御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷九

　　線部七

　　　借衰互徵

　　　疊借互徵

　　借衰互徵

借衰互徵者有總數而無分數或有分數而無總數

或無總數分數之實率而但有其盈率則不得不别

借一衰數以為比例然後可以得其真數故曰借衰

然而所借之衰又各不同有借於本數之中者有借

於本數之外者借彼徵此借虚徵實故曰互徵葢先

借各項衰數合而為總衰數以總衰數與總真數相

比即若各項衰數與各項真數之比也或先借總衰

數加減出各衰數之較以各衰數之較與真數之較

相比即若總衰數與總真數之比也或以各衰數之

較與真數之較相比即若各項衰數與各項真數之

比也要之皆就比例之法而推廣之耳

設如有銀一千八百兩命甲乙二人按分分之甲分

　比乙分有五倍問甲乙各得幾何

　　　　　法借一為乙衰五為甲衰併之得六為

　　　　　一率總銀一千八百兩為二率乙衰一

　　　　　為三率得四率三百兩即乙所分之數

　　　　　與一千八百兩相減餘一千五百兩即

　　　　　甲所分之數以三百兩與一千五百兩

　　　　　相較則甲有乙之五倍也此法既云甲

　　　　　有乙五倍則是甲有五分乙有一分故

　　　　　借一為乙衰五為甲衰倂之得六為總

　　　　　衰以總衰與總銀之比卽若乙一衰與

　　　　　乙銀一分之比也(此法卽和數比例因/借衰之首故設一最)

　　　　　(易者以發/明其理云)

設如有三官接任共歴一百年第二官比前官加一

　倍零六年第三官比　二官加一倍少二年問每

　官各該幾年

　　　　　法借一衰為第一官年數借二衰多六

　　　　　年為第二官年數借四衰多十年為第

　　　　　三官年數倂三官衰數得七為一率倂

　　　　　後二官共多十六年於總年數内減之

　　　　　餘八十四年為二率第一官一衰為三

　　　　　率得四率十二年為第一官年數倍之

　　　　　加多六年得三十年為第二官年數又

　　　　　倍第二官年數減少二年得五十八年

　　　　　為第三官年數合三數而共為一百年

　　　　　也此法第一官既借一衰則第二官加

　　　　　一倍零六年者當借二衰多六年而第

　　　　　三官既比第二官又加一倍則當借四

　　　　　衰多十二年因少二年故借四衰多十

　　　　　年為第三官衰數也

設如有甲乙丙三人共銀四十四兩乙比甲銀多一

　倍零四兩丙比甲乙二人共數又多六兩求各人

　銀數幾何

　　　　　法借一為甲衰借二多四兩為乙衰借

　　　　　三多十兩為丙衰倂三衰得六為一率

　　　　　併乙丙二人多數為十四兩於總銀内

　　　　　減之餘三十兩為二率甲衰一為三率

　　　　　得四率五兩卽甲銀倍之加多四兩得

　　　　　十四兩為乙銀併甲乙銀又加多六兩

　　　　　得二十五兩即丙銀也此法既以一為

　　　　　甲衰乙比甲加一倍零四兩故借二多

　　　　　四兩為乙衰也丙併甲乙共數多六兩

　　　　　故借三多十兩為丙衰也甲衰一乙衰

　　　　　二併之為三乙比甲多四兩丙比甲乙

　　　　　共數又多六兩併之為十兩也

設如有甲乙二人入山採果共得三百枚但云甲數

　加六百枚乙數加二百枚則甲數比乙數多二倍

　問甲乙各得幾何

　　　　　法借三為甲衰借一為乙衰併之得四

　　　　　為一率以三百枚與六百枚二百枚相

　　　　　加得一千一百為二率乙衰一為三率

　　　　　得四率二百七十五卽乙一分之數減

　　　　　加數二百餘七十五卽乙數以七十五

　　　　　與三百枚相減餘二百二十五卽甲數

　　　　　以乙七十五與甲二百二十五相較則

　　　　　甲多二倍也此法既云甲比乙多二倍

　　　　　則甲為三分乙為一分故借三為甲衰

　　　　　一為乙衰併之為總衰作一率又以原

　　　　　果與兩加數相併為總數作二率葢總

　　　　　衰與總數之比即乙一衰與乙果一分

　　　　　之比也

設如有銀一百九十六兩買駝四匹馬六匹驢十頭

　馬比驢價加一倍零二兩駝比馬價加一倍零四

　兩問各價銀若干

　　　　　法借一衰為驢價以驢十因之得十借

　　　　　二衰多二兩為馬價以馬六因之得十

　　　　　二衰多十二兩(一馬多二兩六/馬故多十二兩)借四衰

　　　　　多八兩為駝價以駝四因之得十六衰

　　　　　多三十二兩(一駝多八兩四駝/故多三十二兩)併三色

　　　　　衰數(驢十馬十/二駝十六)共三十八為一率又併

　　　　　駝馬多價(駝三十二兩/馬十二兩)共四十四兩於

　　　　　總銀内減之餘一百五十二兩為二率

　　　　　驢一衰為三率得四率四兩即驢一頭

　　　　　之價倍之加多二兩得十兩即馬一匹

　　　　　之價又倍之加多四兩得二十四兩即駝

　　　　　一匹之價也此法既借一衰為驢價馬

　　　　　比驢加一倍零二兩故借二衰多二兩

　　　　　為馬價也駝比馬又加一倍當借四衰

　　　　　多四兩再加多馬四兩則四衰多八兩

　　　　　為駝價也乃以各數因之(驢十馬/六駝四)故得

　　　　　各項總衰數也

設如問一人歳數答曰我比弟長二年父年倍我仍

　多兩歳伯父兼我三人歳數再加四年整百歳問

　四人各得年數幾何

　　　　　法借一衰為其弟歳數借一衰零二年

　　　　　為本人歳數倍之得二衰零四年再加

　　　　　多兩歳得二衰零六年為其父歳數總

　　　　　併之得四衰零八年為其伯之歳數即

　　　　　以四衰為一率八年四年相併得十二

　　　　　年與百歳相減餘八十八年為二率其

　　　　　弟一衰為三率得四率二十二即其弟

　　　　　之歳數加長二年得二十四即本人之

　　　　　歳數倍本人歳數再加多兩歳得五十

　　　　　即其父之歳數併三人歳數得九十六

　　　　　即其伯之歳數再加四年是為整百歳

　　　　　也此法既借一衰為其弟歳數本人較

　　　　　長二年故借一衰零二年為本人歳數

　　　　　也其父年比本人加倍又多兩嵗故借

　　　　　二衰零六年為其父歳數也(加倍為二/衰零四年)

