九章錄要
九章錄要
欽定四庫全書
九章録要卷六
松江屠文漪撰
少廣法
古九章四曰少廣以御積冪方員
開平方法 平方開除先列實視實有幾位(凡實之大/數從千起)
(者四位從萬起者五位葢實尾雖止於十而無以下/小數亦存一虚位止於百而無以下小數亦存兩虚)
(位一定不/可易也)即知須幾開而盡(凡經再開者開得平方/大數從十起三開者百)
(四開者千或實尾一開虚擬而未經開/者即開得數終於十而無以下小數也)率實兩位而
一開逆從實尾向左數之(尾在/右也)至實首則一位亦一
開也其開之法有三曰方曰亷曰隅(方法亦謂之商/意中商量而定)
(之也隅即次商三/商而又自有隅法)初開視實首位以起方法實首一
位開者(一位之實/多不過九)取三及以下數自乗兩位開者(兩/位)
(之實少不/下十一)取三及以上數自乗所取以自乗之數初
商也列實首之左(亦有不列於左而即借實/首位列之者説詳於後)自乗所
得數用以減實是為初開餘實須再開則用亷法亷
法者倍前方法以之除實得次商相隨列初商之右
即以次商為隅法自乗得數用減實訖(於亷法下一/位減之觀後)
(假例/自明)是為再開自三開以後俱倣此
(或問亷隅之義曰初開已成平方形矣再開欲增廣/其前方則不必四邊俱加而但於兩邊各加一亷其)
(長如前方之數亷有二故倍之也此未及亷之廣以/除實得次商次商乃亷之廣數而所加二亷其長各)
(如前方之數則二亷相㑹之一角猶缺一小平方其/四邊皆與亷之廣等故又以次商為隅法而自乗以)
(足之/也)
假如實一萬五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位
此須三度開而實首只甲一位開也甲數一則取一
為初商列甲之左而以一自乗仍得一即於甲位去
一此初開也再開倍前方一得二(前方是一百倍之/為二百而此且勿)
(論也但謂之一/謂之二可耳)為亷法以二除乙之五(乙丙兩位為/再開之位而)
(亷法當於乙位除隅/法當於丙位除也)則於乙減四存一於甲空位列
二為次商而以隅二自乗得四於丙位減之則去乙
之一加丙一為七此再開也三開倍前方一十二得
二十四(前方一下復有二則且謂之一十二矣/不計其為一百二十也雖更多亦然)為亷
法先以二除丙之七(丁戊兩位為三開之位則亷法/當於丁位除而亷法有二十四)
(即二當於丙位除/四乃於丁位除也)則於丙減六存一於乙空位列三
為三商次以四與三相乗得一十二於丙丁兩位減
之(亷之四當於丁位除而與商乗得一十/二即一又當於丙位除矣隅法亦然)則並去丙
之一丁之二又以隅三自乗得九於戊位減之適盡
得方一百二十三
又如實四十五萬九千六百八十四列甲乙丙丁戊
己六位此亦須三度開而實首乃甲乙兩位開也甲
乙數四十五(甲四乙五并而計之則曰四十/五而不必問其為四十五萬也)且取六
為初商列甲之左而以六自乗得三十六於甲乙兩
位減之則去甲之四加乙五為九此初開也再開倍
六得一十二為亷法先以一除乙之九則於乙減七
存二於甲空位列七為次商(不用實者以八開/之則 不足也)次以
二與七相乗得一十四於乙丙兩位減之則減乙二
為一丙九為五又以隅七自乗得四十九於丙丁兩
位減之則去丙之五加丁六為七此再開也三開倍
六十七得一百三十四為亷法先以一除乙之一(戊/己)
(兩位為三開之位則亷法之一當於丙位除而乙位/當列三商矣今乙位有實則亦以除丙之法除之葢)
(乙丙同除猶實首之兩位并開也除同而所以除不/同假使乙位空而丙位有一則以亷一除丙當去丙)
(之一而列一於乙為三商今以除乙之一則為見一/無除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳)
則改乙一為九加丙空為一而其下實不足除即又
減乙九為八為三商而加丙一為二(乙之一丙之十/也試列十於丙)
(而以亷一除之與此同/則除乙猶之除丙耳)次以三與八相乗得二十四
於丙丁兩位減之則去丙之二減丁七為三次以四
與八相乗得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三
減戊八為六又以隅八自乗得六十四於戊己兩位
減之適盡得方六百七十八
又如實六百七十六列甲乙丙三位此只須兩度開
而實首係甲一位開也甲數六且取二為初商列甲
左而以二自乗得四即於甲減四存二此初開也再
開倍二得四為亷法以四除甲之二則改甲二為五
又以四除乙之七則於乙減四存三於甲加一為六
為次商(此甲乙同除如前第二例第三開之乙丙同/除也前例只是以亷一除丙之十此例只是)
(以亷四除乙之二十七/合觀二例其義益明)乃以隅六自乗得三十六減
乙丙實並盡得方二十六
開方得數審空位例假如實六十五萬四千四百八
十一列甲乙丙丁戊己六位此須三度開而實首係
甲乙兩位開也甲乙數六十五且取八為初商列甲
左而以八自乗得六十四於甲乙兩位減之則去甲
之六減乙五為一此初開也再開倍八得一十六為
亷法先以一除乙之一而其下實不足除知再開值
空位矣(丙丁為再開之位則亷之六當於丙位除一/當於乙位除而除得次商當在甲位今若去)
(乙之一而列一於甲為次商即丙位無六可除此當/為見一無除改作九而下添一然則商乃在乙位而)
(甲位空矣可知無次/商宜便接三開也)三開倍八十得一百六十(前方/八下)
(有空位則謂之八十也/若更有空位亦遞進之)為亷法仍先以一除乙之一
(戊己為三開之位則亷法當於戊位除而亷法有一/百六十即六當於丁位除一當於丙位除今乙位有)
(實又須以除丙之法除之葢除乙猶之除丙/其説已詳前二例矣 三商自當在乙位也)則改乙
一為九為三商而加丙四為五次以六與九相乗得
五十四於丙丁兩位減之則並去丙之五丁之四又
以隅九自乗得八十一於戊己兩位減之適盡得方
八百零九
開方初商列位法 凡初商列於實首位之左者為多
而不盡然也須知實首兩位開而初商數不滿五者
必當借實首甲位列之何也實首甲一位開則乙丙
為次開之位而乙屬亷丙屬隅也亷法於乙位除即
除得次商當在甲位而初商不得不列甲之左矣實
首兩位開則丙丁為次開之位而丙屬亷丁屬隅也
亷法於丙位除而初商係五倍之為十遇十進位乃
當於乙位除即除得次商亦當在甲位而初商不得
不列甲之左矣(五以上更/不必言)若實首既以兩位開而初
商係四倍之為八只當於丙位除然則除得次商當
在乙位而初商當列甲位又何疑乎(四以下更/不必言)且如
實二千四百零一列甲乙丙丁四位當取四為初商
而減甲乙實一十六則先去甲之二加乙四為八乃
以初商四列甲位再開倍四得八為亷法以除乙之
八則改乙八為九為次商加丙空為八而以隅九自
乗得八十一減丙丁實並盡得方四十九倘以初商
四列甲左竟似四百零九其誤甚矣葢開得商數中
間應有空位與否信手布算即自然而見本不煩擬
議也但審定初商位置則無空者不致誤而成空而
以後俱任其自然之數可耳
又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或
去乙之八列一於甲為次商而以隅一自乗減丁之
一亦盡乃得方四十一豈非誤之尤甚者乎葢丙丁
為次開之位而亷法止有八則當於丙位除除得次
商當在乙位雖乙位有實而以除丙之法除乙然次
商畢竟仍在乙位斷無進到甲位之理不辨於此且
致大誤故詳論之而初商若便列在甲位亦自無此
弊矣
開方餘實命分法 開方餘實僅及所開方數一倍以
下則命分命分者倍方加一數以命之(倍方者亷法/加一數者隅)
(法/)假如實五十五開得方七而餘實六即倍七又加
