歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書巻三十二

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　　籌算四之五

　開帶縱平方法

勿菴氏曰算有九極于勾股勾股出于圓方故少廣旁

　要相資為用也然開平方以御勾股而縱法以御和

　較古有益積減積翻積諸術參伍錯綜盡神通變要

　之皆帶縱一法而已

　　　　　　　　(平方者長濶相等如碁局也平方/帶縱者直田也長多于濶之數謂)

　　　　　　　　(之縱縱之濶如平方之數其長則/如縱之數縱與方相乘得縱積以)

　　　　　　　　(加方積成一/直田形積也)

　　　　　　　　平方與方縱兩形初商之積也兩

　　　　　　　　亷一隅一亷縱者次商之積也亷

　　　　　　　　有二故倍之亷之縱只一故不倍

　　　　　　　　也

　　　　　　　　如前圖除積不盡則有第三商如

　　　　　　　　此圖雖三商亦只倍亷而不倍縱

　　　　　　　　四商以上倣此詳之

用法曰先以積列位如法作㸃從單位起隔位㸃之視

　㸃在首位獨商之㸃在次位合兩位商之皆命為實

　次以帶縱數用籌與平方籌並列之各為法

　視平方籌積數有小于實者用其方數為初商用其

　積數為方積(初商自乘/之數也)　即視縱籌與初商同行之

　積數用之為縱積(初商乘縱之數也如初/商一則用縱籌第一行)兼方積縱

　積兩數以減原實而定初商(必原實中兼此兩積之/數則初商無悮矣故曰)

　(定/)　若原實不及減改而商之如前求得兩積以減

　之為初商定數　不及減又改商之及減而止

　若應商十數因無縱積改商單九是初商空也則于

　初商之位作○而紀其改商之數于○下若次商者

　然(初商應是百而改九十/應是千而改九百並同)

定位法曰既得初商視所作原實之㸃共有幾何以定

　其得數之位以知其有次商與否(如一㸃則得數是/單而無次商二㸃)

　(則得數是十而有次商/之類皆如平方法取之)

次商法曰依前定位知初商未是單數而減積又有未

　盡是有次商也　次商之法倍初商加入縱為亷法

　用籌除之　視亷法籌行内之積數有小于餘實者

　用為亷積以減餘實用其行數為次商　就以次商

　自乘為隅積以減餘實以定次商(必餘實内有亷隅/兩積則次商無誤)

　　不及减者改商之及減而止皆如平方法

　商三次以上並同次商

命分法曰若得數已是單而有不盡則以法命之　法

　以所商數倍之加入縱為亷又加隅一為命分不盡

　之數為得分

　亦有得數非單而餘實少在亷法以下不能商作單

　一者亦以法命之　法即以亷法加隅一為命分

列商數法曰依平方法視所作㸃而以最上一㸃為主

　若初商五以上(不論單五或五十或/五千或五百並同)皆用進法書其

　其得數于㸃之上兩位則不論縱之多少也

　若初商四以下(亦不論單/十百千)則以縱之多少而為之進

　退法以縱折半加入初商(單從單十從十/百千各以類加)若滿五以上

　者變從進法書于㸃之上兩位(如初商四而縱有二/初商三而縱有四之)

　(類/)

　若縱數少雖加之而仍不滿五數者仍用常法書其

　得數于㸃之上一位(如初商四而縱只有一初商/三而縱只有二只有二之類)

　總而言之所商單數皆書于亷法之上一位故初商

　得數有進退之法乃豫為亷法之地以居次商也

　初商五以上倍之則十雖無縱加亷法已進位矣初

　商雖四以下而以半縱加之滿五則其倍之加縱而

　為亷法也亦滿十而進位矣亷法進位故初商必進

　兩位書也若加半縱仍不滿五則其亷法無進位矣

　故初商只進一位而書之葢豫算所商單數已在亷

　法之上也

　又初商若得單數其亷法即為命分凡商得單數必

　在命分之上一位以此考之庶無謬誤

假如有直田積六十三步但云濶不及長二步

　列位(依平方法/)作㸃(從單位起/)

　　　　　　視㸃在次位合六十三步商之為實

　　　　　　次以平方籌與縱二籌平列之各為法

　　視平方籌積有(四九/)小于(六三/)其方七也商作單

　七(用進法書于㸃之上兩/位 一㸃知所商是單)

　即視帶縱籌第七行積數(一四/)用為縱積

　併方積(四十九/)縱積(一十四/)共六十三除實盡(此亦/偶除)

