歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書卷三十三

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　　籌算六之七

　開方捷法

勿菴氏曰亷隅二形也故有二法今借開方大籌為隅

　法列于亷法籌之下而合商之則亷隅合為一法而

　用加捷矣存前法者所以著其理用捷法者所以善

　其事

　平方

法曰如前列實從單位作㸃每隅位㸃之以求初商(初/商)

　(列位有常法/進法俱如前)既得初商即倍根數為亷法(亦同/前法)以亷

　法數用籌(亷法幾位/用籌幾根)列于平方籌之上為亷隅共法

　(或省曰/次商法)合視亷隅共法籌某行内有次商之實同者

　或略少者減實以得次商(以本行内/方根命之)

　三商者合初商次商倍之以其數用籌列平方籌上

　為亷隅共法(或省曰/三商法)以除三商之實而得三商

　四商以上倣此求之

解曰隅者小平方也故可以平方籌為法　亷之數每

　大于隅一位今以平方籌為隅列于亷之下則隅之

　進位與亷之本位兩半圓合成一數故亷隅可合為

　一法

　(何以知亷大于隅一位也曰有次商則初商是十數/矣平方亷法是初商倍數其位同初商故大于隅一)

　(位/)

凡初商減積盡最上一㸃故最上一㸃者初商之實也

　次商減積盡第二㸃故第二㸃以上次商之實也三

　商減積盡第三㸃故第三㸃以上三商之實也推之

　第四㸃為四商之實第五㸃為五商之實(以上/並同)

審空位法曰若次商之實小于亷隅共法之第一行(凡/籌)

　(第一行最/小數也)則知次商是空位也(不能成一/數故空)即作圈于

　初商下以為次商　乃于亷法籌下平方籌上加一

　空位籌為亷隅共法以求三商(若空位多者另/有簡法見後)

　三商實小有空位並同

假如有平方積二千四百九十九萬九千九百九十九

　尺問每面若干

　列位　作㸃

　　　　　　　　　　如圖㸃在次位以二千四百

　　　　　　　　　　萬為初商實

　　　　　　　　　　視平方籌有小于二四者是

　一六其方四也商四千尺減積一千六百萬尺(有四/㸃故)

　(初商是千/而有次商)

　次以初商四千尺倍之得八千尺為亷法用第八籌

　列平方籌上為亷隅共法

　以第二㸃餘實八百九十九萬為次商實視籌第九

　行合數八○一小于實次商九百尺減實八百○一

　萬尺

　(此所減首位不/空故對位書之)

　次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第

　九第八兩籌列平方籌上為廉隅共法　以第三㸃

　上餘實九八九九為三商之實

　合視籌第九行是八九○一小于實商九十尺減餘

　　　　　　　　　　　　　實八十九萬○一百

　　　　　　　　　　　　　尺

　　　　　　　　　　　　　(首位不空故/亦對位書之)

　次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十

　尺用九九八三籌列平方籌上為廉隅共法

　　　　　　　　　　　　　　　以第四㸃上餘

　　　　　　　　　　　　　　　積九九八九九

　　　　　　　　　　　　　　　為四商之實

　　　　　　　　　　　　　　　合視籌第九行

　　　　　　　　　　　　　　　積八九九○一

　　　　　　　　　　　　　　　小于實商九尺

　　　　　　　　　　　　　　　減餘實八萬九

　　　　　　　　　　　　　　　千九百○一尺

　不盡九千九百九十八尺

　開方已得單尺而有不盡以法命之倍方根加一數

　得九千九百九十九為命分

　凡開得平方四千九百九十九尺又九千九百九十

　九之九千九百九十八

　　右例可明四以上用常法之理葢積所少者不過

　　萬分之一不能成五數之方而其法迥異

加空籌式

假如有平方積一千六百七十七萬七千二百一十六

　問每面若干

　列位　作㸃

　　　　　　　　　如圖㸃在次位以一千六百萬

　　　　　　　　　為初商實

　　　　　　　　　視平方籌有一六與實同其方

　四商四千尺減積一千六百萬尺(凡餘實必在商數/下一位起倘空位)

　(則作圈補/之後倣此)　次以初商四千尺倍得八千尺為亷法

　用第八籌列平方籌上為亷隅共法(籌見/前例)

