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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第七十八卷目錄

　曆法總部總論六

皇清一

　　新法曆引〈曆學維新　地球　天道　曆元　曆算　句股　割圓　恆星　星中出沒　日軌　年月　晝夜晨昏　太陰　交食　三餘　五緯異行　五緯緯行　五星伏見〉

曆法典第七十八卷

曆法總部總論六

皇清一

《新法曆引》

曆學維新

曆學有法，有用法者，測各重天之運行體勢以審諸曜出入、隱現，以求本行軌道，以定準則也。用者，取本法測定之分數，隨方隨時以推步日月五星，次舍衝照、交食、凌犯、順逆等情也。二者闕一不可，然而立法難矣。《語》云：毫釐之差，千里之謬，在曆學為尤甚。中國自漢迄元，造曆者七十餘輩，立法者僅十有三家，且皆不免乖違，後人難憑致用。有謂得一冬至之正時即為密近者，非也。測冬至之於曆術，未及百分之一。聞一知百，世無其人。有謂得一歲實、一朔實，及轉終交終等策為已定者，非也。此皆諸曜平行之率，何由遽定視行。有謂測率四應，可以無忒者，非也。此不過推算平行之界而已。有謂多測交食，稽其某法，先天某法，後天而後彙計、籌策折中取之者，亦非也。曆家法數繁瑣，用以算步交食不下四十餘條，究竟何項何款可以折中取半者，因知古來修改，門戶雖岐，實則互相依傍。間有出一二新意，亦未必洞曉本元。跡其大端，猶不過截前至後，通計所差，加、減、乘、除，分泒各歲之下，便為修改已耳。即使僅合一時，豈能施諸久遠。後惟授時曆庶稱精密，顧其法，亦未盡善。在當日已有推食不食，食而失推之弊，何況沿襲至於今日哉。他若回回曆者，其曆元為西域所定，使非中曆，先推太陽躔度至春分之日，彼亦茫然無據以得支干、以合中國所用歲月也，況其曆元已歷千年，不可復用乎。茲惟新法，悉本之西洋治曆名家，曰多祿某、曰亞而封所、曰歌白泥、曰苐谷四人者，蓋西國之於曆學，師傳曹習，人自為家，而是四家者首，為後學之所推重。著述既繁，測驗益密，立法致用，俱臻至極。旅輩採其精，詳究其奧，賾而又參，以獨得發所未發焉。更審今測，以廣古測，必求合天。年世互考中西各例半，皆仍舊合異歸同，成書已進闕庭，新法已行，天下用彰。昭代曆典度，越前古暨質諸來祀，雖億萬年永永不爽云。

地球

地在天之中心，常靜不動，與天相較，不啻稊米之於喬嶽也。其形渾圓，古謂方者，蓋指其德耳。凡居處地球者，其視日景之不同，分有五帶其中，則自赤道南北各以二十三度半為限，〈此即二極出地之高〉名為煖帶。居其下者，午正立表揆日測景，必自射南射北，顧每歲必有二日其表無景，即春、秋二分，太陽正過其天頂之日也。〈此指正居赤道下者，春、秋二分，日中無景，過春分，則景在南，過秋分，則景在北。〉此帶惟一又於其南、其北各自二十三度半，外各截至六十六度半為限，名為溫帶。其下居南者，表景恆射南；居北者，表景恆射北。歲有一日，其景極短。然太陽則不經其天頂矣。此帶有二以上三帶，皆太陽每日有出有入者也。又於南北二方，自六十六度半，外各底其極名為冷帶。其下或表景，周圍旋轉，有日太陽繞其地恆見，有日太陽繞其地恆隱，隱見之候，或久至半歲，或數月不等。此帶亦二是，為大地共分五帶之概也。因此推知距赤道之南北二方，其氣候必相反，如太陽躔星紀宮，向北之方為冬至，向南之方為夏至，春秋二分以及諸節莫不皆然。又因此推知地球為人所止，以天頂而分四方，亦可界為三百六十度以合天行。東西為經，測以赤道，南北為緯，測以子午。〈規名解見下篇〉但測南北者，有二極以為之端；欲測東西，則須先定一所以為起界。〈新曆悉以京師為起界，他方雖未親測，亦據輿圖以定其經緯。〉而後地之經緯皆可得而明焉。苟不諳此則，無以知幅員相距之數，而諸方太陽節氣、五星經度、凌犯、交食時刻、日食分秒悉無從推步矣。〈日食南北東西各不同，月食分數皆同，但東西不同時耳。〉且不惟是，即古測今測歲實之異，日出、日入晝夜永短之差，咸取準於地之緯度，所係大矣。其可忽諸。

