歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書卷五十

　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　三角形舉要法卷一

　測算名義

　　古用句股有割員弧背弦矢諸名今用三角其類

　　稍廣不可以不知爰摘綱要列於首簡

　㸃

㸃如針芒無長短濶狹可論然算從此起譬如算日月

行度只論日月中心一點此㸃所到即為躔離真度

　線

線有弧直二種皆有長短而無濶狹自一㸃引而長之

至又一㸃止則成線矣

如測日月相距度皆自太陽心算至太隂心是為弧線

如測日月去人逺近皆自人目中一㸃算至太陽太隂

天是為直線

凡句股三角之法俱論線線兩端各一㸃故線以㸃為

其界

　面

面有方員各種之形皆有長短有濶狹而無厚薄故謂

之冪冪者所以冒物如量田疇界域只論土面之大小

面之方員各類皆以線限之故面以線為界(面之線/亦曰邉)

惟員面是一線所成乃弧線也若直線必三線以上始能成形

　體

體或方或員其形不一皆有長短有濶狹又有厚薄(或/淺)

(深髙下/之類)員體如球如柱方體如櫃如㪷或如員塔方塔

皆以面為界(圖/後)

以上四者(謂㸃線/面體)略盡測量之事矣然其用皆在線如

論㸃則有距線論面則有邉線論體則有棱線(面與面/相得則)

(成棱/線)凡所謂長短濶狹厚薄淺深髙下皆以線得之三

角法者求線之法也

長短濶狹厚薄等類皆以量而得而量者必於一線正

中若稍偏於兩旁則其度不真矣故凡測量所求者皆線也

　三角形

欲明三角之法必詳三角之形

兩直線不能成形成形者必三線以上而三線相遇則

有三角故三角形者形之始也

多線皆可成形析之皆可成三角至三角則無可析矣

故三角能盡諸形之理

凡可算者為有法之形不可算者為無法之形三角者

有法之形也不論長短斜正皆可以求其數故曰有法

若無法之形析之成三角則可量故三角者量法之宗也

　角

三角法異於句股者以用角也故先論角

兩線相遇則成角(平行兩直線不能作角何也線既平/行則雖引而長之至於無窮終無相)

(遇之理角安從生是故作角/者必兩線相遇必不平行也)

角有三類一正方角一銳角一鈍角

如右圖以兩線十字縱横相遇皆為正方角(亦曰直角/亦曰方角)

如右圖以兩線斜相遇則一為銳角一為鈍角

凡銳角必小於正方角凡鈍角必大於正方角

正方角止一銳角鈍角則有多種而算法生焉

　弧

角在小形與在大形無以異也故無丈尺可言必量之

以對角之弧

法以角之端為員心用規作員員周分三百六十度乃

視本角所對之弧於全員三百六十度中得幾何度分

其弧分所對正得九十度者為正方角(九十度者全員/四之一謂之象)

(限/)若所對弧分不滿九十度者為銳角(自八十九度以/至一度並銳角)

(也/)所對弧分在九十度以上者為鈍角(自九十一度至/百七十九度並)

(鈍角/也)

　　　　　　　如圖丁為角即用為員心以作員形

　　　　　　　其庚丁丙角(凡論角度並以中一字/為所指之角此言庚丁)

　　　　　　　(丙即丁/為角也)所對者庚丙弧在全員為四

　　　　　　　之一正得象限九十度是為正方角

若乙丁丙角所對者乙丙弧在象限庚丙弧之内小於

象限九十度是為銳角

又乙丁壬角所對乙庚壬弧過於壬庚弧(壬庚亦象限/九十度弧故)

(庚丁壬/亦方角)大於象限九十度是為鈍角

角之度生於割員

　割員弧矢

有弧則有矢弧矢者古人割員之法也

　　　　　　　　如圖以乙子直線割平員則成弧

　　　　　　　　矢形

　　　　　　　　所割乙丙子員分如弓之曲古謂

　　　　　　　　之弧背以弧背半之則為半弧背

(如乙/丙)

　通弦正弦

割員直線如弓之弦謂之通弦(如乙/子)