　　　　　(又加多兩歳故為/二衰零六年也)將三人歳數相併得

　　　　　四衰零八年為其伯之歳數再加四年

　　　　　方整百嵗則減四年又減所零之八年

　　　　　餘八十八年即四衰相當之數也

設如漏壺一具上有渴烏注水凡十二時而滿下有

　一孔通天池洩水凡十八時而盡若上注下洩問

　幾時可得水滿

　　　　　法以十二時與十八時相乘得二百一

　　　　　十六時卽借二百一十六分為壺水衰

　　　　　數又以十二時與十八時相減餘六時

　　　　　卽借六分為一時水滿分數乃以六分

　　　　　為一率一時為二率二百一十六分為

　　　　　三率得四率三十六卽是水滿一壺之

　　　　　時也此法以十二時乘十八時者卽借

　　　　　一壺水作二百一十六分算也十二時

　　　　　滿二百一十六分則一時滿十八分十

　　　　　八時盡二百一十六分則一時洩十二

　　　　　分一時滿十八分而洩十二分則壺中

　　　　　所存止得六分故以十二減十八餘六

　　　　　分為一時所滿之水也滿水六分既得

　　　　　一時則壺中滿二百一十六分而得三

　　　　　十六時矣

設如漏壺一座注水於内下有三孔大孔流水二時

　而盡中孔流水三時而盡小孔流水六時而盡若

　三孔齊開問水幾時可盡

　　　　　法以大孔之二時乘中孔之三時得六

　　　　　時又以小孔之六時乘之得三十六時

　　　　　卽借三十六分為壺水總衰數以大孔

　　　　　二時除之得十八分以中孔三時除之

　　　　　得十二分以小孔六時除之得六分併

　　　　　三數得三十六為一率一時為二率借

　　　　　衰三十六為三率得四率一時卽一時

　　　　　水可盡也此法葢以三色之數連乘為

　　　　　共分其大孔二時流盡則一時流十八

　　　　　分中孔三時流盡則一時流十二分小

　　　　　孔六時流盡則一時流六分故併三數

　　　　　而為一時所流者有三十六分今壺水

　　　　　止有三十六分故一時可以流盡也

設如有人自鄉上城共一百二十里今行尚未到若

　以行過路六分之一與餘路三分之一相加便是

　到城里數問該若干

　　　　　法借十五衰為一率一百二十里為二

　　　　　率餘路三分卽借三衰為三率得四率

　　　　　二十四里卽到城里數也此法借十五

　　　　　衰為一率者因餘路取三分之一尚餘

　　　　　二分又取行過路六分之一補足餘路

　　　　　二分之數是行過路之一分卽抵餘路

　　　　　之二分也今將餘路一分借一衰則行

　　　　　過路一分當借二衰六分則當借十二

　　　　　衰再加餘路三衰是共得十五衰故十

　　　　　五衰與一百二十里之比卽餘路三分

　　　　　與二十四里之比也(每分該/八里)

設如有井深至底二丈六尺不知水深若干但云自

　水面向上取三分之一從水面往下取四分之一

　相併便是水深數問該幾何

　　　　　法借十三衰為一率二丈六尺為二率

　　　　　自水面往下四分卽借四衰為三率得

　　　　　四率八尺卽水之深也此法借十三衰

　　　　　為一率者因水面往下取四分之一尚

　　　　　餘三分又取水面向上三分之一補足

　　　　　水面下三分之數是水面上之一分卽

　　　　　準水面下之三分也今將水面下一分

　　　　　借一衰則水面上一分當借三衰一分

　　　　　借三衰則三分必當借九衰再加水面

　　　　　下四衰是共得十三衰故十三衰與二

　　　　　丈六尺之比卽水面下四分與八尺之

　　　　　比也

設如有人問此時係何時刻答曰自子正到此時時

　刻折半與自此時到午正三分之一相加便是此

　時時刻

　　　　　法借二衰為自子正到此時衰數(時折/半者)

　　　　　(定為一衰今用/全數故借二衰)又借三衰為自此時到

　　　　　午正衰數(三分故借三衰因三分之一/與折半之數相等故亦將一)

　　　　　(分借/一衰)併之得五衰為子正到午正之分

　　　　　為一率又計子正到午正得十二小時

　　　　　因化為七百二十分為二率自子正到

　　　　　此時二衰為三率得四率二百八十八

　　　　　分收為四小時三刻三分即定為寅正

　　　　　三刻三分也此法因題言自子正到此

　　　　　時時刻折半故以折半數借為一衰今

　　　　　用全數為自子正起算故借二衰題又

　　　　　言到午正時刻三分之一與折半之數

　　　　　相加則是折半數即與三分之一之數

　　　　　相等故將三分亦借為三衰是子正到

　　　　　午正共為五衰矣計子正到午正時刻

　　　　　得七百二十分故五衰與七百二十分

　　　　　之比即二衰與二百八十八分之比既

　　　　　得二百八十八分收為四小時三刻三

　　　　　分即自子正到寅正三刻三分也

設如有人問到日落得幾時答曰自日出到此時時

　刻取四分之一從此時到日落時刻折半兩數相

　加即是此時時分

　　　　　法借二衰為自此時到日落時衰數(時/折)

　　　　　(半者借一衰今用/全數故借二衰)又借四衰為自日出

　　　　　到此時衰數(四分故借四衰因四分之/一與折半之數相等故亦)

　　　　　(將一分/借一衰)併之得六衰為一率又察晝夜

　　　　　長短如自日出至日落止有十小時卽

　　　　　化作六百分為二率自此時到日落二

　　　　　衰為三率得四率二百分收為三小時

　　　　　一刻五分即到日落之時分也此法因

　　　　　題言自此時到日落時刻折半故以折

　　　　　半數借為一衰今用全數則當借為二

　　　　　衰題又言自日出到此時四分之一與

　　　　　折半之數相加則是折半數即與四分

　　　　　之一之數相等故將四分亦借為四衰

　　　　　是日出到日落共為六衰矣如日出至

　　　　　日落時刻得六百分則六衰與六百分

　　　　　之比即二衰與二百分之比故以二百

　　　　　分收為三時一刻五分也

設如有羊一羣不知數目但云賣去三分之一又分

　四分之一另為一羣下餘一千隻問原共數幾何

　　　　　法以兩分母相乘得十二為總衰内減

　　　　　三分之一餘八又減四分之一餘五為

　　　　　一率一千為二率總衰十二為三率得

　　　　　四率二千四百即共數也此法因題言

　　　　　三分之一四分之一兩分子同分母不

　　　　　同故以兩分母相乘為總衰分内減三

　　　　　分之一又減四分之一所餘五即如總

　　　　　數分十二分而一千為其五分也故五

　　　　　衰與一千之比即如十二衰與二千四

　　　　　百之比也

設如有羊一羣不知數目但云賞人七分之五又將

　所餘者賣五分之三尚餘八百隻問原共數若干

　　　　　法以兩分母相乘得三十五為總羊衰

　　　　　數内去七分之五餘一十(將三十五分/為七分每分)

　　　　　(得五今去五分為二/十五故仍餘一十也)又將一十為所餘

　　　　　羊衰數内去五分之三餘四(將一十分/為五分每)

