測圓海鏡

欽定四庫全書

　測圓海鏡卷六

　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰

　　大勾一十八問

或問乙從東門直行一十六步甲從乾隅東行三百二

　十步望乙與城叅相直問答同前

　法曰甲東行内減二之乙南行復以乘甲東行為實

　四之東行内減二之乙東行為從四益隅得半徑

　草曰立天元一為半徑以二之加乙東行得□□為

　中勾以中勾減於甲東行得□□為勾率也其天元

　半徑即股率也置甲東行為大勾以股率乗之得□

　合以勾率除之不受除便以此為大股(内帶勾/率分母)再置

　天元以二之以勾率乗之得□□減於大股餘□□

　為股圓差於上(内有勾/率分母)又以二之天元減甲東行得

　□□為小差以乗上位得□□□為半段黄方冪(内/有)

　(勾率/分母)寄左然後以天元自之又以勾率乘之又就分

　倍之得□□□為同數與左相消得□□□開平方

　得一百二十步倍之即城徑也合問

或問乙出東門南行三十步而立甲從乾隅東行三百

　二十步望乙與城叅相直問答同前

　法曰甲乙相乘為實甲東行為從二虚法得半徑

　草曰識别具見大股第二問中立天元為半徑内減

　乙南行得□□為虚股以乘通勾甲東行得□□為

　半段城徑冪(寄/左)然後以天元自之又就分二之得□

　□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十

　步倍之即城徑也合問

或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅東

　行三百二十步望見乙問答同前

　法曰以乙南行乘甲東行冪為實二之乙南行乘甲

　東行為從方亷空二步常法得半徑

　草曰立天元一為半城徑以二之加於乙南行得□

　□為股率以天元減甲東行得□□為勾率乃置乙

　南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此為

　小勾此即半梯之頭(内帶股/率分母)又以勾率乘之得□□

　□為半徑冪(内𢃄股/率分母)寄左乃以股率乘天元冪得□

　□□為同數與左相消得□○□□開立方得一百

　二十步倍之即城徑也合問

或問乙出南門東行七十二步甲從西北隅取直行三

　百二十步見乙問答同前

　法曰二行相乘為實以東行為從一步常法得半徑

　草曰立天元一為半城徑以減甲東行步得□□為

　梯底以乙東行七十二步為梯頭以乘之得□□為

　半徑冪(寄/左)然後以天元冪與左相消得丨□□以平

　方開之得一百二十步倍之即城徑也合問

或問乙從西南隅直東行一百九十二步甲從西北隅

　直東行三百二十步望見乙問答同前

　法曰二行步相乘為實二行相併為法得半徑

　草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙東行得

　□□為梯頭於上下位減於甲東行得□□為梯底

　以乘上位得丨□□為半徑冪(寄/左)然後以天元冪與

　左相消得□□上法下實即半徑也合問

或問乙從坤隅直南行三百六十步而止甲從乾隅直

　東行三百二十步望見乙問答同前

　法曰二行步相乗倍之為實二之甲東行為從一步

　常法得城徑

　草曰立天元一以為城徑加一南行得□□為股二

　行步相併得六百八十步為弦甲東行為勾勾股相

　乘得□□又倍之得□□為二直積(寄/左)然後以勾股

　弦相併得□□為三事和以天元乘之得丨□為同

　數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城

　徑也合問

或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十

　步望樹與城叅相直復就樹斜行一百七十步至樹

　問答同前

　法曰兩段東行步冪内減兩段東行斜行相乗數為

　實(按或云倍東行步以/二行差東之亦同)二之東行為從一益隅得城徑

　草曰别得東行步即大勾斜行步即小弦也乃立天

　元一為城徑減東行步得□□為勾圓差也(今為/小勾)置

　東行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除

　便以此為大弦(内帶小/勾分母)再置東行步以小勾乘之得

　□□為大勾以減大弦得□□為大差合以小差乗

　之(縁内帶小/差分母)更不湏乗便以此為半段黄方冪(更無/分母)

