KR7a0003

卷126

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百二十六卷目錄

　算法部彙考十八

　　新法曆書〈比例規解〉

曆法典第一百二十六卷

算法部彙考十八

《新法曆書》比例規解〈遠西羅雅谷著〉序目

天文曆法等學，舍度與數，則授受不能措其辭。故量法、算法、恆相發焉。其法種種，不襲而器。因之各國之法與器，大同小異。如算法之或以書、或以盤珠，吾西國猶以為未盡其妙也。近世設立籌法，似更超越千古。至幾何家用法，則籌有所不盡者，而量該之不能不藉以為用。今繇《幾何》六卷六題，推顯比例規尺一器，其用至廣，其法至妙，前諸法器，不能及之。因度用數開闔。其尺以規搘度得算最捷，或加減，或乘除，或三率，或開方之面與體，此尺悉能括之。又函表度、倒景、直景、日晷、句股、弦算、五金輕重、諸法及百種技藝，無不賴之。功倍用捷，為造瑪得瑪，第嘉最近之津梁也。昔在上海，曾為徐宗伯造其尺，而未暇譯書。今奉旨修曆，兼用敝庠之法。思此小器，為用既廣，曷敢祕而不傳。第中西文字，絕不相同，倘因艱澀而輟譯，是坐令此器不得其用，不甚可惜哉。因草創成書，請教宗伯。此器之倘為用于世也，則潤色之，增補之，定有其時而谷之不文，或見亮於天下後世也矣。

論度數者其綱領，有二：一曰量法，一曰算法。所量所算者，其節目有四焉。曰點，曰線，曰面，曰體。總命之曰：《幾何之學》。而其法不出於比例，蓋比例法又不出於句股。第句股為正方角，而別有等角、斜角。句股不足盡其理。故總名之曰：三角形，此規名比例者，用比例法也。器不越咫尺，而量法、算法，若線、若面、若體、若弧、矢方圓諸法。凡度數所須，該括欲盡，斯亦奇矣。所分諸線，篇中稱引之說，特其指要，各有本法。本論未及詳焉。若所從出，與其致用，則三角形之比例而已。按《幾何原本》六卷四題云：凡等角三角形，其在等角旁之各兩腰線，相與為比例必等。而對等角之邊，為相似之邊。六題云：兩三角形之一角等，而對等角旁之各兩邊比例等，即兩形為等角形。而對各相似邊之角各等。作者因此二題創為此器。今依左圖解之，如

圖

甲乙丙與丁乙戊大小兩三角形，同用乙角即為等角，則甲乙與乙丙之比例。若丁乙與乙戊而對等角之邊，如甲丙與丁戊為相似之邊也，又顯兩形為等角形，而對各相似邊之角各等也。今此規之樞心，即乙角兩股、即乙甲乙丙兩腰，甲丙為底，即與乙丁戊為等角形，而各相當之各角各邊其比例悉等矣。任張翕之，但取大

圖

小兩腰，其兩底必相似也，或取兩底，其兩腰必相似也，或取此腰，此底其與彼腰彼底必相似也，以數明之，如甲乙大腰一百，乙丁小腰六十，而設甲丙大底八十，以求小底丁戊，即定尺用規器量取丁戊，為度向平分線。取數必四十八，不煩乘除矣。又如平方積一萬，其根一百，求作別方為大方四之三，即以一百為腰，分面線之，

四點為大，底次以三點為小，腰取小底為度向平分線，得八十六半強為小方根。自之約得七千五百為小方，積不煩開平方矣。又如立方積八千，其根二十，求作大方倍元方，即以二十為小底，分體線之一點為小腰，次以二點為大腰，取大底為度於平分線。得二十五半自之，再自之約得一萬六千為大方積，不煩開立方矣。篇中所言某為腰，某為底，設某數得某數者，皆此類也。規凡二面，面有五線，共十線，其目如左。

第一平分線；

第二分面線；

第三更面線；

第四分體線；

第五更體線；

第六分弦線；

第七節氣線；

第八時刻線；

第九表心線；第十五金線。

右比例十類之外，依幾何原本其法甚多，因一器難容多線，故止設十線，其不為恆用者。姑置之稍廣焉。更具四法如左，

一、平面形之邊與其積；

二、有形五體之邊與其積與其面；

三、有法五體與球或內或外兩相容；

四、隨地造日晷求其節氣。

比例規造法〈一名度數尺，其式有二。〉

第一式第一式

一以簿銅板或厚紙，作兩長股，如圖，任長一尺，上下廣如長八之一，兩股等長、等廣、股首上角為樞，以樞心為心，從心出各直線，以尺大小定線數，今折中作五線，兩股之面共十線，可用十種比例之法。線行相距之地取足書字而止。尺首半規餘地以固樞也，用時張翕游移。

