新法算書
新法算書
欽定四庫全書
新法算書卷八十七 明 徐光啟等 撰
測量全義叙目
測量全義十卷前九卷屬法原後一卷屬法器法
原者法之所以然也凡事不明於所以然則其已
然者茫茫不知所来其當然者昧昧不知所徃即
使沿其流齊其末窮智極慮求法之確然不易弗
可得已况天之髙星辰之逺厯數之賾且隠也而
不究其原可乎旋觀徃代如二十一史所載漢以
後諸家之厯詳矣大都專求法數罕言名理即才
士間出亦各窺一二莫覩大全雜以易卦樂律益
增迷瞀何恠乎千八百年而未有定法也夫厯法
之原有二其一則象緯之原也天事也其一則推
測之原也人事也象緯之原如測天約說所論百
中之一二耳其他散見於七政本論㑹而通之聊
足著明矣此書所論則推測之原也古今言推測
者又有二其可以形察可以度審者謂之叀術不
可以形察不可以度審者謂之綴術此所論者又
綴術也綴術之用又有二其一總物以為度論其
幾何大曰量法也其一截物以為數論其幾何衆
曰算法也厯象之家兼用二法如鳥之傅兩翼也
則無所不可之矣凡幾何之屬有四曰㸃曰線曰
靣曰體㸃引為線線展為靣靣積為體究此四者
諸有形有質之物細若纎芥鉅若大圜悉可極其
數而盡其變所以能範圍不過曲成不遺也㸃不
可為度線不可為形必三線交始成三角形焉凡
度與數不用此形即巧厯無從布算故三角者雖
形體之始基實測量之綱要諸卷中當首論者此
也凡言度數必通大小通近逺者也三角形繇兩
視線一徑線徑線者所測物之廣也徑之兩端出
兩直線入交於目睛之最中而成形如分寸咫尺
為近小之形乃至大圜七政為逺大之形形絶不
等然其為三角等則比例必等因而用小推大用
近推逺亡不合者故曰通大小通逺近也夫學難
者必自近也學微者必自顯也最難且微莫如天
之三光最易且顯莫如地之百物次卷所測測地
與物以此故也然而測一物之髙一山之髙與測
日月星辰去地之髙也無以異則亦通大小通逺
近者也其次進而測靣靣者平方平圓之類其變
不可勝窮也然而測物之靣與測地景之靣測日
月星之靣其理一也又進而測體體者立方立圓
之類其變不可勝窮也然而測物之容與測地之
容日月星之容其理一也是皆逺近大小通焉者
也既曰通焉而不言逺大先言近小者則所以習
之也習之奈何習手與目以求其貫也習心與意
以求其信也不習不貫未有能信者也習且貫未
有不信者也故習小習近言逺大者之所求也夫
論度數至於測體深矣微矣然而皆平靣直線也
天則圓體其靣圓靣其線曲線也測圓靣之難十
倍平靣測曲線之難十倍直線蓋圓與曲謂之弧
而測弧無法於無法中求有法其勢不得不難世
有傳弧矢算術測圓術者皆非術也其本術稍見
於大測其為數則割圓八線表而此書第七至第
九則言其理與法也蓋以弧背求弦矢用測曲線
三角形展轉推求展轉變易凡周天衆規相交
相距所以經緯七政運行四時推遷運㑹者上
下百千萬年可知也諸天諸曜種種運行悉無
一定之法其為紛賾莫可勝原此弧弦諸法則
何以能追求至盡乎蓋所論者非諸曜自行之
度數而宗動天之度數也宗動者不依七政而
能為七政之凖則厯家謂之天元道天元極天
元分至終古無變易也因此推歩是以有恒御
無恒厯家之立法最難在此其用法最易亦在
此矣終之以法器何也曰器之用大矣智者非
器不作明者非器不述差者非器不改合者非
器不驗教者非器無以措其辭學者非器莫能
領其意巧者非器未繇見其長拙者非器有所
匿其短是以唐虞欽若首在璣衡厯代以還屢
更其制據今所有則渾天儀簡儀立運儀渾天
象四器也而年逾數百久闕繕治地址傾墊樞
軸鏽蝕渾天一儀不復運動簡儀立運猶似堪
用復少黄道規環且測候多端止慿一器架柱
森列多成映蔽均賦辰度尚未精宻刻定宿度
則又元時所測非今測也此卷中分列諸器擇
其最急畧有五種曰測髙儀曰距度儀曰地平
經緯儀曰赤道經緯儀曰黄道經緯儀有此諸
儀相襲並用彼礙則此通可以無求不得矣更
求宻測責以分秒無差則一式又湏三器三器
俱列用相參較三測並合則製器精工安置如
式測驗得法灼然具見矣有不合者可以推究
病源更求釐正釐正之後測復參差則擇其同
者用之若止據一器有得即真烏從知其然不
然可不可乎且舊儀大環徑止五尺二寸度止
十分今擬新式用半徑者六尺則三倍大也度
得百分則十倍細也用全徑亦六尺度可六十
分亦六倍細也夫今之改憲欲求倍勝於古非
倍勝之器諒無從得之矣或疑法器重大取數
復多即用物必奢是又不然今之舊儀不能揣
知輕重大都唐宋以来考諸史志約畧相等宋
史言東都渾儀四座每座約銅二萬餘斤今擬
諸式槩從輕省若得宋元一儀之費足以盡
