測圓海鏡

欽定四庫全書

　測圓海鏡卷五

　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰

　　大股一十八問

或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅南

　行六百步望乙與城叅相直問答同前

　法曰倍二行差内減甲南行步復以乗甲南行步為

　實(倍二行差減甲南行步即是甲/南行步内減二之乙南行也)四之甲南行步内

　減二之乙南行為從方四為益隅開平方得半徑

　草曰立天元一為半徑以二之加乙南行步得□□

　為中股以中股又減於甲南行步得□□為股率其

　天元半徑即勾率也置甲南行為大股以勾率乗之

　得□合以股率除之不受除便以此為大勾(内𢃄股/率分母)

　再置天元以二之以股率乘之得□□減於大勾餘

　□□為勾圓差於上(内有股/率分母)又以二之天元減甲南

　行得□□為大差以乘上位得□□□為半段黄方

　冪(内寄股/率分母)然後以天元自之又以股率乘之又倍之

　得□□□為同數與左相消得下式□□□開平方

　得一百二十步倍之即城徑也合問

或問乙出南門東行七十二步而止甲從乾隅南行六

　百步望乙與城叅相直問答同前

　法曰云數相乘為平實甲南行為從二益隅得半徑

　草曰别得虛勾乗通股得半段圓徑冪此與虚股乗

　通勾同立天元一為半徑内減乙東行得□□為虚

　勾以乘甲南行得□□為半段徑冪(寄/左)再以天元為

　冪又倍之得□□為同數與左相消得□□□開平

　方得一百二十步即城徑也合問

或問乙出東門直行一十六步甲從乾隅南行六百步

　望見乙問答同前

　法曰以乙東行乘甲南行冪為實二之乙東行乘甲

　行為從方亷空二步隅法得半徑

　草曰立天元一以為半城徑以二之加於乙東行得

　□□為勾率又以天元減甲南行得□□為股率乃

　置乙東行以股率乗之得□□合以勾率除不除便

　以此為小股此小股即半梯之頭也(内帶勾/率分母)又以股

　率乗之(此股率即半/梯之底也)得□□□為半徑冪(内帶勾/率分母)寄

　左然後置天元冪以勾率通之得□□□為同數與

　左相消得□○□□開立方得一百二十步倍之即

　城徑也合問

或問乙出東門南行三十步而立甲從乾隅南行六百

　步望見乙問答同前

　法曰二行步相乗為寳以南行為從一步常法得半

　徑

　草曰立天元一為半徑以減於甲南行得□□為半

　梯底以乙南行三十步為半梯頭以乗之得□□為

　半徑冪(寄/左)乃以天元冪與左相消得丨□□開平方

　得一百二十步即半城徑也合問

或問乙從艮隅南行一百五十步而立甲從乾隅南行

　六百步望見乙問答同前

　法曰二行步相乗為實并二行步為法得半徑

　草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙南行得

　□□為半梯頭下以減於甲南行得□□為半梯底

　上下相乗得丨□□為半徑冪(寄/左)乃以天元冪與左

　相消得下式□□上法下實如法而一得一百二十

　步倍之即城徑也合問

或問乙從艮隅東行八十步而立甲從乾隅南行六百

　步望見乙問答同前

　法曰二行步相乘又倍之為實二之乙東行為從一

　步常法得全徑

　草曰别得乙東行八十步即小差也立天元一為城

　徑減於甲南行步得□□為大差以乙東行步乘之

　得□□又倍之得□□為城徑冪(寄/左)然後以天元冪

　與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑

　也合問

或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望

　樹與城㕘相直復就樹斜行四百八步至樹問答同

　前

　法曰南行步冪内減兩段兩行相乘數為實二之南

　行步為從一步益隅得城徑

　草曰别得南行步内減城徑即小股也其斜行步即

　小弦也又二行相減即大差為股之勾也立天元一

　為圓徑以減南行步得□□為股圓差也(合為/小股)置南

　行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便

　以此為大弦(内帶小/股分母)再置南行步以小股乗之得□

　□為大股(亦帶小/股分母)以大股減大弦得□□為小差也

　合以大差乘之縁於内帶大差分母更不湏乘便以

　為半段黄方冪(更無/分母)又二之得□□為一段黄方冪

　(寄/左)然後以天元冪為同數與左相消得□□□開平

　方得二百四十步即城徑也合問

依前問假令乙出南門東行不知步數而立甲從乾南

　行六百步望乙與城相直復就乙斜行四百八步(按/此)

