歷算全書

自序

授時厯於日躔盈縮月離遲疾並云以算術垜積招差

立算而今所傳九章諸書無此術也豈古有而今逸耶

載攷厯草並以盈縮日數離為六段各以段日除其叚

之積度得數乃相減為一差一差乂相減為二差則其

數齊同乃緣此以生定差及平差立差定差者盈縮初

日最大之差也於是以平差立差減之則為毎日之定

差矣若其布立成法則直以立差六者因之以為毎日

平立合差之差此兩法者若不相蒙而其術巧㑹從未

有能言其故者余因李世徳孝廉之疑而試為思之其

中原委亦自曉然爰命孫(瑴成/)衍為垜積之圖得書一

卷

幾何補編自序

天學初函内有幾何原本六卷止於測面其七卷以後

未經譯出葢利氏既歾徐李云亡遂無有任此者耳然

厯書中往往有雜引之處讀者或未之詳也壬申春月

偶見館童屈篾為燈詫其為有法之形(其製以六圈成/一燈每圈勻為)

(六折並周天六十度之通弦故知其為有法之/形而可以求其比例然測量諸書皆未言及)乃覆取

測量全義量體諸率實攷其作法根源(法皆自楞剖至/心即皆成錐體)

(以求其分積/則總積可知)以補原書之未備而原書二十等面體之

算嚮固疑其有誤者今乃徴其實數(測量全義設二十/等面體之邊一百)

(則其容積五十二萬三八○九今以法求之/得容積二百一十八萬一八二八相差四倍)又幾何原

本理分中末線亦得其用法(幾何原本理分中末線但/有求作之法而莫知所用)

(今依法求得十二等面及二十等面之體積因得其各/體中稜線及輳心對角諸線之比例乂兩體互相容及)

(兩體與立方立圓諸體相容各比例並以/理分中末線為法乃知此線原非徒設)則西人之術

固了不異人意也爰命之曰幾何補編

欽定四庫全書

　厯算全書卷十三

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　授時平立定三差詳説

太陽行天有盈有縮立成以八十八日九十一刻就整

為限者(據盈厯/言之)此由測驗而得之也葢自定氣冬至至

定氣春分太陽行天一象限(依古法以九十一/度三一竒為象限)該歴九

十一日三十一刻有竒而今則不然毎於冬至後八十

八日九十一刻而太陽已到春分宿度故盈厯以此為

限也

夫八十八日九十一刻而行天一象限則於平行之外

多行二度四十分竒也是為盈厯之大積差若縮厯即

其不及之數必行至九十三日竒而後滿一象限也故

縮厯之限多於盈厯日數其積差極數亦與盈厯同

但此盈縮之差絶非平派或自多而漸少或由少而漸

多何以能得其毎日參差之數郭太史立為平立定三

差法以齊其不齊可得毎日細差及積差其理則出於

垜積招差之法也

定差者何曰所測盈縮初日最大之差也凡盈縮末日

即同平行其盈縮之最多必在初日今欲求逐日之差

必先求初日最大之差以為之凖則故曰定差也

既有此最大之差即可以求逐日之差而逐日之差皆

以漸而少法當用減故又有平差立差皆減法也

然何以謂之平差曰平者平方也其差之増有類平方

故以名之也差何以能若平方曰初日以後其盈縮漸

減以至於平以常法論之數宜平派即用差分法足矣

而合之測驗所得則又非平派也其近初日也所減甚

少其近末日也所減驟多假如一日減平差一則二日

宜減二而今則二日之平差増為四又初日平差一二

日平差四則三日宜為七四日宜為十而今則三日之

平差増為九四日増為十六故非平方垜積之加法不

足以列其衰序也

然則又何以為立差曰立者立方也差何以又若立方

曰以平差合之測驗猶為未足故復設此以益之假如

初日減平差一又帶減立差一至二日則平差四而所

帶之立差非四也乃八也三限平差九而立差非九也

乃二十七也葢必如此而後與所測之盈縮相應

其分為六段何也曰此求差之法也一二日間雖各有

盈縮之差然差少則難辨積至半次其差始多而可見

矣故各就其盈縮之日匀分之一年二十四定氣分四

象限各有六氣故其分亦以六也

既匀分六段矣又以後段連前段何也曰此所謂招差

也雖匀分六段其差積仍難細分故惟於初段用本數

以其盈縮多而易見也(如盈厯初段積盈七千/分是最多而易見也)若末段

必帶前段以其盈縮少而難真也(如盈厯末段積差與/第五段相減則其本)

