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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

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　算法部彙考九

　　算法統宗五〈衰分章第三〉

曆法典第一百十七卷

算法部彙考九

《算法統宗五》衰分章第三

衰者，等也。物之混者，求其等而分之。以物之多寡，求其出稅；以人戶等第，求其差徭。以物價，求貴賤高低者也。

衰分歌

衰分法數不相平，須要分數一分成。將此一分為之實，以乘各數自均平。

法曰：各列置衰，排列所求等次之位，副併共若干為法。以所分物總乘未併者〈是前列衰〉，各自為實以法除之，即得所問。

可約者，約分之不盡者，以法命之。

一法：置所分物為實，併各衰，為法除之，得一衰。以乘各衰。

合率差分

今有銀一千二百兩，買綾絹。議要絹一停，綾二停。其綾每匹價三兩六錢，絹每匹價二兩四錢。問：二色併價各若干。

答曰：綾二百五十匹價九百兩，絹一百二十五匹價三百兩。

法曰：置銀一千二百兩為實。另置綾價，以二因之得七兩二錢。併入絹價二兩四錢，共九兩六錢。為法除之得絹一百二十五匹。倍之得綾一百五十匹。各以原價乘之，合問。

今有銀一百二十一兩一錢七分五釐，糴米、麥、豆。議要米一分、麥二分、豆三分。其米每斗九分二釐，麥每斗八分五釐，豆每斗三分六釐。問：三色併價各若干。答曰：米三十二石七斗五升價銀三十兩零一錢三分，麥六十五石五斗價銀五十五兩六錢七分五釐，豆九十八石二斗五升價銀三十五兩三錢七分。

法曰：置總銀為實。另置麥價以二因之得一錢七分。又置豆價以三因之得一錢零八釐。米價九分二釐。併三價得三錢七分。為法除實得米數。二因得麥數。三因得豆數。各以原價乘之，得各價。合問。

又法：先得米數，倍之得麥數，加五即豆數。

今有鰥、寡、孤、獨四貧民，共給米二十四石。其鰥者四分，寡者五分，孤者七分，獨者九分。問：四民各該米若干。

答曰：鰥者給米三石八斗四升，寡者給米四石八斗，孤者給米六石七斗二升，獨者給米八石六斗四升。

法曰：置米為實。另置鰥四、寡五、孤七、獨九併之，共二十五。為法除實得九斗六升，為一衰之數。以各自衰因之。合問。

今有甲、乙、丙、丁四人，各出本銀七兩五錢。甲銀八色，乙銀七色，丙銀六色，丁銀四色，共三十兩。入爐傾成一錠。合夥不成，各欲分散。問：各該若干。

答曰：甲銀九兩六錢，乙銀八兩四錢，丙銀七兩二錢，丁銀四兩八錢。

法曰：併四人各出七兩五錢共三十兩為法。另以四人各原銀折作足色紋銀。甲得六兩，乙得五兩二錢五分，丙得四兩五錢，丁得三兩。四共併得足色銀一十八兩七錢五分為實。以法除實得六二五色。就以此為法，以除各人折過足色銀得分六二五色銀數。合問。

今有張三出本銀十九兩六錢四分，李四出本銀十二兩三錢六分。共出本銀三十二兩。營運折了七兩。問：各折若干。

答曰：張三折銀四兩二錢九分六釐二毫五絲，李四折銀二兩七錢零三釐七毫五絲。

法曰：置折銀七兩為實。以共本銀三十二兩為法除之，得二錢一分八釐七毫五絲乃是一兩折數。就以此乘各人原本，合得各折數也。合問〈按此法置張本銀李本銀列二

位，各以七兩乘之，卻以三十二兩為法，歸除之亦得

。〉

今有三色金共二十兩。內九色四兩、七色七兩、五色九兩，欲銷一處。問：成色若干。

答曰：六五成色。

法曰：置九色四兩，以九因得三兩六錢。七色七兩以七因得四兩九錢。五色九兩以五因得四兩五錢。併三位折赤金一十三兩為實。以原金二十兩為法除之。合問。

今有一人將桃二百七十五箇，一人將梨二百二十箇，各欲換西瓜。其瓜每箇錢二十七文半，桃每箇三文半，其梨每箇八文。問：各換瓜若干。

答曰：桃主該換瓜三十五箇，梨主該換瓜六十四箇。

法曰：置桃數以價三文半乘得九百六十二文半為實。以瓜價為法除之，得桃換瓜數。另置梨數以價八文因之，得一千九百六十文為實。以瓜價為法除之得梨換瓜數。合問。

今有官米七十三石二斗，令三等人戶出之。上等二十五戶，每戶五分。中等四十戶，每戶三分。下等六十戶，每戶一分。問：各等戶米若干。

答曰：上等每戶一石二斗共三十石，中等每戶七斗二升共二十八石八斗，下等每戶二斗四升共一十四石四斗。

法曰：置總米為實。另置上等二十五戶，五因得一百二十五。中等四十戶，三因得一百二十。下等六十戶，得六十。以三數併之，共得三百零五。為法除之，得二斗四升，是下等一戶所出之數。三因得七斗二升，是中等一戶所出數。五因得一石二斗，是上等一戶所出數。各以戶數乘之，得各等共數。合問。