造諸器有餘矣且每式三器誠不可少若宛
轉相就則經緯儀可以得距地平儀可以得
髙一倍本數亦能通用或五大既全稍從狹
小以為副貳兼用精鐵以省銅材固無不可
則所計一儀之費尚可損其半也惟是舊儀
欲將脩改則一器止堪一用其脩改之費恐
過於造作計不當為之耳惟渾天象止以測
到度分量度經緯在於施用未為闗切今體
製完美無煩再造矣
界說二十三則
第一界
正弧全圏四分之一或大焉或小焉
如圖甲乙丁為全圈之半乙丙丁為四分之
一是名一象限九十度正弧之大無過於此
若甲乙丙則大於象限丙丁則小於象限但
小者皆名正弧而大者則名過弧
第二界
餘弧正弧之剰分
如庚己正弧庚乙為餘弧是正小於己
乙也如庚丁過弧則大於丁乙而庚乙
為過弧之餘弧也
第三界
通弦者通弧之相當線分圏為兩分(相當線亦/名對線)
如庚丙線與庚乙丙弧相當又與庚己子丙弧相當
第四界
圏内線極大過心者為圏徑
如己戊丁是
第五界
正弦弦之半
如丙甲庚弦半之為丙甲正弦當丙乙弧又丙辛子弦
半之為丙辛正弦當丙丁弧或曰正弦者從圏上一㸃
作垂線至己丁徑上則丙辛為丙丁弧相當之正弦
第六界
餘弦餘弧之正弦
如丁丙正弧則丙乙其餘弧丙甲為丙乙之正弦丙丁
之餘弦
第七界
倒弦者餘弦與半徑之較亦名矢
如丙甲餘弦與辛戊線等以辛戊减丁
戊半徑存辛丁為丙丁弧之倒弦亦為
丙丁弧之矢
第八界
全弦徑之半象限弧之正弦
第九界
直線角在圏心或大或小皆居對弧兩腰間(相當弧亦/曰對弧)
如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧則角生於
丙戊丁戊兩腰間
第十界
餘角者餘弧之正角(對角亦名正角/亦名相當角)
如丙戊乙角為丙丁正弧之餘角即丙乙餘弧之正角
第十一界
切線者圏徑界之垂線亦名切圈線在圏外(如下界之/丙甲線)
第十二界
割線者直角之對線亦名交線亦名截線在圏之内外
如甲戊丙形甲直角(凡言甲角當九/十度弧之直角)戊為
心丙戊交圏於乙割線也此線限心上角
限甲乙弧則角與弧胥生於甲戊戊丙兩腰間又曰正
割線者正弧之割線如甲乙正弧則戊丙正割線也
第十三界
餘切線者餘弧之切線
第十四界
餘割線者餘弧之割線
如戊丁餘弧乙己為割線是甲戊弧之餘
割線
第十五界
全圏三百六十度半徑之全數十萬平分(或用一萬或用/百萬千萬皆可)
第十六界
設弧者任取全圏之一分(凡言設者先有定數/也或稱有或稱得)
如甲戊丙角形戊為心甲乙丁其象限弧
也取甲乙一分四十度則甲乙為設弧也
第十七界
設角者設弧之角
如戊心甲戊戊乙兩腰弧甲乙則因弧而
稱甲戊乙角言角之度分即對弧之度分
第十八界
設正弦
如丁戊半徑十萬分先言丙辛若干分則
所設丙丁弧之正弦
第十九界
設切線
如甲乙全數先言甲丙若干數則所設切
線
第二十界
設割線
如甲乙全數先言乙丙若干數則所設割
線
第二十一界
設邉線
如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五
丈或甲丙三丈俱所設邉線
第二十二界
方數者方形邉自乗之數
如正方邉四自之得一十六方之各邉俱等
方形根者開方所得方形一邉之數
第二十三界
平形有方有矩(方者直角方形矩/者矩内直角形)
矩形邉兩兩自相等有一邉有實用算得所求他邉開
方法有本論本書今别撮為圖欲求根一簡即得省布
算焉簡法見籌算
測量全義卷一
第一題
通弦與通弧正弦與正弧比例等(比例等後/省曰若)
解曰有己庚乙丙丁圏其通徑己戊丁戊
上作乙戊垂線别作庚甲丙線與己丁平
行則庚甲丙為庚乙丙通弧之對弦題言
庚甲丙通弦與庚乙丙通弧之比例若丙甲正弦與乙
丙正弧
論曰戊心上垂線作直角平分庚乙丙弧則庚甲戊丙
甲戊兩角形等何者庚戊丙戊從心至界等甲兩旁直
角等甲戊同邉則兩形必等兩角之對弧亦等(幾何三/卷二十)
(六/)故庚甲丙偕庚乙丙兩全與丙甲偕丙乙兩半比例
等
第二題
圏内正弧等正弦亦等反之正弦等正弧亦等
解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅為徑設丁
丙乙寅兩正弧等從丙從乙作丙戊乙己
兩垂線截徑於辛於壬作直角平分兩弦
(三卷/第三)亦平分丙丁戊乙寅己兩弧(三卷/三十)是丙丁丁戊偕
乙寅寅己之各兩半與丙丁戊偕乙寅己之兩全比例
等則其弦丙辛戊乙壬己之兩全與丙辛辛戊偕乙壬