　　　　　(分得二今去三分/為六故仍餘四也)卽以四為一率所餘

　　　　　羊八百隻為二率總衰三十五為三率

　　　　　得四率七千卽原羊共數也此法葢因

　　　　　共數為七千内去七分之五是去五千

　　　　　餘二千又將二千去五分之三是去一

　　　　　千二百仍餘八百故借總衰三十五内

　　　　　去七分之五所餘又去五分之三而得

　　　　　餘衰四以餘衰四與餘羊八百之比卽

　　　　　若總衰三十五與總羊七千之比也此

　　　　　法與前法㣲異者前法雖有三分四分

　　　　　之不同是於總數中計分故其為分則

　　　　　一此法賞人七分之五者是去總數内

　　　　　七分之五而賣五分之三者乃賞人後

　　　　　所餘之五分之三也立法少異故借衰

　　　　　中總分餘分相減亦别至減餘歸四率

　　　　　其比例仍同也

設如有田七百四十二畝内有耕者種者耘者種者

　比耕者得十分之七耘者比種者得五分之三問

　每項各幾何

　　　　　法以兩分母兩分子互相連乘共得一

　　　　　千零五十為耕者衰數此數十分之取

　　　　　其七分得七百三十五為種者衰數此

　　　　　數五分之取其三分得四百四十一為

　　　　　耘者衰數併三衰數得二千二百二十

　　　　　六為一率七百四十二畝為二率以耕

　　　　　者衰數一千零五十為三率得四率三

　　　　　百五十畝即所耕之田以種者衰數七

　　　　　百三十五為三率得四率二百四十五

　　　　　畝即所種之田以耘者衰數四百四十

　　　　　一為三率得四率一百四十七畝即所

　　　　　耘之田也此法因分母分子皆不同恐

　　　　　借數有竒零故即以本題分數連乘之

　　　　　得數後仍依各項分之則衰數無竒零

　　　　　而各分各數俱可比例而得矣

設如逺望一塔上露三丈二尺中有林木遮去三分

　之二下尚露五分之一問共髙若干

　　　　　法先借一數可分為三分五分者乃借

　　　　　三十為總衰此數三分之二得二十又

　　　　　五分之一得六兩數相加得二十六與

　　　　　總衰三十相減餘四為一率上露三丈

　　　　　二尺為二率總衰三十為三率得四率

　　　　　二十四丈卽塔之髙也此法以減餘四

　　　　　衰與上露三丈二尺之比卽總衰三十

　　　　　與塔總髙二十四丈之比也二十四丈

　　　　　三分之二得十六丈五分之一得四丈

　　　　　八尺相加得二十丈零八尺又加上露

　　　　　三丈二尺則共二十四丈也

　　　　　又法於借衰三十内減去三分之二(減/去)

　　　　　(二/十)又減五分之一(減去/六)餘四衰卽以四

　　　　　衰除塔露三丈二尺得八尺是一衰為

　　　　　八尺也一衰為八尺則三十衰自得二

　　　　　百四十尺矣

設如有木匠與瓦匠小工三項分工價瓦匠得木匠

　五分之二小工得木匠四分之一瓦匠比小工多

　一兩二錢問每項工價若干

　　　　　法以兩分母兩分子連乘共得四十為

　　　　　木匠衰數此數五分之二得十六為瓦

　　　　　匠衰數四分之一得十為小工衰數又

　　　　　將十六衰與十衰相減餘六為一率多

　　　　　一兩二錢為二率木匠衰數四十為三

　　　　　率得四率八兩卽木匠價取五分之二

　　　　　得三兩二錢卽瓦匠價取四分之一得

　　　　　二兩卽小工價以二兩與三兩二錢相

　　　　　減餘一兩二錢卽瓦匠多於小工之數

　　　　　也此法亦以題中分母分子連乘作衰

　　　　　數但用瓦匠比小工所多衰數銀數與

　　　　　木匠衰數銀數為比例何也葢各項衰

　　　　　數與各項銀數之比皆同今瓦匠衰數

　　　　　與小工衰數之比卽瓦匠銀數與小工

　　　　　銀數之比也又瓦匠衰數多於小工衰

　　　　　數之六與瓦匠銀數多於小工銀數一

　　　　　兩二錢之比卽同於小工衰數與小工

　　　　　銀數之比又即同於木匠衰數與木匠

　　　　　銀數之比故直以六衰與多一兩二錢

　　　　　為一率二率也

設如有金不足色欲煉成上等好金第一次入爐煅

　去三分之一第二次入爐煅去四分之一第三次

　入爐煅去五分之一第四次入爐煅去六分之一

　方淨剩上等好金二十七兩問原金幾何

　　　　　法借三分四分五分六分俱分得盡之

　　　　　六十為原金總衰此數三分之一得二

　　　　　十四分之一得十五五分之一得十二

　　　　　六分之一得十四數相併得五十七與

　　　　　原借數六十相減餘三為一率淨剩金

　　　　　二十七兩為二率總衰六十為三率得

　　　　　四率五百四十兩卽原金數也此法因

　　　　　原金中鎔銷四次所餘二十七兩故借

　　　　　衰中亦減去四次之數所餘為三衰以

　　　　　三衰與二十七兩之比卽六十衰與五

　　　　　百四十兩之比也

設如有銅不知斤數但云取七分之三作上等儀器

　又取所餘之五分之二作中等儀器又取所餘之

　四分之一作三等儀器仍餘五十四斤問原銅共

　數幾何

　　　　　法以三分母連乘得一百四十為總銅

　　　　　衰數取其七分之三餘八十為二次餘

　　　　　銅衰數(一百四十分為七分每分二十/今去三分為六十仍餘八十也)

　　　　　又將所餘八十取其五分之二餘四十

　　　　　八為三次餘銅衰數(八十分為五分每/分十六今去二分)

　　　　　(為三十二仍/餘四十八也)又將所餘四十八取其四

　　　　　分之一餘三十六為所餘衰數(四十八/分為四)

