御製數理精蘊
御製數理精蘊
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十
線部八
方程(和數類變較數類法和較兼用類/和較交 類 附)
方程
方者比也程者式也因設數齊其分以比方之定為
已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以
齊其分使其首數皆同減盡而餘一法一實以得一
數也法雖有三色四色以至多色不過累乗累減亦
歸於一法一實而已其二色者設二行三色者設三
行有幾色者必設幾行若三色設二行四色設三行
即不可算若二色設三行三色設四行則其一行又
可以不用是故解方程者又謂凡設數必成方而後
可算也然其要總在於分和較和數相比者則互乗
而相減較數相比者古人定為正負之名以辨加減
異同之號正負異號則相加正負同號則相減其理
與盈朒同葢正者為主之數負者虚比之數其始也
任以首色為正互乗衆色與首色同類者皆正也與
首色異類者皆負也其繼也以互乗所得之數視正
負之同異而加減之然加減之餘又有正變為負負
變為正者總之因彼此而分正負由多少而成虚實
互乗之後任以一層為主凡異號相加者悉依本層
其號皆不變也若同號相減者本層多其號亦不變
本層少反減者則正變為負負變為正葢此多則彼
少彼少則此多也至於首色減盡則第二色即為首
色故加減之後首色為負者悉變之以便互乗加減
始不淆也今定為例和數者不用正負之號較數者
則用正負之號和較兼用者和仍不用正負之號而
較則用之和較交變者則隨其法而辨别之以定其
號焉或有非方程之本法而可以方程算者則又别
為設問以附其後古人所謂以御錯糅正負者庶乎
盡於此矣
和數類
設如馬四匹牛六頭共價四十八兩馬三匹牛五頭
共價三十八兩問馬牛各價幾何
法以馬四匹牛六頭共價四十八兩列
於上馬三匹牛五頭共價三十八兩列
於下乃以上馬四匹遍乗下馬三匹牛
五頭價銀三十八兩得馬十二匹牛二
十頭價銀一百五十二兩又以下馬三
匹遍乘上馬四匹牛六頭價銀四十八
兩得馬十二匹牛十八頭價銀一百四
十四兩兩下相較則馬各十二匹彼此
減盡牛二十頭内減十八頭餘二頭價
銀一百五十二兩内減一百四十四兩
餘八兩爰以餘牛二頭除餘銀八兩得
四兩卽牛每頭之價以牛五頭乘之得
二十兩為牛五頭之共價於馬牛共價
三十八兩内減去二十兩餘十八兩為
馬三匹之共價以馬三匹除之得六兩
卽馬每匹之價也此法葢以首色二數
遍乘各數使其分數齊等卽互乘齊分
之理故馬四匹遍乘馬三匹牛五頭價
銀三十八兩則為各増四倍馬三匹遍
乘馬四匹牛六頭價銀四十八兩則為
各増三倍兩下各色既俱各増倍分則
其比例皆同是故馬兩下相平而減盡
無餘牛兩下相減餘二頭價銀兩下相
減餘八兩是為相當之數葢一百五十
二兩内減去一百四十四兩卽減去馬
十二匹牛十八頭之共價而所餘之八
兩為牛二頭之價也
又如以牛數列於前馬數列於後則先
得馬價法以牛六頭馬四匹共價四十
八兩列於上牛五頭馬三匹共價三十
八兩列於下乃以下牛五頭遍乘上牛
六頭馬四匹價銀四十八兩得牛三十
頭馬二十匹價銀二百四十兩又以上
牛六頭遍乘下牛五頭馬三匹價銀三
十八兩得牛三十頭馬十八匹價銀二
百二十八兩兩下相較則牛各三十頭
彼此減盡馬二十匹内減十八匹餘二
匹價銀二百四十兩内減二百二十八
兩餘十二兩爰以餘馬二匹除餘銀十
二兩得六兩卽馬每匹之價以馬三匹
乘之得十八兩為馬三匹之共價於牛
馬共價三十八兩内減去十八兩餘二
十兩為牛五頭之共價以牛五頭除之
得四兩卽牛每頭之價也此法用互乘
後則牛兩下相平而減盡無餘馬兩下
相減餘二匹價銀兩下相減餘十二兩
卽為相當之數葢二百四十兩内減去
二百二十八兩卽減去牛三十頭馬十
八匹之共價而所餘之十二兩為馬二
匹之價也大凡方程之法各色俱可以
更互相求者皆如此類也
設如緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩緞一疋
紗四疋紬七疋共價六十兩緞三疋紗五疋紬九
疋共價九十兩問緞紗紬各價幾何
法先以緞二疋紗六疋紬八疋共價八
十四兩列於上緞一疋紗四疋紬七疋
共價六十兩列於下乃以上緞二疋遍
乘下緞一疋紗四疋紬七疋價銀六十
兩得緞二疋紗八疋紬十四疋價銀一
百二十兩又以下緞一疋遍乘上緞二
疋紗六疋紬八疋價銀八十四兩仍得
原數兩下相較則緞各二疋彼此減盡
紗八疋内減六疋餘二疋紬十四疋内
減八疋餘六疋價銀一百二十兩内減
八十四兩餘三十六兩卽為紗二疋紬
六疋價銀三十六兩也(緞既兩下相平/而減盡無餘則)
(所餘紗二疋紬六疋價銀三十六兩即/為相當之數葢一百二十兩内減去八)
(十四兩即減去緞二疋紗六疋紬八疋/之共價而所餘三十六兩為紗二疋紬)
(六疋之/共價也)次以緞一疋紗四疋紬七疋價
銀六十兩列於上緞三疋紗五疋紬九
疋價銀九十兩列於下乃以下緞三疋
遍乘上緞一疋紗四疋紬七疋價銀六
十兩得緞三疋紗十二疋紬二十一疋
價銀一百八十兩又以上緞一疋遍乘
下緞三疋紗五疋紬九疋價銀九十兩
仍得原數兩下相較則緞各三疋彼此
減盡紗十二疋内減五疋餘七疋紬二
十一疋内減九疋餘十二疋價銀一百
八十兩内減九十兩餘九十兩即為紗
七疋紬十二疋價銀九十兩也(緞既兩/下相平)
(而減盡無餘則所餘紗七疋紬十二疋/價銀九十兩即為相當之數葢一百八)
(十兩内減九十兩即減緞三疋紗五疋/紬九疋之共價而所餘九十兩為紗七)
(疋紬十二疋/之共價也)於是將兩次所得之餘作
二色方程算之其紗二疋紬六疋價銀
三十六兩列於上紗七疋紬十二疋價
銀九十兩列於下以下紗七疋遍乗上
紗二疋紬六疋價銀三十六兩得紗十
四疋紬四十二疋價銀二百五十二兩
以上紗二疋遍乗下紗七疋紬十二疋
價銀九十兩得紗十四疋紬二十四疋
價銀一百八十兩兩下相較則紗各十
四疋彼此減盡紬四十二疋内減二十
四疋餘十八疋價銀二百五十二兩内
減一百八十兩餘七十二兩爰以餘紬
十八疋除餘銀七十二兩得四兩即紬
每疋之價以紬六疋乗之得二十四兩
為紬六疋之共價於紗紬共價三十六
兩内減二十四兩餘十二兩為紗二疋
之共價以紗二疋除之得六兩即紗每
疋之價也以緞二疋紗六疋紬八疋共
價八十四兩計之則紗六疋共價三十
六兩紬八疋共價三十二兩紗紬共價
為六十八兩於共價八十四兩内減六
十八兩餘十六兩為緞二疋之共價以
緞二疋除之得八兩即緞每疋之價也
設如有上中下三等人户納糧上等五户中等十二