　(盡耳設不盡其命分必是十數故/前商七之數必進書之以存其位)

　定為濶七步　加縱二步得長九步

　凡得數在五以上用進法書于㸃之上兩位此其例

　也

假如有直田六百三十步但云長多濶二步

　列位(無單位補作圈/)作㸃

　　　　　　　　視㸃在首位獨商之以○六百步

　　　　　　　　為實

　　　　　　　　以平方帶縱二各用籌為法

　　　　　　　　視平方籌積數有(○四/)小于(○六/)

　其方二商二十步(二㸃故/初商十)自乘得方積(四百步/)隨視

　縱籌第二行是(四/)得縱積(四十步/)併兩積共四百四

　十步以減原實餘一百九十步再商之(初商十故/有次商也)

　　(商數二十以縱折半得單一加之共二十一/仍不滿五數故只用常法書于㸃之上一位)

　次以初商(二十步/)倍之(四十步/)加縱(二步/)共四十二

　步為亷法(用第四第二兩籌/)

　合視兩籌第四行積數(一六八/)小于(一九○/)次商(四/)減

　亷積一百六十八步餘二十二步(所減首位不空/次商故書本位)

　次以次商(四步/)為隅法自乘得(一十六步/)為隅積用

　減餘實不盡六步以法命之(初商雖不進位所得次/商單數已在命分之上)

　(一位矣列商數/法妙在于此)倍所商(二十四步/)為(四十八步/)加縱

　(二步/)又加隅(一步/)共五十一步為命分

　命為濶(二十四步/)又(五十一分步之六/)加縱(二步/)得

　長(二十六步/)又(五十一分歩之六/)

　　凡得數在四以下以半縱加之仍不滿五則只用

　　常法書于㸃之上一位此其例也

假如有直田五畝但云長多濶八十八步

　列位(以畝法二百四十通之得一千/二百步十步單步空補作兩圈)作㸃

　　　　　　　　　視㸃在次位合商之以一千二

　　　　　　　　　百步為實縱有兩位用兩籌與

　　　　　　　　　平方籌並列各為法

　　　　　　　　　先視平方籌有(○九/)小于(一二/)

　　　　　　　　　宜商三十(二㸃/商十)因有縱改商二

　　　　　　　　　十其方積四百步縱積一千七

　百六十步(初商十與縱相乘故/縱單數皆成十數)兼兩積共二千一百

　六十步大于實不及減所商有誤抹去之

　改商(一十步/)其方積(一百步/)其縱積(八百八十步/)併

　兩積共除實九百八十步餘二百二十步再為實以

　求次商(初商十故/有次商也)

　　(縱折半四十四步加初商一十/步共五十四步故變用進法)

　次以初商(一十步/)倍之(二十步/)加縱(八十八步/)共一

　百○八步為亷法(用第一空位第八三籌/)

　合視籌第二行積(二一六/)小于(二二○/)次商(二步/)于

　初商(一十步/)之下減亷積一百一十六餘四步(所减/首位)

　(○故進書之初商/豫進正為此也)

　次以次商(二步/)自乘得四步為隅積除實盡

　定為濶一十二步加縱(八十八步/)得長一百步

假如有直田一十二畝半但云長多濶七十步

　列位(以畝法二百四十通之得/三千步百十單皆作圈)作㸃

　　　　　　　視㸃在次位以三千○百步為實

　　　　　　　以平方帶縱七十各用籌為法

　　　　　　　先視平方籌積有二五小于(三○/)宜

　　　　　　　商(五十/)因縱改商(四十步/)其方積一

　　　　　　　千六百步其縱積二千八百步共四

　千四百步大于實不及减抹去之

　改商(三十步/)其方積(九百步/)其縱積(二千一百步/)共

　三千步除實盡

　　(縱七十折半三十五加初商三十共六十五/是五以上也故用進法書商三于㸃上兩位)

　　(假有餘實則當再商或命之以分今雖商盡當存/其位 命分者亷法加隅一也倍初商加縱共一)

　　(百三十是原實百者亷法之位也進一/位乃單位初商不進兩位何以容單數)