通弦半之古謂之半弧弦今曰正弦(如乙/甲)

　矢線

正弦以十字截半徑成矢(如丁丙横半徑為乙甲/正弦所截成甲丙矢)謂之

正矢

　　(以上二條/俱仍前圖)

　正弧餘弧正角餘角

　　　　　　　所用之弧度為正弧以正弧減象限

　　　　　　　為餘弧(如庚丙象限内减乙丙正/弧則其餘乙庚為餘弧)

正弧所對為正角(如正弧乙丙對乙/丁丙角則為正角)

以正角減正方角為餘角(如以乙丁丙正角去减庚丁/丙方角則其餘乙丁庚角為)

(餘/角)

　正弦餘弦正矢餘矢

　　　　　　　有正弧正角即有正弦(如乙/甲)有正矢

　　　　　　　(如甲/丙)亦即有餘弦(如乙/己)有餘矢(如己/庚)

正弦正矢餘弦餘矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所

有

自一度至八十九度並得為乙丙並得為正弧即正餘

弦矢畢具

若用乙庚為正弧則乙丙反為餘弧

角之正餘亦同

　割線切線

每一弧一角各有正弦餘弦正矢餘矢己成四線於平

員内(古人用句股割員即此法也/盖此四線己成倒順二句股)

再引半徑透於平員之外與切員直線相遇為割線切

線而各有正餘復成四線(正割正切餘割餘切/復成倒順二句股)共為八

線故曰割員八線也

　　　　　　　　如圖庚乙丙平員切戊丙直線於丙

　　　　　　　　又引乙丁半徑透出員周外使兩線相

　　　　　　　　遇於戊則戊丙為乙丙弧之正切線

　　　　　　　　亦即為乙丁丙角之正切線而戊丁

為乙丙弧之正割線亦即為乙丁丙角之正割線

又以平員切庚辛直線於庚與乙丁透出線相遇於辛

則庚辛為乙丙弧之餘切線亦即為乙丁丙角之餘切線

而辛丁為乙丙弧之餘割線亦即為乙丁丙角之餘割線

　割員八線

凡用一弧即對一角用一角亦對一弧故可互求

凡一弧即有八線(正弦正矢正割正切/餘弦餘矢餘割餘切)角亦然

凡一弧之八線即成倒順四句股角亦然

　　　　　　　　如圖庚丙象弧共九十度庚丁丙

　　　　　　　　為九十度十字正方角

　　　　　　　　任分乙丙為正弧乙丁丙為正角

　　　　　　　　則乙庚為餘弧乙丁庚為餘角

　　正弦(乙甲己/同丁)　正矢(甲丙/)正切(戊丙/)　正割(戊丁/)

　　餘弦(乙己甲/同丁)　餘矢(庚己/)餘切(辛庚/)　餘割(辛丁/)

以上八線為乙丙弧所用亦即為乙丁丙角所用(自一/度至)

(八十九/度並同)若用乙庚弧亦同此八線但以餘為正以正為餘

　　　　　　　乙甲丁句股形乙丁(半/徑)為弦乙甲(正/弦)為

　　　　　　　股丁甲(餘/弦)為句　戊丙丁句股形戊丁

　　　　　　　(正/割)為弦戊丙(正/切)為股丙丁(半/徑)為句

　　　　　　　以上兩順句股形同用乙丁甲角故其

比例等(凡句股形一角/等則餘角並等)

　　　　　　　乙己丁倒句股形乙丁(半/徑)為弦己丁(正/弦)為

　　　　　　　股乙己(餘/弦)為句　辛庚丁倒句股形辛丁

　　　　　　　(餘/割)為弦丁庚(半/徑)為股辛庚(餘/切)為句　以上兩

　　　　　　　倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等

　　　　　　　乙甲丁句股形乙丁(半/徑)為弦乙甲(正/弦)為股甲

　　　　　　　丁(餘/弦)為句　丁己乙倒句股形乙丁(半/徑)為

弦己丁(正/弦)為股乙己(餘/弦)為句　此倒順兩句股形等邉又等

角(倒形之丁角即順形丁角之餘/倒形之乙角即順形乙角之餘)竟如一句股也凖此

論之則倒順四句股之比例亦無不等矣

　角度

凡三角形併三角之度皆成兩象限(共一百/八十度)