第二式第二式

一以銅或堅木作兩股，如圖：厚一分以上，長任意，股上兩用之際以為心。規餘地以安樞，其一規面與尺面平，而空其中，其一剡規而入於彼尺之空，令密無罅也，樞欲其無偏也，兩尺並欲其無罅也，樞心為心，與兩尺之合線，欲其中繩也。用則張翕游移之，張盡令兩首相就成一直線。可作長尺，或以兩半直角相就成一直角，可作矩尺。

比例矩之類別有二種。一為四銳定心規；一為四銳百游規，不解之其造法，頗難為用未廣，姑置之。

比例各線總圖四

比例各線總圖二比例各線總圖二

比例各線總圖三<img src='/kanripo/images/%e6%af%94%e4%be%8b%e5%90%84%e7%b7%9a%e7%b8%bd%e5%9c%96%e4%b8%89.7111.png' /><img src='/kanripo/images/%7b%7b%7b2%7d%7d%7d.7112.png' />第一平分線比例各線總圖三比例各線總圖二<img src='/kanripo/images/%e6%af%94%e4%be%8b%e5%90%84%e7%b7%9a%e7%b8%bd%e5%9c%96%e4%ba%8c.7110.png' />比例各線總圖三

<img src='/kanripo/images/%7b%7b%7b2%7d%7d%7d.7112.png' />第一平分線比例各線總圖二<img src='/kanripo/images/%e6%af%94%e4%be%8b%e5%90%84%e7%b7%9a%e7%b8%bd%e5%9c%96%e4%ba%8c.7110.png' />比例各線總圖三<img src='/kanripo/images/%e6%af%94%e4%be%8b%e5%90%84%e7%b7%9a%e7%b8%bd%e5%9c%96%e4%b8%89.7111.png' />

第一平分線第一平分線

分法

此線平分為一百或二百，乃至一千量尺之大小也。分法如取一百先平分之為二，又平分為四，又各五分之為二十，自此以上不容分矣，則用更分法，以元分四復五分之，或以元分六復五分之，如左圖：甲乙線分丙丁戊為元分之四，今更五分之，得己庚辛壬。元分與次分之較為壬丙為戊己，皆甲乙二十分之一，為元分五之一。

圖

每數至十、至百，各書字識之。

論曰：甲乙四與甲丙一，若甲己四與甲壬一更之甲乙四與甲己四，若甲丙一與甲壬一，甲己為甲乙五之四，即甲壬為甲丙五之四，壬丙為甲丙五之一，又甲丁為十，甲辛為八，辛丁為甲丁十之二，或丙丁五之二，戊庚為丁戊五之三，又壬丙為甲丙五之一，必為甲壬四之一。〈幾何五卷〉

用法一：

凡設一直線任欲作幾分，假如四分。即以設線為度數，兩尺之各一百以為腰，張尺以就度，令設線度為兩腰之底。置尺數兩尺之各二十五以為腰。斂規取二十五，兩點間之度以為底。向線上簡得若干數，即所求分數。　凡言線者皆直線，依幾何原本，大小兩三角形之比例，則二十五與得線。若一百與設線也，更之二十五與一百，得線與設線皆若一與四也。若求極微分，如一百之一，如上以一百為腰，設線為底，置尺次以九十九為腰，取底比設線，其較為百之一。　若欲設線內取零數，如七之三，即以七十為腰。設線為底，置尺次以三十為腰，斂規取底，即設線七之三。〈置尺者置不復動下倣此〉

用法二：

凡有線求幾倍之，以十為腰，設線為底置尺。如求七倍以七十為腰，取底即元線之七倍。若求十四倍，則倍得線，或先取十倍，更取四倍并之。

用法三：

有兩直線欲定其比例，以大線為尺末之數〈尺百即百千即千〉置尺，斂規取小線度於尺上，進退就其等數，如大線為一百，小線為三十七，即兩線之比例。若一百與三十七可約者約之。

