御製數理精蘊
御製數理精蘊
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷八
線部六
盈朒(單法/) (雙套/)
盈朒
盈有餘也朒不足也設有餘不足以求適中亦為因
較而得正數之法此固比例法也但比例以實數求
實數而盈朒則以虚數求實數然虚數皆與實數相
較而生盈朒之差則虚數亦實數也比例以所有之
三率求所餘之一率而盈朒則所有為两數且两數
之中各藏一數其實亦三率也其間有一盈一朒者
則以两數相加為相較之率有两盈或两朒者則以
兩數相減為相較之率有一盈一適足或一朒一適
足者則無可加減而或盈或朒之數即其較也法不
一致惟在相較以得其差理本一原惟在互比以得
其實錯綜變幻其用不窮所謂以實御虚和較互見
者庶㡬盡於此矣
一盈一朒
設如有人分銀不知人數亦不知銀數只云每人七
两分之則餘四两每人九两分之則少十二两問
人數及銀數各若干
法以七两與九两相減餘二两為一率
一人為二率盈四两與朒十二两相加
共十六两為三率推得四率八即為人
數以八人與每人七两相乗得五十六
两加盈四两得六十两即為銀數或以
八人與每人九两相乗得七十二两減
朒十二两餘六十两亦為銀數也此法
盖因前設分七两後設分九两是每一
人多分二两也然每人分七两則縂銀
盈四两每人分九两則縂銀朒十二两
是盈朒相差共十六两矣夫一人多分
二两而縂銀差十六两則二两為一人
之所多而十六两為八人之所多可知
矣故二两與一人之比同於十六两與
八人之比而為比例四率也既得人數
以每人七两計之則八人應得五十六
两因銀尚餘四两故加四两得六十两
為銀數也若以每人九两計之則八人
應得七十二两因銀少十二两故減十
二两餘六十两為銀數也此先得人數
之法也
又先得銀數之法用互乗以齊其分以
九两乗盈四两為加九倍得盈三十六
两以七两乗朒十二两為加七倍得朒
八十四两相加得一百二十两為二率
七倍與九倍相減餘二倍為一率一倍
為三率推得四率六十两即為銀數既
得銀數則於六十两内減盈四两餘五
十六两以每人七两除之得八為人數
或於六十两加朒十二两共七十二两
以每人九两除之亦得八為人數也此
法以九两互乗盈四两者将盈四两加
九倍也盈四两加九倍則為盈三十六
两既以盈數加九倍則縂銀數與所分
七两亦皆當加九倍七两加九倍則為
六十三两是則九倍之縂銀每人六十
三两分之盈三十六两也以七两互乗
朒十二两者将朒十二两加七倍也朒
十二两加七倍則為朒八十四两既以
朒數加七倍則縂銀數與所分九两亦
皆當加七倍九两加七倍則亦為六十
三两是則七倍之縂銀每人六十三两
分之朒八十四两也夫每人既皆分六
十三两則是所分之加倍共銀數亦必
相同然九倍銀數則盈七倍銀數則朒
因九倍比七倍多二倍是盈朒相加之
一百二十两即此二倍之銀數也知二
倍為一百二十两即知一倍之為㡬何
矣故以二為一率一百二十两為二率
一為三率推得四率六十两為銀數也
既得銀數則於六十两内減盈四两餘
五十六两即為分七两者之共數而以
七两除之得八人或於六十两加朒十
二两得七十二两即為分九两者之共
數而以九两除之亦得八人也此先得
銀數之法也
又法将盈四两與朒十二两相加得十
六两為一率七两與九两相減餘二两
為二率盈四两為三率得四率五錢與
所分七两相加得七两五錢為每人應
得之數又以五錢除盈四两得八為人
數或仍以十六两為一率二两為二率
以朒十二两為三率得四率一两五錢
與所分九两相減亦得七两五錢為每
人應得之數又以一两五錢除朒十二
两亦得八為人數以八人與每人七两
五錢相乗得六十两為銀數也此法盖
因九兩與七两相較差二两盈四两與
朒十二两相併為十六两是縂銀盈朒
共差十六两由於每人之多二两也今
銀尚盈四两則每人分七两者其每一
分應多五錢而為七两五錢矣故十六
两與二两之比同於四两與五錢之比
而為比例四率也且一人多五錢而共
多四兩則其為八人可知矣故五錢與
一人之比同於四两與八人之比亦為
比例四率也若以朒數論之則縂銀共
差十六两者由於每人少二两今銀朒
十二两則每人分九两者其每一分應
少一两五錢而為七两五錢矣且一人
少一两五錢而共少十二两則其為八
人又可知矣既得人數則以八人與每