天道

天體渾淪，穹然莫辨，必也相形，酌理判立界限以為依據，而後推測之功可施則。夫設立諸規以著象數為用甚大且急，較為曆家首務也。新法總有四大規；一曰地平，一曰赤道，一曰黃道，一曰子午。四規闕一不可。蓋地平規者，從人足所附，極目四望之界而設也。人附地面所可望見者，天之半耳。其半恆繞於地下，人不可得而見也。即此可見、不可見之界而諸曜，由是而出，入明暗晝夜由是而分，因設此規，剖為四象以應四方，象各限以九十度，是為地平經度，而各曜出入之方位以辨矣。又自地平上至天頂設距等圈，以為地平緯度，而各曜漸升之度，以明各曜出地離赤道之緯度，并北極出地之數皆可得而稽之矣。赤道規者，從南北二極相距正中之界而設也。古曰：天行健。又曰：天左旋。左旋而行健則知南北必有其極矣極也者，天體永久不動之兩點。周天倚為環動之樞者也。〈極非星也。云極星者，蓋指其最近極之星以命耳。〉如一極出地，必一極入地。其出入之度惟均，曆家乃於二極相距最中之界，設有赤道一規，平分天體為南北。南者，為外為陽，而北者為內為陰。其亙於天中也。終古不易，推步者畢賴之為準，則無容置議也。本規列度三百有六十辰十有二刻九十有六天體，一日一周之運於是焉。紀晝夜刻分之永短於是焉；定黃道出入之廣狹於是焉；齊春秋二分之晷景於是焉；限南北緯算於是焉；起天地全圓於是焉。度凡此皆其用也。黃道規者，從太陽旋周一歲之界而設也。蓋太陽行天一歲，所周軌蹟旋以成規，是名黃道。本規斜絡於赤道，其半在南，最南界為冬至；其半在北，最北界為夏至。二道相交之兩點為春、秋分。以故四平分之為象限，限各九十度者，是即二分二至，四正之限也。總計為三百六十度，十二剖之為宮，二十四剖之為節氣，七十二剖之為候。蓋用以節七曜列宿之行，用以審日月交食之限，至較著也。子午規者，從諸曜升降度適中之界而設也。太陽一日旋天一周，見於東方漸升至高為正午，此地平以上東半晝分過午，向西漸底地平是為西半晝分，乃謂之降。他曜皆然於此，升降度之中界立有一規，名為子午。諸曜際此謂為在子、在午，是規透過赤道及地平各二極，其偕赤道地平而交為直角也。恆然不動，但人在地面南北遷此規惟一，東西遷則隨在各異也。〈與地平同〉已上四規，各有本用，所係非小曆家測候，欲求七政行度會朢等諸法，舍此無從措手，以此未言象數，先以詳明諸規為首務也。

一系赤道有恆動、恆不動二用。恆不動者，以定各方時刻；恆動者，以相交相割於黃道也。俗謂赤道。有二者，蓋即指此二用，非實有二道也。二系赤道正居天頂，則兩極適與地平相當，至若赤道斜交地平之所，則極出地度數即赤道距天頂度數矣。其經度即過極圈，緯度即距等圈也。

三系黃道與赤道斜交，故其極自有本極，謂之黃極。黃極者，恆星與太陽本行之樞也。論二道最遠之距，〈即南至北至之距〉今古不同，今測定為天度二十三度三十一分三十秒，上古較多數十分，後此則漸減矣。

四系周天諸道用立多規，以便測驗，但其為規也，非止旋周一線而已，蓋一滿平圓面也。面為各曜之所經行，故謂之道某曜在某面上，即謂之在某道云。

曆元

所謂曆元者，乃以諸曜之平行，同時而求各所曆數，曆家因之用為起算之根也。新法則以天聰戊辰前，太陽過天正冬至，後第一子正為曆元，其日干則己卯也。斯時太陽躔星紀宮初度五十三分，太陰在六宮初度五十分，他曜皆以此時行度為準，不用冬至時刻與舊曆異，緣冬至有正、有平，最難得其真率也。夫曆元為諸算，先資稍有舛忒，即諸行皆謬矣。況諸曜終歲細行，莫不以子正起算，又安用冬至時刻為哉。

