御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷三十三

　　末部三

　　　借根方比例(帶縱平方乘方帶縱立方/三乘方四 五乘方附)

　　帶縱平方

借根方比例開帶縱平方其以長方之積用長闊之

較或和而求長闊之數皆與常法同但不立和縱較

縱之名惟有多根少根之號而毎根之數或爲長方

之闊或爲長方之長錯綜其名有十二種推究其實

總不出和較之兩端如云一平方多㡬根與幾真數

等或幾根多一平方與幾真數等或一平方與幾真

數少幾根等或幾根與幾真數少一平方等此四者

根皆較縱而其毎根之數皆長方之闊也如云一平

方少幾根與幾真數等或一平方少幾眞數與幾根

等或一平方與幾真數多幾根等或一平方與幾根

多幾眞數等此四者根亦皆較縱而其每根之數則

皆長方之長也如云一平方多幾真數與幾根等或

幾眞數多一平方與幾根等或幾真數與幾根少一

平方等或一平方與幾根少幾眞數等此四者根皆

和縱而其毎根之數或爲長方之長或爲長方之闊

也要之所謂一平方者即一正方而多幾根少幾根

即變正方而爲長方其眞數比平方多根者其毎根

爲闊眞數比平方少根者其每根爲長二者皆較縱

惟眞數比根少平方者則爲和縱也至於開之之法

皆以眞數爲長方積以根數爲縱(即以根數作眞數/用如三根即作三)

(眞數五根即作五真/數之類解見設如)依面部帶縱平方法開之有較

縱者先求和有和縱者先求較其根爲長方之闊者

以和較相減折半而得每根之數(用半和半較立法/者則相減即得根)

(數不用/折半)其根爲長方之長者以和較相加折半而得

每根之數也(用半和半較立法者則相/加即得根數不用折半)俱詳設如

設如有一平方多二根與二十四尺相等問每一根

　之數幾何

　　　　　法以二十四尺爲長方積二根爲縱多

　　　　　二尺用帶縱較數開平方法算之將積

　　　　　數四因加縱多自乘之數得一百尺開

　　　　　平方得十尺爲和減較二尺餘八尺折

　　　　　半得四尺爲一根之數即長方之闊加

　　　　　較二尺得六尺即長方之長也如圖甲

　　　　　乙丙丁長方形共積二十四尺甲乙四

　　　　　尺爲一根爲闊甲丁六尺爲長戊丁二

　　　　　尺爲縱多甲乙己戊爲一平方戊己丙

　　　　　丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有

　　　　　甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之

　　　　　二根故云一平方多二根與二十四尺

　　　　　相等也若以積計之則積之多於平方

　　　　　者爲戊己丙丁之二根若以邊計之則

　　　　　長多於闊者爲戊丁之二尺故以二根

　　　　　即作二尺爲縱多也此法錯綜其名則

　　　　　爲四種一平方多二根與二十四尺相

　　　　　等一也如二根多一平方亦必與二十

　　　　　四尺相等又一也若於一平方多二根

　　　　　與二十四尺各减去二根則爲一平方

　　　　　與二十四尺少二根相等此又其一也

　　　　　(甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁/二根餘甲乙己戊一平方故爲一平方)

　　　　　(與二十四尺少/二根相等也)又如一平方多二根與

　　　　　二十四尺各减去一平方則爲二根與

　　　　　二十四尺少一平方相等此又其一也

　　　　　(甲乙丙丁二十四尺内減去甲乙己戊/一平方餘戊己丙丁二根故爲二根與)

　　　　　(二十四尺少一/平方相等也)此四者名雖不同合而

　　　　　觀之總爲眞數比一正方多根數故知

　　　　　其爲較縱而每根之數爲闊也

設如有一平方少四根與四十五尺相等問每一根

　之數幾何

　　　　　法以四十五尺爲長方積四根爲縱多

　　　　　四尺用帶縱較數開平方法算之將積

　　　　　數四因加縱多自乘之數得一百九十

　　　　　六尺開平方得十四尺爲和加較四尺

　　　　　得十八尺折半得九尺爲一根之數即

　　　　　長方之長減較四尺得五尺即長方之

　　　　　闊也如圖甲乙丙丁長方形共積四十

　　　　　五尺甲乙九尺爲一根爲長甲丁五尺

　　　　　爲闊甲戊與甲乙等丁戊四尺爲縱甲

　　　　　乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根於

　　　　　甲乙己戊平方内減去丁丙己戊之四

　　　　　根則餘甲乙丙丁四十五尺故云一平

　　　　　方少四根與四十五尺相等也若以積

　　　　　計之則積之少於平方者爲丁丙己戊

　　　　　之四根若以邊計之則闊少於長者爲

　　　　　丁戊之四尺故以四根作四尺爲縱多

　　　　　也此法錯綜其名亦爲四種一平方少

　　　　　四根與四十五尺相等一也如一平方

　　　　　少四十五尺亦必與四根相等又一也

　　　　　若於一平方少四根與四十五尺各加

　　　　　四根則爲一平方與四十五尺多四根

　　　　　相等此又其一也(甲乙丙丁四十五尺/加丁丙己戊四根成)

