歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書巻三十一

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　　籌算二之三

　開平方法

勿菴氏曰自周髀算經特著開平方法其説謂周公受

　于商髙矩地規天為用甚大然有實無法故少廣之

　在九數別自為章今以籌御之簡易直截亦數學之

　一樂也

解曰平方者長濶相等之形也其中所容古謂之冪積

　亦曰面冪西法謂之面面有方有圓此所求者方面

　也其法有方有亷有隅總曰平方也(冪音覔覆/物中也)開亦

　除也以所有散數整齊而布列之為正方形故不曰

　除而曰開平方四邊相等今所求者其一邊之數西

　法謂之方根

　如後圖方者初商也初商不盡則倍初商之根為亷

　　　　　　法除之得兩亷又以次商為隅法自乘

　　　　　　得隅隅者以補兩廉之空合一方兩亷

　　　　　　一隅成一正方形

　　　　　　如圖一方兩廉一隅除積仍不盡則

　　　　　　合初商次商倍之為廉法除之以得

　　　　　　次兩廉又以三商為隅法自乘得隅

　　　　　　合一方四廉兩隅成一正方形(商四/次以)

　　　　　　(上倣此/加之)

　解曰上兩位者自乘之積也假如方一十則其積一

　百方二十則其積四百以至方九十則其積八千一

　百也下一位者方根也假如積一百則其根一十積

　四百則其根二十乃至積八千一百則其根九十也

　平方籌式列左

　　　　開平方籌只用兩位積數何也曰開方難得

　　　　者初商耳平方積數雖多而初商所用者只

　　　　兩位次商以後皆亷積也亷積可用小籌除

　　　　之開方大籌専為初商故積止兩位

　　　　籌下一位單數也而實有百也萬也百萬也

　　　　億也百億也萬億也百萬億也皆與單同理

　　　　故獨商首位者用下位之積數焉(其積自○/一至○九)

　　　　(其方根為/一二三)

　籌上一位十數也而實有千也十萬也千萬也十億

　也千億也十萬億也干萬億也皆與十同理故合商

　兩位者用上下兩位之積數焉(其積自一六至八一/其方根自四至九)

用法曰先以實列位列至單位止實有空位作圏以存其

　位次乃作㸃凡作㸃之法皆從實單位實單位起作

　一㸃毎隔位則㸃之而視其最上一㸃以為用

　首位有㸃者以實首一位獨商之(乃補作一圏于原/實之上亦成兩位)

　(之/形)

　首位無㸃㸃在次位者以實首位合商之

　　皆視平方大籌積數有與相同或差小于實者用

　　之以減原數而得方數即初商也

定位法曰既得初商則約實以定其位知其所得為何

　等(或單或十/或百之類)以求次商

　其法依前隔位所作之㸃總計之視有若干㸃

假如只一㸃者初商所得必單數也(自方一/至方九)則初商已

　盡無次商矣

　有二㸃者初商所得必十數也(自方一十/至方九十)初商十數

　者有次商

　有三㸃者初商所得必百數也(自方一百/至方九百)初商百數

　者有次商又有三商

　有四㸃者初商千也有商四次焉

　有五㸃者初商萬也有商五次焉

次商法曰依前術定位則知其宜有次商與否

　若已開得單數雖減積不盡不必更求次商也

　雖未開得單數而初商減盡亦不必更求次商也

　惟初商未是單數而減積又有不盡是有次商矣

　次商者　倍初商為亷法用小籌以除之(初商一則/用第二籌)

　　(初商七則用第一第/四兩籌皆取倍數)視籌積數有小于餘實者用

　　之為亷積視亷積在小籌某行命為次商數

既得次商減去亷積即用次商數為隅法以求隅積

　隅積小平方也即隅法自乘之數也(可借開方/籌取之)

　若隅積大于餘實不及減者轉改次商及減而止

以數明之　假如積一百其方根十即除實盡此獨用

　方法無亷隅矣若積一百四十四初商十除實百餘

　四十四則倍初商之根得廿為亷法(在初商之兩旁/故曰亷亷有二)