壬己之各兩半比例亦等題言丁丙乙寅兩正弧既等
則丙辛乙壬兩正弦必等
論曰丙丁與乙寅兩弧既等則作丙庚乙庚自心至界
之兩等線得丙庚丁角與乙庚寅角等(三卷二/十七)丙辛庚
與乙壬庚兩直角亦等而丙辛庚乙壬庚兩三角形必
等故丙辛乙壬兩正弦必等反之丙辛與乙壬丙庚與
乙庚各等丙辛庚乙壬庚兩直角等則丙
庚辛乙庚壬兩角亦等(一卷/第八)而丙丁乙寅
兩對弧必等(三卷第/二十六)
第三題
圏之内大弧大弦小弧小弦反之大弦大弧小弦小弧各
相對
解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧題言己
卯弦大於庚寅弦
論曰試取甲辛弧與丙庚弧等從庚乙己辛各
作垂線過甲丙徑至於丑於丁於癸於子其庚寅辛壬兩半
等(本卷/二)即庚丑辛子兩全亦等(三卷/第三)己癸近心大於辛子(三/卷)
(十/五)是全大於其全也(五卷/十五)己卯視辛壬半不大於其半乎
次論曰試截卯己於午與庚寅等午上作垂線至辛與
丙甲徑平行午卯庚寅既等自與辛壬等(皆在兩平/行線内)甲
辛丙庚兩弧亦等己甲全弧大於辛甲分弧己卯大弦
必大於辛壬小弦是大弦對大弧小弦對小弧也
第四題
圏徑截弦亦截弧任分弦之兩分與兩弧之正弦各相似
解曰有圏徑乙辛截丙丁通弦於己截丙
乙丁通弧於乙其丙乙乙丁兩分弧之各
正弦為丙甲戊丁題言丙己己丁兩分弦
與甲丙戊丁兩正弦比例等
論曰丙甲己丁戊己兩角形相似何者兩形有相等之
己交角有相等之兩直角即丁角與丙角必等(一卷三/十二)
是形與形邉與邉俱相似而丙己己丁兩分弦之比例
與丙甲丁戊兩正弦自相似
第五題(三支/)
三不等角形作垂線任分底為二其大分依大邉大邉上
方大於小邉上方其較為底全線偕分餘線矩内形
先解曰丁乙丙角形三邉不等丁乙小丁
丙次之乙丙大為底(凡邉大/者為底)從丁角作垂
線至底題言分底為二者謂垂線之甲㸃
在形内蓋乙丙邉大即對角之乙丁丙角
亦大乙丙兩角必小如謂㸃在形外即以乙丙邉引長
於己而令己作直角將丁己乙三角形内有丁乙己鈍
角(甲乙丁為/銳角故也)又有己直角是兩角大於兩直角也可乎
次解曰丁甲垂線任分乙丙底題言甲丙大分依丁丙
大邉
論曰丁丙邉既大於丁乙邉即其上方形
亦大而丁丙上方與甲丁甲丙上兩方幷
等(一卷四/十七)則甲丁甲丙兩邉幷亦大於甲
丁甲乙兩邉幷試减同用之甲丁則所存
甲丙亦大於甲乙是甲丙大分依丁丙大邉也
三解曰丁丙方大於丁乙方其較乙丙偕戊丙矩内形
論曰試截甲戊與甲乙等其乙戊線平分於甲有引增
戊丙線則乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷與甲
丙上方形等(二卷/第六)次各加一甲丁上方形則乙丙偕戊
丙矩内形及乙甲(即甲/戊也)甲丁上兩方形或丁乙上方形
(乙甲甲丁兩方幷與/丁乙方等一卷四七)與甲丙甲丁上兩方幷或丁丙上
方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上兩方形獨
少乙丙偕戊丙矩内形則丁丙上方大於丁乙上方形
之較為乙丙偕戊丙矩内形
第六題(四支/)
三不等角形從角作垂線任分底為二知其邉數即知各
分數
解曰同前圖乙甲甲戊等戊丙為任分之較
法曰丁乙丁丙上兩方之實相减餘者以底
數而一得戊丙以减底數餘者半之得乙甲
小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二
十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八為法
而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之
一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也
次解曰依二卷十三題乙丙為兩銳角則丁丙上方小於
丁乙乙丙上兩方其較為乙丙偕乙甲矩内形二
法曰用前數乙丁一百乙丙三百二十四兩方形幷為
四百二十四减去丁丙方形之數二百二十五存一百
九十九為實底數一十八為法而一得乙甲之數約之
為五又三十六之十九者二
三解曰以丁大角為心丁乙小邉為界作全圏截丁丙
於己乙丙於戊丁丙引長於辛丁乙丁辛兩半徑等則
辛丙偕己丙與乙丙偕戊丙兩矩内形等(三卷三/十六)乙甲