　　　　　(甲乙己戊一平方故爲一平方/與四十五尺多四根相等也)如一平

　　　　　方亦必與四根多四十五尺相等此又

　　　　　其一也此四者名雖不同合而觀之總

　　　　　爲真數比一正方少根數故知其爲較

　　　　　縱而其每根之數爲長也

設如有一平方多三十六尺與十三根相等問每一

　根之數幾何

　　　　　法以三十六尺爲長方積十三根爲和

　　　　　十三尺用帶縱和數開平方法算之將

　　　　　積數四因與和自乘數相減餘二十五

　　　　　尺開平方得五尺爲較與和十三尺相

　　　　　减餘八尺折半得四尺爲一根之數即

　　　　　長方之闊加較五尺得九尺即長方之

　　　　　長也如圖甲乙丙丁長方形共積三十

　　　　　六尺甲乙四尺爲一根爲闊甲丁九尺

　　　　　爲長甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十

　　　　　三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊

　　　　　十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有

　　　　　丁丙己戊一平方故云一平方多三十

　　　　　六尺與十三根相等也若以積計之則

　　　　　積三十六尺與一平方相加共得甲乙

　　　　　己戊之十三根若以邊計之則長九尺

　　　　　與闊四尺相加得甲戊之十三尺故將

　　　　　十三根作十三尺爲和也此法錯綜其

　　　　　名亦爲四種一平方多三十六尺與十

　　　　　三根相等一也如三十六尺多一平方

　　　　　亦必與十三根相等又一也若於一平

　　　　　方多三十六尺與十三根各减去三十

　　　　　六尺則爲一平方與十三根少三十六

　　　　　尺相等此又其一也(甲乙己戊十三根/内减去甲乙丙丁)

　　　　　(三十六尺餘丁丙己戊一平方故云一/平方與十三根少三十六尺相等也)

　　　　　又如一平方多三十六尺與十三根各

　　　　　减去一平方則爲三十六尺與十三根

　　　　　少一平方相等此又其一也(甲乙己戊/十三根内)

　　　　　(減去丁丙己戊一平方餘甲乙丙丁三/十六尺故爲三十六尺與十三根少一)

　　　　　(平方相/等也)此四者名雖不同合而觀之總

　　　　　爲眞數比根數少一正方故知其爲和

　　　　　而其毎根之數爲闊也

設如有一平方多三十二尺與十二根相等問每一

　根之數幾何

　　　　　法以三十二尺爲長方積十二根爲和

　　　　　十二尺用帶縱和數開平方法算之將

　　　　　積數四因與和自乘數相減餘十六尺

　　　　　開平方得四尺爲較加和十二尺得十

　　　　　六尺折半得八尺爲一根之數即長方

　　　　　之長減較四尺餘四尺即長方之闊也

　　　　　如圖甲乙丙丁長方形共積三十二尺

　　　　　甲乙八尺爲一根爲長甲丁四尺爲闊

　　　　　甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根

　　　　　丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二

　　　　　根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙

　　　　　己戊一平方故云一平方多三十二尺

　　　　　與十二根相等也若以積計之則積三

　　　　　十二尺與一平方相加共得甲乙己戊

　　　　　十二根若以邊計之則長八尺與闊四

　　　　　尺相加得甲戊之十二尺故以十二根

　　　　　作十二尺爲和也此法亦眞數比根數

　　　　　少一正方故知其爲和而其每根之數

　　　　　爲長也

　　帶縱立方　(三乘方/)　(四乘方/)　(五乘方附/)

借根方比例開帶縱立方與常法不同常法先知各

邊之和或較既開得一邊之數以和較加減之即得

各邊之數此法止有根方多少之號而無和縱較縱

之名惟求每根之數而不問餘邊其立法之本意葢

欲借根方以求他數既得一根之數則所求之數已

得而方之形體有所不計且其與根方相等之積數

或爲長方體扁方體形或非長方體扁方體形(或於/長方)

(扁方之内少幾數或於長方扁方之外/多幾數則不能成長方扁方體形也)皆不可知故

不可以帶縱之常法求也(其積數或原爲幾根幾方/之總數而非一長方或一)

(扁方之全數則止可以逐方逐根計之若作一長方/或一扁方算則其各邊必有奇零不盡而轉與所設)

(之根數/不合矣)今類其法分爲九種如一立方多幾根與幾

真數等一也一立方少幾根與幾眞數等二也一立

方多幾平方與幾真數等三也一立方少幾平方與

幾眞數等四也一立方多幾平方多幾根與幾眞數

等五也一立方少幾平方少幾根與幾真數等六也

一立方多幾平方少幾根與幾眞數等七也一立方

少幾平方多幾根與幾真數等八也又幾平方少一

立方與幾眞數等九也其開之之法除第九種外餘

俱依立方法定初商復視所帶根方爲多號者其商

數須取略小於應得之數所帶根方數爲少號者其

商數須取略大於應得之數俱以初商數自乘再乘

爲立方積以初商自乘數與幾平方相乘爲所帶平

方之共積以初商數與幾根相乘爲所帶根數之共

積多號者與立方積相加少號者與立方積相減然

後與原積相減不盡者爲次商積次商之法以初商

自乘數三因之爲立方廉以初商數倍之與幾平方

相乘爲所帶平方之共廉多號者與立方廉相加少

號者與立方廉相減又加減所帶之根數(多根者加/少根者減)