　以第二㸃上餘實○七七為次商實

　　　　　　　　籌最小數是○八一(第一/行數)大于實

　　　　　　　　不及減是商數無百也

　　　　　　　　乃于初商四千下作一圈以為次

　商(減去實/中○位)　次如上圖加一空位籌于次商亷法之

　下平方籌之上為三商亷隅共法

　以第三㸃上七七七二為三商實

　視籌第九行是七二八一小于實商九十尺減積七

　十二萬八千一百

　次合初商次商三商共四○九倍之得八一八為廉

　法

　去空位籌加一八兩籌列于平方籌之上為四商廉

　隅共法

　以第四㸃上四九一一六為四商之實

　合視籌第六行數與實合商六尺減積四萬九千一

　百一十六尺恰盡

　凡開得平方四千○九十六尺

假如有平方積九億○○一十八萬○○○九步問每

　面若干

　列位

　作㸃

　如後圖㸃在首位以○九億步為初商實

　　　　　　　　　　視平方籌有○九與實同商

　　　　　　　　　　三萬步(五㸃故/初商萬)減積九億步

　　　　　　　　　　次以初商三萬步倍之得六

　萬步用第六籌加平方籌上為次商法(即廉隅/共法)　以

　第二㸃上為次商之實視實三位俱空無減知商數

　有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空

　位則于原實内銷一圈(凡續商之實必下于前商之/實一位故雖○位必減去之)

　(以清出續/商之實)而于共法籌内加一空位籌如此挨商頗

　覺碎雜故改用又法

　又法曰凡實有多空位者知商數亦有多空不必挨

　商當于原實中審定可減之數在何位則此位之上

　皆連作圈而徑求後商如此餘實有三圈皆無積可

　減必至○一乃有可減而法是第六籌籌最小是○

　六大于○一仍不可減必至一八方可減而一是籌

　之進位當以商數對之則知以上俱是空位乃皆作

　圏合視之有三圈即次商三商四商也干原實内銷

　去三圈如後圖

　　　　　　　　　　　　　　此即次商三商四

　　　　　　　　　　　　　　商合圖也

　次加三空籌于平亷(第六/籌)之下平方之上為五商亷

　隅共法　徑以第五㸃上一八○○○九為五商實

　　　　　　　　視籌第三行數與餘實合商三尺

　　　　　　　　除積一八○○○九恰盡

　　　　　　　　凡開得平方三萬○○○三步

又假如積二千五百○七萬○○四十九尺問方若干

　列位　作㸃

　　　　　　　　　　　如圖㸃在次位以二千五

　　　　　　　　　　　百萬尺為初商實

　　　　　　　　　　　視平方籌有二五與實同

　其方五商五千尺減積二千五百萬尺

　次倍初商五千尺得一萬○千尺用一籌空位籌為

　廉法(凡商得五數則/原帶有空位)列平方籌上為次商法　實多

　空位以前除又法審之必至○七萬尺乃有可減而

　○七之○與籌上首位之○對當以商數居之則知此

　以上俱無商數也于是于初商五千下作兩圏如後圖

　此次商三商合圖也(原實上減兩圏/商數下加兩圏)

　如上圖加兩空位籌于廉法一萬○千之下平方之

　上為四商法

　以○七○○四九為四商實(次商三商之兩㸃已/銷故徑用第四㸃)

　　　　　　　　　視籌第七行相合商七尺減實

　　　　　　　　　恰盡

　　　　　　　　　凡開得平方五千○○七尺

又假如積五千六萬三千五百○○尺問方若干

　列位

　作㸃　如圖㸃在次位以五十六萬為初商實

　　　　　　　　　　　視平方第七行是四九小

　　　　　　　　　　　于實商七百尺除實四十

　　　　　　　　　　　九萬

　次倍初商七百得一千四百用第一第四兩籌列平

　方籌上為次商法　以第二㸃上○七三五為次商

　實

　　　　　　　　　　　　　　　　　合視第五

　　　　　　　　　　　　　　　　　行是○七

　　　　　　　　　　　　　　　　　二五小于

　　　　　　　　　　　　　　　　　實商五十

　　　　　　　　　　　　　　　　　尺減去餘

　　　　　　　　　　　　　　　　　積○七萬

　　　　　　　　　　　　　　　　　二千五百

　　　　　　　　　　　　　　　　　尺

　次合商數七百五十倍之得一千五百○尺應用第一

　第五空位三籌加于平方籌上為三商法以第三㸃

　上○一千○○尺為三商實而實小于法不能成一尺

　乃于商數未作一圏以為三商其不盡之數以法命之

　　　　　　　　凡亷隅共法籌第一行數即命分

　　　　　　　　也葢能滿此數即成一單數矣

　　　　　　　　凡開得平方七百五十○尺又一

　　　　　　　　千五百○一之一千○○○約為

　三之二弱

　立方

法曰如前列實隔兩位作㸃以求初商既得初商即以

　初商數自乘而三之為平亷法(即方/法)以平亷法用籌

　列于立方籌之上(借立方籌/為隅法也)為平亷小隅共法

　别以初商數三之而進一位為長亷法(即亷/法)以長亷

　法用籌列于立方籌之下(法于長亷數下加一空/籌以合進一位之數)