一數得一十五以為母而以六為子命之曰一十五
分之六并整為七零一十五分之六也
開方求零分密法 開方餘實欲除令盡即所得方數
必帶零分而若以所命之分為方數試以自乗見積
頗朒於原實則法猶疎也且如實二十開得方四而
餘實四依命分法為九之四并整為四又九之四乃
化整俱為零曰九之四十母子各自乗以見方積母
得八十一(此原實一之方積也葢一實而縱横俱/分為九則其中應有方積八十一矣)子
得一千六百(此總方/積也)以母積除子積歸整得實一十九
又八十一之六十一則朒於原實八十一之二十當
更有法以開之其法倍九之四十(倍之為/亷法也)為九之八
十以除朒八十一之二十得七百二十之二十約為
三十六之一與前方九之四十相并得三百二十四
之一千四百四十九約為三十六之一百六十一以
母除子歸整得方四又三十六之一十七仍化整俱
為零母子各自乗以見方積母得一千二百九十六
子得二萬五千九百二十一以母積除子積歸整得
實二十又一千二百九十六之一雖盈於原實一千
二百九十六之一然比之朒於原實八十一之二十
則其法已密矣
又法如實二十開得方四而餘實四但倍方為分母
不復加隅而以餘實為子曰八之四約為二之一并
整為四又二之一乃化整俱為零曰二之九母子各
自乗以見方積母得四子得八十一以母積除子積
歸整得實二十又四之一則盈於原實四之一亦更
有法以開之其法倍二之九為一之九(本欲倍其子/而半其母則)
(子自倍矣不/須更用約法)以除盈四之一得三十六之一與前方
二之九相減(此與前法正同而盈朒并減有辨葢前/方朒於原實則以亷法除所朒之數而)
(與之相并前方盈於原實則以亷/法除所盈之數而與之相減也)得七十二之三百
二十二約為三十六之一百六十一以下各數並與
前法同(按二法所得數其歸正同葢/偶同耳他處則往往小異也)
右二法開方自乗得積並盈於原實一千二百九十
六之一必欲除盡依法再開之以四又三十六之一
十七復化為三十六之一百六十一倍之為一十八
之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一
萬一千五百九十二之一與前方三十六之一百六
十一相減得四十一萬七千三百一十二之一百八
十六萬六千二百七十六約為一萬一千五百九十
二之五萬一千八百四十一以母除子歸整得方四
又一萬一千五百九十二之五千四百七十三仍化
整俱為零母子各自乗以見方積母得一億三千四
百三十七萬四千四百六十四子得二十六億八千
七百四十八萬九千二百八十一以母積除子積歸
整得實二十又一億三千四百三十七萬四千四百
六十四之一此則盈於原實為數甚微矣欲除盡依
法再開
又法開方不盡實則增開數以求之凡增一開者化
實之一為百而開得方數當十而一增二開者化實
之一為萬而開得方數當百而一假如實二十四化
為二千四百開之得四十九是為一十之四十九以
母除子歸整得方四又一十之九仍化整俱為零自
乗以見方積得一百之二千四百零一以母積除子
積歸整得實二十四又一百之一乃盈於原實一百
之一也或增二開三開者倣此
零分開方法 原實係整數而開之帶零分者前法已
詳矣若原實先係零分而欲開方者法以母自開得
數為母子自開得數為子其大端也如實九之四開
得方三之二是已更有開得數復成零分乃須分别
算之如實九之二十母開得三子開得四又九之四
化為九之四十(此只依命分之數聊示/其法耳未及密率也)此當用整除
零分法以三乗九為母以四十為子得方二十七之
四十也如實二十之九母開得九之四十子開得三
此當用零分除整法以四十為母以九乗三為子得
方四十之二十七也又如實七之二十母開得二又
五之三化為五之一十三子開得九之四十此當用
零分除零分法以一十三乗九為母以五乗四十為
子得方一百一十七之二百也葢原實之母本法也
原實之子則實也故右三例用法分别如此前零分
篇中於開方法未詳兹乃盡其變云
長方以積與長廣較求長廣 法以四乗積并較實開
方得長廣和和較相并半之得長相減半之得廣
長方以積與長廣和求長廣 法以四乗積減和實開
方得長廣較 按四乗積者以四長方兩縱兩横列
四隅合為大平方則四邊各兼長廣之數而中央不
滿者正較自乗之小平方故知和實中有四積一較
實也(二法亦見句股章彼以八乗/積者句股之積半長方積也)右二法可該下文
縱方七法而七法更不可不講者葢變化無窮之用
出焉固非右二法所能及矣具詳於左
帶縱并方亷開平方法長方以積與較求廣者其長
之積多於廣當加法以帶除其長積名帶縱并方亷
開平方依常列實定開位以較為帶縱初開稍朒其
商以帶縱并之為方法(常法以方與商為一/此以方與商為二)乃以乗
商減實再開倍前商亦以帶縱并之為亷法以除實
得次商其隅法如常
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣較
一十二求廣者初商得二列甲左而以縱并商得三
十二(須知初商之二是二十故并縱得三十二也凡/商與縱并者以十隨十以百隨百并之相減亦)
(然/)為方法乃以方法乗商以三乗二得六(此處只作/二與三且)
(勿論其為二十/與三十可也)於甲位減之(依常法商二自乗當於/甲位減今與方法三相)
(乗亦/同也)則減甲八為二次以二乗二得四於乙位減之
(六於甲位減則四當於乙位減/故初開而減及次開之亷位也)則減乙六為二此初
開也再開倍前商二得四并縱得五十二(倍商是四/十也 倍)
(商不/倍縱)為亷法先以五除甲之二(倍商之四當於乙位/除因帶縱首之一而)
(成五亦同除得次商當在甲位今甲位有實故以除/乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而進一位)
(也此五只作五若倍商四縱首/六并成一十乃當進一位耳)則改甲二為四為次
商次以二乗四得八於丙位減之(五於乙位除則二/當於丙位除故亷)
(法而減及/隅位也)則減乙二為一加丙四為六又以隅四自
乗得一十六減乙丙兩位實盡得廣二十四(并較得/長三十)
(六/)
又如實二十三萬零四百列甲乙丙丁戊己六位(戊/己)
(為虚/位)帶縱七百二十初商得二(若商三則并縱首之/七為一十又與商乗)
(得三十而實首只二/十三不足除故用二)列甲左(不列甲位者/帶縱故也)而以縱并
商得九百二十為方法乃以方法乗商以九乗二得
一十八於甲乙兩位減之則去甲之二加乙三為五
次以二乗二得四於丙位減之則減乙五為四加丙
空為六此初開也再開倍前商二得四并縱得一千
一百二十為亷法先以一除乙之四(倍商之四當於/丙位除因并縱)
(首之七而成一十一則此一當進而於乙位除除/得次商當在甲位矣初商不列甲位正為此也)則
去乙之四於甲空位列四為次商次以一乗四得四
於丙位減之則減丙六為二次以二乗四得八於丁
位減之則減丙二為一加丁四為六又以隅四自乗
得一十六減丙丁實並盡得廣二百四十(并較得長/九百六十)
又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶
縱七十二初商得一列甲左而以縱并商得一百七
十二為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲
位減之則去甲之一次七仍得七於乙位減之則減
乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二
此初開也再開倍前商一得二并縱得二百七十二
為亷法先以二除乙之二而其下實不足除知再開