　凡開得平方三十步為田濶　加縱七十步共一百步為長

假如有直田七畝但云長多濶六十步

　列位(以畝法二百四十通之得一/千六百八十步單位空作圈)作㸃

　　　　　　　視㸃在次位合商之以一千六百步

　　　　　　　為實

　　　　　　　以平方帶縱六十步用籌各為法

　　　　　　　先視平方籌有一六與實同宜商四

　　　　　　　十(二㸃初/商是十)因帶縱改商三十步其方

　　　　　　　積(九百步/)縱積(一千八百步/)共二千

　　　　　　　七百步大于實不及減抹去之

　改商(二十步/)其方積(四百步/)縱積(一千二百步/)共減

　一千六百步餘八十步再商之

　　(縱折半三十加初商/共五十故進書之)

　　(假餘實滿命分一百○一步即當商一步故初/商豫進以居次商今次商雖空當存○位故也)

　次以初商(二十步/)倍之(四十步/)加入縱六十步共一

　百步為亷法　亷法大于餘實不及減次商作○其

　餘實以法命之　法以亷法加隅一為命分

　命為濶(二十步/)又(一百○一分步之八十/)加縱為長

　(八十步/)又(一百○一分步之八十/)

假如有直田四畝但云長多濶九十步

　列位(以畝法通之得/九百六十步)作㸃

　　　　　　　　視㸃在首位獨商之以○九百為實

　　　　　　　　以平方帶縱九十步各用籌為法

　　　　　　　　先視平方籌積有(○九/)與實同宜

　　　　　　　　商三十步(二㸃故/初商十)因帶縱改商二

　　　　　　　　十步其方積(四百步/)縱積(一千八/)

　(百步/)不及減又改商一十歩其方積(一百步/)縱積(九/)

　(百步/)共一千步仍不及減　此有二㸃宜商十步今

　改商一十仍不及減是初商十位空也

　　(縱九十折半四十五加初商十步滿/五十以上故商一進書㸃之上兩位)

　改商單九步其方積(八十一步/)縱積(八百一十步/)共

　八百九十一步以減實餘六十九步不盡(此宜商十/數者變商)

　(單步故初商之位作○而以改商之九步書于○位/下如次商然也蓋必如此書之所商單數乃在命分)

　(之上一/位也)

　商數已得單步而有不盡以法命之以商九步倍之

　加縱九十步共一百○八步更加隅一步共一百○

　九步為命分

　命為濶九步又(一百○九分/步之六十九)　加縱為長九十九步

　又(一百○九分/步之六十九)

　　以上四則乃縱多進位之法也凡得數雖四以下

　　以半縱加之滿五即用進法書于㸃之上兩位此

　　其例也

　開帶縱立方法(籌算五/)

勿菴氏曰泰西家説勾股開方甚詳然未有帶縱之術

　同文算指取中算補之其論帶縱平方有十一種而

　于立方帶縱終缺然也程汝思統宗所載又皆兩縱

　之相同者惟難題堆垜還原有二例祇一可用其一

　强合而已非立術本意又不附少廣而雜見于均輸

　雖有善學何從而辨之兹因籌算稍以鄙意完其缺

　義取曉暢不厭煩複使得其意者可施之他率不窮

　云爾

凡立方帶縱有三

一只帶一縱

　如云長多方若干或髙多方若干是也(深即同髙/)

一帶兩縱而縱數相同

　如云長不及方若干髙不及方若干是也(此方多數/為縱)

一帶兩縱而縱數又不相同

　如云長多濶若干濶又多髙若干是也

　大約帶一縱者只有縱數而已帶兩縱者有縱亷又

　有縱方故其術不同

帶一縱圖三

　　　　　　此長多于方　　　　　此髙多于方

　　　　　　也為横縱横　　　　　也為直縱直

　　　　　　縱之形濶與　　　　　縱之形長濶

　　　　　　髙等如其方　　　　　相等如其方

　　　　　　其厚也如其　　　　　其髙也如其

　　　　　　縱所設　　　　　　　縱所設

　俱立方一縱形一合為長立方形

　　　　　　　　　如圖立方形方縱形合者初商

　　　　　　　　　也平亷三内帶縱者二長亷三

　　　　　　　　　内帶縱者一小隅一此七者次

　　　　　　　　　商也

　　　　　　　　　平亷所帶之縱長與立方等厚

　　　　　　　　　與次商等其髙也則如縱所設

　　　　　　　　　　長亷所帶之縱兩頭横直等

　　　　　　　　　皆如次商其髙也如縱所設

　用法曰以積列位乃作㸃從單位起隔兩位㸃之

　㸃畢視積首位有㸃獨商之以首位為初商之實

　首位無㸃以首位合有㸃之位商之　㸃在次位以

　首兩位為初商之實　㸃在第三位以首三位為初

　商之實　皆同立方法

　先視立方籌積數有小于初商之實者用其方數為

　初商(定位法合計所作㸃共有若干一㸃者商單數/二㸃則商十數每一㸃進一位皆如立方)用

　其積數為初商立方積(定位法視初商方數若初商/單數其積亦盡于單位若初)

