測圓海鏡
測圓海鏡
欽定四庫全書
測圓海鏡卷七
元 李冶 撰
明□前一十八問
或問出南門東行七十二步有樹出東門南行三十步
見之問答同前
法曰倍南行以乘倍東行為平實併二行又倍之為
從一虚隅得城徑
草曰識别得此問名為弦外容圓又為内率求虚積
其二行步相併為虚弦若以相減即虚較也又倍東
行為弦較和倍南行即弦較較此二數相乘則兩虚
積也若直以二行相乘則半个虚積也又倍東行減
於城徑餘即二虚勾也倍南行減於城徑則二虚股也
虚積上三事和即城徑也乃立天元一為圓徑便以
為三事和也倍二行步減之得□□為黄方一天元
乘之得□□為二虚積(寄/左)然後倍東行以乗倍南行得
八千六百四十為同數與左相消得丨□□益積開
平方得二百四十步即城徑也合問
又法二行步相乘為實二行步相併為從一步虛法得
半徑
草曰立天元一為半徑副置二位上加東行步得□
□為大差勾下加□股得□□為小差股此二數相
乘得下式丨□□為半段黄方冪(寄/左)然後立天元以
自之又二之與左相消得丨□□益積開平方得一
百二十步即半城徑也
又法二云數相乘倍之於上加云數差冪權寄併二云
數又自增乗得數内減上位為平實併云數而倍之
為從二步益隅得半徑
草曰立天元一為半徑副之上減明勾得下□□為
虚勾下減□股得□□為虚股勾股相乘得丨□□
又倍之得□□□又加二行差冪□得□□□為弦
冪(寄/左)然後併云步以自之得□為同數與左相消得
□□□益積開平方得一百二十步即半城徑也
又法云數相乘又倍之為平實云數相減為從一常法
得虚勾
草曰立天元一為虚勾以南行減東行餘四十二步
為虚較也以虚較加天元得丨□為虛股以天元乘
之得下丨□為直積(寄/左)然後倍南行乘東行得□與
左相消得丨□□開平方得四十八步即虚勾也以
勾除積得九十步即虚股也併勾股得□為虚和也
内加入二行併□得□即圓徑也
又法併兩行步以自乘於上又倍南行乘倍東行加上
位為平實一隅法得小和
草曰立天元一為小和併二行步加之得□□為三
事和也倍二行步而併之得□以減三事和餘□□
為黄方却以三事和乘之得下丨□□為二虚積也
(寄/左)乃倍南行以乘倍東行得□為同數與左相消得
丨□□開平方得一百三十八步即虚和也加入二
行步得二百四十步即城徑也合問
或問丙出南門直行一百三十五步而立甲出東門直
行一十六步見之問答同前
法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十
六萬零三百七十五於上又以甲行步一十六乘丙
行冪一萬八千二百二十五得二十九萬一千六百
以乘上位得七千一百七十四億四千五百三十五
萬為三乘方實以二行步相乘又倍之得四千三百
二十以乘丙行步再自之數得一百六億二千八百
八十二萬為益從第一亷空以甲行乘丙行冪得二
十九萬一千六百又倍之得五十八萬三千二百於
上四之甲行冪一千零二十四以乘丙行步得一十
三萬八千二百四十減上位餘四十四萬四千九百
六十為第二亷二行步相乘得二千一百六十為虚
常法得丙行步上勾弦差八十一
按法中載數自此始亦擇其數繁者詳之使人易
曉也
草曰識得二數相併以減於皇極弦餘即虚勾虛股
併也若以二數相減餘為髙弦内減平弦又為皇極
弦内少个小差弦又為大差弦内減个皇極弦也立
天元一為丙行大差數置丙行步一百三十五自乘
得□用天元除之得□□為勾弦併也上減天元得
□□□為二丙勾也復用丙南行乘之得□□□為
二積也又以天元除之得□□○□為丙勾外容圓
徑(泛/寄)别置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾
除之不受除便以此為甲股(内寄二丙/勾為分母)復用二甲勾
三十二乘之得□為二个甲直積也又置丙南行内
減天元得□□為黄方以自乘得丨□□為丙上勾
弦差乘股弦差二段以天元除之得□□□為两个
丙小差也乃用甲股乗之得下式□□□復用丙南
行除之得□□□又折半得□□□為一个甲步股
弦差也内亦帶前二丙勾分母復置二个甲直積内
已寄此甲股弦差分母便為甲步股外容圓徑(寄/左)乃
