九章錄要

欽定四庫全書

　九章録要卷二

　　　　　　　　　　　　　松江屠文漪撰

零分法

　几數不能有整而無零分有法以通之則零不異於

　整也知此而零分皆可相并減相乗除乃能盡九章

　之術故備論於左

竒零命分約法　以法除實除得數為整數餘實少於

　法除之不可乃成竒零或原實先少於法則無整而

　但有零矣(假如以尺計物是亦以法除實/也物不滿尺是亦實少於法也)凡此皆須

　命分而母子數多者必當約之其法有三一曰以實

　除法假如法一百六十八實一十四則以實除法適

　盡得一十二是為一十二分之一也一曰減法除實

　假如法一百六十八實一百四十則以實減法餘二

　十八乃以餘法除實適盡得五是為六分之五也一

　曰以通數並除法實列法實兩數以少減多更互相

　減至兩數相等即為通數假如法一百六十八實三

　十五依前互相減得七為通數因以除實盡得五亦

　以除法盡得二十四是為二十四分之五也又如二

　百五十分之二百一十約為二十五分之二十一是

　亦以十為通數也二十四分之一十約為一十二分

　之五是亦以二為通數也(前兩法之一十四與二十/八亦即是通數之易得者)

　(耳葢三法小/異而理則同)亦有不可約者即以法為母實為子命

　分

整帶零分化整為零分法　凡以法除實務得數歸整

　值餘實少於法不得已而命分乃有整帶零分此固

　然也而此特謂歸整命分之後其數可定不復與他

　數相并減相乗除者耳若更有他數須與之相并減

　相乗除則無論未歸整者且當以法為母實為子而

　勿急於歸整(必歸整無零分/方可歸整也)即遇整帶零分已成之

　數亦必化整為零分何也數或零或整皆可與他數

　相并減乗除若本數自兼零整則難用整法又難用

　零分法故必須化之而不能化零為整但可化整為

　零其法以原母為母以原母乗整得數并原子為子

　如有數七零五分之三則化為五分之三十八是也

零分與整相并法零分并整則成整帶零分矣若更

　須與他數相并減乗除者亦以原母為母以原母乗

　整得數并原子為子如前法

零分與整相減法　零整相減者法亦以原母為母以

　原母乗整得數減原子為子如甲數七乙數五分之

　三相減得五分之三十二是也(歸整則為六/又五分之二)

零分相并法　諸數皆零分欲相并者法以諸母累乗

　得數為共母以諸子各累乗他母得數為諸子(本子/與本)

　(母不相乗之或諸子各乗共母而/以本母除 得數為諸子亦可)乃相并為子假如

　甲數五分之二乙數七分之四丙數八分之三則以

　三母累乗得二百八十為共母以甲子累乗乙丙二

　母得一百一十二為甲子以乙子累乗甲丙二母得

　一百六十為乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零

　五為丙子并之得三百七十七為子凡得二百八十

　分之三百七十七是也(歸整為一又二百/八十分之九十七)

　右法亦有可省者如甲數五分之四乙數三分之一

　丙數一十五分之七即以丙母一十五為共母而以

　甲子乗乙母得一十二為甲子以乙子乗甲母得五

　為乙子(丙子即/用原數)并之得二十四為子凡得一十五分

　之二十四仍約為五分之八是也(歸整為一又/五分之三)

零分相減法　零分相減者依并分法累乗為共母為

　諸子而減之為子如甲數五分之二乙數七分之四

　内減丙數八分之三得二百八十分之一百六十七

　是也

零分與整相乗法　零分數整數相乗者以原母為母

　以原子乗整得數為子如甲數七乙數五分之三相

　乗得五分之二十一是也(歸整為四又/五分之一)

零分除整法　以零分數為法除整數者以原子為母

　以原母乗整得數為子如乙數五分之三除甲數七

　得三分之三十五是也(歸整為一十一/又三分之二)

整除零分法　以整數為法除零分數者以整乗原母

　得數為母以原子為子如甲數七除乙數五分之三

　得三十五分之三是也

零分相乗法　兩零分數相乗者以兩母相乗得數為

　母以兩子相乗得數為子如甲數九分之八乙數五

　分之三相乗得四十五分之二十四仍約為一十五

　分之八是也(或兩母同或兩子/同者亦必相乗)

　右法亦有可省者以兩母相乗以甲子除之為母即

　竟以乙子為子如右例兩母相乗以乙子除之為母

　則以甲子為子得一十五分之八不須更約是也

零分除零分法　以法除實而法實兩數俱係零分者

　以法子乗實母得數為母以法母乗實子得數為子

　如甲數九分之八除乙數五分之三得四十分之二

　十七是也(若兩母相同者竟以法子為母實子為子/兩子相同者反以實母為母法母為子也)

　右法亦有可省者以法子乗實母以法母除之為母

　即竟以實子為子如甲數九分之八除乙數二十七

　分之一十三得二十四分之一十三是也

零分自乗法　零分數自乗者以母自乗得數為母以

　子自乗得數為子如有數三分之五自乗得九分之

　二十五是也(歸整為二又/九分之七)

零分開方法　零分開平方除者以母自開得數為母

　以子自開得數為子如有數九分之二十五開方得

　三分之五是也(歸整為一又三分之二舉按此因論/零分法而及開方故聊 大畧而已)

　(其詳在少/廣章中)

零分求分釐小整數法　實少於法除之不足不能成

　整而為零分若求分釐小整數則以母除子即得如

　八分兩之三除得三錢七分五釐一十六分兩之一

　除得六分二釐五毫是也葢其初以兩計故三不可

　以八除而析為錢為分釐則可除矣至除盡而止亦

　有終不可盡者仍當就最後小數命分如七分石之

　二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又

　七分粟之四是也(或欲還原子即以原母乗之如八/乗三錢七分五釐得三兩為八分)

　(兩之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭/八粟并七分粟之四得二石為七分石之二是也)

分釐數命分法　據分釐小整數欲以大數命分者法

　以分釐數依其下最小數化之為子以所用大數亦

　依最小數化之置一算為母(其為伯千及萬億則因/乎所化之數而只置一)

　(算/也)乃以法約之如六錢六分二釐五毫欲以兩命分

　則以六千六百二十五為子(六千六百二/十五毫也)以一萬分

　為母(一兩為一/萬毫也)乃約為八十分兩之五十三是也亦

　有不可約者即以所立之母子命分

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