御製數理精蘊
御製數理精蘊
欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷二十八
體部六
球内容各等面體
球外切各等面體
球内容各等面體
設如圓球徑一尺二寸求内容四面體之每一邊及
體積幾何
法以圓球徑一尺二寸三歸二因得八
寸為圓球内容四面體自尖至每面中
心之立垂線自乘得六十四寸二歸三
因得九十六寸開平方得九寸七分九
釐七豪九絲五忽八㣲有餘即圓球内
容四面體之每一邊也乃以四面體之
每一邊用等邊三角形求面積法求得
每一面積四十一寸五十六分九十二
釐一十九豪有餘與自尖至每面中心
之立垂線八寸相乘得三百三十二寸
五百五十三分七百五十釐有餘三歸
之得一百一十寸八百五十一分二百
五十釐有餘即圓球内容四面體之積
也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲
丙丁戊四面體甲己與丙庚俱為自尖
至每面中心之立垂線相交於辛為四
面體之中心亦即圓球之中心甲辛與
丙辛俱為圓球半徑甲己壬勾股形與
甲庚辛勾股形為同式形(甲己壬勾股/形以甲己自)
(尖至底中心立垂線為股己壬一面中/垂線之三分之一為勾甲壬一面中垂)
(線為弦甲庚辛勾股形以甲庚一面中/垂線之三分之二為股庚辛四面體中)
(心至每面中心之垂線為勾甲辛四面/體自尖至中心立垂線為弦故兩勾股)
(形同用一甲角而己角庚角同為直角/其壬角與辛角亦必相等所以為同式)
(形/也)己壬為丙壬一面中垂線之三分之
一亦為甲壬一面中垂線之三分之一
故庚辛亦必為甲辛四面體自尖至中
心立垂線之三分之一而甲辛即圓球
之半徑故庚辛亦為圓球半徑之三分
之一庚辛與辛已等今命甲辛圓球半
徑為三分則甲乙圓球全徑為六分以
辛己一分與甲辛三分相加則得甲巳
四分是甲巳立垂線為甲乙圓球全徑
之六分之四即三分之二故以甲乙圓
球徑三歸二因即得甲己為四面體自
尖至每面中心之立垂線也又四面體
之立垂線自乘方為每邊自乘方之三
分之二(見前四面/體求積法)故以甲己立垂線自
乘二歸三因即得每一邊自乘方積開
平方得甲丙為四面體之每一邊也既
得一邊則用等邊三角形求面積法求
得丙丁戊三角形面積與甲巳立垂線
相乘三歸之即得甲丙丁戊四面體之
積也
又求邊捷法以圓球徑一尺二寸自乘
三歸二因得九十六寸開平方亦得九
寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘
為内容四面體之每一邊也蓋四面體
之甲巳立垂線既為甲乙圓球徑之三
分之二則甲己自乘方必為甲乙自乘
方之九分之四而甲己自乘方又為甲
丙每邊自乘方之三分之二即六分之
四則甲丙每一邊自乘方必為甲乙圓
球徑自乘方之九分之六即三分之二
故以圓球徑自乘三歸二因開平方亦
得四面體之每一邊也如有四面體之
一邊求外切圓球徑則先求得自尖至
每面中心之立垂線二歸三因即圓球
徑或以一邊自乘二歸三因開平方亦
即得圓球徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球内容四面體之一邊八
一六四九六五八為二率今所設之圓
球徑一尺二寸為三率求得四率九寸
七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘即
圓球内容四面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球内容四面體積六四一五○○二九
為二率今所設之圓球徑一尺二寸自
乘再乘得一千七百二十八寸為三率
求得四率一百一十寸八百五十一分
二百五十釐有餘即圓球内容四面體
之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球内容四面體積一二二五一七五
三○為二率今所設之圓球徑一尺二
寸求得圓球積九百零四寸七百七十
八分六百八十四釐有餘為三率求得
四率一百一十寸八百五十一分二百
四十九釐有餘即圓球内容四面體之
積也
設如圓球徑一尺二寸求内容正方體之每一邊及
體積幾何
法以圓球徑一尺二寸自乘得一百四
十四寸三歸之得四十八寸開平方得