　(商十數其積乃盡于千位每初商進一位/其積進三位亦可以㸃計之皆如立方)

　次以初商自乘以乘縱數為縱積

　合計立方積縱積共數以減原積而定初商(若初商/無誤者)

　(原實中必/兼此兩積)命初商為方數加縱數為髙數(或長數皆/依先所設)

　不及減者改商之及減而止

次商法曰依前定位知初商是何等(或單十/百千等)若初商未

　是單數而減積又有不盡是有次商也

　法以初商自乘而三之又以縱與初商相乘而兩之

　共為平亷法　又法以初商三之縱倍之併其數與

　初商相乘得數為平亷法　或以初商加縱而倍之

　併初商數以乘初商為平亷法並同

　又以初商三之加縱為長亷法

　乃置餘實列位以平亷法除之得數為次商(用籌為/法除而)

　(得/之)

　　(依除法/定其位)

　于是以次商乘平亷法為三平亷積　又以次商自

　乘以乘長亷法為三長亷積　就以次商自乘再乘

　為隅積　合計平亷長亷隅積共若干數以減原實

　(原實中兼此併積/知次商無誤矣)乃併初商次商所得數為方數加

　縱命為髙數(或長數皆/如先所設)合問　不及減者改商之及

　減而止

商三次者以初商次商所得數加縱而倍之併商得數

　為法仍與商得數相乘為平亷法

　又以商得數三之加縱為長亷法　餘並同次商

命分法曰己商至單數而有不盡則以法命之　其法

　以所商得數加縱倍之加所商得數以乘所商得數

　(如平/亷)又以所商得數三之加縱(如長/亷)併兩數又加單

　一(如/隅)為命分不盡之數為得分

　或商數尚未是單而餘實甚少在所用平亷長亷兩

　法併數之下或僅同其數(僅同者/無隅積)是無可續商也亦

　以法命之法即以所用平亷長亷兩法併之又加隅

　一為命分

列商數法曰依立方法以初商之實有㸃者為主(即原/實内)

　(最上之/一㸃)凡初商得數必書于㸃之上一位乃常法也

　惟初商一數者用常法

　有以初商得數書于㸃之上兩位者進法也初商二

　三四五者用進法

　有以初商得數書于㸃之上三位者超進法也初商

　六七八九者用超進之法

　若縱數多亷法有進位則宜用常法者改用進法宜

　用進法者用超進之法宜超進者更超一位書之

　其法于次商時酌而定之葢次商時有三平亷法三

　長亷法再加隅一為命分法于原實尋命分之位為

　主命分上一位單數位也從此單數逆尋而上自單

　而十而百而千至初商位止有不合者改而進書之

　若與初商恰合者不必强改此法甚妙平方帶縱亦

　可用之

　若宜商一十而改單九或宜商一百而改九十凡得

　數退改小一等數者皆不用最上一㸃而以第二㸃

　論之此尤要訣(或于初商位作圈而以所商小一等/數書于圈之下即可以上一㸃論也)

　(細考其數則同此商數列/位立法之妙宜詳翫之)

假如浚井計立方積七百五十四萬九千八百八十八

　尺但云深多方八百尺　法以立方帶縱為法除之

　列位　作㸃

　　　　　　　　　　　視㸃在首位獨商之以○

　　　　　　　　　　　○七百萬尺為初商之實

　以立方籌為法　視立方籌積有○○一小于○○

　七商一百尺(三㸃故初商百商一百故/用常法書于㸃之上一位)得立方積一

　百萬尺(三㸃者方積盡百萬之位一初/商之方積皆盡于最上之 㸃)

　次以初商一百尺自乘一萬尺乘縱八百尺得八百

　萬尺為縱積　併兩積九百萬積大于原實不及減

　抹去之不用改商如後圖

　視立方籌第九行積七二九改商九十尺得立方積

　七十二萬九千尺(百改十故亦改用第二㸃第二/㸃是十位故方積亦盡於千位)次

　　　　　　　　　　以初商九十尺自乘八千一

　　　　　　　　　　百尺乘縱八百尺得六百四

　　　　　　　　　　十八萬尺為縱積　併兩積

　共七百二十萬○九千尺以減原實餘三十四萬○

　八百八十八尺再商除之(初商一百今改商九十故/上一㸃不用用第二㸃論)