　先以平隅共法(即平亷小隅共/法或省曰共法)為次商之法即截取

　初商下一位至第二㸃止為次商之實法除實得次

　商(視共法籌内有小于實者為平亷/亷小隅共積用其根數為次商)次以次商之自

　乘數(即大籌立積下/所帶平方積數)與長亷法相乘(以平方數尋長/亷籌之行取其)

　(行内積/數用之)得數加入平隅共積為次商總積以此總積

　減次商之實及減則已倘不及減轉改次商及減而

　止(因亷積或大/有不及減者)

三商者合初商次商數自乘而三之為平亷法以其數

　用籌列方籌上為平亷小隅共法

　别以初商次商數三而進位以其數用籌加一空位

　籌列立方籌下為長亷法

　截取次商下一位至第三㸃為三商之實共法為法除

　之以得三商(其積為/共積)　次以三商自乘數與長亷法

　相乘得數加入共積為三商總積　减實(又一法長/亷法不必)

　(加空位籌得于得數/下加一圏即進位也)

四商以上倣此

解曰隅者小立方也故可以立方籌為法平亷之數每

　大于隅二位今以立方籌為隅列于平亷下則隅之

　首位與平亷之末位兩半圓合成一數故平亷小隅

　可合為一法　長亷之兩頭皆如次商自乘之數故

　可以平方乘之又長亷之數每大于隅一位故于下

　加一空籌以進其位便加積也

　(何以知平亷大于隅二位而長亷只大一位也曰平/亷者初商自乘之數也初商于次商為十數十乘十)

　(則百數矣隅積者次商本位也故平亷與隅如百與/單相去二位也若長亷只是初商之三倍位同初商)

　(初商與次商如十與單故長亷與/小隅亦如十與單相去一位也)

凡初商積盡于上一㸃故上一㸃為初商實次商積盡

　于第二㸃故第二㸃以上為次商實推之三㸃為三

　商實四㸃為四商實以上並同

審空位法曰若次商之實小于平亷小隅共法之第一

　行或僅如共法之第一行而無長亷積則次商是空

　位也即作圏于初商下以為次商乃于平亷籌下立

　方籌上加兩空位籌為三商平亷小隅之共法以求

　三商其長亷法下又加一空位籌(并原有一空位/籌共兩空位籌)為

　三商長亷法(又法長亷不必加空籌/但于得數下加兩圏)　若商數有兩

　空位者平亷小隅籌下加四空位籌長亷積下加三

　圏

解曰有空位則所求者三商也初商于三商如百與單

　而平亷者初商之自乘百乘百成萬故平亷與三商

　之隅如萬與單大四位也此加兩空籌之理也(平亷/原大)