六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘
即圓球内容正方體之每一邊以一邊
自乘再乘得三百三十二寸五百五十
三分七百四十四釐有餘即圓球内容
正方體之積也如圖甲乙圓球徑一尺
二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方體試
以丙丁一邊為股丁乙一邊為勾求得
丙乙弦即每一面之對角斜線勾與股
既相等則丙乙每一面對角斜線自乘
方為丙丁或丁乙每邊自乘方之二倍
矣又試以丙乙對角斜線為股甲丙一
邊為勾求得甲乙弦即圓球徑則甲乙
圓球徑自乘方又為甲丙類每邊自乘
方之三倍矣故以圓球徑自乘三歸即
得每邊自乘之積開平方即得圓球内
容正方體之一邊以一邊自乘再乘即
得圓球内容正方體之積也如有正方
體之一邊求外切圓球徑則以一邊自
乘三因之開平方即得圓球徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球内容正方體之一邊五
七七三五○二六為二率今所設之圓
球徑一尺二寸為三率求得四率六寸
九分二釐八豪二絲零三㣲有餘即圓
球内容正方體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球内容正方體積一九二四五○○八
六為二率今所設之圓球徑一尺二寸
自乘再乘得一千七百二十八寸為三
率求得四率三百三十二寸五百五十
三分七百四十八釐有餘即圓球内容
正方體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球内容正方體積三六七五五二五
九○為二率今所設之圓球徑一尺二
寸求得圓球積九百零四寸七百七十
八分六百八十四釐有餘為三率求得
四率三百三十二寸五百五十三分七
百四十八釐有餘即圓球内容正方體
之積也
設如圓球徑一尺二寸求内容八面體之每一邊及
體積幾何
法以圓球徑一尺二寸自乘得一尺四
十四寸折半得七十二寸開平方得八
寸四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘
即圓球内容八面體之每一邊也乃以
八面體之每一邊自乘得七十二寸以
球徑一尺二寸再乘得八百六十四寸
三歸之得二百八十八寸即圓球内容
八面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺
二寸内容甲丙乙丁戊己八面體自正
中對四角平分截之則成甲丙己丁戊
乙丁戊丙己二尖方體甲乙圓球徑為
二尖方體之共髙即甲丙乙丁正方面
之對角斜線試以甲丙一邊為股乙丙
一邊為勾則甲乙球徑為弦勾與股既
相等則甲乙自乘方為甲丙自乘方之
二倍故以甲乙球徑自乘折半開方即
得甲丙為内容八面體之一邊以戊丙
一邊自乘得戊丙己丁二尖方體之共
底面積以甲乙共髙再乘三歸之得二
尖方體積即八面體之總積也如有八
面體之一邊求外切圓球徑則以一邊
自乘加倍開平方得對角斜線即圓球
徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球内容八面體之一邊七
○七一○六七八為二率今所設之圓
球徑一尺二寸為三率求得四率八寸
四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘即
圓球内容八面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球内容八面體積一六六六六六六六
六為二率今所設之圓球徑一尺二寸
自乘再乘得一千七百二十八寸為三
率求得四率二百八十八寸即圓球内
容八面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球内容八面體積三一八三○九八
八五為二率今所設之圓球徑一尺二
寸求得圓球積九百零四寸七百七十
八分六百八十四釐有餘為三率求得
四率二百八十七寸九百九十九分九
百九十八釐有餘即圓球内容八面體
之積也
設如圓球徑一尺二寸求内容十二面體之每一邊
及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○