　又二之得□□為一段黄方冪(寄/左)然後以天元冪與

　左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也

　合問

依前問假令乙出東門南行不知步數而止甲從乾東

　行三百二十步望乙與城相直復就乙斜行一百七

　十步

　法曰以甲東行乘二行差冪為實以甲東行乘二之

　二行差為從方二之二行差為隅法得半徑

　草曰識别得二行相減餘一百五十即半城徑與乙

　南行共數也得此數更不湏用斜立天元一為半徑

　減於二行差得□□即半梯頭也又以二天元減甲

　東行步得□□為勾率又以一百五十為股率乃置

　甲東行以股率乘之得□合勾率除不除便以此為

　大股(内寄勾/率分母)再置天元以勾率乘之得□□以減於

　大股得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□

　□為半徑冪也(内帶勾/率分母)寄左然後以勾率乘天元冪

　得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一

　百二十步倍之即城徑也合問

或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十

　步見樹復向樹斜行二百七十二步至樹問答同前

　法曰二之二行差乘二之甲東行為實併二之二行

　差及二之甲東行為從二步益隅得城徑

　草曰别得二行相減餘四十八步即虚積之勾也立

　天元一為城徑内減二之二行差得□□為梯頭於

　上置甲東行步以二之内減天元得□□為梯底以

　乘上位得□□□為城徑冪(寄/左)然後以天元冪與左

　相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合

　問

或問甲從乾隅東行三百二十步而止乙出南門直行

　不知步數望見甲復就甲斜行四百二十五步與甲

　相㑹問答同前

　法曰二行步相減以乘東行冪得數半之為實以半

　之東行步乗東行步於上二行步相減餘乗東行步

　減上位為從二之東行步為益亷一步常法得半徑

　草曰識别得二行相減是髙積上勾股較(此勾即/半徑也)又

　别得是髙弦不及股圓差數乃立天元為半城徑以

　減東行步得□□為中勾其斜行步即中弦也又置

　半城徑以斜步乗之得□合以中勾除之不受除便

　以此為髙弦(内寄中/勾為母)又以二行步相減餘一百五步

　為髙弦不及股圓差數置此數以中勾乘之得□□

　加入髙弦得□□為大差於上(内帶中/勾分母)又倍天元減

　東行步得□□為小差又半之得□□以乘上位得

　□□□為半徑冪(内有中/勾分母)寄左乃以天元自乗又以

　中勾乘之得□□□為同數與左相消得□□□□

　以立方開得一百二十步倍之即城徑也合問

或問甲乙二人俱在乾隅乙直南行不知步數而立甲

　直東行三百二十步望見乙復就乙斜行六百八十

　步與乙相㑹問答同前

　法曰以二行差乘甲東行步又二之為實以二之二

　行差為從一步常法得城徑

　草曰别得二行步相減餘三百六十步即股圓差也

　乃立天元一為圓徑以減於甲東行步得□□為小

　差以東行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得

　□□為一段城徑冪(寄/左)乃以天元冪與左相消得丨

　□□開平方得二百四十步即城徑也合問

或問東門外不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十

　步望樹與城叅相直復就樹斜行一百三十六步至

　樹問答同前

　法曰倍二行相減數内減甲東行得數復以乘甲東

　行為實(按或云倍斜步以減甲東/行餘以甲東行乗之亦同)倍二行差為從二

　步虚常法得半徑

　草曰識别得斜行步乃樹至城心步也立天元一為

　半徑加斜行步得□□即樹至城西門之步也乃以

　減於甲東行得下□□為小勾率其天元半徑即小

　股率其斜步即小弦數也再置甲東行步内減天元

　得□□為梯底於上又置梯底内減二之小勾率得

　□□(按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元/減梯底之少一元反為多一元以三百六十八)

