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卷59

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第五十九卷目錄

　曆法總部彙考五十九

　　新法曆書九〈交食曆指〉

曆法典第五十九卷

曆法總部彙考五十九

新法曆書九

交食曆指一

或問：日月薄蝕，是災變乎﹖非災變乎﹖若言是者，則躔度有常，上下百千萬年如視掌耳，豈人世之吉凶亦可以籌算窮也。若言否者，則古聖賢戒懼修省，又復何說。曰：災與變不同，災與災變與變又各不同。如水旱蟲蝗之屬，傷害民物者，災也。日月薄蝕，無患害可指，然以理揆之，日為萬光之原，是生暄燠。月為夜光之首，是生濕潤。大圜之中，惟是二曜相資相濟以生萬有，若能施之體，受其蔽虧，即所施之物成其闕陷矣，況一朔一朢，兩光盛長受損之勢將愈甚焉。是謂無形之災，不可謂非災也。夫暈珥彗孛之屬，非凡所有者，異也。交食雖躔度有常，推步可致，然光明下濟忽焉。掩抑如月食入景深者，乃至倍於月體，日食既者，乃至晝晦星見。嘻。其甚矣。是則常中之變，不可謂非變也。既屬災變，即宜視為譴告，側身修省，是以有修德正事之訓，有無敢馳驅之戒。兢業日慎猶懼不塈矣。曰：既稱災變，凡厥事應可豫占乎。可豫備乎。曰：從古曆家不言事應，言事應者，天文也。天文之學，牽合傅會，儻過信其說，非惟無益，害乃滋大。欲辨真偽，總之能言其所以然者近是。如日月薄蝕，宜論其時，論其地，論時則正照者災深。論地則食少者災減。然月食天下皆同，宜專計時。日食九服各異，宜并記地矣。迨於五緯恆星，其與二曜各有順逆乖違之性，亢害承制之理，方隅衝合之勢，為其術者一一持之有故。然以為必然不爽，終不可得也。惟豫備一法，則所謂災害者，不過水旱、蟲蝗、疾癘、兵戎數事而已，誠以欽若昭事之衷，修勤恤顧畏之實，過求夙戒，時至而救之者裕如，則所謂天不能使之災，又何必徵休咎於梓裨。問：祲祥於京翼乎﹖然則星曆之家，概求精密，尤勤於交食者，何也。曰：太陰去人最近，饒有視差。凡人目所見，人器所測，則視度而已。其實行度分，非人可見，非器可測，必以食甚時知。為定望與日正相對，從是知其實度，從是知其本行，自餘行度，漸可推算也。又因月食知地景為角體之形，月體過之，其距地同而入景之淺深不同，可推日在其本天行與地為不同心也。又因日食，推月距地時時不等，知其有本輪有次輪也。又兼以日月食推日月體之大小，及日月距地之遠近也。別有度地之學，因月食可推地在天之最中，其四周皆以天為上，人則環居地面也。又因月食知地景為圓體，而居東者漸遠漸後見食，即非月食。以地為先後，特因各所見之時刻為先後也。因以推地為圓體，而水附於地，合為一球也。又以月食與子午線相距遠近，知諸方之地經度也。若泯薄蝕於二曜，即造曆者，雖神明默成，無所措其意矣。是則交食者，密術之所繇生，故作者述者咸於此盡心焉。今譔曆指，有合論，有分論月食，術稍簡以附合論之末，日食頗繁，釐為別卷，諸立成表，以類從焉。

界說

凡物體能隔他物之象，使不至目，則為暗體。若以體之一面受光，而光復透射出於彼面，則為徹體。〈如玻璃水晶是也〉

目所司存惟光惟色，而色又隨光發見，故解徹體必以通光，解暗體必以其能隔他象。如月掩日，而日全食，晝為之晦，恆星皆見，爾時太陽在外，體質明顯，又堅密無比，光力甚厚，乃為月體所隔，不能映見微光，可證月乃全非徹體，而全為暗體。其徹體有二：通明之極全無隔礙者，為甚徹。雖則透光而微雜昏蒙者，為次徹。

光在本體為原光，其出而顯他物之象，為照光。日有原光，地與月皆借之為光者，照光也。謂顯他物之象者，因他物之勢隨施隨受，有原先後，無時先後也。非如寒熱燥濕之類，漸及於物，力盡而止。

原光以直徑發照為最光，因而旁及者，為次光。日光正照以直線至於物體，則為最光，有物隔之旁周，映射則生次光。如雲之上，日體所照，最光也。雲之下，不復見日，而猶有光，是次光也。

滿光者，原光之全體所發。少光者，原光之半體所發也。日未全出地平上，所生光為少光，全昇在上，則生滿光。日未全食時，則存少光，既以復圓，即得滿光。景之四周有最光遶之，即景為次光。以景為明者，誤也。以影為暗者，亦誤也。稱景為明暗之中，庶幾近之。葢全無光乃為暗，今至夜子初，人在地景至深之中，去最光極遠，而近日之物尚能別識，即見景中猶存微光，不失為次光也。

最光所不及為初景，次光所不及則為次景，景與光并行，光漸微，景漸厚，故次景與最光相反，若初景即次光也。

最光全不及之處則為滿景，若受正照之微光，即為

圖

缺景。景與光正相反，無景之極則為滿光，無光之極則為滿景。假如甲乙為施光之物，丙為暗球，從甲出正照之光過丙球左右，其切丙之界者，得甲戊及甲己。從乙出光又得乙戊及乙丁。其庚戊辛為最光，全不及之處則滿景也。若庚

戊、辛戊以外，則甲乙光體之多分漸照之至乙丁甲己，乃全光之界。即自戊至丁至己，丙球之景漸薄，以趨於盡矣。

太陽光照月及地第一〈凡五章〉

日、月、地三球體，大小不等，地為靜體，日月則有諸種行度，則有高庳內外。其去地去人遠近不等，法當以大小之比例，及其相遠相近之比例，推其施光受光之體勢，乃得景之體勢，因而得交食之體勢。葢交食者，生於景，景生於光。不尋其本而求其末，無法可得，其說五章。

一曰：有兩球於此，一為暗體，一為明體，而小大等，即明者以半面施光，暗者以半面受光。

如左圖，甲為明球，乙為暗球，小大等，即其徑丙丁及戊己各與甲乙線為直角，而丙丁與戊己等，即甲丙甲丁乙戊乙己與甲庚乙辛皆以半徑相等，而丙庚丁半球與戊辛己半球亦相等。今於明球之旁，從丙從丁出兩切線至暗球之旁，戊巳、戊己與丙丁為平行線，即丙戊與丁己亦平行線也。〈見幾何一卷三十三題〉又因

圖

丙戊乙及丁己乙俱為直角，即戊丙甲及己丁甲亦俱直角，〈見幾何一卷二十九題〉即丙戊丁己線不能割兩球而止切兩周於丙於戊於丁於己，其所抱為丙庚丁，為戊辛己，是甲乙兩球之各半也。若日、月、地三球相等，而月與地皆以半面受太

陽之光，如上所說，則定朔日食，半地面宜皆見之，安得復有南北不等食分，朢日太陰全食時，纔食既，即生光，安得復有食甚時刻及既內分，今皆不然，可見三球無相等之球。

二曰：明體大，暗體小，則施光以小半，受光以大半。

如左圖，甲為明球，乙為暗球，作兩切線為丙己為戊庚，從四切點作橫線為丙戊為己庚。甲既大球，即己丙戊為銳角，丙己庚角為鈍角。如曰不然，或皆為直

圖

角，即庚戊丙戊庚己亦皆直角，兩切線必平行，而乙球與甲球等，〈見幾何一卷二十八題〉必不然也。或己丙戊反為鈍角，而丙己庚反為銳角，即兩切線不能相交於癸，又不然也。今以兩切線相交於癸，明己丙戊為銳角，丙己庚為鈍角，即於丙丁

