御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷七

　　線部五

　　　和較比例

　　和較比例

比例之中有和數較數而復有和較者用和數相比

謂之和用較數相比謂之較至於設問中兩物相和

兩價相和或每色中㡬物相和乃於和數中推求較

數因較數而成比例是以和數為體而較數為用故

謂之和較比例在九章一名貴賤差分一名貴賤相

和其立法盖於縂物中求其相差之較或於每物中

求其相差之較(此貴賤/差分法)或用互乗以齊其數然後於

互乗數中求其相差之較作為比例而得真數(此貴/賤相)

(和/法)按法立算雖各不同要之縂以和數推出較數為

比此和較之所以名也

設如有銀四百零五兩七錢共買米麥五百石米每

　石價銀八錢六分麥每石價銀七錢二分五釐問

　米麥各該㡬何

　　　　　法以米麥共五百石用米每石價銀八

　　　　　錢六分乗之得四百三十兩與縂銀四

　　　　　百零五兩七錢相較則縂銀少二十四

　　　　　兩三錢又以米麥共五百石用麥每石

　　　　　價銀七錢二分五釐乗之得三百六十

　　　　　二兩五錢與縂銀相較則縂銀多四十

　　　　　三兩二錢乃以多少兩數相併得六十

　　　　　七兩五錢為一率米麥共五百石為二

　　　　　率少二十四兩三錢為三率得四率一

　　　　　百八十石即麥數於共五百石内減之

　　　　　餘三百二十石即米數如以多四十三

　　　　　兩二錢為三率得四率三百二十石亦

　　　　　即米數也此法盖以五百石俱為米計

　　　　　之則價應四百三十兩與今縂銀相較

　　　　　則縂銀少二十四兩三錢如以五百石

　　　　　俱為麥計之則價應三百六十二兩五

　　　　　錢與今縂銀相較則縂銀多四十三兩

　　　　　二錢是米五百石比麥五百石價多六

　　　　　十七兩五錢即麥五百石比米五百石

　　　　　價少六十七兩五錢也是知麥價比米

　　　　　價少六十七兩五錢而麥為五百石今

　　　　　縂銀比米價少二十四兩三錢則麥必

　　　　　為一百八十石也又米價比麥價多六

　　　　　十七兩五錢而米為五百石今縂銀比

　　　　　麥價多四十三兩二錢則米必為三百

　　　　　二十石也

　　　　　又法以米麥每石價銀相減餘一錢三

　　　　　分五釐為一率一石為二率以米麥共

　　　　　五百石用米價乗之得四百三十兩與

　　　　　縂銀四百零五兩七錢相減餘二十四

　　　　　兩三錢為三率得四率一百八十石即

　　　　　麥數於共五百石内減之餘三百二十

　　　　　石即米數如以米麥共五百石用麥價

　　　　　乗之得三百六十二兩五錢與縂銀四

　　　　　百零五兩七錢相減餘四十三兩二錢

　　　　　為三率得四率三百二十石亦即米數

　　　　　也此法盖因米一石比麥一石其價相

　　　　　差一錢三分五釐是知少一錢三分五

　　　　　釐而麥為一石今少二十四兩三錢則

　　　　　麥少為一百八十石也又多一錢三分

　　　　　五釐而米為一石今多四十三兩二錢

　　　　　則米必為三百二十石也前法以五百

　　　　　石縂價之較與五百石為比此法以每

　　　　　一石價之較與一石為比其理同也

設如有銀一百兩共買紬絹一百疋紬每疋價銀一

　兩六錢絹每疋價銀八錢問紬絹各得㡬何

　　　　　法以紬絹共一百疋用紬價一兩六錢

　　　　　乗之得一百六十兩與共銀一百兩相

　　　　　較則共銀少六十兩又以紬絹共一百

　　　　　疋用絹價八錢乗之得八十兩與共銀

　　　　　一百兩相較則共銀多二十兩乃以多

　　　　　少兩數相併得八十兩為一率紬絹共

　　　　　一百疋為二率少六十兩為三率得四

　　　　　率七十五疋即絹數於共一百疋内減

　　　　　之餘二十五疋即紬數如以多二十兩

　　　　　為三率得四率二十五疋亦即紬數也

　　　　　此法盖以一百疋俱為紬計之則價應

　　　　　一百六十兩與共銀相較則共銀少六

　　　　　十兩如以一百疋俱為絹計之則價應

　　　　　八十兩與共銀相較則共銀多二十兩

　　　　　是紬一百疋比絹一百疋價多八十兩

　　　　　即絹一百疋比紬一百疋價少八十兩

　　　　　也是知絹價比紬價少八十兩而絹為

　　　　　一百疋今共價比紬價少六十兩則絹

　　　　　必為七十五疋也又紬價比絹價多八

　　　　　十兩而紬為一百疋今共價比絹價多

　　　　　二十兩則紬必為二十五疋也

　　　　　又法以紬絹每疋價銀相減餘八錢為

　　　　　一率紬一疋為二率以紬絹共一百疋

　　　　　用紬價乗之得一百六十兩與共銀一

　　　　　百兩相減餘六十兩為三率得四率七

　　　　　十五疋即絹數於共一百疋内減之餘

　　　　　二十五疋即紬數如以紬絹共一百疋

　　　　　用絹價乗之得八十兩與共銀一百兩

　　　　　相減餘二十兩為三率得四率二十五

　　　　　疋亦即紬數也此法盖因紬一疋比絹

　　　　　一疋其價相差八錢是知少八錢而絹

　　　　　為一疋今少六十兩則絹必為七十五

　　　　　疋也又多八錢而紬為一疋今多二十

　　　　　兩則紬必為二十五疋也

設如雞兔同籠但知頭共三十六足共一百問雞兔

　各㡬何

　　　　　法以雞兔共三十六頭用雞二足乗之

　　　　　得七十二足與共足一百相較則共足

　　　　　多二十八又以雞兔共三十六頭用兔

　　　　　四足乗之得一百四十四足與共足一

　　　　　百相較則共足少四十四乃以多少兩

　　　　　數相併得七十二足為一率共三十六

　　　　　頭為二率少四十四足為三率得四率

　　　　　二十二即雞數於共三十六隻内減之

　　　　　餘十四即兔數如以多二十八足為三

　　　　　率得四率十四亦即兔數也此法盖以

　　　　　三十六俱為雞計之則應七十二足與

　　　　　今共足相較則共足多二十八若以三

　　　　　十六俱為兔計之則應一百四十四足

　　　　　與今共足相較則共足少四十四是兔

　　　　　三十六比雞三十六多七十二足即雞

　　　　　三十六比兔三十六少七十二足也是

　　　　　知雞少於兔七十二足而雞為三十六

　　　　　隻今雞少於兔四十四足則雞必為二

　　　　　十二隻也又兔多於雞七十二足而兔

