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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第八十卷目錄

　曆法總部藝文一

　　三統曆說　　　　　　　　　漢劉歆

　　曆議　　　　　　　　　　後漢張衡

　　曆數議　　　　　　　　　　　蔡邕

　　進景初曆疏　　　　　　　　魏楊偉

　　春秋長曆論　　　　　　　　晉杜預

　　上曆新法表　　　　　　　宋何承天

　　曆議　　　　　　　　　　　　前人

　　覆奏元嘉曆法疏　　　　　　錢樂之

　　請改元嘉曆疏　　　　　　　祖沖之

曆法典第八十卷

曆法總部藝文一

三統曆說　　　　　　　　　漢劉歆

《漢書》云：初孝成世，劉向總六曆，列是非，作《五紀論》。向子歆究其微眇，作三統曆及譜以說《春秋》，推法密要，故述焉。

夫曆《春秋》者，天時也，列人事而因以天時。《傳》曰：民受天地之中以生，所謂命也。是故有禮誼動作威儀之則，以定命也，能者養之以福，不能者敗以取禍。故列十二公二百四十二年之事，以陰陽之中制其禮。故春為陽中，萬物以生；秋為陰中，萬物以成。是以事舉其中，禮取其和，曆數以閏正天地之中，以作事厚生，皆所以定命也。《易》金、火相革之卦，曰湯武革命，順乎天而應乎人，又曰治曆明時，所以和人道也。周道既衰，幽王既喪，天子不能班朔，魯曆不正，以閏餘一之歲為蔀首。故《春秋》刺十一月乙亥朔，日有食之。於是辰在申，而司曆以為在建戌，史書建亥。哀十二年，亦以建申流火之月為建亥，而怪蟄蟲之不伏也。自文公閏月不告朔，至此百有餘年，莫能正曆數。故子貢欲去其餼羊，孔子愛其禮，而著其法於《春秋》。《經》曰：冬十月朔，日有食之。《傳》曰：不書，日官失之也。天子有日官，諸侯有日御，日官居卿以底日，禮也。日御不失日以授百官於朝。言告朔也。元典曆始曰元。《傳》曰：元，善之長也。共養三德為善。又曰：元，禮之長也。合三體而為之原，故曰元。於春三月，每月書王，元之三統也。三統合於一元，故因元一而九三之以為法，十一三之以為實。實如法得一。黃鐘初九，律之首，陽之變也。因而六之，以九為法，得林鐘初六，呂之首，陰之變也。皆參天兩地之法也。上生六而倍之，下生六而損之，皆以九為法。九六，陰陽夫婦子母之道也。律娶妻而呂生子，天地之情也。六律六呂，而十二辰立矣。五聲清濁，而十日行矣。《傳》曰天六地五，數之常也。天有六氣，降生五味。夫五六者，天地之中合，而民所受以生也。故日有六甲，辰有五子，十一而天地之道畢，言終而復始。太極中央元氣，故為黃鐘，其實一龠，以其長自乘，故八十一為日法，所以生權衡度量，禮樂之所繇出也。經元一以統始。《易》，太極之首也。《春秋》二以目歲，《易》兩儀之中也。於春每月書王，《易》三極之統也。於四時雖亡事必書時月，《易》四象之節也。時月以建分至啟閉之分，《易》八卦之位也。象事成敗，《易》吉凶之效也。朝聘會盟，《易》大業之本也。故《易》與《春秋》，天人之道也。《傳》曰：龜，象也。筮，數也。物生而後有象，象而後有滋，滋而後有數。是故元始有象一也，春秋二也，三統三也，四時四也，合而為十，成五體。以五乘十，大衍之數也，而道據其一，其餘四十九，所當用也，故蓍以為數。以象兩兩之，又以象三三之，又以象四四之，又歸奇象閏十九及所據一加之，因以再扐兩之，是為月法之實。如日法得一，則一月之日數也，而三辰之會交矣，是以能生吉凶。故《易》曰：天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天數五，地數五，五位相得而各有合。天數二十有五，地數三十，凡天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。