

算法部彙考六

《算法統宗二》算義總二乘法〈留頭乘〉

按：因與乘一也。單位者，謂之因。位數多者，謂之乘。特以此而異其名耳。

原有破頭乘，掉尾乘，隔位乘，總不如留頭乘之妙，故皆不錄。

歌曰

下乘之法此為真，起手先將得二因。三四五來乘遍了，卻將本位破其身。

用留頭乘法，若依盤式小九數位次先後不一，難以挨次。今將暗馬數以別先後，庶不亂矣。〈暗馬式附前，用字凡例中。〉假如今有布四百二十五疋，每疋價銀二錢五分。問共該銀若干。

答曰：一百零六兩二錢五分。

法曰：置布為實。以每疋價銀二錢五分為法，乘之合問。定位法只認疋下一位，定錢依次逆數，陞上合得也，此所謂因乘俱向下位推。

圖缺還原〈用歸除法詳後〉

二一添作五〈無除〉　起一下還二　四五除二十逢四進二十　二五除一十　二一添作五　五五除二十五

假如今有豆二十八石六斗，每斗價銀三分四釐五毫。問共該銀若干。

答曰：九兩八錢六分七釐。

法曰：置豆為實，以每斗三分四釐五毫為法，乘之合問，定位同前。

圖缺還原〈用歸除法詳後〉

逢六進二十　二四如除八　二五除一十　三二六十二　逢六進二十　四八除三十二　五八除四十　三二六十二　四六除二十四　五六除三十

假如今有銀三十五兩八錢，每銀一兩糴米二石四斗六升八合。問該米若干。

答曰：八十八石三斗五升四合四勺。

法曰：置總銀為實，以每兩糴米數為法，乘之合問。定位同前。

圖缺還原〈用歸除法詳後〉

逢六進三十　三四除一十二　三六除一十八三八除二十四　二一添作五　四五除二十　五六除三十　五八除四十　二一添作五　逢六進三十　四八除三十二　六八除四十八　八八除六十四

假如今有米三百四十五石，每石價銀四錢，外牙用三釐。問該銀若干。

答曰：一百三十九兩零三分五釐。

法曰：置總米為實，以每石價併牙用共四錢零三釐為法，乘之合問。定位同前。

圖缺還原〈用歸除法詳後〉

四一二十二　逢四進一十　三三如除九　四一二十二　逢八進二十　三四除一十二　四二添作五　三五除一十五

假如今有田二千三百四十五畝，每畝科糧一斗八升七合。問該糧米若干。

答曰：四百三十八石五斗一升五合。

法曰：置總田為實，以每畝科米一斗八升七合為法，乘之合問。

圖缺還原〈用歸除法詳後〉

逢二進二十　二八除一十六　二七除一十四逢三進三十　三八除二十四　三七除二十一逢四進四十　四八除三十二　四七除二十八逢五進五十　五八除四十　　五七除三十五假如今有直田長三十六步三分，闊七步四分。問該田積若干。