甲戊又等(三卷/三)丙乙大邉有戊丙分在圏外
法曰用前數丁丙十五加丁乙十或丁辛
得辛丙二十五丁己與丁乙等則辛己徑
為二十以己丙五乗辛丙得一百二十五
為實乙丙十八為法而一得六又十八之
十七為戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲
四解曰以丁大角為心丁丙大邉為界作全圈乙丙底引
長於戊丁乙邉引長於庚於己即庚乙乙己矩内形與丙
乙乙戊矩内形等(三卷三/十五)丙甲甲戊既等庚丁
丁丙亦等庚乙邉二十五丁丙丁乙兩邉幷亦
二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五
與庚乙相乗得一百二十五為實乙丙十八為法而一得六
有竒為戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲
第七題
斷比例之四率以三推一名三率法
解曰四幾何為兩比例等先有三推得第四或同類或
異類其前其後不得更易用反理亦用轉理列第一第
二第三率即可推第四率依七卷十九題中率相乗與
首尾兩率相乗得數等故二三相乗為實第一為法而
一得四率也昔人因其用大算家必需稱為全法焉(同/類)
(異類反理轉理/俱見幾何四卷)
第八題
三邉直角形銳角為心底為界作象限圏半徑為全數在
心角對邉為其弧之正弦其旁為正弧之餘餘弧之正
解曰如前圖甲乙丙直角形乙銳角為心乙丙底為界
作丁己象限圏引乙甲邉於丁從心作乙
己垂線題言甲直角乙丙為對邉作全數
(本界/說八)丙甲邉為在心角之對邉即丁丙弧
之正弦(本界/說五)而甲乙邉為丁丙正弧之餘弦為丙己餘
弧之正弦所以然者試從丙作丙戊與甲乙平行甲直
角丙戊乙亦直角則丙戊甲乙兩線等(一卷三/十四)丙己弧
為丁丙正弧之餘弧丙戊為丙己餘弧之
正弦為丁丙正弧之餘弦(甲乙/同)
又如後圖用銳角丙為心乙為界則乙甲
為丙角之對邉為乙丁正弧之正弦甲丙其餘弦(乙戊/同)
第九題
三角形邉與邉之比例若各對角之正弦
解曰題一言直角形依前論各邉為對角
之正弦在心角與正弧與正弦俱同理則
弧與弧弦與弦角與角其比例俱等二言
三邉等即三角俱等(一卷/五)角之正弦亦等
則邉與邉皆若角與角三言己乙丙雜角
形三邉形不等則以己乙小邉引長於丁為乙丁與己
丙等丙為心己為界作己庚弧又乙為心丁為界作丁
戊弧末作丁辛甲己兩垂線至乙丙底
論曰丁辛乙甲己乙兩直角形之丁辛甲己平行同用
乙角即各邉俱相似(六卷/四)則乙丁與乙辛若乙己與乙
甲又先設乙丁己丙等是丙己邉與丁辛若己乙邉與
甲己也夫丁辛為乙角之正弦甲己為丙角之正弦更
之則丙己邉與己乙邉若乙角正弦之丁辛與丙角正
弦之甲己也
第十題
有三角即有三邉之比例
解曰直角形設一銳角自有其二(一卷三/十二)三邉等形設
一邉自有其三兩邉等形有腰間角以减兩直角平分
其較自得底上角雜角形有兩角幷以减兩直角其較
為第三角(雜角者總直鈍銳也/下文以直角為例)如乙角四十二度查正
弦得六六九一三丙角四十八度得七四
三一四則丙甲邉與乙甲邉若六六九一
三與七四三一四約之為三十三與三十
七有竒也其乙丙與丙甲若全數與乙角之正弦六六
九一三也鈍角同理
第十一題
三角形有設角之比例即有各角之幾何
解曰乙丙丁角形丁角與乙角若三與四乙角與丙角
若四與六題言可得各角之幾何
論曰三幾何分之有比例幷之亦有比例
(五卷/十八)乙丙丁三角幷得十三其與丙若十
三與六與丁若十三與三與乙若十三與
四
如求每角幾度則用三率法三角幷為第一兩直角幷
一百八十為第二每角之分數為第三推之得第四
或用四卷八題之法三與四四與六四數横列之以第
一第三相乗所得為第一率以第二第三相乗所得為
第二以第三第四相乗所得為第三(再用/前法)又如乙與丙
若三與四丙與丁若五與六列數如圖
第十二題 論直角三邉 (四支/)
三角形有銳角及直角之對邉求餘邉
一法曰置弦(三角形之弦直/角之對邉也)如乙丙二丈
五尺乙角三十六度五十二分丙角必五
十三度○八分求丙甲邉以乙角為心作
丁丙戊象限弧則乙丙全數也丙甲邉乙角之正弦也
一率甲直角之全數十萬
二率丙乙邉外數二十五尺(言内者八線表數言外者/今所求得數如丈尺等)
三率乙角(三十/六)一度五十二分 或用丙角五十三度
正弦内數五九九九五 其正弦内數八○○○三