今有軍二萬五千二百名，共支米、麥、豆三色。只云四人支米三石，七人支豆八石，九人支麥五石。問：各該若干。

答曰：米一萬八千九百石，麥一萬四千石，豆二萬八千八百石。

法曰：置軍數列三位。一位以三因得七萬五千六百，以四除得米一萬八千九百石。一位以五因得一十二萬六千，以九除得麥一萬四千石。一位以八因得二十萬零一千六百，以七除得豆二萬八千八百石。合問。

今有官田一頃三十八畝。每畝科正米二斗。今要七分本色米，三分折納細絲。每米一石折絲一斤。問：各納若干。

答曰：米一十九石三斗二升，絲八斤四兩四錢八分。

法曰：置田數，以正米二斗乘得二十七石六斗，置列二位。一位以七乘得米一十九石三斗二升。一位以三乘得八石二斗八升。以石變斤零二八，用加六得兩錢之數。合問。

四六差分

法曰：各以四為首，用加五以求各衰。首位四就身加五得六，又加五得九，又加五得十三衰五分，又加五得二十衰零二分五釐。如位數多者，各加五以生。各衰倣此。

一法：以首位為四，用四歸六因以求各衰〈不如加五捷徑〉。二位者〈四　六〉，併得十。三位者〈四　六　九〉，併得十九。四位者〈四　六　九　一十三衰半〉，併得三十二衰五分。五位者〈四　六　九　十三衰五　二十衰二分五釐〉，併得五十二衰七分五釐。各副并為法除實，得一衰以乘各衰。合問。

今有金四千兩，令二等金戶四六納之。問：各該若干。答曰：上等戶該二千四百兩，下等戶該一千六百兩。

法曰：置總金為實。以六因得上戶，以四因得下戶。合問。

今有米一千五百五十八石。令甲、乙、丙三人四六納之。問：各該若干。

答曰：甲七百三十八石，乙四百九十二石，丙三百二十八石。

法曰：置米為實。列〈丙四　乙六　甲九〉副併共得十九衰，為法除實得八十二石為一差衰。以乘各人衰數即出納數也。

今將前米，令甲、乙、丙、丁四等人戶，作四六出納。問：各該若干。

法曰：置米為實。列〈丁四　丙六　乙九　甲十三衰五分〉副併共得三十二衰五分，為法除實得若干，乃為一衰之數。以四因得丁所該納數。列一衰則以乘各人衰數，合得各人所納數也。

又將前米令甲、乙、丙、丁、戊五等人戶作四六納之。問：各該若干。

法曰：置米為實。列〈戊四　丁六　丙九　乙十三衰五分　甲二十衰○二分五釐〉副併得五十二衰七分五釐。為法除實得若干為一衰之數。以此為則以乘各人衰數，合得各人出納數也。

今有米三百八十五石五斗二升，令二等人戶從上四六出之。甲上等二十六戶，乙下等四十戶。問：各戶各若干。

答曰：上等每戶七石三斗二升共計一百九十石零三斗二升。下等每戶四石八斗八升共計一百九十五石二斗。

法曰：置米為實。另以上等二十六戶以六因得一百五十六衰。又以下等四十戶以四因得一百六十衰。二共併之，得三百一十六衰。為法除實得一石二斗二升為一差衰。以六因得七石三斗二升是上等一戶出數。另以一衰數，以四因得四石八斗八升是下等一戶所出數。各以戶數乘之，合問。

二八差分

法曰：各以二為首，用四因以求各衰。首位二以四因得八衰，又四因得三十二衰，又四因得一百二十八衰，又四因得五百一十二衰。如位數多者，各以四因以生各衰。

一法：以首為二，用二歸八因以求各衰〈不如四因捷徑〉。二位者〈二　八〉，併得十。三位者〈二　八　三十二〉，三共併得四十二。四位者〈二　八　三十二　一百二十八〉，四共併得一百七十。五位者〈二　八　三十二　一百二十八　五百一十二〉，五共併得六百八十二衰。為法除實得一分衰數。以乘各衰。今有金三千兩，令二等人戶二八納之。問：各該若干。答曰：上等戶二千四百兩，下等戶六百兩。

法曰：置總金列二位為實。一位以八因得上等戶所納之數，一位以二因得下等戶所納之數，

若令三等人戶作二八出之。

法曰：置總金為實。列〈丙二　乙八　甲三十二〉三共併得四十二衰，為法除實得若干為一衰之數以為法則。以二衰因得若干為丙出金之數。又以八衰因得若干為乙出金之數。又以三十二衰乘之，得若干為甲出金之數。合問。