并終數為十九，《易》窮則變，故為閏法。參天九，兩地十，是為會數。參天數二十五，兩地數三十，是為朔朢之會。以會數乘之，則周於朔旦冬至，是為會月。九會而復元，黃鐘初九之數也。經於四時，雖亡事必書時月。時所以紀啟閉也，月所以紀分至也。啟閉者，節也。分至者，中也。節不必在其月，故時中必在正數之月。故《傳》曰：先王之正時也，履端於始，舉正於中，歸餘於終。履端於始，序則不愆；舉正於中，民則不惑；歸餘於終，事則不誖。此聖王之重閏也。以五位乘會數，而朔旦冬至，是為章月。四分月法，以其一乘章月，是為中法。參閏法為周至，以乘月法，以減中法而約之，則六扐之數，為一月之閏法，其餘七分。此中朔相求之術也。朔不得中，是為閏月，言陰陽雖交，不得中不生。故月法乘閏法，是為統歲。三統，是為元歲。元歲之閏，陰陽災，三統閏法。《易》九戹曰：初入元，百六，陽九；次三百七十四，陰九；次四百八十，陽九；次七百二十，陰七；次七百二十，陽七；次六百，陰五；次六百，陽五；次四百八十，陰三；次四百八十，陽三。凡四千六百一十七歲，與一元終。經歲四千五百六十，災歲五十七。是以《春秋》曰：舉正於中。又曰：閏月不告朔，非禮也。閏以正時，時以作事，事以厚生，生民之道於是乎在矣。不告閏朔，棄時正也，何以為民。故魯僖五年，春王正月辛亥朔，日南至，公既視朔，遂登觀臺以壬，而書禮也。凡分至啟閉，必書雲物，為備故也。至昭二十年二月己丑，日南至，失閏，至在非其月。梓慎望氛氣而弗正，不履端於始也。故《傳》不曰冬至，而曰日南至。極於牽牛之初，日中之時景最長，以此知其南至也。斗綱之端連貫營室，織女之紀指牽牛之初，以紀日月，故曰星紀。五星起其初，日月起其中，凡十二次。日至其初為節，至其中斗建下為十二辰。視其建而知其次。故曰制禮上物，不過十二，天之大數也。《經》曰春王正月，《傳》曰周正月，火出，於夏為三月，商為四月，周為五月。夏數得天，得四時之正也。三代各據一統，明三統常合，而迭為首，登降三統之首，周還五行之道也。故三五相包而生。天統之正，始施於子半，日萌色赤。地統受之於丑初，日肇化而黃，至丑半，日牙化而白。人統受之於寅初，日孽成而黑，至寅半，日生成而青。天施復於子，地化自丑畢於辰，人生自寅成於申。故曆數三統，天以甲子，地以甲辰，人以甲申。孟仲季迭用事為統首。三微之統既著，而五行自青始，其序亦如之。五行與三統相錯。《傳》曰：天有三辰，地有五行，然則三統五星可知也。《易》曰：參五以變，錯綜其數。通其變，遂成天地之文；極其數，遂定天下之象。太極運三辰五星於上，而元氣轉三統五行於下。其於人，皇極統三德五事。故三辰之合於三統也，日合於天統，月合於地統，斗合於人統。五星之合於五行，水合於辰星，火合於熒惑，金合於太白，木合於歲星，土合於填星。三辰五星而相經緯也。天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五生土。五勝相乘，以生小周，以乘乾坤之策，而成大周。陰陽比類，交錯相成，故九六之變登降於六體。三微而成著，三著而成象，二象十有八變而成卦，四營而成易，為七十二，參三統兩四時相乘之數也。參之則得乾之策，兩之則得坤之策。以陽九九之，為六百四十八，以陰六六之，為四百三十二，凡一千八十，陰陽各一卦之微算策也。八之，為八千六百四十，而八卦小成。引而信之，又八之，為六萬九千一百二十，天地再之，為十三萬八千二百四十，然後大成。五星會終，觸類而長之，以乘章歲，為二百六十二萬六千五百六十，而與日月會。三會為七百八十七萬九千六百八十，而與三統會。三統二千三百六十三萬九千四十，而復於太極上元。九章歲而六之為法，太極上元為實，實如法得一，陰一陽各萬一千五百二十，當萬物氣體之數，天下之能事畢矣。