人七两五錢相乗得六十两而為縂銀
數也此先得每一人所得銀數之法也
要之第一法先求人數第二法先求物
價第三法先求適足之數立法雖各不
同而各先得其一一得而無不得者實
由於理之一貫者也
設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價只云
每人出銀四兩則不足四兩每人出銀六兩則多
六兩問人數及物價各若干
法以出四兩與出六兩相減餘二兩為
一率一人為二率朒四兩與盈六兩相
加共十兩為三率推得四率五即為人
數以五人與每人四兩相乗得二十两
加朒四兩共得二十四兩即為物價或
以五人與每人六兩相乗得三十兩減
盈六两亦得二十四兩為物價也此法
盖因前設出四兩後設出六兩是每一
人多出二兩也然出四兩則朒四兩出
六兩則盈六兩是盈朒相差共多十兩
矣夫一人多出二兩而縂價即多十两
則二两為一人之所多而十兩為㡬人
之所多可知矣故以比例四率求之而
得五人也既得人數以每人出四兩計
之則五人應出二十两因於物價朒四
兩故加四兩得二十四兩為物價若以
每人出六兩計之則五人應出三十兩
因於物價盈六兩故減六兩亦得二十
四兩為物價也此法與首題第一法盈
朒之加減不同者首題以共人所分共
銀為問故分少則縂銀必盈分多則縂
銀必朒其所謂盈朒者乃銀數之盈朒
故得人數與分銀數相乗加盈減朒而
得銀數也此以共人所出共銀為問故
出少則比物價為朒出多則比物價為
盈其所謂盈朒者乃出數之盈朒故得
人數與出銀數相乗減盈加朒而得物
價也法縂一理但加減盈朒之間少不
同耳
又先得銀數之法以六兩乗朒四兩為
加六倍得朒二十四兩以四兩乗盈六
兩為加四倍得盈二十四两相加得四
十八兩為二率四倍與六倍相減餘二
倍為一率一倍為三率推得四率二十
四兩即為物價既得物價則於二十四
兩内減朒四兩餘二十兩以每人四兩
除之得五即為人數或於二十四兩加
盈六兩共三十兩以每人六兩除之亦
得五為人數也此法盖将朒四兩加六
倍為二十四兩則物價亦當加六倍而
出四兩者亦必加六倍而為出二十四
兩矣将盈六兩加四倍為二十四兩則
物價亦當加四倍而出六兩者亦必加
四倍而為出二十四兩矣夫每人同出
二十四兩則其加倍共出之數亦必相
同然比六倍物價則朒比四倍物價則
盈者因六倍比四倍多二倍是盈朒相
差之四十八兩即二倍物價也故以二
為一率四十八兩為二率一為三率推
得四率二十四兩為物價也既得物價
則於二十四兩減朒四兩餘二十兩即
為出四兩者所共出之數而以四兩除
之得五人或於二十四兩加盈六兩共
三十兩即為出六兩者所共出之數而
以六两除之亦得五人也
又法将朒四兩與盈六两相加共十两
為一率将出四兩與出六兩相減餘二
兩為二率朒四兩為三率得四率八錢
與出四兩相加得四兩八錢為每人應
出之數又以八錢除朒四兩得五為人
數或仍以十两為一率二兩為二率盈
六兩為三率得四率一兩二錢於出六
兩内減之餘四兩八錢亦為每人應出
之數又以一两二錢除盈六兩亦得五
為人數以五人與四两八錢相乗得二
十四兩為物價也此法盖因盈朒之相
差十兩由於每人之多二兩今欲補足
所朒之四兩則每人應多八錢若欲損
所盈之六两則每人應少一兩二錢故
十兩與二兩之比同於四兩與八錢之
比亦同於六兩與一兩二錢之比也且
一人多八錢即益所朒之四兩一人減
一两二錢即損所盈之六兩則其為五
人也可知矣既得人數則以五人與每
人四兩八錢相乗得二十四兩而為物
價之縂銀也
設如衆人乗船渡河每一船載十三人則餘十二人
若每一船載十八人則餘一船問共人數及船數
各若干
法以餘十二人為盈十二人餘一船為
朒十八人乃以每船所載十三人與每
船所載十八人相減餘五人為一率一
船為二率盈十二人與朒十八人相加
共三十人為三率推得四率六即為船
數以六船與每船載十三人相乗得七
十八人加盈十二人得九十為人數或
以六船與每船十八人相乗得一百零
八人減朒十八人亦餘九十為人數也
盖每一船多載五人而盈朒相差為三
十人故五人與一船之比同於三十人
與六船之比也以每船十三人計之六
船共載七十八人加無船之十二人共
九十人以每船十八人計之六船應載
一百零八人因一船無人則減去十八
人餘九十人或減一船餘五船與十八