圖

戊弧內作負圈角，必鈍角矣。於己壬庚內作負圈角，必銳角矣。〈見幾何三卷三十一三十二題〉故丙丁戊施光者，不及半圈；己壬庚受光者，又不止半圈也。因此推知太陽照地及太陰，必各照其大半，而暗體所隔之日光漸遠，又漸斂漸進，以趨於一處，

即景居暗球之背，不得不為角體之形矣。又因此推求朢日先後，人目所見太陰受日之光不長不消者，久之而後生魄，此為何故。葢亦因月體以大半受光，以小半入於人目，光不輒轉，而魄未遽見。故未朢時已見全光，已朢後猶未失全光矣。

三曰：明體小，暗體大，則施光以大半，受光以小半。

如前圖，反論之，可明太陰何以照地而地何反隔日之光也。

四曰：大施小受，愈相近，則施者之小半愈小，受者之大半愈大。

如左圖，丙為小暗球，甲與乙皆大明球。作庚未直線過三球心以交於左右切線，其乙球之兩切線交於午甲球之兩切線交於未，即庚未長於乙午，而庚丁未與乙辛午兩角，庚丁與乙辛兩線，皆相等。則庚未線與庚丁線之比例大於乙午與乙辛，而丁庚未角大於辛乙午角也。〈見幾何五卷八題〉又庚未線過三球之心，必截丁己、辛癸兩線為兩平分，而庚甲丁、乙子辛兩

圖

形內之甲與子皆為直角，則其餘庚丁兩角并乙辛兩角并皆等，一直角即兩并率等。〈幾何一卷三十二題〉兩并率之甲庚丁角大於子乙辛角，各減之所存庚丁甲角，必小於乙辛子角矣。次以庚丁甲及乙辛子不等之兩角各減庚丁未及乙辛

午相等之兩直角，所存甲丁未角更大於子辛午角。又丁戊己弧內作負圈角，必等於甲丁未角。辛壬癸弧內作負圈角，必等於子辛午角。辛壬癸弧之負圈角，既小於丁戊己弧之負圈角，則辛壬癸弧必大於丁戊己弧。〈幾何三卷三十一三十二題〉夫辰寅己與辛壬癸，相似之弧也。丑寅卯與丁戊己，亦相似之弧也。

大小圈左右各有切線，其切點過分圈之線，其所分大小圈分各相似，其大小兩弧亦相似。

即辰寅己弧亦大於丑寅卯弧，可見明球在近比在遠者，尤能照小暗球之多分也。因推知日全食而視為大者，日體去月體遠故也。日全食而視為小者，日體去月體近故也。何以分遠近。日與月俱有自行圈，與地不同心。其行於自行圈之上下，為最高最庳，則為距地之遠近，因而生景之大小也。日既全食矣，又何以分大小。月掩日至既，有時晝晦，恆星皆見，蟲飛鳥棲，此為全食。而大月在日內從中掩蔽，雖至食既而其四周日光皆見，曆家謂之金環，此為全食而小矣。若然者，日與月與地相去，或遠或近之所繇生也。

五曰：小施大受，愈相遠則施者之大半加小，受者之小半漸大。

如左圖，甲乙皆為小明球，丙為大暗球，乙去丙遠於甲，作各切線過三球心之直線，皆如前。次從暗球心丙至各切點作丙丁、丙己、丙庚、丙辛各半徑，得丙丁為丁壬之垂線，丙庚為庚癸之垂線，而丁與庚皆為直角，丙丁與丙庚兩線又等，則丙癸線與丙庚半徑之比例大於丙壬與丙丁，而丙庚癸角又大於丙丁壬角也。〈幾何五卷八題〉依顯丙辛癸角亦大於丙己壬角，以

圖

并前率，為庚丙辛合角，亦大於丁丙己合角，而其弧庚戊辛必大於丁戍己，可見小明球照大暗球，愈遠愈照其多分也。今依本圖，設丙為地外切線，〈癸辛也〉以內為地景，〈日光過丙大球所出景〉甲乙兩小球為月體，其兩小球之小大既等，則同以外

切線為外光之界，或為內景之界。惟因月體循本輪行，時居上周，如乙，則去地遠。時居下周，如甲，則去地近。以是月食之分數有多有寡，月居影厚處，如甲，左右，則食多。月居影薄處，如乙，左右，則食寡。故曰：月食有多寡者，亦相距或遠或近之所繇生也。

景之處所第二〈凡二章〉

凡光以直線照物體，其無光之處則有景之處也。欲於交食時求影所在，理不異此。葢月與地能出景者，不在其受光之面，或其左右必於受光反對之面，日

圖

光不照之地，在日食則為月景之處，在月食則為地景之處矣，說二章。

一曰：景與光所居正相反。

暗體得光於此面，射景於彼面，是景之中心與原光之心、暗體之心，參相對如一直線。則暗體隔光於景，

圖

使原光之心恒居一線之末界。其正相反之，彼界其景之心在焉。如曰：不然，設原光在甲，其照及乙，乙為暗體，隔光生景。據云景不射丙，〈丙者與甲正相對之處〉為甲乙丙直線而斜射丁，則乙甲丁者，角也。有角則有幾何，凡幾何皆分之無窮，能出

直線至於無數，而皆至乙丁邊。夫甲既為原光之體，

其所照必以直線出之。〈試諸儀器足以為證〉即乙丁皆在受光之地，何自能為乙暗體之景乎。因此明景與光正在相反之兩界。論暗體者，其受光之面必向光所出之原界，其生景之面必向景所射之彼界，亦正相反也。論日與月獨至兩交之處而有食，亦依此理。

二曰：明暗兩體任一運動，景隨之移。

試以暗體移動其所借之光，隨處不一，即所生之景亦隨處不一。葢景與光既如一直線，即暗體所居定

圖

為景之末界。如直線之首，首移而線尚不移，則是曲線，非直線也。又試以明體移動，設甲為明體，乙為暗體，乙丙為影，則甲乙丙如一直線，如曰明體甲移至丁，丁仍照乙，而乙尚射景至丙，則丁乙丙猶直線也，有是理乎。

問：太陽照室，僅通隙光，光照牆壁，奕奕顫動。太陽既自順行，牆隙仍無變遷，則此顫動為從何來。或者光與景未必定為直線，而能微作曲勢乎。曰：西古博物者亞利斯多言空中嘗有浮埃，輕而不墜，微而不顯，莊周氏謂之野馬，或亦稱為白駒。幽室之內，原光既微，次光反厚，即顯此物在於光中紛入沓出，能亂光景之界。使目視景絪縕浮動，而實非景動，乃景之界線為浮埃所亂，致使其然也。更以氣為證，今觀太陽出地，地面以上多生蒙氣，氣在日體與人目之間，即見日之光界亦如，顫動非獨日也。日中晴朗，切視地面，光耀閃爍，如波浪然。熾炭在爐，炭之四周火光煜煜，亦如顫動。凡若此者，一皆繇氣而生，在日在地在炭固無顫動之理，是以景必繫於暗體，如輪必繫於樞軸。光上景即下，光東景即西，必相對也，無相就也。故太陽照地，其光繞地一周，則景在其相衝之界，亦繞天一周。葢日光從其本天直射至於地面，而景在地之彼面，亦直射至於月天。第日體常依黃道中線，則地景亦常依黃道中線。而月行常出入黃道中線之內外，是以月體與地景不得恒相遇合，大都不合時多，合時少，故日月不食時多，食時少，以此。

景之形勢第三〈凡二章〉

求食分之幾何，必先求景之幾何，景幾何者，以日月地之大得景之形勢，以日月地相距之遠近分數，得景之變易大小分數也。此所論則景之形勢，後考其變易之勢，得景分以定食分焉。凡二章。