若令四等人戶二八出納，只加上等四衰一百二十八，四共併衰一百七十。為法除實得一衰之數，以乘各衰。即得。

若五等亦只加衰，用法如前。

三七差分

法曰：各以三為首，就以三因，或又三因，再三因，務求得宜為首衰。卻用三歸七，因以求各衰。

二位者，首位三，次位七，併得十。三位者，首位三就以三因得九為丙衰。卻以九用三歸七因得二十一為乙衰。再以二十一用三歸七因得四十九為甲衰。三位併得七十九衰。四位者，首位三以三因得九。又三因得二十七為丁衰。卻以二十七用三歸七因得六十三為丙衰。卻以六十三用三歸七因得一百四十七為乙衰。卻以一百四十七用三歸七因得三百四十三為甲衰。四併得五百八十。五位者，首位三以三因，又三因，再三因得八十一為戊衰。卻以戊衰用三歸七因得一百八十九為丁衰。卻以丁衰用三歸七因得四百四十一為丙衰。卻以丙衰用三歸七因得一千零二十九為乙衰。卻以乙衰用三歸七因得二千四百零一為甲衰。五併共得四千一百四十一。各以副併為法除實得一衰數。以乘各衰如位數。多者皆以三因。首位用三歸七，因以求下位衰數。今有金三千兩，令休、績二縣金行鋪戶，三七上納。問：各該若干。

答曰：休寧縣二千一百兩，績溪縣九百兩。

法曰：置金數為實。以七因即休邑納數。以三因即績邑納數。合問。

今有銀四百九十七兩七錢。令甲、乙、丙三人三七分之。問：各該若干。

答曰：甲三百零八兩七錢，乙一百三十二兩三錢，

丙五十六兩七錢。

法曰：置總銀為實，列〈丙九　乙二十一　甲四十九〉副併得七十九衰，為法除實得六兩三錢為一衰數。以乘各衰得各人數。合問。

若令四人作三七分之。

法置總銀為實，列〈丁二十七　丙六十三　乙一百四十七　甲三百四十三〉副併得五百八十衰，為法除實得若干，為一衰之數。以乘各衰得各人數。

若令五人作三七分之。

法置總銀為實。列〈戊衰八十一　丁一百八十九　丙四百四十一　乙一千零二十九　甲二千四百零一〉副併得四千一百四十一衰，為法除實得若干為一衰之數。就以此為法，以乘各衰得數。合問。

折半差分

法曰：以所分物折半為衰。二位者〈一　二〉，併得三。三位者〈一　二　四〉，併得七。四位者〈一　二　四　八〉，併得十五。五位者〈一　二　四　八　十六〉，併得三十一。各副併為法除實〈按此法加一倍法也。首衰倍之得次衰。又倍之得三衰。四、五同〉。今有錢五百九十四文，令甲乙二人折半分之。問：各該若干。

答曰：甲三百九十六文，乙一百九十八文。

法曰：置總錢為實。以〈甲二乙一〉併得三衰。為法歸實得一百九十八文，為乙所得數。倍之得三百九十六文，為甲所得數。合問。今有銀六百七十二兩，令三等人作折半分之。問：各該若干。

答曰：甲三百八十四兩，乙一百九十二兩，丙九十六兩。

法曰：置總銀為實。以〈甲四　乙二　丙一〉併得七衰，為法除實得九十六兩為丙所得數。以二因得乙數。以四因得甲數。合問。

今有女子善織，初日遲，次日加倍，第三日轉速倍增，第四日又倍增。織成絹六丈七尺五寸。問：各日織若干。

答曰：初日織四尺五寸，次日織九尺，第三日織一丈八尺，第四日織三丈六尺。

法曰：置絹為實。列〈一　二　四　八〉併得十五，為法除實得初日織四尺五寸。倍之得次日數。再倍得第三日數。又倍得第四日數。合問。

遞減挨次差分

法曰：置所分物者，挨次為衰，各列置衰算之。三位者〈一　二　三〉，併得六。四位者〈一　二　三　四〉，併得十。五位者〈一　二　三　四　五〉，併得十五。六位者〈一　二　三　四　五六〉，併得二十一。各副併，為法除實。

今有絹七百二十匹，令甲、乙、丙三人依等挨次分之。問：各該若干。

答曰：甲三百六十匹，乙二百四十匹，丙一百二十匹。

法曰：置絹為實。以〈甲三　乙二　丙一〉併得六衰，為法除實得一百二十匹為丙所得數。以二因得乙數，以三因得甲數。合問。

今有銀九十二兩，分散四子，依等挨次分之。問：各該若干。

答曰：長子三十六兩八錢，次子二十七兩六錢，三子一十八兩四錢，四子九兩二錢。

法曰：置總銀為實〈以長子四　次子二　三子二　四子一〉。副併得十衰。為法除實得九兩二錢為四子所得數。自下而上各加九兩二錢。合問。

今有金八兩一錢，欲挨次造套鍾五箇。問：各重若干。答曰：大號二兩七錢，二號二兩一錢六分，三號一兩六錢二分，四號一兩零八分，五號五錢四分。

法曰：置金為實。以〈五　四　三　二　一〉副併得一十五衰，為法除實得五錢四分，為五號鍾重數。自下而上各加五錢四分。合問。

若造禮、樂、射、御、書、數六號杯。

法置總金數為實。以〈六　五　四　三　二　一〉副併得二十一衰。為法除實得數字杯重若干。自下而上各加數字號杯重若干。合問。

今有糧一千一百三十四石，令五等人戶挨次上納。一等二十四戶，二等三十三戶，三等四十二戶，四等五十一戶，五等六十戶。問：各若干。

答曰：一等每戶十石零五斗，共計二百五十二石。二等每戶八石四斗，共計二百七十七石二斗。三等每戶六石三斗，共計二百六十四石六斗。四等每戶四石二斗，共計二百一十四石二斗。五等每戶二石一斗，共計一百二十六石。