約法以兩大數約為兩小數，其比例不異如一百與三十約為十與三。

用法四：

乘法與倍法相通。〈乘者求設數之幾倍也〉如以七乘十三，於腰線取十三為度，七倍之。即所求數也。

用法五：

設兩線或兩數。

凡言數者，腰上取其分，或以數變為線，或以線變為數。

欲求一直線而與元設兩線為連比例。　若設大求小，則以大設為兩腰，中設為底，次以中設為兩腰，得小底，即所求。如甲乙、甲丙尺之兩腰，所設兩數為三十，為十八，欲求其小，比例從心向兩腰取三十。如甲辛、甲己識之，斂規取十八為度，以為底，如辛己次從

圖圖

心取十八，如甲丁、甲戊。即丁戊為連比例之小率，得十一有奇。　若設小求大，則反之，以中設為兩腰，小設為底，置尺以中設為度，進求其等數以為底。從底向心得數，即所求。如甲丁、甲戊為兩腰，丁戊為底，次以甲丁為度。引之至辛、至己而等，從辛從己向心得三十。即大率論。見幾何六卷十一題

凡言等數者皆兩腰，上縱心取兩數等。下同

用法六：

凡有四率連比例，既有三率而求第四，或以前求後，則丁戊為第一率，辛巳、甲丁、甲戊為第二。又為第三而得辛甲，為第四。若以後求前，則甲辛、甲己為第一，辛巳、甲戊、甲丁為第二。又為第三而得丁戊為第四。

甲辛與辛己若甲丁與丁戊，故也。

圖

用法七：

有斷比例之三率求第四，如一星行九日得一十一度，今行二十五度，日幾何。即用三率法以元得一十一度為兩腰，元行九日為底，置尺以二十

五度為兩腰，取大底腰上數之得二十日〈十一之五〉為所

求日。

此正三率法九章中名異乘同除也。

圖

用法八：

句股形有二邊，而求第三法於一尺。取三十為內，句一尺，取四十為內股，更取五十為底，以為內弦，即腰間角為直角置尺，若求弦，則以各相當之句股進退取數，各作識於所得點。兩

點相望，得外弦線。以弦向尺，上取數為外弦數。

言內外者以先定之，句股成式為內，甲乙丙是以所設所得之。他句股形為外，甲戊己是。

若求句於內股，上取外股作識，以設弦為度，從識向句尺。取外弦得點，作識，從次識向心數之。得句求股亦如之。

下有開方術為句股本法可用。

用法九：

若雜角形有一角及各傍兩腰，求餘邊。先以弦線法

圖

依設角，作尺之腰，間角次用前法取之。〈見下二十一用四法〉

用法十：

有小圖欲更畫大幾倍之圖，則尺上取元圖之各線加幾倍，如前作之。

用法十一：

此線上宜定兩數其比例，若徑與周為七、與二十二、或七十一與二百二十三，即二十八數上書徑八十六上書周。　有圈求周徑法，以元周為腰，設周為底，

圖

次于元兩徑。取小底得所求徑。　反之以徑求周徑為腰如前。

用法十二：

此線上定兩數，求為理分中末線之比例。則七十二與四十二又三之一，不盡為大分其小，分為二十四又三之二弱。　有一直線

欲分中末分，則以設線為度，依前數取之。〈幾何六卷三十題〉

第二分面線，

今為一百不平分，分法有二：一以算，一以量。

圖

以算分：

算法者以樞心為心，任定一度為甲乙十平分之，自之得積一百。　今求加倍，則倍元積一百為二百。其方根為十四又十四之九。即於甲乙十分線加四分半強，而得甲丙為倍面之

圖

邊。求三倍，則開三百之根，得十七有半為甲丁，求五六七倍以上者，邊法同。〈用方根表甚簡易〉

以量分：

任取甲乙度為直角方形之一邊，求倍，則於甲乙引至丁，截乙丁倍於甲乙，次平分，甲丁於戊戊心。甲界作半圈，從乙作乙己垂線，截圈於己。即己乙線為二百容形之一邊。〈六卷二十六增〉求

三倍則乙丁三倍於甲乙，四倍以上法同於尺上，從心取甲乙，又從心取乙己。等線成分面線。

試法：

元線為一正方〈直角方形省曰正方〉之邊，倍之。得四倍容方之邊。否則不合。三倍之得九倍容方之邊，四倍得十六，五倍二十五，又取三倍之邊，倍之，得十二，再加倍，得二十七倍之邊。再加倍，得四十八倍之邊。再加倍，得七十五倍之邊。若五倍容形之邊，倍之得二十倍容形之邊。再加倍，得四十五倍容形之邊。再加倍，得八