　(即前問以/明又法)

　法曰二行差冪乗甲南行為實二之二行差以乗南

　行步為益方二之二行差為隅得半徑

　草曰識别得二行相減即半城徑與乙東行共也得

　此數更不須用斜立天元為半徑減於二行差一百

　九十二得□□即半梯頭也又以二天元減甲南行

　步得□□為股率又以一百九十二為勾率乃置甲

　南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此為大

　勾(内寄股/率分母)再置天元以股率乘之得□□以減於大

　勾得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□

　為半城徑冪(内寄股/率分母)寄左然後以股率乘天元冪得

　□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百

　二十步倍之即城徑也合問

或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步見

　樹復向樹斜行五百一十步至樹問答同前

　法曰二行差步乘甲南行步為實二行之差步併甲

　南行步為從二益隅(若欲從簡上/下俱折半)

　草曰别得二行相減數即虚積之股也立天元一為

　半徑内減二行之差步得□□為梯頭於上又以天

　元減於甲之南行步得□□為梯底上下相乗得□

　□□為圓徑冪(寄/左)然後以天元冪與左相消得□□

　□開平方得一百二十步即城徑也合問

或問乙出東門直行不知步數而立甲從乾隅南行六

　百步望見乙復就乙斜行五百四十四步與乙相㑹

　問答同前

　法曰以二行步相減乘甲南行步得數又半之南行

　步以乘之為實以二行差乘南行步於上又以半之

　南行步乘南行步加於上為從方二之南行步為益

　亷一步常法得半徑

　草曰别得二行相減即半徑上勾股較(此股即/半徑也)又别

　得是大勾圓差不及平弦數立天元一以為半城徑

　以減南行步得□□為中股其斜行步即中弦也乃

　立半城徑以斜步乘之得□合以中股除今不受除

　便以此為平弦(内帶中/股分母)又以二行步相減餘五十六

　步為勾圓差不及平弦數置此數以中股乗之得□

　□復以減平弦餘得□□為小差(内帶中/股分母)乃以二天

　元減甲南行步得□□為大差又半之得□□以乘

　小差得□□□為半徑冪(寄/左)然後以天元自乗又以

　中股通之得□□□為同數與左相消得丨□□□

　開立方得一百二十歩倍之即城徑也合問(翻法在記/)

或問甲乙二人俱在乾隅乙東行不知步數而立甲南

　行六百步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相

　會問答同前

　法曰以二行差乘二行併開平方得數内復減二行

　差得全徑

　草曰别得二行相減即勾圓差也先求大勾立天元

　一為大勾以二行相減餘八十步以乘二行相併數

　一千二百八十步得□為勾冪開平方得三百二十

　步即大勾也大勾内減去勾圓差餘二百四十步即

　城徑也合問

或問南門外不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望

　樹與城㕘相直復就樹斜行二百五十五步至樹問

　答同前

　法曰倍二行相減數内減甲南行得數復以乘甲南

　行為實倍二行相減數為從二步益隅得半徑

　草曰識别得斜行步乃是樹至城心之數也立天元

　一為半徑加斜行步得□□為樹至城北門之步也

　乃以減於甲南行得□□為小股率其天元半徑即

　小勾率其斜步即小弦數也再置甲南行步内減天

　元得□□為梯底於上又置梯底内減二之小股率

　得□□即梯頭也復以乘上位得□□□為半徑冪

　(寄/左)然後以天元冪與左相消得下式□□□開平方

　得一百二十歩倍之即城徑也合問

或問東門外不知步數有槐樹一株甲從乾隅南行至

　柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行

　了一千一百四十四步乙從艮隅東行望見槐樹與

　城相直復斜行至槐樹下乙自云我東行少不及斜

　行五十六步問答同前

　法曰甲斜行減於甲南行以乘甲南行得數復以乘

　二之甲南行為實半之甲南行以乘二之甲南行於

　上甲斜行減於甲南行餘復以乘甲南行又倍之加

　上位為從方二之甲南行為益亷五分隅法(按五分/隅法即)