　(之商九者書于第二㸃/之上三位超進法也)

　次用次商又法以縱八百尺加初商九十尺而倍之

　得一千七百八十尺併初商九十尺共一千八百七

　十尺用與初商九十尺相乘得一十六萬八千三百

　尺為平亷法　又以初商九十尺三因之得二百七

　十尺加縱八百尺共得一千○七十尺為長亷法

　乃列餘實以平亷為法除之(用第一第六第/八第三共四等)

　　商九十用超進法書于第二㸃之上三位今以縱

　　多致亷法進為十萬故次商時應更為酌定又超

　　一位書之然後次商單數在亷法上一位矣改如

　　後圖(亷法十萬上一位單數位也今/商九十不合在此位故改之)

　合視籌第二行積○三三六六小于餘實次商二尺

　于初商九十之下(所減首位是○法宜進書也初/商不改而更超之何以居次商)

　就以次商二尺乘平亷法得三十三萬六千六百尺

　為平亷積　又以次商二尺自乘四尺用乘長亷法

　得四千二百八十尺為長亷積　又以次商二尺自

　乘再乘得八尺為隅積　併三積共三十四萬○八

　百八十八尺除實盡

　乃以商數命為井方　加縱為井深

　計開

　　井方九十二尺深八百九十二尺

　　此超進法改而更超一位也

帶兩縱縱數相同圖二

　　　　　　　　　此髙不及方也方之横與直俱

　　　　　　　　　多于髙是為兩縱兩縱者縱廉

　　　　　　　　　二縱方一并立方而四

　　　　　　　　　立方形長濶髙皆相等

　　　　　　　　　縱亷形髙與濶相等如其方之

　　　　　　　　　數其厚也如所設縱之數

　縱方形兩頭等皆如縱數其髙也如立方之數

　兩縱亷輔立方兩面而縱方補其隅合為一短立方

　形

　不及之數有在立方旁者觀後圖可互見其意

　如圖初商有立方有縱廉二縱方一共四形今只

　圖其二餘為平廉所掩意㑹之可也(此横頭不及/方也即前圖)

　(之眠/體)

　次商平廉三内帶一縱者二帶兩縱者一長廉三内

　帶縱者二小隅一共七

　平廉帶一縱者濶如初商加縱為長厚如次商其

　帶兩縱者髙濶皆等皆如初商加縱之數厚如次

　啇

　長廉帶縱者長如初商加縱之數其兩頭横直皆

　等皆如次商

　無縱長廉長如初商兩頭横直等如次商

　小隅横直髙皆等皆如次商

用法曰先以縱倍之為縱廉(兩縱/併也)以縱自乘為縱方

　(兩縱/相乘)

　此因兩縱數同故其法如此也若兩縱不同徑用

　乘法併法矣

　乃如法列位作㸃求初商之實

　以立方籌為法求得初商方數及初商立方積(皆如/立方)

　(法皆依定/位法命之)

　次以初商乘縱方得數為縱方積　又以初商自乘

　數乘縱亷得數為縱亷積

　合計縱方縱亷立方之積共若干數以減原實而定

　初商(皆如一/縱法)

　命初商為髙數(或深數皆/如所設)加縱為方數(不及減改商/之若初商未)

　(是單數則以/餘實求次商)

次商法曰以初商加縱倍之以乘初商髙數得數　又

　以初商加縱自乘得數　併之共為平亷法(又法初/商三之)

　(加縱以初商加縱乘之/得數為平亷法亦同)

　次以初商加縱倍之併初商數共為長亷法(又法初/商三之)

　(縱倍之併為/長亷法亦同)

　乃置餘實列位　以亷法位酌定初商列法而進退

　之以平亷為法而除餘實得數為次商(皆以所減首/位是○與否)

　(而為之/進若退)　又法合平亷長亷兩法以求次商

　于是以次商乘平亷法為平亷積　又以次商自乘

　數乘長亷法為長亷積　又以次商自乘再乘為隅

　積　合計平亷長亷隅積共若干數以減餘實而定

　初商(皆如一/縱法)

　(又法以次商乘長亷法為長亷法又以次商自乘為/隅法併平亷長亷隅法以與次商相乘為次商亷隅)

　(共積以減/餘實亦同)

