御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷三十二

　　末部二

　　　借根方比例(開諸乘方法/)　(諸乘方表/)

　　開諸乘方法

借根方比例法中開各乘方爲最要其算線部借根

算面部借平方算體部借立方以及多乘方雖各按

其類然有法屬線類而仍須諸乘方算者故諸乘方

之法宜審也葢諸乘方之形體不同開法之難易迥

别總以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立

方之廉較多故較難自三乘以至多乘其廉愈多則

其法愈難今自平方以至九乘方俱専立一法在平

方立方所省不多而三乘方以後則甚爲簡捷至於

諸乘方中亦有可以用平方立方之法代開者如三

乘方與平方自乘之數等故可以平方兩次開之五

乘方與平方自乘再乘之數等亦與立方自乘之數

等故可以平方開之繼以立方開之七乘方與平方

兩次自乘之數等故可以平方三次開之八乘方與

立方自乘再乘之數等故可以立方兩次開之九乘

方與四乘方自乘之數等故可以平方開之繼以四

乘方開之惟四乘方及六乘方與平方立方之數皆

不相合故不可以平方立方之法代開也又諸乘方

次商之數最難定今自立方至九乘方俱爲立根數

兩位之表若根數兩位者以積數撿表即得更爲便

捷至於十乘方以後並可以此法御之但其數繁衍

而無所用兹故不載焉

　　平方

設如有平方積一萬五千一百二十九尺開平方問

　每一根之數幾何

　　　　　法列方積一萬五千一百二十九尺自

　　　　　末位起算每方積二位定方根一位故

　　　　　隔一位作記乃於九尺上定單位一百

　　　　　尺上定十位一萬尺上定百位其一萬

　　　　　尺爲初商積與一百自乘之數相合即

　　　　　定初商爲一百尺書於方積一萬尺之

　　　　　上而以初商一百尺自乘之一萬尺書

　　　　　於初商積之下相減恰盡爰以方根第

　　　　　二位積五千一百尺續書於後爲次商

　　　　　廉隅之共積而以初商之一百尺倍之

　　　　　得二百尺爲次商廉法以除次商積足

　　　　　二十倍即定次商爲二十尺書於方積

　　　　　一百尺之上合初商共一百二十尺自

　　　　　乘得一萬四千四百尺與原積相減餘

　　　　　七百尺爰以方根第三位積二十九尺

　　　　　續書於後共七百二十九尺爲三商廉

　　　　　隅之共積而以初商次商之一百二十

　　　　　尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以

　　　　　除三商積足三倍即定三商爲三尺書

　　　　　於方積九尺之上合初商次商共一百

　　　　　二十三尺自乘得一萬五千一百二十

　　　　　九尺與原積相減恰盡是開得一百二

　　　　　十三尺爲平方每一根之數也此法止

　　　　　用廉法除餘積得次商即併初商數自

　　　　　乘得數復與原積相減與常法不同然

　　　　　自三乘方以至多乘方則廉法條例甚

　　　　　繁難於布算用此法甚爲省便在平方

　　　　　立方不覺其省(平方止省小隅一層立/方止省長廉小隅二層)