　(半箇/立方)

　草曰識别得五十六步是小差不及平弦數(此小差/即勾圓)

　(差/也)又為平弦上勾股差又為甲斜行不及大股乃副

　置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百

　步即大股也其下位減五十六步而半之得五百四

　十四步即今弦也立天元一為圓徑以半之減於甲

　南行步得□□為中股其斜行五百四十四步即中

　弦也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之

　今不受除便以此為平弦(内寄中/股分母)又置勾圓差不及

　平弦數以中股乘之得□□復以減於平弦□□為

　小差(内帶小/股分母)又以天元減甲南行倍之得□□為兩

　个大差以乘小差得□□□為圓徑冪(寄/左)然後以中

　股乘天元冪得下式□□□為同數與左相消得□

　□□□開立方得二百四十步即城徑也合問(翻法/)

　(在記/)

或問出東門向南行不知步數有柳樹一株甲從乾隅

　南行六百步望見柳樹而止乙出東門直行不知步

　數望柳樹與甲相直却斜行三十四步至柳樹下問

　答同前

　法曰乙斜行乘甲南行數以乗甲南行冪為實斜行

　乗甲南行冪又三之為從方甲行冪内減兩段斜行

　南行相乘數(按甲南行内減二之乙/斜行以甲南行乘之)為第一亷二之

　南行步為第二益亷二步常法得半徑

　草曰立天元一為半徑以二之減甲南行得□□為

　大差以自之得□□□為大差冪加於南行冪得□

　□□又半之得□□□為大弦也内帶大差□□分

　母别寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大

　弦除不除便以此為小股也(内帶大/弦分母)乃以天元減甲

　南行得□□即半梯底也以乗小股半梯頭得□□

　為半徑冪於上此半徑冪内有大弦分母縁别寄大

　弦分母元帶大差分母故又用大差分母□□乘上

　半徑冪得□□□為帶分半徑冪也所帶之分謂只

　帶大弦分母也(寄/左)然後以大弦乘天元冪得□□□

　□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一

　百二十步即半城徑也合問

　　按此條寄分内又帶寄分則以所帶之分乘本條

　　仍以寄分乘次條者蓋寄分為應除本條之數而

　　寄分内所帶之分又為應除寄分之數今不除寄

　　分而乘本條則猶是寄分乘次條之理也乗除之

　　變至斯而極矣

又法置甲南行冪於上又置甲行冪半之以乗上位為

　實以斜行乗甲行冪倍之於上位又以甲行再自乗

　加上位為益方置甲行冪於上以斜行乗甲南行倍

　之以減上位為第一亷甲南行步為第二亷半步常

　法得股圓差

　草曰立天元一為股圓差(即大/差)以自之為冪以加甲

　南行冪得丨□□半之又以天元除之得□□□為

　大弦其甲南行即大股也别置乙斜行三十四步以

　大股乗之得□合大弦除不除便以為小股(内寄大/弦分母)

　乃以天元加甲南行步得□□為全梯底也以乗小

　股半梯頭得□□又倍之得□□為城徑冪(内寄大/弦為母)

　寄左置天元大差減甲南行餘□□為圓徑以自之

　得丨□□又以大弦分母乗之得□□□□□為同

　數與左相消得□□□□□開三乘方得三百六十

　步即股圓差也以股圓差減甲南行餘二百四十步

　即城徑也合問

或問甲從乾隅南行六百步而止丙出南門直行乙出

　南門東行各不知步數而立甲望乙丙悉與城㕘相

　直既而乙就丙斜行一百五十三步相㑹問答同前

　法曰以甲南行步再自之於上以斜行步乘甲南行

　冪又倍之減上位為立方實南行步自之又四之於

　上以斜步乗甲南行又倍之減上位為益從六之甲

　行步為從亷四步虚常法得半徑

　草曰立天元一為半徑以二之減於甲南行得□□

　為大差也以自之得□□□為大差冪也乃置甲南

　行冪内加大差冪而半之得□□□為大弦也(内寄/大差)