　　　　　(分每分十二今去一分/十二仍餘三十六也)即以三十六為

　　　　　一率餘銅五十四斤為二率總衰一百

　　　　　四十為三率得四率二百一十斤卽原

　　　　　銅共數也葢二百一十斤内去七分之

　　　　　三是去九十斤餘一百二十斤又將一

　　　　　百二十斤内去五分之二是去四十八

　　　　　斤餘七十二斤又將七十二斤内去四

　　　　　分之一是去十八斤餘五十四斤而與

　　　　　原剩數合也此法亦是按節次另定分

　　　　　數與均分者不同故立衰數亦按節次

　　　　　減去取其餘衰三十六與餘銅五十四

　　　　　斤之比卽若總衰一百四十與總銅二

　　　　　百一十斤之比也

設如問一老人嵗數但云加三分之二減四分之一

　得一百三十六歳求其嵗數幾何

　　　　　法借十二為總衰數此數三分之二為

　　　　　八四分之一為三於總衰十二内加八

　　　　　減三得十七為一率一百三十六嵗為

　　　　　二率總衰十二為三率得四率九十六

　　　　　嵗即老人嵗數也此法借十二衰即三

　　　　　分與四分相乘之數三分四分俱可以

　　　　　分盡也於總衰十二内加八即加三分

　　　　　之二也又減三即減四分之一也所得

　　　　　十七即加減衰數也以加減衰數與加

　　　　　減年數之比即若所借總衰與所得歳

　　　　　數之比也

設如有一數但云其數二分之一三分之一四分之

　一五分之一六分之一共併為五百二十二問原

　數幾何

　　　　　法先借一數可分為二分三分四分五

　　　　　分六分者乃借六十為總衰數此數依

　　　　　法剖之其二分之一為三十其三分之

　　　　　一為二十其四分之一為十五其五分

　　　　　之一為十二其六分之一為十併之得

　　　　　八十七為一率共併數五百二十二為

　　　　　二率總衰六十為三率得四率三百六

　　　　　十即原數也此法借數六十與原數為

　　　　　比者因原數隱而未露故虚借一數作

　　　　　比例以互徵之葢併數八十七者原數

　　　　　為六十併數五百二十二者原數為三

　　　　　百六十其比例同也

設如有馬一羣但云加一倍又加二分之一又加三

　分之一又加四分之一又加一併原數共一百一

　十二匹問原數幾何

　　　　　法先借一數可分為二分三分四分者

　　　　　乃借十二為衰數此數加一倍得二十

　　　　　四又加二分之一為六又加三分之一

　　　　　為四又加四分之一為三共得三十七

　　　　　為一率共數一百一十二減一餘一百

　　　　　一十一為二率衰數十二為三率得四

　　　　　率三十六即原數也此法與前法同但

　　　　　題中又加一匹是真數也故於總數内

　　　　　減去一匹為比例蓋加分所得衰數三

　　　　　十七與加分所得共數一百一十一之

　　　　　比即若所借原衰十二與原數三十六

　　　　　之比也

設如一人為商三次第一次得利比本為三分之二

　將利加入本銀第二次得利比本為四分之三又

　將此利加入本銀第三次得利比本為五分之三

　三次本利共銀一千四百兩問原本銀若干

　　　　　法借六十為本銀衰數取其三分之二

　　　　　得四十與六十相加得一百又將一百

　　　　　取其四分之三得七十五與一百相加

　　　　　得一百七十五又將一百七十五取其

　　　　　五分之三得一百零五與一百七十五

　　　　　相加得二百八十為一率本利共銀一

　　　　　千四百兩為二率原借衰數六十為三

　　　　　率得四率三百兩即原本銀數也葢三

　　　　　百兩三分之二得二百與本銀相加得

　　　　　五百於五百内取四分之三得三百七

　　　　　十五仍與五百相加得八百七十五於

　　　　　八百七十五内取五分之三得五百二

　　　　　十五仍與八百七十五相加得一千四

　　　　　百以合原數其借六十為本銀衰數加

　　　　　三分之二得一百即第一次本利共衰

　　　　　也又加四分之三得一百七十五即第

　　　　　二次本利共衰也又加五分之三得二

　　　　　百八十即第三次本利共衰也以本利

　　　　　共衰與本利共銀之比即如本銀借衰

　　　　　與原有本銀之比也

　　疊借互徵

疊借互徵者因原問内設數隱伏一次借衰尚不能

得其真數故不得不借兩數以比較之先借一數與

原數相較復借一數與原數相較然後據兩較以立

算而真數可得故曰疊借葢以疊借之數比原問之

數或多或少乃作盈朒法算之以求兩借數之較也

故其較之一多一少者用加或兩較俱多兩較俱少

者用減一如盈朒之例以兩差數之較與兩借數之

較為比而得借數與真數之較或以兩借數互乘兩

差數以兩差數之較與互乘所得兩差數之較為比

而得所求之真數其法雖繁實有條理亦借數之巧

也

設如有銀一百兩命甲丙丁三人分之甲比丙多一

　倍丙比丁多二倍問毎人應得幾何

　　　　　法先借十二兩為甲銀衰數則丙應得

　　　　　六兩(比甲少/一倍)丁應得二兩(比丙少/二倍)併三

　　　　　數得二十兩與原銀一百兩相較少八

　　　　　十兩再借二十四兩為甲銀衰數則丙

　　　　　應得十二兩(比甲少/一倍)丁應得四兩(比丙/少二)

　　　　　(倍/)併三數得四十兩與原銀一百兩相

　　　　　較仍少六十兩乃以前借數十二兩少

　　　　　八十兩書於右後借數二十四兩少六

　　　　　十兩書於左作兩不足法算之於是兩

　　　　　少數相減餘二十兩為一率兩借數相

　　　　　減餘十二兩為二率前借數與原數相

　　　　　較之少八十兩為三率得四率四十八

　　　　　兩加入前借數十二兩共得六十兩即

　　　　　甲銀數或以後借數與原數相較之少

　　　　　六十兩為三率得四率三十六兩加入

　　　　　後借數二十四兩亦得六十兩為甲銀

　　　　　數既得甲銀數減一倍得三十兩即丙

　　　　　銀數再取丙銀三分之一得十兩即丁

　　　　　銀數也(因丙銀比丁銀多二倍故於/丙銀中取三分之一即丁銀)此

　　　　　法先借一人銀數加減出三人銀數與

　　　　　原總銀相較得其差數又借一人銀數

　　　　　加減出三人銀數又與原總銀相較復

　　　　　得一差數爰將兩借數相減是得甲一

　　　　　人兩借數之較也又將兩差數相減(因/兩)

　　　　　(差俱少故相減如/一多一少則相加)是得三人兩差數之

　　　　　較也乃以比例求之以三人兩差數之

　　　　　較比一人兩借數之較即同於三人共

　　　　　數與原總銀之差比一人借數與本銀

　　　　　之差也故以二十兩與十二兩之比同

　　　　　於八十兩與四十八兩之比為借數十

　　　　　二兩少於甲本銀之差數或以二十兩

　　　　　與十二兩之比同於六十兩與三十六

　　　　　兩之比為借數二十四兩少於甲本銀

　　　　　之差數各與借數相加皆得甲本銀數

　　　　　也(因其為少故與借數相加若/差數為多則與借數相減)此即盈

　　　　　朒先求適足之法葢兩少數相差二十

　　　　　兩由於兩借數之相差十二兩如欲補

　　　　　足所少之八十兩則應加四十八兩或

　　　　　欲補足所少之六十兩則應加三十六

　　　　　兩也

　　　　　又如欲借兩數所得差數一多一少用

　　　　　相加立算則先借四十八兩為甲銀衰

　　　　　數丙應得二十四兩丁應得八兩併三

　　　　　數得八十兩與原銀一百兩相較少二

　　　　　十兩再借六十六兩為甲銀衰數丙應

　　　　　得三十三兩丁應得十一兩併三數得

　　　　　一百一十兩與原銀一百兩相較則多

　　　　　十兩乃以前借數四十八兩少二十兩

　　　　　書於右後借數六十六兩多十兩書於

　　　　　左作一盈一朒法算之於是一多數一

　　　　　少數相加得三十兩為一率兩借數相

　　　　　減餘十八兩為二率前借數與原數相

　　　　　較之少二十兩為三率得四率十二兩

　　　　　加入前借數四十八兩共得六十兩即

　　　　　甲銀數如以後借數與原數相較之多

　　　　　十兩為三率得四率六兩與後借數六

　　　　　十六兩相減亦得六十兩為甲銀數既

　　　　　得甲銀數其丙丁銀數按分遞減之即

　　　　　得矣

　　　　　又法既得兩借數之差用互乘以齊其

　　　　　分以前借數四十八兩互乘後多十兩

　　　　　為加四十八倍得多四百八十兩以後

　　　　　借數六十六兩互乘前少二十兩為加

　　　　　六十六倍得少一千三百二十兩乃以

　　　　　互乘所得一多一少兩數相加得一千

　　　　　八百兩為二率原一多一少兩數相加

　　　　　得三十兩為一率一人為三率得四率

　　　　　六十兩即甲銀數也葢所加四十八倍

　　　　　與六十六倍相差為十八倍則互乘所

　　　　　得一多一少兩數相差之一千八百兩

　　　　　即十八倍總銀數也(見盈/朒法)然甲銀為總

　　　　　銀之三十分之十八(蓋兩差數之較為/三十則兩借數之)

　　　　　(較為十八少數為二十則借數加一十/二多數為一十則借數減六皆三十與)

　　　　　(十八之/比例也)必為十八倍總銀之三十分之

　　　　　一(葢三十分之十八者將總銀分為三/十分而得其十八分也若十八倍總)

　　　　　(銀則其一分/即十八也)故以三十分與一千八百

　　　　　兩之比即同於一分與六十兩之比即

　　　　　甲銀數也

設如有香爐二座不言重數但知爐葢一個重一百

　五十斤如以葢加甲爐則重於乙爐二倍以葢加

　乙爐乃與甲爐相等求甲乙二爐各重幾何

　　　　　法先借三十斤為甲爐衰數加葢一百

　　　　　五十斤共一百八十斤内取三分之一

　　　　　得六十斤為乙爐衰數(因甲爐加葢比/乙爐重二倍故)