值空位矣(倍商之二當於乙位除除得次商當在甲/位今若去乙之二而列一於甲為次商即)
(丙丁兩位無七與二可除當為見二無除改作九而/下添二然則商乃在乙位矣既退一位知是三商非)
(次商/也)三開倍前商一十得二十(此一與二皆百也/謂之十者依常法)并
縱得二百七十二為亷法仍先以二除乙之二(倍商/之二)
(十當於丙位除乙位有實/故以除丙之法除乙也)則改乙二為九加丙二為
四而其下實又不足除即又減乙九為八為三商而
加丙四為六次以七乗八得五十六於丙丁兩位減
之則去丙之六加丁四為八次以二乗八得一十六
於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四又以
隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八
(并較得長/一百八十)
又如實一萬六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位
帶縱七十二此當減一開而實首取三位并開之(若/初)
(商一則并縱得一百七十二而/乙丙兩位無七與二可除也)初商得九(此當借列/實首甲位)
而以縱并商得一百六十二為方法乃以方法乗商
以一乗九得九於乙位減之(初商之九當於丙位減/因并縱首之七而成一)
(十六則此一當/進而於乙位減)則去甲之一加乙六為七次以六乗
九得五十四於乙丙兩位減之則減乙七為一加丙
一為七次以二乗九得一十八於丙丁兩位減之則
減丙七為五加丁二為四此初開也再開倍前商九
得一十八并縱得二百五十二為亷法先以二除乙
之一(倍商之一十八當於丙丁兩位減并縱首七而/成二十五其位亦同今乙位有實故以除丙之)
(法除/乙也)則改乙一為五又以二除丙之五則於丙減二
存三於乙加一為六為次商次以五乗六得三十於
丙位減之則去丙之三次以二乗六得一十二於丁
戊兩位減之則減丁四為三戊八為六又以隅六自
乗得三十六減丁戊實並盡得廣九十六(并較得長/一百六十)
(八/)
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊
己六位帶縱一千零八十八初商得一(初商是百而/縱乃至千故)
(只可/用一)列甲左而以縱并商得一千一百八十八為方
法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之(方/一)
(百之一當於乙位減此是/縱首一千之一故進一位)則去甲之一次一仍得一
於乙位減之則減乙六為五次八仍得八於丙位減
之則減乙五為四加丙六為八次八仍得八於丁位
減之則減丙八為七加丁四為六此初開也再開倍
前商一得二并縱得一千二百八十八為亷法先以
一除乙之四(倍商之二當於丙位減此是縱首/之一故進一位也下三開倣此)則於
乙減三存一於甲空位列三為次商次以二乗三得
六於丙位減之則減丙七為一次以八乗三得二十
四於丙丁兩位減之則去乙之一加丙一為九減丁
六為二次以八乗三得二十四於丁戊兩位減之則
去丁之二減戊六為二又以隅三自乗得九於丁位
減之則減丙九為八加丁空為一此再開也三開倍
前商一十三得二十六并縱得一千三百四十八為
亷法先以一除丙之八則於丙減六存二於乙空位
列六為三商次以三乗六得一十八於丙丁兩位減
之則去丙之二加丁一為三次以四乗六得二十四
於丁戊兩位減之則去丁之三加戊二為八次以八
乗六得四十八於戊己兩位減之則減戊八為三加
己四為六又以隅六自乗得三十六減戊己實並盡
得廣一百三十六(并較得長一千/二百二十四)
帶縱減積開平方法 長方積較求廣或於實内減長
積以就其方名帶縱減積開平方列實定位以較為
帶縱初開亦稍朒其商先以帶縱乗商減實乃以商
自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干
亦先以帶縱乗商減實乃以亷法除實合次商其隅
法如常
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二
初商得二列甲左而先以縱乗商以一乗二得二於
甲位減之(此縱之一商之二皆十也依常法商二自/乗於甲位減今以縱一乗商二亦同葢凡)
(十與十百與百相乗皆於本位減必相乗又得十乃/進一位若商係十而乗縱之百則當進一位商係百)
(而乗縱之十則當退一位次商三商其理不殊各以/所商應除之位為本位而進退之也負縱益積倣此)
則減甲八為六次以二乗二得四於乙位減之則減
乙六為二乃以商二自乗得四於甲位減之則又減
甲六為二此初開也再開倍前商二得四為亷法約
計次商當得四(約計減積之餘尚有商亷/相乗及隅自乗之數也)亦先以縱
乗商以一乗四得四於乙位減之(次商即再開之隅/隅本位在丙然隅)
(四只是四數而所與乗之縱一則是一十故進一位/也若以比初開所除之位則為退一位至三開即比)
(再開又退/一位矣)則減甲二為一加乙二為八次以二乗四
得八於丙位減之則減乙八為七加丙四為六乃以
亷四除甲之一則改甲一為二加乙七為九又以四
除乙之九則於乙減八存一於甲加二為四為次商
又以隅四自乗得一十六減乙丙實並盡得廣二十
四
又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶
縱七十二初商得一列甲左而先以縱乗商以七乗
一仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二
於丙位減之則減丙四為二乃以商一自乗得一於
甲位減之則去甲之一此初開也再開倍前商一得
二為亷法約計次商不足除知再開值空位(乙位實/二試擬)
(一為次商而以縱首之七相乗當比初開退一位於/丙位減之則丙實只有二必減及於乙而亷已不足)
(除未暇論其他矣故/知再開值空位也)三開倍前商一十得二十為亷
法約計三商當得八亦先以縱乗商以七乗八得五
十六於丙丁兩位減之則減乙二為一加丙二為六
丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之
則減丁八為六加戊空為四乃以亷二除乙之一則
改乙一為五又以二除丙之六則去丙之六於乙加
三為八為三商又以隅八自乗得六十四減丁戊實
並盡得廣一百零八 按積較求廣雖有二法只如
一法耳前法并縱於方亷以除實此法分縱與方亷
先後減實異而不異也分作兩度減固不如并作一
度除之便然必備識諸法而後可以盡其變化之用
不容廢云
負縱減方亷開平方法 長方以積與較求長者其廣
之積少於長當損其法之長名負縱減方亷開平方
列實定開位以較為負縱初開稍盈其商以負縱減
之為方法乃以乗商減實再開倍前商亦以負縱減
之為亷法以除實得次商其隅法如常 假如長方
積八百六十四列甲乙丙三位較一十二求長者初
商得三列甲左而以負縱減商得一十八為方法乃
以方法乗商以一乗三得三於甲位減之則減甲八
為五次以八乗三得二十四於甲乙兩位減之則減
甲五為三乙六為二此初開也再開倍前商三得六
減負縱得四十八為亷法先以四除甲之三則改甲
三為七於乙加二為四而其下實不足除即又於甲
減一存六為次商而於乙加四為八次以八乗六得
四十八於乙丙兩位減之則減乙八為三加丙四為
六又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三
十六(減較得廣/二十四)