　(分/母)又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□為大

　勾也(亦帶大/差分母)乃置斜行步在地以大勾乗之得□□

　合以大弦除不除便以此為小勾内帶大弦為母(其/大)

　(勾内元有大/差分母不用)即半梯頭也(寄上/位)再寄天元半徑以大

　差乘之得□□以減於大勾得□為半梯底也以乘

　上位得□□□為半徑冪也(内帶大差及/大弦為母)寄左然後

　置天元冪以大差通之又以大弦通之得□□□□□

　為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步

　即半城徑也合問

依前問假令南門外有樹乙出南門東行不知步數而

　立(只云乙東行步/少於樹去城步)甲從乾隅向南行六百步望樹與

　乙悉與城㕘相直乙就樹斜行一百五十三步至問

　答同前

　法曰以斜行步乗甲行冪為立方實以甲行冪半之

　於上以斜行步乘甲行步減上位為益從亷空五分

　隅得大勾大弦差

　草曰别得斜步即小弦小弦得小和即勾弦差也立

　天元一為股圓差以自之為冪副之上以加甲南行

　冪而半之得□□□為大弦也(寄大差/分母)下以減於甲

　南行冪而半之得下式□□□為大勾也(寄大差/分母)乃

　置斜步以大勾乗之得下□□□合以大弦除不除

　便以此為小勾(寄大弦/分母)又置斜步以甲南行乗之得

　□合以大弦除為小股不除而又以同母分通之得

　□○為同分小股也(内只寄大/弦分母)注(大股乘時無大差/分母故今通之以)

　(齊大勾上所有/大差分母也)又置斜步以大弦通之得□□□為

　通分小弦也三位相併得□□為股圓差(寄/左)然後置

　天元大差以大弦分母通之得□○□為同數與左

　相消得□○□□開立方得三百六十步即股圓差

　也以股圓差減於甲南行步即城徑也合問

或問東門外不知步數有樹甲從乾南行六百步而止

　乙出北門東行斜望樹及甲與城㕘相直却就樹斜

　行一百三十六步問答同前

　法曰二行步相乘於上又半甲南行乘之為實二行

　相乗於上又半甲南行以乘甲南行加上位為益從

　甲南行為從亷一步益隅開立方得半徑

　草曰立天元一為半徑便以為小股其斜行步即小

　弦也乃以甲南行為大股以小弦乘之復以天元除

　之得□□即大弦也又倍天元減甲南行餘□□為

　大差以減大弦餘□□□為大勾也又倍天元以減

　勾得□□□為小差也却以半大差□□乘之得□

　□□為半徑冪(寄/左)乃以天元冪相消得下式丨□□

　□開立方得一百二十步即半徑合問

或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數

　有柳樹一株槐柳二樹相去二百八十九步有人從

　乾南行六百步而止斜望槐柳與城㕘相直問答同

　前

　法曰云數相乘得又自增乗為三乗方實斜步冪乘

　南行步又云之為益從二云數相乘又倍之(按此下/脫内減)