曆算

舊以周天判為三百六十五度又四分度之一，所謂日度也。蓋以太陽之行黃道日一度，度析百分，分析百秒，且又均之分，為宮次氣候法。用奇零，勢難齊一，且天度者，歲實之日分也。中曆所用歲實，諸家多寡不等，是其分天非一定之術，而為游移之法。欲以是決定諸曜之行，豈不難乎。若夫新法之分，周天曆度也。即於天度以三百六十平剖之度，析六十分，分析六十秒。蓋六十者半之，則為三十三之一，則二十四之一，則十五餘，任剖析皆為自然而然之分。往古曆紀未始繁載，但於測得之數，曰：某度幾何分之一而已。錯綜離合，其於曆算甚便也。請言曆算，夫曆之為數，祇就天行無假淹，貫九章而其所須用者，加、減、乘、除、開方、五法。古用觚稜近便珠算，西法第資毫穎，今復有算籌之創，簡捷尤甚矣。所謂加法者，以類相比併多分以成全。如度併度，分併分，秒併秒，時刻併時刻是也。此須知定位及進位之法，如積六十秒為一分，積六十分為一度，秒進於分之位，分進於度之位，而與他度分秒并之，若加時刻，則以十五分進一刻，四刻進一時，二十四時進一日，二十四，西法謂之小時也。此加法也。減與加反用，稽所餘其法，先須較數多寡，多中減寡理數易明。若於少內減多，必立借法以通其變。如借度化分，借分化秒，為本類以用之。乘法者，九九互積之義，有實數、有法數，凡單數乘度分秒不變位，若度乘度，復生多度，分乘分以生秒，秒乘秒以生微，則皆變位。〈分秒相生皆指奇零而言〉此不可不知也。除法者，以少剖多，分分除減意也。為法有二：或以單數商除亦不變位，苟分度不盡，即以餘度化分除之，分秒亦然；開方者，以化法求其微數，用籌乘除，然後再受為度，或用三率法亦可。是五法者，盡曆算矣。然而新曆之算諸星經緯及交食等項也，蓋有二術：其一取所圖各宿曜本行規之半徑，并其所設某日平行，〈即本圈上之弧〉用諸三角形法推演，乃可得經緯細行、或交食之分數時刻。此術最為縝密，果能精心於此。即諸天周行軌跡隱微罔不洞然。其二以先所推定諸表握算，設如某日某刻欲求太陽經度，則第用加減二法檢表二三次，以求即可得其宮度，較之中曆節氣，求經朔之法，簡便，數倍餘。如五星太陰等曜以及交食皆各有表，可稽火星兼用乘除他則，但資加減立法，雖難致用，則易然，而一趨超徑，萬一操觚小，失恐并迷昧元初之理，所以二術不可偏廢，皆為推步家之所朝夕從事者也。

句股

句股之術，從來尚矣。古九章周髀載之，究不過一三邊直角形而已。垂線為股，橫線為句，斜線為弦，測量家立表代股，平圭代句，而景為其弦，善斯術者，高深廣遠無不可求。而測天之為用尤大然，而舊法雖有三元、五和、五較等用，不過設二求三，且泥於直角一形，若遇斜角、弧角無以措用矣。新法變而通之，既名其公曰：三角形。又審其平面、球面、曲線、雜線、銳角、鈍角之別，即知天為圜體，宜測以弧宿曜近遠諸道互交，宜測以多類之弧，遂生多類之三弧形，於是各形咸備有三弧、三角，互設三以求餘三，是謂以圓齊圓，於法為善。故雖天道隱微，象數零雜，未有能遁焉者也。

