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卷118

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百十八卷目錄

　算法部彙考十

　　算法統宗六〈少廣章第四上〉

曆法典第一百十八卷

算法部彙考十

《算法統宗六》少廣章第四上

此章如田截縱之多益廣之少。故曰少廣如方田，還原之意以方法除積冪，而求方，以圓法除方實而求圓，所註開平方、平圓，頭緒繁穴，初學者難。今註釋簡明列於後。

開平方法認商歌

一百一十定無疑，一千三十有零餘。九千九九不離十，一萬纔為一百推。得商方除倍作廉，次商名隅併廉除，餘數續商隅又倍，只依此法取空虛。

解曰：平方者，乃方面自乘之積也。開者以求方面之數也，一百一十定無疑者，謂如積一百步可約方面十步，已無疑矣，一千三十有零，餘者謂積一千步可約方。面三十步有零也。九千九九不離十者，謂如積九千步約方面九十步，自乘九九八十一也，一萬纔為一百步，自乘得一萬步也。此言約初商之訣，再具商積於後。

開平方初商定首位訣，是自乘之數也。

商一步積一步　　　商一十步積一百步

商二步積四步　　　商二十步積四百步

商三步積九步　　　商三十步積九百步

商四步積一十六步　商四十步積一千六百步商五步積二十五步　商五十步積二千五百步商六步積三十六步　商六十步積三千六百步商七步積四十九步　商七十步積四千九百步商八步積六十四步　商八十步積六千四百步商九步積八十一步　商九十步積八千一百步法曰：置積為實，別置一算名曰下，法於實數之下〈自末位至首常超一位〉，約實一下定一數，千百下定十數，萬下定百數，百萬下定千數，實上商置第一位，得若干下位。亦置上商若干，名曰方，法與上商相呼，除實若干餘實若干，乃以二乘方法〈即倍法也〉。得若干為廉法。續商置第二位於上商之次，得若干下法，亦置續商若干為隅法〈隅法者，乃曲尺樣二廉之角。為隅則小方也〉。於倍方之次共若干皆與續商相呼，除實盡得平方一面數，如不盡仍前再商之或數不足以法命之，何謂之命，若餘實若干不盡，卻以所商得平方數若干倍之，再添一箇共得若干，便商得面方多一數也。因此數不足而為之，命平圓不盡數亦倣此，但立方立圓於此不同。

若要還原，如算方田法，以面方數自乘，即見積也。若還原遇面方下，原有不盡數者，以面方數自乘併入不盡數，便可見積也。

開方求率作法本源圖開方求率作法本源圖

右圖，吳氏九章內，雖有自開平方至五乘方，卻不云如何作用。註釋未見詳明。今依圖式自上一，得二為平方率又併〈三三〉得三，三為立方率，又併〈四六四〉得四六四為三乘方率，向下求出三十餘乘方皆取自然生率之妙，今略具五乘方圖式可為求廉率之梯階也。

又考其平方形如方田，以平方面自乘，得平方積數是一乘方。

其立方形，如骰子樣以平方。面自乘得平方。積再以高，方面乘之，得立方積，數是二乘方。

其三乘方以平方面自乘得平方積數，再以高方面乘得立方積數，又以方面乘得，三乘方積數故曰三乘方，然其形不知如何模樣，只是取數而已，或至十乘方三十餘乘方，皆是先賢取生率之妙，以明開方正律亦不可廢。

開平方〈有實而無法商約而除之也〉

今有平方積，三百二十四步，問每方面若干。

答曰：得每方面一十八步。

方廉隅法之圖方廉隅法之圖

法曰：置積三百二十四步為實，約初商一十步，於實左另置下法一十步，於實右名曰方，法與上商相呼一，一除實一百步餘實二百二十四步，就以方法一十步倍之，得二十名曰廉，法又約，次商八步於左，初商一十之次共得一十八步，亦置八步於實右，廉法二十步之次名曰隅，法共得二十八步，與左位次商八步相呼，二八除實一百六十步，又將左八對右八相呼，八八除實六十四步恰盡。若還原自乘是也。

右法以明方廉隅之名也。

假如今有闊算盤，共子三百六十一箇，問每面子若干。

答曰：每面一十九箇。

法曰：置棋子為實，約初商一十步於實左，另置下法一十步於實右，左右相呼，一一除實。一百箇餘實二百六十一箇，就以下法一十倍之，得二十，次商九箇於左，初商一十之次亦置九箇於右，倍方二十之次共得二十九，皆與左次商九相呼，二九除實，一百八十箇，又左九對右九相呼，除實八十一箇恰盡。今列開平方法，定分左中右式〈凡看字亦照算盤，自左至右〉。

圖缺

今有方田，積三千一百三十六步。問平一面若干。答曰：五十六步。

法曰：置田積為實，約實定初商五十步於左，另置下法五十步於右，左右相呼，五五除實二千五百步餘積六百三十六步，就以下法五十步倍之，得一百步。次商六步於左，初商五十之下亦置六步於右，倍方一百隔位之下共得一百零六步，皆與次商六步相呼。一六除實六百步，又左六對右六相呼，六六除實三十六步恰盡。