　(二位加二空籌/則大四位矣)初商與三商既如百與單則長亷與

　隅亦如百與單大兩位也此又加一空籌之理也

初商列位商一用常法二至五用進法六至九用超法

　今各存一例于後

假如有立方積六百八十五萬九千尺問每面若干

　列位　作㸃

　　　　　　　　　　如圖㸃在首位以○○六百

　　　　　　　　　　萬為初商實

　　　　　　　　　　視立方籌有小于○○六者

　○○一也其立方一商一百尺(三㸃故/初商百)減積一百萬

　尺次截取第二㸃上五八五九為次商實

　以初商一百尺自乘得一萬尺而三因之得三萬

　尺為平廉法用第三籌列立方籌上為平廉小隅

　共法

　别以初商一百尺三而進位得三百○十尺為長

　廉法

　列立方籌下視平隅共法籌第九行是三四二九

　小于實商九十尺

　次以第九行平方八一乘長廉三得二四三○以加

　共積得五百八十五萬九千為次商九十尺之積除

　實盡

　次商十宜有三商而除實已盡是方面無單數也

　凡開得立方每面一百九十○尺

假如有立方積一千二百八十六億三千四百六十七

　萬○五百九十二尺問方若干

　列位

　作㸃

　　　　　　　　　　　　如圖㸃在第三位以一

　　　　　　　　　　　　千二百八十億為初商

　　　　　　　　　　　　實

　視立方籌内有小于一二八是一二五其方五也商

　五千尺(四㸃故/初商千)減積一千二百五十億

　次截取第二㸃上○三六三四為次商實

　以初商五千自乘得二千五百萬而三之得七千五

　百萬為平廉法用七五兩籌列立方籌上為平廉小

　隅共法别以初商五千尺三而進位得一萬五千○

　百尺為長亷法用籌列立方籌下

　　　　　　　　　　　　視共法籌第一行是○

　　　　　　　　　　　　七五○一大于實不及

　　　　　　　　　　　　減知次商百位空也于

　初商下作一圏為次商(原實上/減一圏)

　乃截第三㸃三六三四六七○為三商實

　次于平亷籌下立方籌上加兩空位籌為平亷小隅

　共法

　于長亷籌下又加一空位籌(原有一空位/籌共二空位)為長亷法

　　　　　　　　　　　　　　視共法籌第四行

　　　　　　　　　　　　　　是三○○○○六

　　　　　　　　　　　　　　四小于實用為共

　積商四十尺　以長廉法與四行之平方一六相乘

　得二四○○○為長廉積加入共積得三○二四○

　六四減積三十○億二千四百○六萬四千尺

　次以商數五千○四十自乘得二千五百四十○萬

　一千六百尺而三之得七千六百二十○萬四千八

　百尺為平廉法列立方籌上為平隅共法别以商數

　五千○四十尺三而進位得一萬五千一百二十○

　尺為長廉法列立方籌下

　　　　　　　　　　　　　　　　乃截第四㸃

　　　　　　　　　　　　　　　　六一○六○

　　　　　　　　　　　　　　　　六五九二為

　　　　　　　　　　　　　　　　四商之實

　　　　　　　　　　　　　　　　視共法籌第

　　　　　　　　　　　　　　　　八行六○九

　　　　　　　　　　　　　　　　六三八九

　　　　　　　　　　　　　　　　一二小于實

　商八尺以長亷法與第八行平方六四相乘得九六

　七六八○為長亷積以加共積得六一○六○六五

　九二除實盡

　凡開得立方每面五千○四十八尺

　　右加兩空籌例

假如有立方積七千二百九十七億二千九百二十四

　萬三千○二十七尺問每面若干

　列位　作㸃

　　　　　　　　　　　　如圖㸃在第三位以七

　　　　　　　　　　　　千二百九十億為初商

　　　　　　　　　　　　實　視立方籌方九之

　積七二九與實同商九千尺減積七千二百九十億

　(四㸃故/初商千)次截第二㸃○○○七二九為次商實

　以初商九千尺自乘八千一百萬尺而三之得二億

　四千三百萬尺為平亷法列立方籌上為平亷小隅

　共法别以初商九千尺三而進位得二萬七千○百

　尺為長亷法列立方籌下　視共法籌第一行是○

　二四三○一大于實不及減知次商百位空也于初

　商九千尺下作一圏為次商(原實上減/去一圏)乃于平亷籌

　下立方籌上加兩空籌為平廉小隅共法于長亷籌

　下又加一空籌得二七○○為長亷法　截取第三

　㸃○○七二九二四三為三商實　視共法籌第一

　行是○二四三○○○一大于實仍不及減知三商十位

　亦空也于商得九千○百下加一圏為三商(原實上又/減去一圏)

　(又法實多空不必挨商但尋至不空之界如○七乃/與平亷相應即于○七之上初商之下作連圏為次)

　(商三商而于原/實中銷兩圏)

　　　　　　　　　　　　此次商三商合圖也

　　　　　　　　　　　　乃于平亷籌下立方籌

　　　　　　　　　　　　上又加兩空籌(共四/空籌)為

　平亷小隅共法　其長亷籌下又加一空籌(共三/空籌)得

　二七○○○為長亷法(或不必加籌只于得/數下加三圏亦同)