再置先求到泛寄(按即前所寄□/□○□之數)用甲股弦差分母
乘之得□□○□□為同數與左相消得下式□□
○□□開三乗方得八十一步即丙步上勾弦差也
鈐經載此法以勾弦差率冪減丙行差冪復以丙行
乘之為實以差率冪為法如法得徑此法只是以勾
外求容圓半合以大差除陪積而今皆以大差冪為
分母也依法求之勾弦差八十一自之得六千五百
六十一以減於丙行冪一萬八千二百二十五餘一
萬一千六百六十四復以丙行一百三十五乘之得
一百五十七萬四千六百四十為實以大差冪六千
五百六十一為法如法得二百四十步即城徑也
又法二行相乘得數又自之為三乘方實併二行步以
乗二行相乘數又倍之為從二行相併數以自乘於
上又二行相減數自乗減上位為第一亷第二亷空
一益隅益積開之得半徑(其第一亷只是四/段二行相乗數)
草曰立天元一為半城徑副置之上加南行步得□
□為股下位加東行步得□□為勾勾股相乘得丨
□□為直積一段以天元除之得丨□□為弦以自
之得丨□□□□為弦冪(寄/左)乃以勾自之得丨□□
又以股自之得丨□□二位相併得□□□為同數
與左相消得丨○□□□益積開三乘方得一百二
十步即半城徑也
又法條段同前
草曰以前求得勾股率置出南門步為小股以勾率
乘之得□□合以股率除不除寄為母便以此為半
梯頭於上又置南行步加二天元得□□為大股以
勾率乘之得□□□合以股率除不除寄為母便以
此為梯底以乘上位得□□□□為半徑自乘數内
帶股率冪為母(寄/左)然後置天元以自之又以股率冪
乘之得下丨□□□為同數與左相消得數一如前
答
又法以二行差冪數自乗又倍之為實併二行步以乘
二行差冪又四之為益從四段南行冪内減二段差
冪於上又二段差冪内減四段東行冪餘以減上位
(按併二行冪減二行/差冪四因之亦同)為第一亷四之二行共為第二
亷二步虚法益積開之得皇極弦二百八十九
草曰立天元一為皇極弦以自之為弦冪於上以二
行步相減餘□以自之得□為較冪以減上得丨□
□為二直積復以天元除之得□○□為一个城徑
也副置之上位加二之東行步得□□□為二勾也
以自增乘得丨□□□□為四段勾冪於上下位加
二之南行得□□□為二股也以自增乘得丨□□
□□為四段股冪也併入上位得下式□□□□□
為四段弦冪(寄/左)然後以天元為冪四之為同數與左
相消得下式□□□□□益積開三乘方得二百八
十九步即皇極弦也 欲見城徑者别立天元半徑
副之加東行為勾加南行為股勾股各為冪併之與
弦冪相消開方得城徑也
又法以二行差一百一十九自乘得一萬四千一百六
十一為差冪以東行步乘之得二十二萬六千五百
七十六為汎率又自增乗得五百一十三億三千六
百六十八萬三千七百七十六為五乘方實倍東行
步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八
百八為小汎以乘泛率又倍之得一十七億二千五
百六十○萬二千八百一十六為從方併兩行而倍
之得三百二以乘泛率得六千八百四十二萬五千
九百五十二於上位以小泛冪一千四百五十萬○
○八百六十四加入上位共得八千二百九十二萬
六千八百一十六為第一亷併兩行而倍之得三百
二以乗小泛得一百一十五萬○○一十六為寄數
倍二行差以乘差冪得三百三十七萬零三百一十
八内減寄數餘二百二十二萬零三百零二為第二
亷六段二行差冪八萬四千九百六十六内減二行
併數冪二萬二千八百一餘六萬二千一百六十五
為第三益亷六之二行差七百一十四為第四益亷
二步虚法得□弦三十四步
草曰立天元一為皇極弦上股弦差(即東行步上斜/也亦謂□斜)
以元加二行差得□□即明弦也(此即皇極弦/上勾弦差也)以天
元乗之又倍之得□□□即皇極内黄方冪也(泛/寄)置
皇極弦上勾弦差以東行步乘之得□□以天元除之
得□□為明勾也又置天元以南行乘之得□□合
用明弦除不除寄為母便以此為□股於上(寄明/弦母)乃
再置明勾以明弦乘之得□□□亦為帶分明勾加
入上位得□□□即是一个虚弦也以自增乘得下
式□□□□□為一段虚弦冪也内帶明弦冪分母
(寄/左)然後置明弦以自之得丨□□為明弦冪以乘泛