答曰：二百六十八步六分二釐。

法曰：置長為實，以闊七步四分為法，乘之合問。定位法只認步下一位是法首步，數逆上合得也。

圖缺還原〈用歸除法詳後〉

七二下加六　逢七進一十　三四除一十二　七四五十五　逢七進一十　四六除二十四　七二下加六　逢七進一十　三四除一十二

假如今有田長七十五步，闊三十二步。問該積步若干。

答曰：二千四百步。

法曰：置長為實，以闊為法，乘之合問。定位法只認原實步下一位，定法首位十逆陞合得。

圖缺

假如今有方田長闊各一百二十六步。問該積步若干。

答曰：一萬五千八百七十六步。

法曰：置方面一百二十六步為實，亦置一百二十六步為法，即自乘之合問。

圖缺還原〈用歸除法詳後〉

逢一進一十　一二如除二　　一六如除六　　逢二進二十　　　二二如除四　　二六除一十二　逢六進六　　　　　二六除一十二　六六除三十六

歸除

凡二至九位數多者，用此。置物為實，以價或分者為法，先將法首對實首，呼九歸歌，或進或倍後將法次位對所歸數，呼九九數除之，用乘法還原。

歌曰

惟有歸除法更奇，〈算學中惟歸除最妙〉將身歸了次除之〈先將本位呼歸法，歸之其次不拘幾位俱呼小九數除之。〉有歸若是無除數〈若本位有子可歸，次位無子可除也。〉起一還將原數施〈如一歸本位起，一下位還一，如二歸本位起，一下位還二，餘倣此。〉或遇本歸歸不得{{Annotation|如一歸只一子，二歸只二子，因下位無子，可除，故不能歸也。餘倣此。}}撞歸之法莫教遲〈如一歸見一，無除加八，撞湊作九下位加一，如撞歸訖，除數不足，照前用起一還原法。〉若人識得其中意〈如學者，曉得歸除中間之理，深奧也。〉算學雖深可盡知〈云算者，用心習學，可以盡識者矣。〉

撞歸法

〈一歸〉見一〈原實〉無除作九〈得數〉一〈餘數後倣此〉〈二歸〉見二無除作九二　〈三歸〉見三無除作九三〈四歸〉見四無除作九四　〈五歸〉見五無除作九五〈六歸〉見六無除作九六　〈七歸〉見七無除作九七〈八歸〉見八無除作九八　〈九歸〉見九無除作九九已有歸而無除用起一還原法〈即是起一還將原數施也〉〈一歸〉起一〈得數〉下還一〈原實〉○〈本位起一下位還一，若二歸起一則下位還二，餘倣此。〉〈二歸〉起一下還二　　〈三歸〉起一下還三

〈四歸〉起一下還四　　〈五歸〉起一下還五

〈六歸〉起一下還六　　〈七歸〉起一下還七

〈八歸〉起一下還八　　〈九歸〉起一下還九

撞歸者，有歸而無除之謂也，予以法實盈虧進退之理推之，盈則有歸，照法首之數進於上位，成十虧則無除，起一退於下位，照法首之數還原。先哲有云：見一無除作九，一之類，此正謂有歸無除之祕法，知此可與論制算纂法之深奧矣。