割圓

割圜古法亦即以圜求圜之意。但古法設弧以求弦，矢款目四十餘項，頗為艱繁。新法易之以表，開卷即得，蓋因圜形之弧與角總代以直線，數種稽其數，名為八線表。云夫圜形半徑為本規六平分之通弦，若二半徑各自乘之，并而開方，可得本規四平分之通弦，用幾何諸法，又可得各度分之通弦。其各弧及其通弦折半，乃得正弦、正弧，有弦弧即有其矢矣。故矢不另立表也。通弦之外有切線、割線，通弦全在規內，切線全在規外，線從規心出於規周之外則為割線，然而弧有正、有餘，弦、矢、切、割四者因亦各有正餘，如一象限為本表之限，或於限內取幾何度謂為正弧，其或逾九十度者，即謂之餘矣。正餘各有弦、矢、割、切四線，都為八線也。

恆星

恆星亦名列星，亦名經星。云恆者謂其象，終古不易也。云經者以別於五緯，南北行之義，其數甚夥。莫能窮盡就中，有光體渺微，非目可及，非儀可測者，略而不錄，其在等第之內已經新法測定者，南北二極共一千七百二十有五星稽，其大小分為六等，第一等大星，如五帝座、織女類者。一十有七；二等如帝星開陽類者，五十有七；三等如太子少衛類者，八十有五；四等如上將柱史類者，三百八十有九；五等如上相虎賁類者，三百二十有三；六等如天皇大帝后宮類者，二百九十有五。此皆有名之星，計共一千一百六十有六餘，皆無名者矣。至於天漢斜絡天體，古昔多謬解。邇來窺以遠鏡，知是無算，小星接攢一帶，即如積尸氣等，亦小星攢聚以成第，非人目所能辨，遂作如是觀耳小者，不足論。論其大者，古曆以周天諸星分為三垣二十八宿，各定有名位、座次，每座每宿星數多寡不齊，顧其所謂宿者，蓋取七曜經行止宿之義，且用以便測算經度，又為其各能主施德也。西古曆亦列二十八舍，所定二十八距星，皆與中古脗合，第觜距西，用天關為小異耳。此二十八宿者，各以一字命名，分註每日之下內以房虛星昴四宿為屬太陽之日，心危畢張為屬太陰之日，此外五緯各屬四宿，每以七日為期，每日各屬一宿，西曆亦然。西經傳，上古有一大師名諾厄者，廣宣曆理，以遍萬國，則亦有所本也。

一系星之命名，多係借義，非可過泥虛名，便謂實有其驗。比如貫索一星，中以其象囹圄，名以貫索，西以其象冠冕，名以冠冕。一吉一凶，全由人意。豈天星實然乎。至謂諸星情性不同，敷施互異，是又理所必然不得，概置弗論也。故總圖於某星屬某緯者，咸附註之。

二系圖星之法有二；一渾球有南、北二極，有地平、子午諸規界，判黃赤二道，運之能肖天體，旋轉以審各星，經緯度分以辨星中，出沒以測夜時甚便也。一平面圖雖乏以上諸用，然諸星位置、宮度、瞭若視掌，為用亦大。因有多種之分，曰：見界圖以北極為心，其最南隱於地中星極，非此方人目可見者，則截出之；一曰赤道圖、黃道圖。二者各以其極為心，其道為界，蓋皆以天之南北平剖為二圖者也。曰：分星圖依黃道，分天為二十圖，均賦經緯，署以維辰，按圖指陳天象，莫晰於此。外有渾，蓋所用天盤以極為心，截冬至規為界，亦圖星於儀上肖天，運動以覘諸星出沒升降，又有平儀從二極剖天，為南六宮、北六宮，二面亦繪辰宿，可代渾儀旋轉。至若古傳星經圖步天歌等，雖亦分有宿座，便於觀覽而經緯度分悉皆茫然。掛漏於測候無用也。

星中出沒

太陽右旋一日一度，終歲行天一周，必復與某恆星合。又必有某星與之衝。曆家無從測其合者，測得其衝者，謂為歲差。所從來矣。然由本方極出地度，恆星有出沒者，亦有不出、不沒者，如京師北極出地四十度，則星距極四十度以外，皆為恆見；而距南極四十度以內者，在京皆不能見矣。至論恆星見伏亦由太陽右旋至某宿度，附近之星光為日奪，故不能見迨太陽，去離漸遠則此星光漸升，東方見而不伏矣。緣是而升至午點，即曰中星，此其星中出沒在立象學為用甚鉅。而曆家但於中夜，資之以定時刻而已。