　　　　　而在多乘方所省實多葢各設一例以

　　　　　備體也

　　立方

設如有立方積四千一百零六萬三千六百二十五

　尺開立方問每一根之數幾何

　　　　　法列方積四千一百零六萬三千六百

　　　　　二十五尺自末位起算每方積三位定

　　　　　方根一位故隔二位作記乃於五尺上

　　　　　定單位三千尺上定十位一百萬尺上

　　　　　定百位其四千一百萬尺爲初商積與

　　　　　三百自乘再乘之數相準即定初商爲

　　　　　三百尺書於方積一百萬尺之上而以

　　　　　三百尺自乘再乘之二千七百萬尺書

　　　　　於初商積之下相減餘一千四百萬尺

　　　　　爰以方根第二位餘積六萬三千尺續

　　　　　書於後共一千四百零六萬三千尺爲

　　　　　次商廉隅之共積而以初商之三百尺

　　　　　自乘得九萬尺三因之得二十七萬尺

　　　　　爲次商廉法以除次商積足四十倍即

　　　　　定次商爲四十尺書於方積三千尺之

　　　　　上合初商共三百四十尺自乘再乘得

　　　　　三千九百三十萬四千尺與原積相減

　　　　　餘一百七十五萬九千尺爰以方邊第

　　　　　三位餘積六百二十五尺續書於後共

　　　　　一百七十五萬九千六百二十五尺爲

　　　　　三商廉隅之共積而以初商次商之三

　　　　　百四十尺自乘得一十一萬五千六百

　　　　　尺三因之得三十四萬六千八百尺爲

　　　　　三商廉法以除三商積足五倍即定三

　　　　　商爲五尺書於方積五尺之上合初商

　　　　　次商共三百四十五尺自乘再乘得四

　　　　　千一百零六萬三千六百二十五尺與

　　　　　原積相減恰盡是開得三百四十五尺

　　　　　爲立方每一根之數也

　　　　　又用表開法列積四千一百零六萬三

　　　　　千六百二十五尺自末位起算隔二位

　　　　　作記定位同前乃截方根第二位以前

　　　　　積四一○六三爲初商次商之積於表

　　　　　中取比此數相近略小之數爲三九三

　　　　　○四(即初商次商自/乘再乘之數)其所對初商根爲

　　　　　三次商根爲四即將三四書於初商次

　　　　　商之位而以三九三○四書於初商次

　　　　　商積之下相減餘一七五九乃以三九

　　　　　三○四格内三商廉法三四六除餘積

　　　　　一七五九足五倍即定三商爲五書於

　　　　　三商之位合初商次商共三百四十五

　　　　　自乘再乘得四千一百零六萬三千六

　　　　　百二十五尺與原積相減恰盡即定立

　　　　　方根爲三百四十五尺也

　　三乘方

設如有三乘方積一千零三十三億五千五百一十

　七萬七千一百二十一尺開三乘方問每一根之

　數幾何

　　　　　法列方積一千零三十三億五千五百

　　　　　一十七萬七千一百二十一尺自末位

　　　　　起算每方積四位定方根一位故隔三

　　　　　位作記乃於一尺上定單位七萬尺上

　　　　　定十位三億尺上定百位其一千零三

　　　　　十三億尺爲初商積與五百乘三次之

　　　　　數相準即定初商爲五百尺書於方積

　　　　　三億尺之上而以五百尺乘三次之六

　　　　　百二十五億尺書於初商積之下相減

　　　　　餘四百零八億尺爰以方根第二位積

　　　　　五千五百一十七萬尺續書於後共四

　　　　　百零八億五千五百一十七萬尺爲次

　　　　　商廉隅之共積而以初商之五百尺乘

　　　　　二次得一億二千五百萬尺四因之得

　　　　　五億尺爲次商廉法以除次商積足八

　　　　　十倍因定次商爲八十尺合初商共五

　　　　　百八十尺乘三次得一千一百三十一

　　　　　億六千四百九十六萬尺大於原積是

　　　　　次商不可商八也乃改商七爲七十尺

　　　　　合初商共五百七十尺乘三次得一千

　　　　　零五十五億六千零一萬尺仍大於原

　　　　　積是次商不可商七也又改商六爲六

　　　　　十尺合初商共五百六十尺乘三次得

　　　　　九百八十三億四千四百九十六萬尺

　　　　　小於原積可減也乃定次商爲六十尺

　　　　　書於方積七萬尺之上而以五百六十

　　　　　尺乘三次之九百八十三億四千四百

　　　　　九十六尺與原積相減餘五十億一千

　　　　　零二十一萬尺爰以方根第三位積七

　　　　　千一百二十一尺續書於後共五十億

　　　　　一千零二十一萬七千一百二十一尺

　　　　　爲三商廉隅之共積而以初商次商之

　　　　　五百六十尺乘二次得一億七千五百

　　　　　六十一萬六千尺四因之得七億零二

　　　　　百四十六萬四千尺爲三商亷法以除

　　　　　三商積足七倍即定三商爲七尺書於

　　　　　方積一尺之上合初商次商共五百六

　　　　　十七尺乘三次得一千零三十三億五

　　　　　千五百一十七萬七千一百二十一尺

　　　　　與原積相減恰盡是開得五百六十七

　　　　　尺爲三乘方每一根之數也葢三乘方

　　　　　之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四

　　　　　長廉一小隅既得初商乃以初商自乘

　　　　　再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除

　　　　　餘積得次商以初商自乘與次商相乘

　　　　　六因之爲六自乘廉以次商自乘與初

　　　　　商相乘四因之爲四長廉以次商自乘