一曰：二體相等，其景平行而無窮，明小暗大，其景漸展而無窮。

圖

論相等者，證以平行之切線也。如圖，甲乙兩球等，丙己、丁戊為兩球之切線，與兩球之徑丙丁、己戊遇於切點，皆為直角，則互為平行線。又球等，即徑之長短亦等。以遇丙己及丁戊，無不為平行線也。〈幾何一卷三十三題〉若兩球之周遭切線無數，

圖

皆同此論。則引之至庚辛以迨無窮，終平行，終不能相遇。而其形為長圓柱之無窮體。

論明球小於暗球，則推以三角形相似之比例也。如圖，乙丙為小明球，丁戊為大暗球。兩球之切線丁乙及戊丙引長之，過小球必

圖

相遇於甲，成甲丁戊三角形，又從丁戊底作己庚平行線在大球之外，成庚甲己三角形，與甲丁戊相似，則甲己庚角與甲丁戊角相等，其各邊各角皆相似，而甲丁與丁戊若甲己與己庚也。反而更之己庚與丁戊，若甲己與甲丁也。甲

己長與甲丁，則己庚亦長與丁戊，愈遠愈長，可見大球之景漸遠漸拓矣。〈幾何六卷四題〉更論丁戊線之內外角，則在內者為銳角，在外者為鈍角。故引切線向內過小球，必相遇，引之向外，愈遠愈拓，終不相遇而其形為無限長，無限廣之角體。又因兩球所居遠近不同，景之張翕隨而變易，故兩球相近即乙丙底線為小，其景愈狹，而乙甲丙角形愈短。兩球相遠即底線為大，其景愈拓，而角形愈長也。

今驗諸日食，有食分同而所歷時刻不同者，月景之在地面廣狹不同也。月與日會，月在日與地之間，或月近地而日在遠，則目之見界過月周至日體，其界廣，日過遲，其見食時刻多。或月遠地而日反近，則目之見界過月周至日體，其界狹，日過速，其見食時刻少也。姑以前圖明之，目在甲，乙丙為月體，丁戊為日體，切線甲丁及甲戊為目所見之界，若日在近，為丁戊，即從丁過戊道，近行速，其食時寡。若在遠，為己庚，從己過庚道，遠行遲，其食時多。皆太陽有不同心圈，而太陰又有小輪所繇生也。

二曰：日、月、地三體大小不同。

凡暗體出角景者，施光之體必大於暗體，否者，其光不能照暗體之大半，而使其景漸小以趨於盡也。試觀月食時，月體近地，則入大景，遠地則入小景，愈遠愈小，必至於盡，安得不信日體大於地體乎。設謂日體與地體或等，則景宜亦等。或小則宜漸大，又當皆為無窮之景，遇朢時月體必不能出大景之外，不應有不食之朢矣。有不食者，是地景之益遠益銳也。月食於地景之中，又有全而且久者，是月徑更小於景而，景小於地也。地景之遠而益銳者，是日大於地也。此以景理推論三體之小大，略可明矣。若又以日體之大推月地之景，則更有法可考其大小之比例也。昔人因太陽照地所生之景及其遠近，其視徑時時不同，又以較於他體得其實體之大，說見月離曆指中。此獨用視徑定食時刻分之數，其論實體為景與食之原，略舉一二如左。

幾何原本論三角形，於一邊之兩界，出兩線復作一三角形在其內，則內形兩腰并之，必小於相對兩腰，

圖

而後兩線所作角必大於相對角，如圖，甲乙為太陽之徑，丙為目從遠視之，丁亦為目從近視之。此所謂內外兩三角形也。今先以線論，因內形之甲丁乙丁兩腰小於相對之甲丙乙丙兩腰，則所作丁角比相對之丙角亦近於共用之。

甲乙底近則見大，故丁目視甲乙日徑必見大於丙目所視之甲乙徑也。次以角論，因內兩線所作丁角大於相對丙角，則此內角所對線亦似大於外角所對線，而丁目所見之甲乙大於丙目所見之甲乙也。此太陽視徑不同之緣也。

求太陽實體之大，苐谷設最高最庳之中處得其距地一千一百五十地半徑，全數十萬，其半徑一十五分三十秒，得正弦四百五十一，以三率算法推其全徑，得地之全徑五又七十五之一十四，如三百八十九與七十五也。又以其徑與其周之比例，得太陽體之立方五千八百八十六萬三千八百六十九，地球之立方四十二萬一千八百七十五，其終數得一百四十弱，為太陽大於地之倍數也。此其照月照地生角體銳景之原也。

景之作用第四〈凡三章〉

月與地若各以其景相酬報，然如月朢，則地景隔日光，令月不受照，有時失滿光，有時全失光也。至月朔則月體隔日光，令地不受照，有處射滿景，有處留少光而已，說三章。

一曰：月食於地景。

月食在朢，緣日月相對，其理明矣。獨謂闇虛為地景者，或致疑焉。今解之，月對日受光，藉非日月之間有不通光之實體為其映蔽，則何繇阻日光之直照。若天體及空中之火、空中之氣皆通明透徹，不能作障，使月失光也。即金、水二星亦是實體，有時居日月之間，然其景俱不及地，況能過地及月乎。則知能掩月者，惟有地體，一面受光，一面射景，而月體為借光之物，入此景中，無能不食，半進而半食矣，全進而全食矣。

二曰：日食者，月掩之。

恆言月在內，去人近。日在外，去人遠。故定朔時月體能掩日光是已。第金、水二星，亦皆時在日內又皆不通光之實體，水星雖小，金星則大於月也。何獨月能食日乎。曰：二星雖有時在日內，則去人甚遠，遠則視徑見小，不能掩日百分之一二，而日光甚盛，所虧百之一二，非目力所及。且二星比月去日更近，所出銳角之景更短，不能及地面也。若月體之大，雖不及太白而去地甚近，去日甚遠，一指足蔽泰山，又何疑乎。由此言之，求一實不通光之體全掩日體者，惟月為能，又自西而東，不及三十日而周，其行度較於諸天最為疾速，故每朢定朔，皆同經度，皆能有食，其不食者繇距度不及交耳。

三曰：因景之徑生多變易。

月以距度廣狹為食分多寡，一因去交有遠有近，去黃道中線有正有偏。一因入地景有淺有深故也。今論其全食者，而大小遲疾猶多變易，曾非一定。葢日在自行本天，月在小輪，相距遠近往往不等。日距月近較距遠時，更照月體之多分。從月體出景更短，其景至地更小，則日雖全食月體，見小歷時亦速也。日與地亦然，以兩體相距之遠近為地景之大小，使月食時入於地景，在其近末之銳分，則闇虛之體見小，食分少，歷時速，皆因三體之相距遠近以生大小遲疾。地景月景皆無一定之徑，致令隨時變易如此。若月景、地景二徑之小大又自不等，故日食盡於食既，而月則食既以後尚有既內餘分，葢地景大於月景，故兩食皆全其虧復遲疾，無能不異矣。又月食天下皆同，日食則否，日食則此地速彼地遲，此地見多，彼地見少，此地見偏南，彼地見偏北，無不異也。月食則凡居地面者，目所共見。其食分大小同，虧復遲疾同，經歷時刻同，唯所居不同子午線者，則見食之時刻先後不同耳。葢月一入景，失去借光，更無處可見其光也。又概論天下日食應多於月食，為二徑折半，其近交時加以南北視差，易相逮及，故論一方則日食應少於月食，為月食共見日食，因地故。〈見後卷詳之〉

月在景之光色第五〈凡三章〉

月既暗體，當全食時一入地景，遂應失其借光，非復人目可見也。葢可見之物悉無原光，必借外光以顯其象，無外光即無從見有此物，安從更顯物色乎。今月居厚景，尚有微光可見，更發色象，或赤色，或青黑色，或雜色，此何從生。今略解之凡三章。