日軌

太陽之行，黃道也。論其積歲平分之數，新法以天度計為五十九分八秒有奇。所謂平行度分是也。然平行齊，而實行則固非齊矣。冬盈而夏縮矣。所以然者，蓋緣黃道圈與日輪天不同心，而黃道之心即地球心，是日輪天與地球不同心也。心既不同，則日行距地近遠不等。距近即行疾，疾則所行之度過於平行而為盈，每冬月一日計行一度一分有奇，以較平行盈二分矣；距遠即行遲，遲則所行之度不及平行而為縮，每夏月一日計行五十七分有奇，以較平行則縮二分矣。盈縮相差若此，豈可謂之齊乎。終歲之間但，逢最高限、最庳限二日，平、實二行度數惟一。此外兩行之較，日日不等，新法因其或過、或不及也。故有加分、減分，謂之加減差。蓋以有恆率之平行為根，而以加減差定之，然後差而不差非齊而齊矣。至論太陽之入某宮，次以分節氣也。亦有平、實二算，蓋算平行十五日二十一刻有奇為一節氣，乃一歲二十四平分之一耳。若用躔度之日以算，則冬夏不齊。冬一節氣為十四日八十四刻有奇，夏一節氣為十五日七十二刻有奇，總由夏遲冬疾，故其差如此皆，非舊曆之所解也。

系太陽天距地極遠之點謂之最高極，近之點謂之最高衝。〈亦名最卑〉此二點者，乃盈縮二行之界。古法於冬、夏二至，謂其恆在一點，其實非也。按古今諸測皆各不齊。古測最高在夏至前數度，今則在後六度矣。以此推知，一年之內太陽自行四十五秒也。

年月

紀年者何。太陽隨列宿東行旋天一周之期也。太陽之行界二：其一從某宮次度分行天一周而復於元度，其數為三百六十五日二十四刻二十一分有奇；其一為太陽會於列宿天之某星行天一周，而復與元星會，但其星每歲有本行，故須加本行以定歲，而其所須加者，新法定為五十一秒，所謂歲差也。然而日曆紀年，惟以全日推算，不用小餘。如以太陽十二次會合太陰為歲也，為三百五十四日。每二年、三年而閏一月，中曆是已。如以太陽周十二宮次為歲也，為三百六十五日，每四年而閏一日，西曆是巳。此紀年之概也。紀月有二：或因太陰會朔一次，以定謂太陰之月；或因太陽行一宮次，以定謂太陽之月。顧其十二分年之一分則一也。一月之終分有大盡小盡者。比如初朔子正苟二朔者，過二十九日外而不及第三十日之子正，則謂之小，過子正則謂之大。大則二朔同一天干，小則不同矣。故有三十日弱時刻不及者，曆家不得名大，或二十九日強而時刻已逾者，曆家仍不得名小也。且宇內地度不同，而月之大小因以互異。比如京師第二朔在子初二刻未到子正，其月為小，而西安此朔則巳在子正初刻，又當為大盡矣。地度愈遠，時刻愈差，非可強而同之也。月有閏者，太陽躔一宮之時與月會合二次以成者也。其月因無中氣，故謂之閏。但古法置閏用平節氣，而新法用太陽所躔天度節氣，故閏有合、有否，或先後一月不等也。

晝夜晨昏

太陽隨宗動天西行一周而復於元界，謂之一日。東升西降，循環無端，其在曆家起算，判定一界以為依據，則恆以太陽在子、在午為準也。論從子午起算之日，每歲實行度分日日不等差，較一刻有餘。蓋緣黃道夏遲冬疾差餘四分，而黃赤二道又廣狹異距，則率度必不同分，此其所當審者也。今論晝夜，太陽在地平上，人目可得而睹謂之晝，太陽漸隱地平之下，人目無見則謂之夜，是晝夜者，全由人居以分。隨方、〈極出地若干〉隨時，〈太陽躔某宮〉其晝夜刻分皆可依法推算焉。然而法算與目見恆異，蓋太陽體大算法皆以體心出地為晝，始而人目以一見日輪即為晝。始又日出沒升降度有斜正不同，又地平各曜出沒之界，受清蒙氣有變，凡此皆非人目能辨。故曆家立有視差法也。一晝一夜平分為十二時，時各八刻，一日十二時，共刻九十有六。此恆率也。其晝夜永短逓遷之故，則不但日行南陸、北陸不同而己，亦由北極出地高庳互異，而永短因焉。比如赤道正過天頂之地，兩極合於地平，其晝夜均停，絕無永短，又極在天頂，赤道與地平平行，其下晝夜亦無長短之較，但太陽百八十日恆見，百八十日恆隱耳。此外諸方各有永短，顧其一歲之中，晝夜均停者，四日握算者，引而伸之，據四日之一日，逐漸加減，因得九十日之晝夜長短，隨可以推終歲之數也。再論晨昏是分晝、分夜之二界也。太陽將出，未出數刻之前，其光東發，星光斬為所奪，是名為晨；太陽已入，迴光返照，亦經數刻始逌，然滅盡是名為昏，其久暫分數亦因冬夏而分短長；新法以日在地平下十八度內為晨昏之限，但太陽行此十八度，又各方各宮不等，因有五刻、七刻、十刻之別，若論極高七十二度以上之度，則夏月晨昏相切，雖至丙，夜無甚黯黑也。