　(斜步冪/五字)為益亷二之斜步為第二從亷二法常法得

　槐至城心步

　草曰别得槐樹至城心步即人所止至槐樹步也乃

　立天元一為槐樹至城心步(即人至/槐處)加於斜步得□

　□為邊弦也以天元乗之得丨□合斜步除不除便

　以此為邊股(寄斜步/分母)又以斜步乗南行步得□為大

　股以邊股減之餘□□□為半城徑(寄斜步/分母)以自之

　得丨□□□□為半徑冪(内帶斜/步為母)寄左又以天元減

　斜歩得□□為□弦以天元乘之得□□○合斜步

　除不除寄為母便以此為半梯頭以邊股半梯底乗

　之得□○□□為同數與左相消得□□□□□開

　三乘方得二百五十五步即槐樹至城心之步也亦

　為皇極正股又自之得數以減斜冪餘如平方而一

　得城心至柳樹步又為皇極正勾也勾股相乘倍之

　為實如斜步而一即城徑也合問

或問甲從乾南行六百步而立乙出南門直行丙出東

　門直行三人相望俱與城相直而乙丙共行了一百

　五十一步問答同前

　法曰甲南行為冪折半又以自之為實倍共步加甲

　南行以乘半段甲行冪為從方甲行乘共數為從亷

　一个半甲南行為第二益亷二分五釐為三乘方隅

　草曰識别得共步加城徑即皇極和也又是半徑為

　勾之弦與半徑為股之弦相和步也二之此數内減

　去大弦即皇極勾股内黄方面也亦為太虚弦乃立

　天元一為大差以自之副置二位上位減於甲行冪

　以天元除之又折半得□□□為大勾也下位加甲

　南行以天元除之又折半得□□□為大弦也其甲

　南行即大股也併勾大股得下式□□□即大和也

　再以天元減甲南行得□□即圓徑也加共步得□

　□即皇極和又是半徑為勾之弦及半徑為股之弦

　共數也又倍之得□□即全徑為勾之弦及全徑為

　股之弦共數也内減大弦得□□□即小和内黄方

　面也乃置大和□□□以小黄方面乘之得□□□

　□□合以小和除之不除便以此為大黄方也(内寄/小和)

　(為/母)寄左然後以天元減甲南行得□□為大黄方以

　小和乗之得丨□□為同數與左相消得□□□□

　□開三乗方得三百六十步即股圓差也以股圓差

　減於甲南行餘二百四十步即城徑也合問

或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立

　甲從乾隅南行六百步斜望乙丙悉與城叅相直乙

　就丙斜行一百二步相㑹問答同前

　法曰以斜步乘甲南行冪又倍之為實倍甲行冪於

　上又以斜步乘二之甲南行加於上為從方四之甲

　南行為益亷四步常法開立方得半徑

　草曰别得斜步為小弦也以斜步減圓徑餘為小和

　也乃立天元為半徑以二之減於甲南行得□□為

　大差也以自之得□□□為大差冪也置甲南行冪

　□内加大差冪而半之得□□□為大弦也(内帶大/差為分)

　(母/)又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□○為

　大勾也(帶大差/分母)又以大差乘股六百步得□□併入

　大勾得□□□為大和也(帶大差/分母)乃先以小弦乘大

　和得下式□□□寄左又以倍天元減斜步得□□

　為小和以乘大弦得□□□□為同數與左相消得

　□□□□開立方得一百二十步即半徑也合問

依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步

　數而立(只云丙行步/多於乙行步)甲從乾隅南行六百步望乙丙

　與城叅相直乙復斜行就丙行了一百二步與丙相

　㑹問答同前

　法曰以斜步乘甲行冪又倍之為立方實甲行冪内

　加斜行南行相乗數為從方甲南行為益亷半步為

　隅得全徑

　草曰别得相就步即小弦也小弦得小和為直徑也

　立天元一為城徑以減於甲南行步得□□為大差

　以自之得丨□□為太差冪也置甲南行步以自之

　為冪副之上以加大差冪而半之得□□□為大弦

　也(内寄大/差分母)下以減大差冪而半之得□□○為大勾

　也(内寄大/差分母)乃置相就步在地以大勾乗之得□□合

　大弦除不除寄為母便以此為小勾也寄大弦母又

　置斜步(即相就/步也)以甲南行乘之得□合以大弦除之

　不除寄為母便以此為小股而又以元分母大差乗

　之得□□為同分小股也只寄大弦為母(其大勾内/元有大差)

　(分母其大股内却無分母故今/乘過復以大差通之齊分母也)又置斜行步以大弦

　通之得□□□為小弦也上三位相併得□□為城

　徑也(内寄大/弦分母)寄左然後置天元以大弦通之得□□

　□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四

　十步即城徑也合問

　測圓海鏡卷五