　　　　　(以乙爐衰數定為甲爐/衰數加葢之三分之一)以乙爐衰數加

　　　　　葢一百五十斤共二百一十斤比所借

　　　　　甲爐衰數三十斤多一百八十斤則是

　　　　　所借甲爐衰數三十斤少一百八十斤

　　　　　再借九十斤為甲爐衰數加葢一百五

　　　　　十斤共二百四十斤内取三分之一得

　　　　　八十斤為乙爐衰數以乙爐衰數加葢

　　　　　一百五十斤共二百三十斤比所借甲

　　　　　爐衰數九十斤多一百四十斤則是所

　　　　　借甲爐衰數九十斤少一百四十斤乃

　　　　　以前借甲爐衰數三十斤少一百八十

　　　　　斤書於右後借甲爐衰數九十斤少一

　　　　　百四十斤書於左作兩朒法算之於是

　　　　　兩少數相減餘四十斤為一率兩借數

　　　　　相減餘六十斤為二率前借數與原數

　　　　　相較之少一百八十斤為三率得四率

　　　　　二百七十斤加入前借數三十斤共三

　　　　　百斤即甲爐之重加葢一百五十斤共

　　　　　四百五十斤内取三分之一得一百五

　　　　　十斤即乙爐之重加葢一百五十斤共

　　　　　三百斤與甲爐相等也

　　　　　又法既得兩借數之差用互乗以齊其

　　　　　分以前借數三十斤互乗後少一百四

　　　　　十斤為加三十倍得少四千二百斤以

　　　　　後借數九十斤互乘前少一百八十斤

　　　　　為加九十倍得少一萬六千二百斤乃

　　　　　以互乗所得兩少數相減餘一萬二千

　　　　　斤為二率原兩少數相減餘四十斤為

　　　　　一率甲爐一為三率得四率三百斤即

　　　　　甲爐之重數也葢所加三十倍與九十

　　　　　倍相差為六十倍則互乗所得兩少數

　　　　　相差之一萬二千斤即六十倍總差數

　　　　　也然甲爐重數為總差數之四十分之

　　　　　六十(蓋兩差數之較為四十則兩借數/之較為六十少數為一百八十則)

　　　　　(借數加二百七十皆四/十與六十之比例也)必為六十倍總

　　　　　差數之四十分之一(葢四十分之六十/者將總差數分為)

　　　　　(四十分而得其六十分也若六十/倍總差數則其一分即六十分也)故以

　　　　　四十分與一萬二千斤之比即同於一

　　　　　分與三百斤之比也

設如有銅鑄甲乙二鐘未稱斤數但云取乙鐘銅八

　十斤入甲鐘則所餘得甲鐘四分之一若取甲鐘

　銅八十斤入乙鐘則所餘得乙鐘三分之二問二

　鐘各得銅數若干

　　　　　法先借一百二十斤為甲鐘衰數取乙

　　　　　鐘銅八十斤加入甲鐘則甲鐘得二百

　　　　　斤此數四分之得五十斤(因取乙鐘銅/八十斤入甲)

　　　　　(鐘所餘得甲鐘之四分之一/故四分之為乙鐘之一分)加八十斤

　　　　　得一百三十斤為乙鐘衰數(此乙鐘未/取八十斤)

　　　　　(入甲鐘時得一/百三十斤也)若取甲鐘銅八十斤加

　　　　　入乙鐘則乙鐘得二百一十斤而甲鐘

　　　　　止餘四十斤(甲鐘一百二十斤中去/八十斤故餘四十斤)加

　　　　　一半二十斤得六十斤為乙鐘數(因取/甲鐘)

　　　　　(銅八十斤入乙鐘所餘得乙鐘三分之/二故四十斤為三分之二而加一分為)

　　　　　(二十斤共六十/斤為乙鐘數)而與乙鐘二百一十斤

　　　　　相較則少一百五十斤再借三百六十

　　　　　斤為甲鐘衰數取乙鐘銅八十斤加入

　　　　　甲鐘則甲鐘得四百四十斤此數四分

　　　　　之得一百一十斤(因取乙鐘銅八十斤/入甲鐘所餘得甲鐘)

　　　　　(之四分之一故四分/之為乙鐘之一分)加八十斤得一百

　　　　　九十斤為乙鐘衰數(此乙鐘未取八十/斤入甲鐘時得一)

　　　　　(百九十/斤也)若取甲鐘銅八十斤加入乙鐘

　　　　　則乙鐘得二百七十斤而甲鐘止餘二

　　　　　百八十斤(甲鐘三百六十斤中去八/十斤故餘二百八十斤)加

　　　　　一半一百四十斤得四百二十斤為乙

　　　　　鐘數(因取甲鐘銅八十斤入乙鐘所餘/得乙鐘三分之二故二百八十斤)

　　　　　(為三分之二而加一分為一百四/十斤共四百二十斤為乙鐘數)而與

　　　　　乙鐘二百七十斤相較則多一百五十

　　　　　斤乃將前借數一百二十斤少一百五

　　　　　十斤書於右後借數三百六十斤多一

　　　　　百五十斤書於左用盈朒法算之於是

　　　　　以一多一少兩數相加得三百為一率

　　　　　兩借數相減餘二百四十為二率前借

　　　　　數與乙衰相較之少一百五十斤為三

　　　　　率得四率一百二十斤加前借數一百

　　　　　二十斤共二百四十斤為甲鐘斤數加

　　　　　入乙鐘銅八十斤為三百二十斤四分

　　　　　之得八十斤(既取乙鐘銅八十斤/入甲鐘故餘此數)再加

　　　　　入甲鐘銅八十斤得一百六十斤為乙

　　　　　鐘斤數也

　　　　　又法既得兩借數之差用互乘以齊其

　　　　　分以前借數一百二十斤互乘後多一

　　　　　百五十斤為加一百二十倍得多一萬

　　　　　八千斤以後借數三百六十斤互乗前

　　　　　少一百五十斤為加三百六十倍得少

　　　　　五萬四千斤乃以互乘所得一多一少

　　　　　兩數相加得七萬二千斤為二率原一

　　　　　多一少兩數相加得三百斤為一率甲

　　　　　鐘一為三率得四率二百四十斤即甲

　　　　　鐘重數也葢所加一百二十倍與三百

　　　　　六十倍相差為二百四十倍則互乘所

　　　　　得一多一少兩數相加之七萬二千斤

　　　　　即二百四十倍總差數也然甲鐘重數

　　　　　為總差數之三百分之二百四十必為

　　　　　二百四十倍總差數之三百分之一故

　　　　　以三百分與七萬二千斤之比即同於

　　　　　一分與二百四十斤之比也

設如甲丙二人入山採礦皆不知所得之數但云甲

　與丙二十四兩則所餘得丙之四分之一若丙與

　甲三十兩則所餘得甲之六分之一問兩人各得

　之數若干

　　　　　法先借四十兩為丙之衰數加甲與二

　　　　　十四兩得六十四兩此數四分之得十

　　　　　六兩(因甲得丙四分之一/故將丙數四分也)加二十四兩

　　　　　得四十兩為甲之衰數(因甲與丙二十/四兩所餘得丙)

　　　　　(四分之一故仍以二十/四兩加入為甲衰數也)若丙與甲三十

　　　　　兩則甲得七十兩而丙止餘十兩六因

　　　　　之得六十兩為甲數(因丙與甲三十兩/所餘得甲六分之)

　　　　　(一故將丙之十兩/六因之為甲數)而與甲七十兩相較

　　　　　則少十兩再借六十兩為丙之衰數加

　　　　　甲與二十四兩得八十四兩此數四分

　　　　　之得二十一兩加二十四兩得四十五

　　　　　兩為甲之衰數(其所加所分/之故同前)若丙與甲

　　　　　三十兩則甲得七十五兩而丙止餘三

　　　　　十兩六因之得一百八十兩而與甲七

　　　　　十五兩相較又多一百零五兩乃將前

　　　　　借數四十兩少十兩書於右後借數六

　　　　　十兩多一百零五兩書於左用盈朒法

　　　　　算之於是以一多一少兩數相加得一

　　　　　百一十五為一率兩借數相減餘二十

　　　　　為二率前借數與甲相較之少十兩為

　　　　　三率得四率一兩七錢三分九釐一毫

　　　　　有餘加前借數四十兩共四十一兩七

　　　　　錢三分九釐一毫有餘為丙所得之數

　　　　　此數加二十四兩得六十五兩七錢三

　　　　　分九釐一毫有餘再四分之得一十六

　　　　　兩四錢三分四釐七毫有餘(因甲得丙/銀四分之)