　截取第四㸃○七二九二四三○二七為四商實

　　　　　　　　　　視共法籌第三行是○七二

　　　　　　　　　　九○○○○二七小于實商

　　　　　　　　　　三尺　以長亷法與第三行

　　　　　　　　　　平方○九相乘得二四三○

　　　　　　　　　　○○為長亷積以加共積得

　　　　　　　　　　○七二九二四三○二七除實盡

　凡開得立方每面九千○○三尺

　　右加四空籌例

　開方分秒法(籌算七/)

勿菴氏曰命分古法也然但可以存其不盡之數而已

　若還原則有不合故有分秒法以御之也雖亦終不

　能盡然最小之分即無關于大數視命分之法不啻

　加宻矣

　平方

法曰凡開平方有餘實不能成一數不可開矣若必欲

　開其分秒則于餘實下加二圏(原實一化/為一百分)如法開之

　所得根數是一十分内之幾分也或加四圏(原實一/化為一)

　(萬/分)如法開之所得根數是一百分内之幾分也或加

　六圏(原實一化為/一百萬分)如法開之所得根數是一千分内

　之幾分也如此遞加兩圏則多開得一位乃至加十

　圏(原實一化/為百億分)其根數則十萬分内之幾萬幾千幾百

　幾十幾分也

假如平方積八步開得二步除實四步餘四步不盡分

　秒幾何

　　　　　　　　法于餘實下添兩圏則餘實四步

　　　　　　　　化為四百○○分為次商之實

　　　　　　　　依捷法以初商二步倍作四步為

　　　　　　　　亷法列平方籌上為亷隅共法簡

　籌第八行積三八四小于餘實次商八分除實三百

　八十四分開得平方每面二步八分不盡一十六分

　再開之

　又于餘實下加兩圏則餘實一十六分化為一千六

　百○○秒為三商之實

　依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分

　為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第二行積一

　一二四小于餘實商作二秒除實一千一百二十四

　秒共開得平方每面二步八分二秒不盡四百七十

　六秒

　　此單下開兩位式也所不盡之數不過百分之四

　　若欲再開亦可得其忽㣲如後式

　還原以二步八二用籌為法又以二步八二列為實

　而自相乘之得七萬九千五百二十四分加不盡之

　分四百七十六共八萬乃以一萬分為一步之法除

　之(當退/四位)仍得八步合原數

　解曰此以一步化為百分故其積萬分何也自乘者

　横一步直一步也今既以一步化為一百分則是横

　一百分直一百分而其積一萬分為一步

假如平方九十步開得九步除實八十一步餘實○九

　步不盡(小分/幾何)

　法于餘實九步下加八圏則餘實九步化為九億共

　作五㸃而以第二㸃○九億○○分為次商之實

　依捷法以初商九步倍作一十八步為亷法列平方

　　　　　　　　　　　籌上為亷隅共法簡籌第

　　　　　　　　　　　四行○七三六略小于餘

　　　　　　　　　　　實商四千分除實七億三

　　　　　　　　　　　千六百萬分餘一億六千

　　　　　　　　　　　四百○○萬分為第三商

　　　　　　　　　　　之實(第三/㸃也)

　又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十

　八步八為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八

　行一五一○四略小于餘實商八除實一億五千一

　百○四萬餘一千二百九十六萬分○○為第四次

　商之實(第四/㸃也)

　又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八

　步九六為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第六

　行一一三七九六略小于實商六除實一千一百三

　十七萬九千六百分餘一百五十八萬○四百○○

　分為第五次商之實(第五/㸃也)

　又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九

　七二為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八行

　一五一七八二四略小于實商八除實一百五十一

　萬七千八百二十四分餘六萬二千五百七十六分

　不盡凡開得平方每面九步四千八百六十八分(亦/可)

　(名為四分八/秒六忽八㣲)不盡一○○○○○○○○之○○○

　○六二五七六(即一萬分之/六分有竒)

　雖不盡不過萬分之一不足為損益可棄不用

　還原以九步四八六八用籌為法又為實自乘得八

　十九億九千九百九十三萬七千四百二十四分加

　入不盡之分六萬二千五百七十六共九十億以一

　億分為一步之法除之(當退/八位)仍得九十步合原數

　解曰此以一步化為一萬分故其自乘之積一億何

　也自乘者横一步直一步之積也今既以一萬分為

　步則是横一萬分直一萬分而其積一億為一步

若依命分法則還原不合

　如前例　原實八步開得方二步除實四步不盡四

　步法當倍每方二步作四步又加隅一步為命分命

　為二步又五分步之四意若曰若得五步則商三步

　矣今只四步是五分内止得四分也然還原有不合

　何也

以算明之

　用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四

　共一十四分自乘得一百九十六為實以命分五自

　　　　　　　　　　　乘得二十五分為法(每步/通作)