寄得□□□□為同數與左相消得下式□□□□
□□□開五乗方得三十四步為東行步上斜步也
(即□/弦)其東行十六步即□勾也勾弦各自為冪以相
減餘九百步開方得三十步即□股也既各得此數
乃以股外容圓半法求圓徑得二百四十步即城徑
也合問
按此草又法求□弦至開帶縱五乘方法愈繁數
愈賾而天元一之用愈見其妙苐所得帶縱五乘
方亷隅積數雖具而未習其法者不能信其數之
必然今姑取已得之□弦數按亷隅數推其積數
以明其數之無可疑焉置五乘方數二以□弦三
十四乘之得六十八與四乘方數七百一十四相
加得七百八十二又以□弦乘之得二萬六千五
百八十八與三乘方數六萬二千一百六十五相
加得八萬八千七百五十三又以□弦乘之得三
百零一萬七千六百零二與立方數二百二十二
萬零三百零二相加得五百二十三萬七千九百
零四又以□弦乘之得一億七千八百零八萬八
千七百三十六内減所少平方數八千二百九十
二萬六千八百一十六餘九千五百一十六萬一
千九百二十又以□弦乘之得三十二億三千五
百五十萬零五千二百八十内減所少元數十七
億二千五百六十萬零二千八百一十六餘十五
億零九百九十萬零二千四百六十四又以□弦
乗之得五百一十三億三千六百六十八萬三千
七百七十六為積數與草中積數合(此即無次商/帶縱五乘方)
(法/)
或問出東門一十六步有樹出南門東行七十二步見
之問答同前
法曰二行步相減得數以自之於上又以出東門步
自之減上位為平方實二之出南門東行步為益從
一步常法翻開得半徑
草曰别得人到樹即平弦也半圓徑即平股也其東
行七十二步則平勾平弦差也乃立天元一為半徑
加一十六減七十二得□□為勾也以自之得丨□
□為勾冪又加入天元股冪得□□□為弦冪(寄/左)再
立天元一為半徑加出東門步得□□即弦也以自
之得丨□□為同數與左相消得□□□翻法開之
得一百二十步即半城徑也合問
或問出南門一百三十五步有樹出東門南行三十步
見之問答同前
法曰樹去城步内減南行步餘以為冪於上又以樹
去城步為冪内減上位為平實倍樹去城步為從一
虚隅翻法得半城徑
草曰别得人距樹即髙弦也半圓徑即髙勾也其南
行三十步即髙弦上小差也乃立天元一為半徑加
樹去城步為弦内減小差□得□□即股也以自之
得丨□□為股冪内加入天元冪得□□□為弦冪
(寄/左)再置弦□□自之得丨□□為同數與左相消得
丨□□翻開得一百二十步即半城徑也合問
或問乙出東門不知逺近而立甲出南門東行七十二
步望見乙就乙斜行一百三十六步與乙相會問答
同前
法曰以斜行步自之於上以二行相減餘自為冪減
上位為平實從空一步常法得半徑
草曰别得七十二步即大差也斜行即弦半徑即股
也立天元一為半徑以自之為股冪又以二行差六
十四以自之得□為勾冪併二冪得丨□□為弦冪
(寄/左)然後以斜行步自之得□為同數與左相消得丨
□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問甲出南門不知逺近而立乙出東門南行三十步
望見甲却就甲斜行二百五十五步與甲相㑹問答
同前
法曰二行差自之為冪以減於斜行冪為平實一虚
隅得半徑
草曰别得南行步即股弦差也斜步即弦也半徑即
勾也乃立天元一為半城徑以自之為冪以二行相
減餘二百二十五以自之得□為股冪二冪相併得
丨□□為弦冪(寄/左)然後以斜行自之得□為同數與
左相消得下丨□□開平方得一百二十步即半徑
也合問
或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行三
十步望見甲斜行一百二步相㑹問答同前
法曰二行相乘四之於上又加入斜行冪為平實得
虚和一百三十八
草曰别得斜步内減南行為甲東行步也此問以弦
外容圓入之以二行相減數乘乙南行三十步得□
又四之得□為二直積也又加入斜步冪□共得□
即和冪也平方而一得一百三十八步即虚和也又
加斜步得二百四十步即城徑也合問
或問乙出東門南行不知步數而立甲出南門東行七
十二步望見乙斜行一百二步與乙相㑹問答同前
法曰倍相減步以乘倍東行得數復以減於斜步冪