　(步減梯底之三百二十/步反為少四十八步也)以乘上位得□□□為半徑

　冪乃以天元冪與左相消得下式□□□以平方開

　之得一百二十步倍之即城徑也合問

或問南門外不知步數有槐一株甲從乾隅直東行至

　柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行

　了七百四十五步乙從坤隅南行望見槐柳與城叅

　相直復斜行至槐樹下乙自云我南行步多於斜行

　步一百五步

　　按此問下有草無法今依細草補之

　法曰置甲共步内減乙較步餘數折半自之再倍乙

　較步乗之為立方實置上減餘折半數又減二之乙

　較步復以減餘折半數乗之為從甲共步内減乙較

　步為亷五分為負隅開立方得城徑

　草曰識别得一百五步是大差多於髙弦數又為髙

　弦上勾股差數又别得是甲斜行多於東行數也乃

　副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五

　步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位減

　一百五步而半之得三百二十步即甲東行也乃立

　天元一為圓徑以半之減於甲東行步得□□為中

　勾其甲斜行四百二十五步即中弦也再置天元以

　半之為小勾以中弦乘之得□合以中勾除不除便

　以為髙弦於上(内𢃄中/勾分母)别置乙多步一百五步以中

　勾乘之得□□為大差多於髙弦數也以加入上位

　得下式□□為一个大差也置甲東行以天元減之

　又倍之得□□為二个小差以乗大差得下□□□

　為一段黄方冪(内帶中/股分母)寄左然後置天元冪丨□以

　中勾通之得□□□與左相消得□□□□開立方

　得二百四十步即城徑也合問

或問出東門直行不知步數有槐樹一株出南門東行

　不知步數有柳樹一株槐栁斜相距一百五十三步

　甲從乾東行三百二十步望槐柳與城㕘相直問答

　同前

　法曰二行相乘訖又以乗甲東行冪為實斜行乗甲

　東行冪又三之為從方甲東行冪内減兩段二行相

　乘數為第一亷二之甲東行為益二亷二步常法開

　三乗方得半徑

　草曰立天元一為半徑以二之減於甲東行得□□

　為小差以自之得□□□加於甲東行冪復半之得

　□□□為大弦(内寄小/差分母)又置斜相距步以大勾乘之

　得□合大弦除不除便以此為小勾(内𢃄大/弦分母)乃以天

　元減甲東行數得□□為半梯底以乘小勾半梯頭

　得□□為半徑冪於上此半徑冪内有大弦分母此

　大弦分母元𢃄小差分母故先用小差分母以乗上

　半徑冪得□□□為半徑冪也内𢃄本大弦分母(寄/左)

　然後以大弦乘天元冪得□□□□為同數與左相

　消得□□□□□開三乗方得一百二十步即半城

　徑也合問

或問甲從乾隅東行三百二十步而止丙出東門南行

　乙出東門直行各不知步數而立甲廻望乙丙悉與

　城叅相直既而乙就丙斜行三十四步相㑹問答同

　前

　法曰甲東行再自之於上以二之斜行步乘甲東行

　冪減上位為立方實兩段南行冪内減東行斜行相

　乘數為益從以甲東行加五(按加五/即加半)為從亷五分虚

　隅得全徑

　草曰立天元一為城徑以減於甲東行步得□□為

　小差以自之得丨□□為小差冪也乃置甲東行冪

　内加小差冪而半之得□□□為大弦也(内帶小/差分母)又

　置甲東行冪乃減小差冪而半之得□□○為大股

　也(内帶小/差分母)乃置斜行步在地以大股乘之得□□合

　以大弦除之不除而又倍之得□□為梯頭也(即兩/个小)

　(股内寄大弦/為母權寄)乃置天元圓徑以半之以小差分母通

　之得□□以減於大股餘得□又倍之得□為梯底

　也(即兩个邊股内/亦有小差分母)以乘權寄得□□□為城徑冪也

　(内寄大弦及/小差分母)寄左然後以天元自之為冪以大弦通

　之又以小差通之得□□□□□為同數與左相消

　得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問

依前問假令東門外有樹乙出東門南行不知步數而

　立(只云樹去城步/少於乙南行步)甲從乾隅向東行三百二十步望

　乙與樹悉與城叅相直乙復就樹斜行三十四步到

　樹問答同前

　法曰甲東行自之又以斜步乘之為立方實置半段

　甲東行冪於上以斜步乗甲東行減上位為從亷空

　半步常法得勾圓差

　草曰别得乙斜行即□弦也□弦得小勾股即大股

　弦較也乃立天元一為勾圓差以自之為冪副之上

　以加於甲東行冪而半之得□□□為大弦也(寄小/差分)

　(母/)下以減於甲東行冪而半之得□□□為大股也

　(寄小差/分母)乃置斜步以大股乘之得□□□合大弦除

　不除便以此為小股(寄大弦/分母)又置斜步以甲東行乗

　之得□合大弦除不除便以此為小勾而又以通母

　分通之得□為同分小勾也(寄大弦/分母)注(大股乘時有/小差分母今)

　(大勾無母故/又以齊同之)又置斜步以大弦通之得□□□為同

　分小弦也三位相併得□□為勾圓差也(寄/左)然後置

　天元以大弦通之得□○□為同數與左相消得□

　○□□開立方得八十步即勾圓差也以勾圓差減

　於甲東行步餘二百四十步即城徑也合問

或問南門外不知步數有樹甲從乾東行三百二十步

　而立乙出西門便南行望樹及甲與城叅相直却就

　樹斜行二百五十五步至樹問答同前

　法曰二行相乘於上以半之甲東行乗之為實二行

　相乘於上又半之甲東行以乘甲東行加上位為益

　從甲東行為從亷一步虚法開立方得半徑

　草曰立天元一為半徑便以為小勾其斜行即小弦

　也乃以甲東行為大勾以小弦乘之復以天元除之

　得□□即大弦也又倍天元減東行餘□□為小差

　以減大弦餘□□□為大股也又倍天元以減股餘

　□□為大差也却以半小差□□乗之得下式□□

　□為半徑冪(寄/左)乃以天元冪與左相消得丨□□□

　開立方得一百二十步倍之即城徑也合問

或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數

　有柳樹一株槐柳相距二百八十九步甲從乾東行

　三百二十步斜望槐柳與城叅相直問答同前

　法曰二行相乗得數又自增乘為實斜行冪乘甲東

　行又倍之為益從兩行相乘又倍之為益亷二之斜

　步為第二亷二步常法開三乘方得栁至城心步

　草曰别得柳至城心步即甲立處柳樹步也立天元

　一為柳至城心步加斜步得□□為底弦以天元乘

　之得丨□○合斜步除不除便以此為底勾(寄斜步/分母)