爲次商廉法以廉法除次商積得次商即合初商自

乘再乘爲立方積仍如所帶幾根幾平方加減之而

後減原積並與初商同至於第九種之法則將立方

與真數俱用平方數除之得一平方少幾分立方之

一與幾眞數等依平方法定初商其商數須取略大

於應得之數乃以初商數自乘爲平方積又以初商

數再乘爲立方積以平方數除之得數爲少幾分立

方之一以減平方積而後與原積相減不盡者爲次

商積次商之法以初商數倍之爲平方廉又以初商

自乘數三因之爲立方廉以平方數除之得數以減

平方廉餘爲次商廉法以廉法除次商積得次商其

減積之法與初商同以上九種如法開之即得每根

之數也要之所謂一立方者即一正方體而多平方

多根少平方少根即變正方體而爲長方體扁方體

或爲磬折長方體扁方體其積數中有立方則用再

乘有平方則用自乘有根則用商數多則相加少則

相減九種之中無異術也即推之多乘方莫不皆然

總以其累乘之數爲主而以所帶根方之積數加減

之與立方無二理也爰將立方九種之法各設一例

以明其理而三乘四乘五乘之法亦各設二例以附

其後焉

設如有一立方多八根與一千八百二十四尺相等

　問毎一根之數幾何

　　　　　法列原積一千八百二十四尺按立方

　　　　　法作記於四尺上定單位一千尺上定

　　　　　十位其一千尺爲初商積與十尺自乘

　　　　　再乘之數相合即定初商爲十尺書於

　　　　　原積一千尺之上而以初商十尺自乘

　　　　　再乘之一千尺爲一立方積又以初商

　　　　　十尺八因之得八十尺爲多八根之共

　　　　　積與一立方積相加得一千零八十尺

　　　　　書於原積之下相減餘七百四十四尺

　　　　　爲次商積而以初商之十尺自乘之一

　　　　　百尺三因之得三百尺爲一立方廉加

　　　　　根數八共三百零八尺爲次商廉法以

　　　　　除次商積足二倍即定次商爲二尺書

　　　　　於原積四尺之上合初商共一十二尺

　　　　　自乘再乘得一千七百二十八尺爲一

　　　　　立方積又以十二尺八因之得九十六

　　　　　尺爲八根之共積與立方積相加共得

　　　　　一千八百二十四尺書於原積之下相

　　　　　減恰盡是開得一十二尺爲每一根之

　　　　　數也此法以積計之爲一正方體及八

　　　　　根之共數以邊計之則所得毎根之數

　　　　　即正方體之毎一邊因正方體之外多

　　　　　八根故成一磬折體而非正方體亦非

　　　　　長方體也

設如有一立方少九根與一千六百二十尺相等問

　毎一根之數幾何

　　　　　法列原積一千六百二十尺按立方法

　　　　　作記於空尺上定單位一千尺上定十

　　　　　位其一千尺爲初商積與十尺自乘再

　　　　　乘之數相合即定初商爲十尺書於原

　　　　　積一千尺之上而以初商十尺自乘再

　　　　　乘之一千尺爲一立方積又以初商十

　　　　　尺九因之得九十尺爲少九根之共積

　　　　　與立方積相減餘九百一十尺書於原

　　　　　積之下相減餘七百一十尺爲次商積

　　　　　而以初商之十尺自乘之一百尺三因

　　　　　之得三百尺爲一立方廉内減去根數

　　　　　九餘二百九十一尺爲次商廉法以除

　　　　　次商積足二倍即定次商爲二尺書於

　　　　　原積空尺之上合初商共十二尺自乘

　　　　　再乘得一千七百二十八尺爲一立方

　　　　　積又以十二尺九因之得一百零八尺

　　　　　爲少九根之共積與立方積相減餘一

　　　　　千六百二十尺書於原積之下相減恰

　　　　　盡是開得一十二尺爲毎一根之數也

　　　　　此法以積計之爲一正方體少九根之

　　　　　數以邊計之則所得每根之數即正方

　　　　　體之每一邊因正方體内少九根之數

　　　　　故成磬折體而非正方體亦非扁方體

　　　　　也

設如有一立方多四平方與二千三百零四尺相等

　問每一根之數幾何

　　　　　法列原積二千三百零四尺按立方法

　　　　　作記於四尺上定單位二千尺上定十

　　　　　位其二千尺爲初商積與十尺自乘再

　　　　　乘之數相準即定初商爲十尺書於原

　　　　　積二千尺之上而以初商十尺自乘再

　　　　　乘之一千尺爲一立方積又以初商十

　　　　　尺自乘之一百尺四因之得四百尺爲

　　　　　多四平方之共積與立方積相加得一

　　　　　千四百尺書於原積之下相減餘九百

　　　　　零四尺爲次商積而以初商之十尺自

　　　　　乘三因之得三百尺爲一立方廉又以

　　　　　初商之十尺倍之得二十尺四因之得

　　　　　八十尺爲四平方廉與一立方廉相加

　　　　　得三百八十尺爲次商廉法以除次商

　　　　　積足二倍即定次商爲二尺書於原積