假如今有銀二百四十三兩，糴米每斗價銀五分四釐。問共該米若干。

答曰：四百五十石。

法曰：置總銀為實，以每斗價五分四釐為法，歸除之合問。定位法只認實上原首位起往後順數至分。遇法首位是每斗三分則止，前一位得令是斗，逆數陞上合得後倣此。

圖缺還原〈用乘法〉

四五得二十　五五二十五　四四一十六　四五得二十

假如今有銀二百六十五兩三錢二分，作十二人分之。問每人該銀若干。

答曰：二十二兩一錢一分。

法曰：置銀為實以十二人為法，歸除之合問。定位與前歸法同。

圖缺還原〈用乘法〉

一二如二　一一如一　一二如二　一一如一二二如四　一二如二　二二如四　一二如二假如今有米一百二十九石九斗六升，作一十九人分之。問每人該米若干。

答曰：六石八斗四升。

法曰：置米為實，以一十九人為法，除之合問。

圖缺還原〈用乘法〉

四九三十六　一四如四　八九七十二　一八如八　六九五十四　一六如六

假如今有銀二十六兩六錢，買豬二十八隻。問每隻該銀若干。

答曰：九錢五分。

法曰：置銀為實，以豬二十八隻為法。除之合問。

圖缺還原〈用乘法〉

五八得四十　二五得一十　八九七十二　二九一十八

假如今有金二兩八錢三分五釐，作四百零五人分之。問每人該金若干。

答曰：七釐。

法曰：置金為實，以人數為法，除之合問。定位法多實少，先從原實首位起往前逐位逆，數陞上至呼遇法首位百則止，向前一位得令，是兩。降下合得。

圖缺還原〈用乘法〉

五七三十五　四七二十八

假如今有米二十二石五斗二升，作五千六百三十人分。問每人該米若干。

答曰：四合。

法曰：置米為實，以人數為法，除之合問。定位法多實少同前。

圖缺還原〈用乘法〉

四六二十四　三四一十二　四五得二十

假如今有銀一千零九十七兩二錢五分，作五百七十人分之。問每人該銀若干。

答曰：一兩九錢二分五釐。

法曰：置銀為實，以人數為法，除之合問，定位法先數原實千順下至法首百前，位定兩合得。

圖缺還原〈用乘法〉

五七三十五　五五二十五　二七一十四　二五得一十　七九六十三　五九四十五　一七如七

一五如五

假如今有銀四錢八分，每銀七分五釐換赤金一分。問該金若干。

答曰：六分四釐。

法曰：置總銀為實，以七分五釐為法，除之合問。

圖缺還原〈用乘法〉

四五得二十　四七二十八　五六得三十　六七四十二

假如今有錢五千六百四十文，買梨一萬六千九百二十枚。問每錢一文買梨若干。

答曰：三枚。

法曰：置梨為實，以錢數為法除之合問。

圖缺還原〈用乘法〉

三六一十八　三四一十二　三五一十五

假如今有銀五萬五千三百八十五兩，作一千零七人分之。問每人該銀若干。

答曰：五十五兩。

法曰：置銀為實，以人數為法，除之合問。

圖缺還原〈隔二位乘〉

五七三十五　一五如五　五七三十五　一五如

五

加法

凡乘法首位有一數者用此，置所有物為實，以所求價為法，加之。然加法不用首位一數，只以次位餘數加之，言十就身，加十言如次位加，如亦從末位算起用減法還原。

歌曰

加法仍從下位先，如因位數或多焉。十歸本位零居次，一外添加法更元。

假如今有珍珠二百六十八顆，每顆價銀一兩一錢。問該銀若干。

答曰：二百九十四兩八錢。

法曰：置珠為實，以每顆價除價首一兩，只以次價一錢為法從末位加起，次第而上。定位只認顆本位，定兩十顆上，定十兩百顆，上定百兩。所謂加減只須認本位也餘倣此。

圖缺還原〈用減法即定身除也〉

一二減去二〈九去二存七〉　一六減去六〈除六下還四〉　一八減去八〈恰盡〉

假如今有絹九丈八尺，每尺價一錢三分五釐。問共該銀若干。

答曰：一十三兩二錢三分。

法曰：置絹為實，以每尺除價首一錢只以三分五釐為法，加之，定位只認尺本位，定錢丈上定兩，十丈定十兩，合得。

圖缺

假如今有羅二百四十六疋，每疋價銀一兩二錢七分五釐。問該銀若干。

答曰：三百一十三兩六錢五分。

法曰：置羅為實，以每疋除價首一兩只以二錢七分五釐為法，加之。定位只認疋位上定兩依次逆陞合得。

六七加四十二　五六加三十　二六加一十二四七加二十八　四五加二十　二四如加八　二七加一十四　二五加一十　二二如加四

假如今有米四萬六千七百五十一石，每石加耗七升。問共該米若干。

答曰：正耗共該五萬零零二十三石五斗七升。法曰：置正米為實，以耗米七升為法，隔位加之合問。一七加七〈先從石上起，呼於隔位升上。〉　五七加三十五〈石上加三斗下位加五〉　七七加四十九〈十位加四，下位加九，九退一，成一十。〉　六七加四十二〈百位加四，四下五，除一下位加二，二起八成一十。〉　四七加二十八〈千位加二下位加八〉