　　　　　　　　　　　(五分横一步直一步/則共得二十五分也)除之

　得七步又二十五分之二十一以較原實少二十五之四

以圖明之

　　　　　　　每步作五分其羃積二十五分方二

　　　　　　　步積四步共一百分又五之四以乘

　　　　　　　方二步得四十分倍之為亷積八十

　　　　　　　分又五之四自乘得隅積一十六分

　共九十六分以合原餘積四步該一百分少二十五

　分之四

　以此觀之實數每縮虛數常盈故命分之法不可以

　還原　其故何也曰隅差也何以謂之隅差曰平方

　之有竒零其在兩亷者實其在隅者虛何也亷之虛

　者一面而隅之虛者兩面也即如二步五之四謂五

　分内虛一分故不能成一歩也然試觀于圖兩亷之

　四步皆虛一分(横四分直五分積二十分以二十五/分計之是為于五分之中虛一分)

　而隅之一步虛一分有零(横四分直亦四分積一十/六分虛九分以二十五分)

　(計之是為五分/之中虛二分弱)則是邊數二步五之數者其積不及

　五之四也今餘積四步者實數也其邊數常盈于五

　之四有竒也而命之曰五之四宜其不及矣然則古

　何以設此法曰古率常寛以為所差者㣲故命之也

　不但此也古率圓一圍三方五斜七今考之皆有㣲

　差故曰寛也

　愚常考定開平方隅差之法法曰如法以命分之毋

　通其整而納其子(即得/分)為全數以全數自相乘得數

　為通積另置分毋以分子減之餘數以乘分子而加

　之為實乃以分毋自乘為法除之即適還原數　如

　上方二步五之四以分毋五通二步得十納子四共

　十四自乘得方積一百九十六分另以分子四減分

　毋五餘一以轉乘分子四得四即隅差也以隅差加

　入方積共二百分為實乃以分毋五自乘得二十五

　為法以除實得八步合原積

　又如後例　原實九十步開得九步除實八十一步

　不盡九步法當倍每方九步作十八步又加隅一共

　十九步為命分命為九步又十九分步之九意若曰

　若得十九歩則加商一步成十步今只九步是十九

　分内只得九分也然還原亦不合

以算明之

　用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又

　加得分九共一百八十步自乘得三萬二千四百為

　實以命分十九自乘得三百六十一為法(每步十九/分横十九)

　(分直十九分共得/三百六十一分也)除之得八十九步又三百六十一

　分之二百七十一以較原實之九十步計少三百六

　十一分之九十分

　若依隅差之分以得分九減命分十九餘十轉乘得

　分得九十分為隅差以加自乘通積三萬二千四百

　共得三萬二千四百九十為實乃以命分自乘三百

　六十一為法除之恰得九十步合原積

以圖明之

　　　　　　　　　　甲戊丁庚形者方九步九分

　　　　　　　　　　之總形也通為一百八十分

　　　　　　　　　　積三萬二千四百分以三百

　　　　　　　　　　六十一為步除之較原實少

　　　　　　　　　　九十分

　内分甲丙乙巳形為初商方九步之形其積八千一歩

　戊乙形庚乙形次商亷積之形也長九步(通為一百/七十一分)

　濶九分積一千五百三十九分兩亷共計三千○七

　十八分

　丁乙者小隅者横直各九分以較亷積中每一步之

　形(如丑/乙)欠一丁癸形即隅差也

　以積考之亷九步每步濶九分長一步(通為十/九分)積一

　百七十一分隅濶九分長亦九分積八十一分少九

　十分為隅差

　立方

法曰凡立方有餘實不能成一數不可開矣若必欲知

　其分秒則于餘實下加三圏(原實一化/為一千分)如法開之所

　得根數是一十分之幾分也若加六圏(原實一化為/一百萬分)

　所得根數是一百分之幾分也若加九圏(原實一化/為十億)

　則根數是一千分之幾分也若加十二圏(原實一化/為萬億)

　則根數是一萬分之幾分也

解曰平方籌兩位故兩位作㸃而其化小分亦以兩位

　為率葢積多兩位則根數可多一位也(亷一位隅一/位故兩位)

　立方籌三位故三位作㸃而其化小分亦以三位為

　率葢積多三位則根數可多一位也(平亷一位長亷/一位隅一位故)