　　　　　四尺之上合初商共十二尺自乘再乘

　　　　　得一千七百二十八尺爲一立方積又

　　　　　以十二尺自乘之一百四十四尺四因

　　　　　之得五百七十六尺爲多四平方之共

　　　　　積與立方積相加共得二千三百零四

　　　　　尺書於原積之下相減恰盡是開得一

　　　　　十二尺爲每一根之數也此法以積計

　　　　　之爲一正方體及四平方之共數以邊

　　　　　計之則所得每根之數即正方體之每

　　　　　一邊亦即平方之每一邊因正方體之

　　　　　外多四平方故成長方體而非正方體

　　　　　也

設如有一立方少八平方與七千九百三十五尺相

　等問每一根之數幾何

　　　　　法列原積七千九百三十五尺按立方

　　　　　法作記於五尺上定單位七千尺上定

　　　　　十位其七千尺爲初商積與十尺自乘

　　　　　再乘之數相凖應商十尺而所帶平方

　　　　　爲少號故取略大之數爲二十尺書於

　　　　　原積七千尺之上而以初商二十尺自

　　　　　乘再乘之八千尺爲一立方積又以初

　　　　　商二十尺自乘之四百尺八因之得三

　　　　　千二百尺爲少八平方之共積與立方

　　　　　積相減餘四千八百尺書於原積之下

　　　　　相減餘三千一百三十五尺爲次商積

　　　　　而以初商之二十尺自乘三因之得一

　　　　　千二百尺爲一立方廉又以初商之二

　　　　　十尺倍之得四十尺八因之得三百二

　　　　　十尺爲八平方廉與一立方廉相減餘

　　　　　八百八十尺爲次商廉法以除次商積

　　　　　足三倍即定次商爲三尺書於原積五

　　　　　尺之上合初商共二十三尺自乘再乘

　　　　　得一萬二千一百六十七尺爲一立方

　　　　　積又以二十三尺自乘之五百二十九

　　　　　尺八因之得四千二百三十二尺爲少

　　　　　八平方之共積與一立方積相減餘七

　　　　　千九百三十五尺書於原積之下相減

　　　　　恰盡是開得二十三尺爲每一根之數

　　　　　也此法以積計之爲一正方體少八平

　　　　　方之數以邊計之則所得每根之數即

　　　　　正方體之每一邊亦即平方之每一邊

　　　　　因正方體之内少八平方故成扁方體

　　　　　而非正方體也

設如有一立方多十三平方多三十根與二萬七千

　一百四十四尺相等問毎一根之數幾何

　　　　　法列原積二萬七千一百四十四尺按

　　　　　立方法作記於四尺上定單位七千尺

　　　　　上定十位其二萬七千尺爲初商積與

　　　　　三十自乘再乘之數相合應商三十尺

　　　　　而所帶平方與根皆爲多號故取略小

　　　　　之數爲二十尺書於原積七千尺之上

　　　　　而以初商二十尺自乘再乘之八千尺

　　　　　爲一立方積又以初商二十尺自乘之

　　　　　四百尺十三乘之得五千二百尺爲多

　　　　　十三平方之共積又以初商之二十尺

　　　　　三十乘之得六百尺爲多三十根之共

　　　　　積三積(立方平方與/根之三數)相加得一萬三千

　　　　　八百尺書於原積之下相減餘一萬三

　　　　　千三百四十四尺爲次商積而以初商

　　　　　之二十尺自乘三因之得一千二百尺

　　　　　爲一立方廉又以初商之二十尺倍之

　　　　　得四十尺以十三乘之得五百二十尺

　　　　　爲十三平方廉與立方廉相加得一千

　　　　　七百二十尺又加根數三十共一千七

　　　　　百五十尺爲次商廉法以除次商積足

　　　　　七倍因取略小之數爲六尺書於原積

　　　　　四尺之上合初商共二十六尺自乘再

　　　　　乘得一萬七千五百七十六尺爲一立

　　　　　方積又以二十六尺自乘之六百七十

　　　　　六尺十三乘之得八千七百八十八尺

　　　　　爲多十三平方之共積又以二十六尺

　　　　　三十乘之得七百八十尺爲多三十根

　　　　　之共積三積相加共二萬七千一百四

　　　　　十四尺書於原積之下相減恰盡是開

　　　　　得二十六尺爲毎一根之數也此法以

　　　　　積計之爲一正方體及十三平方與三

　　　　　十根之共數以邊計之則所得每根之

　　　　　數即正方體之每一邊亦即平方之每

　　　　　一邊因正方體之外多十三平方又多

　　　　　三十根恰成長方體而非正方體亦非

　　　　　磬折體也(將所多之十三平方内十平/方附於正方體之一面又以)

　　　　　(三平方加於正方體之又一面即成磬/折體而缺三十根之數如以三十根補)

　　　　　(其缺即成長方體其寛即一根爲二十/六尺其長即一根多十尺爲三十六尺)

　　　　　(其高即一根多三尺爲二十九尺也此/因所多之平方及根數適足長方體形)

　　　　　(故爲長方體若平方與根數/不能補足者仍爲磬折體也)