户下等三户共納糧一石二斗六升又上等四户
二等二户共納糧五斗二升又中等二十户下等
二十五户共納糧一石五斗問上中下三等每户
各納糧幾何
法先以上等五户中等十二户下等三
户納糧一石二斗六升列於上上等四
户(因無中等故作空位以/存其分餘仍對位列之)下等二户納
糧五斗二升列於下乃以下層上等四
户遍乗上層上等五户中等十二户下
等三户納糧一石二斗六升得上等二
十户中等四十八户下等十二户納糧
五石零四升又以上層上等五户遍乗
下層上等四户下等二户納糧五斗二
升得上等二十户下等十户納糧二石
六斗兩下相較則上等各二十户彼此
減盡中等四十八户無可減仍得四十
八户下等十二户内減十户餘二户納
糧五石零四升内減二石六斗餘二石
四斗四升即為中等四十八户下等二
户共納糧二石四斗四升也(上等既兩/下相平而)
(減盡無餘則所餘中等四十八户下等/二户納糧二石四斗四升即為相當之)
(數葢五石零四升内減二石六斗即減/去上等二十户下等十户之共糧數而)
(所餘二石四斗四升為中等四/十八户下等二户之共糧數也)既得中
等四十八户下等二户之二色則中等
二十户下等二十五户亦即為二色故
即作二色方程算之其中等四十八户
下等二户納糧二石四斗四升列於上
中等二十户下等二十五户納糧一石
五斗列於下乃以上層中等四十八户
遍乗下層中等二十户下等二十五户
納糧一石五斗得中等九百六十户下
等一千二百户納糧七十二石又以下
層中等二十户遍乘上層中等四十八
户下等二户納糧二石四斗四升得中
等九百六十户下等四十户納糧四十
八石八斗兩下相較則中等各九百六
十户彼此減盡下等一千二百户内減
四十户餘一千一百六十户納糧七十
二石内減四十八石八斗餘二十三石
二斗爰以所餘下等一千一百六十户
除餘糧二十三石二斗得二升即下等
每户納糧之數以下等二户乘之得四
升為下等二户納糧之共數於中等下
等共納糧二石四斗四升内減四升餘
二石四斗為中等四十八户納糧之共
數以中等四十八户除之得五升即中
等每户納糧之數以上等四户下等二
户共納糧五斗二升計之(因無中户/故省一次)則
下等二户共納糧四升於五斗二升内
減四升餘四斗八升為上等四户納糧
之共數以上等四户除之得一斗二升
即上等每户納糧之數也
設如有銀賞四等人各不知數只云一等一人二等
二人三等三人四等四人共賞銀三十兩又一等
二人二等三人三等四人四等五人共賞銀四十
四兩又一等四人二等五人三等七人四等八人
共賞銀七十七兩又一等六人二等五人三等四
人四等二人共賞銀六十六兩問每等人各賞銀
幾何
法先以一等一人二等二人三等三人
四等四人共銀三十兩列於上一等二
人二等三人三等四人四等五人共銀
四十四兩列於下乃以下一等二人遍
乗上一等一人二等二人三等三人四
等四人共銀三十兩得一等二人二等
四人三等六人四等八人共銀六十兩
又以上一等一人遍乗下一等二人二
等三人三等四人四等五人共銀四十
四兩仍得原數兩下相較則一等各二
人彼此減盡二等兩下相減餘一人三
等兩下相減餘二人四等兩下相減餘
三人共銀兩下相減餘一十六兩即二
等一人三等二人四等三人共銀十六
兩也(葢六十兩内減四十四兩即減去/一等二人二等三人三等四人四)
(等五人之共銀數故所餘之十六兩為/二等一人三等二人四等三人之共銀)
(數/也)次以一等二人二等三人三等四人
四等五人共銀四十四兩列於上一等
四人二等五人三等七人四等八人共
銀七十七兩列於下乃以下一等四人
遍乗上一等二人二等三人三等四人
四等五人共銀四十四兩得一等八人
二等十二人三等十六人四等二十人
共銀一百七十六兩又以上一等二人
遍乗下一等四人二等五人三等七人
四等八人共銀七十七兩得一等八人
二等十人三等十四人四等十六人共
銀一百五十四兩兩下相較則一等各
八人彼此減盡二等兩下相減餘二人
三等兩下相減餘二人四等兩下相減
餘四人共銀兩下相減餘二十二兩即
二等二人三等二人四等四人共銀二
十二兩也(葢一百七十六兩内減一百/五十四兩即減去一等八人)
(二等十人三等十四人四等十六人之/共銀數故所餘之二十二兩為二等二)
(人三等二人四等/四人之共銀數也)次以一等四人二等
五人三等七人四等八人共銀七十七
兩列於上一等六人二等五人三等四
人四等二人共銀六十六兩列於下乃
以下一等六人遍乘上一等四人二等
五人三等七人四等八人共銀七十七
兩得一等二十四人二等三十人三等
四十二人四等四十八人共銀四百六
十二兩又以上一等四人遍乘下一等
六人二等五人三等四人四等二人共
銀六十六兩得一等二十四人二等二
十人三等十六人四等八人共銀二百
六十四兩兩下相較則一等各二十四
人彼此減盡二等兩下相減餘十人三
等兩下相減餘二十六人四等兩下相
減餘四十人共銀兩下相減餘一百九
十八兩即二等十人三等二十六人四
等四十人共銀一百九十八兩也(葢四/百六)
(十二兩内減二百六十四兩即減去一/等二十四人二等二十人三等十六人)
(四等八人之共銀數故所餘之一百九/十八兩為二等十人三等二十六人四)
(等四十人之/共銀數也)於是將三次所得之餘作
三色方程算之先以二等一人三等二
人四等三人共銀十六兩列於上二等
二人三等二人四等四人共銀二十二
兩列於下乃以下二等二人遍乗上二
等一人三等二人四等三人共銀十六
兩得二等二人三等四人四等六人共
銀三十二兩又以上二等一人遍乗下
二等二人三等二人四等四人共銀二
十二兩仍得原數兩下相較則二等各
二人彼此減盡三等兩下相減餘二人
四等兩下相減餘二人共銀兩下相減
餘十兩即三等二人四等二人共銀十
兩也(葢三十二兩内減二十二兩即減/去二等二人三等二人四等四人)
(之共銀數故所餘之十兩為三/等二人四等二人之共銀數也)次以二
等二人三等二人四等四人共銀二十
二兩列於上二等十人三等二十六人
四等四十人共銀一百九十八兩列於
下乃以下二等十人遍乗上二等二人
三等二人四等四人共銀二十二兩得
二等二十人三等二十人四等四十人
共銀二百二十兩又以上二等二人遍
乗下二等十人三等二十六人四等四
十人共銀一百九十八兩得二等二十
人三等五十二人四等八十人共銀三
百九十六兩兩下相較則二等各二十
人彼此減盡三等兩下相減餘三十二
人四等兩下相減餘四十人共銀兩下
相減餘一百七十六兩即三等三十二
人四等四十人共銀一百七十六兩也
(葢三百九十六兩内減二百二十兩即/減去二等二十人三等二十人四等四)