一曰：月不獨食於地景。

論通光者，有二體。一謂物象遇甚澈之體，易於通射，比於發象元處更加透明，則形若開而散焉。一謂物象遇次澈之體，難於通射，比於發象元處少雜昏暗，則形若斂而聚焉。其遇甚澈者，如舟用篙艣，半在水中發象，上出出於水面，所遇空明氣之光，甚澈之體也，則其象散而斜射，視之若曲焉。其遇次澈者，如太陽入地平下，其光照地旁，本宜直上，乃所遇清蒙之氣，次澈之體也，則其象合聚而射於地面，凡地平以上皆得其次光，為朦朧焉。〈即昧爽黃昏亦曰晨昏〉此兩者，皆以一物經繇兩體，其勢曲折，皆謂之折照。

圖

若一物在一體之中，以一直線入目，謂之直照。

夫同是，日光也。在地面之上能折入於地景之根際，則自地面而上，何獨不能折入於景之中際，至月體經行之處乎。如圖，甲為太陽，乙為地球，藉非清蒙氣能迎太陽之光而成折照，則宜從子出光至丙，從丑出光至丁，切地面徑，過而復合於庚，為地景銳角也。今不其然，因清蒙氣周遶地球，日光至丙至丁，遇其次澈之體難於透射，則曲而內聚，止於戊己地面矣。而大圜中大氣無不受日之照光，光在壬癸者，遇於

圖圖

蒙氣即內斂，至於卯辰，此為初折。從卯辰切地而過，若遂以直線引之，即復合於辛，成卯辰辛雜線三角形，為地之滿景。自此以外，全景之中皆得太陽折照之光，與朦朧次光相類，而實為初景，能食朢月之滿光也。欲求滿景之長，姑先依初折之光，引直線復出於蒙氣之外。

姑先云者，不宜遽引直線也。葢初折之光至於卯辰，既抵地面，又復內斂，謂之次折，則兩線之交尚在辛點之內，今云然者，姑先明初折之理，約定乙

圖

辛之數。如太陰之言交，泛言平朔，言本輪也。其次折之理，次二章詳言之，求辛點以內之定距率矣。

而借苐谷所測清蒙差，與多祿某所定地景角之大，得辛辰庚角三十四分，〈近地平之氣差大率如此〉得卯庚辰全角二十五分三十六秒，半之為辛庚辰角一十二分四十八秒。其相對之外角乙辛辰為四十六分四十八秒，〈辛庚辰辛辰庚相對之兩內角并〉次乙辛辰三角形，其乙辛辰角既得四十六分四十八秒，乙辰辛為切線與垂線所作角，必直角，此直角與乙辛邊如乙辛辰角與乙辰地半徑，即得乙辛短線長於地半徑七十三倍。若論地之全景，乙庚線尚長三四倍也。夫月食於地景，必依其景之體勢，顯其食之貌象。今全景之中既以地景兼蒙氣之景，則并有初景，有滿景。月入於中，隨其所至變易光色，無足異矣。或曰：從古論食月者，全屬地景。今云不止地景，而更加之氣景，此為全景，方之地景不亦愈長愈廣乎。則從上古以來，以地徑度月體過景之數，以地徑定日月之視徑，以地徑較日月之兩高，以地徑求日月之去地遠近，悉皆乖舛，而當更定新率然乎。抑否乎。曰：不然。所論蒙氣之景，謂太陽之光，因於此氣，能令全景之中分別厚薄，變易景中之色象，非謂地之徑因景而加大也。譬如眼鏡，本無厚之體，徒以變易物象顯其用耳。且氣景之於地景，亦何能加長加大乎。計清蒙出地之高，不能過極高之山，極高之山測其垂線，不能過千四百步，大地之徑則三萬里，以高山之步數化為里數，而較地徑則五千分之一耳。此氣之厚，何能加於地徑。而云設此論者，有妨於地徑測量之法乎。

二曰：月體當食而成赤色，是氣景所生。

月全食時，其光色往往更迭變易，其初食既與水生光，當此二際，則成赤色。夫月入地景，果必失光，宜為純黑，不應復顯他色。今赤色者，得無是其本光乎。曰：次光之物，惟無光之處能顯其光。一遇大光之體，則次者之光泯矣。今以地景言之，月居其甚厚之際，即甚遠於大光，果有自體之光於此，尤宜顯著。乃今測之，則在淺見，盛在深見，微可證食時所見非月體自有之光也。故應論定月能食於氣景，如上所說矣。然食時亦能變易諸色，何以獨言赤色。試觀太陽下照，地面受之，論其本然皜明無色，日地之間，或發昏蒙之氣，即地面所見時轉為黃，時轉為赤，皆因所遇之氣，如玻璃映目，色青見青，色綠見綠也。今日照地旁，照光所過清蒙之氣，因於斜穿而成厚體，月體所顯光色尤深，成為赤色矣。試論其所以。

視學家有公論，凡象斜射次澈之體，以垂線為主，曲折通之。初入則聚折而向於垂線，既出則散折而離於垂線也。何謂垂線，葢於澈體之面，過受形之點，作

圖

線下垂，則是折照所向所離之線。如圖，圓體甲戊乙，方體甲丁戊，皆次澈也。當其面有斜照之光在丙，至甲點而入至乙點，而出則甲丁與丁乙皆為垂線，照光至甲點，而入必聚而折向於甲丁垂線，至乙點而出必又散而折離於乙丁

圖

或乙壬垂線。若言光至乙點出，或不照庚而更照己，則是反照之光，非折照之光也。依此申言上章所推地球滿景之長。如圖，太陽之光遇於蒙氣，從壬癸折入作壬卯癸辰線，為初折。又從卯辰折出，作卯午辰未線，為次折。以復合於己，

別生午己未雜線角形，乃因乙己未角生己未辛，及己辛未為外，兩角并之得，乙己未內角一度二十○分四十八秒，今設從滿景之角己出切線至地球辰，得乙己辰直三角形，則因乙己辰角一度二十○分，

乙己辰角比乙己未角差數甚微，略得四十八秒，故以算景之長，不論為數。

如前比例，得地滿景之心長於地半徑四十三倍，比月最庳之入景處近地一十一地半徑也。

月最庳入景五十四，最高入景五十八。

今圖月在景之形勢，地球為甲乙內圈，其四周有氣，為丙乙圈，氣外切邊之光復合於卯，是為全景透氣之光。自丙至戊，因戊以上所照必聚而止於地面，無從透達也。則光至丙為太陽之外邊，所照光至戊，乃其近中體所照，以丙較戊更斜，從庚而來入氣處，更曲從辛來之光，已透氣而復出更直，故令丙丁線割戊己線於壬為丁己壬角形，是為次光。又為初景，其角形周遭為環體，抱滿景而居全景之中也。丁己壬角形既盡於壬，而又展開至癸，左右相交至丑寅，愈

圖圖

遠愈拓，復出乎景矣。則丁己壬以內，壬丑寅以內，皆初景之所居也。因此設月體為子，入景正初景展拓之處，月食既正在其中，將復光，亦如之。是故兩時皆顯赤色，食甚離於次景入於滿景，乃變青黑矣。

三曰：月體當食而成青黑色，是借光所生。

月居食甚之中時顯雜色，時但青黑皆須因光而見，若并無光當純黑色也。前已言既入此界，即無太陽入氣折照之光，則所繇見色者，意或月體自有微光乎。曰：凡雜色之映見，皆不繇於純光，純光自當無色也。雜色所從著見者，必因濕氣居其中間，如虹霓是已。若虹霓是濕雲所映，無從可證。試以玻璃瓶滿貯清水，別為密室止穿一隙以達日光，瓶水承隙，則光透牆壁，亦成虹霓，大氣之體本是熱濕，因於地氣時重時輕，若太陽之光從地旁過而地景在濕氣之中，則月體所至生種種色，亦此理矣。若青黑色，月在滿景多見之。則因去光最遠，所得希微之光，不足顯其本體。故光色近於純黑，果絕無光，又不能顯此色矣。第所謂希微之光者，實非本光，如前言人在地景最厚處，天光尚映照之，近日之物略能別識。若月食時則受光之天去月體最為切近，而諸星環遶四周皆有借光可照月體，較人在地面尚為景之薄處，豈得無微光可借聊顯色象乎。何必假此疑為自有之本光。問：合朔以後，月之下半未受日光，而月體微光亦顯青黑之色，若無本光，此光又何從而生。曰：生明以後魄顯微光，然能去離月體，足知其非本光。去離者，未至上弦，此光漸消漸不可見也。若實為本光，則上下弦前後深夜視之，比朔後之月尚近太陽者，尤為窈黑，其本光愈宜顯著。今為不然，深夜即無，初昏即有，其為此時地面反照之光甚易明矣。