設如有一立方少七平方少八根與七千零八十四

　尺相等問每一根之數幾何

　　　　　法列原積七千零八十四尺按立方法

　　　　　作記於四尺上定單位七千尺上定十

　　　　　位其七千尺爲初商積與十尺自乘再

　　　　　乘之數相凖而所帶平方與根皆爲少

　　　　　號故取略大之數爲二十尺書於原積

　　　　　七千尺之上而以初商二十尺自乘再

　　　　　乘之八千尺爲一立方積又以初商二

　　　　　十尺自乘之四百尺七因之得二千八

　　　　　百尺爲少七平方之共積又以初商之

　　　　　二十尺八因之得一百六十尺爲少八

　　　　　根之共積與少七平方共積相加得二

　　　　　千九百六十尺以減立方積餘五千零

　　　　　四十尺書於原積之下相減餘二千零

　　　　　四十四尺爲次商積而以初商之二十

　　　　　尺自乘三因之得一千二百尺爲一立

　　　　　方廉又以初商之二十尺倍之得四十

　　　　　尺七因之得二百八十尺爲七平方廉

　　　　　與立方廉相減餘九百二十尺又減去

　　　　　根數八餘九百一十二尺爲次商廉法

　　　　　以除次商積足二倍即定次商爲二尺

　　　　　書於原積四尺之上合初商共二十二

　　　　　尺自乘再乘得一萬零六百四十八尺

　　　　　爲一立方積又以二十二尺自乘之四

　　　　　百八十四尺七因之得三千三百八十

　　　　　八尺爲少七平方之共積又以二十二

　　　　　尺八因之得一百七十六尺爲少八根

　　　　　之共積與少七平方共積相加得三千

　　　　　五百六十四尺以減立方積餘七千零

　　　　　八十四尺書於原積之下相減恰盡是

　　　　　開得二十二尺爲每一根之數也此法

　　　　　以積計之爲一正方體少七平方又少

　　　　　八根之數以邊計之則所得每根之數

　　　　　即正方體之毎一邊亦即平方之每一

　　　　　邊因正方體之内少七平方又少八根

　　　　　故成磬折體而非正方體也

設如有一立方多一平方少二十根與三萬三千一

　百五十二尺相等問每一根之數幾何

　　　　　法列原積三萬三千一百五十二尺按

　　　　　立方法作記於二尺上定單位三千尺

　　　　　上定十位其三萬三千尺爲初商積與

　　　　　三十自乘再乘之數相準即定初商爲

　　　　　三十尺書於原積三千尺之上而以初

　　　　　商三十尺自乘再乘之二萬七千尺爲

　　　　　一立方積又以初商三十尺自乘之九

　　　　　百尺爲多一平方積又以初商之三十

　　　　　尺二十乘之得六百尺爲少二十根之

　　　　　共積於立方積内加多一平方積得二

　　　　　萬七千九百尺又減去少二十根之共

　　　　　積餘二萬七千三百尺書於原積之下

　　　　　相減餘五千八百五十二尺爲次商積

　　　　　而以初商之三十尺自乘三因之得二

　　　　　千七百尺爲一立方廉又以初商之三

　　　　　十尺倍之得六十尺爲一平方廉與立

　　　　　方廉相加得二千七百六十尺又減去

　　　　　根數二十餘二千七百四十尺爲次商

　　　　　廉法以除次商積足二倍即定次商爲

　　　　　二尺書於原積二尺之上合初商共三

　　　　　十二尺自乘再乘得三萬二千七百六

　　　　　十八尺爲一立方積又以三十二尺自

　　　　　乘之一千零二十四尺爲多一平方積

　　　　　又以三十二尺二十乘之得六百四十

　　　　　尺爲少二十根之共積於一立方積内

　　　　　加多一平方積得三萬三千七百九十

　　　　　二尺又減去少二十根之共積得三萬

　　　　　三千一百五十二尺書於原積之下相

　　　　　減恰盡是開得三十二尺爲每一根之

　　　　　數也此法以積計之爲一正方體多一

　　　　　平方復少二十根之數以邊計之則所

　　　　　得每根之數即正方體之每一邊亦即

　　　　　平方之每一邊因正方體之外多一平

　　　　　方又少二十根故成磬折體而非正方

　　　　　體也

設如有一立方少三平方多二根與一萬二千一百

　四十四尺相等問每一根之數幾何

　　　　　法列原積一萬二千一百四十四尺按

　　　　　立方法作記於四尺上定單位二千尺

　　　　　上定十位其一萬二千尺爲初商積與

　　　　　二十自乘再乘之數相凖即定初商爲

　　　　　二十尺書於原積二千尺之上而以初

　　　　　商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立

　　　　　方積又以初商二十尺自乘之四百尺

　　　　　三因之得一千二百尺爲少三平方之

　　　　　共積又以初商之二十尺二因之得四

　　　　　十尺爲多二根之共積於立方積内減

　　　　　去少三平方之共積餘六千八百尺又

　　　　　加入多二根之共積得六千八百四十

　　　　　尺書於原積之下相減餘五千三百零

　　　　　四尺爲次商積而以初商之二十尺自

　　　　　乘三因之得一千二百尺爲一立方廉

　　　　　又以初商之二十尺倍之得四十尺三

　　　　　因之得一百二十尺爲三平方廉與立

　　　　　方廉相減餘一千零八十尺又加入根

　　　　　數二得一千零八十二尺爲次商廉法

　　　　　以除次商積足四倍即定次商爲四尺

　　　　　書於原積四尺之上合初商共二十四

　　　　　尺自乘再乘得一萬三千八百二十四

　　　　　尺爲一立方積又以二十四尺自乘之

　　　　　五百七十六尺三因之得一千七百二

　　　　　十八尺爲少三平方之共積又以二十

　　　　　四尺二因之得四十八尺爲多二根之

　　　　　共積於立方積内減去三平方之共積

　　　　　餘一萬二千零九十六尺又加入多二

　　　　　根之共積得一萬二千一百四十四尺

　　　　　書於原積之下相減恰盡是開得二十

　　　　　四尺爲毎一根之數也此法以積計之

　　　　　爲一正方體少三平方復多二根之數

　　　　　以邊計之則所得每根之數即正方體

　　　　　之每一邊亦即平方之每一邊因正方

　　　　　體之内少三平方又多二根故成磬折

　　　　　體而非正方體也

設如有四十平方少一立方與五千六百二十五尺

　相等問每一根之數幾何

　　　　　法以四十平方少一立方與五千六百

　　　　　二十五尺俱以四十除之得一平方少

　　　　　四十分立方之一與一百四十尺六十

　　　　　二寸五十分相等乃列一百四十尺六

　　　　　十二寸五十分爲歸除所得之積按平

　　　　　方法作記於空尺上定單位一百尺上

　　　　　定十位其一百尺爲初商積與十尺自

　　　　　乘之數相合即定初商爲十尺書於所

　　　　　得積一百尺之上而以初商十尺自乘

　　　　　之一百尺爲一平方積再乘得一千尺

　　　　　爲一立方積以四十除之得二十五尺

　　　　　爲少四十分立方之一之積與一平方

　　　　　積相減餘七十五尺書於所得積之下

　　　　　相減餘六十五尺六十二寸五十分爲

　　　　　次商積而以初商之一十尺倍之得二

　　　　　十尺爲一平方廉又以初商之十尺自

　　　　　乘三因之得三百尺爲一立方廉以四

　　　　　十除之得七尺五寸爲四十分立方之

　　　　　一之廉與平方廉相減餘十二尺五寸

　　　　　爲次商廉法以除次商積足五倍即定

　　　　　次商爲五尺書於所得積空尺之上合

　　　　　初商共十五尺自乘得二百二十五尺

　　　　　爲一平方積再乘得三千三百七十五

　　　　　尺爲一立方積以四十除之得八十四

　　　　　尺三十七寸五十分爲四十分立方之

　　　　　一之積與一平方積相減餘一百四十

　　　　　尺六十二寸五十分書於所得積之下

　　　　　相減恰盡乃以一平方積與四十相乘

　　　　　得九千尺爲四十平方積内減去一立

　　　　　方積餘五千六百二十五尺與原積相

　　　　　合是開得一十五尺爲每一根之數也

　　　　　此法以積計之爲四十平方少一正方

　　　　　體之數以邊計之則所得每根之數即

　　　　　平方之每一邊亦即正方體之每一邊

　　　　　因四十平方内少十五平方之一正方

　　　　　體(每邊爲十五尺故十五/平方爲一正方體也)餘二十五平

　　　　　方爲長方體(其寛即一根爲十五尺其/高亦十五尺其長爲二十)