○○○○為股小分三八一九六六○
一為勾求得弦一○七○四六六二六
為一率小分三八一九六六○一為二
率今所設之圓球徑一尺二寸為三率
求得四率四寸二分八釐一豪八絲六
忽五㣲有餘即圓球内容十二面體之
每一邊也乃以十二面體之每一邊用
五等邊形求面積法求得每一面積三
十一寸五十四分三十八釐五十七豪
有餘又用五等邊形求外切圜徑法求
得半徑(即分/角線)三寸六分四釐二豪三絲
七忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為
弦求得股四寸七分六釐七豪九絲二
忽七㣲有餘為自圓球中心至每一面
中心之立垂線與每一面積三十一寸
五十四分三十八釐五十七豪相乘得
一百五十寸三百九十八分八百零七
釐有餘三歸之得五十寸一百三十二
分九百三十五釐為一五角尖體積十
二因之得六百零一寸五百九十五分
二百二十釐有餘即圓球内容十二面
體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二
寸内容甲丙丁戊己十二面體自正中
平分截之則成十等邊面形其所截之
處皆正當每邊之一半故其所截之庚
辛等線亦為甲丙兩角相對斜線之一
半而為十等邊形之一邊試自十二面
體之甲卯一邊正中至中心辰作庚辰
垂線即為所截十等邊形外切圜之半
徑與甲庚每邊之半甲辰圓球半徑共
成甲庚辰勾股形庚辰為股甲庚為勾
甲辰為弦庚辰即如理分中末線之全
分甲庚即如理分中末線之小分何以
知之蓋十二面體每面之壬子兩角相
對斜線(與甲/丙等)為全分則子丑一邊(與甲/卯等)
為大分若以壬子兩角相對斜線為大
分則子丑一邊為小分兩角相對斜線
之一半庚辛為大分則每邊之半甲庚
即為小分矣又庚辰中心至每邊正中
之垂線既為十等邊形外切圜之半徑
而庚辛為十等邊形之一邊則庚辛為
大分而庚辰必為全分矣因庚辰全分
為股甲庚小分為勾而甲辰圓球半徑
為弦故以理分中末線之全分為股小
分為勾求得弦與小分之比同於甲辰
半徑與甲庚半邊之比即同於今所設
之甲乙全徑與甲卯全邊之比也既得
一邊則用五等邊形求面積法求得壬
癸子丑寅五等邊形面積又求得巳癸
五等邊形外切圜半徑(即分/角線)乃以辰癸
圓球半徑為弦(與辰/甲等)已癸分角線為勾
求得辰巳股即圓球中心至内容十二
面體每面中心之立垂線與壬癸子丑
寅五等邊形面積相乘三歸之得辰壬
癸子丑寅一五角尖體積十二因之即
得圓球内容十二面體之總積也如有
十二面體之每一邊求外切圓球徑則
先求得自中心至每邊正中之垂線為
股半邊為勾求得弦倍之即圓球全徑
也
又求邊法用求圓球内容正方體之一
邊法以圓球徑一尺二寸自乘得一百
四十四寸三歸之得四十八寸開平方
得六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有
餘為圓球内容十二面體每一面兩角
相對斜線乃以理分中末線之全分一
○○○○○○○○為一率大分六一
八○三三九九為二率每一面兩角相
對斜線六寸九分二釐八豪二絲零三
㣲為三率求得四率四寸二分八釐一
豪八絲六忽四㣲有餘即圓球内容十
二面體之每一邊也如圖甲乙圓球徑
一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面體
試於每一面各作一斜線相連則十二
斜線之二十四端合為八角遂成正方
體形其十二面之十二斜線即正方體
之十二邊其八角即正方體之八角皆
切於圓球之面故用求球内容正方體
法求得正方體之一邊即十二面體每
一面兩角相對之斜線既得斜線則以
理分中末線之全分與大分之比即同
於兩角相對之斜線與每一邊之比而
得十二面體之每一邊也如有十二面
體之每一邊求外切圓球徑則先求得
每面兩角相對斜線為正方體之一邊
用正方體求外切圓球徑之法亦即得
圓球徑矣
又用求球内各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球内容十二面體之一邊
三五六八二二○九為二率今所設之
圓球徑一尺二寸為三率求得四率四
寸二分八釐一豪八絲六忽五㣲有餘
即圓球内容十二面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球内容十二面體積三四八一四五四