　　　　　為三十六隻今兔多於雞二十八足則

　　　　　兔必為十四隻也

　　　　　又法以雞二足兔四足相減餘二足為

　　　　　一率一隻為二率又以共三十六隻用

　　　　　兔四足乗之得一百四十四足與共足

　　　　　一百相減餘四十四為三率得四率二

　　　　　十二即雞數於共三十六隻内減之餘

　　　　　十四即兔數如以共三十六隻用雞二

　　　　　足乗之得七十二足與共足一百相減

　　　　　餘二十八為三率得四率十四亦即兔

　　　　　數也此法盖因雞一隻比兔一隻差二

　　　　　足是知雞少於兔二足而雞為一隻今

　　　　　少於兔四十四足則雞必為二十二隻

　　　　　也又兔多於雞二足而兔為一隻今多

　　　　　於雞二十八足則兔必為十四隻也

設如有羊一百四十隻大小不䓁共剪毛一百五十

　斤大羊每隻剪毛一斤二兩小羊每隻剪毛十二

　兩問大小羊各㡬何

　　　　　法以共羊一百四十隻用大羊剪毛十

　　　　　八兩乗之(一斤作十六兩加/二兩即十八兩也)得二千五

　　　　　百二十兩與共剪毛二千四百兩相較

　　　　　(一百五十斤變為/兩得二千四百兩)則共剪毛數少一百

　　　　　二十兩又以共羊一百四十隻用小羊

　　　　　剪毛十二兩乗之得一千六百八十兩

　　　　　與共剪毛二千四百兩相較則共剪毛

　　　　　數多七百二十兩乃以多少兩數相併

　　　　　得八百四十兩為一率共羊一百四十

　　　　　隻為二率多七百二十兩為三率得四

　　　　　率一百二十隻即大羊數於共一百四

　　　　　十隻内減之餘二十隻即小羊數如以

　　　　　少一百二十兩為三率得四率二十隻

　　　　　亦即小羊數也此法盖以一百四十隻

　　　　　俱為大羊計之則應剪毛二千五百二

　　　　　十兩與共剪毛數相較則共剪毛數少

　　　　　一百二十兩若以一百四十隻俱為小

　　　　　羊計之則應剪毛一千六百八十兩與

　　　　　共剪毛數相較則共剪毛數多七百二

　　　　　十兩是大羊一百四十隻比小羊一百

　　　　　四十隻多八百四十兩即小羊一百四

　　　　　十隻比大羊一百四十隻少八百四十

　　　　　兩也是知多八百四十兩而大羊為一

　　　　　百四十隻今少七百二十兩則大羊必

　　　　　為一百二十隻也又少八百四十兩而

　　　　　小羊為一百四十隻今少一百二十兩

　　　　　則小羊必為二十隻也

　　　　　又法以大羊剪毛十八兩小羊剪毛十

　　　　　二兩相減餘六兩為一率一隻為二率

　　　　　以共羊一百四十隻用小羊剪毛數乗

　　　　　之得一千六百八十兩與共剪毛二千

　　　　　四百兩相減餘七百二十兩為三率得

　　　　　四率一百二十隻即大羊數於共一百

　　　　　四十隻内減之餘二十隻即小羊數如

　　　　　以共羊一百四十隻用大羊剪毛數乗

　　　　　之得二千五百二十兩與共剪毛二千

　　　　　四百兩相減餘一百二十兩為三率得

　　　　　四率二十隻亦即小羊數也此法盖以

　　　　　大羊一隻比小羊一隻所剪毛差六兩

　　　　　是知多六兩而大羊為一隻今多七百

　　　　　二十兩則大羊必為一百二十隻也又

　　　　　少六兩而小羊為一隻今少一百二十

　　　　　兩則小羊必為二十隻也

設如有玉在石中但知正方每邉四寸共重一百六

　十兩八錢問玉有㡬何

　　　　　法以方邉四寸自乗再乗得六十四寸

　　　　　為正方體積乃以六十四寸用玉寸方

　　　　　定率二兩六錢乗之得一百六十六兩

　　　　　四錢與共重一百六十兩八錢相較則

　　　　　共重少五兩六錢又以六十四寸用石

　　　　　寸方定率二兩五錢乗之得一百六十

　　　　　兩與共重一百六十兩八錢相較則共

　　　　　重多八錢乃以多少兩數相併得六兩

　　　　　四錢為一率玉六十四寸為二率多八

　　　　　錢為三率得四率八寸即玉數於共六

　　　　　十四寸内減之餘五十六寸即石數如

　　　　　以少五兩六錢為三率得四率五十六

　　　　　寸亦即石數也既得玉八寸則以玉寸

　　　　　方定率二兩六錢乗之得二十兩八錢

　　　　　即玉之重數於共重一百六十兩八錢

　　　　　内減之餘一百四十兩即石之重數如

　　　　　以石五十六寸用石寸方定率二兩五

　　　　　錢乗之得一百四十兩亦即石之重數

　　　　　也此法盖以六十四寸俱為玉計之則

　　　　　應重一百六十六兩四錢與共重數相

　　　　　較則共重數少五兩六錢若以六十四

　　　　　寸俱為石計之則應重一百六十兩與

　　　　　共重數相較則共重數多八錢是石六

　　　　　十四寸比玉六十四寸少六兩四錢即

　　　　　玉六十四寸比石六十四寸多六兩四

　　　　　錢也是知多六兩四錢而玉為六十四

　　　　　寸今多八錢則玉必為八寸也又少六

　　　　　兩四錢而石為六十四寸今少五兩六

　　　　　錢則石必為五十六寸也

　　　　　又法以玉寸方定率二兩六錢與石寸

　　　　　方定率二兩五錢相減餘一錢為一率

　　　　　一寸為二率以共積六十四寸用石寸

　　　　　方定率二兩五錢乗之得一百六十兩

　　　　　與共重一百六十兩八錢相減餘八錢

　　　　　為三率得四率八寸即玉數於共六十

　　　　　四寸内減之餘五十六寸即石數如以

　　　　　共積六十四寸用玉寸方定率二兩六

　　　　　錢乗之得一百六十六兩四錢與共重

　　　　　一百六十兩八錢相減餘五兩六錢為

　　　　　三率得四率五十六寸亦即石數也此

　　　　　法盖以玉一寸比石一寸其重差一錢

　　　　　是知多一錢而玉為一寸今多八錢則

　　　　　玉必為八寸也又少一錢而石為一寸

　　　　　今少五兩六錢則石必為五十六寸也

設如有金銀共重三百二十一兩鎔於一處作成一

　正方體每邉三寸問金銀各重㡬何

　　　　　法以方邊三寸自乗再乗得二十七寸

　　　　　為正方體積乃以二十七寸俱作金算

　　　　　用金寸方定率十六兩八錢乗之得四

　　　　　百五十三兩六錢與共重三百二十一

　　　　　兩相較則共重少一百三十二兩六錢

　　　　　又以二十七寸俱作銀算用銀寸方定

　　　　　率九兩乗之得二百四十三兩與共重

　　　　　三百二十一兩相較則共重多七十八

