夏侯陽算經

欽定四庫全書

　夏侯陽算經卷上

　　　眀乘除法

夏侯陽曰夫算之法約省為善有分者通之分不均者

同之位髙者下之可約者約之耦則半之五則倍而折

之一三七九商用所宜於此不得乃為之命分分母入

者湏出之然後為定子可半者半之不可半者倍母而

入之此算之要道也凡除分者全數易了竒殘難用心

意之勞正在於此後當隨事釋之其物殘分求尺尺之

求寸皆上十之斤之求兩二而八之兩之求銖三而八

之銖之求絫黍皆上十之斗之求升合抄撮皆上十之

里之求步三百之步之求尺六之氂毫絲忽可以意知

夫乗除之法先眀九九一從十横百立千僵千十相望

萬百相當滿六已上五在上方六不積算五不單張上

下相乗實居中央言十自過不滿自當以法除之宜得

上商從算相似横算相當以次右行極於左方言法之

上見十步至十見百步至百見千步至千見萬步至萬

悉觀上數以安下位上不滿十下不滿一步隨多少以

為楷式

以少呼多因法為母積實為子二分之一為中半三分

之二為太半三分之一為少半四分之一為弱半此漏

刻之數也

凡算者有五乗五除(除者散繁除約乃以除減為名乗/者令少乗多乃以乗長為稱乗盈)

(除縮故曰/乗除也)一曰法除(上下置位以少呼多言十自過不/滿自當實居中央故曰法除也)

二曰步除(如斛中求斗斗中求升升中求合合中求勺/勺中求抄及丈中求尺尺中求寸寸中求分)

(皆言上十之上百/之故曰步除也)三曰約除(如等數所得者約實約法/各得分數故曰為除也)

四曰開平方除(借一算為下法步之超一位幂方十其/積有百幂方百其積有萬至百言十至)

(萬言百故曰/開平方除也)五曰開立方除(借一算為下法步之超二/位立方十其積有千立方)

(百其積有百萬至千言十至/百萬言百故曰開立方除也)

時務云十乗加一等百乗加二等千乗加三等萬乗加

四等十除退一等百除退二等千除退三等萬除退四

等

　　　辯度量衡

田曹云度之所起起於忽十忽為一絲十絲為一毫十

毫為一氂十氂為一分十分為一寸十寸為一尺十尺

為一丈十丈為一引四丈為一匹五丈為一端六尺為

一步二百四十步為一畞三百步為一里

倉曹云量之所起起於粟十粟為一圭十圭為一撮十

撮為一抄十抄為一勺十勺為一合十合為一升十升

為一斗十斗為一斛

金曹云稱之所起起於黍十黍為一絫十絫為一銖二

十四銖為一兩十六兩為一斤三十斤為一鈞四鈞為

一石

漢書律厯志曰度者所以度長短本起於黄鍾之長以

子穀秬黍中者一黍之廣度之九十分黄鍾之長一黍

為分十分為寸十寸為尺十尺為丈十丈為引而五度

審矣

量者所以量多少本起於黄鍾之龠用度數審其容

以子穀秬黍中者千二百實其龠十龠為合十合為升

十升為斗十斗為斛而五量嘉矣

權者所以稱物平施知輕重本起於黄鍾之重一龠容

千二百黍重十二銖二十四銖為兩十六兩為斤三十

斤為鈞四鈞為石而五權謹矣(兩者黄鍾之重二十四/銖象二十四氣十六兩)

(為斤象四時乗四方三十斤為/鈞象一月四鈞為石象四時也)權與物均而生衡(謂重/與物)

(均所稱適停/時衡平也)衡運生規規圓生矩矩方生繩繩直生準

(立凖以望䋲/以水為平也)是為五則規者所以規圓器械令得其類

也矩者所以矩方器械令不失其形也規矩相須陰陽

位序圓方乃成準者所以揆平取正也繩者上下端直

經緯四通也準繩連體權衡合徳百工繇焉以定法式

(以上/古法)

在京諸司及諸州各給稱尺并五尺度斗升合等様皆

銅為之

倉庫令諸量函所在官造大者五斛中者三斛小者一

斛以鐵為縁勘平印書然後給用(以上今時/用之也)