圖

十倍容形之邊。〈本邊之論見幾何六卷十三〉

用法一：

有同類之幾形。

方圓三邊，多邊等形容與容之比例。若邊與邊其理具幾何諸題。

欲並而成一同類之形，其容與元幾形并之容等。如

圖

正方大小四形，求作一大方其容與四形并等。第一形之容為二，二形之容為三，三形之容為四有半，四形之容為六又四之三。其法從心至第二點為兩腰，以第一小形之邊為底置尺，次并四形之容得十六又四之一。以為兩腰，取其

圖

底為大形邊，其容與四形之容并等。　若無容積之比例，但設邊如甲乙丙丁，四方形其法從心至尺之第一點為兩腰，小形甲邊為底置尺，次以乙形邊為度，進退取等數得第二點，外又四分之三，即書二又四之三，次丙形邊為度得

三又五之一，丁形邊得四又六之五，并諸數及甲形一得十又二十之十九，向元定尺上進退，取等數為底，即所設四形同類等容之一大形邊。〈此加形之法〉

圖

用法二：

設一形，求作他形大於元形幾倍法。曰元形邊為底，從心至第一點為腰，引至所求倍數點為大腰。取大底即大形之邊。〈此乘形之法〉

用法三：

若於元形求幾分之幾，以元形邊為底，命分數為腰，退至所求數為腰，取小底即得。　如正方一形求別。作一正方，其容為元形四之三，以大形邊為底，第四點為腰。〈即命分數〉次以第三點為腰。〈即得分數〉得小底即小形邊。

此除形之法。若設一形之積大，而求其若干倍小，而求其若干分，則以原積當單數，用第一線求之。

用法四：

有同類兩形，求其較，或求其多寡，或求其比例若干。法曰：小形邊為底，第一點為腰置尺，以大形之邊為度。進退就兩等數以為腰，得兩形比例之數。次於得數減一所餘為同類，他形之一邊，此他形為兩元形之較。　如前圖，小形邊為一，大形邊為六，其比例為一與六，則從一至六為較形邊。〈此減形之法〉

用法五：

有一形，求作同類之他形。但云兩形之容積，若所設之比例。法曰：設形邊為底，比例之相當率為腰，次他率為腰，取其底為他形之邊。

用法六：

有兩數，求其中比例之數。法曰：先以大數變為線，變線者於分度線上。取其分與數等為度也，以為底。以

圖

本線上之本數為腰。置尺次於小數上，取其底線變為數，變數者於分度線上查，得若干分也，此數為兩元數中比例之數。　如前圖，二與八為兩元數，先變八為線以為底，以本線之第八點為腰，置尺次於第二點上，取

其底線變為四數，則二與四若四與八也。　若設兩線不知其分，先於分度數線上查幾分法，如前。

用法七

圖

有長方，求作正方，其積與元形等法。曰：長方兩邊變兩數，求其中比例之數變作線。即正方之一邊與元形等積。

用法八：

有數求其方根，設數或大或小。若大如一千三百二十五。先於度線上取十分為度以為底，以本線一點為腰。即一正方之邊其積一百次，求一百與設數之比例。得十三倍又四之一。以本線十三點強為腰，取其底於度線上，查分得三十五強為設數之根。

第三更面線。

分法，

如有正方形，欲作圓形與元形之積等。置公類之容積四三二九六四以開方，得六五八正方邊也。以開三邊形之根，得一千為三邊等形之一邊。開五邊之

圖

根，得五○二，六邊形之根為四○八，七邊形之根為三四五，八邊形之根為二九九，九邊形之根為二六○，十邊形之根為二三七，十一邊形之根為二一四，十二邊形之根為一九七。圓形之徑為七四二。以本線為千平分而取各類之

數。從心至末取各數加本類之號。

言平形者，有法之形，各邊各角俱等。

用法一：

有異類之形欲相併，先以本線各形之邊為度，以為底。以本類之號為腰，置尺取正方號之底線別書之末。以各正方之邊於分面線上，取數合之而得總邊也。

假如甲乙丙三異類形欲相併。先以三邊號為腰，甲一邊為底，置尺取正方號，四點內之底向分面線上

圖

用十數為腰。正方底為底，於甲形內作方底線書十次，五邊號為腰，乙一邊為底，如前。取正方底向分面線得二十一半。即於乙形內作方底線，書之次圓號為腰徑，為底，如前。得十六弱併，得四十七半弱。　若欲相減，則先通類。如前法