法曰：置糧為實。第五等戶不動，將四等戶數以二因得若干。又將三等戶數以三因得若干。再將二等戶數以四因得若干。又將一等戶數以五因得若干。併五等數共得五百四十衰。為法除實得二石一斗。是第五等一戶所出數。以二因得四等一戶所出數。以三因得二等一戶所出數。以四因得三等一戶所出數。以五因得一等一戶所出數。各以戶數乘之。合問〈自五等起逓加二石一斗至一等止〉。今有米二百四十石，令甲、乙、丙、丁、戊五人遞差分之，要將甲乙二人數，與丙、丁、戊三人數同。問：各該若干。答曰：甲六十四石，乙五十六石，丙四十八石，

丁四十石，戊三十二石。

法置總米為實。列〈甲五　乙四　丙三　丁二　戊一〉又併甲五、乙四得九。又併丙三、丁二、戊一得六，減九餘三。卻以前五人衰內各增三，甲得八，乙得七，丙得六，丁得五，戊得四。副併得三十衰，為法除實得八石為一衰數。以乘各人後增衰數，得各人所得數。合問〈戊起逓加八數至甲止〉。或七人分者，要將甲、乙、丙三人數與丁、戊、己、庚四人數同者。又云三人分者，要將甲得數與乙丙二人所得數同者，俱倣前法算之。

今有金六十兩，令甲、乙、丙三人，依等遞差五兩。問：各該若干。

答曰：甲二十五兩，乙二十兩，丙一十五兩。

法曰：置金六十兩內減差甲多丙十兩、乙多丙五兩、共一十五兩，餘四十五兩為實。以三人為法除之得丙金一十五兩。加五兩得二十兩為乙所得。又加五兩為甲所得。合問〈按凡算遞差者，皆可互和折半。故不必另立互和之法，即以金六十

兩用三歸之，即得乙數也

。〉今有俸米三百零五石，令五等官依品逓差十三石

分之。問：各該若干。

答曰：正一品八十七石，從一品七十四石，正二品六十一石，從二品四十八石，正三品三十五石。

法曰：置五等於上，又列五等減一餘四。以乘五得二十，折半得一十為實。以每等差十三石乘之，得一百三十石。以減總米三百零五石餘一百七十五石。卻以五等除之，得三十五石是第五等正三品俸米。加十三石是第四等從二品俸米。又加十三石，是正二品俸米。各品遞加十三。合問〈按此法置總銀為實，只用五歸即得正二品數。

遞加則得從一品、正一品數。逓減則得從二品、正三品數也

。〉

今有官米二百六十五石，令三等人戶出之。上等二十戶，每戶多中等七斗。中等五十戶，每戶多下等五斗。下等一百一十戶。問：每戶所出及逐等各若干。答曰：上等每戶二石四斗共四十八石，中等每戶一石七斗共八十五石，下等每戶一石二斗共一百三十二石。

法曰：置中等五十戶。以每戶多下等五斗因之，得二十五石。又置上等二十戶，以每戶多中等七斗，多下等五斗共一石二斗乘之，得二十四石。併二數共四十九石。以減總米餘二百一十六石為實。併三等戶數共一百八十。為法除實得一石二斗，是下等一戶所出數。加五斗得一石七斗，是中等一戶所出數。又加七斗，得二石四斗是上等一戶所出數。各以戶數乘之。合問。

帶分母子差分

今有馬軍七人，給褲布四十八尺。步軍六人，給襖布九十二尺。今共給布一十二萬五千八百二十尺。問：各該若干。

答曰：馬步軍各五千六百七十人，襖布八萬六千九百四十尺，褲布三萬八千八百八十尺。

法曰：置分母子互乘〈七人六人〉〈四十八　九十二〉，以七人乘九十二尺得六百四十四尺。另以六人乘四十八尺得二百八十八尺。併之得九百三十二尺為法。置布一十二萬五千八百二十尺，卻以六人、七人相乘，得四十二而乘之，得五百二十八萬四千四百四十尺為實。以法除之得軍數各五千六百七十人。以四十八乘，又用七歸得褲布。又以九十二乘軍數，用六歸得襖布。合問。

今有昆仲三人，小弟謂長兄曰：我年紀比汝四分之三，次兄年紀比汝六分之五，我多八歲。問：三人歲數各若干。

答曰：長兄九十六歲，次兄八十歲，小弟七十二歲。

法曰：置〈六分四分〉〈之五之三〉以母四互乘子五得二十，為次兄之差。又以母六互乘子三得十八，為小弟之差。又以母四、六相乘得二十四，為長兄之差。另以二十減去十八餘二為法。先置長兄差二十四，以八歲乘之得一百九十二為實。以法二除之，得九十六為長兄之歲。另以次兄差二十，以八歲乘之，得一百六十為實。以法二除之，得八十為次兄之歲。另以小弟十八，亦以八歲乘之，得一百四十四為實。以法二除之得七十二，為小弟歲數。合問。