　　　　　再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自

　　　　　乘廉四長廉一小隅以次商乘之爲次

　　　　　商廉隅之共積今此法得次商之後合

　　　　　初商乘三次即得應減之積也

　　　　　又法用開平方法兩次開之初以原積

　　　　　一千零三十三億五千五百一十七萬

　　　　　七千一百二十一尺開平方得三十二

　　　　　萬一千四百八十九尺次以三十二萬

　　　　　一千四百八十九尺復開平方得五百

　　　　　六十七尺即三乘方每一根之數也

　　　　　又用表開法列積一千零三十三億五

　　　　　千五百一十七萬七千一百二十一尺

　　　　　自末位起算隔三位作記定位同前乃

　　　　　截方根第二位以前積一○三三五五

　　　　　一七爲初商次商之積於表中取比此

　　　　　數相近略小之數爲九八三四四九六

　　　　　(即初商次商/乘三次之數)其所對初商根爲五次商

　　　　　根爲六即將五六書於初商次商之位

　　　　　而以九八三四四九六書於初商次商

　　　　　積之下相減餘五○一○二一乃以九

　　　　　八三四四九六格内三商廉法七○二

　　　　　四六除餘積五○一○二一足七倍即

　　　　　定三商爲七書於三商之位合初商次

　　　　　商共五百六十七乘三次得一千零三

　　　　　十三億五千五百一十七萬七千一百

　　　　　二十一尺與原積相減恰盡即定三乘

　　　　　方根爲五百六十七尺也

　　四乘方

設如有四乘方積二百六十二兆零三十五億四千

　九百九十七萬八千一百二十五尺開四乘方問

　每一根之數幾何

　　　　　法列方積二百六十二兆零三十五億

　　　　　四千九百九十七萬八千一百二十五

　　　　　尺自末位起算每方積五位定方根一

　　　　　位故隔四位作記乃於五尺上定單位

　　　　　九十萬尺上定十位空百億尺上定百

　　　　　位其二百六十二兆尺爲初商積與七

　　　　　百乘四次之數相準即定初商爲七百

　　　　　尺書於方積空百億尺之上而以七百

　　　　　尺乘四次之一百六十八兆零七百億

　　　　　尺書於初商積之下相減餘九十三兆

　　　　　九千三百億尺爰以方根第二位餘積

　　　　　三十五億四千九百九十萬尺續書於

　　　　　後共九十三兆九千三百三十五億四

　　　　　千九百九十萬尺爲次商廉隅之共積

　　　　　而以初商之七百尺乘三次得二千四

　　　　　百零一億尺五因之得一兆二千零五

　　　　　億尺爲次商廉法以除次商積足七十

　　　　　倍因定次商爲七十尺合初商共七百

　　　　　七十尺乘四次得二百七十兆六千七

　　　　　百八十四億一千五百七十萬尺大於

　　　　　原積是次商不可商七也乃改商六爲

　　　　　六十尺合初商共七百六十尺乘四次

　　　　　得二百五十三兆五千五百二十五億

　　　　　三千七百六十萬尺小於原積可減也

　　　　　乃定次商爲六十尺書於方積九十萬

　　　　　尺之上而以七百六十尺乘四次之二

　　　　　百五十三兆五千五百二十五億三千

　　　　　七百六十萬尺與原積相減餘八兆四

　　　　　千五百一十億一千二百三十萬尺爰

　　　　　以方根第三位餘積七萬八千一百二

　　　　　十五尺續書於後共八兆四千五百一

　　　　　十億一千二百三十七萬八千一百二

　　　　　十五尺爲三商廉隅之共積而以初商

　　　　　次商之七百六十尺乘三次得三千三

　　　　　百三十六億二千一百七十六萬尺五

　　　　　因之得一兆六千六百八十一億零八

　　　　　百八十萬尺爲三商廉法以除三商積

　　　　　足五倍即定三商爲五尺書於方積五

　　　　　尺之上合初商次商共七百六十五尺

　　　　　乘四次得二百六十二兆零三十五億

　　　　　四千九百九十七萬八千一百二十五

　　　　　尺與原積相減恰盡是開得七百六十

　　　　　五尺爲四乘方每一根之數也葢四乘

　　　　　方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉

　　　　　十自乘廉五長廉一小隅既得初商乃

　　　　　以初商乘三次五因之得五三乘廉爲

　　　　　法除餘積得次商以初商自乘再乘與

　　　　　次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以

　　　　　初商自乘次商自乘兩數相乘十因之

　　　　　爲十自乘廉以次商自乘再乘與初商

　　　　　相乘五因之爲五長廉以次商數乘三

　　　　　次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘

　　　　　廉十自乘廉五長廉一小隅以次商乘

　　　　　之爲次商廉隅之共積今此法得次商

　　　　　之後合初商乘四次即得應減之積也

　　　　　又用表開法列積二百六十二兆零三

　　　　　十五億四千九百九十七萬八千一百

　　　　　二十五尺自末位起算隔四位作記定

　　　　　位同前乃截方根第二位以前積二六

　　　　　二○○三五四九九爲初商次商之積

　　　　　於表中取比此數相近略小之數爲二

　　　　　五三五五二五三七六(即初商次商/乘四次之數)其

　　　　　所對初商根爲七次商根爲六即將七

　　　　　六書於初商次商之位而以二五三五

　　　　　五二五三七六書於初商次商積之下