　乃命所商數為髙(或深之類/如所設)加縱數命為方合問

不盡者以方倍之乘髙又以方自乘(如平/亷)又以方倍之

　併髙(如長/亷)又加單一(如/隅)為命分

假如有方臺積五百八十六萬六千一百八十一尺但

　云髙不及方一百四十尺　以帶兩縱立方為法除

　之(方者長濶等每面各/多髙一百四十尺)

　先以縱一百四十尺倍之得二百八十尺為縱積

　又縱自乘之得一萬九千六百尺為縱方

　列位　加㸃

　　　　　　　　　　　視㸃在首位獨商之以○

　　　　　　　　　　　○五百萬尺為初商之實

　　　　　　　　　　　視立方積有○○一小于

　○○五商一百尺(三㸃故/商百尺)得立方積一百萬尺(商一/數宜)

　(用常法書于㸃之上一位今因縱多致亷法昇為十/萬法上一位為單單上一位為十今初商是百尺故)

　(改用進法書之/亷法之昇見後)

　就以初商一百尺乘縱方得一百九十六萬尺為縱

　方積

　又以初商一百自乘一萬乘縱亷得二百八十萬尺

　為縱亷積

　合計立方縱方縱亷積共五百七十六萬尺以減原

　實餘一十萬○六千一百八十一尺(初商百尺/宜有續商)

　初商一百尺髙也　加縱共二百四十尺方也

　次以方倍之四百八十尺用乘髙數得四萬八千尺

　又以方自乘之得五萬七千六百尺併之得一十萬

　○五千六百尺為平亷法

　又以方倍之併髙得五百八十尺為長亷法

　乃列餘實　以亷法酌定初商改進一位書之

　　　　　　　　　　　以平亷法用籌除餘實

　　　　　　　　　　　視籌第一行○一○五六

　　　　　　　　　　　小于餘實次商一尺于初

　商一百尺之隔位(所減是○一○五六首位○宜進/書然猶與初商隔位故知為單一)

　(尺/)　就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺

　自乘以乘長亷法亦如故就命為平亷長亷積　又

　以次商自乘再乘仍得一尺如故　合計三積共一

　十萬○六千一百八十一尺除實盡

　乃以所商數命為臺髙　加縱為方

　計開

　臺髙一百○一尺　方二百四十一尺

　　此常法改用進法也

假如有方池積五十萬丈但云深不及方五十尺　先

　以縱(五/十)尺倍之一百為縱亷　又縱自乘之得(二千/五百)

　尺為縱方

　列位　加㸃

　　　　　　　　　視㸃在第三位合商之以五十

　　　　　　　　　萬○○尺為初商之實

　　　　　　　　　視立方籌有三四三小于五○

　○宜商七十尺(二㸃商/十尺)因縱改商六十尺得立方積

　二十一萬六千尺　次以初商六十尺自乘三千六

　百尺用乘縱亷一百尺得三十六萬尺已大于實不

　及減不必求縱方積矣　改商五十尺用籌求得立

　方積一十二萬五千尺

　就以初商五十尺乘縱方得縱方積亦一十二萬五

　千尺　又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘縱

　亷得縱亷積二十五萬尺　併三積共五十萬尺除

　實盡　以商數命為池深　加縱為方

　計開　池深五十尺　方一百尺

　　此進法改為超進也(假有次商則其平亷法二萬/尺矣假有命分則其命分二)

　　(萬○二百/五十一矣)　亦有髙與長同而濶不及數者準此

　　求之但以初商命為濶而加縱為髙與長

帶兩縱縱數不相同圖二

　　　　　　　　　　　此長多于濶而髙又多于

　　　　　　　　　　　長也是為兩縱而又不相

　　　　　　　　　　　同凡為大縱亷小縱亷各

　　　　　　　　　　　一縱方一并立方形而四

　　　　　　　　　　　立方形長濶髙相等

　　　　　　　　　　　大縱亷横直等如其方而

　　　　　　　　　　　髙如大縱　小縱亷髙濶

　　　　　　　　　　等如其方而厚如小縱

　　　　　　　　　　縱方形之兩頭髙如大縱

　　　　　　　　　　厚如小縱其長也則如立

　　　　　　　　　　方　大縱小縱以輔立方

　　　　　　　　　　之兩面而縱方補其闕合

　　　　　　　　　　為一長立方形

　　　　　　　　　　如圖初商有立方有大縱

　　　　　　　　　　廉小縱廉縱方各一共四

　　　　　　　　　　只圖其二餘為平廉所掩

　　　　　　　　　　也

　　　　　　　　　　次商平廉三内帶小縱者

　　　　　　　　　　一帶大縱者一(在初商大/縱立方之)