　(三/位)

假如立方積一十七步開得立方二步除八步餘實九

　　　　　　　　　　　　　步不盡法于餘實下

　　　　　　　　　　　　　加十二圈則餘實九

　　　　　　　　　　　　　步化為九萬億分(増/)

　　　　　　　　　　　　　(四㸃可加開四位/)

　依捷法截第二㸃○九○○○為次商之實　以初

　商二自乘(四/)而三之得一十二步為平亷法列立方

　籌上為平隅共法　以初商(二/)三而進位得(六○/)為

　長亷法列立方籌下　簡共法籌第五行積(○六一/)

　(二五/)小于實商五分(六行七行亦小于實因無長亷/)

　(積故不用/)

　乃以第五行平方(二五/)與長亷法相乘得(一五○○/)

　為長亷積以加共積共得(○七六二五/)是為次商五

　分之積以除實餘一三七五以俟三商

　又截取第三㸃一三七五○○○為三商之實　以

　初商次商共二步五分自乘得(六二五/)而三之得(一/)

　(八七五/)為平亷法列立方籌上為平隅共法　以初

　商次商(二步五分/)三而進位得(七五○/)為長亷法列

　立方籌第七行(一三一二八四三/)共法(八四三/)小于

　實商七秒　乃以第七行平方(四九/)與長亷法相乘

　得(三六七五○/)為長亷積以加共積共得(一三四九/)

　(五九三/)為三商七秒之積以除實餘○二五四○七

　以候續商

　又截取第四㸃○二五四○七○○○為四商之實

　以商數(二五七/)自乘得(六六○四九/)而三之得(一九/)

　(八一四七/)為平亷法列立方籌上為平隅共法　以

　商數(二五七/)進位而三之得(七七一○/)為長亷法列

　立方籌下簡共法籌第一行(○一九八一四七○一/)

　小于實商一忽

　乃以第一行平方(一/)乘長亷得(七七一○/)為長亷積

　以加共積得(一九八二二四一一/)為商一忽之積以

　除實餘○五五八四五八九以候末商

　通第五㸃○五五八四五八九○○○為末商之實

　　以商數(二五七一/)自乘得(六六一○○四一/)而三

　之得(一九八三○一二三/)為平亷法列立方籌上為

　平隅共法　以商數(二五七一/)進位而三之得(七七/)

　(一三○/)為長亷法列立方籌下簡共法籌第二行(○/)

　(三九六六○二四六○八/)小于實商二㣲

　乃以第二行平方(○四/)乘長亷法得(三○八五二○/)

　為長亷積以加共積得(○三九六六三三三一二八/)

　為末商二㣲之積以減實餘一六一八二五五八七

　二不盡

　凡開得立方每面二步五分七秒一忽二㣲(不盡之/數不能)

　(成一㣲/棄不用)

　還原以二步五七一二用籌為法别以二步五七一

　二列為實以法乘實得六六一一○六九四四

　再乘之得一十六萬九千九百八十三億八千一百

　七十四萬四千一百二十八分

　乃以不盡之積一十六億一千八百二十五萬五千

　八百七十二分加入再乘積共得一十七萬億以一

　萬億為一步之法(以一步為萬分横一萬直/一萬商一萬共一萬億)除之得

　一十七步合原數

若依命分法則還原不合

　如前所設立方積一十七步開得立方每面二步除

　積九步餘九步法當以立方二步自乘得四步而三

　之得十二步為平亷又以立方二步三之得六步為

　長亷又加(一步/)為隅共(一十九步/)為命分命為立方

　二步又十九分步之九意若曰餘積若滿十九步則

　加商一步矣今只有九步是以十九分為一步而今

　僅得九分也然還原則有不合

以算明之

　用通分法以命分十九通立方二步得(三十八分/)又

　加得分九共(四十七分/)此即所云二步又十九分之

　九乃立方一面之數也以此自乘得(二千二百○九/)

　(分/)再乘得(一十○萬三千八百二十三/)乃立方二步

　又十九分之九所容積數也為實别以命分十九自

　乘得(三百六十一/)再乘得(六千八百五十九/)乃方一

　步之積為法以除實得(一十五步又六千八百五十/)

　(九之九百三十八/)較原實一十七步少(一步又六千/)

　(八百五十九分之五千九百二十一/)