　　　　　相減餘八四五一○一二三乃以二五

　　　　　三五五二五三七六格内三商廉法一

　　　　　六六八一○八八除餘積八四五一○

　　　　　一二三足五倍即定三商爲五書於三

　　　　　商之位合初商次商共七百六十五乘

　　　　　四次得二百六十二兆零三十五億四

　　　　　千九百九十七萬八千一百二十五尺

　　　　　與原積相減恰盡即定四乘方根爲七

　　　　　百六十五尺也

　　五乘方

設如有五乘方積八十五京九千零六十八兆三千

　零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺

　開五乘方問每一根之數幾何

　　　　　法列方積八十五京九千零六十八兆

　　　　　三千零一十億二千五百三十九萬零

　　　　　六百二十五尺自末位起算每方積六

　　　　　位定方根一位故隔五位作記乃於五

　　　　　尺上定單位五百萬尺上定十位八兆

　　　　　尺上定百位其八十五京九千零六十

　　　　　八兆尺爲初商積與九百乘五次之數

　　　　　相準即定初商爲九百尺書於方積八

　　　　　兆尺之上而以九百尺乘五次之五十

　　　　　三京一千四百四十一尺書於初商積

　　　　　之下相減餘三十二京七千六百二十

　　　　　七兆尺爰以方根第二位積三千零一

　　　　　十億二千五百萬尺續書於後共三十

　　　　　二京七千六百二十七兆三千零一十

　　　　　億二千五百萬尺爲次商廉隅之共積

　　　　　而以初商之九百尺乘四次得五百九

　　　　　十兆四千九百億尺六因之得三千五

　　　　　百四十二兆九千四百億尺爲次商廉

　　　　　法以除次商積足八十倍因定次商爲

　　　　　八十尺按法相乘大於原積乃改商七

　　　　　十尺書於方積五百萬尺之上合初商

　　　　　共九百七十尺乘五次得八十三京二

　　　　　千九百七十二兆零四十九億二千九

　　　　　百萬尺與原積相減餘二京六千零九

　　　　　十六兆二千九百六十億九千六百萬

　　　　　尺爰以方根第三位積三十九萬零六

　　　　　百二十五尺續書於後共二京六千零

　　　　　九十六兆二千九百六十億九千六百

　　　　　三十九萬零六百二十五尺爲三商廉

　　　　　隅之共積而以初商次商之九百七十

　　　　　尺乘四次得八百五十八兆七千三百

　　　　　四十億二千五百七十萬尺六因之得

　　　　　五千一百五十二兆四千零四十一億

　　　　　五千四百二十萬尺爲三商廉法以除

　　　　　三商積足五倍即定三商爲五尺書於

　　　　　方積五尺之上合初商次商共九百七

　　　　　十五尺乘五次得八十五京九千零六

　　　　　十八兆三千零一十億二千五百三十

　　　　　九萬零六百二十五尺與原積相減恰

　　　　　盡是開得九百七十五尺爲五乘方每

　　　　　一根之數也葢五乘方之本法有六四

　　　　　乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十

　　　　　五自乘廉六長廉一小隅既得初商乃

　　　　　以初商乘四次六因之得六四乘廉爲

　　　　　法除餘積得次商以初商乘三次與次

　　　　　商相乘十五乘之爲十五三乘廉以初

　　　　　商自乘再乘次商自乘兩數相乘二十

　　　　　乘之爲二十自乘再乘廉以初商自乘

　　　　　次商自乘再乘兩數相乘十五乘之爲

　　　　　十五自乘廉以次商乘三次與初商相

　　　　　乘六因之爲六長廉以次商乘四次爲

　　　　　一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十

　　　　　自乘再乘廉十五自乘廉六長廉一小

　　　　　隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今

　　　　　此法得次商之後合初商乘五次即得

　　　　　應減之積也

　　　　　又法用開平方開立方法開之初以原

　　　　　積八十五京九千零六十八兆三千零

　　　　　一十億二千五百三十九萬零六百二

　　　　　十五尺開平方得九億二千六百八十

　　　　　五萬九千三百七十五尺又以九億二

　　　　　千六百八十五萬九千三百七十五尺

　　　　　開立方得九百七十五尺即五乘方每

　　　　　一根之數也

　　　　　又用表開法列積八十五京九千零六

　　　　　十八兆三千零一十億二千五百三十

　　　　　九萬零六百二十五尺自末位起算隔

　　　　　五位作記定位同前乃截方根第二位

　　　　　以前積八五九○六八三○一○二五

　　　　　爲初商次商之積於表中取比此數相

　　　　　近略小之數爲八三二九七二○○四

　　　　　九二九(即初商次商/乘五次之數)其所對初商根爲

　　　　　九次商根爲七即將九七書於初商次

　　　　　商之位而以八三二九七二○○四九

　　　　　二九書於初商次商積之下相減餘二

　　　　　六○九六二九六○九六乃以八三二

　　　　　九七二○○四九二九格内三商廉法

　　　　　五一五二四○四一五四除餘積二六

　　　　　○九六二九六○九六足五倍即定三

　　　　　商爲五書於三商之位合初商次商共

　　　　　九百七十五乘五次得八十五京九千

　　　　　零六十八兆三千零一十億二千五百

　　　　　三十九萬零六百二十五尺與原積相