　　　　　(一故四/分之)加入二十四兩得四十兩四錢

　　　　　三分四釐七毫有餘為甲所得之數(甲/既)

　　　　　(與丙二十四兩故止剰一十六兩有餘/若未與丙二十四兩其全數則四十兩)

　　　　　(有餘/也)若將甲數加三十兩得七十兩四

　　　　　錢三分四釐七毫有餘將丙數減三十

　　　　　兩得十一兩七錢三分九釐一毫有餘

　　　　　此丙十一兩七錢三分九釐一毫有餘

　　　　　即為甲七十兩四錢三分四釐七毫有

　　　　　餘之六分之一也(因丙與甲三十兩則/丙數居甲數之六分)

　　　　　(之一故將四十兩有餘再加八丙三十/兩得七十兩有餘則丙數内減去三十)

　　　　　(兩止得十一兩有餘故/為甲數之六分之一也)

　　　　　又法既得兩借數之差用互乘以齊其

　　　　　分以前借數四十兩互乘後多一百零

　　　　　五兩為加四十倍得多四千二百兩以

　　　　　後借數六十兩互乗前少十兩為加六

　　　　　十倍得少六百兩乃以互乗所得一多

　　　　　一少兩數相加得四千八百兩為二率

　　　　　原一多一少兩數相加得一百一十五

　　　　　兩為一率一人為三率得四率四十一

　　　　　兩七錢三分九釐一毫有餘即丙所得

　　　　　之數也葢所加四十倍與六十倍相差

　　　　　為二十倍則互乗所得一多一少兩數

　　　　　相加之四千八百兩即二十倍總差數

　　　　　也然丙數為總差數之一百一十五分

　　　　　之二十必為二十倍總差數之一百一

　　　　　十五分之一故以一百一十五分與四

　　　　　千八百兩之比即同於一分與四十一

　　　　　兩七錢三分九釐一毫有餘之比也

設如有銅缸磁缸二面若於銅缸内添水五十斤則

　比磁缸内水多二倍若於磁缸内添水五十斤則

　與銅缸内水數相等問二缸各得水數若干

　　　　　法先借十斤為銅缸水之衰數加五十

　　　　　斤得六十斤此數三分之得二十斤為

　　　　　磁缸水之衰數(因銅缸加五十斤則比/磁缸水多二倍故三分)

　　　　　(之為磁缸/水衰數也)以磁缸水衰數加五十斤得

　　　　　七十斤(因磁缸加五十斤與銅缸/水相等故亦加五十斤)比所

　　　　　借銅缸水之衰數十斤多六十斤則是

　　　　　所借銅缸水之衰數十斤少六十斤再

　　　　　借二十二斤為銅缸水之衰數加五十

　　　　　斤得七十二斤此數三分之得二十四

　　　　　斤為磁缸水之衰數以磁缸水衰數加

　　　　　五十斤得七十四斤比所借銅缸水之

　　　　　衰數二十二斤多五十二斤則是所借

　　　　　銅缸水之衰數二十二斤少五十二斤

　　　　　乃以前借數十斤少六十斤書於右後

　　　　　借數二十二斤少五十二斤書於左作

　　　　　兩朒法算之於是兩少數相減餘八斤

　　　　　為一率兩借數相減餘十二斤為二率

　　　　　前借數與銅缸相較之少六十斤為三

　　　　　率得四率九十斤加入前借數十斤共

　　　　　一百斤即銅缸之水數加五十斤得一

　　　　　百五十斤三分之得五十斤即磁缸之

　　　　　水數以磁缸水數加五十斤亦得一百

　　　　　斤與銅缸水數相等也

　　　　　又法既得兩借數之差用互乗以齊其

　　　　　分以前借數十斤互乗後少五十二斤

　　　　　為加十倍得少五百二十斤以後借數

　　　　　二十二斤互乗前少六十斤為加二十

　　　　　二倍得少一千三百二十斤乃以互乗

　　　　　所得兩少數相減餘八百斤為二率原

　　　　　兩少數相減餘八斤為一率銅缸一為

　　　　　三率得四率一百斤即銅缸之水數也

　　　　　葢所加十倍與二十二倍相差為十二

　　　　　倍則互乗所得兩少數相差之八百斤

　　　　　即十二倍總差數也然銅缸水數為總

　　　　　差數之八分之十二必為十二倍總差

　　　　　數之八分之一故以八分與八百斤之

　　　　　比即同於一分與一百斤之比也

設如有羊三羣甲羣四百隻丙羣為甲丁兩羣二分

　之一丁羣為甲丙兩羣三分之一問丙丁兩羣羊

　數各若干

　　　　　法先借三百隻為丙羣衰數丙羣既為

　　　　　甲丁兩羣二分之一則甲丁兩羣當有

　　　　　六百隻内減甲羣四百隻餘二百隻為

　　　　　丁羣衰數又併甲丙二羣得七百隻丁

　　　　　羣既為甲丙兩羣三分之一則將丁羣

　　　　　二百隻三因之得六百隻與甲丙兩羣

　　　　　七百隻相較則少一百隻再借二百四

　　　　　十隻為丙羣衰數丙羣既為甲丁兩羣

　　　　　二分之一則甲丁兩羣當有四百八十

　　　　　隻内減甲羣四百隻餘八十隻為丁羣

　　　　　衰數又併甲丙二羣得六百四十隻丁

　　　　　羣既為甲丙兩羣三分之一則將丁羣

　　　　　八十隻三因之得二百四十隻與甲丙

　　　　　兩羣六百四十隻相較則少四百隻乃

　　　　　將前借數三百隻少一百隻書於右後

　　　　　借數二百四十隻少四百隻書於左用

　　　　　兩不足法算之於是以兩少數相減餘

　　　　　三百隻為一率兩借數相減餘六十隻

　　　　　為二率前借數與甲丙兩羣相較之少

　　　　　一百隻為三率得四率二十隻加前借

　　　　　數三百隻共三百二十隻即丙羣之羊

　　　　　數加入甲羣四百隻得七百二十隻三

　　　　　分之得二百四十隻即丁羣之羊數也

　　　　　若併甲丁兩羣得六百四十隻折半得

　　　　　三百二十隻即丙羣為甲丁兩羣二分

　　　　　之一也

　　　　　又法既得兩借數之差用互乗以齊其

　　　　　分以前借數三百隻互乗後少四百隻

　　　　　為加三百倍得少一十二萬隻以後借

　　　　　數二百四十隻互乗前少一百隻為加

　　　　　二百四十倍得少二萬四千隻乃以互

　　　　　乗所得兩少數相減餘九萬六千隻為

　　　　　二率原兩少數相減餘三百隻為一率

　　　　　丙一羣為三率得四率三百二十隻即

　　　　　丙羣之羊數也葢所加三百倍與二百

　　　　　四十倍相差為六十倍則互乗所得兩

　　　　　少數相差之九萬六千隻即六十倍總

　　　　　差數也然丙羣為總差數之三百分之

　　　　　六十必為六十倍總差數之三百分之

　　　　　一故以三百分與九萬六千隻之比即

　　　　　同於一分與三百二十隻之比也

設如有田一百畝令甲乙二人分耕若以甲田三分

　之一與乙以乙田五分之一與甲則各得五十畝

　問甲乙原田數各若干

　　　　　法先借三十畝為甲原田之衰數此數

　　　　　與一百畝相減餘七十畝為乙原田之

　　　　　衰數甲原田三十畝之三分之一為十

　　　　　畝乙原田七十畝之五分之一為十四

　　　　　畝若甲與乙十畝乙與甲十四畝則甲

　　　　　得田三十四畝(甲三十畝與乙十畝餘/二十畝又得乙所與十)