餘為實平方而一得較也又以二行相減數乘倍東
行為平實以較為從方得勾勾較共為長又以斜步
併入勾股共即城徑
草曰别得二行相減餘□為乙南行步也以此數又
減於甲東行餘四十二步即較也乃以二行相減數
□乘倍東行得□為平實以較為從平方開得四十
八即勾也勾内加較得九十步即股也勾股共得一
百三十八又加入斜步共得二百四十步即城徑也
合問
或問乙出南門東行甲出東門南行兩相望見既而乙
云我東行不及城徑一百六十八步甲云我南行不
及城徑二百一十問答同前
法曰半甲不及步以自之為冪半甲不及步内減云
數差以自之為冪二冪相併内却減差冪為平實二
之乙不及為益從三步半虚法得甲南行
草曰别得乙不及為虚勾半徑共又為徑内減明勾
也甲不及為虛股半徑共又為徑内減□股也又二
云數相併為虚和圓徑共也云數相減即虚較也乃
立天元一為甲南行以減於甲不及步又半之得□
□為虚股也虚股内減虚較得□□為虚勾勾自之
得□□□為勾冪也又股自之得下式□□□為股
冪也二冪相併得□□□為弦冪(寄/左)然後以天元加
虚較得□□為乙東行又加入天元甲南行得□□
為虚弦以自之得□□□為同數與左相消得□□
□開平方得三十步即甲南行也内加少步即城徑
也合問
或問丙出南門直行甲出東門直行兩相望見既而丙
云我行少於城徑一百五步甲云我行少於城徑二
百二十四步問答同前
法曰二少歩相乘訖又自乗為實六之共步乘云數
相乘數為益從十八之云數相乘數於上又三之共
步自乘加上位内復減丙少步冪甲少步冪為從亷
四十八之共步為益二亷六十三步常法翻法開三
乗方得一百二十步即半徑
草曰别得云數共減於倍城徑為甲丙共數又云數
相減即皇極差亦為甲行不及丙行數立天元一為
半城徑以三之副置二位上位減丙少步得□□為
皇極股也下位減甲少步得□□為皇極勾也勾股
相乘得□□□以天元除之得□□□為弦也弦自
之得□□□□□為弦冪(寄/左)然後以股自之得下□
□□為股冪於上又以勾自之得□□□為勾冪併
以加入上位得□□□為同數與左相消得□□□
□□翻法開三乘方得一百二十步即半城徑也合
問
或問甲出東門直行丙出南門直行各不知步數而立
乙望見甲就甲斜行了二百八十九步與甲相㑹其
二直行共一百五十一步問答同前
法曰斜冪内減共步冪為平實倍共步内減斜步為
從一常法得徑
草曰别得共數城徑併即皇極和也立天元一為圓
徑加共步得□□為皇極和以自之得丨□□於上
以斜行冪□減上位餘丨□□為二直積(寄/左)然後以
天元乘斜步得□□與左相消得丨□□開平方得
二百四十步即城徑也合問
或問甲出東門直行乙出東門南行丙出南門直行丁
出南門東行各不知步數而立四人遥相望悉與城
叅相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立處
相距一百二步又云丙直行步多於甲直行步問答
同前
法曰共步距步相減得數自之於上以共步為冪内
減上為平實二之距步内減共步距步差為從一步
虚法得城徑
草曰别得共步得城徑即皇極和也相距步即虚弦
也皇極和内減虚弦即皇極弦也又共步距步差□
即皇極弦内減城徑也(此名/旁差)乃立天元一為城徑加
共步得□□為皇極和也以自之得丨□□於上以
共步距步差□加天元得□□為皇極弦也以自之
得下式丨□□減上位餘得□□為二直積(寄/左)然後
以天元徑乘皇極弦得丨□為同數與左相消得丨
□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行望
見甲復就甲斜行與甲相㑹乙通計行了一百三十
二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲東行多
於乙南行問答同前
法曰倍不及步在地以不及步減通步以乗之為實
以四之不及步為法得乙南行三十步
草曰别得乙南行即□股也以減通步即虚弦也以
減不及步即虚較也其不及步即甲東行也立天元
一為乙南行置不及步以天元乘之又四之得□為
二直積(寄/左)然後倍不及步以為弦較和於上□以不