　　　　　　　　　　(背/面)帶兩縱者一

　　　　　　　　　　長廉三内帶小縱者一帶

　　　　　　　　　　大縱者一

　　　　　　　　　　小隅一共七

　帶小縱平亷濶如初商長如初商加小縱之數髙如

　次商

　帶大縱平亷濶如初商髙如初商加大縱之數厚如

　次商

　帶兩縱平亷濶如初商加小縱之數髙如初商加大

　縱之數厚如次商

　帶小縱長亷長如初商加小縱之數　帶大縱長亷

　髙如初商加大縱之數　無縱長亷長如初商數

　其兩頭横直皆如次商之數

　小隅横直髙皆如次商之數

用法曰以兩縱相併為縱亷　以兩縱相乘為縱方

　列位作㸃求初商之實　以立方籌求得初商立方

　積　以初商求得縱方縱亷兩積　皆如前法

　乃以初商命為濶　各加縱命為長為髙

求次商者以初商長濶髙維乘得數而併之為平亷法

　　又以初商長濶髙併之為長亷法

　乃置餘實列位(以平亷酌定/初商之位)以平亷為法求次商及

　平亷積長亷積隅積以減餘實乃命所商為濶各以

　縱加之為髙為長(如所/設)皆如前法

不盡者以所商長濶髙維乘併之(如平/亷)又以長濶髙併

　之(如長/亷)又加單一(如/隅)為命分

假如有長立方形積九十尺但云髙多濶三尺長多濶

　二尺

　先以兩縱相併五尺為縱亷　以兩縱相乘六尺為

　縱方

　列位　作㸃

　　　　　　　　視㸃在第二位合商之以○九十

　　　　　　　　○尺為初商之實

　乃視立方籌有○六四小于○九○宜商四八因有

　縱改商三尺得二十七尺為立方積(原實只一㸃故/初商是單商三)

　(故書于㸃之上/兩位用進法也)

　次以初商三尺自乘九尺乘縱亷得四十五尺為縱

　亷積

　又以初商三尺乘縱方得一十八尺為縱方積

　併三積共九十尺除實盡

　乃以初商命為濶　各加縱為髙為長

　計開

　濶三尺　長五尺　髙六尺

假如有立方積一千六百二十尺但云長多濶六尺髙

　多濶三尺

　先以兩縱相併九尺為縱亷　以兩縱相乘一十八

　尺為縱方

　列位　作㸃

　　　　　　　　視㸃在首位獨商之以○○一千

　　　　　　　　尺為初商之實

　乃視立方籌有○○一與實同商一十尺(二㸃/商十)得立

　方積一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘縱亷

　得九百尺為縱亷積又以初商一十尺乘縱方得一

　百八十尺為縱方積　合計之共二千○八十尺大

　于實不及減(商一十故用常法/書于㸃之上一位)改商九尺得七百二

　十九尺為立方積(十變為單則上一㸃不用用第二/㸃故商九書于第二㸃之上兩位)

　(用超進/法也)

　次以初商九尺自乘八十一乘縱亷亦得七百二十

　九尺為縱亷積

　次以初商九尺乘縱方得一百六十二尺為縱方積

　併三積共一千六百二十尺除實盡

　乃以商數命為濶　各加縱為長為髙

　計開

　濶九尺　長一十五尺　髙一十二尺

假如有長立方積六萬四千尺但云長多濶五尺髙又

　多長一尺

　先以長多五尺髙多六尺併之得(十/十)為縱亷　又以

　五尺六尺相乘三十為縱方

　(解曰長多濶五尺髙又多/長一尺是髙多濶六尺也)

　列位　作㸃

　　　　　　　　　視㸃在第二位合商之以○六

　　　　　　　　　萬四千尺為初商之實

　　　　　　　　　視立方籌有○六四與實同宜

　商四十尺因有縱改商三十尺(二㸃故/商十尺)得二萬七千

　尺為立方積(商三十故書于㸃之/上兩位用進法也)

　次以初商三十尺自乘九百尺乘縱亷得九千九百

　尺為縱亷積

　次以初商三十尺乘縱方得九百尺為縱方積

　併三積共三萬七千八百尺以減原實餘二萬六千

　二百尺再商之(初商十宜/有次商)