　　　　　(四畝故為/三十四畝)與各五十畝相比則甲少十

　　　　　六畝再借六十畝為甲原田之衰數此

　　　　　數與一百畝相減餘四十畝為乙原田

　　　　　之衰數甲原田六十畝之三分之一為

　　　　　二十畝乙原田四十畝之五分之一為

　　　　　八畝若甲與乙二十畝乙與甲八畝則

　　　　　甲得田四十八畝(甲六十畝與乙二十/畝餘四十畝又得乙)

　　　　　(所與八畝故/為四十八畝)與各五十畝相比則甲少

　　　　　二畝乃將前借數三十畝少十六畝書

　　　　　於右後借數六十畝少二畝書於左用

　　　　　兩不足法算之於是以兩少數相減得

　　　　　十四畝為一率兩借數相減餘三十畝

　　　　　為二率前借數與五十畝相較之少十

　　　　　六畝為三率得四率三十四畝二分八

　　　　　釐有餘加前借數三十畝共六十四畝

　　　　　二分八釐有餘即甲原田之數與一百

　　　　　畝相減餘三十五畝七分一釐有餘即

　　　　　乙原田之數也若甲以其三分之一二

　　　　　十一畝四分二釐有餘與乙而乙以其

　　　　　五分之一七畝一分四釐有餘與甲則

　　　　　兩人各得五十畝矣

　　　　　又法既得兩借數之差用互乗以齊其

　　　　　分以前借數三十畝互乗後少二畝為

　　　　　加三十倍得少六十畝以後借數六十

　　　　　畝互乗前少十六畝為加六十倍得少

　　　　　九百六十畝乃以互乗所得兩少數相

　　　　　減餘九百畝為二率原兩少數相減餘

　　　　　十四畝為一率甲一人為三率得四率

　　　　　六十四畝二分八釐有餘即甲原田之

　　　　　數也葢所加三十倍與六十倍相差為

　　　　　三十倍則互乗所得兩少數相差之九

　　　　　百畝即三十倍總差數也然甲原田為

　　　　　總差數之十四分之三十必為三十倍

　　　　　總差數之十四分之一故以十四分與

　　　　　九百畝之比即同於一分與六十四畝

　　　　　二分八釐有餘之比也

設如甲丙丁三人共有銀二百一十兩只云甲與丙

　四分之一丁與甲二分之一丙與丁三分之一則

　每人均得銀七十兩問各人原有之銀數若干

　　　　　法先借十兩為甲銀衰數此數減四分

　　　　　之一二兩五錢餘七兩五錢與七十兩

　　　　　相減餘六十二兩五錢為丁銀二分之

　　　　　一加一倍得一百二十五兩為丁銀衰

　　　　　數(因甲與丙四分之一丁與甲二分之/一成七十兩故於甲衰十兩内減四)

　　　　　(分之一餘七兩五錢再加六十二兩五/錢方湊成七十兩故以六十二兩五錢)

　　　　　(即為丁銀二分之一加/一倍得丁銀全數也)又併甲丁兩衰

　　　　　數得一百三十五兩與總銀二百一十

　　　　　兩相減餘七十五兩為丙銀衰數(因三/人共)

　　　　　(銀二百一十兩減去甲銀十兩丁銀一/百二十五兩所餘七十五兩即丙之銀)

　　　　　(數/也)又於丙衰七十五兩内減三分之一

　　　　　二十五兩餘五十兩加甲衰四分之一

　　　　　二兩五錢共得五十二兩五錢(因丙與/丁三分)

　　　　　(之一甲與丙四分之一成七十兩故於/丙衰七十五兩内減與丁二十五兩又)

　　　　　(加甲所與二兩五錢/共五十二兩五錢也)此數與七十兩相

　　　　　較則少十七兩五錢再借二十八兩為

　　　　　甲銀衰數此數減四分之一七兩餘二

　　　　　十一兩與七十兩相減餘四十九兩為

　　　　　丁銀二分之一加一倍得九十八兩為

　　　　　丁銀衰數(甲銀減四分之一餘四十九/兩既為丁銀二分之一故加)

　　　　　(一倍即為丁/銀全數也)又併甲丁兩衰數得一百

　　　　　二十六兩與總銀二百一十兩相減餘

　　　　　八十四兩為丙銀衰數(因三人共銀二/百一十兩減去)

　　　　　(甲銀二十八兩丁銀九十八兩/其餘八十四兩即丙之銀數也)又於丙

　　　　　衰八十四兩内減三分之一二十八兩

　　　　　餘五十六兩加甲衰四分之一七兩共

　　　　　得六十三兩(因丙與丁三分之一甲與/丙四分之一成七十兩故)

　　　　　(於丙衰八十四兩内減與丁二十八兩/又加甲所與七兩共得六十三兩也)

　　　　　此數與七十兩相較則少七兩乃將前

　　　　　借數十兩少十七兩五錢書於右後借

　　　　　數二十八兩少七兩書於左用兩不足

　　　　　法算之於是以兩少數相減餘十兩五

　　　　　錢為一率兩借數相減餘十八兩為二

　　　　　率前借數與七十兩相較之少十七兩

　　　　　五錢為三率得四率三十兩加前借十

　　　　　兩共四十兩即甲之銀數減四分之一

　　　　　十兩餘三十兩(因去一分/與丙也)與七十兩相

　　　　　減餘四十兩倍之得八十兩即丁之銀

　　　　　數併甲丁銀數得一百二十兩與總銀

　　　　　二百一十兩相減餘九十兩即丙之銀

　　　　　數也此疊借三色之法也借衰時加減

　　　　　甚繁然條理分明自能了然如此法前

　　　　　借數甲衰十兩丙衰七十五兩丁衰一

　　　　　百二十五兩若於丁衰減去二分之一

　　　　　(減六十二兩/五錢與甲)加丙衰三分之一(丙與丁/二十五)

　　　　　(兩/)得八十七兩五錢與七十兩相較則

　　　　　多十七兩五錢丙差與丁差其數一也

　　　　　至再借二十八兩為甲衰其加減亦與

　　　　　前借數同惟甲成七十兩至丙則少七

　　　　　兩丁則多七兩其數相同故但取丙差

　　　　　數就其兩差之較數以比例之得甲之

　　　　　原銀數也

　　　　　又法既得兩借數之差用互乗以齊其

　　　　　分以前借數十兩互乗後少七兩為加

　　　　　十倍得少七十兩以後借數二十八兩

　　　　　互乗前少十七兩五錢為加二十八倍

　　　　　得少四百九十兩乃以互乗所得兩少

　　　　　數相減餘四百二十兩為二率原兩少

　　　　　數相減餘十兩五錢為一率甲一人為

　　　　　三率得四率四十兩即甲銀數也葢所

　　　　　加十倍與二十八倍相差為十八倍則

　　　　　互乗所得兩少數相差之四百二十兩

　　　　　即十八倍之總差數也然甲銀為總差

　　　　　數之十分半之十八必為十八倍總差

　　　　　數之十分半之一故以十分半與四百

　　　　　二十兩之比即同於一分與四十兩之

　　　　　比也

設如甲丙兩果園不知畝數將甲園擴出五十畝則

　比丙園大二倍若將丙園擴出五十畝則比甲園

　大一倍問兩園原有之畝數若干

　　　　　法借四十畝為甲園衰數加五十畝得

　　　　　九十畝此數三分之得三十畝為丙園

　　　　　衰數(因甲加五十畝比丙園大二倍是/丙園為甲園三分之一也故三分)