(段中只共盈七百四十九分/數少難分故連前段論之)借彼易見之差以顯難真

之數此立法之意也(以太陽盈差/為例他倣此)

然則各段平差不幾混乎曰無慮也凡前多後少之積

差合總數而匀分之即得最中之率如第六段之平差

即第四十四日之盈加分(以八十八日九二折半得四/十四日四六即最中之處其)

(本段平差二百七十餘/分與之相應下倣此)第五段之平差即第三十七日

之盈加分第四段之平差即二十九日之盈加分第三

段之平差即第二十二日之盈加分第二段之平差即

第十四日八二之盈加分第一段之平差即第七日四

一之盈加分其數各有歸著雖連前段原無牽混也

然則又何以有一差二差曰一差者差之較也二差者

較之較也曷言乎差之較曰各段平差是盈縮於平行

之數也其數初段多而末段少各段一差是相鄰兩限

盈縮之較也其數初段少而末段反多然則二者若是

其相反歟曰非相反也乃相成也葢惟其盈縮於平行

之數既以漸而減則其盈縮自相差之數必以漸而増

其法於前限平差内減次限平差即知前限之盈縮多

於後限若干矣而此一差之數原非平派故初限次限

之較最少而次限三限之較漸多三限四限之較又多

四限五限更多至五限六限則多之極矣其多之極者

何也盈縮之數近末限則驟減也此一差之前少後多

正所以為盈縮之前多後少也

然則二差又何以有齊數曰不齊者物之情也而不齊

之中有所以不齊焉得其所以不齊斯可以齊其不齊

矣今各限之一差不齊而前後兩一差相減則仍有齊

數為二差是其不齊者差之較而其無不齊者較之較

也較之較既為齊數則較數之不齊皆有倫而有脊矣

故遂可據之以求定差也

泛平積即用第一段平差何也曰今推定差初日之數

也前所推第一段平差則第七日之數也故總第一段

言之可曰平差而自初日言之但成泛積泛者對定之

辭言必再有加減而後為定率也

二差折半何也曰以分平差立差之實也葢泛平積差

既為初日盈加分多於七日之較則皆此七日中平差

立差所積而成之者也而平差之數大立差之數小泛

平積之大數皆平差所成而其中有六十九秒(即半/二差)則

立差所成故分出此數以便各求其數也

平差除一次立差除兩次何也曰此平立之分也除一

次者段日本數為法也除兩次者段日自乘為法也於

是再以段日乘之則本數者如平方之自乘自乘者如

立方之再乘矣

平立合差何也曰次限少於初限之差也内有兩平差

六立差之共數故謂之合差(如盈厯以二分四十六秒/為平差三十一微為立差)

(今倍平差得四分九十二秒加入加分立差一秒八十/六微共得四分九十三秒八十六微為平立合差是有)

(兩平差六立差之數葢加/分立差原是六個立差也)

定差内又減一平差一立差為初日加分何也曰此初

日加分之積少於定差之數也既以定差為初日加分

矣而積又減此何也曰以定差為初日加分者乃初日

最初之率也積滿一日則平差立差各有所減而特其減甚

微故各祗一數如平方立方之起數以一也是故此一

平差一立差者即初日平立合差也

初日之平立合差何獨少耶曰准於平方立方之加法

正相應也葢平方幂積以自乘之積為等(其數一四九/十六二十五)

(三十六四九/六四八一也)立方體積以再乘之積為等(其數一八二/十七六四百)

(二十五二一六三/四三五一二也)而平立合差之數亦如之

是故初日之盈縮積是於定差内減一平差一立差

　如平方立方之根一者積亦一也

次日之盈縮積是於二定差内減四平差八立差　如

　方根二者平積必四立積必八也

三日之盈縮積是於三定差内減九平差二十七立差

　如方根三者平積必九立積二十七也

四日之盈縮積是於四定差内減十六平差六十四立

　差如方根四者平積必十六立積必六十四也

向後各限並同此推合而言之即皆逐日之平立合差

也然則以一平差一立差較次日之四平差八立差固

為小矣而以四平差八立差較三日之九平差二十七

立差不更小乎何况以三較四則為九平差二十七立

差與十六平差六十四立差其相差不更懸絶乎

問次日之平立合差只兩平差六立差而今又云四平

差八立差三日以後之平立合差只遞増六立差(逐日/遞増)

(加分立差一秒八十六/微是六個立差之數)而今所云者三日有平差九立

差二十七其説之不同如此必有一誤矣曰差之積類

於平方立方者是總計其所減之數而毎加加分立差

者是分論其逐日所減之數也欲明此理仍當求諸少

廣(少廣者開/方法也)