今有七人，差等均錢。甲乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文。問：丙、丁各若干。

答曰：甲四十文，乙三十七文，丙三十四文，丁

三十一文，戊二十八文，己二十五文，庚二十

二文。

法曰：置〈二人三人〉〈七十七文　七十五文〉，令母互乘子，以二人乘七十五文，得一百五十。另以三人乘七十七文，得二百三十一文。以少減多餘八十一，為一差之實。併分母二人、三人得五，折半得二人半。以減總七人餘四人半，卻以分母二人、三人乘得六。以乘四人半得二十七，為一差之法。餘實八十一得三文為一差數。置甲乙均七十七文加二文，共八十文。折半得四十文，為甲得數，遞減三文。合問。

今有兵士三千四百七十四名，每三人支衫絹七十尺，每四人支裙絹五十尺。問：該總絹若干。

答曰：共絹一十二萬四千四百八十五尺，衫絹八萬一千零六十尺，裙絹四萬三千四百二十五尺。法曰：置〈三人　四人〉〈七十尺　五十尺〉，以三人互乘五十，得一百五十。以四人互乘七十，得二百八十。併之共四百三十。乘兵士得一百四十九萬三千八百二十為實。又以三四相乘，得十二。為法除實得總絹數。另置兵士總以七因三歸得衫絹數。以五因四歸得裙絹數。合問。

互和減半差分

法曰：以〈一　三　五　七　九〉為陽位，〈二　四　六　八　十〉為陰位。三位者〈三　五　七〉併得十五數。四位者〈二　四　六　八〉併得二十數。五位者〈一　三　五　七　九〉併得二十五數。照位併而為法除實，得首尾二人共數。於內減甲多或丙少數，餘數折半，得首尾數。加甲多或丙少數為首數。三位者互和首尾。甲丙二人所得數折半得中乙數。合問。

四位者照前得首尾甲丁二人數，其中有乙丙二人。不可折半得數，卻置甲多或丁少數，依例用三歸之，合問。

五位者照依前得首尾甲戊二人數。互和首尾數折半，得中丙數。又互和丙戊數折半，得丁數。又互和丙甲數折半，得乙數。如位數多者，皆以空位取之。併而為法除實，得首尾數〈四位者用三歸之。六位者用五除之〉。今有白米一百八十石，令三人從上互和減半分之，只云甲多丙米三十六石。問：各該若干。

答曰：甲七十八石，乙六十石，丙四十二石。

法曰：置米一百八十石為實。以〈三　五　七〉併得一石五斗，為法除實得一百二十石，乃甲丙二人首尾共數。於內減甲多三十六石，餘八十四石。折半得丙四十二石，加多三十六石，得甲米七十八石。互和甲丙米，折半得乙米六十石。合問。

今有銀二百四十兩，令四人從上互相減半分之。只云甲多丁一十八兩。問：各該若干。

答曰：甲六十九兩，乙六十三兩，丙五十七兩，

丁五十一兩。

法曰：置銀為實。以〈二　四　六　八〉併得二兩，為法除實得一百二十，乃甲丁首尾二人共數。於內減甲多一十八兩，餘一百零二兩，折半得丁銀五十一兩。加多一十八得甲銀六十九兩。惟乙丙二人不可併折。以甲多一十八例，用三歸之，得六兩。加入丁銀得丙銀五十七兩。又加六兩得乙銀六十三兩。合問。

今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之。只云戊不及甲三十三貫六百文。問：各該鈔若干。

答曰：甲六十四貫四百文，乙五十六貫，丙四十七貫六百文，丁三十九貫二百文，戊三十貫零八百文。

法曰：置鈔為實。以〈一　三　五　七　九〉併得二貫五百文。為法除之得九十五貫二百文，乃首尾二人共數。於內減戊不及甲鈔，餘六十一貫六百文，折半得戊鈔三十貫八百文。仍加戊不及甲鈔三十三貫六百文，得甲鈔六十四貫四百文。互和甲、戊鈔，共九十五貫二百文，折半得丙鈔四十七貫六百文。又互和丙、戊鈔共七十八貫四百文，折半得丁鈔三十九貫二百文。又互和甲丙鈔共一百一十二貫，折半得乙鈔五十六貫。合問。

今有五人均銀四十兩，內甲得十兩四錢，戊得五兩六錢。問：乙、丙、丁次第均之，各該若干。

答曰：乙九兩二錢，丙八兩，丁六兩八錢。

法曰：併甲戊共一十六兩，折半得丙銀八兩。又併甲丙共一十八兩四錢，折半得乙銀九兩二錢。又併丙戊共一十三兩六錢，折半得丁銀六兩八錢。合問。假如前三人四六分物者，可將一等與二等所得數併作一處，卻分為十分。此驗其一等原得數是六分。其二等原得數是四分。再將二等與三等仍前考之，其二等原得數卻是六分，三等原得數卻是四分也。其二八、三七俱照此考驗，無差。

因指明等書，不依古法，卻以十分之六誤為四六。以十分之七為三七，以十分之八為二八，俱差矣。因差而考之。

今有絹四百七十丈零一尺八寸四分，令三等人戶作十分之六出之。上等二十五戶，中等三十戶，下等四十八戶。問：每戶各該若干。

答曰：上等每戶七丈八尺共一百九十五丈，中等每戶四丈六尺八寸共一百四十丈零四尺，下等每戶二丈八尺零八分共一百三十四丈七尺八寸四分。

法曰：置總絹為實。另置上等戶數，以一百因之得二千五百衰。中等戶數以六十因之得一千八百衰。下等戶數以三十六乘之，得一千七百二十八衰。併三位共六千零二十八衰。為法除實得七丈八尺，是上等一戶所出數。以六因是中等一戶所出數。再以六因是下等一戶所出數。各以戶數乘之。合問。