(十人之共銀數故所餘之一百七十六/兩為三等三十二人四等四十人之共)
(銀數也此間兩層相減雖下層數多/於上層然俱係反減故不用變號)於
是又將兩次所得之餘作二色方程算
之其三等二人四等二人共銀十兩列
於上三等三十二人四等四十人共銀
一百七十六兩列於下乃以下三等三
十二人遍乗上三等二人四等二人共
銀十兩得三等六十四人四等六十四
人共銀三百二十兩又以上三等二人
遍乗下三等三十二人四等四十人共
銀一百七十六兩得三等六十四人四
等八十人共銀三百五十二兩兩下相
較則三等各六十四人彼此減盡四等
兩下相減餘十六人共銀兩下相減餘
三十二兩即四等十六人之共銀數以
四等十六人除之得二兩即四等每一
人所應得之數也以四等二人因之得
四兩為四等二人之共銀數於三等二
人四等二人共銀十兩内減之餘六兩
為三等二人之共銀數以三等二人除
之得三兩即三等每一人所應得之數
也以二等一人三等二人四等三人共
銀十六兩計之則三等二人應得六兩
四等三人應得六兩共十二兩於共銀
十六兩内減之餘四兩即二等每一人
所應得之數也再以一等一人二等二
人三等三人四等四人共銀三十兩計
之則二等二人應得八兩三等三人應
得九兩四等四人應得八兩共二十五
兩於共銀三十兩内減之餘五兩即一
等每一人所應得之數也
較數類
設如硯七方比筆三枝價多四百八十文又硯三方
比筆九枝價少一百八十文問硯筆價各若干
法以硯七為正筆三為負價多四百八
十文為正(多為硯比筆之所多/與硯同類故亦為正)列於上
又以硯三為正筆九為負價少一百八
十文為負(少為硯比筆之所少即為筆/比硯之所多與筆同類故亦)
(為/負)列於下乃以下硯三遍乘上硯七筆
三價多四百八十文得硯二十一為正
筆九為負價多一千四百四十文為正
又以上硯七遍乗下硯三筆九價少一
百八十文得硯二十一為正筆六十三
為負價少一千二百六十文為負兩下
相較則硯各二十一彼此減盡筆九枝
與六十三枝兩層皆負故相減餘五十
四枝價多一千四百四十文與少一千
二百六十文一正一負故相加得二千
七百文乃筆五十四枝之共價以減餘
筆五十四除之得五十文即筆每一枝
之價以三因之得一百五十文為筆三
枝之共價與硯多四百八十文相加得
六百三十文為硯七方之共價以硯七
除之得九十文即硯每一方之價也此
法用互乗則上層為硯二十一方比筆
九枝價多一千四百四十文下層為硯
二十一方比筆六十三枝價少一千二
百六十文夫硯既皆二十一方則其共
價必相等然比筆九枝之價則多比筆
六十三枝之價則少是多與少相加之
二千七百文即筆九枝與筆六十三枝
相差之五十四枝之價也筆五十四枝
共價為二千七百文則筆一枝價五十
文而筆三枝價為一百五十文矣硯七
方比筆三枝價既多四百八十文則於
一百五十文加四百八十文共六百三
十文即硯七方之共價故以硯七除之
得九十文為硯每一方之價也
設如有甲丙二馬羣各不知數只云甲三羣比丙二
羣多一千五百三十匹甲二羣與丙七羣相等問
甲丙每羣馬數各幾何
法以甲三羣為正丙二羣為負多一千
五百三十匹為正列於上又以甲二羣
為正丙七羣為負相等作一空位(相等/無數)
(可列故作一/○以存其位)列於下乃以下甲二羣遍
乗上甲三羣丙二羣多一千五百三十
匹得甲六羣仍為正丙四羣仍為負多
三千零六十匹亦仍為正又以上甲三
羣遍乗下甲二羣丙七羣得甲六羣仍
為正丙二十一羣為負相等無可乘亦
仍為空位兩下相較則甲各六羣彼此
減盡丙四羣與丙二十一羣兩層皆負
故相減餘十七羣多三千零六十匹與
相等無可加減仍得三千零六十匹乃
丙十七羣之共數以減餘丙十七羣除
之得一百八十匹為丙每羣之數七因
之得一千二百六十匹為丙七羣之共
數甲二羣既與丙七羣相等則一千二
百六十匹亦即為甲二羣之共數以甲
二羣除之得六百三十匹即甲每羣之
數也此法用互乗則上層為甲六羣比
丙四羣多三千零六十匹下層為甲六
羣與丙二十一羣相等甲六羣既與丙
二十一羣相等則丙二十一羣比丙四
羣多三千零六十匹兩下各減丙四羣
則為丙十七羣共馬三千零六十匹矣
丙十七羣既為共馬三千零六十匹則
丙一羣得馬一百八十匹而丙七羣為
馬一千二百六十匹甲二羣既與丙七
羣相等則一千二百六十匹用甲二羣
除之得六百三十匹即甲每羣之數也
設如有錢買桃蘋果梨三色各不知價只云桃三箇
比蘋果二箇梨二箇價多二十四文桃二箇梨三
箇比蘋果五箇價少十二文桃四箇蘋果三箇比
梨八箇價多一百零八文問桃蘋果梨各價幾何
法先以桃三為正蘋果二梨二為負價
多二十四文為正列於上又以桃二為
正蘋果五為負梨三為正價少十二文
為負列於下乃以下桃二遍乗上桃三
蘋果二梨二價多工十四文得桃六仍
為正蘋果四為負梨四為負價多四十
八文為正(即桃六比蘋果四梨四價多/四十八文比原數加二倍)
又以上桃三遍乗下桃二蘋果五梨三
價少十二文得桃六仍為正蘋果十五
為負梨九為正價少三十六文為負(即/桃)
(六梨九比蘋果十五價少/三十六文比原數加三倍)於是任以上
層為主兩下相較則桃各六彼此減盡
蘋果兩層皆負故相減餘十一本層少
反減故變負為正且為首一色減盡其
次一色即轉而為首故亦變負為正梨
一正一負故相加得十三仍依本層為
負多四十八文與少三十六文相加得
八十四文仍依本層為正即為蘋果十
一比梨十三價多三十四文也(葢桃彼/此減盡)
(蘋果上層少四下層少十五是下層比/上層所少為十一即上層比下層多十)
(一也梨上層少四下層多九下之所多/即上之所少是上層比下層少十三也)
(錢上層多四十八文下層少三十六文/下之所少即上之所多是上層比下層)
(多八十四文也蘋果多十一梨少十三/錢即多八十四文故為蘋果十一比梨)
(十三價多八/十四文也)復以桃二為正蘋果五為
負梨三為正價少十二文為負列於上
又以桃四蘋果三為正梨八為負價多
一百零八文為正列於下乃以上桃二
遍乗下桃四蘋果三梨八價多一百零
八文得桃八仍為正蘋果六亦仍為正
梨十六為負價多二百一十六文為正
(即桃八蘋果六比梨十六價多/二百一十六文比原數加二倍)又以下
桃四遍乗上桃二蘋果五梨三價少十
二文得桃八仍為正蘋果二十為負梨
十二為正價少四十八文為負(即桃八/梨十二)
(比蘋果二十價少四十/八文比原數加四倍)於是仍以上層
為主兩下相較則桃各八彼此減盡蘋
果一正一負故相加得二十六仍依本
層為正梨一正一負故相加得二十八
仍依本層為負多二百一十六文與少
四十八文相加得二百六十四文亦仍