此論月為暗體，絕無本光，與月離曆指四卷第二十六所論者不同，葢西土原有此二說，不妨互存之。

日月食有定時第六〈凡二章〉

日月交食皆有定時者，在月則因地景，在日則因月景，景之推移既隨日躔所至，終古不爽。又月行本道，所距黃道度分亦有一定之法，是以一在定朔，一在定朢，當食必食，多寡、先後、上下、千百世可知也。說二章。

一曰：地球在天心。

日食恒在定朔，月食恒在定朢者，何也。地球在天心故也。驗諸日食，必兩曜同居一線，而月在地與日之間，正隔日光於地。又驗諸月食，令日月不相朢於一直線，兩界之末則終古無食也。設地不居天中，或偏近於黃道之上下左右，則食不在半周，而月食之衝非太陽所在矣。〈古法以月食衝簡知太陽所在〉如圖，甲為地，從甲心

圖

作乙丁丙戊圈，為宗動天之地平，則甲必為天之心也，何者。從乙出直線至丙丁至戊亦如之。乙為東，並為鶉首初度。丙為西，亦為星紀初度。丁為鶉火，戊為元枵，皆初度也。則有視學之公論三：其一曰：月所視物必從直線乃見之，使目

圖

在甲能遍見乙丁丙戊，即甲乙、甲丁、甲丙、甲戊、皆直線也。其二曰：若光從一窺表出，能射黃道正相對之兩點，必為徑線。此乙丙及丁戊能過甲，亦如光過窺表，甲能至黃道鶉首、星紀等宮，正相對之初度，則乙丙及丁戊必為本圈之徑。

更試測日月定朢時，得並在地平，此出彼沒，若距度同，即日月略居其一徑之兩末，則乙丙及丁戊為圈徑無疑也。其三曰：凡圈中有多徑線交而相分，其兩分線必等。此兩徑乙丙及丁戊交而相分於甲，即甲乙、甲丙、甲丁、甲戊線皆相等。又幾何一卷第十七，三卷第三界說，皆言圈中一點所出多直線，至其界皆相等，即此點定為圈之心。今甲點出甲乙甲丙等直線至乙丁丙戊各界諸線皆相等，即甲必為本圈之心。因此推之地球在天之心，甚易明矣。

二曰：食之大小疏密，因月距度。

昔人測日月食必在正中二交，月體去交漸遠，則食分漸少，以至無食。何也。月以本體掩日，而日為之食，又以本體入於地景而自為食。故恒言日、月、地居一直線之上則食，偏則否。三球之所以偏者有二：一則日體恒行黃道中線，地景恒在其正衝度分。一則月行常出入黃道中線，是故有時不入地景，則食與不食，皆因月行本道與日與景之距度多寡而已。若其距度較日月景之二徑折半，或大或等者，必不食也，小則必食也。愈小則食愈大也。但月與景之二徑折半大不過一度，日與月之二徑折半止三十餘分耳。故兩交左右之距度或在陽曆或在陰曆，各有食限。不入食限者，雖遇朔朢無緣相及，故一歲之中不能多有食矣。即入於食限而去兩交有遠有近，則其距度有廣有狹，即食分有寡有多，相因致然，不能齊一也。

日月食合論第七〈凡一章〉

日食與月食不同勢，食日謂之障食，食月謂之藏食。何謂障食。日為諸光之宗，月與星皆從受光焉。月之食日，非真食日也。定朔則地與月與日自下而上為一線，相參直，月本暗體，今在日與地之間，以暗體之上半受光於日，以下半射景於地，如屏蔽然。特能下揜人目，而不能上侵日體，日之原光自若也。雖人見為食，而實非食也。何謂藏食。定朢則日月相對，日光正照之，月體正受之，人目正視之。若於此際經度相及，適及兩交，日與地與月，亦為一線，相參直，而地在日與月之閒，地既暗體，以其半體受光於日，以其半體射景於月。若月體全入於景中，則純為晦魄，必待出於景際，然後蘇而生明，如沒而復出者。然是則可謂真食也。總之，日月兩曜若同行一道之上，則每朔每朢無不食矣。日、月、地三體若并不居一直線，則永無食矣。惟各行於一道，時及於兩交，故日與月皆隔五月而一食，或六月而一食，歲歲大率有之。不食者，半食於夜，日食則此方所見，他方所不見耳。其食也，日體恒居一直線之此界，其彼界則月體、地體疊居焉。月居末界，即月面之日光食於地景矣。地居末界，

圖

即地面之日光食於月景矣。如上圖，甲為地，己為日，卯辰圈為黃道，乙丙為白道，其大距〈兩距之最遠〉五度弱二分，丁戊為兩交，〈即龍頭龍尾亦名羅㬋計都〉論月食日照地球，其光自庚辛至地，切兩旁過之，而復合於壬，自甲至壬，角體之形為地景。地景

之心恒隨太陽而行黃道中線，若躔處去兩交遠，二徑折半小於兩道之距度分，月行本道，從旁相過不能逮及，則不食矣。若正遇於兩交或交之左右，二徑折半大於二道之距度分，則兩相涉入，月為之食，其食分多寡在距度廣狹，距度廣狹在去交遠近也。論日食則人目所見恆在地面，推得實會，仍須推其視會。若僅據實會，則是地心之見食，非地面之見食。凡有無多寡，加時先後，悉皆乖失矣。如圖，丁為月，或正居於兩交，或在交之左右，日月二徑之各半，合之小於距度分，則月能掩日，日為之食，不然則不食也。所謂實會、視會兼推則合者，地面所見，推食於地平以上，至天頂之正中，則獨推實會，便為視會，自此以外地面所見先後、大小、遲疾，漸次不同。如圖，人在地面，癸依丁月之徑適滿太陽之庚辛徑，則見為全食。若人在地面，子依丁月之徑，乃見兩切線所至為己寅，則月掩太陽，止於己庚半徑，見為半食矣。大凡日欲食時，月不能離躔道一度強，自此以上無緣相涉，故定朔之日有食時少，無食時多也。〈以上原本曆指卷九交食之一〉

日月本行圖第一〈凡二章〉

日居本圈，月居本輪，行度參差，因而有交食，因而每食不同。此略圖，二曜本行以明交食之原，月離圖獨言朔朢者，交食時必在其本輪內圈之周也。

太陽本行圖

甲為地球，在天心，其大小之比例難可計算，略言之，則地之與天若尺土之與大地也。如圖，外大圈為黃道，與地同心，內圈為太陽本天，其心在乙，乙之離地心，依苐谷算為全數十萬分之三千五百八十四，約

圖

之為百分之三有半也。其最高今時在鶉首宮六度，為丙，太陽右行從辛過內，一周天而復於辛，為三百六十五日二十三刻三分四十八秒，是謂歲實。任躔某宮某度分皆以地心甲為主，而地心所出直線至戊黃道指，為太陽之實行。