今有粟一百六十八石四斗八升八合，令四等人戶作十分之七出之。問：每戶逐等各若干。

答曰：第一等二十二戶，每戶二石，共四十四石。第二等三十六戶，每戶一石四斗，共五十石零四斗。第三等四十二戶，每戶九斗八升，共四十一石一斗六升。第四等四十八戶，每戶六斗八升六合，共三十二石九斗二升八合。

法曰：置總粟為實。另置一等戶，以一千因得二萬二千。第二等戶以七百因之，得二萬五千二百。第三等戶以四百九十乘之，得二萬零五百八十。第四等戶以三百四十三乘之，得一萬六千四百六十四。併四位共八萬四千二百四十四衰。為法除實得二石，是第一等一戶所出數。以七因是二等一戶數。又七因是三等一戶數。又七因是四等一戶數。各以戶數乘之合問。十分之七即以七因，以生各等。詳後解法。今有官米二百二十五石三斗六升，令五等人戶作十分之八出之。問：每戶逐等各若干。

答曰：第一等四戶，每戶二石五斗共一十石。第二等八戶，每戶二石共一十六石。第三等十五戶，每戶一石六斗共二十四石。第四等四十一戶，每戶一石二斗八升共五十二石四斗八升。第五等一百二十戶，每戶一石零二升四合共一百二十二石八斗八升。

解法曰：一等定率一萬，以八因之得八千，為二等率。又八因得六千四百，為三等率。又八因得五千一百二十為四等率。又八因得四千零九十六為五等率。

前問十分之七倣此，即以七因定率。

法曰：置總米為實，另置第一等四戶，以一萬因之得四萬。第二等八戶，以八千因之，得六萬四千。第三等十五戶，以六千四百乘之，得九萬六千。第四等四十一戶，以五千一百二十乘之，得二十萬零九千九百二十。第五等一百二十戶，以四千零九十六乘之，得四十九萬一千五百二十。併五位共九十萬零一千四百四十衰。為法除實得二勺五抄，為一衰。數就以此乘一等衰一萬每戶，該米二石五斗。以八因得二石是第二等一戶所出數。又八因得一石六斗，是三等一戶數。又八因得一石二斗八升是四等一戶數。又以八因得一石零二升四合，是五等一戶數。各以戶數乘之。合問。

匿價差分歌

匿價分身法更奇，多乘高物以為實。得價減總餘又列，共物除餘低價知。低價添多為高價，各乘各物不差池。學者能知此般算，三四物價也相宜。

今有銀一萬七千六百九十兩，買馬騾一千匹。議要馬七百匹，騾三百匹，其馬價多騾價七兩七錢。問：各價若干。

答曰：馬每匹價二十兩，騾每匹價一十二兩三錢。法曰：置馬七百匹，以多七兩七錢乘之得五千三百九十兩。以減總銀餘一萬二千三百兩。以馬騾一千為法除之得騾一十二兩三錢，加多七兩七錢為馬價。合問。

今有銀二千九百二十八兩，共買綾一百五十匹，羅三百匹，絹四百五十匹。只云綾匹價比羅匹價多四錢七分，羅匹價比絹匹價多一兩三錢五分。問：三物匹價各若干。

答曰：綾價每匹四兩三錢二分，羅價每匹三兩八錢五分，絹價每匹二兩五錢。

法曰：列羅三百匹，以多絹價一兩三錢五分乘得四百零五兩。又列綾一百五十匹，以二項多價共一兩八錢二分乘得二百七十三兩。併之得六百七十八兩。減總銀餘二千二百五十兩為實。併綾羅絹共九百匹。為法除之得二兩五錢，為每匹絹價。加多一兩三錢五分，得羅匹價三兩八錢五分。又加多四錢七分，得綾匹價四兩三錢二分。合問。

今有綾七尺，羅九尺，共價適等。只云羅每尺價比綾每尺價少錢三十六文。問：各錢價若干。

答曰：綾每尺一百六十二文，羅每尺一百二十六文。

法曰：置羅九尺，以綾價三十六文乘之，得三百二十四文為實。另以綾七尺羅九尺相減餘二尺。為法除實得綾尺價一百六十二文。另置綾七尺，以三十六文乘之，得二百五十二文為實。仍將前法二尺為法除之，得羅尺價一百二十六文。合問。

今有金九塊，銀十一塊，秤之適等。交換二塊，則餘金比換銀多一十三兩。問：金銀各重若干。

答曰：金一塊重三十五兩七錢五分，銀一塊重二十九兩二錢五分，金九塊銀十一塊各共重三百二十一兩七錢五分。

法曰：列金重一十三兩折半，得六兩五錢。乘金九塊，得五十八兩五錢為實。卻以金九銀十一相減餘二。為法除實得銀一塊重二十九兩二錢五分數。另置銀十一塊，以六兩五錢乘之得七十一兩五錢為實。仍以前二為法除之，得金一塊重三十五兩七錢五分。合問。