　(故倍/之也)次商二以乘亷得四十為亷積又次商二為隅

　法自乘得四為隅積共四十四除實盡開其根得一

　十二也

商三次以上法曰次商所得尚非單數而減積又有不

　盡是有第三次商矣

　商第三次者合初商次商數皆倍之為次亷法　如

　前用籌以除餘實求得第三商以减亷積

　又即以第三商之數為隅法以求隅積皆如次商

商四次五次以上並同第三商

命分法曰但開至單數而有餘實者是不盡也不盡者

　以法命之法以所開得數倍之又加隅一為命分

　不盡之數為得分　凡得分必小于命分

　亦有開未至單宜有續商而其餘實甚少不能除作

　單一者亦如法命之而于其開得平方數下作圈紀

　其位如云平方每面幾十○又幾十幾分之幾　或

　平方每面幾百○○又幾百幾十幾分之幾

　若欲知其小分別有開除分秒法見第七巻

列商數法曰凡初商得數而書之有二法　其法依前

　隔位所作㸃以最上一㸃為主凡得數皆書于此㸃

　之上一位五以上者又進一位故有二法也

　其故何也五以上之亷倍之則十故豫進一位以居

　次商四以下雖倍之猶單數也所以不同凡歸除開

　平方須明此理不則皆誤矣　大約所商單數必在

　亷法之上一位乃法上得零之理也平方有實無法

　亷法者乃其法也

凡次商列位亦有二法　次商用歸除除法者皆書于

　籌之第一位故次商以之

看次商所減之數其籌行内第一位是空與否若不空

　即以次商數對而書之對餘實首一位是也

　若第一位是圈即以次商數進位書之以暗對其圏

　餘實上一位是也

　　知此則知空位矣次商有一定之位故空位亦一

　　定也如次商與初商隔位則作圈隔兩位作兩圈

　　是也

　商三次以上書法並同

隅積定位法曰凡減隅積皆視其隅數為何等(隅數即/次商之)

　(數也或單或/十或百千等)以求其積

　隅數是單其減隅積亦盡于單位

　隅數是十其減隅積必盡于百位

　隅數是百其減隅積必盡于萬位

　隅數千其隅積必百萬

　隅數萬其隅積必億

　　每隅數進退一位則隅積差兩位(隅積小平方也/故皆與初商同)

　　(理/)

還原法曰凡開方還原皆以所開得數為法又為實而

　自相乘之有不盡者以不盡之數加入即得原數

假如有積三百六十平方開之

　列位(單位作圈/)作㸃(從單位起/)

　　　　　　視首位有㸃以首位三百獨商之

　　　　　　乃視平方籌積數有小于○三者是○

　　　　　　一也○一之方一故商一十(有二㸃故/初商是十)

　于原實内減去方積一百餘二百六十(初商是十/知有次商)

　　以上一㸃為主凡得數皆書于此㸃之上一位此

　　常法也四以下用常法

　次倍初商(一十/)作(二十/)用第二籌為亷法

　　　　　　視籌第九行積一八小于二六次商九

　　　　　　于初商一十之下去亷積一百八十餘

　　　　　　八十(所減數在籌上一位不空故/以商數九對餘實首位書之)

　次以次商九為隅法其隅積八十一大于餘實不及

　減應轉改次商為八視籌之第八行積數(一六/)減亷

　積一百六十餘一百(所減第一位下/空故對位書之)

　　　　　　乃以次商八為隅法減隅自乘積(六十/)

　　　　　　(四/)餘(三十六/)不盡

　　　　　　隅數單故減隅積亦盡于單位

　　　　　　初商(一十/)次商(八/)共(一十八/)是已開至

　單位也而有單位也以法命之　以平方(一十八/)倍

　之又加隅(一/)共(三十七/)為命分

　命為平方一十八又三十七分之三十六

　還原法

　　　　　　　以平方一十八用籌為法即以平方

　　　　　　　一十八為實而自相乘之得三百二

　　　　　　　十四加入不盡之數三十六共得三

　百六十如原數

　命分還原論詳別巻

假如有積一十二萬九千六百平方開之

　列位　作㸃

　　　　　　　　視首位無㸃㸃在次位以兩位一

　　　　　　　　十二萬合商之

　　　　　　　　乃視平方籌積有小于一二者是

　○九其方三也于是商三百(三㸃故/初商百)減去方積九萬

　餘三萬九千六百(初商百故/知有次商)