　　　　　減恰盡即定五乘方根爲九百七十五

　　　　　尺也

　　六乘方

設如有六乘方積三垓二千五百八十九京四千五

　百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十

　萬零九百二十八尺開六乘方問每一根之數幾

　何

　　　　　法列方積三垓二千五百八十九京四

　　　　　千五百九十九兆二千五百二十三億

　　　　　九千五百九十萬零九百二十八尺自

　　　　　末位起算每方積七位定方根一位故

　　　　　隔六位作記乃於八尺上定單位九千

　　　　　萬尺上定十位五百兆尺上定百位其

　　　　　三垓二千五百八十九京四千五百兆

　　　　　尺爲初商積與八百乘六次之數相準

　　　　　即定初商爲八百尺書於方積五百兆

　　　　　尺之上而以八百尺乘六次之二垓零

　　　　　九百七十一京五千二百兆尺書於初

　　　　　商積之下相減餘一垓一千六百一十

　　　　　七京九千三百兆尺爰以方根第二位

　　　　　積九十九兆二千五百二十三億九千

　　　　　萬尺續書於後共一垓一千六百一十

　　　　　七京九千三百九十九兆二千五百二

　　　　　十三億九千萬尺爲次商廉隅之共積

　　　　　而以初商之八百尺乘五次得二十六

　　　　　京二千一百四十四兆尺七因之得一

　　　　　百八十三京五千零八兆尺爲次商廉

　　　　　法以除次商積足六十倍因定次商爲

　　　　　六十尺按法相乘大於原積乃改商五

　　　　　十尺書於方積九千萬尺之上合初商

　　　　　共八百五十尺乘六次得三垓二千零

　　　　　五十七京七千零八十八兆二千八百

　　　　　一十二億五千萬尺與原積相減餘五

　　　　　百三十一京七千五百一十兆九千七

　　　　　百一十一億四千萬尺爰以方根第三

　　　　　位積五百九十萬零九百二十八尺續

　　　　　書於後共五百三十一京七千五百一

　　　　　十兆九千七百一十一億四千五百九

　　　　　十萬零九百二十八尺爲三商廉隅之

　　　　　共積而以初商次商之八百五十尺乘

　　　　　五次得三十七京七千一百四十九兆

　　　　　五千一百五十六億二千五百萬尺七

　　　　　因之得二百六十四京零四十六兆六

　　　　　千零九十三億七千五百萬尺爲三商

　　　　　廉法以除三商積足二倍即定三商爲

　　　　　二尺書於方積八尺之上合初商次商

　　　　　共八百五十二尺乘六次得三垓二千

　　　　　五百八十九京四千五百九十九兆二

　　　　　千五百二十三億九千五百九十萬零

　　　　　九百二十八尺與原積相減恰盡是開

　　　　　得八百五十二尺爲六乘方每一根之

　　　　　數也葢六乘方之本法有七五乘廉二

　　　　　十一四乘廉三十五三乘廉三十五自

　　　　　乘再乘廉二十一自乘廉七長廉一小

　　　　　隅既得初商即以初商乘五次七因之

　　　　　得七五乘廉爲法除餘積得次商以初

　　　　　商乘四次與次商相乘二十一乘之爲

　　　　　二十一四乘廉以初商乘三次次商自

　　　　　乘兩數相乘三十五乘之爲三十五三

　　　　　乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘

　　　　　兩數相乘三十五乘之爲三十五自乘

　　　　　再乘廉以初商自乘次商乘三次兩數

　　　　　相乘二十一乘之爲二十一自乘廉以

　　　　　次商乘四次與初商相乘七因之爲七

　　　　　長廉以次商乘五次爲一小隅合七五

　　　　　乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三

　　　　　十五自乘再乘廉二十一自乘廉七長

　　　　　廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之

　　　　　共積今得次商之後合初商乘六次即

　　　　　得應減之積也

　　　　　又用表開法列積三垓二千五百八十

　　　　　九京四千五百九十九兆二千五百二

　　　　　十三億九千五百九十萬零九百二十

　　　　　八尺自末位起算隔六位作記定位同

　　　　　前乃截方根第二位以前積三二五八

　　　　　九四五九九二五二三九爲初商次商

　　　　　之積於表中取比此數相近略小之數

　　　　　爲三二○五七七○八八二八一二五

　　　　　(即初商次商/乘六次之數)其所對初商根爲八次商

　　　　　根爲五即將八五書於初商次商之位

　　　　　而以三二○五七七○八八二八一二

　　　　　五書於初商次商積之下相減餘五三

　　　　　一七五一○九七一一四乃以三二○

　　　　　五七七○八八二八一二五格内三商

　　　　　廉法二六四○○四六六○九三七除

　　　　　餘積五三一七五一○九七一一四足

　　　　　二倍即定三商爲二書於三商之位合

　　　　　初商次商共八百五十二尺乘六次得

　　　　　三垓二千五百八十九京四千五百九

　　　　　十九兆二千五百二十三億九千五百

　　　　　九十萬零九百二十八尺與原積相減

　　　　　恰盡即定六乘方根爲八百五十二尺

　　　　　也

　　七乘方

設如有七乘方積六百三十八垓五千一百三十二

　京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零