曆議　　　　　　　　　　後漢張衡

延光二年，謁者亶誦言當用甲寅元，河南梁豐言當復用太初。尚書郎張衡、周興皆能曆，數難誦、豐，或不對，或言失誤。衡、興參案儀註，考往校今，以為九道法最密。詔下公卿詳議。太尉愷等上侍中施延等議：太初過天，日一度，弦朢失正，月以晦見西方，食不與天相應；元和改從四方，四方雖密於太初，皆不可用。甲寅元與天相應，合圖讖，可施行。博士黃廣、大行令任僉議，如九道。河南尹祉等議：即用甲寅元，當除《元命苞》天地開闢，獲麟中百一十四歲，推閏月六直其日，或朔、晦、弦、朢，二十四氣宿度不相應者非一。用九道為朔，月有比三大二小，皆疏遠。元和變曆，以應《保乾圖》三百歲斗曆改憲之文。四分曆本起圖讖，最得其正，不宜易。愷等議，宜從太初。尚書令忠上奏：諸從太初者，徒以世宗攘外廓境，享國久長為辭。或云孝章改四分，災異率甚，未有善應。臣伏惟漢祖受命，因秦之紀，違於帝典。太宗遵修，三階以平，哀、平之際，同承太初，妖孽累仍，痾禍非一。議者不以成數相參，汎采妄說，歸福太初，致咎四分。漏見曲論，未可為是。臣輒復重難衡興議云云。上然其言，遂改曆事。

五紀論推步行度，當時比諸術為近，然猶未稽於古。及向子歆，欲以合春秋橫斷年數，損夏益周考之表紀，差謬數百。兩曆相課六千一百五十六歲，而太初多一日，冬至日直斗而云，在牽牛，迂闊不可復用。昭然如此。史官所共見，非獨衡興前以為九道密。近今議者，以為有闕及甲寅元復多違失，皆未可取正。昔仲尼順假馬之名，以崇君之義。況天之曆數，不可任疑，從虛以非易是。

曆數議　　　　　　　　　　　蔡邕

熹平四年，五官郎中馮。光、沛相上計掾陳晃言：曆元不正，故妖民叛寇益州，盜賊相續為曆用甲寅為元而用庚申，圖緯無以庚為元者。近秦所用代周之元。太史治曆郎中郭香、劉固意造妄說，乞與本庚申元經緯有明，受虛欺重誅。乙卯，詔書下三府，與儒林明道者詳議，務得道真。以群臣會司徒府議。太尉耽等，以邕議劾光、晃不敬，正鬼薪法，詔勿治罪。

曆數精微，去聖久遠，得失更迭，術術無常是。以承秦，曆用顓頊，元用乙卯。百有二歲，孝武皇帝始改正朔，曆用太初，元用丁丑，行之百八十九歲。孝章皇帝改從四分，元用庚申。今光、晃各以庚申為非，甲寅為是。按曆法，黃帝、顓頊、夏、殷、周、魯，凡六家，各自有元。光、晃所據，則殷曆元也。他元雖不明於圖讖，各家術，皆當有效於其當時。黃帝始用太初丁丑之元有，六家紛錯，爭訟是非。太史令張壽王挾甲寅元以非漢曆，雜候清臺，課在下第，卒以疏闊，連見劾奏，太初效驗，無所漏失。是則雖非圖讖之元，而有效於前者也。及用四分以來，考之行度，密於太初，是又新元效於今者也。延光元年，中謁者亶誦亦非四分庚申，上言當用命曆序甲寅元。公卿百僚參議正處，竟不施行。且三光之行，遲速進退，不必若一。術家以算，追而求之，取合於當時而已。故有古今之術。今之不能上通於古，亦猶古術之不能下通於今也。《元命苞》、《乾鑿度》皆以為開闢至獲麟二百七十六萬歲；及命曆序積獲麟至漢，起庚子蔀之二十三歲，竟己酉、戊子及丁卯蔀六十九歲，合為二百七十五歲。漢元年歲在乙未，上至獲麟則歲在庚申。推此以上，上極開闢，則不在庚申。讖雖無文，其數見存。而光、晃以為開闢至獲麟二百七十五萬九千八百八十六歲，獲麟至漢，百六十二歲，轉差少一百一十四歲。云當滿足，則上違乾鑿度、元命苞，中使獲麟不得在哀公十四年，下不及命曆序獲麟漢相去四蔀年數，與秦記譜注不相應。當今曆正月癸亥朔，光、晃以為乙丑朔。乙丑之與癸亥，無題勒款識可與眾共別者，須以弦朢晦朔、光魄虧滿可得而見者，考其符驗。而光、晃曆以《考靈曜》二十八宿度數及冬至日所在，與今史官甘、石舊文錯異，不可考校；以今渾天圖儀檢天文，亦不合於《考靈曜》。光、晃誠能自依其術，更造望儀，以追天度，遠有驗於圖書，近有效於三光，可以易奪甘石，窮服諸術者，實宜用之。難問光、晃，但言圖讖，所言不服。元和二年二月甲寅，制書曰：朕聞古先聖王，先天而天不違，後天而奉天時。史官用太初鄧平術，冬至之日，日在斗二十二度，而曆以為牽牛中星，先立春一日，則四分數之立春也，而以折獄斷大刑，於氣已迕，用望平和，蓋亦遠矣。今改行四分，以遵於堯，以順孔聖奉天之文。是始用四分曆庚申元之詔也。深引河洛圖讖以為符驗，非史官私意獨所興搆。而光、晃以為固意造妄說，違反經文，謬之甚者。昔堯命羲和曆象日月星辰，舜葉時月正日，湯、武革命，治曆明時，可謂正矣。且猶遇水遭旱，戒以蠻夷猾夏，寇賊姦宄。而光、晃以為陰陽不和，姦臣盜賊，皆元之咎，誠非其理。元和二年，乃用庚申，至今九十二歲，而光、晃言秦所用代周之元，不知從秦來，漢三易元，不常庚申。光、晃區區，信用所學，亦妄虛無造欺語之愆。至於改朔易元，往者壽王之術已課不效，亶誦之議不用，元和詔書文備義著，非群臣議者所能變易。