　次倍初商(三百/)作(六百/)用第六籌為亷法

　視籌第六行積數(三六/)小于(三九/)次商六十于初商

　三百之下減去亷積三萬六千餘三千六百(所減首/位不空)

　(故對/書之)次以次商(六十/)為隅法減隅積三千六百恰盡

　(隅數十故減隅/積必盡于百位)

　凡開得平方三百六十○　開方雖未至單減積已盡

　是方面無單數也後倣此

　還原法

　　　　　　以所得平方三百六十○為法為實而

　　　　　　自相乘之得一十二萬九千六百○○

　　　　　　如原數

假如有積一千平方開之

　列位　作㸃

　　　　　　視㸃在次位以首二位一千○百合商

　　　　　　之

　　　　　　乃視平方籌小于(一○/)者(○九/)也(○九/)

　之方三商作三十(二㸃故/初商十)減方積九百餘一百

　次以初商(三十/)倍作(六十/)用第六籌為亷法

　視第六籌第一行是(○六/)小于(一百/)次商一千初商

　三十之下減亷積六十餘四十(所減是○六首位空/也故書于進位以對)

　(其○今雖對于餘實以所減六十/言之猶進位也列位之理明矣)

　次以次商一為隅法減隅積一餘三十九不盡(隅積/盡單)

　(位/)

　所開已至單位而有不盡以法命之倍所商三十一

　又加隅一共六十三為命分

　命為平方三十一又六十三分之三十九

　　此以上皆初商四以下列位之例　皆以最上之

　　一㸃為主而書其初商所得數于㸃之上一位乃

　　常法也

假如有積四千○九十六平方開之

　列位　作㸃

　　　　　　　視㸃在次位以四千○百合商之

　　　　　　　乃視平方籌積數有三六小于四○

　　　　　　　其方六也商作六十(二㸃故/初商十)減方積

　三千六百餘四百九十六(初商十故/知有次商)

　　以最上一㸃為主而書其得數于㸃之上兩位乃

　　進法五以上用進法

　次倍初商(六十/)作(一百二十/)為亷法(用第一第二兩籌/)

　視籌第四行積數(四八/)小于餘實次商四於初商六

　十之下減亷積四百八十餘一十六(所減是○四八/首位空也故次)

　(商四進位書之若初商/不進則次商同位矣)

　次以次商四為隅法減隅積一十六恰盡(隅數單故/隅積盡單)

　(位/)

　凡開得平方六十四

假如有積八千○九十九以平方開之

　列位　作㸃

　　　　　　　視㸃在次位以八千○百合商之

　　　　　　　乃視平方籌有(六四/)小于(八○/)　其方

　　　　　　　八也于是商八十(二㸃故/初商十)除實六千

　　　　　　　四百餘一千六百九十九(初商是十/宜有次商)

　　　　　　　次以初商八十倍作一百六十為亷

　法(用第一第六兩籌/)

　合視兩籌第一行積(一六/)與餘實同宜商(一十/)因無

　隅積改用第九行(一四四/)次商九于初商八十之下

　減亷積一千四百四十餘二百五十九(所減第一位/不空故對位)

　(書/之)

　次以次商九為隅法減隅積(八十一/)仍餘一百七十

　八不盡(隅數單隅/積盡單位)

　已開至單位而有不盡以法命之　應倍所商八十

　九又加隅一共一百七十九為命分

　命為平方八十九又一百七十九分之一百七十八

　(因少一數故不/能成九十之方)

假如有積二千五百四十八萬二千三百○四平方開之

　列位　作㸃

　　　　　　　　視㸃在次位以二千五百萬合商

　　　　　　　　之

　　　　　　　　乃視平方籌積有(二五/)與實相

　同其方五也商五千(四㸃故/初商千)除方積二千五百

　萬餘四十八萬二千三百○四(初商千/有次商)

　　(又法既以四㸃知所得為五千倍之則為一萬即/亷法也法上一位便是單逆上三倍則五千位矣)