貴賤差分歌

差分貴賤法尤精，高價先乘共物情。卻用都錢減今數，餘留為實甚分明。別將二價也相減，用此餘錢為法行。除了先為低物價，自餘高價物方成。

今有米麥五百石，共價銀四百零五兩七錢。只云米每石價八錢六分，麥每石價七錢二分五釐。問：米麥各若干。答曰：米三百二十石，價銀二百七十五兩二錢。麥一百八十石，價銀一百三十兩零五錢。

法曰：置米麥五百石，以米價八錢六分乘之得四百三十兩。減去共價餘二十四兩三錢為實。以米價內減麥價餘一錢三分五釐。為法除之得麥一百八十石。卻以米麥五百石內減麥數，餘三百二十石為米數。各以原價乘之。合問。

今有銀五十五兩五錢，共買銅、錫、鐵八萬三千零五十兩。只云銀價相倣，每銀一錢買銅一百三十兩。每銀一錢買錫一百五十兩。每銀一錢買鐵一百七十兩。問：三色各若干〈此為三色差分〉。

答曰：銅二萬四千七百兩，價銀一十九兩。錫二萬七千七百五十兩，價銀一十八兩五錢。鐵三萬零六百兩，價銀一十八兩。

法曰：置總銀以三歸之，得一十八兩五錢，約錫為中。以每銀一錢買一百五十兩，乘得錫二萬七千七百五十兩。於總物內減訖，餘五萬五千三百兩。另置總銀內減去一十八兩五錢，餘三十七兩。卻以銅一百三十兩乘之，得四萬八千一百。減去五萬五千三百餘七千二百為實。另以銅鐵數相減，餘四十。為法除實得鐵價一十八兩。又於三十七兩減去一十八兩，餘一十九兩為銅價。各以每銀一錢買數乘之，合問。今有綾、羅、紗、絹一百六十匹，共價九十三兩。綾每匹價九錢，羅每匹價七錢，紗每匹價五錢，絹每匹價三錢。問：四色各若干。

答曰：綾三十五匹該銀三十一兩五錢，羅四十匹該銀二十八兩，紗四十匹該銀二十兩，絹四十五匹該銀一十三兩五錢。

法曰：此四色差分。先置一百六十匹，以四除之得四十匹，就定中物。羅紗二色及價，卻於一百六十匹內減羅紗共八十匹，餘八十匹。又於共價九十三兩內減去羅價二十八兩、紗價二十兩，餘四十五兩。以貴賤差分算之，置餘八十匹。以綾價九錢乘之得七十二兩。減去四十五兩，餘二十七兩為實。以綾價九錢減絹價三錢餘六錢。為法除之得四十五匹，為絹數。卻於八十匹內減絹四十五匹，餘三十五匹為綾。各以原價乘之，合問。

凡三色、四色差分之法，俱先定中等，惟留首尾二色。以貴賤差分法算之，不拘五、六、七、八、九色者倣此。

仙人換影歌〈又日貴賤相和〉

貴賤相和換影仙，賤物互乘貴價錢。貴物互乘賤價訖，相減餘為長法然。先使總錢乘賤物，後用總物乘賤錢。二數相減餘為實，長法除之短法言。貴物貴價各乘短，物價分明皆得全。總內減貴餘為賤，不遇知音不與傳。

今有錢四千九百九十五文，共買桃梨五千個。只云錢一十一文買桃九個，又錢四文買梨七個。問：桃梨各若干。

答曰：桃三千二百八十五個該錢四千零一十五文，

梨一千七百一十五個該錢九百八十文。

法曰：列置〈九箇十一文〉〈七箇四文〉〈五千箇四千九百九十五文〉，先以上十一互乘中七箇，得七十七箇。又以四文乘九箇，得三十六箇。以少減多餘四十一為長法。若求桃數價者，以中下互乘。置總錢以七箇乘得三萬四千九百六十五箇。另置總果以四文乘之，得二萬以減三萬四千九百六十五箇餘一萬四千九百六十五箇為實。以長法四十一除之，得三百六十五箇為短法。列二位，一位以九箇乘得桃三千二百八十五箇，一位以十一文乘得桃價四千零一十五文。於總內減桃數，餘者即梨數價也。若求梨數價者，卻置總錢以九箇乘之。又置總果以十一文乘之。二數相減餘一萬零零四十五為實。仍以長法四十一除之，得二百四十五為短法。列二位，一位以七箇乘得梨數。一位以四文乘得梨價。合問〈求桃者以梨價求之，求梨者以桃價求之〉。

今有牛羊一百隻，共價一百六十八兩。只云牛三隻價銀一十二兩，羊四隻價銀一兩五錢。問：牛羊併價各若干。

答曰：牛三十六隻價銀一百四十四兩，羊六十四隻價銀二十四兩。

法曰：列置〈牛三十二兩〉〈羊四一兩五錢〉〈共一百隻共一百六十八兩〉，先以上牛貴價一十二兩互乘賤物羊四隻得四十八兩。又以貴物牛三互乘賤物羊價一兩五錢得四兩五錢。以減四十八兩，餘四十三兩五錢為長法。次以中羊四互乘總價一百六十八兩，得六百七十二。又置總物一百隻，以賤價一兩五錢乘之，得一百五十。以減六百七十二餘五百二十二為實。以長法四十三兩五錢除之，得一兩二錢為短法。列二位，一位以貴物牛三乘之得牛三十六隻。一位以牛貴價一十二兩乘之得一百四十四兩。以減總銀餘得羊價。合問。今有大小魚一百斤，共價八錢七分五釐。只云大魚二斤價四分，小魚七斤價五分。問：大小魚及價各若干。