又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位負
縱七十二初商得一列甲左而以負縱減商得二十
八為方法乃以方法乗商以二乗一仍得二於乙位
減之(商係百而乗方之/十故退一位也)則減乙九為七次八仍得八
於丙位減之則減乙七為六加丙四為六此初開也
再開倍前商一得二減負縱得一百二十八為亷法
先以一除甲之一則改甲一為九於乙加一為七而
其下實不足除即又於甲減一存八為次商而於乙
加一為八次以二乗八得一十六於乙丙兩位減之
則減乙八為七去丙之六次以八乗八得六十四於
丙丁兩位減之則減乙七為六加丙空為四去丁之
四又以隅八自乗得六十四減乙丙實並盡得長一
百八十(減較得廣/一百零八)
負縱益積開平方法長方積較求長或益積以補廣
而就其方名負縱益積開平方列實定位以較為負
縱初開亦稍盈其商先以負縱乗商益實乃以商自
乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦
先以負縱乗商益實乃以亷法除實合次商其隅法
如常
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二
初商得三(此當列甲左第二位因有益積故也初開/畢不妨從甲左第二位移入甲左凡縱方)
(諸例其商位每不可拘善算/者自了然於心手之間耳)而先以負縱乗商以一
乗三得三於甲位加之則於甲左空位列一而減甲
八為一次以二乗三得六於乙位加之則加甲一為
二減乙六為二乃以商三自乗得九於甲位減之則
去甲左之一加甲二為三此初開也再開倍前商三
得六為亷法約計次商當得六亦先以負縱乗商以
一乗六得六於乙位加之則加乙二為八次以二乗
六得一十二於乙丙兩位加之則加乙八為九丙四
為六乃以亷六除甲之三則改甲三為五又以六除
乙之九則於乙減六存三於甲加一為六為次商又
以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊
己六位負縱一千零八十八此當增一開(負縱至千/而依實位)
(初商只是百/數無是理也)初商得一列甲左第二位而先以負縱
乗商以一乗一仍得一於甲左空位加之(甲左空位/是商千應)
(除之本位也商千乗/縱千當於本位加)則列一於甲左次八仍得八於
乙位加之則加甲一為二減乙六為四次八仍得八
於丙位加之則加乙四為五減丙六為四乃以商一
自乗得一於甲左空位減之則去甲左之一此初開
也再開倍前商一得二為亷法約計次商當得二亦
先以負縱乗商以一乗二得二於甲位加之則加甲
二為四次以八乗二得一十六於乙丙兩位加之則
加乙五為七去丙之四次以八乗二得一十六於丙
丁兩位加之則加丙空為二去丁之四乃以亷二除
甲之四則去甲之四於甲左空位列二為次商又以
隅二自乗得四於乙位減之則減乙七為三此再開
也三開倍前商一十二得二十四為亷法約計三商
當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於乙位加
之則加乙三為五次以八乗二得一十六於丙丁兩
位加之則加丙二為三丁空為六次以八乗二得一
十六於丁戊兩位加之則加丁六為八減戊六為二
乃以亷二除乙之五則於乙減四存一於甲空位列
二為三商次以四乗二得八於丙位減之則去乙之
一加丙三為五又以隅二自乗得四於丁位減之則
減丁八為四此三開也四開倍前商一百二十二得
二百四十四為亷法約計四商當得四亦先以負縱
乗商以一乗四得四於丙位加之則加丙五為九次
以八乗四得三十二於丁戊兩位加之則加丁四為
七戊二為四次以八乗四得三十二於戊己兩位加
之則加戊四為七己四為六乃以亷二除丙之九則
於丙減八存一於乙空位列四為四商次以四乗四
得一十六於丙丁兩位減之則去丙之一減丁七為
一次以四乗四得一十六於丁戊兩位減之則去丁
之一減戊七為一又以隅四自乗得一十六減戊己
實並盡得長一千二百二十四 按積較求長二法
不同論負縱以并方亷為便而使負縱多初商少乃
宜用益積也别擬取㨗之術凡負縱減商而商不足
則以所負商數為負方(亦可稱餘/負縱也)以負方乗商益積
即初開畢矣自再開以後減亷固無礙耳
帶縱負隅益積開平方法 長方以積與和求廣者用
和為帶縱(此與用較為帶縱又别用較為帶縱者以/縱并方亷而乗商減實用和為帶縱者直)
(以縱乗商減實耳然且患縱多/積少而須益積及減縱二法矣)則已兼長廣而積有
長廣相乗無廣自乗故置負隅法以益積而以帶縱
開之名帶縱負隅益積開平方列實定開位以和為
帶縱别置一算為負隅初開稍朒其商以乗負隅(一/為)
(負隅則可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者/此法施之他處即負隅或不止於一也觀後各例自)
(見/)為方法先以方法乗商益實乃以帶縱乗商減實
再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干
以乗負隅為隅法先以亷法乗商益實又以隅法乗
商(隅乗商云者因有負隅之乗故又分隅與商為二/也然負隅若止於一則直云商自乗或隅自乗亦)
(可/耳)益實乃以帶縱除實合次商
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣和
六十求廣者初商得二(此當列甲/左第二位)而以乗負隅仍得
二為方法先以方二乗商二得四於甲位加之則於
甲左空位列一而減甲八為二乃以縱六乗商二得
一十二於甲左及甲兩位減之則去甲左之一甲之
二此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四
為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法
先以亷四乗商四得一十六於甲乙兩位加之則加
甲空為二減乙六為二又以隅四乗商四得一十六
於乙丙兩位加之則加乙二為四去丙之四乃以縱
六除甲之二(以縱除與以亷除其位同此縱之六與/亷之四皆十也以十隨十當於亷本位)
(乙位除之除得次商當在甲位今甲位有實則/甲乙同除也 至此宜將初商仍移入甲左矣)則改
甲二為三於乙加二為六又以六除乙之六則去乙
之六於甲加一為四為次商得廣二十四
帶縱負隅減縱開平方法 長方積和求廣或減負隅
於縱而以餘縱開之名帶縱負隅減縱開平方列實
定位以和為帶縱别置一算為負隅初開亦稍朒其
商以乗負隅為方法以方法減縱乃以餘縱乗商減
實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若
干以乗負隅為隅法以亷法減縱又以隅法減縱乃
以餘縱除實合次商
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位和六十初
商得二列甲左而以乗負隅仍得二為方法以方法
減縱餘四十乃以縱四乗商二得八於甲位減之則
去甲之八此初開也再開倍前商二得四以乗負隅
仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四
為隅法以亷法減縱餘二十又以隅法減縱餘一十
六乃以縱一除乙之六則於乙減四存二於甲空位
列四為次商次以六乗四得二十四減乙丙實並盡
得廣二十四
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊
己六位帶縱一千三百六十初商得一列甲左而以
乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘一千二百六
十乃以縱乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去
甲之一次二仍得二於乙位減之則減乙六為四次
六仍得六於丙位減之則去丙之六此初開也再開
倍前商一得二以乗負隅仍得二為亷法約計次商
當得三以乗負隅仍得三為隅法以亷法減縱餘一
千一百六十又以隅法減縱餘一千一百三十乃以
縱一除乙之四則於乙減三存一於甲空位列三為
次商次以一乗三得三於丙位減之則去乙之一加
丙空為七次以三乗三得九於丁位減之則減丙七
為六加丁四為五此再開也三開倍前商一十三得
二十六以乗負隅仍得二十六為亷法約計三商當
得六以乗負隅仍得六為隅法以亷法減縱餘一千
一百又以隅法減縱餘一千零九十四乃以縱一除
丙之六則去丙之六於乙空位列六為三商次以九
乗六得五十四於丁戊兩位減之則去丁之五減戊
六為二又以四乗六得二十四減戊己實並盡得廣
一百三十六 按積和求廣二法以減縱法為優葢
初開以後欲約得續商之數比益積為差易但先以
亷減縱而以餘縱求之如第一例餘實六十四且作
四與十六相乗之數而餘縱二十析之亦得四與十
六兩數即四為次商為隅法以再減餘縱得一十六
而以縱除實正得次商矣如第二例直以亷減餘之
縱約餘實得次商三商雖得商後須再以隅減縱而
縱多商少隅減之餘與亷減之餘當不至大相懸也
然此特謂積和求廣之本法止以一為負隅者若施
之他處負隅不止於一則因續商有負隅之乗理當
小異不得僅如右二説且開除往往遇負積更須參
用下文翻法耳
帶縱負隅減縱翻法開平方法 長方以積與和求長
者積有長廣相乗無長自乗法當損廣以益長故以
和為帶縱别置一算為負隅初開稍盈其商以乗負
隅為方法以方法減縱以餘縱乗商減積而積常不
足則翻以所負積數為積再開倍前商以乗負隅為
亷法以亷法減縱而縱又常不足亦翻以所負縱數
為縱既隅積縱三者俱負乃以負縱除負積得次商
又以次商乗負隅為隅法以乗商減負積名帶縱負
隅減縱翻法開平方
假如長方積三千四百五十六列甲乙丙丁四位和
一百二十求長者初商得七(此雖列甲左而除得次/商乃在乙位則又當借)
(列甲/位也)而以乗負隅仍得七為方法以方法減縱餘五
十乃以縱五乗商七得三十五於甲乙兩位減之而
積不足四十四則去甲之三乙之四丙之五丁之六
而列四於丙列四於丁為負積此初開也再開倍前
商七得一十四以乗負隅仍得一十四為亷法以亷
法減縱而縱不足二十即以負縱二除丙之四則去
丙之四於乙空位列二為次商又以次商乗負隅仍
得二為隅法以乗商二得四減丁位負積適盡得長
七十二
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊
己六位帶縱一千三百六十此當增一開初商得一
(若初商九百或八百商愈少則/負積且愈多故知當為一千也)列甲左第二位而以
乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘三百六十乃
以縱乗商以三乗一仍得三於甲位減之(商千之位/在甲左商)
(千乗縱百則退一/位故當於甲位減)以六乗一仍得六於乙位減之而
積不足一十九萬三千五百三十六則去甲之一乙
之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一於甲列
九於乙列三於丙列五於丁列三於戊列六於己為
負積此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得
二為廉法以亷法減縱而縱不足六百四十即以負
縱六除甲之一(倍商之二是千也依常法當於甲位/除除得次商當在甲左此負縱之六)
(是百也則當於乙位除而甲位有負積故甲乙同除/除得次商乃在甲位葢非次商應列之位特因負縱)
(數朒/故耳)則於乙加四為十三又以六除乙之十三則於
乙減六存七於甲加一為二為次商(此當於再開畢/後移列甲左葢)
(三開則負縱亦盈至千/與常法倍商數等矣)次以四乗二得八於丙位減
之則減乙七為六加丙三為五又以次商乗負隅仍
得二為隅法以乗商二得四於乙位減之則減乙六
為二此再開也三開倍前商一十二得二十四以乗
負隅仍得二十四為亷法以亷法減縱而縱不足一
千零四十即以負縱一除乙之二則去乙之二於甲
空位列二為三商次以四乗二得八於丁位減之則
減丙五為四加丁五為七又以三商乗負隅仍得二
為隅法以乗商二得四於丁位減之則減丁七為三
此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四
以乗負隅仍得二百四十四為亷法以亷法減縱而
縱不足一千零八十即以負縱一除丙之四則去丙
之四於乙空位列四為四商次以八乗四得三十二
於丁戊兩位減之則去丁之三減戊三為一又以四
商乗負隅仍得四為隅法以乗商四得一十六減戊
己負積並盡得長一千二百二十四 按積和求廣
初開後必有餘積(若遇負積即初商是長非廣/也此亦指一為負隅者而言)求長
則初開常負積其大凡也若求長用益積法則初開
所負之積不妨於再開所益積内減之(再開所負於/三開所益減)
但欲約次商患其茫然無緒可尋故只倣減縱法葢
減縱則縱常不足因即以負縱除負積而得商此翻
法所以為良也其間更有變例不可不知者别詳於
左
一求長而初開後乃有餘積此其初商必與求廣相
同者也既有餘積則以亷減縱亦必有餘縱(若積餘/縱負乃)
(是商數過盈非所求/之長當改商就朒)且如實一萬九千四百四十和
二百八十八初商得一百(求廣求/長同)而餘積六百四十
再開以亷減縱餘八十八約餘積為八與八十相乗
之數而餘縱析之亦得八與八十兩數此若求廣即
再開為空位以八為三商以再減餘縱得八十而以
除積正得三商為廣一百零八若求長即以八十為
次商以再減餘縱得八而以除積正得次商為長一
百八十葢只用減縱法而廣長皆得可不須翻法也
又如實二萬零九百四十四和二百九十初商得一
百而餘積一千九百四十四再開以亷減縱餘九十
約餘積一千九百(其下小數且/置不算也)為四十與五十相乗
之數則朒為三十與六十相乗之數則盈而餘縱析
之亦得四十與五十兩數及三十與六十兩數此若
求廣則取盈數(宜有餘/積也)以三十為次商(廣不合有一/百六十故不)
(用/六)以再減餘縱得六十而以除積一千八百得次商
仍餘積一百四十四三開以亷減縱餘三十約餘積
為六與二十四相乗之數而餘縱析之亦得六與二
十四兩數即以六為三商以再減餘縱得二十四而
以除積正得三商為廣一百三十六若求長則取朒
數(宜負/積也)以五十為次商(長不合止一百/四十故不用四)以再減餘縱
得四十而以除積二千合次商積負五十六三開以
亷減縱縱負一十以負縱除負積四十得四為三商
而以隅四自乗得一十六減負積盡為長一百五十
四葢始終用減縱法以得廣始於減縱終於翻法以
得長非可執一云(右一條及下四條所舉假例皆以/一為負隅故例中不言負隅之乗)
(取省文便覽也又自此以下凡積縱商亷諸數百則/曰百千則曰千而不復著甲乙之位非前後互異正)
(取參觀以/相發明耳)
一負積當以負縱除而以亷減縱適盡者約負積得
次商以乗負隅為隅法以乗商減負積(既無負縱則/獨用隅法減)
(負積也或以負隅除負積/以常法平方開之亦可)如實八百六十四初商三
十而負積三十六再開以亷減縱適盡即約負積得