　次倍初商(五千/)作(一萬/)為亷法(用第一籌/)

　視籌第四行積四與餘實同次商四十于初商五千

　之隔位減亷積四十萬餘八萬二千三百○四(所减/是○)

　(四故進位書之以對其○然與初商五千猶隔/一位故知所得為四十此定位之法之妙也)

　次以次商四十為隅法減隅積一千六百餘八萬○

　七百○四(隅數十故減隅積盡于/百位 商至十有末商)

　次合初商次商倍之得(一萬○○八十/)為亷(用第一/)

　(第八并二空位共四籌/)

　(大凡商五數以上則其亷法視所商方數必進一位/不論初商次商皆然若四以下則其亷法視方數必)

　(同位亦初/次商盡然)

　合視籌内第八行積數(八○六四/)小于餘實又次商

　八于先商五千○四十之下減亷積八萬○六百四

　十餘六十四(此所減第一位亦是○故商/數八亦進位書之以對其○)

　次以末商八為隅法用減隅積六十四恰盡(隅數是/單故減)

　(隅積亦必/盡于單位)

　凡開得平方五千○四十八

　　以上皆商五以上進書例也

　　常法中有初商得二或四者進法中有初商得七

　　或九者並雜見開方分秒法并開方捷法中

　開立方法(籌算三/)

勿菴氏曰物可以長短度者泰西家謂之線線之原度

　一横一縮而自相乘之以得其羃積者平方也西法

　謂之方面方面與線再相乘而得其容積則立方也

　西法謂之體

解曰平方長濶相等形如碁局立方長濶髙皆相等形

　如骰子細分之有方有平亷有長亷有小隅總曰立

　方

　立方亦有實無法以所有散數整齊之成一立方形

　故亦曰開

　立方長濶髙皆等今所求者其一邊之數故西法亦

　曰立方根

　　　　　　　　　　如圖方者初商也初商不盡

　　　　　　　　　　則再商之于是有三平亷三

　　　　　　　　　　長亷一小隅共七并初商方

　　　　　　　　　　形而八合之成一立方形

　　　　　　　如圖方形者長濶髙皆如初商之數

　　　　　　　方形只一

　　　　　　如圖平亷形者長濶相同皆如初商數

　　　　　　其厚則如次商數　(平亷形凡三以輔/于方形之三面)

　　　　　　長亷者長如初商數其兩頭髙與濶等

　　　　　　皆如次商數　(長亷形亦三以/補三平亷之隙)

　　　　　　小隅者長濶髙皆等皆如次商數　(其/形)

　　　　　　(只一以補三/長亷之隙)

商三位圖

　　　　　　　　　　如後圖一方三平亷三長亷

　　　　　　　　　　一小隅除實仍不盡則更商

　　　　　　　　　　又得次平廉次長廉各三

　　　　　　　　　　次小隅一合之共十五形凑

　　　　　　　　　　成一大立方形　次平亷之

　　　　　　　　　　長濶相等皆如初商并次商

　　　　　　　　　　之數厚如三商數其形三以

　輔初商并次商合形之外　次長亷之長如初商并

　次商之數其濶與厚相等皆如三商數其形亦三以

　補次平亷之隙次小隅之長濶髙皆等皆如三商數

　其形只一以補次長亷之隙

立方籌式(列後/)

解曰上三位者自乘再乘之積也假如根一十則其積

　一千根二十則其積八千乃至根九十則其積七十

　二萬九千也　次兩位者自乘之積即平方也置于立方

　　　　　　　　籌者以為亷法之用假如初商一百則

　　　　　　　　其平亷亦方一百其積一萬乃至商九

　　　　　　　　百則其平亷方九百而積八十一萬也

　　　　　　　　又如次商一十則其長亷之兩頭亦必

　　　　　　　　方一十而積一百乃至次商九十則其

　　　　　　　　長亷之兩頭必方九十而積八千一百

　　　　　　　　也　下一位者方根也假如立積一千

　　　　　　　　則其根一十立積八千則其根二十乃

　至積七十二萬九千則其根九十也

　立方籌三位何也自乘再乘之數止于三位也且以

　為初商之用故只須三位其餘實雖多位皆亷積耳

用法曰先以積列位至單位止無單者作圈以存其位

　次作㸃從單位㸃起每隔兩位作一㸃(即滿三位去/之之法也)