　　　言斛法不同

倉曹云古者鑿地方一尺深一尺六寸二分受粟一斛

至漢王莽改鑄銅斛用深一尺九寸二分至宋元嘉二

年徐受重鑄用二尺三寸九分至梁大同元年甄鸞校

之用二尺九寸二分然時異事變斗尺不同以古就今

臨時校定始可行用若欲審之以掘地作穴方廣三尺

已下以今時用斗量米一斛置諸穴中㮣令平滿如有

少賸臨時増減取米適平然後出之徑量以知深淺乃

可以為斛法定數

今有方窖長一丈三尺廣六尺深一丈問受粟幾何答

曰四百八十一斛四斗八升二十七分升之四

術曰置長尺數以廣尺數乗之又以深乗之得積尺以

斛法除之即粟數(凡斛法一尺/六寸二分)

今有圓篅周三丈髙一丈六尺問受粟幾何答曰七百

四十斛七斗四升二十七分升之二

術曰置周尺數自相乗以髙數乗之十二而一得積尺

以斛法除之即粟數

今有平地聚粟下周三丈髙四尺問受粟幾何答曰六

十一斛七斗二升八十一分升之六十八

術曰置周尺數自相乗以髙乗之三十六而一得積尺

以斛法除之即粟數

今有倉南北一丈五尺東西三丈五尺髙八尺問受粟

幾何答曰二千五百九十二斛五斗九升二十七分升

之七

術曰以東西南北丈尺相乗又以髙乗之得積尺以斛

法除之即粟數

今有倉廣二丈六尺長三丈四尺深一丈二尺中有二

柱長一丈二尺圓三尺牽二枚長二丈六尺方五寸梁

二枚長二丈六尺方三尺問受粟幾何答曰六千二百

四十斛一斗二升八十一分升之二十八

術曰置廣長相乗以其深乗得一萬六百八尺柱圓三

尺自相乗得九尺以乗其長得一百八尺倍之得二百

一十六尺以十二除之得一十八尺牽方自相乗退位

得二寸五分復乗其長得六尺五寸倍之得一十三尺

梁方自乗得九尺復乗其長得二百三十四尺倍之得

四百六十八尺并柱牽梁(案原本脱梁字/今據上文補)得四百九十

九尺以減大數餘一萬一百九尺以斛法除之即粟數

今有方倉長三十一丈六尺廣七十二尺髙一十七尺

中有九柱各圓三尺五寸長十七尺又有六柱各方二

尺八寸長十七尺梁三枚長三十二尺厚廣二尺牽三

枚(案牽下原本/衍方字今刪)長三十二尺各方七寸問受粟幾何答

曰二十三萬七千八百九十九斛四十三升五十四分

升之五十三

術曰置長廣相乗以髙乗為實圓柱自乗以乘長十二

而一九因之為實方柱自乗以乗長六因之為實梁厚

廣相乗以乗長三因之為實牽方自乗以乗長三因之

為實并柱梁牽等減倉實尺以斛法除之即粟數

　　　課租庸調

賦役令諸戸一丁租粟二斛其調各隨鄉土所出絹䌳

各二丈布二丈五尺輸絹䌳者綿三兩輸布者麻三斤

若當戸不成端匹屯綟者皆丈尺折半之

求庸七尺五寸法置丁數三因之折半丈尺折半之

又法置丁數以七尺五寸為法乗之以五丈除之不滿

為竒丁丈尺他皆倣此

又法重張丁數下位退一等五因之以添上位丈尺折

半

又法置丁數三而五之丈尺折半之

凡年終除閏月外有二月謂五月十月(一云/九月)為農事之

月免庸若役五十日租庸調竝免他皆放此

求毎丁閏有二尺五寸法(案毎丁下原本有布二端二/尺五字係下文訛衍在此又)

(脱閏有二字/今據術刪補)置丁數五因之丈尺折半之

求有閏年毎丁布二端二丈二尺五寸法置丁數(案此/下原)

(本有五因之丈尺折半之求有閏年毎丁布二端二丈/二尺五寸置丁數凡二十六字即上文衍複在此今刪)

(正/)七而七之退一等折半丈尺折半之(案原本脱丈尺/折半四字今據)

(術/補)

又法(案原本脱/法字今補)置丁數以二百四十五乗之退二等丈

尺折半之

求庸閏布毎丁一端三丈二尺五寸法重置丁數各三

因之下位退一等添頭位訖半之其丈尺以下更半之

求無閏年毎丁布二端一丈五尺法重置丁數上位二

因之下位退一等三因之丈尺折半添上位

又法置丁數以二十三乗退一等丈尺折半之

求毎丁調綟布四丈法置丁數八因退一等丈尺折半

之

求毎丁閏年庸調布二端二丈二尺五寸(案此即上求/有閏年毎丁)