次於分面線上相減。〈同上圖〉

用法二：

有一類之形，求變為他類之形。同積以元形邊為度以為底，從心至本號點為腰，置尺次以所求變形之號為腰得底，即變形邊。

用法三：

凡設數求開各類之根，先於分面線求正方之根次，以方根度為底，本線正方號為腰，置尺，則所求形之號之底線，即元數某類之根。

有法之平形，其邊可名為根，與方根相似。

用法四：

若異類形，欲得其比例與其較。則先變成正方，依分面線求之。

第四分體線。

線不平分，分法有二：一以算，一以量。

以算分：

從尺心任定一度為甲乙，十平分自之，又自之得積一千。即定其線為一千，即體之根。今求加一倍積體

圖

之根。倍元積得二千，開立方根得十二又三之一。即於甲乙加二又三之一為甲丙。乃倍體之邊，求三倍開三千數之立方根，以上同。

又捷法取甲乙元體之邊，四分之一加於甲乙元邊，得甲丙，即倍體邊又取甲

丙七分之一，加於甲丙得甲丁。乃三倍體之邊，取甲丁十分之一加於甲丁，得甲戊，乃三倍體之邊。再分再加如圖。

圖圖

試置元體之邊二十八四之一，得七，以加之，得三十。五法曰：兩根之實數，即用再自之數為一，與二不遠。蓋二十八之立實為二一九五二，倍之為四三九○四。比於三十五倍體邊之實四二八七五，其差纔○一○二九，約之為一千四百五十二分之一，不足為差。若用三十六之四六六五六，其差為遠。　又加倍體七之一，得再倍體之邊三十五又七之一，七之一者五也。以加之得四十。其實為六四○○○。元積再倍之，數為六五八五六。較差纔○一八五六，或三十五之一可不入算也，若用四十一根之實六八九二一，其差為遠。

又試倍邊上之體為體之八倍。即依圖計零數至第八位，為五之四，八之七，十一之十，十四之十三，十七之十六，二十之十九，二十三之二十二。用合分法合之得一二○四二八○之六○八六○八。約之為一○七五○之五四三四，與二之一不遠。則法亦不遠，右兩則皆用開立方之法，不盡數難為定法。

以量分：

先如圖，求四率連比例線之第二，蓋元體之邊與倍體之邊為三，加之比例也。今求第二。幾何法曰：第二線上之體與第一線上之體，若四率連比例線之第四與第一。假如丙乙元體之邊，求倍體之邊。則倍丙

圖缺乙，得甲丁。以甲丁乙丙作壬巳辛庚矩形，於壬角之兩腰引長之。以形心為心，如戊作圈，分截引長線於子、於午漸試之。必令子午直線切矩形之辛角乃止。即乙丙〈即辛庚〉午庚子己甲丁〈即壬庚〉為四率連比例線。用第二率午庚為次體之

一邊，其體倍大於元體。〈詳雙中率論〉　若甲丁為乙丙之三倍、四倍。即午庚邊上之體大於元體，亦三、四倍以上倣此。　用前法則元體之邊倍之，得八倍體之邊。若三之得二十七倍體之邊，四之得六十四倍體之邊，五之得一百二十五倍體之邊。

又取二倍體邊倍之，得十六，再倍得一二八。倍體之邊，本線上量體任用其邊，其根、其面、其對角線、其軸皆可。

用法一

設一體，求作同類體大於元體幾倍法，以元體邊為

底，從心至第一點為腰，置尺次以所求倍數。　為腰得大底，即所求大體邊。　若設零數如元體，設三求作七，以三點為初腰，七點為次腰，如上法。〈此乘體之法〉

用法二：

有體求作小體，得元體之幾分。如四分之一，四分之三等。法以元體之邊為底，命分數之點為腰，置尺，退至得分數為小腰，得小底是所求分體邊。〈此分體之法〉

用法三：

有兩體求其比例。以小體邊為底，第一點為腰，置尺次以大體邊為底。就等數得比例之數也，不盡則引小體邊於二點以下。以大邊就等數兩，得數乃上可，得比例之全數而省零數。

用法四：

有幾同類之體，求并作一總體。　若有各體之比例，則以比例之數合為總數。以小體邊為底，一點以上為腰，置尺於總數點內，得大底，即總體邊。　若不知其比例，先求之次，用前法。〈此加體之法〉