　　　　　　　　假如乙甲丁句股形其丁角五十五

　　　　　　　　度(當乙/丙弧)則乙角必三十五度(當乙庚/餘弧)

　　　　　　　　兩角共一象限九十度其甲角正方

　　　　　　　　原係九十度合三角成一百八十度

乙角何以必三十五度也試引乙丁弦過心至夘則夘

丁丑角與丁乙甲角等(夘丁乙同為一線丁丑線又與/乙甲平行則所作之角必等)

而夘丁丑固三十度也則乙角亦三十度矣

　　　　　　　又假如丙乙丁三角形從乙角作乙

　　　　　　　甲直線至丁丙邉分為兩句股形(乙/甲)

　　　　　　　(丁乙/甲丙)凖前論乙甲丁句股形以乙分

　　　　　　　角與丁角合之成一象限九十度又

乙甲丙句股形以乙分角與丙角合之成一象限九十

度然則以乙全角(即兩分/角之合)與丁丙兩角合之必兩象限

一百八十度矣(乙為鈍/角並同)

以此推知三角形有兩角即知餘角(併兩角以减半周/一百八十度得之)

句股形有一角即知餘角(句股原有正方角九十度則餘兩/角共九十度故得一可知其二)

　相似形

既知角可以論形有兩三角形其各角之度相等則為

相似形而兩形中各邉之比例相等(謂此形中各邉自/相較之比例亦如)

(彼形中各邉自/相較之比例也)

　比例

兩數相形則比例生比例者或相等或大若干或小若

干乃兩數相比之差數也有兩數於此又有兩數於此

數雖不同而其各兩數自相差之比例同謂之比例等

或兩小數相等又有兩大數相等是為相等之比例數

雖有大小其相等之比例均也或兩小數相差三倍又

有兩大數亦相差三倍是為三倍之比例或兩小數相

差為一倍有半又有兩大數相差亦一倍有半是為一

倍有半之比例數雖有大小其為三倍之比例及一倍

有半之比例均也

論八線之比例有二

一為八線自相生之比例

　　　　　　　　乙甲丁小句股形與戊丙丁大句

　　　　　　　　股形相似(見前/條)故以半徑乙丁比

　　　　　　　　正弦乙甲若割線戊丁與切線戊

　　　　　　　　丙之比例也(此為以小弦比小/股若大弦與大股)股

求弦亦同

又以半徑丙丁比正切戊丙若餘弦甲丁與正弦乙甲

之比例也(此為以大句比大/股若小句比小股)股求句亦同餘倣此

以故凡八線中但得一線則餘皆可求觀圖自明

一為八線算他形之比例

乙丁甲角所有八線為表中原設之數亢丁房句股形

為今所算之數

或先有丁角有亢丁弦而求房丁句則為以乙丁半徑

　　　　　　　　比甲丁餘弦若亢丁弦與房丁句

　　　　　　　　也(以角與句/求弦亦同)以上是用八線以求

　　　　　　　　他形

　　　　　　　　或先有亢丁弦有亢房股而求丁

　　　　　　　　角則為以亢丁弦比亢房股若乙

　　　　　　　　丁半徑與丁角之正弦乙甲也(得/乙)