　㸃訖視最上一㸃以為用

　㸃在首位者獨商之以首位為初商之實

　　單數商法也　若千若百萬若十億若萬億若千

　　萬億凡以三位去之餘一位者皆與單法同

　㸃在次位者合首兩位為初商之實

　　十數商法也　若萬若千萬若百億若十萬億若

　　兆凡以三位去之餘二位者皆與十同法

　㸃在第三位者合首三位為初商之實

　　百數商法也　若十萬若億若千億若百萬億若

　　十兆凡以三位去之餘三位者皆與百同法

　又法視其㸃在首位則于原實之上加兩圈㸃在次

　　位者上加一圈皆合三位而商之

　次以初商之實與立方籌相比勘視立方籌積數有

　與實相同或差小于實者用之以減原實而得其立

　方之數即初商也

定位法曰既得初商則約實以定位知所得立方為何

　等(或單或/十百等)以知有續商與否　皆以前所作㸃而合

　計之視有若干㸃之命之

　假如只有一㸃則商數是單　初商已得單數無次

　商

　　有二㸃者商數十　初商十數者有商兩次焉

　　有三㸃者商數百　初商百數者有三三次焉

　　四㸃商千　五㸃商萬　每多一㸃則得數進一

　　位而其商數亦多一次皆以商得單數乃盡也

减積法曰凡初商减積皆止于最上㸃之位

次商法曰依前定位若初商末是單而减積未盡是有

　次商也次商者有平亷法有長亷法有隅法(解曰平/亷古曰)

　(方法長亷法古曰亷法以後或曰平亷長/長亷從質也或省曰方法亷法從古也)

　先以所得初商數三之為亷法

　又以初商數自乘而三之為三法　以方法用籌除

　　積以得次商(以列位之法定/之其法見後)

　既得次商用其數以乘方法為三平亷積

　又以次商自乘以乘亷法為三長亷積

　其次商即為隅法　以隅法自乘再乘得小立方積

　為隅積

　乃併三平亷三長亷一小隅積為次商亷隅共積

　　若此亷隅共積與餘積適等或小于餘積則減而

　　去之視其仍餘若干以為用(或續商或/以法命之)

　　若共積反大于餘實不及減轉改次商及減而止

　　(若次商單一而/無減以法命之)

商三次法曰次商尚未是單而減積未盡是有第三次商

　也

　第三次商者合初商次商得數而三之為亷法

　又合初商次商得數自乘而三之為方法　如前以

　　方法用籌除餘實求得第三商(亦以列位法/詳其所得)

　既得第三商如前求得三平亷三長亷一小隅積以

　　減餘實其法並同次商

　四次以上皆同法

命分法曰但商得單數而有不盡則以法命之　未商

　得單數而餘實甚少不能商單一者亦以法命之

　其法以所商立方數自乘而三之(如平/亷)又以立方數

　三之(如長/亷)又加單一(如小/隅)併三數為命分不盡之數

　為得分　其命分必大于得分

列商數法曰依前隔位作㸃以最上一㸃為主而論之

　有三法凡商得立方一數者于此㸃之上一位書之

　　(或單一或一十或/一百或一千並同)此常法也

　若商得立方二三四五者于此㸃之上兩位書之(單/十)

　　(百千其/法並同)乃進法也

　若商得立方六七八九者于此㸃之上三位書之(單/十)