　　　　　兩乃以多少兩數相併得二百一十兩

　　　　　六錢為一率金二十七寸重四百五十

　　　　　三兩六錢為二率多七十八兩為三率

　　　　　得四率一百六十八兩即金數於共重

　　　　　三百二十一兩内減之餘一百五十三

　　　　　兩即銀數如以銀二十七寸重二百四

　　　　　十三兩為二率少一百三十二兩六錢

　　　　　為三率得四率一百五十三兩亦即銀

　　　　　數也此法盖因金二十七寸比銀二十

　　　　　七寸多二百一十兩六錢即銀二十七

　　　　　寸比金二十七寸少二百一十兩六錢

　　　　　也是知金比銀多二百一十兩六錢而

　　　　　金為四百五十三兩六錢今多七十八

　　　　　兩則金必為一百六十八兩也又銀比

　　　　　金少二百一十兩六錢而銀為二百四

　　　　　十三兩今少一百三十二兩六錢則銀

　　　　　必為一百五十三兩也

　　　　　又法以銀寸方定率九兩與金寸方定

　　　　　率十六兩八錢相減餘七兩八錢為一

　　　　　率金一寸重十六兩八錢為二率以共

　　　　　積二十七寸用銀寸方定率九兩乗之

　　　　　得二百四十三兩與共重三百二十一

　　　　　兩相減餘七十八兩為三率得四率一

　　　　　百六十八兩即金數於共重三百二十

　　　　　一兩内減之餘一百五十三兩即銀數

　　　　　如以銀一寸重九兩為二率以共積二

　　　　　十七寸用金寸方定率十六兩八錢乗

　　　　　之得四百五十三兩六錢與共重三百

　　　　　二十一兩相減餘一百三十二兩六錢

　　　　　為三率得四率一百五十三兩亦即銀

　　　　　數也此法盖以金一寸比銀一寸其重

　　　　　相差七兩八錢是知多七兩八錢而金

　　　　　為十六兩八錢今多七十八兩則金必

　　　　　為一百六十八兩也又少七兩八錢而

　　　　　銀為九兩今少一百三十二兩六錢則

　　　　　銀必為一百五十三兩也

設如有金器一件内有銀相参合共重一百七十兩

　四錢問金銀各重若干

　　　　　法用一桶盛水令滿将金器入内看溢

　　　　　出之水得正方寸數㡬何假如得十二

　　　　　寸即為金銀共積以金寸方定率十六

　　　　　兩八錢乗之得二百零一兩六錢與共

　　　　　重一百七十兩四錢相較則共重少三

　　　　　十一兩二錢又以銀寸方定率九兩乗

　　　　　之得一百零八兩與共重一百七十兩

　　　　　四錢相較則共重多六十二兩四錢乃

　　　　　以多少兩數相併得九十三兩六錢為

　　　　　一率金十二寸重二百零一兩六錢為

　　　　　二率多六十二兩四錢為三率得四率

　　　　　一百三十四兩四錢即金數於共重一

　　　　　百七十兩四錢内減之餘三十六兩即

　　　　　銀數如以銀十二寸重一百零八兩為

　　　　　二率少三十一兩二錢為三率得四率

　　　　　三十六兩亦即銀數也

　　　　　又法以金寸方定率十六兩八錢與銀

　　　　　寸方定率九兩相減餘七兩八錢為一

　　　　　率金一寸重十六兩八錢為二率以共

　　　　　積十二寸用銀寸方定率九兩乗之得

　　　　　一百零八兩與共重一百七十兩四錢

　　　　　相減餘六十二兩四錢為三率得四率

　　　　　一百三十四兩四錢即金數於共重一

　　　　　百七十兩四錢内減之餘三十六兩即

　　　　　銀數如以銀一寸重九兩為二率以共

　　　　　積十二寸用金寸方定率十六兩八錢

　　　　　乗之得二百零一兩六錢與共重一百

　　　　　七十兩四錢相減餘三十一兩二錢為

　　　　　三率得四率三十六兩亦即銀數也

設如有金鑄一器重三百兩俱係九六成色今用九

　九成色及九一成色二䓁金替換問各得㡬何

　　　　　法以九六成色與三百兩相乗得二百

　　　　　八十八兩為原金數乃以九九成色與

　　　　　三百兩相乗得二百九十七兩與原金

　　　　　二百八十八兩相較則原金少九兩又

　　　　　以九一成色與三百兩相乗得二百七

　　　　　十三兩與原金二百八十八兩相較則

　　　　　原金多十五兩爰以多少兩數相併得

　　　　　二十四兩為一率三百兩為二率原金

　　　　　比九一成色多十五兩為三率得四率

　　　　　一百八十七兩五錢即九九成色金數

　　　　　於共重三百兩内減之餘一百一十二

　　　　　兩五錢即九一成色金數如以原金比

　　　　　九九成色少九兩為三率得四率一百

　　　　　一十二兩五錢亦即九一成色金數也

　　　　　盖九六成色金三百兩為十成金二百

　　　　　八十八兩而九九成色金三百兩為十

　　　　　成金二百九十七兩九一成色金三百

　　　　　兩為十成金二百七十三兩是知九九

　　　　　比九一多二十四兩而九九成色金為

　　　　　三百兩今九六比九一多十五兩則九

　　　　　九成色金必為一百八十七兩五錢也

　　　　　又九一比九九少二十四兩而九一成

　　　　　色金為三百兩今九六比九九少九兩

　　　　　則九一成色金必為一百一十二兩五

　　　　　錢也

　　　　　又法以九九與九一相減餘八分為一

　　　　　率金三百兩為二率以九一與九六相

　　　　　減餘五分為三率得四率一百八十七

　　　　　兩五錢即九九成色金數於共重三百

　　　　　兩内減之餘一百一十二兩五錢即九

　　　　　一成色金數如以九九與九六相減餘

　　　　　三分為三率得四率一百一十二兩五

　　　　　錢亦即九一成色金數也盖九九比九

　　　　　一多八分而九九成色金為三百兩今

　　　　　九六比九一多五分則九九成色金必

　　　　　為一百八十七兩五錢也又九一比九

　　　　　九少八分而九一成色金為三百兩今

　　　　　九六比九九少三分則九一成色金必

　　　　　為一百一十二兩五錢也

設如甲乙二人有金成色不䓁甲金一兩可凖銀一

　十二兩乙金一兩可凖銀八兩今欲鎔為一處令

　金一兩凖銀九兩問甲乙二人於一兩金中各出

　金㡬何

　　　　　法以凖銀九兩為中數與甲金凖銀十

　　　　　二兩相較少三兩與乙金凖銀八兩相

　　　　　較多一兩乃以多少兩數併之得四兩

　　　　　為一率金一兩為二率比甲少三兩為

　　　　　三率得四率七錢五分即乙所出金數

　　　　　如以比乙多一兩為三率得四率二錢