按因乘加三法，其名雖殊而理則一，但加法須記實位，不動本身學者宜當詳審不致差誤也。

減法

凡歸除遇法首位有一數者用此，所謂定身除者，先定本身之位，而後減除也。置所有物為實，以所求價為法，與身數相呼，九九之數，言十就身，言如隔位次第如法減而除之。〈先從實首位起，用加法還原〉定位法因實位本身減去，而無逢進比歸除而降一位。今將法首一數除而不用，亦可以抵逢進陞位也。

歌曰

減法須知先定身，得其身數始為真。法中有一何曾用，身外除零妙入神。

假如今有銀二百九十四兩八錢，買絹每疋價銀一兩一錢。問該絹若干。

答曰：二百六十八疋。

法曰：置總銀為實，以每疋除價首一兩不用，只以次位一錢為法，定身減而除之合問。定位此是求總之法，數原實順下至錢則止，前一位是疋也，逆數陞上合得。

圖缺

假如今有米一千零三十八石，作一百七十三人分之。問每人該米若干。

答曰：六石。

法曰：置米為實，以人數除首位百不用，只以七十三人為法，定身除之合問。定位此是求零之法，先數原實起順下至遇法首十數則止，前一位得令，是石也。

圖缺

假如今有金八十九兩三錢八分，令金戶一百零九人辦納。問每人各該若干。

答曰：八錢二分。

法曰：置金為實，以金戶除百不用只以九人為法，隔位定身除之合問。

圖缺求一乘除法

按古有之，大位因考其法，用倍折之，繁難不如歸除之簡易，故今於此而廢之，使學者專心於乘除加減之法，而無他岐之惑焉。

商除

商除者，商量而除之也。如定商太過，則總數不足，而無除如定商不及，則總數有餘務要酌量彀除方，可然此一術亦兼歸除，歸除既通，不必學此，但開方之法必用商除，演此而為梯階，其法不可廢也。

歌曰

數中有術。號商除，商總分排兩位推，惟有開方，須用此續商，不盡命其餘。

假如今有軍士六百名，分糧三百九十四石二斗。問每名該若干。

答曰：六斗五升七合。

法曰：置糧米於盤中為實，以軍士六百名於右為法，商除之初商六十於左位，就以左右相呼，六六除實三百六十石，餘實三十四石二斗次商五升於左位。六斗之次就以次商五升對，右六相呼，五六除實三十石，餘實四石二斗，再商七合於左位五升之下，就以左七對右六相呼，六七除實四斗二升，恰盡。今列布算式於後。

商除式樣

學者但看初商，即看初除，又看次商，又看次除，復看再商。復看再除，挨次位數則不亂矣。

圖缺

假如今有芝麻六十七石，榨得油三千零一十五斤。問每石該油若干。

答曰：四十五斤。

法曰：置油數於盤中為實，以麻六十七石於右為商，除法初商四十斤於左，就以左右相呼，四六除實二千四百，又呼四七除二百八十斤餘實三百三十五斤，次商五斤於初商四十之下位，就以五斤對右六相呼，五六除，三百又呼五七，除三十五斤，恰盡合得。

約分法

約以分子通以分母也，法曰可半者，半之不可，半者以少減多，更相減損。求其有等，以等約之，若數如四分兩之一者二。錢五分也，此為有盡，若數如三分兩之一者三錢三分三釐三毫有零也。此所謂不盡必須約分之法。

解曰：約分者，謂用除法，多有畸零數之不盡，帶有幾千百分者以約去其繁，而就其簡也，或有不可約者。

法曰：數多為母，數少為子，子母之數兩列互相減損，至同就以此數為法，各以法除子母，原數卻無畸零。所謂齊不齊而致其齊也，如人分銀以至數之不能盡者，亦有物之不可分者，不能呼數，必以法而約之。

歌曰

數有參差不可齊，須憑約法命分之，法為分母實為子，不與差分一例推。

又歌

約分須分子母名，更相減損至同成。就把其同為法則，除來各數自無零。

假如今有物九十八，除了四十二。問約得若干。答曰：七分之三。法曰：數多為母，數少為子，置母九十八內減去二箇四十二，餘一十四，另置子四十二減去二箇一十四亦餘一十四，謂之子母相同，就以十四為法，除母九十八，是七箇一十四，另以十四為法，除子四十二是三箇一十四，故曰七分中除三。餘倣此。