　　(百千其/法並同)乃超進法也

　平方只有進法而立方有三法何也平方以亷法為

　　法而平方只二亷故其亷法之積數只有進一位

　　故止立進法與常法為二也立方以方法為法而

　　立方有三平廉故其方法之積數有進一位進兩位

　　故立進法超進法而與常法為三也其預為續商

　　之地使所得單數居于法之上一位則同

　假如立方單一其方法單三　若立方單二則方法

　　一十二變為十數進一位矣故單一用常法而單

　　二即用進法也

　又如立方單五其方法七十五　若立方單六則方

　　法一百○八又變百數進兩位矣故單五只用進

　　法而單六以上必用超進之法也

　假如立方一十其方法三百　若立方二十則方

　　法一千二百變千數進一位矣故一十只用常法

　　而二十即用進法也

　又如立方五十其方法七千五百　若立方六十則

　　方法一萬○八百又變萬數進兩位矣故五十仍

　　用進法而六十以上必用超進之法也

　若宜進而不進宜超進而不超進則初商次商同位

　　矣不宜進而進則初商次商理不相接矣此歸除

　　開立方之大法也

其次商列位理本歸除以所減積數首一位是空不是

　空定其進退皆同平方　商三次以上並同

隅積法曰隅法單隅積盡單位　隅法是十隅積盡于

　千位

　隅法百隅積盡百萬之位　以上倣求　大約隅法

　大一位則隅積大三位

還原法曰置開得立方數為實以立方數為法乘之得

　數再以立方數乘之有不盡者加入不盡之數即得

　原實

假如有積一千三百三十一立方開之

　列位　作㸃(從單位起/)

　　　　　　　　視首位有㸃以○○一千為初商

　　　　　　　　之實

　　　　　　　　乃視立方籌有○○一其立方一

　于是商一十(有二㸃/故商十)減去立方積一千餘三百三十

　一(初商十者/有次商也)

　以最上㸃為主商一數者書于㸃之上一位常法也

　次以初商一十而三之得三十為亷法

　又以初商一十自乘而三之得三百為方法(用第三/)

　　　　　　　　　　視籌第一行積數○三與餘

　　　　　　　　　　實同次商一於初商一十之

　　　　　　　　　　下(減積首位是○故進位書/于一十之下以暗對其○)

　于是以次商一乘方法仍得三百為平亷積　又以

　次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十為長亷積

　　又以次商一自乘再乘皆仍得一為隅積　併三

　積共三百三十一除餘實恰盡

　凡開得立方一十一(還法以立方一十一自乘得一/百二十一又以一十一再乘合)

　(原/積)

假如有積一十二億五千九百七十一萬二千立方開之

　列位　作㸃

　　　　　　　　　　　視首位有㸃以○○一十

　　　　　　　　　　　億為初商之實

　乃視立方籌有○○一其方亦一于是商一千減立

　方積一十億餘二億五千九百七十一萬二千

　次以初商一千而三因之得三千為亷法

　又以初商一千自乘得一百萬而三之得三百萬為

　方法(用第三籌/)

　視第三籌之第八行積數二四小于餘實次商八十

　于初商一千之下一位(所減首位不空故次商八書/本位而上一位作○因與次)

　(商隔位故/知其是十)

　就以次商八十乘方法三百萬得二億四千萬為平

　亷積

　又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得

　二千九百二十萬為長亷積　又次商八十自乘再

　乘得五十一萬二千為隅積　併三積共二億五千

　九百七十一萬二千除實盡

　凡開得立方一千○八十○(初商千次商○八是十/而除實已盡是所商單)

　(位亦○也此/列位之妙)

　　以上皆商得一數例也　皆以最上一㸃為主而

　　以初商得數書于㸃之上一位乃常法也惟商得

　　一數者可用常法一十一百一千一萬並同

假如有積九千二百六十一立方開之

　列位　作㸃

　視㸃在首位以○○九千命為初商之實

　　　　　　　　乃視立方籌積有小于○○九者

　　　　　　　　○○八也其立方二于是商二十

　　　　　　　　(二㸃故/初商十)減立方積八千餘一千二

　百六十一

　　以最上一㸃為主而以得數書于㸃之上兩位乃

　　進法也商二至五之法也

　次以初商二十用三因之得六十為亷法

　又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百

　為方法(用第一第二兩籌/)

　合兩籌第一行積一二與餘實相同次商單一于初

　商二十之下(所減首位空宜進書也若初商不先用/進法則無以處次商矣故進法自商二)

　(始/)