劉昭曰：不有君子其能國乎。觀蔡邕之議，可以言天機矣。賢明在朝，弘益遠哉。公卿結正，足懲淺妄之徒，詔書勿治，亦深盍各之致。

進景初曆疏　　　　　　　　魏楊偉

臣覽載籍，斷考曆數，時以紀農，月以紀事，其所由來。遐而尚矣。乃自少昊，則元鳥，司分顓頊帝嚳，則重黎司天。唐帝、虞舜則羲和掌日。三代因之，則世有日官。日官司曆，則頒之諸侯，諸侯受之，則頒於境內。夏后之代羲和，湎淫廢時，亂日，則書載引征。由此觀之，審農時而重人事者，歷代然也。逮至周室既衰，戰國橫騖，告朔之羊，廢而不紹登臺之禮。滅而不遵閏分，乖次而不識，孟陬失紀，而莫寤。大火猶西流，而怪蟄蟲之不藏也。是時也，天子不協時，司曆不書日，諸侯不受職，日御不分朔，人事不恤，廢棄農時。仲尼之撥亂於《春秋》，託褒貶、糾正司曆失閏，則譏而書之，登臺頒朔，則謂之有禮。自此以降，暨於秦漢，乃復以孟冬為歲首，閏為後。九月中節，乖錯時月，紕謬加時，後天蝕不在朔，累載相襲，久而不革。至武帝元封七年，始乃寤其繆焉。於是改正朔，更曆數，使大才通人造太初曆，校中朔所差，以正閏分課中星，得度以考疏密，以建寅之月為正朔，以黃鐘之月為曆初。其曆斗分太多，後遂疏闊，至元和二年，復用四分曆施，而行之至於今日，考察日蝕，率常在晦，是則斗分太多，故先密後疏，而不可用也。是以臣前以制典，餘日推考，天路稽之前，典驗之以蝕朔，詳而精之，更建密曆則不先不後，古今中天，以昔在唐帝協日，正時允釐。百工咸熙，庶績也。欲使當今國之典禮，凡百制度皆韜，合往古郁，然備足乃改正朔，更曆數，以大呂之月為歲首，以建子之月為曆初。臣以為昔在帝代則法曰：顓頊曩目，軒轅則曆曰：黃帝暨至。漢之孝武革、正朔，更曆數改元，曰太初因名太初曆。今改元為景初，宜曰景初曆。臣之所建景初曆，法數則約要，施用則近密，治之則省功，學之則易知。雖復使研桑心算，隸首運籌，重黎司晷，羲和察景，以考天路，步驗日月，究極精微盡術數之極者，皆未能並臣如此之妙也。是以累代曆數皆疏而不密，自黃帝以來，改革不已。