假如今有二十一分之一十四。問約得若干。

答曰：三分之二。

法曰：置母二十一，減去子一十四，餘七另置子一十四減去七，亦餘七。就以七為法，除母二十一，得三，又以法七，除子一十四，得二合問。

假如今有絲二百五十二斤，賣過一百四十四斤。問約得若干。

答曰：七分斤之四。

法曰：置母二百五十二，減去子一百四十四，餘母一百零八，反將原子一百四十四減去餘母一百零八餘子三十六，又將餘母一百零八減去餘子二箇三十六餘母亦三十六，為之更相減損，就以母子同數。為法以除原母原子各得分數。

假如今有鴨七十二隻，生子六十三箇。問約得若干。答曰：八分箇之七。〈即是八隻鴨生七箇子也。〉

法曰：列子母數更相減損，置母七十二減去子六十三，餘母九。反將子六十三內減去六箇餘母九子亦餘九，就以九為法除原母七十二得八箇九，又以法九除原子六十三得七箇九，故命之曰八分之七也。

乘分

假如今有一百九十人，支銀一兩十九分兩之一。問該銀若干。

答曰：二百兩。

法曰：置銀一兩，以分母十九通之，加分子一，共得二十，又以人一百九十乘得三千八百，為實，卻以支銀一兩以分母十九通之，得十九兩為法，除之合問。

解題曰十九分兩之一，每人即一兩零五分二釐六毫有零。

課分。

假如今有布二疋九分疋之五，用過一疋六分疋之一。問尚餘若干。

答曰：餘一疋又十八分疋之七。

法曰：置用過布一疋以分母六通之，加分子一共得七，又以原布分母九通之，得六十三。另置原布二疋以分母九通之，加分子五，共得二十三疋。又以用過布分母六通之，得一百三十八，內減去前六十三餘七十五為實，以兩分母九六相乘得五十四為法，除之得一疋餘實二十一，法實皆三約之合問。

通分

通分者，通以分母約以分子也。夫數之有盡者，不必通也，若畸零之不盡者，使不通之則何以置位而算之乎。此通分之法所由立也，假如四分兩之一者則二錢五分也，此所謂數之有盡者也，若三分兩之一者三錢三分三釐以至於三三之無窮，此所謂數之不盡者也，必須以分通之，乃可算也。不然則畸零之不盡終無可置位矣。

假如今有布四十五疋，每疋價三分兩之二。問共該銀若干。

答曰：三十兩。

法曰：置布四十五疋，以分之二，因之得九十兩為實卻以分母三為法，歸之合問。

解題曰：三分兩之二即每疋六錢六分六釐而不能盡，故用約分之法也。

假如今有米三分石之二，每斗價銀七分二釐。問共該銀若干。

答曰：四錢八分。

法曰：置銀七分二釐，以每石十斗因之，得七錢二分。又以分子之二因之，得一兩四錢四分為實，卻以分母三為法歸之合問。〈按此法即異乘同除也。〉

假如今有商夥論本分物，俱得八分之七，至銀百兩。問該若干。

答曰：八十七兩五錢。

法曰：置銀一百兩以子之七因之，如故仍以分母八為法歸之合得。

假如今有羅六十六疋九分疋之六，每疋價二兩五錢。問該銀若干。

答曰：一百六十六兩六錢三分錢之二。

法曰：置六十六疋以分母九通之，得五百九十四，加分子六共六百，以二兩五錢因之，得一千五百，以分母九為法歸之，得一百六十六兩六錢三分錢之二。假如今有米六分石之二，每斗價四分錢之三。問該銀若干。