今夫平方以一四九十六二十五等為序者其幂積也

若分而言之以一三五七九為序者其廉隅也(以相挨/兩平幂)

(相減即得廉隅如一與四相減得三四與九相減得五/九與十六相減得七十六與二十五相減得九是也)

廉隅即較也而遞増以二數者較之較也(一三五七九/皆遞増以二)

今夫立方以一八二七六四一二五為序者其體積也

若分而言之以七十九三七六一為序者其廉隅也(亦/以)

(相挨兩體積相減得之如一減八得七八減廿七得十/九廿七減六十四得三十七六十四減一百二十五得)

(六十一/是也)廉隅即較也而遞増以六者較之較也(一増六/得七七)

(増二六得十九十九増三六得/三十七三十七増四六得六一)是故平立差之總積是

初日以來所積之差也亦如平立方之幂積體積也平

立差之加法是逐日遞増之較也亦如平立方之廉隅

也

合初日以來之加分(即盈縮/積度)與定差較則其差如平立

方之幂積體積也(平差之序一四九十六二十五十立/差之序一八二十七六四一二 五)

若以本日之加分與定差較則其差如平立方之廉隅

也(平差之序一三五七九十立差/之序七十九三十七六 一)

若以本日之平立合差與初日較如平立方之廉積(平/差)

(之増二四六八立差之/増六十八三十六六十)若以相近兩日之平立合差自

相較如平立方之廉積相較(平差之遞増皆二立差之/遞増以六而再増十二為)

(二六再増十八為三六/再増二十四為四六也)於定差内減平差立差各一為

初日加分

又於初日加分内減去二平差六立差是共減平差四

(本日實減三合初/日所減之一則四)立差八(本日實減七合初/日所減之一則八)而為次日

加分也

又於次日平立合差内加入六立差為平立合差(共二/平差)

(十二/立差)以減次日加分是共減去平差九(本日實減平差/五合前兩日所)

(減四/共九)立差二十七(本日實減立差十九合前/日所減之八則二十七)而為三日

加分也

又於三日之平立合差内加六立差為平立合差(共二/平差)

(十八/立差)以減三日加分是共減去平差十六(本日實減平/差七合前三)

(日所減之/九則十六)立差六十四(本日實減立差三十七合前三/日所減之二十七則六十四)

而為四日加分也

故曰合初日以來之加分與定差較其差如平立方之

幂積體積而以本日之加分(即本日/實減數)與定差較則如廉

隅也

若論布立成法則不言定差但以初日加分為根

以平立合差減初日加分為次日加分是於初日加分

内減二平差六立差也

又以六立差倂入平立合差以減次日加分為三日加

分是於次日加分内又減二平差十二立差於初日加

分則為減四平差十八立差也

又如上法再増六立差以減三日加分為四日加分是

於三日加分内又減二平差十八立差於初日加分内

則為減六平差三十六立差也

故曰以平立合差與初日較若平立方之廉積而以相

近兩日自相較如平立方之廉積相較也

平方二廉故相加以二立方六廉故相加以六此倍平

差六因立差為平立合差之理也平方之相加以二者

始終不變立方之相加以六者毎限遞増此向後立差

遞増六數之理也

　　盈縮招差圖説

盈縮招差本為各一象限之法(如盈厯則以八十八日/九十一刻為象限縮厯)