八二為二率今所設之圓球徑一尺二
寸自乘再乘得一千七百二十八寸為
三率求得四率六百零一寸五百九十
五分三百九十二釐有餘即圓球内容
十二面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球内容十二面體積六六四九○八
八九一為二率今所設之圓球徑一尺
二寸求得圓球積九百零四寸七百七
十八分六百八十四釐有餘為三率求
得四率六百零一寸五百九十五分三
百九十一釐有餘即圓球内容十二面
體之積也
設如圓球徑一尺二寸求内容二十面體之每一邊
及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○
○○○○為股大分六一八○三三九
九為勾求得弦一一七五五七○五○
為一率大分六一八○三三九九為二
率今所設之圓球徑一尺二寸為三率
求得四率六寸三分零八豪七絲七忽
三㣲有餘即圓球内容二十面體之每
一邊也乃以二十面體之每一邊用等
邊三角形求面積法求得每一面積一
十七寸二十三分四十一釐七十豪有
餘又用三等邊形求外切圜徑法求得
半徑(即分/角線)三寸六分四釐二豪三絲七
忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為弦
求得股四寸七分六釐七豪九絲二忽
七㣲有餘為自圓球中心至每一面中
心之立垂線與每一面積一十七寸二
十三分四十一釐七十豪有餘相乘得
八十二寸一百七十一分二百六十四
釐有餘三歸之得二十七寸三百九十
分四百二十一釐有餘為一三角尖體
積二十因之得五百四十七寸八百零
八分四百二十釐有餘即圓球内容二
十面體之總積也如圖甲乙圓球徑一
尺二寸内容甲丙丁戊己二十面體自
正中平分截之則成十等邊面形其所
截之處皆正當每邊之一半故其所截
之庚辛等線亦為甲丙每邊之一半而
為十等邊形之一邊試自二十面體之
甲癸一邊正中至中心壬作庚壬垂線
即為所截十等邊形外切圜之半徑與
甲庚每邊之半甲壬圓球半徑共成甲
庚壬勾股形庚壬為股甲庚為勾甲壬
為弦庚壬即如理分中末線之全分甲
庚即如理分中末線之大分何以知之
蓋庚壬中心至每邊正中之斜線既為
十等邊形外切圜之半徑庚辛既為十
等邊形之一邊則庚辛為大分庚壬必
為全分庚辛為每邊之半甲庚亦為每
邊之半則甲庚亦即為大分矣因庚壬
全分為股甲庚大分為勾甲壬圓球半
徑為弦故以理分中末線之全分為股
大分為勾求得弦與大分之比同於甲
壬半徑與甲庚半邊之比即同於今所
設之甲乙圓球全徑與甲癸全邊之比
也又圖子丑圓球内容子丙寅丑卯已
二十面體自丙已二處横截之則所截
之面成圓内容甲丙丁戊己五等邊面
形試自二十面體之巳角至寅角作已
寅全徑線則成巳丙寅勾股形巳丙為
股丙寅為勾已寅為弦以甲丙丁戊己
五等邊面形言之則巳丙股為兩角相
對斜線即如理分中末線之全分丙寅
勾與丙丁一邊同即如理分中末線之
大分今己丙全分既為股丙寅大分既
為勾巳寅與子丑同為圓球徑既為弦
故以理分中末線之全分為股大分為
勾求得弦與大分之比即同於今所設
之子丑全徑與丙寅一邊之比也既得
一邊則用三等邊形求面積法求得辰
已午三等邊形面積又求得未巳三等
邊形外切圜半徑即分角線乃以壬巳
圓球半徑(與甲/壬等)為弦未巳分角線為勾
求得壬未股即圓球中心至内容二十
面體每面中心之立垂線與辰巳午三
等邊形面積相乘三歸之得壬辰巳午
一三角尖體積二十因之即得圓球内
容二十面體之積也如有二十面體之
一邊求外切圓球徑則先求得自中心
至每邊正中之垂線為股半邊為勾求
得弦倍之即圓球全徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球内容二十面體之一邊
五二五七三一一一為二率今所設之
圓球徑一尺二寸為三率求得四率六
寸三分零八豪七絲七忽三㣲有餘即
圓球内容二十面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球内容二十面體積三一七○一八八
三三為二率今所設之圓球徑一尺二
寸自乘再乘得一千七百二十八寸為
三率求得四率五百四十七寸八百零
八分五百四十三釐有餘即圓球内容