答曰：二錢五分。

法曰：置分子石之二錢之三因之，得六兩為實，以分母六分四分相乘得二十四兩，為法除之得二錢五分合問。〈按此法即異乘同除也。〉假如今有緞四十五疋，每疋價四兩三分兩之二。問該銀若干。

答曰：二百一十兩。

法曰：置每疋價四兩，以分母三兩因之，得一十二兩。加入分子二兩，共得一十四兩，以乘總緞四十五，得六百三十兩，為實，以分母三兩為法，除之合問。假如今有豆九石六斗六分斗之四，每石價銀二錢三分錢之一。問該銀若干。

答曰：二兩二錢五分九分錢之五。

法曰：先置每石價二錢以分母三因之，得六，加納子之一共得七錢，另置豆九石六斗以分母六因之，得五七六加納子之四，共得五十八以七錢因之，得四十兩零六錢為實，卻以分母六分三分相因，得一十八為法，除之不盡之數，一法實皆折半而命之。

差分〈衰分意同〉

差分之法，併來分須要分數一分成，將此一分為之實以乘各數自均平。

假如今有東西二鄰共織絲絹，東鄰四斤六兩，西鄰三斤二兩，共絲七斤八兩，織絹二十一丈八尺。問各該若干。

答曰：東鄰一十二丈七尺一寸六分六釐，西鄰九丈零八寸三分三釐。

法曰：置總絹二十一丈八尺為實，以共絲七斤八兩。先將八兩變化為五，就以七斤五為法，除之得二丈九尺，零六分六釐六毫六絲為法，另以東西各絲斤數不動，將兩減六，東六兩變作三七五，西二兩變作一二五，併原斤為實乘之合問。

假如今有元亨利貞四人合本經營，元出本銀二十兩，亨出本銀三十兩，利出本銀四十兩，貞出本銀五十兩，共本一百四十兩，至年終共得利銀七十兩。問各該利銀若干。

答曰：元該利一十兩，亨該利一十五兩，利該利二十兩，貞該利二十五兩。

法曰：置利銀七十兩為實，以四人共本一百四十兩為法，除之得五錢為每兩之利，就以此為法以乘各人原本合問。

假如今有甲乙丙三人合夥同商，因各人本銀不齊，前後付出。甲於正月付出本七十兩，乙於四月付出本八十兩，丙於七月付出本九十兩，三人共本二百四十兩，至年終得利七十兩。問各該利銀若干。答曰：甲該利二十八兩，乙該利二十四兩。丙該利一十八兩。

法曰：置利銀七十兩為實，另置甲本七十兩以十二箇月通之得八百四十兩，又置乙本八十兩，以九箇月通之得七百二十兩，再置丙本九十兩以六箇月通之，得五百四十兩。三共併得二千一百兩為法除實得三錢三分三釐三毫三絲，此乃是每月每兩之利也。就以此又為法以乘，甲通八百四十月得利二十八兩，又乘乙通七百二十月得利二十四兩，再乘丙通五百四十兩得利一十八兩合問。

此是差分乘而相併除，而又乘之法也。

假如今有人借去銀二百六十兩，每年加三起息，今有十箇月二十四日。問該利銀若干。

答曰：七十兩零二錢。

法曰：先將二十四日用三歸，得八數在十月，隔空一位之下，再以十二月除之，得九數。如年以乘原本得二百三十四兩為實，以每年加三為法，因之合問。

解曰：凡算年月日期即與兩求斤法減六同理。每斤一十六兩減六，只作一數。每年十二月每月三十日，故先用三歸，如月併月後用十二除月，如年以乘各人原本合得餘皆倣此。圖式具左。

定盤算日月為年式。

圖缺

假如今有趙錢孫李四人同商，前後付出本銀趙一於甲子年正月初九日付出本銀三十兩，錢二於乙丑年四月十五日付出本銀五十兩，孫三於丙寅年八月十八日付出本銀七十兩，李四於丁卯年十月二十七日付出本銀九十兩，四共得本銀二百四十兩，至戊長年終共得利銀一百二十兩。問各該得利銀若干。