依本層為正即為蘋果二十六比梨二
十八價多二百六十四文也(葢桃彼此/減盡蘋果)
(上層多六下層少二十下之所少即上/之所多是上層比下層多二十六也梨)
(上層少十六下層多十二下之所多即/上之所少是上層比下層少二十八也)
(錢上層多二百一十六文下層少四十/八文下之所少即上之所多是上層比)
(下層多二百六十四文也蘋果多二十/六梨少二十八錢即多二百六十四文)
(故為蘋果二十六比梨二十/八價多二百六十四文也)爰將兩次
所得之餘作二色方程算之其蘋果十
一為正梨十三為負價多八十四文為
正列於上蘋果二十六為正梨二十八
為負價多二百六十四文為正列於下
乃以上蘋果十一遍乘下蘋果二十六
梨二十八價多二百六十四文得蘋果
二百八十六為正梨三百零八為負價
多二千九百零四文為正(即蘋果二百/八十六比梨)
(三百零八價多二千九百/零四文比原數加十一倍)又以下蘋果
二十六遍乗上蘋果十一梨十三價多
八十四文得蘋果二百八十六為正梨
三百三十八為負價多二千一百八十
四文為正(即蘋果二百八十六比梨三/百三十八價多二千一百八)
(十四文比原數/加二十六倍)兩下相較則蘋果各二
百八十六彼此減盡梨兩層皆負故相
減餘三十兩多數相同故亦相減餘七
百二十文乃梨三十之共價(葢蘋果皆/二百八十)
(六則其共價必相等然比梨三百三十/八之價則多二千一百八十四文比梨)
(三百零八之價則多二千九百零四文/是兩多相差之七百二十文即梨相差)
(三十之/共價也)以梨三十除之得二十四文即
梨每箇之價以梨十三乗之得三百一
十二文為梨十三之共價蘋果十一既
比梨十三價多八十四文則於三百一
十二文加八十四文得三百九十六文
為蘋果十一之共價以十一除之得三
十六文即蘋果每箇之價以桃三比蘋
果二梨二價多二十四文計之則梨二
價四十八文蘋果二價七十二文共價
一百二十文加桃三多二十四文共一
百四十四文即為桃三之共價以三除
之得四十八文即桃每箇之價也
設如有銀買銅錫鉛鐵各不知價只云銅三斤比錫
二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢又銅二斤鉛一斤
比錫二斤鐵二斤價多二錢又銅一斤錫二斤與
鉛三斤鐵八斤價相等又銅五斤鐵三十斤比錫
四斤鉛二十四斤價少二錢問銅錫鉛鐵各價幾
何
法先以銅三斤為正錫二斤鉛二斤鐵
四斤俱為負價多一錢為正列於上又
銅二斤為正錫二斤為負鉛一斤為正
鐵二斤為負價多二錢為正列於下乃
以下銅二斤遍乗上銅三斤錫二斤鉛
二斤鐵四斤價多一錢得銅六斤為正
錫四斤鉛四斤鐵八斤俱為負價多二
錢為正又以上銅三斤遍乗下銅二斤
錫二斤鉛一斤鐵二斤價多二錢得銅
六斤為正錫六斤為負鉛三斤為正鐵
六斤為負價多六錢為正於是以上層
為主兩下相較則銅各六斤彼此減盡
錫兩層皆負故相減餘二斤本層少乃
變負為正鉛一正一負故相加得七斤
仍依本層為負鐵兩層皆負故亦相減
餘二斤仍依本層為負價兩層皆正故
亦相減餘四錢本層少乃變正為負即
錫二斤比鉛七斤鐵二斤價少四錢也
(葢銅彼此減盡錫上層少四斤下層少/六斤是下層比上層所少為二斤即上)
(層比下層多二斤也鉛上層少四斤下/層多三斤下之所多即上之所少是上)
(層比下層少七斤也鐵上層少八斤下/層少六斤是上層比下層所少為二斤)
(也價上層多二錢下層多六錢是下層/比上層所多為四錢即上層比下層少)
(四錢也錫多二斤鉛少七斤鐵少二斤/價即少四錢故為錫二斤比鉛七斤鐵)
(二斤價少/四錢也)次以銅二斤為正錫二斤為
負鉛一斤為正鐵二斤為負價多二錢
為正列於上又銅一斤錫二斤為正鉛
三斤鐵八斤為負相等作一空位列於
下乃以下銅一斤遍乗上銅二斤錫二
斤鉛一斤鐵二斤價多二錢仍得原數
又以上銅二斤遍乗下銅一斤錫二斤
鉛三斤鐵八斤得銅二斤錫四斤仍為
正鉛六斤鐵十六斤仍為負相等無可
乗仍為空位於是以上層為主兩下相
較則銅各二斤彼此減盡錫一正一負
故相加得六斤仍依本層為負鉛一正
一負故亦相加得七斤仍依本層為正
鐵兩層皆負故相減餘十四斤本層少
乃變負為正價多二錢與相等無可加
減仍得二錢為正即鉛七斤鐵十四斤
比錫六斤價多二錢也(葢銅彼此減盡/錫上層少二斤)
(下層多四斤下之所多即上之所少是/上層比下層少六斤也鉛上層多一斤)
(下層少六斤下之所少即上之所多是/上層比下層多七斤也鐵上層少二斤)
(下層少十六斤是下層比上層所少為/十四斤即上層比下層多十四斤也鉛)
(多七斤鐵多十四斤錫少六斤而價即/多二錢故為鉛七斤鐵十四斤比錫六)
(斤價多/二錢也)因首色銅數減盡則錫即轉而
為首應為正今錫六斤為負則重列三
色之際不能一體須俱變其號然後為
順故將錫六斤變負為正而以鉛七斤
鐵十四斤價多二錢俱變正為負葢原
鉛七斤鐵十四斤比錫六斤價多二錢
今變為錫六斤比鉛七斤鐵十四斤價
少二錢也(若以下層為主則相加應/依下層為正即不用變)次
以銅一斤錫二斤為正鉛三斤鐵八斤
為負相等作一空位列於上又銅五斤
為正錫四斤鉛二十四斤為負鐵三十
斤為正價少二錢為負列於下乃以下
銅五斤遍乗上銅一斤錫二斤鉛三斤
鐵八斤得銅五斤錫十斤為正鉛十五
斤鐵四十斤為負相等無可乗仍為空
位又以上銅一斤遍乗下銅五斤錫四
斤鉛二十四斤鐵三十斤價少二錢仍
得原數於是以上層為主兩下相較則
銅各五斤彼此減盡錫一正一負故相
加得十四斤仍依本層為正鉛兩層皆
負故相減餘九斤本層少乃變負為正
鐵一正一負故相加得七十斤仍依本
層為負價少二錢與相等無可加減仍
得二錢本層無數乃變負為正即錫十
四斤鉛九斤比鐵七十斤價多二錢也
(葢銅彼此減盡錫上層多十斤下層少/四斤下之所少即上之所多是上層比)
(下層多十四斤也鉛上層少十五斤下/層少二十四斤是下層比上層所少為)
(九斤即上層比下層多九斤也鐵上層/少四十斤下層多三十斤下之所多即)
(上之所少是上層比下層少七十斤也/價下層少二錢即上層多二錢也錫多)
(十四斤鉛多九斤鐵少七十斤價即多/二錢故為錫十四斤鉛九斤比鐵七十)
(斤價多/二錢也)爰將三次所得之餘作三色方
程算之先以錫二斤為正鉛七斤鐵二
斤價少四錢俱為負列於上又錫六斤
為正鉛七斤鐵十四斤價少二錢俱為
負列於下乃以下錫六斤遍乗上錫二
斤鉛七斤鐵二斤價少四錢得錫十二
斤為正鉛四十二斤鐵十二斤價少二
兩四錢俱為負又以上錫二斤遍乗下
錫六斤鉛七斤鐵十四斤價少二錢得
錫十二斤為正鉛十四斤鐵二十八斤