及步減通步得□為弦較較以乗上位得□為同數
與左相消得□□上法下實得三十步為乙南行也
餘各以數求之
又法别得通行步為兩个乙南行一个甲東行共也其
不及步即東行步也云步相併即兩个虚弦相減即
兩个乙南行也
或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行望
見甲復斜行與甲相㑹二人共行了二百四步又云
甲行不及乙一百三十二(按甲不及乙六十步非一/百三十二步當云甲行不)
(及共步/方合)問答同前
法曰别得二行共即兩个虛弦也其不及步即乙南
行與一虚弦共也置不及步内減一弦餘三十步即
乙南行也以乙南行反以減虚弦餘七十二步即甲
東行也以乙南行減甲東行餘即虚較也 此問無
草
按右二問語若淺近然以發明加減乘除相通之
義最為深切集中倣此者可類推之
或問乙出東門南行甲出西門南行甲望見乙斜行五
百一十步相㑹乙云我南行少於城徑二百一十步
問答同前
法曰少步冪為平實四斜步内減二少步為益從五
步常法得乙南行
草曰别得少步為徑内減叀股立天元一為乙南行
以二之減於倍斜行步得□□為梯底也以二之天
元乘之得□□為徑冪(寄/左)再置天元加少步得下式
□□為城徑以自之得丨□□與左相消得□□□
開平方得三十步即乙南行也加少步即城徑也合
問
或問乙出南門東行甲出北門東行甲望見乙斜行二
百七十二步與乙相㑹乙云我東行不及城徑一百
六十八步問答同前
法曰以不及步冪之為實四斜内減二之不及步為
虚從五常法平實開得乙東行七十二
草曰别得不及步為城徑減明勾也立天元一為乙
東行以倍之減於二之斜行步得下□□為梯底也
倍天元乘之得□□為徑冪(寄/左)再置天元加不及步
得□□為城徑以自之得丨□□為同數與左相消
得□□□開平方得七十二步即乙東行也加入少
步即城徑也合問
或問乙出南門東行丁出東門南行却有甲丙二人共
在西北隅甲向東行丙向南行四人遥相望見俱與
城叅相直既而相㑹甲云我多乙二百四十八步丙
云我多於丁五百七十步問答同前
法曰二多步相乗為平實併二多步而半之為從七
分半常法得城徑
草曰别得甲多步為大勾内減明勾也丙多步為大
股内少叀股也又乙東行得一虚勾為半徑丁南行
得一虚股為半徑又二多數相併得□為大和内少
虚弦也又二多數相減餘□為兩个角差又甲多步
内減半徑即勾方差也丙多步内減半徑即股方差
也立天元一為城徑以半之減於甲多步得□□為
勾方差又以半徑減於丙多步得□□為股方差二
差相乘得□□□為徑冪(寄/左)然後以天元冪與左相
消得下式□□□開平方得二百四十步即城徑也
合問
或問甲丙二人俱在西北隅甲向東行丙向南行又乙
出南門東行丁出東門南行各不知步數而立四人
遥相望見悉與城叅相直既而相㑹甲云我與乙共
行了三百九十二步丙云我與丁共行六百三十步
問答同前
法曰甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪二冪又相
乘為三乘方實甲乙共自之為冪以丙丁共乘之於
上又以丙丁共自之為冪以甲乙共乘之加上位為
益從甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪併以七分
半乘之於上又以甲乙共乘丙丁共得數減上位為
第一益亷併二共數以七分半乘之為第二亷以七
分半自之得五分六釐二毫五絲於上位以一步内
減上位餘四分三釐七毫五絲為虚隅得城徑
草曰别得甲為大勾乙為明勾丙為大股丁為叀股
也甲乙共内減半徑即是黄長弦也丙丁共内減半
徑即黄廣弦也黄長弦黄廣弦二數相減餘為兩个
皇極差也乃立天元為城徑半之副置二位上以減
於甲乙共數得□□即黄長弦也以自之得□□□
為黄長弦冪也内減天元一冪餘得下式□□□為
勾方差冪也下位以減於丙丁共得下式□□即黄
廣弦也以自之得□□□為黄廣弦冪也内減天元
一冪餘得□□□為殷方差冪也再以勾方差冪股
方差冪相乘得□□□□□為徑冪(寄/左)然後以天元為
冪又以冪自之與左相消得下式□□□□□開三
乘方得二百四十步即城徑也合問
測圓海鏡卷七