圖圖

如圖：甲乙丙三立方體，求併作一大立方體。其甲根一，乙三又四之三，丙六併。得十又四之三，以甲邊為底，本線一點以上為腰，置尺向外，求十又四之三為腰，取底為度，即所求總體之根。

用法五：

大內減小所存，求成一同類之體。　先求其比例，次以小體邊為底，比例之小率點以上為腰。置尺次以比例。兩率較數點上為腰。得較底，即較體之邊。〈此減體之法〉

用法六：

有同質同類之兩體，得一體之重知他體之重。蓋重與重若容與容。先求兩體之比例，次用三率法。某容得某重若干。求某容得某重若干。

同質者、金鉛銀銅等同體者，方圓長立等。

用法七：

有積數欲開立方之根。　　置積與一千數，求其比例。次於平分線上取十分為底，本線一點以上為腰，置尺次比例之大率以上為腰，得大底於平分線上，取其分為所設數之立方根。如設四萬則四萬與一千之比例為四十與一，如法於四十點內，得大底線變為分得三十四強。　若所設積小不及千，則以一分為底，一點或半點或四之一等數為腰，置尺設數內。求底而定其分，若用半點，用所設數之一半，用四之一，亦用設數四之一。蓋算法通變或倍、或分、不變比例之理。

用法八：

有兩線，求其雙中率。〈線數同理〉如三為第一率，二十四為第四率，求其比例之中兩率。　法求兩率之約數，得一與八以小線為底，一點以上為腰，置尺次八點以上為腰，取大底即第二率有第二，第四依平分線求第三。

第五變體線

變體者如有一球體，求別作立方其容與之等。

分法

置公積百萬，依算法開各類之根，則立方之根為一百四，等面體之根為二○四八，等面體之根為一二

圖

八半十二，等面體之根為五十二十，等面體之根為七六。　圓球之徑為一二六。　因諸體中獨四等面體之邊最大，故本線用二百○四分平分之，從心數各類之根至本數加字。

開根法見測量全義六卷

用法一：

有異類之體，求相加以各體之邊為度以為底。本線本類之點以上為腰，置尺次從立方點內，取底別書之各書訖，依分體線法合之。

用法二：

有異類之幾體，求其容之比例。先以各體變而求同容之立方邊、次於分體線，求其比例。乃所設體之比例。若知一體之容數，因三率法求他體之容數。

第六分弦線〈亦曰分圈線〉

圖

分法有二：

一法、

別作象限圈分，令半徑與本線等長，分弧為九十度。各作識從一角向各識，取度移入尺線，從尺心起度各依所取度作識加字。若尺身大加半，度之點可作一百八十○度，若身小

圖

可六十度、或九十度止。

又法

用正弦數表取度分數，半之。求其正弦倍之，本線上從心數之識之。

如求三十度弦，即其半十五度之正弦為二五九，倍之得千分之五一九。為三十度之弦從心

識之。

用法一：

有圈徑，設若干之弧，求其弦以半徑為底，六十度為腰，置尺次以設度為腰，取底，即其弦移試元圈上合其弧。　反之有定度之弦，求元圈徑，以設弧之弦為底，設度為腰，置尺次取六十度為腰，取底。即圈之半徑。

用法二：

有全圈，求作若干分法。以半徑為底，六十度〈其弦即半徑也〉為腰，置尺命分數為法，全圈為實，而一得數為腰，取底試元圈上合所求分。〈此分圈之法〉　約法本線上先定各分之點。如百二十為三之一，九十為四之一，七十二為五之一，六十為六之一，五十一又七之三為七之一，四十五為八之一，四十為九之一，三十六為十之一，三十二又十一之八為十一之一，三十為十二之一各加字。

用法三：

凡作有法之平形，先作圈以半徑為底，六十度為腰，置尺次本形之號為腰，取底，移圈上得分。

用法四：

有直線角，求其度，以角為心任作圈，兩腰間之弧度即其對角之度。〈有半徑有弧求度如左〉

用法五：

有半徑，設弧不知其度數，法以半徑為底，六十度為腰，置尺次以弧為度，就等數作底，其等數即弧度。反之設角度不知，其徑及弧求作圖。其法先作直線，一界為心任作圈。分以截線為底，六十度之弦線為腰，