價少四錢俱為負於是以上層為主兩
下相較則錫各十二斤彼此減盡鉛兩
層皆負故相減餘二十八斤仍依本層
為負鐵兩層皆負故亦相減餘十六斤
本層少乃變負為正價兩層皆負故亦
相減餘二兩仍依本層為負即鐵十六
斤比鉛二十八斤價少二兩也(葢錫彼/此減盡)
(鉛上層少四十二斤下層少十四斤是/上層比下層所少為二十八斤也鐵上)
(層少十二斤下層少二十八斤是下層/比上層所少為十六斤即上層比下層)
(多十六斤也價上層少二兩四錢下層/少四錢是上層比下層所少為二兩也)
(鐵多十六斤鉛少二十八斤價即少二/兩故為鐵十六斤比鉛二十八斤價少)
(二兩/也)次以錫六斤為正鉛七斤鐵十四
斤價少二錢俱為負列於上又錫十四
斤鉛九斤為正鐵七十斤為負價多二
錢為正列於下乃以下錫十四斤遍乗
上錫六斤鉛七斤鐵十四斤價少二錢
得錫八十四斤為正鉛九十八斤鐵一
百九十六斤價少二兩八錢俱為負又
以上錫六斤遍乗下錫十四斤鉛九斤
鐵七十斤價多二錢得錫八十四斤鉛
五十四斤為正鐵四百二十斤為負價
多一兩二錢為正於是以上層為主兩
下相較則錫各八十四斤彼此減盡鉛
一正一負故相加得一百五十二斤仍
依本層為負鐵兩層皆負故相減餘二
百二十四斤本層少乃變負為正價一
正一負故相加得四兩仍依本層為負
即鐵二百二十四斤比鉛一百五十二
斤價少四兩也(葢錫彼此減盡鉛上層/少九十八斤下層多五)
(十四斤下之所多即上之所少是上層/比下層少一百五十二斤也鐵上層少)
(一百九十六斤下層少四百二十斤是/下層比上層所少為二百二十四斤即)
(上層比下層多二百二十四斤也價上/層少二兩八錢下層多一兩二錢下之)
(所多即上之所少是上層比下層少四/兩也鐵多二百二十四斤鉛少一百五)
(十二斤價即少四兩故為鐵二百二十/四斤比鉛一百五十二斤價少四兩也)
爰將兩次所得之餘作二色方程算之
其所餘鉛兩首色俱為負是為同號可
以互乗減盡故不變其號即將鉛二十
八斤為負鐵十六斤為正價少二兩為
負列於上又鉛一百五十二斤為負鐵
二百二十四斤為正價少四兩為負列
於下乃以下鉛一百五十二斤遍乗上
鉛二十八斤鐵十六斤價少二兩得鉛
四千二百五十六斤為負鐵二千四百
三十二斤為正價少三百零四兩為負
又以上鉛二十八斤遍乗下鉛一百五
十二斤鐵二百二十四斤價少四兩得
鉛四千二百五十六斤為負鐵六千二
百七十二斤為正價少一百一十二兩
為負兩下相較則鉛各四千二百五十
六斤彼此減盡鐵兩層皆正故亦相減
餘三千八百四十斤價兩層皆負故亦
相減餘一百九十二兩即鐵三千八百
四十斤之共價以鐵三千八百四十斤
除之得五分即鐵每一斤之價也以鐵
十六斤乗之得八錢為鐵十六斤之共
價鐵十六斤既比鉛二十八斤價少二
兩則加二兩得二兩八錢為鉛二十八
斤之共價以鉛二十八斤除之得一錢
即鉛每一斤之價也以錫六斤比鉛七
斤鐵十四斤價少二錢計之則鉛七斤
價七錢鐵十四斤價亦七錢共一兩四
錢錫六斤既比鉛七斤鐵十四斤價少
二錢則減二錢餘一兩二錢為錫六斤
之共價以錫六斤除之得二錢即錫每
一斤之價也再以銅三斤比錫二斤鉛
二斤鐵四斤價多一錢計之則錫二斤
價四錢鉛二斤價二錢鐵四斤價二錢
共八錢銅三斤既比錫二斤鉛二斤鐵
四斤價多一錢則加一錢共九錢為銅
三斤之共價以銅三斤除之得三錢即
銅每一斤之價也
和較兼用類
設如有大小二石不知其重只云二大石比七小石
少三十斤三大石二小石共三百三十斤問大小
石各重幾何
法以大石二為正小石七為負少三十
斤為負列於上大石三小石二共重三
百三十斤列於下乃以上大石二遍乗
下大石三小石二重三百三十斤得大
石六小石四共重六百六十斤又以下
大石三遍乗上大石二小石七少三十
斤得大石六仍為正小石二十一仍為
負少九十斤亦仍為負兩下相較則大
石各六彼此減盡小石四加小石二十
一得小石二十五六百六十斤加九十
斤得七百五十斤乃小石二十五之共
數以小石二十五除之得三十斤即一
小石之重數以二因之得六十斤為二
小石之共數於大小石共重三百三十
斤内減之餘二百七十斤為三大石之
共數以三除之得九十斤即一大石之
重數也此法葢因三大石二小石共重
三百三十斤為和數皆一類為正故不
用正負之號遇正則為同類相減遇負
則為異類相加相加之後仍為和數者
以其依本層之號故亦不用正號葢六
大石四小石共重六百六十斤而六大
石比二十一小石少九十斤則加九十
斤即六大石與二十一小石等矣故小
石二十五共重七百五十斤以二十五
除之而得一小石之重數也既得小石
之重數則於和數共重三百三十斤内
減二小石重六十斤餘為三大石之共
數若於較數七小石之共重二百一十
斤内減少三十斤所餘即為二大石之
共數既得三大石或二大石之共數乃
以大石數除之即得一大石之重數矣
設如有米用牛馬騾三色載之各不知數只云牛二
馬三騾四共載八石馬三騾三與牛三所載相等
牛四馬一比騾八所載多三石問各載幾何
法先以牛二馬三騾四共米八石列於
上次以牛三為正馬三騾三為負相等
作一空位列於下(題言馬三騾三比牛/三則馬騾應為正牛)
(應為負因列法以牛為首故以牛為正/馬騾為負即牛三比馬三騾三相等其)
(理一/也)乃以上牛二遍乘下牛三馬三騾
三得牛六仍為正馬六騾六仍為負又
以下牛三遍乗上牛二馬三騾四共載
八石得牛六馬九騾十二共載二十四
石於是以下層為主兩下相較(若以上/層為主)
(則相加數皆為負况首色減盡二色即/轉而為首即變負為正故不若以下層)
(為主而皆/為正也)則牛各六彼此減盡馬九加
馬六得馬十五(因依本層為和/數故不用號)騾十二
加騾六得騾十八二十四石無可加減
仍為二十四石即馬十五騾十八共載
二十四石也(葢牛六馬九騾十二共載/二十四石而牛六與馬六)
(騾六相等則將本層牛六變為馬六騾/六矣故為馬十五騾十八共載二十四)
(石/也)次以牛三為正馬三騾三為負相等
作一空位列於上牛四馬一為正騾八
為負多三石為正列於下乃以上牛三
遍乗下牛四馬一騾八多三石得牛十
二為正馬三亦為正騾二十四為負多
九石為正又以下牛四遍乗上牛三馬
三騾三得牛十二為正馬十二為負騾
十二為負於是以上層為主兩下相較
則牛各十二彼此減盡馬一正一負故
相加得十五仍依本層為正騾兩層皆
負故相減餘十二仍依本層為負九石
無可加減仍為九石依本層為正即馬
十五比騾十二所載多九石也(葢牛彼/此減盡)
(馬上層多三下層少十二是上層比下/層多十五也騾上層少二十四下層少)