(布二端二丈二尺五寸法而立術各/異又求毎下原本衍年字今刪正)列置丁數之位頭

位二因(端/也)中位退一等四因(丈/也)下位退二等五因(尺/也)丈

尺半之百丁已上不折半并三位即都數(案此下原本/有若毎丁因)

(一位端也中退一等二因丈也下位退二等五因尺也/奇丁丈尺折半三位即得凡三十六字係上下文衍複)

(在此今/刪正)

若毎丁庸調并賸布二丈五尺都當二端二丈五尺亦

列丁數二位頭位二因(端/也)下位退一等五因(丈/也)奇丁丈

尺折半之并二位得都數

若毎丁庸調并賸布一尺六寸七分都當二端一丈六

尺六寸七分亦列丁數五位頭位二因(端/也)次位退一等

三因(丈/也)次位退二等三因(尺/也)次位退三等三因(寸/也)下位

退四等四因(分/也)奇丁丈尺折半之并得都數

凡算布從丈尺以下皆倍本因之數

　　　論步數不等

田曹以六尺為步三百步為一里(此古/法)

雜令諸度地以五尺為一步三百六十步為一里

田令諸田廣一步長二百四十步為畞畞百為頃(此今/用之)

方田(四方平等/名曰方田)術曰方自乗為積步以畞法除之

直田(從長而廣狭/故曰直田)術曰以從廣相乗為積步以畞法除

之

腰鼓田(形似腰/鼓細)術曰并三廣以三而一乗長為積步以

畞法除之

圓田(形如/鼓面)術曰周自乗以十二而一得積步

又術周乗徑四而一亦得

又術半周乗半徑亦得各得積步竝以畞法除之

環田(此外周而/心空如環)術曰并外内周而半之以徑乗為積步

以畞法除之

丸田(形如覆/半彈丸)術曰徑乗周四而一得積步以畞法除之

圭田(三角/之田)術曰半長乗廣為積步以畞法除之

弓田(形如/弓樣)術曰矢乗弦矢又自乗并之二而一以畞法

除之

箕田(一頭廣/一頭狭)術曰并二廣而半之以乗長為積步以畞

法除之

四不等田(二廣二長/不齊也)術曰并二長而半之又并二廣而

半之相乗為積步以畞法除之

今有田二十一頃七十八畞一百八十步問為方幾何

答曰七百二十三步奇百七十一步

術曰先置頃畞於上以二百四十步乗之得五十二萬

二千七百二十步内零一百八十步以開方除之借一

算為下法步之超一位至百止萬上置上商七百下亦

置七萬於實位之下下法之上命上商除實訖倍方為

一十四萬方法一退下法再退又置上商二十於前商

後又置二百於方法之下下法之上名曰隅法以方隅

二法皆命上商以除實訖倍隅法為四百從上方法一

退下法再退又置上商三扵前商二十之後又置三步

於方法之下下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上

商除實訖倍隅法得六從上方法得一千四百四十六

即是上方得七百二十三步奇一百七十一步

　　　變米榖

倉庫令云其折糙米者稻三斛折納糙米一斛四斗

若榖求米法十四乗三除(除畢以米數/折退一等)

又法四二乗九除一四乗三除(案此句即上十四/乗三除句複出)二八

乗六除

若米求穀法三乗十四除

又法九乗四二除三乗一四除(案此句即上三乗/十四除句複出)六乗

二八除

粟五斗為糲米三斗三十乗之五十而一為粺米二斗

七升二十七乗之五十而一為糳米二斗四升二十四

乗之五十而一為御米二斗一升二十一乗之五十而

一

今有粟五千五百一十斛九斗欲毎斛為糲米六斗粺

米五斗四升糳米四斗八升御米四斗二升問各幾何

答曰糲米三千三百六斛五斗四升粺米二千九百七

十五斛八斗八升六合糳米二千六百四十五斛二斗

三升二合御米二千三百一十四斛五斗七升八合

術曰置粟退一等以六斗乗為糲米以五斗四升乗為

粺米以四斗八升乗為糳米以四斗二升乗為御米

返求粟法置糲米數以五因之三除之置粺米數以上

十之以五斗四升除之糳米各以本米數除之皆得本

粟

今有榖一千八百四十三斛八斗三升欲依租變米毎

穀三斛為米一斛四斗問合得米幾何答曰八百六十

斛四斗五升四合

術曰置穀數以一斛四斗為法乗之以三斛為法除之

得米數