圖

置尺次於本線，取設度之弦線為腰，得底以為度，從截圈點取圈分。即設度之弧，再作線到心，即半徑成直線角如所求。

因此有兩法可解。三角形省布數詳測量全義首卷

第七節氣線。〈一名正弦線〉

分法：

全數為一百平分，尺大可作一千用，正弦表從心數

圖

各度之數。每十度加字。如三十度之正弦五十，則五十數傍書三十二度之正弦五，則五數傍書三。

簡法

第一平分線可當此線為各有百平分，則一線兩傍，一書分數字，一書度數字。

用法一：

半徑內有設弧求其正弦。以半徑為底，百為腰，置尺次以設度為腰，取底即其正弦。

用法二：

凡造簡平儀、平渾日晷等器。用此線甚簡易，如簡平儀之下盤，周天圈其赤道線左右，求作各節氣線。先定赤道線為春秋分，次於弧上取赤道左右各二十三度半之弧，兩弧相向作弦。以其半弦為底，本線百數為腰，置尺次數各節氣離春秋分兩節之數。尋本線之相等數為腰，取底為度，移赤道線，左右兩旁作直線與相對之節氣相連，為各節氣線。

或於赤道線上及二至線上定時刻線之相距若干亦可。

如欲定立春、立冬、立夏、立秋、

因四節離赤道之度等。故為公度。

法曰：立春至春分四十五度，則取本線四十五度內之底線，移於儀上春分線左右。　若欲定小暑、小寒之線離秋分、春分各七十五度，則取七十五度內之底線為度，移二分線左右得小暑、小寒之線。

第八時刻線。〈一名切線線〉

圖

分法、

切線之數無限，為九十度之切割兩線，皆平行無界。故今止用八十度，於本線

立成表。上查八十度得五六七，即本線作五六七平分，次因各度數加字。

一度至十五切線正弦，微差尺上不顯可，即用正弦。

第九表心線、〈一名割線線〉

分法、

此線亦止八十度，依表查得五七五平分之，其初點與四十五度之切線等。〈初點即全數故等〉次依本表加之。

用法一：

有正弧或角，欲求其切線、或割線，法以元圈之半徑為底切線，線四十五度之本數為腰割線，線則以○度○分為腰，置尺次以設度為腰，取底為某度之切線割線。　反之有直線又有本弧之徑，欲求。設線之弧若干，度以半徑為度以為底，設弧之度數為腰，置尺又設線為底，求本線上等數即設線之弧。

用法二：

表度說：以表景長短求日軌高度分。今作簡法，用切

圖

線，線凡地平上立物皆可當表，以表長為底，本線四十五度上數為腰，置尺次取景長為底，求兩腰之等數。即日軌高度分。　若用橫表法，如前，但所得度分乃日離天頂之度分也。安表法見本說。

用法三：

地平面上作日晷法，先作子午直線，卯酉橫線。令直角相交，從交至橫線端為底，就切線，線上之八十二

圖

度半為腰，置尺次於本線七度半點內。取底為度，向卯酉線交處左右各作識。為第一時分次遞加七度半取底為度。如前遞作識為各時分。

每七度半者，如七度半、十五度，二十二度半，三十度，三十七度半，四十五度，五十二度半，六十度六，十七度半，七十五度，八十二度半。

若求刻線，則遞隔三度四十五分，而取底為度也。次於元切線上取四十五度線〈四十五度之切線即全數〉為底割線。初點為腰，置尺次以本地北極高度數為腰，於本線上取底為表，長於子午卯酉兩線之交，正立之又取北極高之餘度線為度。於子午線上從交點起，向南得日晷。心從心向卯酉線上各時分點作線，為時線在子午線西者，加午前字。如巳辰卯在子午線東者加午後字，如未申酉。

日晷圖說。

圖

子午卯酉兩線相交於甲，甲酉為度以為底，以切線之八十二度半為腰，置尺遞取七度半之底，向甲左右作識。如甲乙、甲丙次取十五度線之底作第二識。

如甲丁、甲戊每識遞加七度半，每識得二刻，則丁點為午初，戊為未初，餘點如圖。　次取甲己線上四十五度之切線為底，割線之。初點為腰，置尺取北極高餘度〈順天府約五十〉之割線為度。從甲向南取辛辛為心，從心過乙丁等點作線為時刻，線又割線，上取北極高度之線〈順天府約四十〉為表，長即甲庚也，表與面為垂線。