人相乗亦得九十人也
又先得人數之法以每船載十八人乗
盈十二人為加十八倍得盈二百一十
六人又以每船載十三人乗朒十八人
為加十三倍得朒二百三十四人二數
相加得四百五十人為二率以十三倍
與十八倍相減餘五倍為一率一倍為
三率推得四率九十即為人數減盈十
二人餘七十八人以每船十三人除之
得六為船數或於九十人加朒十八人
共一百零八人以每船十八人除之亦
得六為船數也盖十八人與十三人互
乗皆得二百三十四人而十二人加十
八倍則共人數之加十八倍者為每船
二百三十四人餘二百一十六人也若
以十八人加十三倍則共人數之加十
三倍者為每船二百三十四人又少二
百三十四人也(二百三十四人為/一船所載之人分)十八
倍比十三倍多五倍是盈朒相差之共
四百五十人即五倍人數故五倍與四
百五十人之比即如一倍與九十人之
比也既得人數減去所餘之十二人以
每船十三人除之得船數或加一船之
十八人以每船十八人除之亦得船數
焉
又法将盈十二人與朒十八人相加得
三十人為一率十三人與十八人相減
餘五人為二率盈十二人為三率得四
率二人與每船十三人相加得十五人
為每船應載之數又以二人除盈十二
人得六為船數或仍以三十人為一率
五人為二率以朒十八人為三率得四
率三人與每船十八人相減餘十五人
為每船應載之數又以三人除十八人
亦得六為船數以六船與每船十五人
相乗得九十為人數也盖盈朒之相差
三十人由每船多五人今欲合載所盈
之十二人則每船十三人者應加二人
而為十五人欲分載所朒之十八人則
每船十八人者應減三人而為十五人
也且一船加二人即合載十二人一船
減三人即分載十八人則其為六船也
可知矣
兩盈
設如有人分果不知人數亦不知果數只云每人十
二枚盈十二枚每人十三枚盈六枚問人數與果
數各若干
法以每人十二枚與十三枚相減餘一
枚為一率一人為二率以盈六枚與盈
十二枚相減餘六枚為三率推得四率
六為人數以六人與十二枚相乗得七
十二枚加盈十二枚得八十四枚為果
數若以六人與十三枚相乗得七十八
枚加盈六枚亦得八十四枚為果數也
盖一人多一枚而兩盈相差六枚其為
六人可知故凡所分之數相減餘一者
其盈朒之差即人數也
又先得果數之法以十三枚乗盈十二
枚為加十三倍得盈一百五十六枚以
十二枚乗盈六枚為加十二倍得盈七
十二枚相減餘八十四枚為二率十二
倍與十三倍相減餘一倍為一率仍以
一倍為三率推得四率八十四枚為果
數内減盈十二枚餘七十二枚以每人
十二枚除之得六為人數若於八十四
枚減盈六枚餘七十八枚以每人十三
枚除之亦得六為人數也盖十二倍比
十三倍差一倍則盈朒相差八十四枚
即一倍之果數故凡互乗差一倍者則
互乗所得盈朒之差即為縂數既得人
數又得縂數則以人數除縂數即得每
人所分之數矣
又法以兩盈數相減為一率互乗所得
之兩盈數相減為二率一人為三率得
四率即為每人所應得之數也此題前
二法固以兩盈相減即為人數互乗所
得兩盈相減即為縂數盖因十二與十
三相減餘一數故也其或餘㡬數者亦
即為㡬倍人數或為㡬倍縂數其以人
數除縂數即同於以㡬倍人數除㡬倍
縂數也
設如有緞一疋欲作新帳幔一架先摺作六幅每幅
比舊制長一尺二寸後摺作七幅每幅比舊制長
二寸問緞之長及舊帳之長各若干
法以長一尺二寸用六幅因之得盈七
尺二寸以長二寸用七幅因之得盈一
尺四寸乃以六幅與七幅相減餘一幅
為一率一尺四寸與七尺二寸相減餘
五尺八寸為二率一幅為三率推得四
率五尺八寸為舊帳之長加盈一尺二
寸共七尺以六幅乗之得四十二尺為
緞之長也(若於五尺八寸加二寸得六/尺以七幅乗之亦得四十二)
(尺/)盖摺作六幅每幅盈一尺二寸是六
幅共盈七尺二寸也摺作七幅每幅盈
二寸是七幅共盈一尺四寸也七幅比
六幅多一幅而兩盈相差五尺八寸且
兩盈之數皆比舊帳為盈則五尺八寸
為舊帳之長可知矣既得舊帳之數則
加一尺二寸而以六幅乗之即得緞之
長數也或以六幅與五尺八寸相乗加
盈七尺二寸亦得緞之長數盖七尺二
寸者原係六因一尺二寸所得之數則
加於舊帳而縂乗之與各乗其數而後
加之一也若以七幅算之其理亦同
又先得緞之長法以七幅乗盈七尺二
寸為加七倍得盈五十尺零四寸以六
幅乗盈一尺四寸為加六倍得盈八尺