次商六為隅法自乗得三十六減負積盡為長三十
六又如實九千三百七十五和二百初商一百而負
積六百二十五再開以亷減縱適盡即約負積得次
商二十為隅法自乗得四百減負積三開以亷減縱
縱負四十乃以負縱除負積二百得五為三商而以
隅五自乗得二十五減負積盡為長一百二十五(負/積)
(六百二十五常法開平方亦得二十五平方再開亷/法之四十猶翻法三開負縱之四十也葢縱亷相減)
(負縱即是餘亷而在負隅法中方亷隅皆負/也縱乃正也以相減則負縱固是餘負亷也)
一以亷減縱有餘縱不可以除負積者約計當得次
商若干以乗負隅為隅法再減餘縱縱負則以負縱
除負積合次商(負縱與隅法皆所用以除負積者也/無負縱則獨用隅法有餘縱則以隅)
(法相/減)如實一千六百六十六和八十三初商四十而
負積五十四再開以亷減縱餘三即約九為次商以
再減餘縱縱負六乃以負縱除負積合次商為長四
十九也
一以亷減縱有餘縱不可以除負積再以隅減縱適
盡者此為有商無除(隅與縱相減並盡既無負縱即/無餘隅矣無可用以除負積者)
(也/)而其負積則續商以除之如實五萬五千五百七
十五和四百八十初商二百而負積四百二十五再
開以亷減縱餘八十即以八十為次商(若以九十為/次商則減縱)
(而縱負一十矣然以一十除負積欲合次商之九十/當有負積九百乃足除耳今只四百二十五是負積)
(又負於法/不得行也)以再減餘縱適盡無可除三開以亷減縱
縱負八十乃以負縱除負積四百得五為三商而以
隅五自乗得二十五減負積盡為長二百八十五
一以亷減縱有餘縱再以隅減縱仍有餘縱者以餘
縱乗商益負積(餘縱以減積負縱以減負積/然則餘縱當以益負積矣)而續商
以除之如實一萬六千一百二十八和二百六十四
初商一百而負積二百七十二再開以亷減縱餘六
十四即以六十為次商(不以七十為次商者猶前/例不可以九十為次商也)以
再減餘縱仍餘四則以餘縱乗商得二百四十以益
負積得五百一十二三開以亷減縱縱負五十六乃
以負縱除負積四百四十八得八為三商而以隅八
自乗得六十四減負積盡為長一百六十八
右自帶縱并方亷開平方至此凡有縱方七法六法
所以御平方之變而翻法又所以通縱方之窮也此
外更有隅算開平方一法其以商亷相乗與負隅同
而負隅則以益積及減帶縱隅算則以除積而并帶
縱葢隅有正負猶縱有正負也(若以一為隅算則與/無隅算同商亷固即)
(是隅算/之一也)以此八法為綱領而錯綜變化其用不窮矣
隅算法前未有例於後見之云
平方以斜徑求方 法以斜徑自乗為實以二為隅算
開方 假如方田斜徑七十步求方者以斜徑自乗
得四千九百為實以二為隅算初商四十以乗隅算
得八十為方法以方法乗商得三千二百減實再開
倍前商得八十以乗隅算得一百六十為亷法以亷
法除實一千四百四十得九為次商又以次商乗隅
算得一十八為隅法以隅法乗商得一百六十二減
實不盡九十八倍商加隅仍乗隅算以命分為一百
九十八之九十八約為九十九之四十九得方四十
九零九十九之四十九也 按斜徑自乗之實倍方
積故以二為隅算開之(或不用隅算以斜徑/實半之開方亦得)舊説率
方五斜徑七然方五則斜七而强斜七則方五而弱
未可為密率不若方斜積率方一斜二無黍絲差也
平方以方求斜徑 法倍方積開方
大小兩方以共積及兩方互乗數求大小方 法倍兩
方互乗數減共積開方得兩方較乃以兩方互乗數
為實以較為帶縱用帶縱并方亷開之(言并方亷而/或用減積可)
(知不待言/也他倣此)得小方或以較為負縱用負縱減方亷開
之得大方
又法倍兩方互乗數并共積開方得兩方和乃以兩
方互乗數為實以和為帶縱一為負隅用帶縱負隅
減縱開之得小方或用翻法開之得大方(按此葢以/句股法通)
(之大方股也小方句也共積弦實也兩方互乗數句/股相乗長方積也故倍互乗數則與共積相并减而)
(開方可得和與較也或和或較但得其一即以互乗/數為實用縱方開之自見大小方矣若兼求和與較)
(以見大小方不用/縱方之法亦可耳)
大小兩方以共積及兩方較求大小方 法以較實減
共積餘為實以二為隅算倍較為帶縱用隅算帶縱
并方亷開之得小方或倍較為負縱用隅算負縱減
方亷開之得大方 假如大小兩方田共積七千五
百九十二步兩方較二十八步求大方者以較自乗
得七百八十四以減共積得六千八百零八為實以
二為隅算倍較得五十六為負縱初商七十以乗隅
算得一百四十為方法先以負縱乗商得三千九百
二十益實乃以方法乗商得九千八百減實再開倍
前商得一百四十以乗隅算得二百八十為亷法約
計次商當得四以乗隅算得八為隅法先以負縱乗
商得二百二十四益實乃以亷法除實一千一百二
十合次商又以隅法乗商得三十二減實盡得大方
七十四(此以隅算負縱益積/法為例餘可類推)
大小兩方以共積及兩方和求大小方 法以和實減
共積餘為實以二為負隅倍和為帶縱用帶縱負隅
減縱開之得小方或用翻法開之得大方(按右二條/但倍共積)
(以減較實開方得兩方和以減和實開方得兩方較/兼和較以見大小方最為便易然欲倣此意而推之)
(三方以上則格而難通矣若以較和實減共積為實/倍較和為帶縱負縱則推之三方以上總用此法不)
(過遞增其隅算負隅之數及中方以較較為/縱微不同耳合下二條觀之乃知法之妙也)
大小三方以共積及三方之兩較求各方 法以兩較
實減共積餘為實以三為隅算而視其較若係大與
小中與小之兩較則倍兩較為帶縱用隅算帶縱并
方亷開之得小方係大與中大與小之兩較則倍兩
較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方或係大
與中中與小之兩較而大與中之較盈於中與小之
較(可知中方/近小方也)則倍兩較之較為帶縱用隅算帶縱并
方亷開之大與中之較朒於中與小之較(中方近/大方也)則
倍較較為負縱用隅算負縱減方亷開之大與中之
較中與小之較等則直用隅算開之得中方
大小三方以共積及三方之兩和求各方 法以兩和
實減共積餘為實以三為負隅倍兩和為帶縱用帶
縱負隅減縱開之得中方及小方或用翻法開之得
大方(按并兩和實其數自多雖以共積減之猶多也/以此為實則除之常有餘實矣并兩和又倍之)
(其數亦復不少以此為縱則減之常有餘縱矣故舉/大與中與小之兩和往往只用負隅減縱法即得大)
(方不須翻法也惟大方與中小二/方盈朒迥殊者乃間用翻法耳)
右四條以較求方以和求方其法兩兩相對由二方
以推之三方更推之多方皆可以一理貫也但較有
帶縱負縱之分和則惟有帶縱而已又中方以較較
為縱與大小方固殊而以和和為縱則與大小方不
異故以較求者其緒繁以和求者其術簡也且如甲
乙丙丁戊五方舉甲與戊乙與戊丙與戊丁與戊之
四較即先求戊方以四較實減共積餘為實以五為
隅算倍四較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之求甲
方者用負縱(若四較皆以甲方為主即/先求甲方也 甲大戊小)並如右法至
於求乙丙丁三方者當倍較較為縱而欲得較較固
自有説假使求乙方即并乙與丙與丁與戊之三較
而以甲與乙之較減之餘則較較也葢以大於乙之
較與小於乙之較相減既得較較且可知乙方為近
大方為近小方而較較為帶縱為負縱矣(乙下於甲/一等似近)
(大方而較較當為負縱然使并乙與丙丁戊之三較/不及甲與乙一較之數即乙近小方而當為帶縱也)
(等并三較與一較之數/ 者但用隅算開之)丙丁倣此其以和求者只如
右法云
三廣田以積與三廣之兩較及長廣較求長廣 法以
中廣與長之較為帶縱(必以中廣為主此算三廣之/定法 既稱長廣則中廣必)