　　　　　(五尺/也)而非正方體也

設如有五百平方少一立方與二十七萬四千一百

　七十六尺相等問每一根之數幾何

　　　　　法以五百平方少一立方與二十七萬

　　　　　四千一百七十六尺俱以五百除之得

　　　　　一平方少五百分立方之一與五百四

　　　　　十八尺三十五寸二十分相等乃列五

　　　　　百四十八尺三十五寸二十分爲歸除

　　　　　所得之積按平方法作記於八尺上定

　　　　　單位五百尺上定十位其五百尺爲初

　　　　　商積與二十自乘之數相準即定初商

　　　　　爲二十尺書於所得積五百尺之上而

　　　　　以初商二十尺自乘之四百尺爲一平

　　　　　方積再乘得八千尺爲一立方積以五

　　　　　百除之得十六尺爲少五百分立方之

　　　　　一之積與平方積相減餘三百八十四

　　　　　尺書於所得積之下相減餘一百六十

　　　　　四尺三十五寸二十分爲次商積而以

　　　　　初商之二十尺倍之得四十尺爲一平

　　　　　方廉又以初商之二十尺自乘三因之

　　　　　得一千二百尺爲一立方廉以五百除

　　　　　之得二尺四寸爲五百分立方之一之

　　　　　廉與平方廉相減得三十七尺六寸爲

　　　　　次商廉法以除次商積足四倍即定次

　　　　　商爲四尺書於所得積八尺之上合初

　　　　　商共二十四尺自乘得五百七十六尺

　　　　　爲一平方積再乘得一萬三千八百二

　　　　　十四尺爲一立方積以五百除之得二

　　　　　十七尺六十四寸八十分爲少五百分

　　　　　立方之一之積與平方積相減餘五百

　　　　　四十八尺三十五寸二十分書於所得

　　　　　積之下相減恰盡乃以一平方積與五

　　　　　百相乘得二十八萬八千尺爲五百平

　　　　　方積内減去一立方積餘二十七萬四

　　　　　千一百七十六尺與原積相合是開得

　　　　　二十四尺爲每一根之數也此法以積

　　　　　計之爲五百平方少一正方體以邊計

　　　　　之則所得每根之數即平方之每一邊

　　　　　亦即正方體之每一邊因五百平方内

　　　　　少二十四平方之一正方體(每邊爲二/十四尺故)

　　　　　(二十四平方即/一正方體也)餘四百七十六平方爲

　　　　　長方體(其寛即一根爲二十四尺其高/亦爲二十四尺其長爲四百七)

　　　　　(十六/尺也)而非正方體也

設如有一三乘方多二平方與二萬一千零二十四

　尺相等問每一根之數幾何

　　　　　法列原積二萬一千零二十四尺按三

　　　　　乘方法作記於四尺上定單位二萬尺

　　　　　上定十位其二萬尺爲初商積與十尺

　　　　　乘三次之數相準即定初商爲十尺書

　　　　　於原積二萬尺之上而以初商十尺乘

　　　　　三次之一萬尺爲一三乘方積又以初

　　　　　商十尺自乘之一百尺二因之得二百

　　　　　尺爲多二平方之共積與三乘方積相

　　　　　加得一萬零二百尺書於原積之下相

　　　　　減餘一萬零八百二十四尺爲次商積

　　　　　而以初商之十尺再乘四因之得四千

　　　　　尺爲三乘方廉又以初商之十尺倍之

　　　　　得二十尺二因之得四十尺爲多二平

　　　　　方之廉與三乘方廉相加得四千零四

　　　　　十尺爲次商廉法以除次商積足二倍

　　　　　即定次商爲二尺書於原積四尺之上

　　　　　合初商共十二尺乘三次得二萬零七

　　　　　百三十六尺爲一三乘方積又以十二

　　　　　尺自乘之一百四十四尺二因之得二

　　　　　百八十八尺爲多二平方之共積與三

　　　　　乘方積相加得二萬一千零二十四尺

　　　　　書於原積之下相減恰盡是開得一十

　　　　　二尺爲每一根之數也

　　　　　又法用帶縱平方及平方兩次開之將

　　　　　原積二萬一千零二十四尺爲長方積

　　　　　以多二平方作二尺爲縱多折半得一

　　　　　尺爲半較自乘仍得一尺與積相加得

　　　　　二萬一千零二十五尺開平方得一百

　　　　　四十五尺爲半和内減半較一尺(凡多/平方)