四寸相減餘四十二尺為二率六倍與
七倍相減餘一倍為一率仍以一倍為
三率推得四率四十二尺為緞之長減
盈七尺二寸以六幅除之得五尺八寸
為舊帳之長也(若減盈一尺四寸以七/幅除之亦得五尺八寸)
盖将六幅加七倍七幅加六倍皆得四
十二幅是七倍緞之長比舊帳四十二
幅長五十尺零四寸六倍緞之長比舊
帳四十二幅長八尺四寸是兩盈相差
四十二尺即一倍緞之長也既得緞之
長則減其共盈數而以幅數除之即得
舊帳之長或先以幅數除之而減其每
幅之盈亦得舊帳之長也
兩朒
設如有銀買馬不知銀數亦不知馬數但云每一匹
十五兩不足八十兩每一匹十三兩仍不足十六
兩問馬數及銀數各若干
法以十三兩與十五兩相減餘二兩為
一率一馬為二率朒十六兩與朒八十
兩相減餘六十四兩為三率推得四率
三十二為馬數以三十二匹與每匹十
五兩相乗得四百八十兩減朒八十兩
得四百两為銀數若以三十二匹與每
匹十三兩相乗得四百一十六兩減朒
十六兩亦得四百兩為銀數也盖一馬
差二兩則縂銀差六十四兩二兩與一
馬之比即同於六十四兩與三十二馬
之比也既得馬數則與每匹之價相乗
而減其所朒之數即得銀數矣
又先得銀數之法以十三兩乗朒八十
兩為加十三倍得朒一千零四十兩以
十五兩乗朒十六兩為加十五倍得朒
二百四十兩相減餘八百两為二率十
三倍與十五倍相減餘二倍為一率一
倍為三率推得四率四百兩為銀數加
朒八十兩共四百八十兩以每匹十五
兩除之得三十二為馬數或於四百兩
加朒十六兩共四百一十六兩以每匹
十三兩除之亦得三十二為馬數也盖
将十五兩加十三倍十三兩加十五倍
皆得一百九十五兩馬價齊同祗十三
倍銀數則朒一千零四十兩十五倍銀
數則朒二百四十兩是兩朒相差八百
兩即二倍之銀數故以四率求之而得
銀數也既得銀數則加其所朒之數以
每匹之價除之即得馬數矣
設如有米易布不知米數亦不知布數但云易布二
十疋則米少一石易布十六疋則米仍少二斗問
米數及布數各若干
法以十六疋與二十疋相減餘四疋為
一率二斗與一石相減餘八斗為二率
一疋為三率推得四率二斗為布每疋
所值米數以二斗與二十疋相乗得四
石減朒一石餘三石為米數若以二斗
與十六疋相乗得三石二斗減朒二斗
亦餘三石為米數既得米數以每疋二
斗除之得十五疋為布數也
又先得米數之法以十六疋乗朒一石
為加十六倍得朒十六石以二十疋乗
朒二斗為加二十倍得朒四石相減餘
十二石為二率十六倍與二十倍相減
餘四倍為一率一倍為三率推得四率
三石為米數加朒一石共四石為一率
二十疋為二率三石為三率得四率十
五疋為布數或於三石加朒二斗共三
石二斗為一率十六疋為二率三石為
三率亦得四率十五疋為布數也盖二
十疋加十六倍十六疋加二十倍皆為
易布三百二十疋而十六倍其米數則
朒十六石二十倍其米數則朒四石是
兩朒相差十二石即相差四倍之米數
故以比例求之得米數也既得米數則
加朒一石為四石即足易布二十疋故
四石與二十疋之比同於三石與十五
疋之比也或加朒二斗得三石二斗即
足易布十六疋故三石二斗與十六疋
之比亦同於三石與十五疋之比也
又先得布數之法以朒二斗與朒一石
相減餘八斗為一率十六疋與十二疋
相減餘四疋為二率朒一石為三率得
四率五疋與二十疋相減餘十五疋為
布數又以五疋為一率朒一石為二率
十五疋為三率推得四率三石為米數
也若仍以八斗為一率四疋為二率朒
二斗為三率則得四率一疋與十六疋
相減亦得十五疋為布數又以一疋為
一率二斗為二率十五疋為三率亦得
四率三石為米數也此法即先求適足
之理盖十五疋即適足之數也
一盈一適足
設如按户納糧不知户數亦不知糧數只云每户三
升盈六石每户二升五合適足問人户及糧數各
若干
法以二升五合與三升相減餘五合為
一率盈六石變為六千合為二率一户
為三率推得四率一千二百為户數與
每户二升五合相乗得三十石為糧數
也盖每户多五合而縂糧多六石其為
一千二百户可知故五合與六石之比
同於一與一千二百之比也(此以一户/為三率者)
(二三率原可互易變/之以明比例之理也)既得户數則與二
升五合相乗適足三十石之數矣若以
一千二百户與每户三升相乗得三十
六石減盈六石亦得三十石為糧數也
又先得糧數之法以二升五合乗盈六