答曰：趙一該得利二十九兩五錢五分。○○一絲，錢二該得利三十六兩七錢一分一釐，孫三該得利三十二兩八錢○○三毫，李四該得利二十兩零九錢三分七釐五毫。

法曰：置利銀一百二十兩為實，另置各人年月日數，照依前式，歸日如月，除月如年，次位之零併年以乘原本合問。趙一計四年十一箇月二十一日，先歸日後除月又原本通得一百四十九兩二錢五分。錢二計三年零八箇月一十五日。先歸日後除月，又原本通得一百八十五兩四錢一分六釐五毫。孫三計二年零四箇月一十二日，先歸日後除月又原本通得一百六十五兩六錢六分六釐六毫。李四計一年零二箇月零三日，先歸日，後除月，又原本通得一百零五兩七錢五分。

將四人年月日通得之數共併得六百零六兩零八分三釐三毫為法，除實得一錢九分七釐九毫九絲即是每年每兩之利也，就以此又為法以乘各人通得之數合問。

假如人借去銀每年每兩加利二錢七分，今有一年零三箇月二十日收還銀三百六十二兩四錢七分。問本利各得若干。

答曰：本二百六十八兩，利九十四兩四錢七分。法曰：置還本利共銀為實，另置年月日數照依前式用三歸二十日得六六六六於三月之下位，併月再以十二除之得三月零五五五於一年之下位，另以每年利二錢七分乘之，得每兩利三錢五分二釐五毫，加原本一兩二共為法，除實得原本銀二百六十八兩，再以每兩利三錢五分二釐五毫乘之，得利九十四兩四錢七分合問。

假如原借本銀一十五兩，每月加利二分五釐，今有六箇月，已還過銀九兩，除作本及利。問本利各該若干。仍存原本若干。

答曰：除原本七兩八錢二分六釐，該利－兩一錢七分四釐，仍存原本銀七兩一錢七分四釐，仍以原日起利。

法曰：置還銀九兩為實，另置六箇月以月利二分五釐通之，得一錢五分加原本一兩本利共一兩一錢五分為法，除實得除本銀七兩八錢二分六釐，又以通利一錢五分乘之，得利銀一兩一錢七分四釐，本利共合九兩之數，另將原本一十五兩除還原本七兩八錢二分六釐，餘者仍存數也。

異乘同除

此法雖易知之術，其意至奧，或人用先除後乘之法。若除之不盡將何以乘之乎。此異乘同除，實為通變之法也。

歌曰

異乘同除法何如，物賣錢來作例推。先下原錢乘這物，卻將原物法除之。將錢買物互乘取，百里千斤以類推。算者留心能善用，一絲一忽不差池。

假如原有米五石八斗四升，賣銀四兩三錢八分，今只有米一石七斗二升。問該銀若干。

答曰：一兩二錢九分。

法曰：置今有米一石七斗二升，以原賣銀四兩三錢八分乘之，得七兩五錢三分三釐六毫為實，卻以原有米五石八斗四升為法，除之合問。

一法先用除而後乘，先置原價四兩三錢八分，以原米五石八斗四升為法除之，得每石價銀七錢五分，又為法以乘，今米一石七斗二升亦得。

此法雖易知之，恐愚拙者法則難於取價。須用先乘後除其法捷玅。

異乘同除互換捷用法圖

歌曰

此法有四隅，內有一隅空。異名斜乘了，同名兌位除。

詳此歌則知異名乘同名除也。

假如原有小麥八斗六升磨麪六十四斤八兩，今有小麥三十五石四斗八升。問該麪若干。答曰：二千六百六十一斤。

法曰：置今麥三十五石四斗八升，以磨麪六十四斤半乘之，得二萬二千八百八十四斤六為實，以原麥八斗六升為法除之合問。

假如今有夏布四十五疋，欲換棉布，只云夏布三疋共價二錢，棉布七疋共價七錢五分。問該換棉布若干。

答曰：棉布二十八疋。

法曰：先置今有夏布四十五疋，以原夏布價二錢因之，得九兩，又以棉布七疋因之得六十三疋，為實。以夏布三疋因棉布價七錢五分，得二兩二錢五分為法，除之得棉布二十八疋合問。