　　　　　五分即甲所出金數也此法因銀十二

　　　　　兩與八兩皆金一兩所凖之數雖相乗

　　　　　其數不動故直以十二與八相減作一

　　　　　率(以十二與九八與九之兩較相併/得四即十二與八相減之餘數也)盖

　　　　　乙比甲銀少四兩而乙金為一兩今比

　　　　　甲銀少三兩則乙金必為七錢五分也

　　　　　又甲比乙銀多四兩而甲金為一兩今

　　　　　比乙銀多一兩則甲金必為二錢五分

　　　　　也

設如有錢四千九百九十五文買栗棗共五千枚只

　云栗九枚錢一十一文棗七枚錢四文問二色與

　價各得若干

　　　　　法先用互乗以齊其分以栗九與棗七

　　　　　相乗得六十三為乗出之縂物分即以

　　　　　六十三乗縂錢四千九百九十五文得

　　　　　三十一萬四千六百八十五文為乗出

　　　　　之縂錢數又以棗七乗栗價十一文得

　　　　　七十七文為乗出之栗價以栗九乗棗

　　　　　價四文得三十六文為乗出之棗價然

　　　　　後以栗棗共五千枚用栗價七十七文

　　　　　乗之得三十八萬五千文與乗出之縂

　　　　　錢三十一萬四千六百八十五文相較

　　　　　則縂錢少七萬零三百一十五文又以

　　　　　栗棗共五千枚用棗價三十六文乗之

　　　　　得一十八萬文與乗出之縂錢三十一

　　　　　萬四千六百八十五文相較則縂錢多

　　　　　一十三萬四千六百八十五文乃以栗

　　　　　價七十七文與棗價三十六文相減餘

　　　　　四十一文為一率一枚為二率多一十

　　　　　三萬四千六百八十五文為三率得四

　　　　　率三千二百八十五枚即栗數於共五

　　　　　千枚内減之餘一千七百一十五枚即

　　　　　棗數如以少七萬零三百一十五文為

　　　　　三率得四率一千七百一十五枚亦即

　　　　　棗數也既得栗數則以九枚為一率十

　　　　　一文為二率三千二百八十五枚為三

　　　　　率得四率四千零一十五文即栗之共

　　　　　價既得棗數則以七枚為一率四文為

　　　　　二率一千七百一十五枚為三率得四

　　　　　率九百八十文即棗之共價也如欲先

　　　　　得各價則以四十一文為一率栗價七

　　　　　十七文為二率多一十三萬四千六百

　　　　　八十五文為三率得四率二十五萬二

　　　　　千九百四十五文以六十三除之得四

　　　　　千零一十五文即栗之共價於共錢四

　　　　　千九百九十五文内減之餘九百八十

　　　　　文即棗之共價如以四十一文為一率

　　　　　棗價三十六文為二率少七萬零三百

　　　　　一十五文為三率得四率六萬一千七

　　　　　百四十文以六十三除之得九百八十

　　　　　文亦即棗之共價也此法九章名為貴

　　　　　賤相和盖因栗九枚棗七枚其數不同

　　　　　故用互乗以齊其分得栗六十三枚價

　　　　　七十七文棗六十三枚價三十六文今

　　　　　以六十三枚當一枚則為栗一枚價七

　　　　　十七文棗一枚價三十六文是其價各

　　　　　加六十三倍故将縂錢亦加六十三倍

　　　　　即為栗棗共五千枚共價三十一萬四

　　　　　千六百八十五文而栗一枚比棗一枚

　　　　　其價相差四十一文是知栗價比棗價

　　　　　多四十一文而栗為一枚今共價比棗

　　　　　價多一十三萬四千六百八十五文則

　　　　　栗必為三千二百八十五枚也又棗價

　　　　　比栗價少四十一文而棗為一枚今共

　　　　　價比栗價少七萬零三百一十五文則

　　　　　棗必為一千七百一十五枚也其先求

　　　　　各價者盖因栗價比棗價多四十一文

　　　　　而栗價為七十七文今共價比棗價多

　　　　　一十三萬四千六百八十五文則栗價

　　　　　少為二十五萬二千九百四十五文因

　　　　　各價皆為加六十三倍故以六十三除

　　　　　之得四千零一十五文為栗之共價也

　　　　　又棗價比栗價少四十一文而棗價為

　　　　　三十六文今共價比栗價少七萬零三

　　　　　百一十五文則棗價必為六萬一千七

　　　　　百四十文亦以六十三除之得九百八

　　　　　十文為棗之共價也

　　　　　又法以棗七枚栗九枚共五千枚列於

　　　　　上棗價四文栗價十一文共價四千九

　　　　　百九十五文列於下乃以下棗價四文

　　　　　遍乗上棗七枚栗九枚共五千枚得棗

　　　　　二十八枚栗三十六枚共二萬枚又以

　　　　　上棗七枚遍乗下棗價四文栗價十一

　　　　　文共價四千九百九十五文得棗價二

　　　　　十八文栗價七十七文共價三萬四千

　　　　　九百六十五文兩下相較則棗數與棗

　　　　　價同為二十八彼此減盡棗價比栗數

　　　　　多四十一共價比共數多一萬四千九

　　　　　百六十五爰以多四十一為一率栗九

　　　　　枚為二率多一萬四千九百六十五為

　　　　　三率得四率三千二百八十五枚即栗

　　　　　數於五千枚内減之餘一千七百一十

　　　　　五枚即棗數如以栗價十一文為二率

　　　　　得四率四千零一十五文即栗之共價

　　　　　於四千九百九十五文内減之餘九百

　　　　　八十文即棗之共價也若欲先得棗數

　　　　　則以栗九枚價十一文移於前棗七枚

　　　　　價四文移於後乃以下栗價十一文遍

　　　　　乗上栗九枚棗七枚共五千枚得栗九

　　　　　十九枚棗七十七枚共五萬五千枚又

　　　　　以上栗九枚遍乗下栗價十一文棗價

　　　　　四文共價四千九百九十五文得栗價

　　　　　九十九文棗價三十六文共價四萬四

　　　　　千九百五十五文兩下相較則栗數與

　　　　　栗價同為九十九彼此減盡棗價比棗

　　　　　數少四十一共價比共數少一萬零四

　　　　　十五爰以少四十一為一率棗七枚為

　　　　　二率少一萬零四十五為三率得四率

　　　　　一千七百一十五枚即棗數如以棗價

　　　　　四文為二率得四率九百八十文即棗

　　　　　之共價也此法與方程互乗齊分之理

　　　　　同其先求栗數而以棗數列於前者盖

　　　　　将棗數栗數共數皆加四倍棗價栗價

　　　　　共價皆加七倍則棗數與棗價相同是

　　　　　為每棗一枚價一文夫棗數與棗價既

　　　　　相同而減盡無餘則棗栗共數内之共