石為加二十五倍(以合為/單位)得盈一百五
十石以三升乗適足為加三十倍仍得
適足(盖全糧一分每户二升五合而適/足若将全糧加三十倍為三十分)
(則二升五合亦當加三十倍為七斗五/升是全糧三十分每户七斗五升仍適)
(足/也)故即以一百五十石為二率将二十
五倍與三十倍相減餘五倍為一率一
倍為三率推得四率三十石為糧數以
每户二升五合除之得一千二百為户
數或加盈六石為三十六石以每户三
升除之亦得一千二百為户數也
設如有井不知其深有繩不知其長只云将繩作三
摺入井長八尺将繩作五摺入井適足問井深繩
長各若干
法以三摺與五摺相減餘二摺為一率
長八尺用三摺因之得盈二丈四尺為
二率一摺為三率推得四率一丈二尺
為井深以五摺乗之得六丈為繩長或
以三摺乗之加盈二丈四尺亦得六丈
為繩長也盖摺作三摺每摺盈八尺是
三摺共盈二丈四尺也五摺比三摺多
二摺而盈與適足無可加減則盈二丈
四尺即為二摺之數其一摺為一丈二
尺矣井深既為五摺之一故一摺之數
即為井深之數也既得井深則以五摺
乗之得繩長之數或以三摺乗之加盈
二丈四尺亦得繩長之數也
又先得繩長之法以五摺乗盈二丈四
尺為加五倍得盈一十二丈以三摺乗
適足為加三倍仍得適足故即以一十
二丈為二率三倍與五倍相減餘二倍
為一率一倍為三率推得四率六丈為
繩長以五摺除之得一丈二尺為井深
或減盈二丈四尺餘三丈六尺以三摺
除之亦得一丈二尺為井深也
一朒一適足
設如計日登程不知日數亦不知路程只云每日行
五十五里則離所欲至之地共差六十里每日行
六十里適足問日數及路程各若干
法以五十五里與六十里相減餘五里
為一率一日為二率朒六十里為三率
推得四率十二為日數與每日六十里
相乗得七百二十里為路數若以日數
十二與每日行五十五里相乗得六百
六十里是不到六十里也加朒六十里
亦得七百二十里也
又先得路程之法以六十里乗朒六十
里為加六十倍得朒三千六百里以五
十五里乗適足為加五十五倍仍得適
足故即以三千六百里為二率五十五
倍與六十倍相減餘五倍為一率一倍
為三率推得四率七百二十里為路程
以每日六十里除之得十二為日數或
於七百二十里内減朒六十里餘六百
六十里以每日五十五里除之亦得十
二為日數也
設如有直田一段欲截一頭作園只云截長十步不
足三十二步截長十二步適足問截積及原濶各
若干
法以十步與十二步相減餘二步為一
率朒三十二步為二率一步為三率推
得四率十六步為原濶與十二步相乗
得一百九十二步為截積或與十步相
乗加朒三十二步亦得一百九十二步
為截積也盖長十步則少三十二步長
十二步則適足是三十二步者即長二
步與原濶相乗之積故以二步除之得
原濶也既得原濶則與截長十二步相
乗得截積或與截長十步相乗加朒三
十二步亦得截積也
又先得截積之法以十二步乗朒三十
二步為加十二倍得朒三百八十四步
以十步乗適足為加十倍仍得適足故
即以三百八十四步為二率以十倍與
十二倍相減餘二倍為一率一倍為三
率推得四率一百九十二步為截積以
截長十二步除之得十六步為原濶或
於一百九十二步内減朒三十二步餘
一百六十步以截長十步除之亦得十
六步為原濶也
䨇套盈朒
盈朒之法皆以每人㡬何而盈㡬何每人㡬何而朒
㡬何為問其首數皆為一故以一人之較與共較為
比例而得人數即欲先求共數不過用一互乗以齊
其分而已故為單法若䨇套則以㡬人㡬何而盈㡬
何㡬人㡬何而朒㡬何為問其首數已不同故必先
用一互乗以齊之而後可以為比若欲先求共數則
用两互乗是以謂之䨇套至於比例相求之理則仍
與單法同也
一盈一朒
設如有人分銀不知人數亦不知銀數只云每四人
分銀三兩則盈六兩每六人分銀九兩則朒三兩
問人數與銀數各若干
法以四人互乗九兩得三十六兩以六
人互乗三兩得十八兩相減餘十八兩
為一率四人六人互乗得二十四人為
二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為
三率推得四率十二即為人數既得人
數乃以四人為一率三兩為二率十二
人為三率推得四率九兩加盈六兩得
十五兩即為銀數或以六人為一率九
兩為二率十二人為三率推得四率十
八兩減朒三兩亦餘十五兩為銀數也