假如原有麥三斗五升磨麪二十五斤，今欲用麪一百七十五斤。問該麥若干。

答曰：二石四斗五升。

法曰：置原麥乘今用麪為實，以磨麪二十五斤為法，除之合問。假如今有綾一百六十一疋，每七疋價銀五兩。問共該銀若干。

答曰：一百一十五兩。

法曰：置總綾以五兩因之，為實，以七疋為法歸之合問。

同乘異除歌

此法買寶石珍珠大小塊顆價用此，果品亦同。

同乘異除法可識，原物價相乘為實，今物除實求今價，今價除實求今物。

假如原有小珍珠五十顆重一兩，價銀一十二兩今有大珍珠三十顆重一兩。問該銀若干。

答曰：二十兩。

法曰：置原珠五十以原價十二乘，得六百兩為實，以今珠三十顆除之合問。

異乘同乘法

假如原每人一日織錦八尺二寸五分，今有五十六人共織二十七日。問織錦若干。

答曰：一千二百四十七丈四尺。

法曰：置五十六人乘二十七日得一千五百一十二工，再以日織八尺二寸五分乘之，得一萬二千四百七十四尺合問。

異除同除法理

假如今有客一十五人住一十二日，共用米三石六斗。問一客每日用米若干。

答曰：每日二升。

法曰：置米三石六斗為實，另以一十五人乘一十二日得一百八十人為法，除實得二升合問。

同乘同除法理

假如原有鵝八隻，換雞二十隻，每雞三十隻換鴨九十隻，每鴨六十隻換羊二隻，今卻有羊五隻換鵝。問該若干。

答曰：該鵝二十隻。

法曰：用異乘同乘之法，置原鵝八隻以乘原雞三十隻得二百四十隻，又以原鴨六十隻乘之得鵝一萬四千四百隻，再以今有羊五隻乘之得七萬二千隻為實。又用異除同除之法以所換雞二十隻乘換鴨九十隻得一千八百隻，又以所換羊二隻因之得羊三千六百隻為法，除實得鵝二十隻合問。

指曰：法應一除一乘，多有不盡之數。今變法總乘為實，總除為法，此術極妙。

傾煎論色

假如今有九二成色銀七兩四錢八分，傾銷足色銀。問該若干。

答曰：足色銀六兩八錢八分一釐六毫。

法曰：置銀為實以九二色為法乘之合問。

假如今有足色紋銀一十五兩二錢，換九五色銀。問該若干。

答曰：九五色銀一十六兩。

法曰：置紋銀十五兩二錢為實，以九五色為法，除之即得。

假如今有八五色銀五兩六錢，換九五色銀。問該若干。

答曰：該九五色銀五兩零一分零五毫。

法曰：置銀五兩六錢以八五乘之，得四兩七錢六分為實，以九五為法，除之合問。

假如今有足色紋銀七兩六錢五分，傾出成色銀九兩。問色幾何。

答曰：八五色。

法曰：置紋銀為實，以傾出色銀九兩為法，歸之合問。假如今有足色紋銀三十五兩二錢，欲傾八八色銀。問用銅若干。

答曰：銅四兩八錢。

法曰：置紋銀為實，以八八色為法除之得色銀四十兩。內減原銀餘四兩八錢，是銅數也合問。

假如有銅七錢五分，今煎作八八色銀。問紋銀若干。答曰：紋銀五兩五錢。

法曰：置銅為實，以每兩用銅一錢二分為法除之，得八八色銀六兩二錢五分，於內減去原銅七錢五分餘得紋銀合問。