四率得一四九九約得一丈四尺 四率得二丈
為甲丙邉外數 為甲乙邉外數
用加减法
凡全數為第一率如置十萬即第二第三率之數進
為萬加○若過萬則退位兩率各當正弦向各表上
取其弧兩弧幷而相减求總存兩弧之各餘弦若總
數過九十者兩餘弦相加其半為第四率總數不過
九十者兩餘弦相减所存半之為第四率
如全數與二十五若五九九九五與所求數法二十
五作二萬五千正弦表取其弧得十四度二十九分
查第三率得三十六度五十二分兩弧幷得五十度
二十分其餘弦為六三八三三相减存二十二度二
十四分其餘弦九二四五五兩餘弦之較二八六二
三半之得一四三一為第四率與三率乗除所得同
用切割兩線
二法曰丙乙角為心甲為界作甲戊己
弧截乙丙於戊則乙甲邉全數也甲丙
乙角之切線也乙丙乙角之割線也有
乙設角即有其切線與割線而求甲乙邉則乙角之
割線與乙丙(外/)若乙甲全數與乙甲(外/)又求甲丙邉
則乙角之割線與乙角之切線若乙丙(外/)與丙甲(外/)
一乙角三十六度五十二分之割線三四九九五
二乙丙外邉二十五 或二乙角之切線七四九九一
三全數十萬 ○三乙丙外邉二十五
四得二十為外甲乙邉 四得十五為外甲丙邉
三法曰設直角傍之一邉如乙丙甲角
五十三度八分用正弦則乙丙為全數
其法為丙角之正弦與乙甲外數若甲
直角之全數與乙丙底外數
丙角五十三度八分之正弦八○○○三
乙甲邉外數二十
乙丙全數十萬 乙角之正弦五九九九五
得二十五强即乙丙底外數 得一十五强乃甲丙邉外數
用割切二線
四法曰設乙甲邉與乙角則甲乙全(内/數)
與其外數若乙丙割線(内/數)與其外數或
若甲丙切線(内/數)與其外數底與邉俱得
乙甲全數十萬
乙甲邉數二十
乙角割線内數一二四九九五 乙角切線内數七四九九一
得二十五强即乙丙外數 得一十五强即甲丙外數
第十三題(三支/)
有兩邉求餘邉又求其角
一支兩邉在直角之傍
一法曰先求邉用勾股法兩邉數自之幷
而開方得直角之對邉(一卷四/十七)次以邉求其角因角與
角之比例若邉與邉用正弦數為丙乙邉之外數與甲
角之全數若丙甲邉外數與乙角之正弦亦若甲乙邉
外數與丙角之正弦
丙乙外數五
全十萬
甲乙外數三 甲丙邉外數四
用剖切線
二法曰丙銳角為心丙甲為全數甲乙
其切線丙乙割線也先求角則甲丙邉
外數與全數若甲乙邉外數與丙角之切線
丙甲外數四
全十萬
甲乙邉外數三
得七五○○○為丙角之切線查得三十六度五十二分
有丙角自有乙角而求丙乙邉則全數與甲丙外數若
丙角之交線與丙乙外數
全十萬
甲丙外數四
丙角交線一二五○二二
得五為丙乙邉外數
二支一邉為直角之對一邉在直角之傍
三法曰先用勾股法兩設邉各自之相减餘開方得所
求邉有邉求角則角與角之比例若邉與邉
四法曰不用開方用第一支求角法有二
邉即有對角之數次求邉則丙乙全數與
丙乙外數若乙角之正弦與丙甲外數
全數十萬
乙丙外數五
乙角之正弦八○○○三
得四為甲丙邉外數
用割切兩線
五法曰求角用乙角之割線則乙甲外
數與全數若乙丙外數與乙丙内數内
乙丙者乙角之割線也
乙甲邉外數三
全數十萬
乙丙外數五
得一六六六六六為乙角之割線查得五十三度五十二分(丙角三十六/度○八分)
六法曰求邉用乙角之切線則乙甲内全數與乙甲外
數若乙角之切線與甲丙外數
乙甲内全數十萬 或乙角之割線一六六六七九
甲乙外數三 乙角之切線一三三三四九
乙角之切線一三三三四九 乙丙邉外數五
得四為甲丙邉外數 得四為甲丙邉外數
又問有一邉及兩邉之比例餘邉幾何
法曰設一邉與第二邉有比例或大或小則
以大比例為前數為第一率設邉數為二率
比例之後數為三率用三率法得四率為第三邉之數
次用勾股法求第三邉如乙甲一丈乙甲與甲丙若二
十與二十五得甲丙一丈二尺五寸次用開方求之
又問設兩邉總之較問各邉若干此測量不常用見勾
股索隠
又增題 三邉直角形設兩腰以求角
法曰設甲乙七十五甲丙百則以乙丙底平
分於丁作丁戊垂線交丙甲腰於戊從戊至
乙角作戊乙線是與戊丙等(一卷/十)次以戊為
心乙為界作丙乙己半圏丙甲腰引長至己
即乙甲為丙甲甲己之中比例線(六卷/十三)是乙
甲上方形與丙甲甲己矩内形等次以乙甲
邉自之以丙甲邉而一得甲己知丙己徑之
數即知丙戊及戊乙半徑之數用三率法外戊乙與全
數若外乙甲與乙戊甲角之正弦夫乙戊甲在心角也
丙在弧角也弧角半於心角則因乙(戊/甲)角得丙角(三卷/二十)
(題/)