　　　　　　　　(甲得丁/角矣)或先有亢房股與房丁句

　　　　　　　　而求丁角則為以亢房股比房丁

句若丁庚半徑與庚辛餘切也(得庚辛亦/得丁角)以上二者是

用他形轉求八線

總而言之皆以先有兩數之比例為後兩數之比例其

乗除之法皆依三率也

　三率

三率算術古謂之異乗同除今以句股解之

丁戊大股(十四/尺)丙戊大句(十一尺/二寸)截丁乙小股(十/尺)問乙

甲截句

　　　　　　　　　答曰八尺

　　　　　　　　　術以所截小股乗大句得數

　　　　　　　　　為實以大股為法除之即得截句

　　若先以原股(十四/尺)除原句(十一尺/二寸)得八寸為每一

　　尺之句再以截股(十/尺)乗之亦得八尺但先除後乗

　　多有不盡之數故改用先乗後除乃古九章中通

　　用之綱要也

　　先乗後除何以又謂之異乗同除曰今但有截股

　　而不知句故以原有之句乗之股與句異名故曰

　　異乗然後以原有之股除之股與股同名故曰同除

　　然則又何以謂之三率曰本是以原有之股與句

　　比今截之股與句共四件也然見有者只三件(原/有)

　　(之股與句及/今截之股)故必以見有之三件相為乗除而得

　　所不知之第四件故曰三率

三率乗除圖式

一率　原有股十四尺　　為法

二率　原有句十一尺二寸(相乗/)

三率　今截股十尺　　　(為實/)

四率　所求截句八尺　　法除實得所求

　　術曰以原股比原句若截股與截句也

　　凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率

　　言與者為四率

　　二率三率常相乗為實一率常為法法除實得四

　　率四率乃所求之數其三率者所以求之也

　　三率與異乗同除非有二理但以横列為異然數

　　既平列即可以四率為法除二三相乗之實而得

　　一率并可以一率四率相乗為實用二率為法除

　　之而得三率或用三率為法除之亦得二率是故

　　一四二三之位可以互居(四可為一/二可為三)法實可以迭

　　用(二與三可居一四之位/一與四可居二三之位)變動不居惟用所適而

　　各有典常於異乗同除之理尤深切而著明者也

三率互用圖

反之　　　　　更之　　　　　又反之

一句八尺　　　一股十尺　　　一句十一尺二寸

二股十尺　　　二句八尺　　　二股十四尺

三句十一尺二寸三股十四尺　　三句八尺

四股十四尺　　四句十一尺二寸四股十尺

　　右並以二率三率相乗為實一率為法除之而得

　　四率

　八線表

八線為各弧各角之句股所成故八線表者即句股形

之立成數也古人用句股開方巳盡測量之理然句股

弦皆邉線耳邉之數無方放之則彌四逺近之則陳几

案故所傳算術皆以一端示例而已不能備詳其數也

今變而用角則有弧度三百六十以限之而以象限盡

全周有合於舉一反三之㫖又析象限之度各六十分凡

為句股形二千七百角度五千四百(九十度之分五千/四百而句股形並)

(有兩角故其形二千/七百而角數倍之)為正弦為切線為割線共一萬六

千二百(三項各五千四/百正餘互用也)而句股之形略備用之殊便也

銳角分兩句股鈍角補成句股然惟有八線表中豫定

之句股故但得其角度則諸數厯然可於無句股中尋

出句股矣

　半徑全數

全數即半徑也不言半徑而言全數者省文也凡八線

生於角度而有角有弧則有半徑八線之數皆依半徑

而立也半徑常為一(或五位則為一萬/或六位則為十萬)則正弦常為半

徑之分(正弦必小/於半徑)而不得為全數惟半徑可稱全數也

(割切二線皆依正弦而生/亦皆有畸零不得為全數)

用全數為半徑有數善焉一立表時易於求數也一用

表時便於乗除也(三率中全數為除法則但降位可省/一除若全數為乗法則但升位可省)

(一/乗)

厯書中多言全數(或但/曰全)以從省便今算例中直云半徑

以欲明比例之理故質言之

補遺

　正弦為八線之主

割圜之法皆作句股於圜内以先得正弦故古人祗用

正弦亦無不足今用割切諸線而皆生於正弦

　　　　　　　　平圜徑二尺(即戊/壬)半之一尺(即戊/丙庚)