其平行則又以本圜之乙心為主，故人在地所測之

實行，時速時遲，而太陽因最高在北任分本圈，則北為大半，故北六宮之日數多於南六宮幾八日有奇也。

依此見求太陽之躔度，必用兩法，一者定其平行，如隨乙丁己直線窺之，從乙心見黃道上之己點。二者定其實行，如隨甲丁戊窺之，乃從地心見黃道上之戊點。先得其平行，又以加減求實行，而平實之差為戊己弧，以甲丁乙三角形求之，即得也。其自丙過秋分至庚，兩行之差必減平行而得實行。自庚過辛春分至丙，則加於平行而得實行。若用表則從丙最高起算，或從庚最庳起算，至日體之本度為引數，以求加減之度。

太陰朔朢本行圖

月離之術依歌白泥論有本圜，有本輪，有次輪，本輪之心依本圈之邊滿一轉，即次輪之心依本輪之邊得兩轉，故朔朢時月體皆在次輪之最近。最近者，近於本輪之心也。因是不用次輪但以最近處為界，得

圖

圓圈。月離曆指謂為本輪之內圈，此可名朔朢之小輪也。

假如丙丁戊為太陰朔朢時之本圈，則與地同心。〈因無差故設為同心〉本輪為乙丙丁，其心在本圜之邊，甲右距日得每日十二度一十一分，其最高在乙，最庳在己，月

體則又居次之邊左行，自乙至丙而己而丁，謂之引數。最外有黃道為辛庚，若從地心出直線上至黃道，而次輪心正居此線之上，則所指者，為太陰之平行度分也。又從地心出直線上至黃道，而月體正居此線之上，則所指者為太陰實行度分也。凡月轉或在高或在庳，正當一宮初度〈乙也〉或七宮初度，〈己也〉則平行即是實行過此必有兩行之差則以差數加減於平行度分，得其實行度分。又月在乙丙己半轉，則以減得之，若在己丁乙半轉則以加得之。以在朔朢，故平實行相距之極大差不過四度五十八分二十七秒，〈甲丙甲丁是也〉過此為兩弦之差則更少與交食，無與月離，曆詳之。若用不同心圈論，則并不用此本輪其加減平行度分而得實行度分。理則一也，因日月以平實分本行，故平朔平朢時兩體未必正相合正相對，凡實會之或先或後，日月各以其平行直線相遇而合為一直線，則是中會。

實會中會視會第二〈凡三章〉

測天約說言日月之行有隅照，〈相距三之一〉有方照，〈相距四之一〉有六合照，〈相距六之一〉然悉無交食而獨相會、〈朔也亦名合會〉對相，〈朢也亦名照會〉則能有食。故本篇所論者，止於相會、相對也。抑會者，總名也。細言之有實會，有中會，有視會。三者皆為推步之原，故言交食之術，必先言相會、相對，言相會、相對之理，必從實會、中會始。

實會中會以地心為主

實會者，以地心所出直線上至黃道者為主，而日月五星兩居此線之上，則實會也。即南北相距非同一點，而總在此線正對之過黃極圈，亦為實會。葢過黃極圈者，過黃道之兩極而交會於黃道，分黃道為四直角者也。則從旁視之雖地心，各出一線南北異緯，從黃極視之即見地心，所出二線東西同經，是南北正對如一線也，是故謂之實會。若月與五星各居其本輪之周，地心所出線上至黃道而兩本輪之心俱當此線之上，則為月與五星之中會。日無本輪、本行圈，與地為不同心。兩心所出則有兩線，此兩線者，若為平行線，而月本輪之心正居地心線上，則是日與月之中會也。葢實會既以地心線射太陰之體為主，則此地心線過小輪之心，謂之中會矣。若以不同心圈之平行線論之，因日月各有本圈，即本圈心皆與地心〈即黃道心〉有相距之度分，即日月循各本圈之周右行，所過黃道經度必時時有差。〈與地不同心故也〉其從地心出直線過日月之體，上至黃道，此所指者為日月之實行度分也。設從地心更出一平行直線與木圈心所出直線偕平行而上至黃道，此所指者為日月之平行度分也。葢太陽心線與地心一線平行，太陰心線亦與地心一線平行，恒時多不相遇，至相遇時兩地心線合為一線，則是日月之中相會。若太陽實行之直線與太陰實行之直線合為一線，則是日月之實相會。合會、朢會皆有中有實，其理不異。

先依小輪法作圖，甲為地心，亦為黃道心，亦為太陰本圈心。

太陰與地同心者，為用本輪故。葢本輪周即太陰圈心繞地心之周，其理一也。

乙為太陽本圈心，〈與地不同心〉太陽在丁，太陰在戊，甲戊丁線直至黃道圈，得辛，指日月實相會之度。如太陽

圖

在丁，太陰亦在甲辛直線上，為庚，而此線至黃道圈得丙，即指日月實相朢之度。若太陰在癸，與太陽不同一線之上，乃過月本輪之心已而至黃道壬，此直線之所指則日月中相會之度也。如月在庚，從地心出平行線甲子與甲壬，太

圖

陽平行為一線而至黃道，子亦指日月中相望之度矣。

次依不同心圈法。如後圖，黃道與太陽之本圈皆同前，獨太陰無本輪而易為本圈，其心與地心不同在甲，乃在丙，此亦以日月並居一直線為實會。如太陽

圖

在丁，太陰在本圈之邊戊，地心所出甲戊丁線至辛，則所指為實會。而正對月體，至黃道寅，則所指為實朢。若中會、中朢則以平行線為主，葢甲壬為地心所出直線，既偕太陽本圈心所出過日體之直線乙丁為平行線，又偕太陰本圈

心所出過月體之直線丙庚為平行線，則是兩偕行之直線合為一甲壬而至黃道，故所指者為日月中相會之度也。其至相對之黃道上為癸，則所指者為日月中相望之度。設過此交會之時，太陰在丑，則月圈心出者為丙丑線，地心出者為甲己線，兩線自偕為平行，而甲壬與乙丁自偕為平行，甲壬甲己不得合為一線矣。故地心所出之兩偕行線能合為一甲壬者，必指中交之度為日月相會之共界也。

實會中會相距無定度

日月本圈各與地不同心，故兩圈心所出直線各與地心所出直線雖恆為平行線，而又與地心所出直線，其相距廣狹恒無定數。設日在本圈之最高，月在本圈之最庳，其實行所至即平行所至，則中會即實會矣。或太陽在最庳，太陰在最高，或兩最高兩最庳在黃道上同度，則中會、實會亦皆無距度也。惟日月去本圈之最高及最庳右行漸遠，則地心所出平行直線漸相去，至半圈周則甚相遠，而為實中兩會之相距最大差。

圖

假如甲為太陽之最高，乙為太陰之最庳，若太陽在甲，太陰在乙，即兩本圈心及地心所出直線上至黃道，皆合於甲乙線，則實會無分於中會也。若太陽至丙，太陰至丁，去最高各不甚遠，則地心所出辛平行線，距本圈心所出直線亦

圖

左右稍遠，即中會亦稍遠於實會矣。又使太陽在戊，太陰在己，則三直線相距更遠，而實會、中會相距亦更遠，此則以太陽之引數九宮二度得戊辛弧二度三分一十五秒，應減以太陰之引數八宮二十八度，得辛庚弧四度五十八分

二十七秒，應加依法合之，得戊庚弧七度○一分四十二秒，為太陽太陰實會相距數。

實會中會互相隨因有變易

實會與中會多不同時，或中會在先，實會在後，或實會在先，中會在後。惟日月各居其本圈之最高或最庳，或一居最高，一居最庳，則中會不分於實會。〈因平行度乃正是實行度〉即不用加減度分，若彼此俱加於平行度，或俱減於平行度，而所加減之度分等，則中會亦不分於實會也。〈兩均數相減若俱等無所試故〉又依黃道右行論之，使中會之時太陽之實行在前，太陰之實行在後，則實會在前，中會必隨而在後。〈月行速過中而得實會〉若中會時太陰在前，太陽在後，則實會必後於中會也。〈實會之後月乃過中〉若太陽與太陰或皆在本輪中轉之半周，〈從最高至最庳〉則兩曜所得加減度，其一較狹者，必在前也。或皆在本輪正轉之半周，〈從過庳至最高〉則兩加減度，其一較廣者，必在前也。若其不同在最高庳之間，而各居一半周，則過最高者在前，過最庳者反在後矣。