(朒於長故直稱帶縱而下文立法皆就帶縱言之/也然亦或有中廣反盈於長者自當為負縱耳)以
中廣與南北廣之兩較并而四除之為旁縱(長既有/縱廣不)
(當又稱縱而廣之有較/亦縱也故謂之旁縱)而中廣朒則為旁帶縱中廣
盈則為旁負縱又有不同旁帶縱者用雙帶縱并方
亷兼減積開之(帶縱法以并方亷為便而兩縱分屬/長廣兩邊則初開未可皆并入方故)
(兼用減積法至再開或減積或并亷/者亷固統長廣兩邊不妨并兩縱也)旁負縱者用帶
縱并方亷兼負縱益積減亷開之(帶縱既用并方亷/法而兩縱分屬長)
(亷兩邊則初方不可一并一減故負縱必用益積法/至再開或益積或減亷者亷統長廣兩邊不妨且并)
(且減/也)得中廣 假如三廣田積二千四百六十五步
中廣朒於南廣八步朒於北廣三十六步朒於長六
十七步求三廣及長者以長廣較六十七為帶縱以
兩廣較并而四除之得一十一為旁帶縱初商一十
并帶縱得七十七為方法先以方法乗旁帶縱得八
百四十七減積乃以方法乗商得七百七十減積再
開倍前商得二十并帶縱得八十七為亷法約計次
商當得八為隅法先以隅法乗旁帶縱得八十八減
積乃以亷法除積六百九十六合次商又以隅八自
乗得六十四減積盡得中廣一十八(各加較得南廣/二十六北廣五)
(十四長/八十五)或再開以旁帶縱并入亷法得九十八以除
積七百八十四得八為次商而以隅法減積盡尤簡
捷
又如三廣田積二千四百六十五步中廣盈於南廣
一十五步盈於北廣九步朒於長五十步求長廣者
以長廣較五十為帶縱以兩廣較并而四除之得六
為旁負縱初商三十并帶縱得八十為方法先以方
法乗旁負縱得四百八十益積乃以方法乗商得二
千四百減積再開倍前商得六十并帶縱得一百一
十為亷法約計次商當得五為隅法先以隅法乗旁
負縱得三十益積乃以亷法除積五百五十合次商
又以隅五自乗得二十五減積盡得中廣三十五(各/加)
(減較得南廣二十北/廣二十六長八十五)或再開以旁負縱減亷法得一
百零四以除積五百二十得五為次商而以隅法減
積盡尤便(按右條之法亦可以縱為旁縱以旁縱為/縱也雖縱有帶負之分而帶縱兼旁負縱)
(者易為負縱兼旁帶縱於算亦通然長廣之較自當/為縱廣與廣之較自當為旁縱理固如此耳且如下)
(文各條例中其法更加隅算及負/隅者縱與旁縱斷不可移易也)
方長帶偏斜田以積及四邊之三較求長廣 法以一
邊為主若主東一邊即以東長與南北廣之兩較俱
盈俱朒者并而半之一盈一朒者相減而以所餘盈
朒之數半之為縱以東西之較半之為旁縱其為帶
縱負縱並以東一邊之盈朒分之先求東長如前三
廣田法 假如偏斜田積四千一百四十八步東長
盈於南廣十步朒於北廣四步朒於西長八步求各
長廣者以東與南北兩較相減得盈六半之得三為
負縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十減負
縱得五十七為方法先以方法乗旁帶縱得二百二
十八減積乃以方法乗商得三千四百二十減積再
開倍前商得一百二十減負縱得一百一十七并旁
帶縱得一百二十一為亷法以亷法除積四百八十
四得四為次商而以隅四自乗得一十六減積盡得
東長六十四(各加減較得南廣五十四/北廣六十八西長七十二)
又如偏斜田積一萬一千四百步東長盈於南廣一
百三十步盈於北廣一百一十步朒於西長二十步
求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十
為負縱以東西較半之得一十為旁帶縱初商一百
(此因負縱多而初/商少兼用益積法)先以負縱乗旁帶縱得一千二百
益積(凡帶縱皆用之減積也此旁帶縱何以益積葢/以方法相乗則減積耳方法之中有商有帶縱)
(方也商也帶縱也皆正也兩正相乗/宜減積一正一負相乗宜益積也)次以商乗旁帶
縱得一千減積又以負縱乗商得一萬二千益積乃
以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱
得八十并旁帶縱得九十為亷法以亷法除積七千
二百得八十為次商而以隅八十自乗得六千四百
減積盡得東長一百八十(南廣五十北廣/七十西長二百)
又如偏斜田積八千一百步東長盈於南廣一百二
十五步盈於北廣一百一十五步盈於西長一十六
步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二
十為負縱以東西較半之得八為旁負縱初商一百
先以負縱乗旁負縱得九百六十減積(凡負縱皆用/之益積此旁)
(負縱何以減積葢一正一負相乗宜益積/則兩負相乗又宜減積也兩負如無負也)次以商乗
旁負縱得八百益積又以負縱乗商得一萬二千益
積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減
負縱得八十又減旁負縱得七十二為亷法以亷法
除積五千零四十得七十為次商而以隅七十自乗
得四千九百減積盡得東長一百七十(南廣四十五/北廣五十五)
(西長一百/五十四) 按右三例第一例以負縱減方亷兼帶
縱減積并亷也其第二例第三例亦是負縱兼旁縱
而初開以負縱減商商皆不足當以所負商數各二
十為負方第二例以負方乗旁帶縱得二百益積又
以負方乗商得二千益積第三例以負方乗旁負縱
得一百六十減積又以負方乗商得二千益積即初
開各畢矣前著例頗詳者欲使其中條理顯然而㨗
徑自出也
三廣田以積與三廣和兩廣較及長廣較求長廣 法
以四乗積為實以和為帶縱一為隅算(凡三廣必倍/中廣并邊兩)
(廣而四除之以為廣今四乗積則可以當四除矣乃/以三廣和為帶縱而猶少一中廣即以一隅算并縱)
(隅算固所求/之中廣也)以中廣與長之較為旁帶縱(如中廣反/盈於長則)
(為負/也)用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之得中廣(以/加)
(長廣較得長以減三廣和得南北二廣和欲知南北/各廣數以兩廣較推之其較非必南北之較而皆可)
(以次第推也為按此以長廣較為旁縱者和不得為/旁縱也凡和 帶縱必加隅算及負隅而隅算負隅)
(勢不得在旁也此隅算只一猶與無隅算同縱與旁/縱可以互換非負隅之比負隅雖只一其縱亦不可)
(移/耳)
方長帶偏斜田以積與三邊和及長較廣較求長廣
法以二乗積為實以和為帶縱一為負隅(以三邊和/為帶縱非)
(有二長即有二廣故以二乗積而有二長者一為負/隅以求廣因以減縱中之廣有二廣者一為負隅以)
(求長因以減/縱中之長)以長較或廣較半之為旁縱(求長則取/長較求廣)
(則取/廣較)其為帶縱負縱以所求一邊之盈朒分之乃用
帶縱負隅減縱兼旁縱開之得一邊長廣 假如偏
斜田積四千一百四十八步東南北三邊和一百八
十六步東長朒於西八步南廣朒於北一十四步求
各長廣者以二乗積得八千二百九十六為實以一
為負隅以和一百八十六為帶縱以東西較半之得
四為旁帶縱初商六十以乗負隅仍得六十為方法
以方法減縱餘一百二十六先以餘縱乗旁帶縱得
五百零四減實乃以餘縱乗商得七千五百六十減
實再開倍前商得一百二十以乗負隅仍得一百二
十為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅
法以亷法減縱餘六十六又以隅法減縱餘六十二
乃先以隅法乗旁帶縱得一十六益實(在負隅法中/方亷隅皆負)
(也旁帶縱以正而與/負乗故宜益實也)而以餘縱減實二百四十八合
次商得東長六十四(以減和更以廣較推之得南廣/五十四北廣六十八以長較見)