　　　　　(之/)將丙園三十畝加五十畝得八十畝

　　　　　與甲園四十畝相較適大一倍此數已

　　　　　合則不必再借故凡疊借法中一借即

　　　　　合原數者皆如此例不必再借也

設如大小兩船雇夫小船每人出銀為大船每人五

　分之四若大船八人小船五人出銀則不足七兩

　若大船六人小船八人出銀則不足三兩問共銀

　及每人各出銀幾何

　　　　　法以五分為大船每人衰數四分為小

　　　　　船每人衰數(因小船每人為大船/每人五分之四也)以五

　　　　　分與大船八人相乗得四十分為大船

　　　　　八人共衰數以四分與小船五人相乗

　　　　　得二十分為小船五人共衰數相加得

　　　　　六十分為大船八人小船五人共出銀

　　　　　共分數又將五分與大船六人相乗得

　　　　　三十分為大船六人共衰數以四分與

　　　　　小船八人相乗得三十二分為小船八

　　　　　人共衰數相加得六十二分為大船六

　　　　　人小船八人共出銀共分數乃將六十

　　　　　分少七兩書於右六十二分少三兩書

　　　　　於左用兩朒求總銀法算之於是以六

　　　　　十分與六十二分相減餘二分為一率

　　　　　以兩少數相減餘四兩為二率一分為

　　　　　三率得四率二兩為每分之銀數與六

　　　　　十分相乗得一百二十兩加少七兩得

　　　　　一百二十七兩為雇夫之總銀數(如與/六十)

　　　　　(二分相乗則得一百二十四兩加少三/兩亦得一百二十七兩為雇夫之總銀)

　　　　　(數/)又以每分二兩與大船每人衰數五

　　　　　分相乗得十兩為大船每人所出銀數

　　　　　以每分二兩與小船每人衰數四分相

　　　　　乗得八兩為小船每人所出銀數也此

　　　　　盈朒内兩朒之正法但因有借分為衰

　　　　　數之故故附於此以備疊借之一體云

設如有石二塊大小不等俱不知重數只有銅條一

　根重十二兩互換稱之而得二石之各重幾何

　　　　　法先將銅條分作十二分每分又作十

　　　　　分用一繩繫於第五分之上(繫於五分/者隨便取)

　　　　　(一數/也)乃以五分加一倍與十二分相較

　　　　　餘二分折半得一分與五分相加為六

　　　　　分乃以五分為一率六分為二率餘二

　　　　　分作二兩為三率(因銅條重十二兩分/為十二分今二分故)

　　　　　(為二/兩也)得四率二兩四錢(此四率是先將/銅條之五分處)

　　　　　(取均平之法葢提繫在五分上必於五/分之端加二兩四錢乃與七分相平也)

　　　　　爰以銅條作秤杆將大石掛在銅條一

　　　　　頭離提繫五分而以小石作錘稱之今

　　　　　離提繫得六分始平記之(如前/圖)又將小

　　　　　石掛在銅條一頭離提繫五分而以大

　　　　　石作錘稱之今離提繫得四分始平亦

　　　　　記之(如後/圖)乃先借二十六兩四錢為大

　　　　　石衰數與前所得二兩四錢相減餘二

　　　　　十四兩(内減二兩四錢者因銅條之五/分一邊必加二兩四錢始平今)

　　　　　(於借衰中減去者所以補足均/平之數然後較物之輕重也)用六分

　　　　　為一率(即小石在/六分之數)五分為二率(即大石/在五分)

　　　　　(之/數)二十四兩為三率(即大石衰中減去/二兩四錢所餘之)

　　　　　(數/)得四率二十兩為小石之衰數(此四/率是)

　　　　　(以大石衰數/求小石衰數)因以小石衰數二十兩與

　　　　　二兩四錢相減餘十七兩六錢(此亦減/去二兩)

　　　　　(四錢因小石移在五分之/一邊補足均平之數也)用四分為一

　　　　　率(即大石在/四分之數)五分為二率(即小石在/五分之數)十

　　　　　七兩六錢為三率(即小石衰中減去二/兩四錢所餘之數)

　　　　　得四率二十二兩(此第二四率又以小/石衰數轉求大石衰)

　　　　　(數試其/合否也)與所借大石衰數二十六兩四

　　　　　錢相較則少四兩四錢再加三十二兩

　　　　　四錢為大石衰數與二兩四錢相減餘

　　　　　三十兩用六分為一率五分為二率三

　　　　　十兩為三率得四率二十五兩為小石

　　　　　之衰數因以小石衰數二十五兩與二

　　　　　兩四錢相減餘二十二兩六錢用四分

　　　　　為一率五分為二率二十二兩六錢為

　　　　　三率得四率二十八兩二錢五分與所

　　　　　借大石衰數三十二兩四錢相較則少

　　　　　四兩一錢五分乃將前借數二十六兩

　　　　　四錢少四兩四錢書於右後借數三十

　　　　　二兩四錢少四兩一錢五分書於左用

　　　　　兩不足法算之於是以兩少數相減餘

　　　　　二錢五分為一率兩借數相減餘六兩

　　　　　為二率前借數與大石衰數相較之少

　　　　　四兩四錢為三率得四率一百零五兩

　　　　　六錢加前借數二十六兩四錢共一百

　　　　　三十二兩即大石之重數又於大石重

　　　　　數内減去二兩四錢餘一百二十九兩

　　　　　六錢用六分為一率五分為二率(即前/以大)

　　　　　(石衰數求小石衰數之法既有大/石真數故仍以前法求小石真數)一百

　　　　　二十九兩六錢為三率得四率一百零

　　　　　八兩為小石之重數也如以四分為一

　　　　　率五分為二率(即前以小石求/大石之重法)於小石

　　　　　重數一百零八兩内減去二兩四錢餘

　　　　　一百零五兩六錢為三率得四率一百

　　　　　三十二兩為大石之重數亦合前數也

　　　　　此法葢因銅條重十二兩而分作十二

　　　　　分設如作一甲乙線為銅條分作十二

　　　　　分每分重一兩提繫在丙處甲丙與丙

　　　　　丁等則其重亦必等如以甲丁與甲乙

　　　　　相減則餘丁乙即丙乙多於甲丙之二

　　　　　分也既多二分必重二兩如以二兩重

　　　　　物掛於乙丁中間之戊處則丙乙自重

　　　　　於甲丙也今欲以物趂之使其兩平則

　　　　　以甲丙五分為一率丙戊六分為二率

　　　　　二兩為三率得四率二兩四錢是將二

　　　　　兩四錢之物加於甲處始得兩平其以

　　　　　丙戊六分為二率者何也葢丙丁與甲

　　　　　　丙等而重者止在丁乙一段而戊為丁

　　　　　　乙之中戊去丙逺甲去丙近惟近故加

　　　　　　重而後可以勝逺之輕若於甲接長二

　　　　　　分則於二分之中施二兩之物即稱平

　　　　　　矣故以二兩四錢加於甲處始能趂平

　　　　　　丁乙之二分也此法數層加減幾用比

　　　　　　例頗覺繁瑣而用方程算之㣲覺簡明

　　　　　　但係疊借本法故兩收之收入疊借者

　　　　　　所以存其理而收入方程者所以取其

　　　　　　簡也

御製數理精藴下編卷九