　一十九萬三千一百二十一尺開七乘方問每一

　根之數幾何

　　　　　法列方積六百三十八垓五千一百三

　　　　　十二京零二百三十三兆九千三百八

　　　　　十三億九千零一十九萬三千一百二

　　　　　十一尺自末位起算每方積八位定方

　　　　　根一位故隔七位作記乃於一尺上定

　　　　　單位三億尺上定十位二京尺上定百

　　　　　位其六百三十八垓五千一百三十二

　　　　　京尺爲初商積與七百乘七次之數相

　　　　　準即定初商爲七百尺書於方積二京

　　　　　尺之上而以七百尺乘七次之五百七

　　　　　十六垓四千八百零一京尺書於初商

　　　　　積之下相減餘六十二垓零三百三十

　　　　　一京尺爰以方根第二位積二百三十

　　　　　三兆九千三百八十三億尺續書於後

　　　　　共六十二垓零三百三十一京零二百

　　　　　三十三兆九千三百八十三億尺爲次

　　　　　商廉隅之共積而以初商之七百尺乘

　　　　　六次得八千二百三十五京四千三百

　　　　　兆尺八因之得六垓五千八百八十三

　　　　　京四千四百兆尺爲次商廉法以除次

　　　　　商積足九倍止可商九尺是次商爲空

　　　　　位也乃書一空於方積三億尺之上而

　　　　　以九尺書於方積一尺之上合初商次

　　　　　商共七百零九尺乘七次得六百三十

　　　　　八垓五千一百三十二京零二百三十

　　　　　三兆九千三百八十三億九千零一十

　　　　　九萬三千一百二十一尺與原積相減

　　　　　恰盡是開得七百零九尺爲七乘方每

　　　　　一根之數也葢七乘方之本法有八六

　　　　　乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七

　　　　　十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八

　　　　　自乘廉八長廉一小隅既得初商乃以

　　　　　初商乘六次八因之得八六乘廉爲法

　　　　　除餘積得次商以初商乘五次與次商

　　　　　相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以

　　　　　初商乘四次次商自乘兩數相乘五十

　　　　　六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三

　　　　　次次商自乘再乘兩數相乘七十乘之

　　　　　爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商

　　　　　乘三次兩數相乘五十六乘之爲五十

　　　　　六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四

　　　　　次兩數相乘二十八乘之爲二十八自

　　　　　乘廉以次商乘五次與初商相乘八因

　　　　　之爲八長廉以次商乘六次爲一小隅

　　　　　合八六乘廉二十八五乘廉五十六四

　　　　　乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉

　　　　　二十八自乘廉八長廉一小隅以次商

　　　　　乘之爲次商廉隅之共積今此法得次

　　　　　商之後合初商乘七次即得應減之積

　　　　　也

　　　　　又法用開平方法三次開之初以原積

　　　　　六百三十八垓五千一百三十二京零

　　　　　二百三十三兆九千三百八十三億九

　　　　　千零一十九萬三千一百二十一尺開

　　　　　平方得二千五百二十六億八千八百

　　　　　一十八萬七千七百六十一尺次以二

　　　　　千五百二十六億八千八百一十八萬

　　　　　七千七百六十一尺復開平方得五十

　　　　　萬二千六百八十一尺又以五十萬二

　　　　　千六百八十一尺復開平方得七百零

　　　　　九尺即七乘方每一根之數也

　　　　　又用表開法列積六百三十八垓五千

　　　　　一百三十二京零二百三十三兆九千

　　　　　三百八十三億九千零一十九萬三千

　　　　　一百二十一尺自末位起算隔七位作

　　　　　記定位同前乃截方根第二位以前積

　　　　　六三八五一三二○二三三九三八三

　　　　　爲初商次商之積於表中取比此數相

　　　　　近略小之數爲五七六四八○一○○

　　　　　○○○○○○(即初商次商/乘七次之數)其所對初

　　　　　商根爲七次商根爲○即將七○書於

　　　　　初商次商之位而以五七六四八○一

　　　　　○○○○○○○○書於初商次商積

　　　　　之下相減餘六二○三三一○二三三

　　　　　九三八三乃以五七六四八○一○○

　　　　　○○○○○○格内三商廉法六五八

　　　　　八三四四○○○○○○除餘積六二

　　　　　○三三一○二三三九三八三足九倍

　　　　　即定三商爲九書於三商之位合初商

　　　　　次商共七百零九尺乘七次得六百三

　　　　　十八垓五千一百三十二京零二百三

　　　　　十三兆九千三百八十三億九千零一

　　　　　十九萬三千一百二十一尺與原積相

　　　　　減恰盡即定七乘方根爲七百零九尺

　　　　　也

　　八乘方

設如有八乘方積四千二百四十四垓三千五百八

　十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億