此法必用互乗以齊其數者盖單法以
所分數相減為一率一人為二率盈朒
相加為三率今三兩為四人之所分九
兩為六人之所分不可以相減而為一
率也四人與六人人數不同不可以為
二率也所以必用互乗以齊之一則為
二十四人分十八兩雖為加六倍其比
例仍同於四人分三兩也一則為二十
四人分三十六兩雖為加四倍其比例
仍同於六人分九兩也是以十八兩與
三十六兩相減餘十八兩為二十四人
之所差而盈朒差九兩即知為㡬人之
所差故十八兩與二十四人之比即同
於九兩與十二人之比也既得人數之
後而仍用比例四率者何也盖單法所
分之銀數為一人之所分故以人數與
所分之銀數相乗加盈減朒而即得縂
銀今則所分之銀數為四人或六人之
所分故每㡬人與所分㡬何之比即如
縂人與縂銀之比而得四率加盈減朒
始得縂銀數也
又㨗法以四人歸除三兩每一人應得
七錢五分以六人歸除九兩每一人應
得一兩五錢乃照盈朒單法列之為每
人七錢五分分之盈六兩每人一兩五
錢分之朒三兩是以七錢五分與一兩
五錢相減餘七錢五分為一率一人為
二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為
三率推得四率十二為人數既得人數
則以一人為一率一兩五錢為二率十
二人為三率推得四率十八兩減朒三
兩餘十五兩為銀數也或以每人七錢
五分為二率推得四率九兩加盈六兩
亦得十五兩為銀數也此法以四人除
三兩以六人除九兩皆為度盡之數若
數有竒零度不盡者則必用互乗之法
而後可
又先得銀數之法以四人互乗九兩得
三十六兩又以三十六兩互乗盈六兩
為加三十六倍得盈二百一十六兩以
六人互乗三兩得一十八兩又以一十
八兩互乗朒三兩為加十八倍得朒五
十四兩兩數相加得二百七十兩為二
率十八倍與三十六倍相減餘十八倍
為一率一倍為三率推得四率十五兩
為銀數既得銀數乃以三兩為一率四
人為二率十五兩減盈六兩餘九兩為
三率推得四率十二為人數或以九兩
為一率六人為二率十五兩加朒三兩
共十八兩為三率亦得四率十二為人
數也盖單法以所分之數相減為一率
以所分之數互乗盈朒之數相減為二
率一倍為三率得四率為銀數今則三
兩為四人之所分九兩為六人之所分
其數不同即三兩與九兩互乗亦皆得
二十七兩而一則為三十六人分二十
七兩(加九/倍也)一則為十八人分二十七兩
(加三/倍也)其數亦仍不同不可相為比例故
必以四人六人互乗為二十四人以齊
其人數又必以十八與三十六互乗盈
朒之數以齊其所分銀數然後人數與
所分銀數俱同可以設為比例是以十
八兩加三十六倍三十六兩加十八倍
皆為六百四十八兩即如三十六倍其
銀數則每二十四人分六百四十八兩
盈二百一十六兩若十八倍其銀數則
每二十四人分六百四十八兩朒五十
四兩也然則盈朒相差二百七十兩即
十八倍銀數之所差矣故十八倍與二
百七十兩之比即同於一倍與十五兩
之比而為比例四率也既得銀數而減
盈加朒為比例四率者盖以所分之銀
數與㡬何人之比即如減盈加朒之縂
銀數與縂人數之比也
又先得銀數之法以四人互乗九兩得
三十六兩以六人互乗三兩得十八兩
相減餘十八兩為一率以互乗所得之
十八兩為二率盈六兩與朒三兩相加
得九兩為三率推得四率九兩加盈六
兩得十五兩為銀數(若以三十六兩為/二率則得四率十)
(八兩減朒三兩亦/得十五兩為銀數)既得銀數則以三兩
為一率四人為二率十五兩内減盈六
兩餘九兩為三率推得四率十二為人
數也(若以九兩為一率六人為二率十/五两内加朒三兩共十八兩為三)
(率亦得四率/十二為人數)此法盖合兩四率而為一
四率原法以十八兩為一率二十四人
為二率九兩為三率得四率十二為人
數又如以二十四人為一率十八兩為
二率(與四人為一率三兩為二率者/同因其俱為四與三之比例)十
二人為三率則得四率九兩加盈六兩
得十五兩為銀數今将兩四率合為一
四率則前四率中省以二十四乗後四
率中省以二十四除故以十八兩為一
率又為二率以九兩為三率而得四率
九兩加盈六兩為銀數也
設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價只云
每八人出銀七兩則盈四兩五錢每九人出銀六