答曰：大魚一十二斤半價銀二錢五分，小魚八十七斤半價銀六錢二分五釐。

法曰：列〈大魚二斤價銀四分〉〈小魚七斤價銀五分〉〈總魚一百斤總價八錢七分五釐〉先以上大魚價四分互乘中小魚七斤，得二錢八分。又以大魚二斤互乘小魚價五分，得一錢。以少減多餘一錢八分為長法。次以中小魚七斤互乘下總價，得六兩一錢二分五釐。又以小魚價五分互乘總魚一百斤，得五兩。以少減多餘一兩一錢二分五釐為實。以長法除之，得六分二釐五毫為短法。列二位，一位以二斤乘之，得大魚一十二斤半。一位以四分乘之，得大魚價二錢五分。於總魚一百斤減去大魚，餘得小魚。合問。

若求小魚者，置總價以大魚二斤乘之，得一兩七錢五分。又置總魚一百斤，以貴價四分乘之，得四兩。以少減多餘二兩二錢五分。仍用前長法一錢八分除之，得一錢二分五釐為短法。列二位，一位以七斤乘之，得小魚八十七斤半。一位以五分乘之，得小魚價六錢二分五釐。合問。

今有圓木大小二根。內大者，一根頭徑一尺二寸，梢徑八寸長二丈五尺。小者一根，頭徑一尺，梢徑七寸，長二丈。共價銀四十九兩零八分。問：大小木各價若干。

答曰：大木三十一兩二錢，小木一十七兩八錢八分。

法曰：先置大木頭徑一尺二寸自乘，得一百四十四寸。又將梢徑八寸自乘，得六十四寸。併之得二百零八寸。以長二丈五尺乘之，得積五萬二千寸。又置小木頭徑一尺自乘，得一百寸。又將梢徑七寸自乘，得四十九寸。併之得一百四十九寸。以長二丈乘之，得積二萬九千八百寸。併大小積共八萬一千八百寸。為法以除原價四十九兩零八分，每寸派得六毫。就以此為法各乘大小積。合問。

今有石，石中有玉。外方三寸，共重一十二斤十五兩。只云玉方一寸，重一十二兩。石方一寸，重三兩。問：玉、石各重若干。

答曰：玉一十四寸重一十斤零八兩，石一十三寸重二斤七兩。

法曰：置方三寸自乘得九寸。再乘得二十七寸。以玉率重一十二兩乘之，得三百二十四兩。減共重一十二斤十五兩，即二百零七兩，餘一百一十七兩為賤實。以貴賤率玉十二兩、石三兩相減，餘九兩。為法除實得石一十三寸。減共積二十七寸，餘得玉一十四寸。以玉率一十二兩乘之，得一百六十八兩。另以石一十三寸，以石率三兩乘之，得三十九兩。各以斤法通之得斤數。合問。

今有客三次出外為商，俱得合利。每次歸還銀三百兩，三次本利恰盡。問：原本若干。

答曰：二百六十二兩五錢。

法曰：置銀三百兩折半得一百五十。又加三百得四百五十。又折半得二百二十五兩。又加三百得五百二十五兩。又折半得原本二百六十二兩五錢。合問。

物不知總〈又云韓信點兵也〉

孫子歌曰：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝。七子團圓正半月，除百零五便得知。

今有物不知數，只云三數剩二箇，五數剩三箇，七數剩二箇。問：共若干。

答曰：共二十三箇。

法曰：列〈三　五　七〉維乘，以三乘五得一十五。又以七乘之得一百零五，為滿法數列位。另以三乘五得一十五，為七數剩一之衰。又以三乘七得二十一，為五數剩一之衰。又以五乘七得三十五，倍作七十。以三除之餘一，故用七十為三數剩一之衰。其三數剩二者，剩一下七十，剩二下一百四十也。五數剩三者，剩一下二十一，剩二下四十二，剩三下六十三也。七數剩二者，剩一下十五，剩二下三十也。併之得二百三十三。內減去滿數一百零五，又減一百零五，餘二十三箇。合問。

今有客至，不知其數。只云三人共飯，四人共羹，通共用碗二百零一隻。問：客併羹飯碗各若干。

答曰：客五百一十六人，羹一百二十九碗，飯一百七十二碗。

法曰：置碗三百零一隻，以三人因之得九百零三為實。併三人、四人共七人。為法除之得羹碗一百二十九隻。又以四因之得客五百一十六人。以三除之得飯碗。合問。

今有客不知數，只云二人共飯，三人共羹，四人共肉，通共用碗六十五隻。問：客若干。

答曰：客六十人。法曰：置〈二人　四人　三人〉維乘，以二乘三得六。以三乘四得一十二。又四乘二得八。併之得二十六為法。另以二乘三得六。卻以四乘之得二十四。以乘碗六十五得一千五百六十為實。以法二十六除之得客。合問〈維乘者，四處順倒相乘也〉。

右二條先用合分，後用互換也。