立表法，以表位甲為心，任作一圈次立表，表末為心，又作圈，若兩圈相合或平行則表直矣。

用法四：

先有表度，求作日晷。則以表長為底，割線上之北極高度為腰。置尺次以極高餘度為腰，取底為度，定日晷之心。次用元尺於切線上，取每七度半之線如前。

凡言表長以垂表為主，或垂線。

用法五：

有立面向正南，作日晷。法如前，但以北極高度求晷心，以北極高之餘度為表長。

又平晷之子午線為此之垂線，書時刻以平晷之卯為此之酉各反之。

圖

用法六：

若立面向正東、正西。先用權線作垂線定表處。即晷心從心作橫線與垂線為直角。　若面正東於橫線下，向北作象限弧，若面正西於橫線下，向南作弧。弧上從下數北極高之餘度為界。從心過界作線為赤

道線。又以表長為底切線，線上之四十五度為腰，置

尺遞，取七度半之線，從心向外於赤道上，各作識，從各識作線與赤道為直角。則時刻線也。其過心之線向東晷為卯，正線向西晷為酉正線。　若欲加入節氣線，法以表長為度，從表位甲上取乙點為表心。從心取赤道上各時刻點為度以為底。以切線，線之四十五度為腰，置尺，又以二十三度半為小腰，取小底為度於各時刻線上。從赤道向左、向右各作識為冬夏至日景所至之界。　如左圖：甲乙為卯酉正線，以

圖

表長為度，從甲取乙為表心，以切線上之四十五度為腰，甲乙為底，置尺，又以二十三度半為小腰。取小底於本線上從赤道甲向左向右各作識。即卯酉正時冬夏至之景界。　次從表心向卯酉初刻線，取赤道之交丙點為底，切線之

四十五度為腰，置尺，以二十三度半為小腰，取小底於丙左右，各作識為本時冬夏至之景界。次於各時線如上法，各作二至景界，訖聯之為本晷。上冬夏二至之景線。　次作二至前後各節氣線，以節氣線之兩至點為腰。〈即鶉首之次西曆為巨蟹宮〉以各時線上赤道至兩至界為底。置尺，次以各節氣為小腰，取小底為度，從各線之赤道左右作識，如前法。

第十五金線

分法用下文各分率及分體線。

置金一度、

下方所列者，先造諸色體，大小同度，權之得其輕重，之差以為比例。

置水銀一度又七十五分度之三十八；

置鉛一度又二十三分度之一十五；

置銀一度又三十一分度之二十六；

置銅二度又九分度之一；

置鐵二度又八分度之三；

置錫二度又三十七分度之一。

先定金之方立體，其重一斤為一度，本線上從心向外任取一點為一度，即是金度。次以分體線第十點為腰，此度為底。置尺，依各色之本率。於分體線上取若干度分之線為底，從心取兩等腰，合於次底作點。即某色之度點。

又法

取各率之分子，用通分法乘之。

得金四五九五九二五；

得水銀六九二四五二七；

得鉛八六二七四○○；

得銀八四三一二一二一七；

得銅九○○一四○○；

得鐵一○九一四○七五；

得鍚一一七九九○○○；

次以各率開立方求各色之根；

得金一六六弱；

得水銀一九一弱；

得鉛二○二；

得銀二○四；

得銅二一三；

得鐵二二二；

得錫二二八。

若金立方重一斤，其根一百六十六弱，用各色之根率為邊，成立方。即與金為同類、〈皆為立方〉同重〈皆為一斤〉之體也。

今本線用此以二二八為末點。如各率分、各色之根數加號。

石體輕重不等，故不記其比例。

用法一

有某色某體之重。欲以他色作同類之體，而等重。求其大小。法以所設某色某體之一邊為度以為底，以本線本色點為腰。置尺，次以他色號點為腰，取底即所求他體之邊。

用法二

若等體等大求其重。法以所設體之相似一邊為度以為底，置尺於他色號點，取其底，兩底並識之。次於分體線上，先以設體之重數為腰。以先設體之底為底。置尺，以次得他體之底為底，進退求相等數為腰，即他體之重。

用法三

有異類之體，求其比例。先依更體線通為同類次，如前法。