二十面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球内容二十面體積六○五四六一
三七二為二率今所設之圓球徑一尺
二寸求得圓球積九百零四寸七百七
十八分六百八十四釐有餘為三率求
得四率五百四十七寸八百零八分五
百四十三釐有餘即圓球内容二十面
體之積也
球外切各等面體
設如圓球徑一尺二寸求外切四面體之每一邊及
體積幾何
法以圓球徑一尺二寸倍之得二尺四
寸為圓球外切四面體自尖至每面中
心之立垂線自乘得五尺七十六寸二
歸三因得八尺六十四寸開平方得二
尺九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲
有餘即圓球外切四面體之每一邊也
乃以四面體之每一邊用等邊三角形
求面積法求得每一面積三尺七十四
寸一十二分二十九釐七十二豪有餘
與自尖至每面中心之立垂線二尺四
寸相乘三歸之得二尺九百九十二寸
九百八十三分七百七十六釐有餘即
圓球外切四面體之積也如圖甲乙圓
球徑一尺二寸外切丙丁戊己四面體
丙乙與丁庚俱為自尖至每面中心之
立垂線相交於辛為四面體之中心亦
即圓球之中心辛乙與辛庚俱為圓球
半徑丙乙壬勾股形與丙庚辛勾股形
為同式形(丙乙壬勾股形以丙乙自尖/至底中心立垂線為股乙壬)
(一面中垂線之三分之一為勾丙壬一/面中垂線為弦丙庚辛勾股形以丙庚)
(一面中垂線之三分之二為股庚辛圓/球半徑為勾丙辛四面體自尖至中心)
(立垂線為弦故兩勾股形同用一丙角/而乙角庚角同為直角其壬角與辛角)
(亦必相等所/以為同式形)乙壬為丁壬一面中垂線
之三分之一亦為丙壬一面中垂線之
三分之一故庚辛亦必為丙辛四面體
自尖至中心立垂線之三分之一而庚
辛為圓球半徑與甲辛等甲辛既為丙
辛之三分之一則丙甲即為丙辛之三
分之二與甲乙全徑等故以甲乙圓球
徑倍之得丙乙為四面體自尖至每面
中心之立垂線也又四面體之立垂線
自乘方為每一邊自乘方之三分之二
(見前四面/體求積法)故以丙乙立垂線自乘二歸
三因得每一邊自乘方積開平方得丙
丁為四面體之每一邊也既得一邊則
用等邊三角形求面積法求得丁戊己
三角形面積與丙乙立垂線相乘三歸
之即得丙丁戊己四面體之積也如有
四面體之一邊求内容圓球徑則先求
得自尖至每面中心之立垂線折半即
内容圓球徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率球外切四面體之一邊二四
四九四八九七四為二率今所設之圓
球徑一尺二寸為三率求得四率二尺
九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲有
餘即圓球外切四面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率球
外切四面體積一七三二○五○八○
七為二率今所設之圓球徑一尺二寸
自乘再乘得一尺七百二十八寸為三
率求得四率二尺九百九十二寸九百
八十三分七百九十四釐有餘即圓球
外切四面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球外切四面體積三三○七九七三
三七二為二率今所設之圓球徑一尺
二寸求得圓球積九百零四寸七百七
十八分六百八十四釐有餘為三率求
得四率二尺九百九十二寸九百八十
三分七百九十四釐有餘即圓球外切
四面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求外切正方體之每一邊及
體積幾何
法因圓球徑一尺二寸即外切正方體
之每一邊自乘再乘得一尺七百二十
八寸即外切正方體積故他法皆不設
止存此題以備一體焉
設如圓球徑一尺二寸求外切八面體之每一邊及
體積幾何
法以圓球徑一尺二寸折半得六寸為
圓球外切八面體中心至每面中心之
立垂線自乘得三十六寸六因之得二
百一十六寸開平方得一尺四寸六分
九釐六豪九絲三忽八㣲有餘即圓球
外切八面體之每一邊也乃以八面體
之每一邊用等邊三角形求面積法求
得每一面積九十三寸五十三分零七
釐四十三豪有餘與圓球半徑六寸相
乘三歸之得一百八十七寸零六十一