如圖，太陽在本圈，太陰在次輪，外圈為黃道，從地心

圖

出直線至黃道而過本輪心，所指者為日月兩平行度之中會。葢地心所出日月兩平行線合為一線也。若地心線從中會線之左右過日月兩體而至黃道，所指者為日月之實行度，而兩線相距之廣，即日月相距之度。法應化為時、刻、

圖

分，以加以減於中會，乃得實會也。又日月平行同在甲或在乙，加減度不同類，〈一實在前一實在後〉則兩率并之得日月相距之度。若日月同在丙丁戊己，加減度同類，〈或都在前或都在後〉則兩率相減之餘為日月相距之度也。依本圖論，日月在甲則以太

陽之加減度加於平行而得實行，〈在前故也〉太陰則減之而得實行。〈在後故〉其所差時刻則以加於中會得實會也。〈月過中而逐及於日故〉日月在乙其加減度則太陽用減，〈在後〉太陰用加，〈在前〉其時刻則相減以得實會也。〈既會之後月乃過中〉若在丙，太陰之加減度大，太陽小，皆減之。其時刻則加之，以得實會。〈月欲及日故〉若在丁，太陽之加減度大，太陰小，亦皆減之，其時刻亦減之，而得實會。〈月已過日故〉若在戊，太陰之加減度大，太陽小，皆加之。〈皆過中故〉其時刻則減之得實會。〈月已過日故〉若在己，太陰之加減度小，太陽大，皆加之，其時刻亦加之得實會也。〈月欲及日故〉總論之，行度在中會前即當加，〈甲日乙月戊己之日月〉在中侖後即當減。〈甲月乙日丙丁之日月〉時刻月實行在日後則當加，〈甲丙己是〉月實行在日前則當減也。〈乙丁戊是〉

推中會實會元法第三〈凡五章〉

日月同居黃道經度，分秒不異，是為正相會。正相會者，實朔也。日月相距正得黃道半周，分秒不異，是為正相對。正相對者，實朢也。其推步之法因二曜之實行度不同，其實行之變易又時時不同，故先以平行求得其中相會、中相對，而後漸得其實相會、實相對焉。第中會之法以紀首，〈甲子為紀首〉以每年每日每時之平行度分推步易得耳。實會法必用幾何術中三角形弧弦切割諸線，非是則無從可得，故今交食曆中所列諸表不過求中求實兩法，而求實甚難，不得不繁曲，不得不詳密也。

求中會

月行黃道視日行甚速，其在後也，能逐及於日，其既及也，又超於日前。其在朔也，有時隔日光於在下，其在朢也；有時失光於地景。求朔朢法先定太陽之平行度分，以求太陰距日之度分。若同居黃道經無距度分秒，則為朔。若相距正得半周則為朢。外此則中會在先，必減其已過之時刻，而得中會。若中會在後，則加以不及之時刻而得中會。

假如壬申年三月十六日癸丑，日月相望，求太陽平行。其紀首為天啟四年甲子天正冬至後第一日子正，時太陽在九宮○度五十一分四十五秒，至本日癸丑午正時，得中積時為八年一百三十五日六時，用太陽平行度，每年一十一宮二十九度四十五分四十一秒，每日五十九分八秒二十微，每小時二分二十七秒五十一微，并得中積度為三千○一十一度三十八分四十七秒，加紀首前宮度得總數滿平周，〈三百六十度〉去之餘四十二度三十○分三十一秒，為本日午正時太陽躔大梁宮之平行度分。

次如前法，求同時太陰中積度分一百二十九度三十七分二十二秒四十微，每日一十二度一十一分二十六秒四十一微，為太陰自太陽平行度分。加紀首前十度一十七分三十六秒五十三微，并得二千六百九十九度七分二十四秒，滿平周，去之餘五宮二十九度七分二十四秒，為本日午正時月距太陽之經度分。以減半平周，為不及者五十二分三十六秒，未得正望。求其時，用不及度三十分二十八秒三十七微為一小時，其餘得時四十三分三十三秒，為正中望，算外得未初二刻一十三分三十三秒。

求引數

凡日月在最高或最庳，其實行與平行者無異外。此則不同行而兩行相距又無定數，故從最高右行，指其平行所至黃道之弧，為引數。因之以求太陽太陰兩處所差加減度，若太陰則從其本輪之最高起筭，左行為引數之弧也。第須先定日月在中會時之平行度，如前，太陽正午在大梁宮十二度三十分三十一秒，一小時又行二分二十七秒五十一微，尚未至中會，須行四分一十五秒〈并小時〉得中會時刻，以加前得數，其中會平行度在本宮一十二度三十四分四十六秒。其正相對為太陰平行度分，則在大火宮矣。若太陽平行度正合於最高，則無引數，亦無加減。過之即相減，不及則於平行度外加一平周〈三百六十度也〉而減最高，餘為引數。假如最高每年行四十五秒，從甲子至壬申年三月，得六分一十七秒，以加於紀首之最高得三宮○五度五十六分五十八秒，并得三宮○六度○三分一十五秒，為太陽最高行度。因太陽平行度在二宮，不及，加平周減之，得十宮○六度三十一分三十一秒，為太陽中會時引數。同時依太陰每年之本行二宮二十八度四十三分八秒，每日行一十三度三分五十四秒，其中積得二千四百八十度五十九分五十三秒，加入紀首前六宮一十七度四十六分二十三秒，滿平周，去之得五宮八度四十六分一十六秒，為太陰壬申年三月中會時之引數也。

求實會

法先求太陽加減度，依前所得最高及平行作圖外圈，為黃道，從春分向左計其平行度，從地心出直線指之，次從心又出一直線，至最高度。線上任取一點

圖

為太陽本圈心，從太陽圈心又出直線與平行度之指線為平行線，至黃道。更從黃道心〈即地心〉出直線，過太陽體之心，至黃道，指其實行度也。

如圖，外圈為黃道，其心甲出直線至丁，即前所推太陽平行在大梁宮十二度，

又出直線至三宮六度，為當會時之最高行度。內圈為太陽本圈，其心乙出直線過太陽至己，更作甲丙直線引至戊，指太陽之實行度，即戊己弧為加減度，應推丙角，用甲乙丙三角形，如法求之。

如圖，引數之餘弧為丁辛或己辛五十三度二十八分二十九秒，〈止論角故異弧同度〉即丙乙辛外角也。甲乙兩心之差為全數十萬分之三五八四，今以弦線求加減度，先依甲乙線作甲乙庚直角三邊形，用句股開方，求弦線。其比例為甲丙線與甲庚丙角之正弦，若甲

圖

庚線與甲丙庚角之正弦，得一度三十六分五十五秒，為太陽加減度。若用切線則更省，以全數加兩心之差數，得一○三五八四，恆為第一率，又相減得九六四一六，為第二率。引數之角隨時不一，半之而求切線，為第三率。如法求得

第四率，為切線，查其本度分以減半引數，餘為加減度。若本圖，則引數餘弧之角半之為二十六度四十四分一十四秒，其切線五○三九○，為三率。如法得第四率四六九○三，為二十五度九分四十一秒之切線，以減半，引數得一度三十六分三十三秒，為太陽加減度也。

次求太陰加減度，按西曆近世名家，先有歌白泥，後有苐谷，從前所論會法，兩家之說略同，至論太陰則苐谷之術更為精密，今先言舊法，次言密法。

圖

舊法曰：如圖，黃道內作同心圈，從太陽平行度越半周而定太陰平行度之一點，從心出直線至此點，必為本圈之過心線，而指本輪之心。次從本輪最高左旋，查其引數，又從黃道心作一直線過太陰體，兩線所至黃道間得一弧，此弧