春秋長曆論　　　　　　　　晉杜預

《書》稱：期三百六旬有六日，以閏月定四時，成歲。允釐百工，庶績咸熙。是以天子必置日官，諸侯必置日御，世修其業，以考其術，舉全數而言，故曰六日，其實五日四分之一日。日行一度而月日行十三度十九分度之有畸，日官當會集此之遲疾，以考成晦朔、錯綜以設閏月，閏月無中氣，而北斗邪指兩辰之間，所以異於他月也。積此以相通，四時八節無違。乃得成歲。其微密至矣。得其精微，以合天道，事敘而不悖，故《傳》曰：閏以正時，時以作事，事以厚生，生民之道於是乎在。然陰陽之運，隨動而差，差而不已，遂與曆錯。故仲尼、丘明每於朔閏發文，蓋矯正得失，因以宣明曆數也。桓十七年，日食得朔，而史闕其日。單書朔。僖十五年，日食。而史闕朔與日。故《傳》因其得失並起，時史之謬，兼以明其餘日食，或曆失其正也。莊二十五年，經書六月辛未朔，日有食之。鼓用牲於社。周之六月，夏之四月，所謂正陽之月也。而時曆誤。實是七月之朔，非六月，故《傳》云非常也。唯正月之朔慝未作，日有食之，於是乎有用幣於社，伐鼓於朝，此非用幣伐鼓，常月因變而起曆誤也。文十五年經文，皆同，而更復發《傳》曰非禮，明前傳欲以審正陽之月，後傳發例欲以明諸侯之禮也。此乃聖賢之微旨，先儒所未喻也。昭十七年，夏六月，日有食之，而平子言：非正陽之月，以誣一朝，近於指鹿為馬。故《傳》曰不君矣。且因以明此月為得天正也。劉子駿造三統曆，以修《春秋》。《春秋》日食有甲乙者，三十四而三統曆唯一食，曆術比諸家既最疏，又六千餘歲，輒益一日。凡歲當累日為次，而無故益之，此不可行之。甚者。班固前代名儒，而謂之最密，非徒班固也。自古以來，諸論《春秋》者，多述謬誤，或造家術，或用黃帝。以來諸曆以推經傳朔日，皆不得諧合。日食於朔，此乃天驗，經、傳又書其朔食，可謂得天，而劉賈諸儒之說，皆以為月二日、或三日，公違聖人，明文其蔽，在於守一元不與天消息也。余感《春秋》之事，嘗著曆論，極言曆之通理。其大指曰：天行不息，日月星辰各運其舍，皆動物也。物動則不一，雖行度，大量可得，而限累日為月以新。故相序不得，不有毫毛之差。此自然之理也。故春秋日有頻月而食者，曠年不食者，理不得一而算守恆數，故曆無不有差失也。始失於毫毛，而尚未可覺，積而成多，以失弦朢朔晦則不得不改。憲以從之。《書》所謂欽若昊天。曆象日月星辰，《易》所謂治曆明時，言當順天以求合，非為合以驗天者也。推此論之，春秋二百餘年，其治曆變通多矣。雖數術絕滅，還尋經傳微旨，大量可知。時之違謬，則經傳有驗，學者固當曲循經傳，月日日之食以考朔晦也。以推時驗而皆不然，各據其學，以推春秋，此無異度己之跡，而欲削他人之足也。余為曆論之後，至咸寧中，善算李修夏顯，依論體為術，名乾度曆表，上朝廷。其術合日行四分之數，而微增月，行用三百歲，改憲之意。二元相推，七十餘歲。承以強弱，強弱之差，蓋少而適足，以遠通盈，縮時尚書及史官以乾度與太始曆參校古今記注，乾度曆殊勝。今其術具存，時又并考古今十曆，以驗《春秋》。知三統曆之最疏也。今具列其時得失之數。又據經、傳微旨，證據及失閏，旨考日辰朔、晦以相發明，為經傳長曆，諸經傳證據，及失閏時，文字謬誤，皆甄發之。雖未必其得天，蓋《春秋》當時文曆也，學者覽焉。