分四百八十六釐有餘為一三角尖體
積八因之得一尺四百九十六寸四百
九十一分八百八十八釐有餘即圓球
外切八面體之總積也如圖甲乙圓球
徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面
體自丁辛己庚四角平分之則成丙丁
辛己庚戊己庚丁辛二尖方體將二尖
方體自尖依各稜直剖之則又得子丙
丁庚類八三角尖體圓球之外面皆切
於各面之中心圓球之半徑即外切八
面體中心至每一面中心之立垂線試
自丙角至丁庚邊正中壬作丙壬一面
中垂線又自八面體中心子至丙丁庚
面中心癸作子癸立垂線復自八面體
中心子至丁庚邊正中壬作子壬線遂
成壬癸子勾股形此形以子癸立垂線
(即圓球/半徑)為股丙壬一面中垂線之三分
之一癸壬為勾八面體中心至每邊正
中斜線子壬為弦(子壬即八面體每邊/之一半蓋壬丑與庚)
(己平行其度相等折半/於子故為每邊之半)夫癸壬既為丙
壬一面中垂線之三分之一則癸壬自
乘方必為丙壬一面中垂線自乘方之
九分之一而丙壬一面中垂線自乘方
原為丙丁每邊自乘方之十二分之九
則癸壬自乘方必為丙丁每邊自乘方
之十二分之一又子壬既為每邊之半
則其自乘方必為每邊自乘方之四分
之一今命為十二分之三癸壬勾自乘
方既為每邊自乘方十二分之一子壬
弦自乘方又為每邊自乘方十二分之
三則子癸股自乘方必為每邊自乘方
十二分之二即六分之一故以子癸圓
球半徑自乘六因之得每邊自乘方積
開平方得八面體之每一邊也既得每
一邊則用等邊三角形求面積法求得
丙丁庚一面積與子癸圓球半徑相乘
三歸之得子丙丁庚一三角尖體積八
因之即得丙丁戊己庚辛八面體之總
積也如有八面體之一邊求内容圓球
徑則求得自中心至每一面中心之立
垂線即内容圓球之半徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球外切八面體之一邊一
二二四七四四八七為二率今所設之
圓球徑一尺二寸為三率求得四率一
尺四寸六分九釐六豪九絲三忽八㣲
有餘即圓球外切八面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球外切八面體積八六六○二五四○
三為二率今所設之圓球徑一尺二寸
自乘再乘得一尺七百二十八寸為三
率求得四率一尺四百九十六寸四百
九十一分八百九十六釐有餘即圓球
外切八面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球外切八面體積一六五三九八六
六八六為二率今所設之圓球徑一尺
二寸求得圓球積九百零四寸七百七
十八分六百八十四釐有餘為三率求
得四率一尺四百九十六寸四百九十
一分八百九十七釐有餘即圓球外切
八面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求外切十二面體之每一邊
及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○
○○○○為一率大分六一八○三三
九九為二率今所設之圓球徑一尺二
寸折半得六寸為三率求得四率三寸
七分零八豪二絲零三㣲有餘為圓球
外切十二面體每一面中心至邊之垂
線又以全分一○○○○○○○○為
一率倍小分七六三九三二○二為二
率今所設之圓球半徑六寸為三率求
得四率四寸五分八釐三豪五絲九忽
二㣲有餘為每一面中心至角之分角
線乃以每一面之分角線為弦每一面
中心至邊之垂線為股求得勾二寸六
分九釐四豪一絲六忽八㣲有餘倍之
得五寸三分八釐八豪三絲三忽六㣲
有餘即圓球外切十二面體之每一邊
也乃以十二面體之每一邊與每一面
中心至邊之垂線相乘得數折半五因
之得四十九寸九十五分二十六釐零
九豪有餘為圓球外切十二面體之每
一面之積與圓球半徑六寸相乘三歸
之得九十九寸九百零五分二百一十
八釐有餘為每一五角尖體積十二因
之得一尺一百九十八寸八百六十二
分六百一十六釐有餘即圓球外切十
二面體之總積也蓋圓球外切十二面
體其圓球之外面皆切於各面之中心
圓球之半徑即外切十二面體中心至
每一面中心之立垂線以圓球半徑為
理分中末線之全分則外切十二面體
之每一面中心至邊之垂線(即五等邊/形内容圜)