　乃再置通勾以斜步乘之得□為帶母通勾内減底

　勾餘□□□為半徑以自之得丨□□□□為半徑

　冪内帶斜步冪分母(寄/左)乃以天元減斜步得□□為

　明弦以天元乘之得□□合斜步除不除便以此為

　半梯頭(寄斜步/為母)復以底勾半梯底乘之得□□□□

　為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一百

　三十六步即柳至城心步也合問

或問甲從乾隅東行三百二十步而立乙出城東行丙

　出城南行三人相望俱與城相直乙丙共行了一百五

　十一步問答同前

　法曰以甲東行為冪折半又以自之為三乘方實倍

　共步加甲東行以乗半段甲行冪為從方甲行乗共

　數為從亷甲東行加五為第二益亷二分五釐常法

　得小差

　草曰别得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一

　為小差以自之副置二位上位減於甲東行冪以天

　元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行冪

　以天元除之又折半得□○□為大弦也其甲東行

　即大勾也併大勾大股得□□□即大和也再立天

　元以減甲東行步得□□即圓徑也以圓徑加共行

　步得□□即皇極和也(即小和又為髙/弦平弦共數)又倍之得□

　□即黄長弦黄廣弦共也内減大弦得下式□□□

　為皇極内小黄方也(亦為/虚弦)再置大和□□□以小黄

　方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便

　以為城徑内寄小和為母(寄/左)然後天元減甲東行得

　□□為大黄方以小和乘之得丨□□為同數與左

　相消得□□□□□開三乗方得八十步即小差也

　以小差減甲東行餘二百四十步即城徑也合問

或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立

　甲從乾隅東行三百二十步望乙丙悉與城㕘相直

　乙就丙斜行一百二步相㑹問答同前

　法曰甲東行自之於上倍斜行步乘之為立方實倍

　斜行步乘甲東行於上加兩段甲東行冪為從四之

　甲東行為益亷四為隅法得半城徑

　草曰别得斜步即虛弦減於全徑即小和也乃立天

　元一為半徑以二之減於甲東行得□□為小差也

　以自之得□□□為小差冪也置甲東行冪内加小

　差冪而半之得下□□□為大弦(内帶小/差分母)置甲東行

　冪内減小差冪而半之得□□為大股也内亦帶小

　差為母又以小差乘大勾得□□併入大股得□□

　□為大和也(帶小/差母)乃先以小弦乗大和得下□□□

　寄左次以斜步減於二天元得□□為小和以乗大

　弦得下式□□□□為同數與左相消得□□□□

　開立方得一百二十步即半城徑也合問

依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步

　數而立(只云丙行多/於乙行步)甲從乾隅東行三百二十步望

　乙丙與城㕘相直其乙丙共行一百二步問答同前

　法曰倍共步以乗甲東行冪為立方實共步乗甲東

　行於上又以甲東行自之加上位為益從甲東行為

　從亷五分隅常法得城徑

　草曰别得共步便為小弦得小勾小股即與圓徑同

　立天元為城徑以減乙東行得□□為小差以自之

　得□□□為小差冪也乃置甲東行以自之為冪副

　之上以加小差冪而半之得□□□為大弦也(内寄/小差)

　(分/母)下以減小差冪而半之得□□○為大股也(内寄/小差)

　(分/母)乃置共步在地以大股乘之得□□合大弦除不

　除便以此為小股也(寄大弦/分母)又置共步以甲東行乘

　之得□合以大弦除不除便以此為小勾而又以元

　分母小差乘之得□□為同分小勾(只寄大/弦分母)注(其大/弦内)

　(元帶小差分母其大勾内却無分母故/母故今復以小差通之齊同其分母也)又置共步以

　大弦通之得□□□同分小弦也三位相併得□□

　為城徑也(内有大/弦分母)寄左然後置天元城徑□以大弦

　分母通之得□□□○為同數與左相消得□□□

　□開立方得二百四十步即城徑也合問

　測圓海鏡卷六