　　　　　棗數與棗栗共價内之共棗價亦必相

　　　　　同而減盡無餘所餘者即為共栗價多

　　　　　於共栗數之較是比每栗一枚價一文

　　　　　所多之數是知栗價比栗數多四十一

　　　　　文而栗為九枚栗價為十一文今共栗

　　　　　價比共栗數多一萬四千九百六十五

　　　　　文則栗必為三千二百八十五枚栗價

　　　　　必為四千零一十五文也其先求棗數

　　　　　而以栗數列於前者盖将栗數棗數共

　　　　　數皆加十一倍栗價棗價共價皆加九

　　　　　倍則栗數與栗價相同是為每栗一枚

　　　　　價一文夫栗數與栗價既相同而減盡

　　　　　無餘則栗棗共數内之共栗數與栗棗

　　　　　共價内之共栗價亦必相同而減盡無

　　　　　餘所餘者即為共棗價少於共棗數之

　　　　　較是比每棗一枚價一文所少之數是

　　　　　知棗價比棗數少四十一文而棗為七

　　　　　枚棗價為四文今共棗價比共棗數少

　　　　　一萬零四十五文則棗必為一千七百

　　　　　一十五枚棗價必為九百八十文也

設如有僧一百人給饅首一百箇大僧一人給三箇

　小僧三人給一箇問大小僧數及各得饅首若干

　　　　　法先用互乗以齊其分以大僧一人與

　　　　　小僧三人相乗得三人為乗出之縂僧

　　　　　數即以三人乗饅首一百箇得三百箇

　　　　　為乗出之共饅首數又以小僧三人乗

　　　　　大僧饅首三箇得九箇為乗出之大僧

　　　　　饅首數以大僧一人乗小僧饅首一箇

　　　　　仍得一箇為乗出之小僧饅首數然後

　　　　　以共僧一百人與大僧饅首九箇相乗

　　　　　得九百箇與乗出之共饅首三百箇相

　　　　　較則共饅首少六百箇又以共僧一百

　　　　　人與小僧饅首一箇相乗得一百箇與

　　　　　乗出之共饅首三百箇相較則共饅首

　　　　　多二百箇乃以大僧饅首九箇與小僧

　　　　　饅首一箇相減餘八箇為一率一人為

　　　　　二率多二百箇為三率得四率二十五

　　　　　人即大僧數於共僧一百人内減之餘

　　　　　七十五人即小僧數如以少六百箇為

　　　　　三率得四率七十五人亦即小僧數也

　　　　　既得僧數則以一人為一率三箇為二

　　　　　率大僧二十五人為三率得四率七十

　　　　　五箇即大僧饅首數又以三人為一率

　　　　　一箇為二率小僧七十五人為三率得

　　　　　四率二十五箇即小僧饅首數也如欲

　　　　　先得饅首數則仍以八箇為一率大僧

　　　　　饅首九箇為二率今多二百箇為三率

　　　　　得四率二百二十五箇三歸之得七十

　　　　　五箇即大僧饅首數於共饅首一百箇

　　　　　内減之餘二十五箇即小僧饅首數如

　　　　　以八箇為一率小僧饅首一箇為二率

　　　　　今少六百箇為三率得四率七十五箇

　　　　　三歸之得二十五箇亦即小僧饅首數

　　　　　也此法用互乗得大僧三人饅首九箇

　　　　　小僧三人饅首一箇今以三人當一人

　　　　　則為大僧一人饅首九箇小僧一人饅

　　　　　首一箇是饅首為加三倍故将共饅首

　　　　　亦加三倍即為共僧一百人共饅首三

　　　　　百箇而大僧一人比小僧一人饅首差

　　　　　八箇是知多八箇而大僧為一人今多

　　　　　二百箇則大僧必為二十五人也又少

　　　　　八箇而小僧為一人今少六百箇則小

　　　　　僧必為七十五人也其先求饅首者因

　　　　　多八箇而大僧饅首為九箇今多二百

　　　　　箇則大僧饅首必為二百二十五箇因

　　　　　饅首為加三倍故以三歸之得七十五

　　　　　箇為大僧饅首數又少八箇而小僧饅

　　　　　首為一箇今少六百箇則小僧饅首必

　　　　　為七十五箇亦以三歸之得二十五箇

　　　　　為小僧饅首數也

　　　　　又法以小僧三人大僧一人共僧一百

　　　　　人列於上小僧饅首一箇大僧饅首三

　　　　　箇共饅首一百箇列於下乃以下小僧

　　　　　饅首一箇遍乗上小僧三人大僧一人

　　　　　共僧一百人仍得原數又以上小僧三

　　　　　人遍乗下小僧饅首一箇大僧饅首三

　　　　　箇共饅首一百箇得小僧饅首三箇大

　　　　　僧饅首九箇共饅首三百箇兩下相較

　　　　　則小僧人數與饅首數同為三彼此減

　　　　　盡大僧饅首數比人數多八共饅首數

　　　　　比共人數多二百爰以多八為一率大

　　　　　僧一人為二率多二百為三率得四率

　　　　　二十五人即大僧數於共一百人内減

　　　　　之餘七十五人即小僧數如以大僧饅

　　　　　首三箇為二率得四率七十五箇即大

　　　　　僧饅首數於共饅首一百箇内減之餘

　　　　　二十五箇即小僧饅首數也若欲先得

　　　　　小僧數則以大僧一人饅首三箇移於

　　　　　前小僧三人饅首一箇移於後乃以下

　　　　　大僧饅首三箇遍乗上大僧一人小僧

　　　　　三人共僧一百人得大僧三人小僧九

　　　　　人共僧三百人又以上大僧一人遍乗

　　　　　下大僧饅首三箇小僧饅首一箇共饅

　　　　　首一百箇仍得原數兩下相較則大僧

　　　　　與大僧饅首同為三彼此減盡小僧饅

　　　　　首數比人數少八共僧饅首數比共人

　　　　　數少二百爰以少八為一率小僧三人

　　　　　為二率少二百為三率得四率七十五

　　　　　即小僧人數如以小僧饅首一箇為二

　　　　　率得四率二十五箇即小僧饅首數也

　　　　　此法先求大僧數而以小僧列於前者

　　　　　盖将小僧饅首大僧饅首共僧饅首數

　　　　　皆加三倍則小僧人數與饅首數相同

　　　　　是為每小僧一人饅首一箇夫小僧數

　　　　　與饅首數既相同而減盡無餘則共僧

　　　　　數内之共小僧數與共饅首數内之共

　　　　　小僧饅首數亦必相同而減盡無餘所

　　　　　餘者即為大僧共饅首數多於共人數

　　　　　之較是比每大僧一人饅首一箇所多

　　　　　之數是知饅首比人數多八箇而大僧

　　　　　為一人大僧饅首為三箇今饅首比人

　　　　　數多二百箇則大僧必為二十五人大

　　　　　僧饅首必為七十五箇也其先求小僧

　　　　　數而以大僧列於前者盖将大僧小僧

　　　　　共僧數皆加三倍則大僧數與饅首數

　　　　　相同是為每大僧一人饅首一箇夫大