(半/徑)為大分每一面中心至角之分角線
(即五等邊形/外切圓半徑)為倍小分如甲乙圓球徑
一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面體
按其一面中垂線平分剖之則成丙辛
壬癸子丑不等邊六角形丙辛與子癸
皆十二面體之每一邊辛壬壬癸子丑
丑丙皆為十二面體之每一面自一角
至對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為十
二面體中心至每邊正中之垂線寅辰
為十二面體中心至每面中心之立垂
線即圓球半徑辰丑為每面中心至邊
之垂線辰丙為每面中心至角之分角
線今以寅辰為全分則辰丑為大分辰
丙為倍小分何以知之寅卯既為十二
面體中心至每邊正中之垂線平分丙
辛邊於卯故丙卯為每邊之半寅卯為
全分則丙卯為小分(蓋十二面體中心/至每邊正中之垂)
(線為全分則其每一面兩角相對斜線/之一半為大分而毎邊之半即為小分)
(見球内容十/二面體法)試依寅卯全分度作丑巳
卯寅正方形則丑巳與已卯亦皆為全
分巳卯既為全分而丙卯又為小分則
巳丙即為大分丑已丙勾股形與寅辰
丑勾股形為同式形(寅辰丑勾股形之/丑角與寅角併之)
(共九十度而寅長丑勾股形之丑角與/丑已丙勾股形之丑角併之亦共九十)
(度故此二勾股形之已丑丙角與丑寅/辰角為相等辰角與巳角又同為直角)
(其餘一角亦必/等故為同式形)丑已丙勾股形之丑巳
股為全分則己丙勾為大分寅辰丑勾
股形之寅辰股為全分則辰丑勾亦即
為大分故以寅辰圓球半徑與辰丑每
面中心至邊之垂線之比即同於理分
中末線之全分與大分之比也又凡五
等邊形自心至邊之垂線為大分則自
心至角之分角線即為倍小分如丙午
未申酉五等邊形其辰丑垂線為大分
則辰申分角線為倍小分何以知之蓋
丙未兩角相對斜線為全分則未甲一
邊為大分而酉未與丙申兩兩角相對
斜線相交所截戌申一段即為小分成
連比例三率故丙戌與戌未亦皆為大
分與未申等試自戌至亥作戌亥垂線
平分丙未兩角相對斜線於亥則成丙
亥戌勾股形與辰丑申勾股形為同式
形(辰丑申勾股形之辰角當丑申半邊/所對之弧為未申邊所對之弧之一)
(半故辰丑申勾股形之辰角與丙戌亥/勾股形之丙角等丑角與亥角又同為)
(直角其餘一角亦/必等故為同式形)夫丙未為全分則丙
戌為大分丙未為大分則丙戌為小分
若以丙未之半丙亥為大分則丙戌即
為倍小分故以辰丑垂線為大分則辰
申分角線亦即為倍小分今圓球半徑
與每面中心至邊之垂線之比既同於
全分與大分之比則圓球半徑與每面
分角線之比亦即同於全分與倍小分
之比也既得辰丑垂線又得辰申分角
線則用股弦求勾法求得丑申勾倍之
得未申即圓球外切十二面體之每一
邊既得每一邊又得每面中心至邊之
垂線則以辰丑每面中心至邊之垂線
與未申一邊相乘折半五因之得丙午
未申酉五等邊形面積與寅辰圓球半
徑相乘三歸之得寅丙午未申酉一五
角尖體積十二因之即得丙丁戊己庚
十二面體之總積也如有十二面體之
一邊求内容圓球徑則求得十二面體
中心至每面中心之立垂線即内容圓
球之半徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球外切十二面體之每一
邊四四九○二七九七為二率今所設
之圓球徑一尺二寸為三率求得四率
五寸三分八釐八豪三絲三忽五㣲有
餘即圓球外切十二面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球外切十二面體積六九三七八六三
六七為二率今所設之圓球徑一尺二
寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為
三率求得四率一尺一百九十八寸八
百六十二分八百四十釐有餘即圓球
外切十二面禮之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球外切十二面體積一三二五○三
四三五八為二率今所設之圓球徑一
尺二寸求得圓球積九百零四寸七百
七十八分六百八十四釐有餘為三率
求得四率一尺一百九十八寸八百六
十二分八百四十二釐有餘即圓球外