兩則朒三兩問人數及物價各若干
法以八人互乗六兩得四十八兩以九
人互乗七兩得六十三兩相減餘十五
兩為一率八人九人互乗得七十二人
為二率盈四兩五錢與朒三兩相加得
七兩五錢為三率推得四率三十六即
為人數既得人數乃以八人為一率七
兩為二率三十六人為三率推得四率
三十一兩五錢減盈四兩五錢餘二十
七兩即為物價或以九人為一率六兩
為二率三十六人為三率推得四率二
十四兩加朒三兩亦得二十七兩為物
價也此法用互乗以齊其數一則變為
七十二人出六十三兩一則變為七十
二人出四十八兩其相差十五兩是十
五兩為七十二人之所差則盈朒相加
之七兩五錢即知為三十六人之所差
故十五兩與七十二人之比即同於七
兩五錢與三十六人之比也既得人數
仍用比例四率以每㡬人與所出㡬何
之比即如縂人與縂銀之比而得數内
減盈加朒即為物價也
又先得銀數之法以八人互乗六兩得
四十八兩又以四十八兩互乗盈四兩
五錢為加四十八倍得盈二百一十六
兩以九人互乗七兩得六十三兩又以
六十三兩互乗朒三兩為加六十三倍
得朒一百八十九兩二數相加得四百
零五兩為二率四十八倍與六十三倍
相減餘十五倍為一率一倍為三率推
得四率二十七兩為銀數既得銀數乃
以七兩為一率八人為二率二十七兩
内加盈四兩五錢共三十一兩五錢為
三率推得四率三十六為人數或以六
兩為一率九人為二率於二十七兩減
朒三兩餘二十四兩為三率亦得四率
三十六為人數也此法用互乗以齊人
數銀數而成比例故八人與九人互乗
皆為七十二人以六十三兩與四十八
兩互乗皆為出三千零二十四兩此數
比四十八倍之物價則盈二百一十六
兩比六十三倍之物價則朒一百八十
九兩其盈朒之相差為四百零五兩其
四十八倍與六十三倍相差為十五倍
以十五倍與四百零五兩之比即同於
一倍與二十七兩之比也既得銀數仍
用比例四率盖以所出之銀數與㡬何
人之比即如加盈減朒之縂銀數與縂
人數之比也
兩盈
設如衆人輪班值日不知人數亦不知日數只云每
四人值五日則盈二十日每八人值九日仍盈八
日問人數及日數各若干
法以四人互乗九日得三十六日以八
人互乗五日得四十日相減餘四日為
一率四人八人互乗得三十二人為二
率盈八日與盈二十日相減餘十二日
為三率推得四率九十六為人數既得
人數乃以四人為一率五日為二率九
十六人為三率推得四率一百二十日
減盈二十日餘一百為日數或以八人
為一率九日為二率九十六人為三率
推得四率一百零八日減盈八日亦餘
一百為日數也此法用互乗以齊其分
一則變為三十二人值四十日一則變
為三十二人值三十六日其相差為四
日知四日為三十二人之所差則兩盈
相減之十二日即知為九十六人之所
差矣既得人數則以每㡬人與值㡬日
之比即同於縂人與縂日之比而於得
數之内減其所盈即為日數也
又先得日數之法以四人互乗九日得
三十六日又以三十六日互乗盈二十
日為加三十六倍得盈七百二十日以
八人互乗五日得四十日又以四十日
互乗盈八日為加四十倍得盈三百二
十日相減餘四百日為二率三十六倍
與四十倍相減餘四倍為一率一倍為
三率推得四率一百為日數既得日數
乃以五日為一率四人為二率一百日
内加盈二十日共一百二十日為三率
推得四率九十六為人數或以九日為
一率八人為二率一百日内加盈八日
共一百零八日為三率亦得四率九十
六為人數也盖八人四人互乗皆為三
十二人三十六日四十日互乗皆為一
千四百四十日然比三十六倍日數則
盈七百二十日比四十倍日數則盈三
百二十日二數相差為四百日三十六
倍與四十倍相差為四倍知四倍之為
四百日即知一倍之為一百日矣既得
日數則以所值之㡬日與㡬人之比即
同於加盈之縂日數與縂人數之比也
兩朒
設如有人分絹分之不盡只云每三人五疋少二十
疋每六人九疋少十疋問人數及絹數各若干
法以三人互乗九疋得二十七疋以六
人互乗五疋得三十疋相減餘三疋為
一率三人六人互乗得一十八人為二
率朒十疋與朒二十疋相減餘十疋為
三率推得四率六十為人數既得人數
則以三人為一率五疋為二率六十人
為三率推得四率一百疋減朒二十疋
餘八十疋為絹數若以六人為一率九
疋為二率六十人為三率推得四率九
十疋減朒十疋亦得八十疋為絹數也