太陰

太陰之行，參錯不一，推步籌算，為力倍艱。苟或分秒乖違，交食豈能密合。故必細審其行度所以然，而後可立法致用也。蓋月較諸曜本旋之外行復多種第；一曰平行，一日十三度有奇，但此行之界凡四：一界是從某宮次度分起算，此界定而不動；二界為本天之最高，此非定界，每日自順天右行七分有奇，是月距本天最高，一日為十三度三分有奇也，故其平行二十七日三十刻有奇為一周，已復於宮次元度，又必再行二十三刻有奇，為二十七日五十三刻始能及於本天之最高。此行新法謂之月自行，中曆於此周謂之轉周，滿一周謂之轉終。其最高則行八年有奇，而周天謂之月孛，三界為黃白二道相交之所，所謂正交、中交。此界亦自有行，乃逆行也。〈自東而西〉每日三分有奇，則月平行距正交一日為十三度十三分有奇，至二十七日二十七刻，減交行之一度二十三分，得二十七日十五刻有奇。月乃回於元界，曆謂之交終。四界是與太陽去，離太陽一日約行一度，則太陰距太陽為十二度十分有奇，至二十九日五十三刻有奇，逐及太陽，復與之會，曆謂朔策是也。凡上四行總歸第一平行。其第二行曰小輪，每一朔內行滿輪周二次，每日為二十四度有奇。〈若以不同心圈論，此即太陰中距圈也。〉因有此行，復生第二，損、益、加、減分云第二者，蓋於朔朢所用加減分外，再加再減故也。此行中曆所無。以上太陰諸行，新法定其軌轍不外三者，均圈一，不同心圈一，小輪一，然不同心圈與小輪，名異而理實同。曆家資以推算，兩用互推所得之數正等也。

一系月道惟一，古謂月行。九道者乃白道正交行，及四正陰陽二曆各異。命之因有八名，加以公名，共有九耳。非真有九道也。白道兩交黃道論，最遠之距謂為五度。此係二曆，未甚大差之數，新法測得，凡朔朢外相距皆過五度，上下二弦則為五度一十七分三十秒，推知二道相交之角，非定而不動者，要其廣狹之行，恆以十五日為限也。

二系各朔後月夕西見，遲疾不一，甚有差至三日者，其故有三：一因月視行度，視行為，疾段則疾見，遲段則遲見；一因黃道升降，或斜、或正，正必疾見，斜必遲見；一因白道在緯南、緯北，凡在陰曆疾見，陽曆遲見也。此外又有極出地之不同，朦朧分與炁差諸異，所以遲疾難齊也。