甲乙七十五自之五千六百二十五甲丙百而一得五
十六又四之一與丙甲幷得一百五十六又四之一即
丙己半之得七十八又八之一即丙戊半徑
戊丙七八又八之一
全十萬
甲乙七五
乙己弧正弦九六○○○
查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一
分用切線甲丙全數也丙甲為丙乙甲角之切線則
甲丙一率也全數二率也甲乙三率也所得丙角之
切線也
第十四題(論雜角三邉形/)
有三角及一邉求第二第三邉
解曰依前論邉與邉若角與角如設乙角六十○度丁
角三十六度丙角八十四度乙丙邉一十○
歩
法曰所有邉其對角之正弦為第一率邉數
為二率所求邉對角之正弦為三率得四率即所求邉
數
丁角之正弦五八七七九
乙丙邉數一十
丙角之正弦九九四五二 乙角之正弦八六六○○一
得十七為丁乙邉 得十五為丙丁邉
若三角形有鈍角當借用其餘角之正弦
第十五題(三支/)
有角及其旁兩腰求餘邉餘角
一支不論角之體勢 如丁乙丙角形乙丁邉一十二
歩丁丙一十五歩丁角二十四度三十七分而求乙丙
邉乙角丙角先以丙丁邉引長之丁為心乙
為界作乙壬辛戊弧截引長邉於戊次作戊
乙通弦從丁作丁庚辛線與丙乙平行末平
分戊乙弦作丁甲壬線
解曰乙丁丙角二十四度半强則乙丁戊角
必一百五十五度半弱庚丁戊角與丙角等(在平行/線内)庚
丁乙角亦與丁乙丙角等蓋丁乙線交兩平行線故其
相對兩内角等則乙丁邉與丙角之正弦或庚丁戊角
之正弦若丁丙與乙角之正弦或庚丁乙角之正弦依
顯戊庚弦與庚乙弦若庚丁戊角之正弦與乙丁庚角
之正弦亦若乙丁(一十/二)與丁丙(一十/五)也(本卷/四題)次以乙丁
丁丙同比例之戊庚庚乙幷得戊乙二十七半之得甲
戊一十三又半為外一率甲丁戊角之切線為内二率
甲戊内减比例之小數戊庚存甲庚一有半為外三率
求得甲丁庚角之切線為内四率查得本角之度知甲
丁戊角則亦知甲戊切線知甲庚庚戊之比例則亦知
甲丁庚角之切線甲庚也甲丁庚為乙丙兩角之較以
加减得各角之數
乙丁邉十二丁丙邉十五總二十七代以乙戊也半之
得十三半甲戊也减比例小數即十二餘一半甲庚也
丁角二十四度三十七分乙丙兩角幷得一百五十五
度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四十一分甲
丁戊也
法曰乙丁丁丙兩邉數幷半之為第一率乙丁戊角之
數半之為甲丁戊其切線為二率甲戊内减去比例之
小數十二所存甲庚為三率得甲丁庚角之切線查度
以减甲丁戊外角所存為庚丁戊角之度即丙角之度
既得角則用前法求邉(或兩腰總數作第一/率兩腰較作第三率)
甲戊十三有半
甲丁戊角之切線四五八○○一
甲庚有一半
得五○八一五為甲丁庚角之切線查得二十六度五十六分
甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六度
五十六分共一百○四度三十七分即丁乙丙角也又
甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二十六度
五十六分餘五十度四十五分為丙角則乙丁邉與丁
丙邉若丙角與乙角
二支所設為鈍角解曰如丁乙丙角形丙
鈍角一百三十度丁丙邉一十二歩丙乙
邉一十五歩用設邉如乙丙引長之從丁
作垂線至引長邉得甲㸃在形外何者甲
乙丁角形有甲直角丁丙乙角形有丙鈍
角則丙丁乙丙乙丁兩角小於甲丁乙丁乙甲兩角蓋
每角形之三角幷等兩直角鈍大於直則所餘兩角幷
必小於直角之兩餘幷矣故丁甲線在丙丁之外丁丙
乙角既一百三十度甲丙丁其餘角也必五十度丙丁
甲角必四十度一法用正弦用開方丁角為心丁乙邉
為界作戊乙辛圏分又丁丙為界作午丙子象限圈即
甲丁丙直角形有丁丙邉十二歩甲丙丁角五十度丙
丁甲角必四十度而求甲丁甲丙兩邉其法全數與丁
丙若甲丙丁角之正弦與甲丁甲丙亦如之既得兩邉
開方求丁乙邉(甲丙丙乙幷之得/勾丁甲為股故也)
全數十萬
丁丙邉外數十二
甲丙丁五十度角之正弦七六六○四 甲丁丙四十度角之正弦六四二七九
得九又一百之十九為甲丁邉外數 得七又一百之七十一為甲丙邉外數
(甲乙二十二又一百之七十一/甲丁九又一百之十九)自之幷得一萬之六
○○二四三五開方得一百之二四四九即丁乙邉
約之得二十五不足有三邉以求角則丁乙邉與全
數若丁丙邉與乙角之正弦查得二十二度有竒