　就以次商一乘方法仍得一千二百為三平亷積

　又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十為三長

　亷積又以次商一自乘再乘皆仍得一為隅積　併

　三積共一千二百六十一除實盡凡開得立方二十一

假如有立方積三萬二千七百六十八立方開之問得

　若干

　列位　作㸃

　　　　　　　　視㸃在次位以○三萬二千為初

　　　　　　　　商之實乃視立方籌積小于○三

　　　　　　　　二者是○二七其立方三也于是

　商三十(二㸃故/初商十)減商三十(二㸃故/初商十)減立方積二萬七

　千餘五千七百六十八

　次以初商三十用三因得九十為亷法

　又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百為

　方法(用第二第七兩籌/)

　合視兩籌第二行積○五四小于餘實次商單二于

　初商三十之下(所减首位○宜/進書以對其○)

　就以次商單二乘方法得五千四百為平亷積　又

　以次商自乘得四用乘廉法得三百六十為長廉積

　　又以次商自乘再乘得八為隅積　併三積共五

　千七百六十八除實盡凡開得立方三十二

假如有立方積一十一萬七千六百四十九立方開得

　若干

　列位　作㸃

　視㸃在第三位以一十一萬七千為初商之實

　　　　　　　　乃視立方籌積有小于一一七者

　　　　　　　　○六四也其立方四于是商四十

　　　　　　　　(二㸃故/初商十)減立方積六萬四千餘五

　萬三千六百四十九　次以初商四十用三因之得

　一百二十為亷法

　又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八

　百為方法(用第四第八兩籌/)

　合視兩籌第九行積數四三二小于餘實次商九于

　初商四十之下(所減首位不空/故本位書之)

　就以次商九乘方法得四萬三千二百為平亷積

　又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百

　二十為長亷積　又以次商九自乘再乘得七百二

　十九為隅積　合計亷隅三積共五萬三千六百四

　十九除實盡

　凡開得立方四十九

假如有積一千六百六十三億七千五百萬立方開得

　若干

　列位　作㸃

　視㸃在第三位以一千六百六十億為初商之實

　　　　　　　　　　　乃視立方籌有小于一六

　　　　　　　　　　　六者是一二五其立方五

　　　　　　　　　　　也商作五千(四㸃/商千)除立方

　積一千二百五十億餘四百一十三億七千五百萬

　次以初商五千用三因之得一萬五千為亷法

　又以初商五千自乘得二千五百萬三因之得七千

　五百萬為方法(用第七第五兩籌/)

　合視兩籌第五行積三七五小于餘實次商五百于

　初商五千之下(所減首位不/空故書本位)

　就以次商五百乘方法得三百七十五億為平亷積

　　又以次商五百自乘得二十五萬用乘亷法得三

　十七億五千萬為長亷積　又以次商五百自乘再

　乘得一億二千五百萬為隅積　併三積共四百一

　十三億七千五百萬除實盡　凡開得立方五千五

　百○○

　　以上乃商得二三四五之例也　皆以最上一㸃

　　為主而以初商所得進書㸃之上兩位進法也初

　　商得二三四五者用進法單十百千並同

假如有積二十六萬二千一百四十四立方開之

　列位　作㸃

　　　　　　　　　視㸃在第三位以二十六萬二

　　　　　　　　　千為初商之實

　　　　　　　　　乃視立方籌有小于二六二者

　二一六也其立方是六商六十(二㸃/商十)減立方積二十

　一萬六千餘四萬六千一百四十四

　　以最上一㸃為主而以得數書于㸃之上三位超

　　進法也乃商六至九之法也

　次以初商六十用三因之得一百八十為亷法

　又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一萬

　○八百為方法(用第一空位第八三籌/)

　合視籌第四行積四三二小于餘實次商四于初商

　六十之下(所減首位是○故進/位書之以對其○)

　就以次商四乘方法得四萬三千二百為平亷積

　又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百

　八十為長亷積　又以四自乘再乘得六十四為隅

　積　併三積共四萬六千一百四十四除實盡

　凡開得立方六十四

假如有積三十七萬三千二百四十八立方開之

　列位　作㸃

　視㸃在第三位以三十七萬三千為初商之實

　　　　　　　　　乃視立方籌積有小于三七三

　　　　　　　　　者是三四三其立方七也商七

　　　　　　　　　十(二㸃/商十)減立方積三十四萬三

　千餘三萬○二百四十八次以初商七十用三因之

　得二百一十為亷法

　又以初商七十自乘得四千九百三之得一萬四千

　七百為方法(用第一第四第七三籌/)