(十二是上層比下層所少為十二也馬/多十五騾少十二而米即多九石故為)
(馬十五比騾十二/所載多九石也)爰將兩次所得之餘
如和較兼用二色方程法算之其馬十
五騾十八共米二十四石列於上又馬
十五為正騾十二為負多米九石為正
列於下因首色皆為十五兩數齊同即
不用互乘兩下相較則馬各十五彼此
減盡騾十八加騾十二得三十米二十
四石減九石餘十五石乃騾三十共載
之數以三十除之得五斗即為每一騾
所載之數以騾十二乗之得六石為騾
十二共載之數加馬十五之多九石得
十五石即為馬十五共載之數以馬十
五除之得一石為每一馬所載之數以
牛三與馬三騾三相等計之則馬三應
載三石騾三應載一石五斗共四石五
斗以牛三除之得一石五斗即為每一
牛所載之數也
設如有銀買綾羅絹三色各不知價只云綾一疋羅
二疋絹四疋共價七兩四錢又綾二疋絹八疋比
羅四疋多六兩八錢又綾三疋比羅六疋絹七疋
少一兩二錢問各價幾何
法先以綾一羅二絹四共銀七兩四錢
列於上(和數皆為/正不用號)又綾二為正羅四為
負絹八為正多六兩八錢為正列於下
乃以下綾二遍乗上綾一羅二絹四共
銀七兩四錢得綾二羅四絹八共銀十
四兩八錢又以上綾一遍乗下綾二羅
四絹八多六兩八錢仍得原數於是以
上層為主兩下相較則綾各二彼此減
盡羅一正一負故相加得羅八依本層
為正絹兩層皆正故相減恰盡價兩層
皆正亦相減餘八兩乃羅八疋之共價
(葢綾彼此減盡絹亦減盡惟羅上層多/四疋下層少四疋是上層比下層多八)
(疋而價即多八兩故/為羅八疋之共價也)以羅八除之得一
兩即為羅每一疋之價也次以綾二為
正羅四為負絹八為正多六兩八錢為
正列於上又綾三為正羅六為負絹七
為負少一兩二錢為負列於下乃以下
綾三遍乗上綾二羅四絹八多六兩八
錢得綾六為正羅十二為負絹二十四
為正多二十兩四錢為正又以上綾二
遍乗下綾三羅六絹七少一兩二錢得
綾六為正羅十二為負絹十四為負少
二兩四錢為負於是以上層為主兩下
相較則綾各六彼此減盡羅兩層皆負
亦減盡絹一正一負故相加得三十八
銀一正一負故相加得二十二兩八錢
乃絹三十八疋之共價(葢綾彼此減盡/羅亦減盡絹上)
(層多二十四疋下層少十四疋是上層/比下層多三十八疋也銀上層多二十)
(兩四錢下層少二兩四錢是上層比下/層多二十二兩八錢也絹多而銀亦多)
(故為絹之/共價也)以絹三十八除之得六錢即
絹每一疋之價也以綾一羅二絹四共
價七兩四錢計之則羅二疋應價二兩
絹四疋應價二兩四錢共四兩四錢於
共價七兩四錢内減之餘三兩即綾每
一疋之價也此法互乗相減之後即得
一法一實故省重列二色若物與價俱
各減盡者則此層必為彼層之幾倍與
少一層者同是為少一行不可算也
和較交變類
設如有琴瑟箏三種樂器各不知價但知琴一張瑟
三張箏三張共價九十兩又琴一張瑟二張箏五
張共價八十八兩又琴三張瑟八張箏五張共價
二百二十兩問琴瑟箏每張各價幾何
法先以琴一瑟三箏三共銀九十兩列
於上又琴一瑟二箏五共銀八十八兩
列於下(因和數皆為/正故不用號)因首色皆為一故
省互乗即以上層為主兩下相較則琴
各一彼此減盡瑟兩下相減餘一本層
多仍為正箏兩下相減餘二本層少變
正為負銀九十兩減八十八兩餘二兩
本層多亦仍為正即瑟一比箏二價多
二兩也(葢兩層琴各一張其價必相等/但上層多瑟一張下層多箏二)
(張則上層多銀二兩即瑟/一比箏二所多之價也)次以琴一瑟
二箏五共銀八十八兩列於上又琴三
瑟八箏五共銀二百二十兩列於下乃
以下琴三遍乗上琴一瑟二箏五共銀
八十八兩得琴三瑟六箏十五共銀二
百六十四兩又以上琴一遍乗下琴三
瑟八箏五共銀二百二十兩仍得原數
於是以上層為主兩下相較則琴各三
彼此減盡瑟兩下相減餘二本層少變
正為負箏兩下相減餘十本層多仍為
正銀二百六十四兩減二百二十兩餘
四十四兩本層多亦仍為正即箏十比
瑟二價多四十四兩也(葢兩層琴各三/張其價必相等)
(但上層多箏十張下層多瑟二張則丄/層多銀四十四兩即箏十張比瑟二張)
(所多之/價也)因首色減盡則瑟轉而為首應
為正今瑟為負重列二色之際不能一
體須俱變其號然後為順故將瑟二變
負為正而以箏十與價多四十四兩俱
變正為負葢原箏十比瑟二多四十四
兩今變為瑟二比箏十少四十四兩也
(若以下層為主則本層多/即得瑟二為正不用變號)爰將兩次所
得之餘如較數二色方程算之其瑟一
為正箏二為負多二兩為正列於上瑟
二為正箏十為負少四十四兩為負列
於下乃以下瑟二遍乗上瑟一箏二多
二兩得瑟二仍為正箏四為負多四兩
為正又以上瑟一遍乘下瑟二箏十少
四十四兩仍得原數兩下相較則瑟各
二彼此減盡箏兩層皆負故相減餘六
多四兩與少四十四兩相加得四十八
兩即箏六張之共價也(葢瑟皆為二張/則其共價必相)
(等然比箏四張之價則多比箏十張之/價則少是多少相加之四十八兩即箏)
(十與箏四相差/六張之價也)乃以箏六除銀四十八
兩得八兩為箏毎張之價以箏十因之
得八十兩為箏十張之共價瑟二張既
比箏十張少四十四兩則於八十兩内
減四十四兩餘三十六兩即為瑟二張
之共價以瑟二除之得十八兩為瑟毎
張之價以琴一瑟三箏三共銀九十兩
計之則瑟三價五十四兩箏三價二十
四兩共七十八兩於共銀九十兩内減
之餘十二兩即琴毎一張之價也
設如有古量斛庾釜三種盛米各數不同只云三斛
二釜比二庾多一石零八升又二斛比三庾五釜
少六石又一斛一庾比二釜多一石三斗二升問
斛庾釡各盛米若干
法先以斛三為正庾二為負釜二為正
多一石零八升為正列於上又斛二為
正庾三釜五為負少六石亦為負列於
下乃以下斛二遍乗上斛三庾二釜二
多一石零八升得斛六仍為正庾四為
負釜四為正多二石一斗六升亦為正
又以上斛三遍乗下斛二庾三釜五少
六石得斛六仍為正庾九釜十五俱為
負少十八石亦為負於是以上層為主
兩下相較則斛各六彼此減盡庾兩層
皆負故相減餘五本層少乃變負為正
釡一正一負故相加得十九仍依本層
為正多二石一斗六升與少十八石相
加得二十石一斗六升仍依本層為正
即五庾十九釡共二十石一斗六升也
(葢斛彼此減盡庾上層少四下層少九/是下層比上層所少為五即上層比下)
(層多五也釜上層多四下層少十五是/上層比下層多十九也米上層多二石)
(一斗六升下層少十八石是上層比下/層多二十石一斗六升也庾釜多則米)
(亦多故為五庾十九釜/共二十石一斗六升也)次以斛二為正
庾三釡五與少六石俱為負列於上又
斛一庾一為正釜二為負多一石三斗
二升為正列於下乃以上斛二遍乗下