　其故何也曰長亷小隅之差也何以言之曰立方之

　有竒零其在平亷者實其在長亷小隅者虛何也平

　亷之虛者一面而長亷虛兩面小隅虛三面故也今

　以十九分為一步其立方積(六千八百五十九分/)為

　步法以十九分除之得每(三百六十一/)為分法平亷

　每步(横十九分直十九分髙九/分積三千二百四十九)分法除之得九是為

　十九分之九適合命分之數也

　若長亷(横九分直十九分髙九分/積一千五百三十九分)分法除之得四分

　有竒而已以較平亷九分之積(三千二百四十九/)少

　(一千七百一十分/)三長亷共(六步/)共少(一萬○二百/)

　(六十分/)步法除之得一步又三千四百○一分為長

　亷差

　若小隅(横直髙各九分積/七百二十九分)分法除之得二分有竒而

　已

　以較平亷九分之積(三千二百四十九/)少二千五百

　二十分為隅差

　合亷隅兩差計之共少一步又六千八百五十九分

　之五千九百二十一

以圖明之

　　　　　丑寅為立方一步之形每步通為十九分

　　　　　横直髙各十九分積六千八百五十九分

　　　　　是為步法

　以十九分除步法得三百六十一分是為分法

亷隅總圖(見左/)

　甲乙丙三平亷也縱横各方二步通為三十八分厚

　九分積一萬二千九百九十六分三亷共三萬八千

　　　　　　　　　九百八十八分丁戊巳三長亷

　　　　　　　　　也各長二步通為三十八分厚

　　　　　　　　　濶各九分積三千○七十八分

　　　　　　　　　三亷共九千二百三十四分

　　　　　　　　　庚小隅也長濶髙皆九分積七

　百二十九分

　三長廉三平廉一小隅共包一正方形在内

　正方形縱横各二步通為三十八分　積五萬四千

　八百七十二分

　總形方二步九分通為四十七分髙如之　積

　一十○萬三千八百二十三分　以步法除之

　得一十五步有竒不滿原實一步又五千九百二

　十一分

　　　　　　　　平亷方二步其容四步即辛壬癸

　　　　　　　　子之分形也每步縱横皆一步通

　　　　　　　　為十九分厚皆九分積三千二百

　四十九(辛一形積如此/壬癸子者同)　以分除之適得九分

　　　　　　　　長亷長二步(如丑寅/合形)通為三十八

　　　　　　　　分厚九分皆與平亷同所不同者

　　　　　　　　平亷濶十九分而長亷濶只九分

　故長亷二步尚不及平亷一步之積以積計之每長

　亷一步(如丑/形)積一千五百三十九分較平亷每步之

　積(如丑夘/合形)少一千七百一十分(如丑之/虛分夘)三長亷計六

　步共少一萬○二百六十分是為長亷之差

　　　　　　　　小隅横直髙皆九分(如未/形)于平亷

　　　　　　　　一步之積不及四之一以積計之

　　　　　　　　小隅之積七百二十九較平亷一

　步之積(如未申/合形)少二千五百二十分(如未之/虛分申)是為小

　隅之差　合二差共一步五千九百二十一分

　今考定開立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如

　法以分母(即命/分)通其整而納以分子(即得/分)為立方全

　數以全數自乘再乘得數為立方通積另置命分(母/數)

　與得分(子數/)各自乘得數以相減用其餘數以乘得

　分得數為隅差又置命分與得分相減用其餘數轉

　與得分相乘以乘命分得數是為長亷每步虛數又

　以長亷法乘之得數為長亷差合二差數以加通積

　為實以命分自乘再乘得數為法除之即適還原數

　　如所設立方積十七步開得立方二步又十九分

　之九法以分母(十九/)通立方二步而以分(子九分/)納

　之共(四十七分/)為立方全數以全數自乘再乘得(一/)

　(十○萬三千八百二十三/)為通積另置命分(十九/)自

　乘得(三百六十一/)内減分子(九/)自乘(八十一/)餘(二百/)

　(八十分/)以分子(九/)乘之得(二千五百二十分/)為隅差

　又置命分(一十九/)内減得分(九/)餘十分轉乘得分(九/)

　得(九十分/)以乘命分(十九/)得(一千七百一十分/)為長

　亷每步虛數又以長亷法(六步/)乘之得(一萬○二百/)

　(六十分/)為長亷差合二差共一萬二千七百八十分

　以加通積共得一十一萬六千六百○三分為實以

　命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分為法

　以除實得一十七步合原積

　厯算全書卷三十三