　　　　　(者即減半較如少/平方者則加半較)餘一百四十四尺爲

　　　　　正方積復開平方得十二尺即每一根

　　　　　之數也葢三乘方多平方與方根自乘

　　　　　爲闊加多平方數爲長所作之長方積

　　　　　等故用帶縱較數開平方法開之得數

　　　　　復開平方即得每一根之數也

設如有一千平方少一三乘方與一十二萬三千二

　百六十四尺相等問每一根之數幾何

　　　　　法以一千平方少一三乘方與一十二

　　　　　萬三千二百六十四尺俱以一千除之

　　　　　得一平方少一千分三乘方之一與一

　　　　　百二十三尺二十六寸四十分相等乃

　　　　　列一百二十三尺二十六寸四十分爲

　　　　　歸除所得之積按平方法作記於三尺

　　　　　上定單位一百尺上定十位其一百尺

　　　　　爲初商積與十尺自乘之數相合即定

　　　　　初商爲十尺書於所得積一百尺之上

　　　　　而以初商十尺自乘之一百尺爲一平

　　　　　方積又以初商之十尺乘三次得一萬

　　　　　尺爲一三乘方積以一千除之得一十

　　　　　尺爲千分三乘方之一之積與一平方

　　　　　積相減餘九十尺書於所得積之下相

　　　　　減餘三十三尺二十六寸四十分爲次

　　　　　商積而以初商之十尺倍之得二十尺

　　　　　爲一平方廉又以初商之十尺自乘再

　　　　　乘四因之得四千尺爲一三乘方廉以

　　　　　一千除之得四尺爲千分三乘方之一

　　　　　之廉與平方廉相減餘一十六尺爲次

　　　　　商廉法以除次商積足二倍即定次商

　　　　　爲二尺書於所得積三尺之上合初商

　　　　　共十二尺自乘得一百四十四尺爲一

　　　　　平方積又以十二尺乘三次得二萬零

　　　　　七百三十六尺爲一三乘方積以一千

　　　　　除之得二十尺零七十三寸六十分與

　　　　　一平方積相減餘一百二十三尺二十

　　　　　六寸四十分書於所得積之下相減恰

　　　　　盡乃以一平方積與一千相乘得一十

　　　　　四萬四千尺爲一千平方積内減去一

　　　　　三乘方積餘一十二萬三千二百六十

　　　　　四尺與原積相合是開得一十二尺爲

　　　　　每一根之數也

　　　　　又法用帶縱平方及平方兩次開之將

　　　　　原積一十二萬三千二百六十四尺爲

　　　　　長方積以一千平方作一千尺爲和折

　　　　　半得五百尺爲半和自乘得二十五萬

　　　　　尺與積相減餘十二萬六千七百三十

　　　　　六尺開平方得三百五十六尺爲半較

　　　　　與半和相減餘一百四十四尺爲正方

　　　　　積復開平方得一十二尺即每一根之

　　　　　數也葢平方少三乘方與方根自乘爲

　　　　　闊與平方數相減爲長所作之長方積

　　　　　等故用帶縱和數開平方法開之得數

　　　　　復開平方即得每一根之數也

設如有一四乘方多二立方與七百九十九萬零二

　百七十二尺相等問每一根之數幾何

　　　　　法列原積七百九十九萬零二百七十

　　　　　二尺按四乘方法作記於二尺上定單

　　　　　位九十萬尺上定十位其七百九十萬

　　　　　尺爲初商積與二十乘四次之數相準

　　　　　即定初商爲二十尺書於原積九十萬

　　　　　尺之上而以初商二十尺乘四次之三

　　　　　百二十萬尺爲一四乘方積又以初商

　　　　　二十尺自乘再乘之八千尺二因之得

　　　　　一萬六千尺爲多二立方之共積與四

　　　　　乘方積相加得三百二十一萬六千尺

　　　　　書於原積之下相減餘四百七十七萬

　　　　　四千二百七十二尺爲次商積而以初

　　　　　商之二十尺乘三次五因之得八十萬

　　　　　尺爲一四乘方廉又以初商之二十尺

　　　　　自乘三因之得一千二百尺又二因之

　　　　　得二千四百尺爲多二立方之廉與四

　　　　　乘方廉相加得八十萬零二千四百尺

　　　　　爲次商廉法以除次商積足五倍因取

　　　　　略小之數爲四尺書於原積二尺之上

　　　　　合初商共二十四尺乘四次得七百九

　　　　　十六萬二千六百二十四尺爲一四乘

　　　　　方積又以二十四尺自乘再乘之一萬

　　　　　三千八百二十四尺二因之得二萬七

　　　　　千六百四十八尺爲多二立方之共積

　　　　　與四乘方積相加得七百九十九萬零

　　　　　二百七十二尺書於原積之下相減恰

　　　　　盡是開得二十四尺爲每一根之數也

　　　　　葢四乘方多立方之數不與平方立方

　　　　　之數相合故不能以平方立方之法開

　　　　　也

設如有二千立方少一四乘方與一千九百六十八

　萬五千三百七十六尺相等問每一根之數幾何

　　　　　法以二千立方少一四乘方與一千九

　　　　　百六十八萬五千三百七十六尺俱以

　　　　　二千除之得一立方少二千分四乘方

　　　　　之一與九千八百四十二尺六百八十

　　　　　八寸相等乃列九千八百四十二尺六

　　　　　百八十八寸爲歸除所得之積按立方

　　　　　法作記於二尺上定單位九千尺上定

　　　　　十位其九千尺爲初商積與二十自乘

　　　　　再乘之數相準即定初商爲二十尺書

　　　　　於所得積九千尺之上而以初商二十

　　　　　尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又

　　　　　以初商之二十尺乘四次得三百二十

　　　　　萬尺爲一四乘方積以二千除之得一

　　　　　千六百尺爲二千分四乘方之一之積

　　　　　與一立方積相減餘六千四百尺書於

　　　　　所得積之下相減餘三千四百四十二

　　　　　尺六百八十八寸爲次商積而以初商

　　　　　之二十尺自乘三因之得一千二百尺

　　　　　爲一立方廉又以初商之二十尺乘三

　　　　　次五因之得八十萬尺爲一四乘方廉

　　　　　以二千除之得四百尺爲二千分四乘

　　　　　方之一之廉與立方廉相減餘八百尺

　　　　　爲次商廉法以除次商積足四倍即定

　　　　　次商爲四尺書於所得積二尺之上合

　　　　　初商共二十四尺自乘再乘得一萬三