　合視籌第二行積二九四小于餘實次商二于初商

　七十之下(所減首位空故進/位書之以對其○)

　就以次商二乘方法得二萬九千四百為平亷積

　又以二自之得四用乘亷法得八百四十為長亷積

　　又以二自乘再乘得八為隅積　併三積共三萬

　○二百四十八除實盡凡開得立方七十二

假如有積五十三萬一千四百四十一立方開之

　列位　作㸃

　視㸃在第三位以五十三萬一千為初商之實

　　　　　　　　　乃視立方籌積有五一二小于

　　　　　　　　　五三一其方八也商八十(二㸃/商十)

　　　　　　　　　減立方積五十一萬二千餘一

　萬九千四百四十一

　次以初商八十用三因之得二百四十為亷法

　又以八十自乘得六千四百三之得一萬九千二百

　為方法(用第一第九第二三籌/)

　合視籌第一行是一九二小于實次商一于初商之

　下　就以次商一乘方法為平亷積　又以一自乘

　用乘亷法為長亷積　又以一自乘再乘為隅積

　併三積共一萬九千四百四十一除實盡

　凡開得立方八十一

假如有積九十七萬○二百九十九立方開之

　列位　作㸃

　視㸃在第三位以九十七萬○為初商之實

　乃視立方籌有七二九小于九七○其方九也商九

　　　　　　　　　十(二㸃/商十)減積七十二萬九千餘

　　　　　　　　　二十四萬一千二百九十九

　次以初商九十三之得二百七十為亷法

　又以九十自之得八千一百而三之得二萬四千三

　百為方法(用第二第四第三三籌/)

　合視籌第九行是二一八七小于餘實次商九于初

　商九十之下(所減首位不空/故本位書之)

　就以次商九乘方法得二十一萬八千七百為平亷

　積　又以九自乘得八十一以乘亷法得二萬一千

　八百七十為長亷積　又以九自乘再乘得七百二十九為

　隅積　併三積共二十四萬一千二百九十九除實盡

　凡開得立方九十九

　　此以上皆初商六七八九之例也　皆以最上一

　　㸃為主而以得數書于㸃之上三位乃超進法也

　　初商六七八九用超進之法單十百千並同

命分例

假如有立方八百一十尺問立方每面各若干

　列位　作㸃

　　　　　　　　㸃在第三位以八百一十○尺為

　　　　　　　　初商之實

　　　　　　　　視立方籌有小于實者為七二九

　其立方九商九尺減積(七百二/十九尺)餘(八十/一尺)

　此商數已至單尺而有不盡當以法命之

　法以商數九自乘(八十/一)而三之得(二百四/十三)如平亷

　又置商數九而三之得(二十/七)如長亷　加小隅一

　共(二百七/十一)為命分

　命為立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一

　此商得單數而有不盡以法命之例也

又如有立方積一億二千五百七十五萬尺問立方若

　干

　列位　作㸃

　　　　　　　　㸃在第三位以一億二千五百萬

　　　　　　　　尺為初商實

　視立方籌有(一二/五)恰與實合商(五百/尺)減實(一億二千/五百萬尺)

　餘(七十五萬○/○○○尺)

　有三㸃故知所商是(五百/尺)宜有第二商第三商也

　乃以初商(五百/尺)自乘(二十五/萬尺)而三之得(七十五/萬尺)為平

　亷法又以初商(五百/尺)三之得(一千五/百尺)為長亷法

　視餘實(七十五/萬尺)僅足平亷之數而無長亷知第二商

　第三商皆空也補作兩圈而以法命之

　法以平亷法長亷法合數加小隅一共(七十五萬一/千五百○一)

　(尺/)為命分

　命為立方每面五百尺又七十五萬一千五百○一

　分尺之七十五萬○○○○

　此商數雖未至單而餘實甚少不能成一整數亦以

　　法命之例也

　厯算全書巻三十一