　五千二百八十二萬七千三百九十二尺開八乘

　方問每一根之數幾何

　　　　　法列方積四千二百四十四垓三千五

　　　　　百八十四京九千一百八十五兆四千

　　　　　四百四十九億五千二百八十二萬七

　　　　　千三百九十二尺自末位起算每方積

　　　　　九位定方根一位故隔八位作記乃於

　　　　　二尺上定單位四十億尺上定十位五

　　　　　百京尺上定百位其四千二百四十四

　　　　　垓三千五百京尺爲初商積與四百乘

　　　　　八次之數相準即定初商爲四百尺書

　　　　　於方積五百京尺之上而以四百尺乘

　　　　　八次之二千六百二十一垓四千四百

　　　　　京尺書於初商積之下相減餘一千六

　　　　　百二十二垓九千一百京尺爰以方根

　　　　　第二位積八十四京九千一百八十五

　　　　　兆四千四百四十億尺續書於後共一

　　　　　千六百二十二垓九千一百八十四京

　　　　　九千一百八十五兆四千四百四十億

　　　　　尺爲次商廉隅之共積而以初商之四

　　　　　百尺乘七次得六垓五千五百三十六

　　　　　京尺九因之得五十八垓九千八百二

　　　　　十四京尺爲次商廉法以除次商積足

　　　　　二十倍即定次商爲二十尺書於方積

　　　　　四十億尺之上合初商共四百二十尺

　　　　　乘八次得四千零六十六垓七千一百

　　　　　三十八京三千八百四十九兆四千七

　　　　　百二十億尺與原積相減餘一百七十

　　　　　七垓六千四百四十六京五千三百三

　　　　　十五兆九千七百二十億尺爰以方根

　　　　　第三位積九億五千二百八十二萬七

　　　　　千二百九十二尺續書於後共一百七

　　　　　十七垓六千四百四十六京五千三百

　　　　　三十五兆九千七百二十九億五千二

　　　　　百八十二萬七千三百九十二尺爲三

　　　　　商廉隅之共積而以初商次商之四百

　　　　　二十尺乘七次得九垓六千八百二十

　　　　　六京五千一百九十九兆六千四百一

　　　　　十六億尺九因之得八十七垓一千四

　　　　　百三十八京六千七百九十六兆七千

　　　　　七百四十四億尺爲三商廉法以除三

　　　　　商積足二倍即定三商爲二尺書於方

　　　　　積二尺之上合初商次商共四百二十

　　　　　二尺乘八次得四千二百四十四垓三

　　　　　千五百八十四京九千一百八十五兆

　　　　　四千四百四十九億五千二百八十二

　　　　　萬七千三百九十二尺與原積相減恰

　　　　　盡是開得四百二十二尺爲八乘方每

　　　　　一根之數也葢八乘方之本法有九七

　　　　　乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一

　　　　　百二十六四乘廉一百二十六三乘廉

　　　　　八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九

　　　　　長廉一小隅既得初商乃以初商乘七

　　　　　次九因之得九七乘廉爲法除餘積得

　　　　　次商以初商乘六次與次商相乘三十

　　　　　六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五

　　　　　次次商自乘兩數相乘八十四乘之爲

　　　　　八十四五乘廉以初商乘四次次商自

　　　　　乘再乘兩數相乘一百二十六乘之爲

　　　　　一百二十六四乘廉以初商乘三次次

　　　　　商乘三次兩數相乘一百二十六乘之

　　　　　爲一百二十六三乘廉以初商自乘再

　　　　　乘次商乘四次兩數相乘八十四乘之

　　　　　爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次

　　　　　商乘五次兩數相乘三十六乘之爲三

　　　　　十六自乘廉以次商乘六次與初商相

　　　　　乘九因之爲九長廉以次商乘七次爲

　　　　　一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八

　　　　　十四五乘廉一百二十六四乘廉一百

　　　　　二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三

　　　　　十六自乘廉九長廉一小隅以次商乘

　　　　　之爲次商廉隅之共積今此法得次商

　　　　　之後合初商乘八次即得應減之積也

　　　　　又法用開立方法兩次開之初以原積

　　　　　四千二百四十四垓三千五百八十四

　　　　　京九千一百八十五兆四千四百四十

　　　　　九億五千二百八十二萬七千三百九

　　　　　十二尺開立方得七千五百一十五萬

　　　　　一千四百四十八尺次以七千五百一

　　　　　十五萬一千四百四十八尺復開立方

　　　　　得四百二十二尺即八乘方每一根之

　　　　　數也

　　　　　又用表開法列積四千二百四十四垓

　　　　　三千五百八十四京九千一百八十五

　　　　　兆四千四百四十九億五千二百八十

　　　　　二萬七千三百九十二尺自末位起算

　　　　　隔八位作記定位同前乃截方根第二

　　　　　位以前積四二四四三五八四九一八

　　　　　五四四四爲初商次商之積於表中取

　　　　　比此數相近畧小之數爲四○六六七

　　　　　一三八三八四九四七二(即初商次商/乘八次之數)