　初商三十尺濶也　加縱五尺共三十五尺長也

　又加一尺共三十六尺髙也

　乃以初商長濶髙維乘之

　　濶乘長得一千○五十尺　髙乘濶得一千○八

　　十尺　長乘高得一千二百六十尺

　　併三維乘數共三千三百九十尺為平亷法(又法/併長)

　　(與髙乘濶又以髙/乘長併之亦同)

　次以初商長濶髙併之共一百○一尺為長亷法(又/法)

　　(初商三之加/兩縱亦同)

　乃以平亷用籌為法以餘實列位除之

　如後圖合視籌第六行是二○三四小于餘實次商

　六尺(所減首位不/空故書本位)得二萬○三百四十尺為平亷積

　(次商乘平/亷法也)

　　　　　　次以次商六尺自乘三十六尺乘長亷

　　　　　　法得三千六百三十六尺為長亷積

　　　　　　又以次商六尺自乘再乘得二百一十

　　　　　　六尺為隅積

　併三積共二萬四千一百九十二尺以減餘實餘二

　千○○八不盡以法命之

　法以初商濶髙長各加次商為濶髙長而維乘之

　　濶乘長得一千四百七十六尺　髙乘濶得一千

　　五百一十二尺　長乘髙得一千七百二十二尺

　併得四千七百一十尺(如平/亷)又併濶髙長得一百一

　十九尺(如長/亷)又加一尺(如/隅)共得四千八百三十尺為

　命分不盡之數為得分

　命為四千八百三十分尺之二千○○八即竒數也

　計開

　　濶三十六尺有竒(音基/)　長四十一尺有竒

　　髙四十二尺有竒

假如有長立方形積一十萬○一千尺但云長多濶五

　尺髙多濶六尺

　先以兩縱併得一十一尺為縱亷

　　以兩縱乘得三十尺為縱方

　列位　作㸃

　　　　　　　　　視㸃在第三位合三位商之以

　　　　　　　　　一十萬○一千為初商之實

　　　　　　　　　乃視立方籌有○六四小于一

　○一商四十尺(二㸃/商十)得六萬四千尺為立方積(商四/十故)

　(書于㸃之上/兩位進法也)

　次以初商自乘一千六百尺乘縱亷得一萬七千六

　百尺為縱亷積

　次以初商乘縱方得一千二百尺為縱方積

　併三積共八萬二千八百尺以減原實餘一萬八千

　二百尺再商之

　初商四十尺濶也　加縱五尺得四十五尺長也

　加縱六尺得四十六尺髙也

　乃以初商濶長髙而維乘之

　　長乘濶得一千八百尺　濶乘髙得一千八百四

　　十尺(又法併髙與長九十一尺以濶四十尺乘之/共三千六百四十尺省兩維乘其數亦同)

　　　髙乘長得二千○七十尺

　併維乘數共五千七百一十尺為平亷法

　又以濶長髙併之共一百三十一尺為長亷法

　乃列餘實以平亷用籌為法除之

　　　　　　　　合視籌第三行是一七一三小于

　　　　　　　　餘實次商三尺(所減首位不空/故本位書之)就

　　　　　　　　以次商三尺乘平亷法得一萬七

　　　　　　　　千一百三十尺為平亷積　又以

　次商三尺自乘九尺乘長亷法得一千一百七十九

　尺為長亷積　又以次商三尺自乘再乘得二十七

　尺為隅積　併之得一萬八千三百三十六尺大于

　餘實不及減

　改商二尺

　就以次商二尺乘平亷法得一萬一千四百二十尺

　為平亷積(即用籌第/二行取之)

　次以次商自乘四尺乘長亷法得五百二十四尺為

　長亷積　又以次商自乘再乘得八尺為隅積

　併之共一萬一千九百五十二尺以減餘實仍餘六

　千二百四十八不盡以法命之

　法以濶長髙各加次商二尺為濶長髙而維乘之

　併髙四十八尺長四十七尺共九十五尺以濶四十

　二尺乘之得三千九百九十尺(代兩/維乘)又以長乘髙得

　二千二百五十六尺併得六千二百四十六尺　又

　以長濶髙併之得一百三十七尺　又加一尺　共

　六千三百八十四為命分

　命為六千三百八十四之六千二百四十八即竒數

　計開

　濶四十二尺有竒

　長四十七尺有竒

　髙四十八尺有竒

　厯算全書卷三十二