上曆新法表　　　　　　　宋何承天

臣授性頑惰，少所關解。自昔幼年，頗好曆數，耽情注意，迄於白首。臣亡舅故祕書監徐廣，素善其事，有既往七曜曆，每記其得失。自太和至泰元之末，四十許年。因臣比歲考校，至今又四十載。故其疏密差會，皆可知也。夫圓極常動，七曜運行，離合去來，雖有定勢，以新故相涉，自然有毫末之差，連日累歲，積微成著。是以《虞書》著欽若之典，《周易》明治曆之訓，言當順天以求合，非為合以驗天也。漢代雜候清臺，以昏明中星，課日所在，雖不可見，月盈則蝕，必當其衝，以月推日，則躔次可知焉。捨易而不為，役心於難事，此臣所不解也。《堯典》云：日永星火，以正仲夏。今季夏則火中。又宵中星虛，以殷仲秋。今季秋則虛中。爾來二千七百餘年，以中星檢之，所差二十七八度。則堯冬令至，日在須女十度左右也。漢之太初曆，冬至在牽牛初，後漢四分及魏景初法，同在斗三十一。臣以月蝕檢之，則景初今之冬至，應在斗十七。又史官受詔，以土圭測景，考校二至，差三日有餘。從來積歲及交州所上，檢其增減，亦相符驗。然則今之二至，非天之二至也。天之南，日在斗十三四矣。此則十九年七閏，數微多差。復改法易章，則用算滋繁，宜當隨時遷革，以取其合。案《後漢志》，春分日長，秋分日短，差過半刻。尋二分在二至之間，而有長短，因識春分近夏至，故長；秋分近冬至，故短也。楊偉不悟，即用之，上曆表云：自古及今，凡諸曆數，皆未能並己之妙。何此不曉，亦何以云。是故臣更建元嘉曆，以六百八為一紀，半之為度法，七十五為室分，以建寅之月為歲首，雨水為氣初，以諸法閏餘一之歲為章首。冬至從上三日五時。日之所在，移舊四度。又月有遲疾，合朔月蝕，不在朔朢，亦非曆意也。故元嘉皆以盈縮定其小餘，以正朔朢之日。伏惟陛下允迪聖哲，先天不違，劬勞庶政，寅亮鴻業，究淵思於往籍，探妙旨於未聞，窮神知化，罔不該覽。是以愚臣欣遇盛明，效其管穴。伏願以臣所上元嘉法下史官考其疏密，若謬有可採，庶或補正闕謬，以備萬分。

曆議　　　　　　　　　　　　前人

夫曆數之術，若心所不達，雖復通人前識，無救其為敝也。是以多歷年歲，未能有定。四分於天，出三百年而盈一日。積代不悟，徒云建曆之本，必先立元，假言讖緯，遂關治亂，此之為蔽，亦已甚矣。劉歆三統法尤復疏闊，方於四分，六千餘年又益一日。揚雄心惑其說，采為太元，班固謂最密，著於《漢志》；司馬彪因曰自太初元年始用三統曆，施行百有餘年。曾不憶劉歆之生，不逮太初，二三君子言曆，幾乎不知而妄言歟。

覆奏元嘉曆法疏　　　　　　錢樂之

太子率更令領國子博士何承天，表更改元嘉曆法，以月蝕檢今冬至日在斗十七，以土圭測影，知冬至巳差三日。詔使付外檢署。以元嘉十一年被敕，使考月蝕，土圭測影，檢署由來用偉〈楊偉〉景初法，冬至之日，日在斗二十一度少。檢十一年七月十六日朢月蝕，加時在卯，到十五日四更二唱丑初始蝕，到四唱蝕既，在營室十五度末。景初其日日在軫三度。以月蝕所衝考之，其日日應在翼十五度半。又到十三年十二月十六日朢月蝕，加時在酉，到亥初始食，到一更三唱蝕既，在鬼四度。景初其日日在女三。以衝考之，其日日應在牛六度半。又到十四年十二月十六日朢月蝕，加時在戌之半，到二更四唱亥末始蝕，到三更一唱食既，在井三十八度。景初其日日在斗二十五。以衝考之，其日日應在斗二十二度半。到十五年五月十五日朢月蝕，加時在戌，其日月始生而已，蝕光己生四分之一格，在斗十六度許。景初其日日在井二十四。考取其衝，其日日應在井二十。又到十七年九月十六日朢月蝕，加時在子之少，到十五日未二更一唱始蝕，到三唱蝕十五分之十二格，在昴一度半。景初其日在房二。以衝考之，則其日日在氐十三度半。凡此五蝕。以月衝一百八十二度半考之，冬至之日，日並不在斗二十一度少，並在斗十七度半間，悉如承天所上。又去十一年起，以土圭測景。其年景初法十一月七日冬至，前後陰不見影。到十二年十一月十八日冬至，其十五日影極長。到十三年十一月二十九日冬至，其二十六日影極長。到十四年十一月十一日冬至，其前後並陰不見。到十五年十一月二十一日冬至，十八日影極長。到十六年十一月二日冬至，其十月二十九日影極長。到十七年十一月十三日冬至，其十日影極長。到十八年十一月二十五日冬至，二十一日影極長。到十九年十一月六日冬至，其三日影極長。到二十年十一月十六日冬至，其前後陰不見影。尋校前後，以影極長為冬至，並差三日。以月蝕檢日所在，已差四度。土圭測影，冬至又差三日。今之冬至，乃在斗十四間，又如承天所上。又承天法，每月朔朢及弦，皆定大小餘，於推交會時刻雖審，皆用盈縮，則月有頻三大、頻二小，比舊法殊為異。舊日蝕不唯在朔，亦有在晦及二日。《公羊傳》所謂或失之前，或失之後。愚謂此一條自宜仍舊。員外散騎郎皮延宗又難承天：若晦朔定大小餘，紀首值盈，則退一日，便應以故歲之晦，為新紀之首。承天乃改新法依舊術，不復每月定大小餘，如延宗所難，太史所上。有司奏：治曆改憲，經國盛典，爰及漢、魏，屢有變革。良由術無常是，取協當時。方今皇猷載暉，舊域光被，誠應綜覈晷度，以播維新。承天曆術，合可施用。宋二十二年，普用元嘉曆。詔可。