　　　　　僧數與饅首數既相同而減盡無餘則

　　　　　共僧數内之共大僧數與共饅首數内

　　　　　之共大僧饅首數亦必相同而減盡無

　　　　　餘所餘者即為小僧饅首數少於小僧

　　　　　數之較是比每小僧一人饅首一箇所

　　　　　少之數是知少八箇而小僧為三人小

　　　　　僧饅首為一箇今少二百箇則小僧必

　　　　　為七十五人小僧饅首必為二十五箇

　　　　　也

設如有豆三十三石共換黄米京米一十九石止云

　每黄米三石值豆一石每京米一石值豆三石問

　二色米各得㡬何

　　　　　法先用互乗以齊其分以黄米三石與

　　　　　京米一石相乗得三石為乗出之共米

　　　　　數即以三石乗共豆三十三石得九十

　　　　　九石為乗出之共豆數以京米一石乗

　　　　　豆一石仍得一石為乗出黄米所值之

　　　　　豆數以黄米三石乗豆三石得九石為

　　　　　乗出京米所值之豆數然後以共米一

　　　　　十九石用黄米值豆一石乗之仍得一

　　　　　十九石與乗出之共豆九十九石相較

　　　　　則共豆多八十石又以共米一十九石

　　　　　用京米值豆九石乗之得一百七十一

　　　　　石與乗出之共豆九十九石相較則共

　　　　　豆多七十二石乃以黄米值豆一石與

　　　　　京米值豆九石相減餘八石為一率一

　　　　　石為二率少七十二石為三率得四率

　　　　　九石即黄米數於共米十九石内減之

　　　　　餘十石即京米數如以多八十石為三

　　　　　率得四率十石亦即京米數也此法用

　　　　　互乗得黄米三石值豆一石京米三石

　　　　　值豆九石今以米三石當一石則為黄

　　　　　米一石值豆一石京米一石值豆九石

　　　　　是豆為加三倍故将共豆亦加三倍即

　　　　　為共米一十九石共豆九十九石而黄

　　　　　米一石比京米一石所值豆差八石是

　　　　　知豆少八石而黄米為一石今少七十

　　　　　二石則黄米必為九石也又豆多八石

　　　　　而京米為一石今多八十石則京米必

　　　　　為十石也

　　　　　又法以黄米三石京米一石共米一十

　　　　　九石列於上黄米值豆一石京米值豆

　　　　　三石共豆三十三石列於下乃以下黄

　　　　　米值豆一石遍乗上黄米三石京米一

　　　　　石共米一十九石仍得原數又以上黄

　　　　　米三石遍乘下黄米值豆一石京米值

　　　　　豆三石共豆三十三石得黄米值豆三

　　　　　石京米值豆九石共豆九十九石兩下

　　　　　相較則黄米與所值豆同為三石彼此

　　　　　減盡京米所值豆比京米多八石共豆

　　　　　比共米多八十石爰以多八石為一率

　　　　　京米一石為二率多八十石為三率得

　　　　　四率十石即京米數於共米一十九石

　　　　　内減之餘九石即黄米數也如先求黄

　　　　　米數則以京米一石值豆三石移於前

　　　　　黄米三石值豆一石移於後乃以京米

　　　　　值豆三石遍乗上京米一石黄米三石

　　　　　共米一十九石得京米三石黄米九石

　　　　　共米五十七石又以上京米一石遍乗

　　　　　下京米值豆三石黄米值豆一石共豆

　　　　　三十三石仍得原數兩下相較則京米

　　　　　與所值豆俱為三石彼此減盡黄米所

　　　　　值豆比黄米少八石共豆比共米少二

　　　　　十四石爰以少八石為一率黄米三石

　　　　　為二率少二十四石為三率得四率九

　　　　　石即黄米數也此法先求京米數而以

　　　　　黄米列於前者盖将京米所值豆數黄

　　　　　米所值豆數共米所值豆數皆加三倍

　　　　　則黄米數與所值豆數相同是為每黄

　　　　　米一石值豆一石夫黄米數與所值豆

　　　　　數既相同而減盡無餘則共米數内之

　　　　　共黄米數與共豆數内之共黄米所值

　　　　　豆數亦必相同而減盡無餘所餘者即

　　　　　為共京米所值豆數多於共京米之較

　　　　　是比每京米一石值豆一石所多之數

　　　　　是知豆比米多八石而京米為一石今

　　　　　豆比米多八十石則京米必為十石也

　　　　　其先求黄米數而以京米列於前者盖

　　　　　将京米黄米共米皆加三倍則京米數

　　　　　與所值豆數相同是為每京米一石值

　　　　　豆一石夫京米數與所值豆數既相同

　　　　　而減盡無餘則共米數内之共京米數

　　　　　與共豆數内之共京米所值豆數亦必

　　　　　相同而減盡無餘所餘者即為黄米所

　　　　　值豆數比黄米所少之較是比每黄米

　　　　　一石值豆一石所少之數是知豆比米

　　　　　少八石而黄米為三石今豆比米少二

　　　　　十四石則黄米必為九石也

設如有船桅共五十七槳共二百零四但知大船毎

　隻三桅六槳小船每隻一桅八槳問大小船數各

　若干

　　　　　法先用互乗以齊其分以大船三桅與

　　　　　小船一桅相乗得三桅為乗出之共桅

　　　　　數即以三桅乗共槳二百零四得六百

　　　　　一十二為乗出之共槳數以小船一桅

　　　　　乗大船六槳仍得六槳為乗出大船之

　　　　　槳數以大船三桅乗小船八槳得二十

　　　　　四槳為乗出小船之槳數然後以共桅

　　　　　五十七用大船六槳乗之得三百四十

　　　　　二與乗出之共槳六百一十二相較則

　　　　　共槳多二百七十又以共桅五十七用

　　　　　小船二十四槳乘之得一千三百六十

　　　　　八與乗出之共槳六百一十二相較則

　　　　　共槳少七百五十六乃以大船六槳與

　　　　　小船二十四槳相減餘十八槳為一率

　　　　　一桅為二率少七百五十六槳為三率

　　　　　得四率四十二即大船桅數三歸之得

　　　　　十四即大船數也於共桅五十七内減

　　　　　大船桅數餘十五即小船桅數亦即小

　　　　　船數如以得二百七十槳為三率得四

　　　　　率十五亦即小船桅數也此法用互乗

　　　　　得大船三桅六槳小船三桅二十四槳

　　　　　今以三桅當一桅則為大船一桅六槳

　　　　　小船一桅二十四槳是槳為加三倍故

　　　　　将共槳亦加三倍即為共五十七桅共

　　　　　六百一十二槳而大船一桅比小船一

　　　　　桅差十八槳是知少十八槳而大船為

　　　　　一桅今少七百五十六槳則大船必為