斛一庾一釡二多一石三斗二升得斛
二庾二為正釡四為負多二石六斗四
升為正又以下斛一遍乗上斛二庾三
釜五少六石仍得原數於是以上層為
主兩下相較則斛各二彼此減盡庾一
正一負故相加得五仍依本層為正釜
兩層皆負故相減餘一本層少乃變負
為正多二石六斗四升與少六石相加
得八石六斗四升仍依本層為正即五
庾一釜共八石六斗四升也(葢斛彼此/減盡庾上)
(層多二下層少三是上層比下層多五/也釜上層少四下層少五是下層比上)
(層所少為一即上層比下層多一也米/上層多二石六斗四升下層少六石是)
(上層比下層多八石六斗四升也庾釜/多而米亦多故為五庾一釡共八石六)
(斗四/升也)爰以兩次所得之餘如和數二色
方程算之其庾五釜十九共二十石一
斗六升列於上庾五釡一共八石六斗
四升列於下(變為和數/故不用號)夫首數皆為五
則省互乗兩下相較庾各五彼此減盡
釡十九減一餘十八米二十石一斗六
升減八石六斗四升餘十一石五斗二
升即為釜十八所盛之共數以十八除
之得六斗四升為毎一釜所盛之數於
八石六斗四升内減之餘八石為庾五
所盛之共數以五除之得一石六斗為
毎一庾所盛之數以斛三釡二比庾二
多一石零八升計之則庾二應三石二
斗加多一石零八升得四石二斗八升
即為斛三釜二之共數減釡二之一石
二斗八升餘三石為斛三所盛之共數
以三除之得一石為每一斛所盛之數
也
設如用船車駝運糧各不知數只云三船比七車一
駝少三十三石六斗二車比一船十二駝少二十
一石六斗八駝比一船三車少二十一石六斗問
船車駝各載幾何
法先以船三為正車七駝一與少三十
三石六斗俱為負列於上又船一改為
正車二改為負駝十二亦改為正少二
十一石六斗改為多二十一石六斗亦
為正列於下(葢二車比一船十二駝少/二十一石六斗即一船十)
(二駝比二車多二/十一石六斗也)乃以上船三遍乗下
船一車二駝十二多二十一石六斗得
船三為正車六為負駝三十六為正多
六十四石八斗為正又以下船一遍乗
上船三車七駝一少三十三石六斗仍
得原數於是以上層為主兩下相較則
船各三彼此減盡車兩層皆負故相減
餘一本層少乃變負為正駝一正一負
故相加得三十七仍依本層為正多六
十四石八斗與少三十三石六斗相加
得九十八石四斗亦依本層為正即車
一駝三十七共載九十八石四斗也(葢/船)
(彼此減盡車上層少六下層少七是下/層比上層所少為一即上層比下層多)
(一也駝上層多三十六下層少一是上/層比下層多三十七也糧上層多六十)
(四石八斗下層少三十三石六斗是上/層比下層多九十八石四斗也車多駝)
(多則糧亦多故九十八石四斗/為車一駝三十七之共數也)次以船
一為正車二為負駝十二為正多二十
一石六斗為正列於上又船一車三俱
改為正駝八改為負少二十一石六斗
改為多二十一石六斗為正列於下(葢/八)
(駝比一船三車少二十一石六斗即一/船三車比八駝多二十一石六斗也)
首數皆一故省互乘即以上層為主兩
下相較則船各一彼此減盡車一正一
負故相加得五仍依本層為負駝一正
一負故亦相加得二十仍依本層為正
糧兩層皆正相減恰盡即為駝二十與
車五相等今車應轉為首色為正故重
列之際須俱變其號以車變負為正駝
變正為負即為車五與駝二十相等也
(葢兩下相較船數相等上層少車二下/層多車三上之所少即下之所多是下)
(層多車五上層多駝十二下層少駝八/下之所少即上之所多是上層多駝二)
(十今既兩下糧數相等則/為車五與駝二十相等矣)爰以兩次所
得之餘如和較兼用二色方程算之其
車一駝三十七共糧九十八石四斗列
於上(因為和數/故不用號)又車五為正駝二十為
負列於下(糧兩下相等故無數可/列仍作空以存其位)乃以
下車五遍乗上車一駝三十七共糧九
十八石四斗得車五駝一百八十五共
糧四百九十二石又以上車一遍乗下
車五駝二十仍得原數兩下相較則車
各五彼此減盡駝一百八十五加駝二
十得二百零五糧止一層無數可加減
仍得四百九十二石即駝二百零五所
載之共數也以駝二百零五除之得二
石四斗為每一駝所載之數以二十乗
之得四十八石為駝二十所載之共數
車五既與之相等即以車五除之得九
石六斗即為每一車所載之數以三船
比七車一駝少三十三石六斗計之則
一駝應二石四斗七車應六十七石二
斗共六十九石六斗減三船少三十三
石六斗餘三十六石為三船所載之共
數以三除之得十二石為毎一船所載
之數也
設如有錢買瓜桃榴梨四色只云瓜二桃四共價一
百五十六文瓜一梨八共價一百二十六文桃二
榴七共價一百六十文榴四梨七共價一百四十
八文問瓜桃榴梨各價幾何
法先以瓜二桃四共價一百五十六文
列於上(因題有四色而此行無榴梨乃/各作空位以存其分餘俱照式)
(對位/列之)又以瓜一梨八共價一百二十六
文列於下(因為和數/故不用號)乃以上瓜二遍乗
下瓜一梨八共價一百二十六文得瓜
二梨十六共價二百五十二文又以下
瓜一遍乘上瓜二桃四共價一百五十
六文仍得原數於是以下層為主兩下
相較則瓜各二彼此減盡桃四無可減
仍為四依本層為正榴仍為空位梨十
六無可減仍為十六本層無數乃變正
為負價二百五十二文内減一百五十
六文餘九十六文本層少乃變正為負
即為桃四比梨十六價少九十六文也
(葢瓜皆為二則其共價必相等然上層/有梨十六則共價二百五十二文下層)
(有桃四則共價一百五十六文其相差/之九十六文即桃四比梨十六所少之)
(價/也)至是瓜既已減盡但餘三色即變四
色為三色而以桃為首對位列之是以
桃四為正(此行無榴數故仍作空位/以存其分餘俱對位列之)梨
十六為負少九十六文為負列於上桃
二榴七共價一百六十文列於下(因為/和數)
(故不/用號)乃以上桃四遍乗下桃二榴七共
價一百六十文得桃八榴二十八共價
六百四十文又以下桃二遍乗上桃四
梨十六少九十六文得桃八仍為正梨
三十二仍為負少一百九十二文為負
於是以上層為主兩下相較則桃各八
彼此減盡榴二十八無可減仍為二十
八依本層為正梨三十二無可加仍為
三十二本層無數乃變負為正六百四
十文與少一百九十二文相加得八百
三十二文仍依本層為正即榴二十八
梨三十二共價八百三十二文也(葢桃/彼此)
(減盡上層多榴二十八下層少梨三十/二即上層多梨三十二故多與少相差)
(之八百三十二文即榴二/十八梨三十二之共價也)至是桃又減
盡但餘二色即變三色為二色而以榴
為首對位列之是以榴二十八梨三十
二共價八百三十二文列於上榴四梨
七共價一百四十八文列於下乃以上