　　　　　千八百二十四尺爲一立方積又以二

　　　　　十四尺乘四次得七百九十六萬二千

　　　　　六百二十四尺爲一四乘方積以二千

　　　　　除之得三千九百八十一尺三百一十

　　　　　二寸與一立方積相減餘九千八百四

　　　　　十二尺六百八十八寸書於所得積之

　　　　　下相減恰盡乃以一立方積與二千相

　　　　　乘得二千七百六十四萬八千尺爲二

　　　　　千立方積内減去一四乘方積餘一千

　　　　　九百六十八萬五千三百七十六尺與

　　　　　原積相合是開得二十四尺爲每一根

　　　　　之數也葢立方少四乘方之數亦不與

　　　　　平方立方之數相合故不能以平方立

　　　　　方之法開也

設如有一五乘方多四立方與一億一千三百四十

　二萬二千四百九十六尺相等問每一根之數幾

　何

　　　　　法列原積一億一千三百四十二萬二

　　　　　千四百九十六尺按五乘方法作記於

　　　　　六尺上定單位三百萬尺上定十位其

　　　　　一億一千三百萬尺爲初商積與二十

　　　　　乘五次之數相準即定初商爲二十尺

　　　　　書於原積三百萬尺之上而以初商二

　　　　　十尺乘五次之六千四百萬尺爲一五

　　　　　乘方積又以初商二十尺自乘再乘之

　　　　　八千尺四因之得三萬二千尺爲多四

　　　　　立方之共積與五乘方積相加得六千

　　　　　四百零三萬二千尺書於原積之下相

　　　　　減餘四千九百三十九萬零四百九十

　　　　　六尺爲次商積而以初商之二十尺乘

　　　　　四次六因之得一千九百二十萬尺爲

　　　　　一五乘方廉又以初商之二十尺自乘

　　　　　二因之得一千二百尺又四因之得四

　　　　　千八百尺爲四立方之廉與五乘方廉

　　　　　相加得一千九百二十萬零四千八百

　　　　　尺爲次商廉法以除次商積足二倍即

　　　　　定次商爲二尺書於原積六尺之上合

　　　　　初商共二十二尺乘五次得一億一千

　　　　　三百三十七萬九千九百零四尺爲一

　　　　　五乘方積又以二十二尺自乘再乘之

　　　　　一萬零六百四十八尺四因之得四萬

　　　　　二千五百九十二尺爲多四立方之共

　　　　　積與五乘方積相加得一億一千三百

　　　　　四十二萬二千四百九十六尺書於原

　　　　　積之下相減恰盡是開得二十二尺爲

　　　　　每一根之數也

　　　　　又法用帶縱平方及立方開之將原積

　　　　　一億一千三百四十二萬二千四百九

　　　　　十六尺爲長方積以多四立方作四尺

　　　　　爲縱多折半得二尺自乘得四尺與積

　　　　　相加得一億一千三百四十二萬二千

　　　　　五百尺開平方得一萬零六百五十尺

　　　　　爲半和内減半較二尺(因立方爲多號/故減半較若立)

　　　　　(方爲少號/即加半較)得一萬零六百四十八尺爲

　　　　　立方積開立方得二十二尺即每一根

　　　　　之數也葢五乘方多立方與方根自乘

　　　　　再乘爲闊加多立方數爲長所作之長

　　　　　方積等故用帶縱較數開平方法開之

　　　　　得數復開立方即得每一根之數也

設如有一萬立方少一五乘方與一千一百五十三

　萬八千四百三十九尺相等問每一根之數幾何

　　　　　法以一萬立方少一五乘方與一千一

　　　　　百五十三萬八千四百三十九尺俱以

　　　　　一萬除之得一立方少一萬分五乘方

　　　　　之一與一千一百五十三尺八百四十

　　　　　三寸九百分相等乃列一千一百五十

　　　　　三尺八百四十三寸九百分爲歸除所

　　　　　得之積按立方法作記於三尺上定單

　　　　　位一千尺上定十位其一千尺爲初商

　　　　　積與十尺自乘再乘之數相合即定初

　　　　　商爲十尺書於所得積一千尺之上而

　　　　　以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一

　　　　　立方積又以初商十尺乘五次得一百

　　　　　萬尺爲一五乘方積以一萬除之得一

　　　　　百尺爲一萬分五乘方之一之積與立

　　　　　方積相減餘九百尺書於所得積之下

　　　　　相減餘二百五十三尺八百四十三寸

　　　　　九百分爲次商積而以初商之十尺自

　　　　　乘三因之得三百尺爲一立方廉又以

　　　　　初商之十尺乘四次六因之得六十萬

　　　　　尺爲一五乘方廉以一萬除之得六十

　　　　　尺爲一萬分五乘方之一之廉與立方

　　　　　廉相減餘二百四十尺爲次商廉法以

　　　　　除次商積足一倍即定次商爲一尺書

　　　　　於所得積三尺之上合初商共十一尺

　　　　　自乘再乘得一千三百三十一尺爲一

　　　　　立方積又以十一尺乘五次得一百七

　　　　　十七萬一千五百六十一尺爲一五乘

　　　　　方積以一萬除之得一百七十七尺一

　　　　　百五十六寸一百分爲一萬分五乘方

　　　　　之一之積與立方積相減餘一千一百

　　　　　五十三尺八百四十三寸九百分書於

　　　　　所得積之下相減恰盡乃以一立方積

　　　　　與一萬相乘得一千三百三十一萬尺

　　　　　爲一萬立方積内減去一五乘方積餘

　　　　　一千一百五十三萬八千四百三十九

　　　　　尺與原積相合是開得一十一尺爲每

　　　　　一根之數也

　　　　　又法用帶縱平方及立方開之將原積

　　　　　一千一百五十三萬八千四百三十九

　　　　　尺爲長方積以一萬立方作一萬尺爲

　　　　　和折半得五千尺爲半和自乘得二千

　　　　　五百萬尺與積相減餘一千三百四十

　　　　　六萬一千五百六十一尺開平方得三

　　　　　千六百六十九尺爲半較與半和相減

　　　　　餘一千三百三十一尺爲立方積開立

　　　　　方得一十一尺即每一根之數也葢立

　　　　　　方少五乘方與方根自乘再乘爲闊與

　　　　　　立方數相減爲長所作之長方積等故

　　　　　　用帶縱和數開平方法開之得數復開

　　　　　　立方即得每一根之數也

御製數理精藴下編卷三十三