此法用互乗以齊其數一則變為十八
人分三十疋朒二十疋一則變為十八
人分二十七疋朒十疋三十疋比二十
七疋相差三疋朒二十疋比朒十疋相
差十疋知三疋為十八人之所差即知
十疋為六十人之所差故三疋與十八
人之比即同於十疋與六十人之比也
又先得絹數之法以三人乗九疋得二
十七疋六人乗五疋得三十疋相減餘
三疋為一率三十疋為二率朒十疋與
朒二十疋相減餘十疋為三率推得四
率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹
數也(若以二十七疋為二率則求得四/率九十疋減&KR0008;十疋亦得八十疋)
(為絹/數)既得絹數則加朒二十疋共一百
疋為三率五疋為一率三人為二率推
得四率六十為人數也此法亦合兩四
率而為一四率盖原法以三疋為一率
十八人為二率十疋為三率得四率六
十為人數又如以十八人為一率三十
疋為二率(與三人為一率五疋為二率/者同因其俱為三與五之比)
(例/)六十人為三率得四率一百疋減朒
二十疋餘八十疋為絹數今合兩四率
為一四率則前四率中省以一十八乗
後四率中省以一十八除也
一盈一適足
設如衆人支糧每三人支九石盈五十四石每四人
支十四石適足問人數與糧數各若干
法以三人互乗十四石得四十二石以
四人互乗九石得三十六石相減餘六
石為一率三人四人互乗得十二人為
二率盈與適足無可加減即以盈五十
四石為三率推得四率一百零八為人
數既得人數乃以四人為一率十四石
為二率一百零八人為三率推得四率
三百七十八石為糧數或以三人為一
率九石為二率一百零八人為三率推
得四率三百二十四石加盈五十四石
亦得三百七十八石為糧數也此法用
互乗以齊其分一則變為十二人支三
十六石一則變為十二人支四十二石
其相差六石知六石為十二人之所差
即知五十四石為一百零八人之所差
矣既得人數則以每㡬人與支㡬石之
比即同於縂人數與縂糧數之比也
又先得糧數之法以三人互乗十四石
得四十二石又以四十二石互乗盈五
十四石為加四十二倍得盈二千二百
六十八石以四人互乗九石得三十六
石又以三十六石互乗適足為加三十
六倍仍得適足故即以盈二千二百六
十八石為二率三十六倍與四十二倍
相減餘六倍為一率一倍為三率推得
四率三百七十八石為糧數既得糧數
乃以十四石為一率四人為二率三百
七十八石為三率推得四率一百零八
為人數或以九石為一率三人為二率
三百七十八石内減盈五十四石餘三
百二十四石為三率亦得四率一百零
八為人數也盖三十六石與四十二石
互乗皆為支一千五百一十二石然四
十二倍其糧數則盈二千二百六十八
石三十六倍其糧數則適足三十六倍
與四十二倍差六倍知六倍之為二千
二百六十八石即知一倍之為三百七
十八石矣既得糧數則以所支之㡬石
與㡬人之比即同於縂糧數與縂人數
之比也
一朒一適足
設如以車運米每四車載六十石則米少六十石每
三車載四十石則米適足問車數與米數各若干
法以四車互乗四十石得一百六十石
以三車互乗六十石得一百八十石相
減餘二十石為一率三車四車互乗得
十二車為二率朒與適足無可加減即
以朒六十石為三率推得四率三十六
為車數既得車數則以十二車為一率
以互乗所得之一百六十石為二率(與/三)
(車為一率四十石為二率同以/其俱為三與四十之比例也)三十六
車為三率推得四率四百八十石為米
數若将互乗所得之一百八十石為二
率則得四率五百四十石減朒六十石
亦得四百八十石為米數也此法互乗
後一得十二車載一百八十石一得十
二車載一百六十石其相差為二十石
知二十石為十二車之所差即知六十
石為三十六車之所差故二十石與十
二車之比即同於六十石與三十六車
之比也
又先得米數之法欲省互乗則将兩車
數變為同䓁以四車載六十石用四歸
三因為三車載四十五石則兩首數同
矣乃以四十石與四十五石相減餘五
石為一率四十石為二率朒六十石為
三率推得四率四百八十石為米數既
得米數即以四十石為一率三車為二
率四百八十石為三率推得四率三十
六即車數也此法不用互乗止将兩首
數變為同䓁極為簡㨗然必其數可以
度盡為同等者方可用之若其數不能
度盡則必仍用互乗之法焉
御製數理精藴下編卷八