　　　　　四十二桅也多十八槳而小船為一桅

　　　　　今多二百七十槳則小船必為十五桅

　　　　　也

　　　　　又法以小船一桅大船三桅共五十七

　　　　　桅列於上小船八槳大船六槳共二百

　　　　　零四槳列於下乃以下小船八槳遍乗

　　　　　上小船一桅大船三桅共五十七桅得

　　　　　小船八桅大船二十四桅共四百五十

　　　　　六桅又以上小船一桅遍乗下小船八

　　　　　槳大船六槳共二百零四槳仍得原數

　　　　　两下相較則小船桅與槳同為八彼此

　　　　　減盡大船桅比槳多十八共桅比共槳

　　　　　多二百五十二爰以多十八為一率大

　　　　　船三桅為二率多二百五十二為三率

　　　　　得四率四十二桅即大船桅數三歸之

　　　　　得十四即大船數於五十七桅内減去

　　　　　大船四十二桅餘十五桅即小船桅數

　　　　　亦即小船數也如欲先得小船數則以

　　　　　大船三桅六槳移於前小船一桅八槳

　　　　　移於後乃以下大船六槳遍乗上大船

　　　　　三桅小船一桅共五十七桅得大船十

　　　　　八桅小船六桅共三百四十二桅又以

　　　　　上大船三桅遍乗下大船六槳小船八

　　　　　槳共二百零四槳得大船十八槳小船

　　　　　二十四槳共六百一十二槳兩下相較

　　　　　則大船桅與槳同為十八彼此減盡小

　　　　　船桅比槳少十八共桅比共槳少二百

　　　　　七十爰以少十八為一率小船一桅為

　　　　　二率少二百七十為三率得四率十五

　　　　　桅即小船桅數亦即小船數也此法先

　　　　　求大船桅數而以小船列於前者盖将

　　　　　小船桅數大船桅數共船桅數皆加八

　　　　　倍則小船桅數與槳數相同是為毎小

　　　　　船一桅一槳夫小船桅數與槳數既相

　　　　　同而減盡無餘則共桅數内之小船共

　　　　　桅數與共槳數内之小船共槳數亦必

　　　　　相同而減盡無餘所餘者即為大船共

　　　　　桅數多於大船共槳數之較是比每大

　　　　　船一桅一槳所多之數是知多十八桅

　　　　　而大船為三桅今多二百五十二桅則

　　　　　大船必為四十二桅也其先求小船桅

　　　　　數而以大船桅數列於前者盖将大船

　　　　　桅數小船桅數共船桅數皆加六倍槳

　　　　　數皆加三倍則大船桅數與槳數相同

　　　　　是為大船一桅一槳夫大船桅數與槳

　　　　　數既相同而減盡無餘則共桅數内之

　　　　　大船共桅數與共槳數内之大船共槳

　　　　　數亦必相同而減盡無餘所餘者即為

　　　　　小船共桅數少於小船共槳數之較是

　　　　　比每小船一桅一槳所少之數是知少

　　　　　十八桅而小船為一桅今少二百七十

　　　　　桅則小船必為十五桅也

設如有銀八十七兩按飯銀馬銀二項分給衆人但

　知三人共給二兩飯銀七人共給五兩馬銀問人

　數及二項銀數各若干

　　　　　法以三人與七人相乗得二十一人又

　　　　　以三人乗馬銀五兩得一十五兩七人

　　　　　乗飯銀二兩得一十四兩爰以十四兩

　　　　　與十五兩相併得二十九兩為一率二

　　　　　十一人為二率共銀八十七兩為三率

　　　　　得四率六十三人即共人數也既得其

　　　　　人數則以三人為一率飯銀二兩為二

　　　　　率共六十三人為三率得四率四十二

　　　　　兩為飯銀數於共銀八十七兩内減之

　　　　　餘四十五兩即馬銀數如以七人為一

　　　　　率馬銀五兩為二率共六十三人為三

　　　　　率得四率四十五兩亦即馬銀數也盖

　　　　　三人給飯銀二兩則二十一人必給飯

　　　　　銀十四兩七人給馬銀五兩則二十一

　　　　　人必給馬銀十五兩夫二十一人既給

　　　　　飯銀十四兩馬銀十五兩是二十一人

　　　　　共給銀二十九兩矣是知有二十九兩

　　　　　為二十一人今有八十七兩則必為六

　　　　　十三人也又三人共給飯銀二兩則六

　　　　　十三人必共給飯銀四十二兩七人共

　　　　　給馬銀五兩則六十三人必共給馬銀

　　　　　四十五兩也

設如賞人飯肉共用碗一百但知二人共飯一碗三

　人共肉一碗問共人數及二項各用碗若干

　　　　　法以二人與三人相乗得六人又以二

　　　　　人乗肉一碗得二碗三人乗飯一碗得

　　　　　三碗爰以三碗二碗相併得五碗為一

　　　　　率六人為二率共碗一百為三率得四

　　　　　率一百二十人即共人數也既得共人

　　　　　數則以二人為一率飯碗一為二率共

　　　　　一百二十人為三率得四率六十為飯

　　　　　碗數於共碗一百内減之餘四十即肉

　　　　　碗數如以三人為一率得四率四十亦

　　　　　即肉碗數也此法因二人共飯三人共

　　　　　肉其數不同故用互乗以齊其分盖二

　　　　　人共飯一碗則六人必共飯三碗三人

　　　　　共肉一碗則六人必共肉二碗夫六人

　　　　　既共飯三碗共肉二碗是六人共用五

　　　　　碗矣是知有五碗為六人今有一百碗

　　　　　則必為一百二十人也又二人共飯一

　　　　　碗則一百二十人必共飯六十碗三人

　　　　　共肉一碗則一百二十人必共肉四十

　　　　　碗也

設如有兵三千四百七十四名每三人給衫絹七十

　尺每四人給褲絹五十尺問縂絹若干

　　　　　法以三人與四人相乗得十二人又以

　　　　　三人乗褲絹五十尺得一百五十尺四

　　　　　人乗衫絹七十尺得二百八十尺爰以

　　　　　十二人為一率二百八十尺與一百五

　　　　　十尺相併得四百三十尺為二率兵三

　　　　　千四百七十四名為三率得四率一十

　　　　　二萬四千四百八十五尺為共絹數也

　　　　　此法與前同但前法以共銀數求共人

　　　　　數故以銀數為一率人數為二率此法

　　　　　以共人數求共絹數故以人數為一率

　　　　　絹數為二率其比例之理一也

設如賞人茶飯酒共用碗一千三百三十八但知三

　人共茶二碗五人共酒三碗七人共飯六碗問共

　人數及三項各用碗若干

　　　　　法先以三人茶二碗五人酒三碗互乗

　　　　　以三人與五人相乗得一十五人又以

　　　　　三人乗酒三碗得九碗五人乗茶二碗

　　　　　得十碗是為十五人共用茶酒十九碗