用割切兩線丁為心作甲己象限圏即丙丁為丙丁甲
角之割線甲丙其切線也乙丁為乙丁甲角之割線甲
乙其切線也甲丙丁角有五十度其形内有丁丙兩銳
角有丁丙邉十二歩而求甲丁甲丙兩腰
得甲丁九歩又一百之一十九甲丙七歩
又一百之七十一以丙乙丙甲幷為甲乙
邉二十二歩有竒則甲丁乙三角形有甲
丁甲乙兩邉開方求丁乙底得二十四歩
半有竒
甲丁丙角割線一三○五四
丁丙邉外數十二
全數十萬 甲丁邉角切線八三九一○
得九又一百之十九為甲丁邉外數
有三邉以求角則甲丁邉外數與全數若甲乙邉外數
與乙丁甲角之切線
甲丁邉數九歩一十九分
全數十萬
甲乙邉之數二十二歩七十一分
得二四七一一六為乙甲丁角之切線查得六十度五十分
三支所設為銳角解曰如丁乙丙角形乙銳角二十四
度二十七分丁乙邉三十六歩乙丙邉五十二歩十五
之十一一法用正弦數亦用開方從乙丙底之對角丁
作垂線分元形為甲乙丁甲丙丁兩形次以丁為心丙
為界作寅丙壬弧又以乙為界作辛乙庚
弧夫甲乙丁角形丁乙為全數設乙角則
甲丁為正弦甲乙又丁角之正弦用法求
甲丁為一十五歩求甲乙為二十二歩又
一十五之一十一則以甲乙减丙乙存甲
丙線二十歩依顯丁甲丙角形有丁甲一十五歩甲丙
二十歩用開方法求丁丙得五歩末以三邉求甲丙丁
角得三十六度五十○分
全數十萬
丁乙邉外數三十六
乙角之正弦四六六七 乙角之餘弦九○九○六
得十五為丁甲邉外數 得二十三又十五之十一為乙甲邉外數
丁丙邉二十五
甲丁邉十五
全十萬
得六○○○○為丙角之正弦查得三十六度五十五分
用割切兩線丁為心丁甲垂線為界作己甲午半圏丁
甲乙角形丁甲為全數丁乙邉為乙丁
甲角之割線甲乙其切線也又丁甲丙
角形丁甲為全數丁丙邉為丙丁甲角
之割線甲丙其切線也丁乙甲角形有
丁乙邉三十六歩有丁角為乙之餘角
六十五度二十二分用法求丁甲甲乙兩邉於丙乙
减甲乙存二十為甲丙邉又丁甲丙角形有丁甲甲
丙兩邉用法求丙角亦求丁丙邉
乙丁甲角之割線二三九九九九
丁乙外邉三十六
全數十萬 乙丁甲角之切線二一八一七三
得十五為所求外丁甲 得三十二又十五之十一為外甲乙
求角甲丁邉十五
全數十萬
甲丙邉二十
得一三三三三三為甲乙丙角之切線查得五十三度○七分
求邉全數十萬
甲丁丙角之割線一六六六六五
丁丙邉十五
得二十五弱為丁丙邉
甲丙甲丁兩邉之正方實幷而開方得丁丙二十五弱
第十六題(四支/)
雜角形設兩邉及一邉之對角求餘邉餘角
一支不論角之體勢依邉與邉若角與角比
例之法
先求乙角則丁乙為外一率其對角(即丙/角)之
正弦為二率丁丙為外三率所得為乙角之正弦以丁
二十五歩弱丁丙十二歩丙角百三十度列數得之
丁乙邉二十五歩弱
丙一百三十度用五十度角之正弦七六六○四(為/一)
(弦當大/小兩弧)
丁丙邉十二
得三七五○○為乙角之正弦查得二十二度○二分
幷乙丙兩角之度以减一百八十餘二十七度五十八
分得丁角
次有角求丙乙邉則乙角之正弦與外丁丙若丁角之
正弦與外丙乙
乙角之正弦三七五○○
丁丙邉十二
丁角之正弦四七○○○
得十五為丙乙邉
二支所設為鈍角(數如/前)用所設兩腰間之丁角為心以
丙以乙為界各作弧用正弦數如十四題第一圖丁丙
乙鈍角一百三十度則甲丙丁角必五十度丙丁甲角
必四十度(甲直/角故)求甲丁邉用前法(如一/圖)
又甲丁乙角形有甲丁邉九歩又百分之
一十九分丁乙邉二十四歩求甲乙丁角
(如二/圖) 又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙
角依前法求丙乙邉(如三/圖)
全數十萬
丁丙邉十二
甲丙丁五十度角之正弦七六六○四
得九又一百之十九為甲丁邉數
丁乙邉二十四歩半 乙角之正弦三七五○
全十萬 丁丙邉十二
甲丁邉九歩又一百之十九 丙甲乙角之正弦四六八九六
得三七五一為甲乙丁角之正弦 得十五為乙丙邉
用割切兩線甲丁為全數丁丙為甲丁丙角之割線甲
丙其切線也丁乙為甲丁乙角之割線
甲乙其切線也今有丁丙乙角一百三
十度餘角甲丙丁必五十度則甲丁丙
直角形有兩角有丁丙對直角之邉而
求甲丁邉
一圖
甲丁丙四十度之割線一三○五四一
丁丙邉十二
全數十萬
得九又一百之十九為甲丁邉外數
二圖
或甲丁丙角之切線八三九一○為三率
得七又半不盡為甲丙邉外數
三圖
甲丁邉九有竒
丁乙二四半
全數
得二六六五九四為甲丁乙割線查得六十七度二十三分(乙角之度二十/二度○十○分)