切十二面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求外切二十面體之每一邊
及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○
○○○○為一率小分三八一九六六
○一為二率今所設之圓球徑一尺二
寸折半得六寸為三率求得四率二寸
二分九釐一豪七絲九忽六㣲有餘為
圓球外切二十面體每一面中心至邊
之垂線三因之得六寸八分七釐五豪
三絲八忽八㣲有餘為每一面自一角
至對邊之中垂線自乘三歸四因開平
方得七寸九分三釐九豪零一忽四㣲
有餘即圓球外切二十面體之每一邊
也乃以二十面體之每一邊用等邊三
角形求面積法求得每一面積二十七
寸二十九分一十九釐有餘與圓球半
徑六寸相乘三歸之得五十四寸五百
八十三分八百釐有餘為一三角尖體
積二十因之得一尺九十一寸六百七
十六分有餘即圓球外切二十面體之
總積也蓋圓球外切二十面體其圓球
之外面皆切於各面之中心圓球之半
徑即外切二十面體中心至每一面中
心之立垂線以圓球半徑為理分中末
線之全分則外切二十面體之每一面
中心至邊之垂線(即三等邊形/内容圜半徑)為小分
每一面中心至角之分角線(即三等邊/形外切圜)
(半/徑)為倍小分其每一面自一角至對邊
之中垂線為三小分如甲乙圓球徑一
尺二寸外切丙丁戊己庚二十面體按
其一面中垂線平分剖之則成丙辛壬
癸子丑不等邊六角形丙辛與癸子皆
二十面體之每一邊丑丙辛壬壬癸子
丑皆為二十面體之每一面自一角至
對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為二十
面體中心至每邊正中之垂線寅辰為
二十面體中心至每面中心之立垂線
即圓球半徑辰丑為每面中心至邊之
垂線辰丙為每面中心至角之分角線
今以寅辰為全分則辰丑為小分辰丙
為倍小分丙丑即為三小分也何以知
之寅卯既為二十面體中心至每邊正
中之垂線平分丙辛邊於卯故丙卯為
每邊之半寅卯為全分則丙卯為大分
(蓋二十面體中心至毎邊正中之垂線/為全分則每邊之半為大分見球内容)
(二十面/體法)試依寅卯全分度作已卯寅丑
正方形則丑巳與已卯亦皆為全分已
卯既為全分而丙卯又為大分則已丙
即為小分丑巳丙勾股形與寅辰丑勾
股形為同式形丑已丙勾股形之丑巳
股為全分則巳丙勾為小分寅辰丑勾
股形之寅辰股為全分則辰丑勾為小
分故以寅辰圓球半徑與辰丑每面中
心至邊之垂線之比即同於理分中末
線之全分與小分之比也既得辰丑每
面中心至邊之垂線則以三因之即得
丙丑每面自一角至對邊之中垂線而
每面自一角至對邊之中垂線自乘方
為每邊自乘方之四分之三故以所得
丙丑每面自一角至對邊之中垂線自
乘三歸四因開平方即得午未為圓球
外切二十面體之每一邊既得午未一
邊與丙丑每面自一角至對邊之中垂
線相乘折半得丙午未一三角形面積
與寅辰圓球半徑相乘三歸之得寅丙
午未一三角尖體積二十因之即得丙
丁戊己庚二十面體之總積也如有二
十面體之每一邊求内容圓球徑則求
得二十面體中心至每面中心之立垂
線即内容圓球之半徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑○○○○○○○
○為一率圓球外切二十面體之每一
邊六六一五八四五三為二率今所設
之圓球徑一尺二寸為三率求得四率
七寸九分三釐九豪零一忽四㣲有餘
即圓球外切二十面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球外切二十面體積六三一七五六九
九九為二率今所設之圓球徑一尺二
寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為
三率求得四率一尺九十一寸六百七
十六分零九十四釐有餘即圓球外切
二十面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球外切二十面體積一二○六五六
六九九一為二率今所設之圓球徑一
尺二寸求得圓球積九百零四寸七百
七十八分六百八十四釐有餘為三率
求得四率一尺零九十一寸六百七十
六分零九十四釐有餘即圓球外切二
十面體之積也
御製數理精藴下編卷二十八