請改元嘉曆疏　　　　　　　祖沖之

古曆疏舛，頗不精密，群氏糾紛，莫審其要。何承天所奏，意存改革，而置法簡略，今已乖遠。以臣校之，三睹厥謬：日月所在，差覺三度；二至晷影，幾失一日；五星見伏，至差四旬，留逆進退，或移兩宿。分至乖失，則節閏非正；宿度違天，則伺察無準。臣生屬聖辰，逮在昌運，敢率愚瞽，更創新曆。謹立改易之意有二，設法之情有三。改者，其一，以舊法一章十九歲有七閏，之數為多，經二百年，輒差一日。節閏既移，則應改法，曆紀屢遷，實由此條。今改章法，三百九十一年有一百四十四閏。令卻合周、漢，則將來永用，無復差動。其二，以《堯典》云：日短星昴，以正仲冬。以此推之，唐代冬至，日在今宿之左五十許度。漢代之初，即用秦曆，冬至日在牽牛六度。漢武改立太初曆，冬至日在牛初。後漢四分法，冬至日在斗二十二。晉時姜岌以月蝕檢日，知冬至在斗十七。今參以中星，課以蝕朢，冬至之日，在斗十一。通而計之，未盈百載，所差二度。舊法並令冬至日有定處，天數既差，則七曜宿度漸與曆舛。乖謬既著，輒應改制，僅合一時，莫能通遠，遷革不已，又由此條。今令冬至所在，歲歲微差，卻檢漢注，並皆審密，將來久用，無煩屢改。又設法者，其一，以子為辰首，位在正北，爻應初九，斗氣之瑞，虛為北方，列宿之中，元氣肇初，宜在此次。前儒虞喜，備論其義。今曆上元日度，發自虛一。其二，以日辰之號，甲子為先，曆法設元，應在此歲。而黃帝以來，世代所用，凡十一曆，上元之歲，莫值此名。今曆上元，歲在甲子。其三，以上元之歲，曆中眾條，並應以此為始，而景初曆交會遲疾，亦置紀差，裁合朔氣而已。條序紛互，不及古意。今設法，日月五緯，交會遲疾，悉以上元歲首為始。則合璧之曜，信而有徵，連珠之暉，於是乎在，群流共源，實精古法。若夫測以定形，據以實效，縣象著明，尺表之驗可推，動氣幽微，寸管之候不忒。今臣所立，易以取信。但深練始終，大存整密，革新變舊，有約有繁。用約之條，理不自懼，用繁之意，顧非謬然。何者。夫紀閏參差，數各有分，分之為體，非細不密。臣是用深惜毫釐，以全求妙之準，不辭積累，以成永定之制。非為思而莫悟，知而不改也，竊恐讚有然否，每崇遠而隨近；論有是非，或貴耳而遺目。所以竭其管穴，俯洗同異之嫌，披心日月，仰希葵藿之照。若臣所上，萬一可采，伏願頒宣群司，賜垂詳究，庶陳錙銖，少增盛典。