　　　　　其所對初商根爲四次商根爲二即將

　　　　　四二書於初商次商之位而以四○六

　　　　　六七一三八三八四九四七二書於初

　　　　　商次商積之下相減餘一七七六四四

　　　　　六五三三五九七二乃以四○六六七

　　　　　一三八三八四九四七二格内三商廉

　　　　　法八七一四三八六七九六七七四除

　　　　　餘積一七七六四四六五三三五九七

　　　　　二足二倍即定三商爲二書於三商之

　　　　　位合初商次商共四百二十二尺乘八

　　　　　次得四千二百四十四垓三千五百八

　　　　　十四京九千一百八十五兆四千四百

　　　　　四十九億五千二百八十二萬七千三

　　　　　百九十二尺與原積相減恰盡即定八

　　　　　乘方根爲四百二十二尺也

　　九乘方

設如有九乘方積八穰七千四百零六垓九千四百

　四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四

　千七百二十二萬零二百二十四尺開九乘方問

　每一根之數幾何

　　　　　法列方積八穰七千四百零六垓九千

　　　　　四百四十七京八千零一十四兆三千

　　　　　二百九十億四千七百二十二萬零二

　　　　　百二十四尺自末位起算每方積十位

　　　　　定方根一位故隔九位作記乃於四尺

　　　　　上定單位二百億尺上定十位六垓尺

　　　　　上定百位其八穰七千四百零六垓尺

　　　　　爲初商積與三百乘九次之數相準即

　　　　　定初商爲三百尺書於方積六垓尺之

　　　　　上而以三百尺乘九次之五穰九千零

　　　　　四十九垓尺書於初商積之下相減餘

　　　　　二穰八千三百五十七垓尺爰以方根

　　　　　第二位積九千四百四十七京八千零

　　　　　一十四兆三千二百億尺續書於後共

　　　　　二穰八千三百五十七垓九千四百四

　　　　　十七京八千零一十四兆三千二百億

　　　　　尺爲次商廉隅之共積而以初商之三

　　　　　百尺乘八次得一百九十六垓八千三

　　　　　百京尺又以十因之得一千九百六十

　　　　　八垓三千京尺爲次商廉法以除次商

　　　　　積足十倍即定次商爲一十尺書於方

　　　　　積二百億尺之上合初商共三百一十

　　　　　尺乘九次得八穰一千九百六十二垓

　　　　　八千二百八十六京九千八百零八兆

　　　　　零一百億尺與原積相減餘五千四百

　　　　　四十四垓一千一百六十京八千二百

　　　　　零六兆三千一百億尺爰以方根第三

　　　　　位積九十億四千七百二十二萬零二

　　　　　百二十四尺續書於後共五千四百四

　　　　　十四垓一千一百六十京八千二百零

　　　　　六兆三千一百九十億四千七百二十

　　　　　二萬零二百二十四尺爲三商廉隅之

　　　　　共積而以初商次商之三百一十尺乘

　　　　　八次得二百六十四垓三千九百六十

　　　　　二京二千一百六十兆六千七百一十

　　　　　億尺十因之得二千六百四十三垓九

　　　　　千六百二十二京一千六百零六兆七

　　　　　千一百億尺爲三商廉法以除三商積

　　　　　足二倍即定三商爲二尺書於方積四

　　　　　尺之上合初商次商共三百一十二尺

　　　　　乘九次得八穰七千四百零六垓九千

　　　　　四百四十七京八千零一十四兆三千

　　　　　二百九十億四千七百二十二萬零二

　　　　　百二十四尺與原積相減恰盡是開得

　　　　　三百一十二尺爲九乘方每一根之數

　　　　　也葢九乘方之本法有十八乘廉四十

　　　　　五七乘廉一百二十六乘廉二百一十

　　　　　五乘廉二百五十二四乘廉二百一十

　　　　　三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五

　　　　　自乘廉十長廉一小隅既得初商乃以

　　　　　初商乘八次十因之得十八乘廉爲法

　　　　　除餘積得次商以初商乘七次與次商

　　　　　相乘四十五乘之爲四十五七乘廉以

　　　　　初商乘六次次商自乘兩數相乘一百

　　　　　二十乘之爲一百二十六乘廉以初商

　　　　　乘五次次商自乘再乘兩數相乘二百

　　　　　一十乘之爲二百一十五乘廉以初商

　　　　　乘四次次商乘三次兩數相乘二百五

　　　　　十二乘之爲二百五十二四乘廉以初

　　　　　商乘三次次商乘四次兩數相乘二百

　　　　　一十乘之爲二百一十三乘廉以初商

　　　　　自乘再乘次商乗五次兩數相乘一百

　　　　　二十乘之爲一百二十自乘再乘廉以

　　　　　初商自乘次商乘六次兩數相乘四十

　　　　　五乘之爲四十五自乘廉以次商乘七

　　　　　次與初商相乘十因之爲十長廉以次

　　　　　商乘八次爲一小隅合十八乘廉四十

　　　　　五七乘廉一百二十六乘廉二百一十

　　　　　五乘廉二百五十二四乘廉二百一十

　　　　　三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五

　　　　　自乘廉十長廉一小隅以次商乘之爲

　　　　　次商廉隅之共積今此法得次商之後

　　　　　合初商乘九次即得應減之積也

　　　　　又法用開平方開四乘方法開之初以

　　　　　原積八穰七千四百零六垓九千四百

　　　　　四十七京八千零一十四兆三千二百

　　　　　九十億四千七百二十二萬零二百二

　　　　　十四尺開平方得二兆九千五百六十

　　　　　四億六千六百五十五萬二千八百三

　　　　　十二尺又以二兆九千五百六十四億

　　　　　六千六百五十五萬二千八百三十二

　　　　　尺開四乘方得三百一十二尺即九乘

　　　　　方每一根之數也

　　　　　又用表開法列積八穰七千四百零六

　　　　　垓九千四百四十七京八千零一十四

　　　　　兆三千二百九十億四千七百二十二

　　　　　萬零二百二十四尺自末位起算隔九

　　　　　位作記定位同前乃截方根第二位以

　　　　　前積八七四○六九四四七八○一四

　　　　　三二爲初商次商之積於表中取比此

　　　　　數相近畧小之數爲八一九六二八二

　　　　　八六九八○八○一(即初商次商/乘九次之數)其所

　　　　　對初商根爲三次商根爲一即將三一

　　　　　書於初商次商之位而以八一九六二

　　　　　八二八六九八○八○一書於初商次

　　　　　商積之下相減餘五四四四一一六○

　　　　　八二○六三一乃以八一九六二八二

　　　　　八六九八○八○一格内三商廉法二

　　　　　六四三九六二二一六○六七一除餘

　　　　　積五四四四一一六○八二○六三一

　　　　　足二倍即定三商爲二書於三商之位

　　　　　合初商次商共三百一十二尺乘九次

　　　　　得八穰七千四百零六垓九千四百四

　　　　　十七京八千零一十四兆三千二百九

　　　　　十億四千七百二十二萬零二百二十

　　　　　四尺與原積相減恰盡即定九乘方根

　　　　　爲三百一十二尺也

　　諸乘方表

凡表上横行所列自一至九之數為初商根右直行

所列自○至九之數為次商根其中每格所列細數

二層上層為初商次商積(如立方表第一行第三格/上層一七二八即方根一)

(二自乘再乘/之數餘倣此)下層為三商亷法(如立方表第一行第/三格下層四三即三)

(商亷法乃以初商次商兩根一二自乘三因截去末/一位之數葢方根既有三位則初商為百次商為十)

(以一百二十自乘三因得四三二○○為亷法除實/至三商本位止今㨗法止用次商餘積求三商不加)

(三商本位之積其初商仍作十用以十二自乘三因/得四三二仍比次商餘積多一位故截去末一位止)

(用四三為亷法除實則法實尾/位均齊定位始無誤餘倣此)用表之法具見設如

立方表

御製數理精藴下編卷三十二