　　　　　復與七人飯六碗互乗以十五人與七

　　　　　人相乗得一百零五人又以十五人乗

　　　　　飯六碗得九十碗七人乗茶酒共十九

　　　　　碗得一百三十三碗爰以一百三十三

　　　　　碗與九十碗相併得二百二十三碗為

　　　　　一率一百零五人為二率共碗一千三

　　　　　百三十八為三率得四率六百三十人

　　　　　即共人數也既得共人數乃以三人為

　　　　　一率茶碗二為二率共六百三十人為

　　　　　三率得四率四百二十為茶碗數又以

　　　　　五人為一率酒碗三為二率共六百三

　　　　　十人為三率得四率三百七十八為酒

　　　　　碗數又以七人為一率飯碗六為二率

　　　　　共六百三十人為三率得四率五百四

　　　　　十為飯碗數也此法因用碗三項故用

　　　　　兩次互乗以齊其分得一百零五人應

　　　　　用三項碗共二百二十三是知有二百

　　　　　二十三碗為一百零五人今有一千三

　　　　　百三十八碗則必為六百三十人也既

　　　　　得共人數則以各項分數比例求之即

　　　　　得各項碗之共數矣

設如有燈大小二䓁大燈居小燈三分之二但知大

　燈三盞用油四兩小燈四盞用油三兩共用油十

　八斤零七兩問大小燈數各若干

　　　　　法以大燈三盞與小燈四盞相乗得十

　　　　　二盞又以小燈四盞乗大燈用油四兩

　　　　　得大燈用油十六兩以大燈三盞乗小

　　　　　燈用油三兩得小燈用油九兩又将大

　　　　　燈用油十六兩二因之(大燈二分/故用二因)得三

　　　　　十二兩将小燈用油九兩三因之(小燈/三分)

　　　　　(故用/三因)得二十七兩二數相併得五十九

　　　　　兩為一率十二盞為二率共油十八斤

　　　　　七兩通為二百九十五兩為三率得四

　　　　　率六十盞為燈一分之數二因之得一

　　　　　百二十盞即大燈數三因之得一百八

　　　　　十盞即小燈數也此法因有𢃄分而互

　　　　　乗所得之十二盞為一分之衰數又因

　　　　　共油數為大燈二分小燈三分之共數

　　　　　故亦二因十六兩三因九兩併之為五

　　　　　分之衰數是知油五分之衰數五十九

　　　　　兩與燈一分之衰數十二盞之比即同

　　　　　於五分共油二百九十五兩與一分燈

　　　　　數六十盞之比也既得一分為六十盞

　　　　　故二因之得大燈數三因之得小燈數

　　　　　也

設如有銀二十五兩三錢買銅鐡二色其重相䓁鐡

　三斤價四錢銅二斤價五錢問斤數及各價㡬何

　　　　　法以鐡三斤與銅二斤相乗得六斤又

　　　　　以銅二斤乗鐡價四錢得八錢以鐡三

　　　　　斤乗銅價五錢得一兩五錢乃以八錢

　　　　　與一兩五錢相併得二兩三錢為一率

　　　　　六斤為二率縂銀二十五兩三錢為三

　　　　　率得四率六十六斤為銅鐡相䓁之斤

　　　　　數又以鐡三斤為一率價四錢為二率

　　　　　今鐡六十六斤為三率得四率八兩八

　　　　　錢即鐡價於共銀二十五兩三錢内減

　　　　　之餘十六兩五錢即銅價如以銅二斤

　　　　　為一率價五錢為二率今銅六十六斤

　　　　　為三率得四率十六兩五錢亦即銅價

　　　　　也盖鐡三斤價四錢則六斤價八錢銅

　　　　　二斤價五錢則六斤價一兩五錢是銅

　　　　　鐡各六斤而共價為二兩三錢故以二

　　　　　兩三錢與各六斤之比即同於共價二

　　　　　十五兩三錢與各六十六斤之比也既

　　　　　得各斤數則以各價比例求之即得各

　　　　　價數矣

設如有米九百石令甲乙二處各因米價貴賤納之

　其所納之銀適相等甲處米價每石五錢乙處米

　價每石七錢問各米數及共價數㡬何

　　　　　法以乙七錢乗甲一石得七石以甲五

　　　　　錢乗乙一石得五石乃以七石與五石

　　　　　相併得十二石為一率以甲七石為二

　　　　　率縂米九百石為三率得四率五百二

　　　　　十五石即甲處納米之數於九百石内

　　　　　減之餘三百七十五石即乙處納米之

　　　　　數如以乙五石為二率得四率三百七

　　　　　十五石亦即乙處納米之數以甲五百

　　　　　二十五石與每石價五錢相乗得二百

　　　　　六十二兩五錢以乙三百七十五石與

　　　　　每石價七錢相乗亦得二百六十二兩

　　　　　五錢是其所納之銀數適相䓁也盖甲

　　　　　處每石價五錢則七石之價為三兩五

　　　　　錢乙處每石價七錢則五石之價亦為

　　　　　三兩五錢其價相䓁是十二石之中甲

　　　　　應七石乙應五石故以十二石與甲七

　　　　　石之比即同於縂米九百石與甲五百

　　　　　二十五石之比又十二石與乙五石之

　　　　　比即同於縂米九百石與乙三百七十

　　　　　五石之比也

設如空車一日行三十里重車一日行二十里今載

　米至倉徃返足一日問距倉路逺㡬何

　　　　　法以空車行三十里與重車行二十里

　　　　　相乗得六百里又以重車行二十里乗

　　　　　空車一日得二十日以空車行三十里

　　　　　乗重車一日得三十日乃以二十日與

　　　　　三十日相併得五十日為一率六百里

　　　　　為二率一日為三率得四率一十二里

　　　　　即距倉之里數也盖空車一日行三十

　　　　　里則二十日行六百里重車一日行二

　　　　　十里則三十日亦行六百里一徃一返

　　　　　　共五十日是知五十日徃返六百里則

　　　　　　今一日必徃返十二里也

　設如重車一日行五十里輕車一日行七十五里今

　　載米至倉五日徃返三次問距倉里數㡬何

　　　　　　法以重車行五十里與輕車行七十五

　　　　　　里相乗得三千七百五十里又以輕車

　　　　　　行七十五里乗重車一日得七十五日

　　　　　　以重車行五十里乗輕車一日得五十

　　　　　　日乃以七十五日與五十日相併得一

　　　　　　百二十五日為一率三千七百五十里

　　　　　　為二率五日為三率得四率一百五十

　　　　　　里即五日徃返之里數以三次除之得

　　　　　　五十里即距倉之里數也此法與前法

　　　　　　同前法一日徃返一次故所得即距倉

　　　　　　之里數此法五日徃返三次故所得為

　　　　　　徃返三次之里數是以用三次除之而

　　　　　　得距倉之里數也

御製數理精藴下編卷七