(則以九十三日七/十一刻為象限)今只作九限者舉此為例也其空格

九行定差本數為實也其斜線以上平差立差之數為

法也斜線以下空格之定差乃餘實也

假如定差為一萬平差為一百立差為單一今求九限

法以九限乘平差得九百又以九限乘立差二次得八

十一並兩數九百八十一為法定差一萬為實法減實

餘實九千○一十九即九限末位所書之定差也於是

再以九限為法乘餘實得八萬一千一百七十一為九

限積數

本法以九限乗定差得九萬為實另置平差以九限乘

二次得八千一百置立差以九限乗三次得七百二十

九並兩數得八千八百二十九為法以減實九萬得八

萬一千一百七十一為九限積與前所得同

本法是先乘後減用法是先減後乘其理一也

初日減平差一庚也次日又減平差二甲也實減三並

甲庚也合廉隅矣並計初日共減四合平方幂矣

第三日又多減平差二乙也實減五並二甲二乙一庚

也合廉隅矣並計前兩日共減九合平方幂矣第四日

以後倣此推之

中心甲一為初限所減立差即垜積形之頂

加外圍六乙共七為次限所減立差平廉長廉各三隅

一也並上層甲共八成根二之體積是為垜積形之第

二層

又加外圍丙十二共十九為三限所減立差三平廉共

十二三長廉共六隅一也並上兩層共二十七合根三

之體積是為垜積形之第三層

又加外圍丁十八共三十七為四限所減立差三平廉

共二十七三長廉共九隅一也並上三層共六十四合

根四體積是為垜積形之第四層

又加外圍戊二十四共六十一為五限所減立差三平

廉共四十八三長廉十二隅一也並上三層共一百二

十五合根五之體積是為垜積之第五層

又加巳三十共九十一為六限立差其七十五為三平

廉其十五為三長廉其一隅也並上層共二百一十六成

體積是為垜積之第六層

又加庚三十六共一百二十七為七限立差其百○八

為三平廉其十八為三長廉其一隅也並上層成體積

三百四十三是為垜積之第七層

又加辛四十二共一百六十九為八限立差其百四十

七為三平廉其二十一為三長廉其一隅也並上層共

五百一十二如體積是為垜積之第八層

此姑以八層為式向後倣此推之　因從甲頂平視故

類六角平面其實如六角錐也立方廉隅而圖以錐形

六角者以表其垜積招差之理也　甲恒為隅朱書者

長廉餘則平廉立方之平廉長廉各三離居三方則成

六角　六觚形以六抱一毎層増六與立方加法同所

異者六觚平面而立方必并其積故以堆垜象之　若

算六角堆垜但取其底之一面自乘再乘見積與立方

同

以斜立面觀之最上甲一次乙二次丙三丁四戊五己

六庚七辛八其底之數各如其層之數(如堆只三層則/以三丙為底四)

(層則四丁為底毎多一層其各面之底必/多一數若辛下再加一層為壬必九數也)

實計其毎面六觚之數則甲一乙七丙十九丁三十七

戊六十一己九十一庚一百二十七辛一百六十九(前/平)

(視之圖乙為甲掩故但見外圍之六丙為乙掩故但見/外圍十二餘皆若是也觀者當置身於髙處從甲頂俯)

(視即得/其理)皆以外圍之數為下層多於上層之數

合計其堆垜之積則甲一乙八丙二十七丁六十四戊

一百二十五己二百一十六庚三百四十三辛五百一

十二(乙七並甲一成八丙十九並乙/七甲一成二十七餘皆若是)其堆垜之積皆如

其層數之立方(以底之一面餘乗/又以層數乗之也)

問平差之根是以段日除積差而得則毎日適得一平

差今所減平差甚多殆非實數曰泛平積差是初日多

於第七日之數(亦據盈/厯言之)而平差之數既如段日則於日

數為加倍(盈厯段日十四日竒以此分積差為毎日平/差則平差共數亦十四竒於七日為加倍)

今倍減平差正合積差原數豈患其多

曰若然又何以能合平方曰以本日實減之數與定差

較但取其銷盡積差已足(如第七日實減十三平差第/八日實減十五平差七日有)

(竒在其中半積/差必當減盡)故其法若平方之廉隅若合計初日以

來減過平差與初日以來定差相較則所減之積皆如

平方自乘觀圖自明(如七日共數得四十九八/日共數得六十四之類)

又如立差以段日自乘除泛立積差而得故其數亦略

如段日之自乗而毎日實減亦如立方之廉隅聊足以

銷去積差(本日尚有餘秒/後一日竒減盡)若合計初日以來共數則亦

如立方再乗之積矣

右圖以九限為例(九限以/後倣論)定差設十萬平差設一千立

差設單一如法以本日加法并之為平立合差(如圖平/差立差)

(各有加法/故當並用)以平立合差減先日加分得本日加分合計

從前加分為本日盈縮積(或以本日加分加先日盈/縮積得本日盈縮積亦同)

　　又簡法

置定差内減平差立差各一為初日加分(又即為第一/日盈縮積)

别置平差倍之加入六立差為初日平立合差以後毎

於平立合差内加入六立差為次日平立合差(餘同/上)

　　用定差法

以日數乘立差得數加入平差再以日數乘之得數乃

置定差以得數減之用其餘為實復以日數乘之得本

日盈縮積

置相近兩盈縮積相減得加分又置相近兩加分相減

得平立合差亦同

　　定差本法

置定差以日數乘之得數為實又以日數自乘用乘平

差得數以日數再自乘用乘立差得數平立兩得數并

之為法法減實得盈縮積(餘同/上)

　厯算全書卷十三