(西長七/十二)或再開以旁帶縱乗負隅仍得四(凡縱不與/隅算及負)
(隅二者相乗而旁縱自再開以後欲與亷縱相并減/則必與二者相乗也前以隅法乗之而益積隅法固)
(已先乗/負隅矣)以減縱餘五十八(帶縱而乗負/隅故以減縱)而以除實二
百三十二合次商亦便
又如偏斜田積三千二百五十步東南北三邊和一
百七十四步東長朒於西一十二步南廣朒於北六
步此須用帶縱負隅減縱翻法(倍積為實則除實宜/有餘實一長二廣為)
(縱則減縱宜有餘縱而或須用/翻法者必其田狹長之甚也)而兼旁縱開之以二
乗積得六千五百為實以一為負隅以和一百七十
四為帶縱以東西較半之得六為旁帶縱初商一百
(若商八十或九十則負積愈多而八十且有餘縱無/以置之九十雖有負縱其數甚少不能除盡負積故)
(定商/一百)以乗負隅仍得一百為方法以方法減縱餘七
十四先以餘縱乗旁帶縱得四百四十四減實乃以
餘縱乗商得七千四百減實實負一千三百四十四
再開倍前商得二百以乗負隅仍得二百為亷法以
亷法減縱縱負二十六約計次商當得二十以乗負
隅仍得二十為隅法先以隅法乗旁帶縱得一百二
十減負實乃以負縱除負實五百二十合次商又以
隅法乗商得四百減負實三開倍前商得二百四十
以乗負隅仍得二百四十為亷法以亷法減縱縱負
六十六約計三商當得四以乗負隅仍得四為隅法
先以隅法乗旁帶縱得二十四減負實乃以負縱除
負實二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六
減負實盡得東長一百二十四(南廣二十二北廣二/十八西長一百三十)
(六/)或再開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得三
十二以除負實六百四十得二十為次商而以隅法
減負實四百三開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負
縱得七十二以除負實二百八十八得四為三商而
以隅法減負實盡尤便 按算術固不能盡言即如
偏斜田設舉積及東南和東北和東西較則并兩和
為帶縱以二為負隅而依前半較為旁縱倍積為實
開之得東長或舉積及東南和東北和東西和則以
四乗積為實以東西和除之得南北和而并東南和
東北和以南北和減之半其餘得東長如三廣田舉
積與三廣之兩較及長廣和則以和為帶縱一為負
隅并兩較而四除之為旁縱以開積得中廣神而明
之法隨問變豈可限也兹因偏斜田而引伸其説凡
諸條例莫不皆然請以俟通人之自悟焉
長方以重長重廣共步及積求長廣 法以共步為帶
縱而求長則以長數(重幾長則為幾/數也下廣數同)為負隅以廣數
乗積為實求廣則以廣數為負隅以長數乗積為實
用帶縱負隅減縱及翻法開之(不論求長求廣但負/隅數少乗積數多者)
(積與縱常有餘往往用帶縱負隅減縱法負隅數多/乗積數少者積與縱常不足往往用翻法惟田形狹)
(長之甚者則不然臨算/當自知之不可預定耳) 假如長方積八百六十四
步二長五廣共一百九十二步為帶縱以五乗積得
四千三百二十為實(五乗積則得長乗廣之數/五而可以五廣為帶縱也)以二
為負隅(實中無長自乗之數而帶縱有二長/故以二為負隅不益實即減縱也)用帶縱
負隅減縱開之得長三十六或以二乗積得一千七
百二十八為實以五為負隅用翻法開之得廣二十
四 更有重長重廣重和重較共步及積求長廣者
如積八百六十四步一和二較三長四廣共二百八
十八步法先約一和得一長一廣并三長四廣得四
長五廣又以二較益廣為長共得六長三廣乃如前
求之若重較數多既益廣盡為長而尚有餘較者此
則不可求長但可求廣(原積無長乗較之數故不可/求長原積有廣自乗及廣乗)
(較之數各一/故可求廣)且如積八百六十四步一和六較三長
四廣共三百三十六步約一和三長四廣得四長五
廣又以六較之五益廣為長共得九長而餘一較則
以九長減較為廣乃得九廣十較而以十乗積得八
千六百四十為實以一為隅算(十乗積則得廣自乗/及廣乗較之數各十)
(而帶縱少一廣故以/一為隅算并縱也)以共步為帶縱用隅算帶縱并
方亷開之得廣二十四
長方以長廣母子分數之共步及積求長廣 法以長
母乗廣子為廣率為廣數以廣母乗長子為長率為
長數以兩母相乗為總率以乗共步為帶縱乃如前
重長重廣例求之 假如長方積八百四十步五分
長之二四分廣之一共二十步求長廣者以五乗一
得五為廣率為五廣以四乗二得八為長率為八長
以五與四乗得二十為總率以乗共步得四百為帶
縱而此帶縱之數凡有八長五廣也乃以八乗積得
六千七百二十為實以五為負隅用帶縱負隅減縱
開之得廣二十四或以五乗積得四千二百為實以
八為負隅用翻法開之得長三十五
長方匿原積以長乗重長重廣積步及較或以廣乗重
長重廣積步及較求長廣 法以乗積為實并長廣
數為隅算而長乗求長則以廣數乗較為負縱用隅
算負縱減方亷開之廣乗求廣則以長數乗較為帶
縱用隅算帶縱并方亷開之若廣乗求長則以廣數
乗較為負縱又以較為旁負縱用隅算雙負縱減方
亷兼益積開之長乗求廣則以長數乗較為帶縱又
以較為旁帶縱用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之
假如長方匿其原積而以廣乗六長三廣得六千
九百一十二步其長廣較一十二步求長者以乗積
六千九百一十二為實以九為隅算以三乗較得三
十六為負縱又以較一十二為旁負縱初商三十以
乗隅算得二百七十減負縱得二百三十四為方法
先以方法乗旁負縱得二千八百零八益實乃以方
法乗商得七千零二十減實再開倍前商得六十以
乗隅算得五百四十減負縱得五百零四為亷法約
計次商當得六以乗隅算得五十四為隅法先以隅
法乗旁負縱得六百四十八益實乃以亷法除實三
千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四
減實盡得長三十六或再開以旁負縱乗隅算得一
百零八以減亷法得三百九十六以除實二千三百
七十六得六為次商而以隅法減實盡尤捷 右法
更有以長乗重長重廣重和重較或以廣乗之而以
其積步及較求長廣者並先約和較為長廣不待言
矣若以較益廣盡為長而尚有餘較如前九長一較
之比者别自有法且如九長一較法以九為隅算而
長乗求長則以一乗較為帶縱廣乗求廣則以十乗
較為帶縱(九廣十/較也)廣乗求長則以一乗較為帶縱又
以較為旁負縱長乗求廣則以十乗較為帶縱又以
較為旁帶縱依例開之
長方匿原積以長乗重長重廣積步及和或以廣乗重
長重廣積步及和求長廣 此與前一條相似而不
同以長乗者但可求長以廣乗者但可求廣(隅算及/負隅無)
(旁加者勢不能也故長乗不便/於求廣廣乗不便於求長矣)法亦以乗積為實而
長乗求長則以廣數乗和為帶縱廣乗求廣則以長
數乗和為帶縱又以長廣數相減餘數為隅算不足
數為負隅求長取長求廣取廣為之乃用隅算帶縱
并方亷或用帶縱負隅減縱及翻法開之如六長三
廣長乗求長則以三乗和為帶縱以三為隅算(六長/三廣)
(相減長餘三以為隅算之數葢/并三長於帶縱得六長三廣也)廣乗求廣則以六乗
和為帶縱以三為負隅(六長三廣相減廣不足三以/為負隅之數葢減三廣於帶)
(縱亦得六/長三廣也)開之是也 右法長廣所乗若更兼重和
重較者先約和較為長廣而約得餘較如前九長一
較之比亦别有法且如九長一較長乗求長則以一
乗和為負縱以十一為隅算(減一長一廣於隅/算得九長一較也)廣乗
求廣則以十乗和為帶縱以十一為負隅(減十一廣/於帶縱亦)
(得九長/一較也)依例開之
九章録要卷六