榴二十八遍乗下榴四梨七共價一百
四十八文得榴一百一十二梨一百九
十六共價四千一百四十四文又以下
榴四遍乗上榴二十八梨三十二共價
八百三十二文得榴一百一十二梨一
百二十八共價三千三百二十八文兩
下相較則榴各一百一十二彼此減盡
梨兩下相減餘六十八價兩下相減餘
八百一十六文即梨六十八之共價也
以梨六十八除之得十二文為梨每個
之價以七因之得八十四文為梨七之
共價於榴梨共價一百四十八文内減
之餘六十四文為榴四之共價以四除
之得十六文即榴毎個之價以桃二榴
七共價一百六十文計之則榴七應價
一百一十二文於桃榴共價一百六十
文内減之餘四十八文為桃二之共價
以二除之得二十四文為桃每個之價
再以瓜二桃四共價一百五十六文計
之則桃四應價九十六文於桃瓜共價
一百五十六文内減之餘六十文為瓜
二之共價以二除之得三十文即瓜毎
個之價也
附法
設如有石二塊大小不等不知重數只有銅條一根
重十二兩均分十二分以繩繫於第五分之上一
頭五分一頭七分將大石掛於銅條一頭離提繫
五分而以小石作砣稱之離提繫得六分始平又
將小石掛在銅條一頭離提繫五分而以大石作
砣稱之離提繫得四分始平問大小二石各重幾
何
法先以五分加一倍與十二分相較餘
二分折半得一分與五分相加為六分
乃以五分為一率六分為二率餘二分
作二兩為三率得四率二兩四錢即五
分之端加二兩四錢始與七分相平也
爰將二兩四錢以大石離提繫五分因
之得十二兩為五大石比六小石所多
之數(大石離提繫五分小石離提繫六/分而平是大石重六分小石重五)
(分也若五大石六小石則各得三十分/其重始等然五分之一端應加二兩四)
(錢是大石重六分尚多二兩四錢也若/五大石則多十二兩矣故為五大石比)
(六小石多/十二兩也)又將二兩四錢以小石離提
繫五分因之亦得十二兩為四大石比
五小石所少之數(小石離提繫五分大/石離提繫四分而平)
(是小石重四分大石重五分也若五小/石四大石則各得二十分其重始等然)
(五分之一端應加二兩四錢是小石重/四分尚多二兩四錢也若五小石則多)
(十二兩矣故為五小石比四大石多十/二兩因以大石為首故變為四大石比)
(五小石少/十二兩也)因作較數方程法算之以大
石五為正小石六為負重多十二兩為
正列於上又大石四為正小石五為負
重少十二兩為負列於下乃以上大石
五遍乗下大石四小石五少十二兩得
大石二十小石二十五少六十兩又以
下大石四遍乗上大石五小石六多十
二兩得大石二十小石二十四多四十
八兩兩下相較則大石各二十彼此減
盡小石兩層皆負故相減餘一重少六
十兩與多四十八兩相加得一百零八
兩即為一小石之重數以小石六因之
得六百四十八兩為六小石之共重數
加五大石所多十二兩得六百六十兩
為五大石之共重數以五歸之得一百
三十二兩即為一大石之重數也此本
疊借互徵之法而以方程算之稍為簡
易焉
設如有銀一千六百四十兩兄弟二人分之各不知
數只云兄之四分之一弟之六分之一共三百五
十兩問兄弟各分銀幾何
法以一千六百四十兩為兄四分弟六
分之共銀數以三百五十兩為兄一分
弟一分之共銀數如和數方程法算之
以兄四分弟六分共銀一千六百四十
兩列於上兄一分弟一分共銀三百五
十兩列於下乃以下兄一分遍乗上兄
四分弟六分共銀一千六百四十兩仍
得原數又以上兄四分遍乗下兄一分
弟一分共銀三百五十兩得兄四分弟
四分共銀一千四百兩兩下相較則兄
各四分彼此減盡弟兩下相減餘二分
銀兩下相減餘二百四十兩即弟二分
之共銀數以弟二分除之得一百二十
兩為弟一分之銀數以弟六分乗之得
七百二十兩即弟所分之共銀數於共
銀一千六百四十兩内減之餘九百二
十兩即兄所分之共銀數也(此法用疊/借互徵算)
(之亦/可)
設如甲乙二人分果不知其數只云甲予乙九枚則
乙與甲等乙予甲九枚則一甲與二乙等問甲乙
分果各幾何
法將甲予乙九枚以二因之得一十八
枚為一甲比一乙所多之數(葢甲予乙/九枚則甲)
(與乙等若甲不予乙則甲多九枚/乙少九枚是甲比乙多十八枚也)又將
乙予甲九枚以三因之得二十七枚為
一甲比二乙所少之數(葢乙予甲九枚/則一甲與二乙)
(等若乙不予甲則乙多九枚二乙必多/十八枚甲少九枚是一甲比二乙少二)
(十七/枚也)因作較數方程法算之以甲一為
正乙一為負多十八枚為正列於上又
甲一為正乙二為負少二十七枚為負
列於下因甲首色皆為一故不用互乗
兩下相較則甲各一彼此減盡乙兩層
皆負故相減餘一果一正一負故相加
得四十五枚即為乙之果數如甲多十
八枚得六十三枚即為甲之果數也若
甲與乙九枚則甲餘五十四乙亦得五
十四是甲與乙相等若乙與甲九枚則
乙餘三十六甲得七十二是一甲與二
乙相等也(此法用疊借互/徵算之亦可)
設如有田二千六百五十畝令上中下三等農夫分
耕上等四十人中等五十人下等七十人上等比
中等毎人多七畝中等比下等毎人多五畝問上
中下三等毎人各耕幾何
法以二千六百五十畝為和以多七畝
多五畝為較如和較兼用三色方程法
算之先以上等四十人中等五十人下
等七十人共田二千六百五十畝列於
上(因為和數/故不用號)又上等一人為正中等一
人為負多七畝為正列於下(無下等則/作空以存)
(其/位)乃以下上等一人遍乗上上等四十
人中等五十人下等七十人共田二千
六百五十畝仍得原數又以上上等四
十人遍乗下上等一人中等一人多七
畝得上等四十人為正中等四十人為
負多二百八十畝為正於是以上層為
主兩下相較則上等各四十人彼此減
盡中等五十人加四十人得九十人下
等無可加減仍得七十人田二千六百
五十畝減二百八十畝餘二千三百七
十畝即中等九十人下等七十人共田
二千三百七十畝也(因依本層故/仍為和數)次以
中等九十人下等七十人共田二千三
百七十畝列於上(因為和數/故不用號)又中等一
人為正下等一人為負多五畝為正列
於下乃以下中等一人遍乗上中等九
十人下等七十人共田二千三百七十
畝仍得原數又以上中等九十人遍乗
下中等一人下等一人多五畝得中等
九十人為正下等九十人為負多四百
五十畝為正兩下相較則中等各九十
人彼此減盡下等七十人加九十人得
一百六十人田二千三百七十畝減四
百五十畝餘一千九百二十畝即下等
一百六十人之共數也以下等一百六
十人除之得十二畝為下等每人所耕
之數加五畝得十七畝為中等毎人所
耕之數又加七畝得二十四畝為上等
每人所耕之數也(此法本和數比例/以方程算之亦可)
御製數理精藴下編卷十