交食

凡日月之行，二十九日有奇。而東西同度，謂之會朔。至若日行在黃道，近交人視為與日同經同緯，是人目與月日相參直，而月魄正隔日光，於人目則為日食。日食者，非日失其光，光為月掩耳。凡太陰距太陽百八十度，而正與之衝，謂之朢。若當衝時月行近於兩交，必入地景而為闇虛，此乃月日同在一線，而地居其中間，日光為地所阻，不能射照月體，則月失其光而為月食。此日月二食者，躔度有恆，持籌推步分秒確然，而曆家各法之疏密於此，更難掩也。試言其略黃白二道，相交之二所名，正交中交。凡日月行及二交為同度，同度則有食矣。然而論交又須論限，及交而在限內則食，限外則不食，此不可不審也。顧限度諸方不一，蓋太陽於諸方之地平高度不同，而陰陽二曆之各限亦異。論煖帶下之地，二曆互相受變。如白道向南極半周，有時在天頂及黃道之中，勢必反謂為陰曆；白道向北半周，是時在黃道外勢，必反謂為陽曆。故其下日食之限，莫得而定之也。他域更近於北，必陰曆限多，陽曆限少；更近於南必陽曆限多，陰曆限少。比如京師近北約算陽曆八度，陰曆二十一度，則知日月相會，凡在陽曆近二交八度，在陰曆近二交二十一度。其下必見日食而過此限，以往則否，即北可以推南，莫不以遠近分多寡矣。然而二曆食限之度有異者，其故蓋在月輪。月輪比日最近於地，而月又小於地，人目見月之所，又在地面，不在地心。故以月天論地平，雖天與地球皆為平分，直過其心，而人在地面高，所以視天地之兩界，則似地球與月天非平分也。少半在上，多半在下，而差約一度。故以本法推算，月已出正地，平其於人目所視之地平尚少一度。此其較謂之視差。蓋惟月在天頂，正地平與視地平之極皆以一直線，合於天頂，無有視差。過此左右不免有差，愈遠天頂愈近地平，差必愈甚。夫視差無他，恆降下月體數十分耳。設令日月同度。同在近交之南，又因同度，並在正地平上高二十度，則太陽於視地平為十九度五十八分，祇降二分。太陰於視地平為十九度，直降一度矣。而日月二差之較為五十八分，故以算論，雖二曜同高、同度，而人目視之，太陰恆下於太陽一度弱，不掩日光則不食，若二曜在地平上高七十度，則太陽無視差，太陰視差止二十分，其降於太陽亦止二十分。勢必相切，或至掩數分而成食。若二曜在交北，又當以太陰算在太陽之上，庶因視差所降而掩陽光，以為食也。顧此二地平之差，又分二類，一加減交食分數謂之氣差，一加減時刻謂之時差。曆算之艱且劇，莫過於此，所最當究心者也。

系日食之全與不全，其故有二：一由天上之行，一由食時地平上高弧之度。故均一食也。有見全食者，有見食多寡不等者，有全不見食者，就南北論見食地界，設如北京見全食，其南北各距四十五度之地為萬一千有餘里，皆見有食然。而多寡不等；就東西論，各距六十度，為萬五千有餘里，各見食而分數多寡亦不等焉。即月食時刻，南北亦有不同，而東西為甚也。

三餘

三餘舊加紫氣，名為四餘，亦謂之四隱曜。然詳求天行，實無紫氣，且絕無當於推步之術，故西法棄而不錄，第取三餘。一羅㬋，一計都，一月孛。羅㬋即白道之正交，計都即中交也，月道自南愬北以交於黃道之一點，此點有本行，每日左旋三分有奇。而羅㬋正對之點即為計都，蓋兩規斜絡其兩交之二點必正相對也。月孛是月所行圈極高、極遠之點，謂月離，於是其行極遲，其體見極小。蓋孛云者，指其交轉兩行相悖之義，故其平行右旋，每日七分有奇。是三點者，土、木、火諸星本圈亦有之，名義皆同，第其各行不同耳。古曆悉所未諳，悉置不推不錄。新法用算五星之緯，故於本曆各詳其名數，云獨惜日者之流，以羅計、月孛等名皆指為星，謂其所躔宿度各有吉凶，用以推人祿命，不知周天諸道、諸點，皆人所設以便揆算其行度耳，並非實物，何與吉凶。至紫氣一曜，或謂生於閏餘，或謂土、木相會，或謂古人以是紀直年宿，故二十八年而一周天，都無義理可考，故月離曆指詳論其必無是曜也。