四圖
全數
甲丁邉九有竒
丙切線之較一六一三五
得十五為丙乙邉
又甲乙為甲丁乙角之切線甲丙為甲丁丙
角之切線丙乙為兩切線之較則全數與甲
丁邉若切線之較與丙乙(如四/圖)
三支三角形有兩邉及銳角其二亦銳角如丁乙丙形
有丁乙邉三十六歩丁丙邉二十五歩丁
乙丙銳角二十四度三十七分丁丙為其
對邉法用所設兩腰間之丁角作甲丁垂
線至丙乙邉用正弦數丁為心丙為界作
戊丙弧乙為界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙邉有
乙角可求甲(丁甲/乙兩)邉(如一/二圖)甲丁丙角形有甲丁丁丙兩邉
可求丙角(如三/圖)可求丙甲邉(如四/圖)
一圖
全數十萬
丁乙邉三十六
乙角之正弦四六六七
得十五為甲丁邉外數
二圖
或乙丁甲角之正弦九○九○六為三率
得三十二又十五之十一為甲乙邉外數
三圖
丁丙邉二十五
全數十萬
甲丁邉十五
得六○○○○為甲丙丁角之正弦查得三十六度五十○分
四圖
全數十萬
丁丙邉二十五○○○○
甲丁丙角正弦八○○○○
得十五為甲丙邉外數
用割切兩線丁乙為乙丁甲角之割線甲乙其切線也
即甲丁乙角形有丁乙六十三歩乙角二
十四度三十七分可求丁甲甲乙兩邉(如/一)
(二/圖)又甲丙丁角形有甲丁丁丙兩邉可求
甲丁丙角甲丙邉(如三/四圖)
一圖
乙丁甲角之割線二三九九九九
全數十萬
丁乙邉三十六
得十五為甲丁邉外數
二圖
或乙丁甲角之切線二一八二五一
得三十二又十五之十一為乙甲邉外數
三圖
甲丁邉十五
全數十萬
丙丁邉二十五
得一六六六七九為甲丁丙角之割線查得五十三度八分
四圖
全數十萬
甲丁丙角之切線一三三四九
甲丁邉十五
得二十七又十五之四為甲丙邉外數
四支所設為銳角有兩邉其旁為鈍角
一法用正弦數如丁乙邉二十四歩半丁
丙邉一十二歩乙銳角二十二度○二分
丙為鈍角用第二支圖作丁甲垂線即甲
丁乙直角形丁乙二十四歩可求甲丁甲
乙兩邉(如一/二圖)甲丁丙直角形有甲丁丁丙兩邉可求甲
丁丙角(如三/圖)甲丙邉(如四/圖)
一圖
全數十萬
乙丁邉二十四歩半
乙角之正弦三七五一五
得九歩又一百之十九為甲丁邉
二圖
或甲丁乙角之正弦九二六九七為三率
得二十二又一百之七十一為甲乙邉
三圖
丁丙邉十二
全數
甲丁邉九又一百之十九
得七六六○一為甲丁丙角之正弦查得五十度
四圖
全數
丙丁甲角之正弦六四三○一
丁丙邉十二
得七又一百之七十五為甲丙邉外數
用割切兩線法與前同
第十七題
三角形有三邉求三角
三邉等則三角亦等各角皆六十度於一
百八十度為三分之一或兩邉等如丁乙
丁丙法從丁作丁甲垂線至乙丙底分本
形為甲丁乙甲丁丙兩角形而等何者丁乙丁丙兩腰
等乙甲甲丙又等丁甲同腰則兩形必等(一卷/八)即甲乙
丁角形有丁乙腰乙甲半底依角與角若邉與邉用三
率法求之先置各腰五歩乙丙六半之為乙甲三推得
乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减兩直角餘為乙丙兩
角幷之數半之得兩角數為兩角等故
丁乙邉五
全數
乙丙邉三
得六○○○○為乙丁甲之正弦查得三十六度五十二分
甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙為七十三
度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分
為乙丙兩角之幷數半之得五十三度○八分為乙丙
兩角之各本數
或各邉不等如丁乙丙角形丁乙一十歩丁丙一十五
歩丙乙一十八歩用丁角為心(此角在兩/小腰間)
丁乙為界作戊乙己辛圈而以丙丁邉引
長至戊依五題求甲乙得五歩半甲丙得
一十二歩半即甲丙丁直角形有丁丙甲
丙兩邉求得丙丁甲角(如一/圖)因得甲丙丁角又甲丁乙
直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角(如二/圖)因得甲乙角
又幷兩角得丙丁乙角亦得丙乙兩角為是丁上兩角
之餘故
一圖
丁丙邉十五
甲丙邉十二半
全數
得八三三三三為丙丁甲角之正弦查得五十六度二十六分
二圖
丁乙邉十
乙甲五半
全數
得五五○○○為甲丁乙角之正弦查得三十三度二十
二分即丙角
新法算書卷八十七