為太陰之加減度也。〈加減度即名均數〉

假如太陰平行度在大火宮正對太陽，其引數自戊左行至丙未，及半周，月體在丙，兩直線並出甲，甲乙戊指平行度，甲丙己指實行度，戊己弧為所求加減度。其求之者，甲乙丙三角形也。若用句股法，則自丙至丁下垂線開方，求得甲丙弦，則甲丙線與甲丁丙角若丙丁線與丁甲丙角也。如用切線，則甲乙全數十萬，本輪之半徑乙丙八六○○，相加得一○八六○○，相減得九一四○○，又半引數求其切線如恆法，即得均度之切線矣。以此推步交食，未免徹差，苐谷新法更為詳密，鮮不合者。今諸列表悉用此術，故應說其義指如下文。

密求實會〈苐谷法〉

月離曆指論太陰之本行，故備晦朔弦朢。此說交會，故圖說止於朔朢也。太陰交會僅用三圈：一為本天，一為本輪，一為次輪。本天即本圈也，與地同心，負本輪之心，其半徑當十萬，則本輪之半徑得五千八百，從最高左旋，負次輪之心。如次輪心從最高丁行至

圖

己，其自行度即表中所名引數。用以求加減度，加減度即均數也。若本輪在子或寅，則月體在庚自行在一宮初度或六宮末度，則無引數可計，亦無均度可求矣。若本輪在丑，則月體在丙自行，得三宮初度為交會時之極大差，欲得此數，用甲乙丙三角形求之，甲乙線為全數，乙己與巳丙相加，得乙丙為八千七百，甲乙丙角係自行之象限，必為直角。依前法，以切線求乙甲丙均度角，必得四度五十八分有奇。若自輪在卯，為十宮，月體在辛，必用兩三角形乃得均度。

圖圖

其一為甲卯辛形，所求均度為卯甲辛角，形中特有全數，無從得角。宜先推卯己辛三角形，形有本輪之半徑卯己，有次輪之半徑己辛，有引數餘弧之倍角卯己辛，如法推得卯辛線及己卯辛角，以減於引數，得其餘弧之數，為甲卯辛角。因此可求卯甲辛角，為均度也。更論次輪之周月體循而右旋，其半徑僅得本輪半徑之半，以較全數得十萬之二千九百，兩半徑并得八千七百，為會時所用之數。以推最大均度。太陰在次輪，從最近庚起算，恆倍本輪行。如丁己為

圖

本輪之一象限，而太陰行小輪，從庚至丙得半周，是自行得半周，太陰行全周。故前言本輪在子在寅，月體至庚，悉無加減數也。今依圖求太陰均度如前，設得其自行五宮八度四十六分一十六秒，距太陽半周。其經度在大火宮一十

二度，則本輪在乙，從地心引直線為甲乙全數，從乙出直線至自行之限丙，必與中最高線甲戊為平行線，而定引數為庚丙倍引數，從最近右旋，得太陰在次輪丁，從乙至丁引乙丁直線，則得乙丙丁三角形，其乙丙丙丁兩線為兩小輪之半徑，乙丙丁角為倍引數〈辛壬丁是〉之餘角，〈丁辛弧是〉即可求丙乙丁角與乙丁直線也。又甲乙丁三角形，欲求乙甲丁均度之角，以切線算之，宜先得己乙丁角，以偕全數及乙丁線，乃得其所包角矣。法見下文。

如圖，求丙乙丁角倍引數，〈辛壬丁也〉得三百一十七度三十二分三十二秒，餘〈丁辛〉四十二度二十七分二十八秒，為乙丙丁角其餘角。〈乙丁兩角也〉總而半之，得六十八度四十六分一十六秒，其切線得二五七四三○，為三率。兩輪之半徑相加得八七○○，為一率。相減餘二九○○，為二率。算得第四率切線八五八一○，其弧四十度三十八分，以減前總餘角之半數，得二十八度○八分一十六秒，為丙乙丁角也。次求乙丁線，則丙乙丁角之正弦〈四七一六○〉與丙丁，〈二九○○〉若乙丙丁

圖

角之正弦〈六七五○五〉與乙丁線，算得四一二九，次以甲乙丁大三角形求均度，先得己乙丙角，〈引數之餘未滿半周〉以加丙乙丁角，得己乙丁角四十九度二十二分。其餘角〈甲丁兩角〉總而半之，得六十五度一十九分，查切線二一七五八二，為三率。以乙

丁線加全數，共一○四一二九，為一率。相減得九五

八七一，為二率。算得第四率切線二○○三二○，其弧六十三度二十八分一十七秒，以減前六十五度一十九分，餘一度五十分四十三秒，為所求太陰均度，與列表合。

今以兩所得均度，求實會時，查圖視均度，或以加於平行度，或以減於平行度，即見太陰距對處若干，或過之，或不及，則以其相距之度分化為時刻，依前法或加或減於中會時刻，必近於實會時刻。

如前，推壬申三月月食，其會時，太陽之平行在實行後，則以均度加於平行，得實行。太陰之平行在實行前，則以均度減實行，又以二實行相較，見太陰視正相對，不及者三度二十七分三十八秒，化為二十七刻三分四十五秒，以加前中會，算外得實會在戌正二刻二分一十八秒。

復求實會時

日月之兩實行變動不居，非一圓形能盡其理。幾何家欲徑測徑推，無法可得。故須先用平行以漸推其實行，顧又非一推可遽合也。葢初用之引數，其所指者中會之引數，非實會之引數。則其加減度所推實時，特近於實時，非正實時也。法宜更求中實會之間日月自行度分，依加減時，法或加或減於前之平自行，乃得次引數。求其均度，復查二曜實相距度，化為時刻，或加或減於中會時刻，乃得正實時刻。若三推之終，所得時刻分秒不異於次得，即合天無疑矣。假如前得差二十七刻三分四十五秒，其間太陽復平行一十六分四十七秒，以加初平行得一宮一十二度五十一分三十三秒，減其最高〈最高不動即用前數〉得自行一十宮六度四十八分一十七秒，餘弧〈至滿周〉五十三度一十一分四十二秒，半之而求切線得五○○七○，為三率。以全數加不同心差為一率，相減為二率，算得四率四六六○五，其弧一度三十六分三十四秒，為太陽次均度也。

太陰中實會之距時間〈即前二十七刻有奇〉復平行三度二十七分二十八秒，以加前經度，總得經度七宮一十六度二分二十四秒，為本輪居本圈之處。而本輪此時

圖

間亦向右自行三度四十二分三十一秒，以加前自行，得次自行五宮一十一度二十八分四十七秒，即次引數也，為次輪心居本輪周之處。倍之，得太陰居次輪周之度也。借前圖，則乙丙丁角今為三十五度二分二十六秒，餘角〈乙丁兩角〉

總而半之，得七十二度二十八分四十七秒，其切線三一六七六八，為三率。一二率如前算得一○五五八八，其弧四十六度三十三分，以減前半弧七十二度二十八分四十七秒，得二十五度五十五分二十二秒，為丙乙丁角。次求乙丁線，則此角之正弦四三七一六，為一率，丙丁半徑為二率，乙丙丁角之正弦五七四一六，為三率，算得三八○八，為乙丁直線也。今求均度以自行餘之甲乙丙角，并丙乙丁角，為己乙丁角四十三度二十六分三十五秒，餘者〈甲丁兩角〉總

圖

而半之，得六十八度一十六分四十二秒，為三率。第一及二為乙丁線，一加一減於全數，〈甲乙也〉算得二三二五九六，求應減之度，而得次均度一度三十二分三十三秒，又以太陰次均度加於太陽次均度，見太陰視正相對不及者三度

○九分○七秒，化為時刻，得二十四刻一十二分一十七秒，以加於中會，算外得實會在戌初三刻一十分五十秒。