　　　　　　　　(丙/等)為圜裏六孤之一面(即乙/戊)半徑

　　　　　　　　(戊/丙)為弦半面(戊/丁)為句句弦求股得

　　　　　　　　股(丁/丙)轉減半徑(庚/丙)得餘(庚/丁)為小句

半面(戊/丁)又為小股句股求弦得小弦(戊/庚)是為割六弧成

十二弧之一面如是累析為二十四弧四十八弧至九

十六弧以上定為徑一尺周三尺一寸四分有竒

論曰九章算經載劉徽割圜術大畧如此其以半徑為

六弧之一面與八線理合半徑恒為一即全數半面為

股則正弦也

平方徑十寸其積百寸内作同徑之平圜平圜内又作

平方正得外方之半其積五十寸平方開之得七寸○

　　　　　　　　　七有竒(即離震等四/等面之通弦)乃自

　　　　　　　　　四隅之旁増為八角曲圜

　　　　　　　　　為第一次(即八等/面通弦)至第二

　　　　　　　　　次則為曲十六(即十六等/面通弦)

　　　　　　　　　第三次為曲三十二每次

　　　　　　　　　加倍至十二次則為曲一

萬六千三百八十四於是方不復方漸變為圜矣其法

逐節以大小句股弦冪相求至十二次所得小弦以一

萬六千三百八十四乗之得三十一寸四分一氂五毫

九絲二忽為徑十寸之圜周與祖冲之徑一百一十三

周三百五十五合

論曰元趙友欽革象新書所撰乾象周髀法大略如此

所得周徑與西術同其逐節所求皆通弦所用小股皆

正弦也

又論曰劉徽祖冲之以割六孤起數趙友欽以四角起

數今西術作割圜八線以六宗率則兼用之可見理之

至者先後一揆法之精者中西合轍西人謂古人但知

徑一圍三未深攷也

又論曰中西割圜之法皆以句股法求通弦通弦半之

為正弦割圜諸率皆自此出總之為句股之比例而巳

　鈍角正弦

鈍角不立正弦而即以外角之正弦為正弦

鈍角之正弦在形外即外角之正弦也故乙丙已鈍角

與乙丙甲外角同以乙丁為正弦(以鈍角减半周得外/角假如鈍角一百二)

　　　　　　　　(十度其所用者即/六十度之正弦)乙丁線能為乙

　　　　　　　　丙甲角正弦又能為乙丙已鈍角

　　　　　　　　正弦八線表止於象限以此(因鈍/角與)

　　　　　　　　(外角同正弦故表雖一象/限而實有半周之用)

　鈍角餘弦

鈍角既以外角之正弦為正弦即以外角之餘弦為餘弦

　　如前圖乙庚為外角(乙丙/甲)餘弦而即為鈍角(乙丙/己)

　　餘弦

　　捷法以正角(戊丙/巳)減鈍角(乙丙/巳)得餘角(戊丙/乙)即得

　　餘弦

　過弧

鈍角之弧為過弧

　　　　　　　　巳戊為象限弧而乙戊巳為乙丙

　　　　　　　　巳鈍角之弧是越象限弧而過之

　　　　　　　　也故曰過弧

　大矢

鈍角之矢為大矢

　　如前圖以乙丁辛弦分全圜即全徑亦分為二則

　　丁甲為小半圜(乙甲/辛)之徑謂之正矢丁巳為大半

　　圜(乙已/辛)之徑謂之大矢大矢者鈍角所用也　鈍

　　角與外角同用乙丁正弦乙庚餘弦所不同者惟

　　矢(乙丙巳角用大矢丁已/乙丙甲角用正矢丁甲)

　　捷法以乙庚(即丁/丙)餘弦加已丙半徑即得(丁/巳)大矢

　　(若以餘弦减半/徑亦得正矢)

　正角以半徑全數為正弦

八線起○度一分至八十九度五十九分並有正弦而

九十度無正弦非無正弦也盖即以半徑全數為其正

弦故凡算三角

　　　　　　　有用半徑與正弦相為比例者皆正

　　　　　　　角也(其法與銳角形鈍角形用兩/正弦為比例同理並詳後卷)

　　　　　　　八十九度竒之正弦至九九九九九

而極迨滿一象限始能成半徑全數是故半徑全數者

正角九十度之正弦也其數為一○○○○○

　厯算全書卷五十