五緯異行

土、木、火、金、水五曜，名為緯星者，謂其日有近南、近北之行，與恆星異也。夫五緯之行，各有二種。其一為本行，如填星約三十年行天一周日二分，歲星約十二年一周天日五分，熒惑將滿二年一周天日三十五分，太白辰星皆隨太陽每年旋天一周。各有盈縮，各有加減，分各有本天之最高與最衝，即其最高又各有本行。論其行界，亦分四種，非若回回曆總一最高也。其二在於本行之外，西法稱為歲行，蓋各星會太陽一次成一周也。因此歲行之規〈亦名小輪〉推知各星順逆留疾諸情，故依新法圖，五緯各有一不同心圈、一均圈、一小輪，凡星在小輪極遠之所，必合太陽。其行順而疾，其體見小；凡在小輪極近之所，其行逆而疾，其體見大。土、木、火行逆則衝太陽，金、水行逆夕伏而合，行順晨伏而合。其各順行轉逆，逆行轉順之兩中界為留，留非不行，乃際於極遲行之所也。留段前後或順或逆，皆有遲行，其土、木、火行逆即衝太陽，而金、水則否者，緣土、木、火之本天，大皆以太陽為心而包地，得與太陽衝，而金、水之本天雖亦以太陽為心，而不包地，不能衝太陽也。金、水不能衝太陽而能與之離，金離太陽四十八度，水離二十四度。

五緯緯行

太陽之行，因黃道斜交於赤道，故其距赤道之緯南、緯北也，各二十三度有半，以成二至是黃道者，太陽之軌蹟也。太陰本道又斜交於黃道，最遠之距為五度，以生陰陽二曆。五星之道雖相距緯度各異，而其斜絡黃道則與月道同理，故皆借月道諸名名之。其兩交之所亦謂正交、中交，其在南在北兩半周亦謂陰陽二曆。審是而五星緯行庶可詳求矣。蓋各本道外之歲行小輪恆與黃道為平行，而又斜交於本道，其上半恆在黃本二道中。凡星躔於此，則減本道之緯，其下半恆在本道外，星躔於此，則加其緯，然此小輪之緯向則恆不變。如土星三十年行天一周，其在正中，二交之下必無緯度分，十五年恆北，十五年恆南耳。凡衝太陽，因在小輪下半，即加本道緯度；凡會太陽，因在小輪上半，即減緯度。他星亦猶是也。其或行近於地，小輪加緯益多。太白至夕伏合之際，因其近地，其緯幾及八度矣。中曆不諳緯行之原，一見金星在緯南北七、八、九度，即詑謂本星失行，豈非誣乎。又中曆亦有五星，南北緯行圖亦界以黃道、本道似矣，但其逆行之蹟，恆作一斜方形，此甚非也。五緯不行直線，安得方形。以此新法圖分二種，一設人在地，仰觀天上進退諸行，故於上三星衝太陽，下二星夕伏時，第作一僅似之圓形。凡衝太陽，如在本道交上，則不作圓形，即彷彿一之字形而已。一各星近遠於地之圖要，皆舊曆所未諳也。

五星伏見

五星之光與日相較，譬猶螢火之於庭燎光，本非滅，第為大光所奪，人莫能睹耳。舊曆亦曉此理，故用黃道距度以定諸星伏見。如謂太陽在降婁初度，歲星在十五度，即以為見限似矣。然而諸星各有緯南、緯北之分，黃道有正斜、升降之勢，各宮不同，何得泥距度以定限乎。新法定限，惟以地平為主緣。地平障蔽日光，能使星或伏或見耳。夫日之下於地平，其光漸殺，所謂晨昏。此晨昏光之久暫，四時不等，即冥漠等矣。而星見時刻又自不等。所以然者，太陽由黃道而下地平，或十度，或十五度，或至三十度有奇，原自不等。而星在黃道，南相距必多數度，在北相距必少數度。其限豈可泥乎。大略土、木、火三星，較太陽行遲、行後，太陽夕伏晨見。金、水二星順天東旋，較太陽行疾、行先，太陽晨伏夕見，逆行反是。其與太陽遇也，亦夕伏晨見。太陰行較太陽更疾，晨伏夕見。至於金星之緯不及八度，則凡逆行合太陽於壽星大火二宮，而其緯又在北七度以上，雖與日合，其光不伏，一日晨夕皆可見之。水星之緯惟四度餘，若其緯向南合太陽於壽星，此後去離夕必不見合太陽於降婁，此後去離晨必不見金合，而不伏水離而不見，此二故者，渾儀解之。他如恆星亦有夕伏晨見者，一因黃道之經緯度，一因其小大等第，即為見伏之限，故亦可推也。