今有方田，積二十萬零七千九百三十六步。問平方一面若干。

答曰：四百五十六步。

法曰：置方積為實，約初商四百於左位，亦置四百於右位，為方法與上商相呼，四四除實一十六萬餘實四萬七千九百三十六步，就以方法四百倍作八百為廉法，次商五十於左初，商四百之下亦置五十於右廉法。八百之下為隅，法共八百五十皆與次商五十呼除，先以左五對右八呼五八除實四萬，又左五對右五呼五五除實二千五百餘實五千四百三十六步，卻以下法次商五十倍之。併廉共得九百，又為廉法又商六步於左，初次商四百五十之下，亦置六步於廉法，九百隔位之下共九百零六，皆與左再商六步呼，除先左六對右九呼六九除實五千四百。又左六對右六呼六六除實三十六步恰盡合問。今有方磚一千四百六十一塊，欲為平方。問一面方若干。

答曰：一面方三十八塊又七十七塊之十七。

法曰：置磚積為實，初商三十塊於左，另置下法三十於右，為方法，左右相呼，三三除實九百餘實五百六十一塊。就以方法三十倍，作六十為廉，法次商八於左初商三十之下，亦置八於右，廉法六十之下為隅，法共六十八，皆與上商八相呼，六八除實四百八十，又呼八八除實六十四，餘實一十七不盡。卻將所商三十八倍之，再添一塊共得一方數七十七，命一十七何謂之命。以原總數內除去一十七，另加上七十七便商得面方三十九塊，因此不及，而為之命，餘倣此。

今有方田，積七萬一千八百二十四步。問平方一面若干。

答曰：每一面方二百六十八步。

法曰：置方田積為實，以開平方法除之，初商二百於左，位亦置二百於右，位為方法以左二對右二相呼，二二除實四萬訖，餘實三萬一千八百二十四步；就以方法二百倍，作四百為廉，法次商六十，於左。初商二百之下。亦置六十於廉法四百之下，為隅。法共四百六十，皆與次商六十呼，除先以左六對右四呼四六，除積二萬四千又左六對右六呼六，六除積三千六百餘實四千二百二十四步，卻以右位次商六十倍加六十於四百之下，共五百二十。皆為廉法，又商八於左初次商二百六十之，下亦置八於右廉，法五百二十之下皆與上商八步呼。除先以左八對右五呼除，五八除積四千又呼，二八除一百六十，又呼八八除實六十四步恰盡。

一方四廉兩隅演段圖一方四廉兩隅演段圖

演段解曰：其初商二百自乘得積四萬，是大方積也。次商六十內有闊六十，長二百兩段故倍，初商二百作四百為廉，法與左次商六十乘得二萬四千是兩箇闊六十長，二百之積。其次商六十自乘得三千六百是中方積，又商八步內有闊八步長二百六十兩段，故倍初。次商二百六十為五百二十，卻以八步乘得積四千一百六十是兩箇闊八步長二百六十步小廉積也。其又商八步，自乘得積六十四步，是小方隅積也。凡平圓先用開平方法，後用十二除為圓。

歸除開平方

今有平方積，五萬四千七百五十六步。問平方一面若干。

答曰：二百三十四步。

歸除開平方法曰：置積五萬四千七百五十六步，為實，於盤中見實，約商二百於實左，另置二百於右下。左右相呼，二二除實四萬步，餘實一萬四千七百五十六步，以右下二百步倍之得四百步為法，歸除之呼四一，二十二逢四進一十得商三十步，就置三十步於右四百之下，相呼三三除實，九百步餘實一千八百五十六步，就以右下三十步倍之，得六十步共四百六十步為法，歸除之，呼四一二十二逢八進二十得商四步，亦置四步於右六之下，相呼四六除實二百四十步，又呼四四除實一十六步恰盡。以左上所商得二百三十四步，為平方一面之數也。

今有平方積四百九十步，欲為平方。問：每面若干。答曰：每面二十二步又四十五分步之六。

歸除開平方法曰：置積四百九十為實，於盤中見實四百，商二十步於實左，另置二十步於右下，左右相呼，二二除實，四百步餘實九十步，就以右位二十步倍之得四十步為法，歸除之呼逢八進二步。就以二步於右四十之下相呼，二二除實四步，餘實六步不盡，以直方命之法曰：以所商二十二步倍之，又添一步共得四十五步為分母命之曰四十五分步之六也。

解曰：若以積四百九十步，加入四十五步，減去分子六步，仍得五百二十九步，便商二十三步。所謂不及故為之命也。

歸除平方帶縱歌

平方帶縱法最奇，四因積步不須疑。縱多自乘加因積，又用開方法除之。再以縱多併開積，折半方為長數施，若問闊步知多少，將長減卻縱多基。

今有直田積一千七百五十步，長比闊多一十五步。問：長闊各該若干。

答曰：長五十步。闊三十五步。

法曰：置積一千七百五十步，以四因之，得七千步，另以縱多一十五步自乘得二百二十五步相併，共得七千二百二十五步為實，以開平方法除之，約商八十於左，亦置八十於右，左右相呼。八八除實六千四百步餘實八百二十五步，就以下法八十倍之，得一百六十步為法，歸除之呼，逢五進五於初商八十之次，共得八十五步。下法亦置五於一百六十之下，共一百六十五步，左五對右六相呼，五六除實三百步又左，五對右五呼五五除實二十五步，恰盡。得左商八十五步如長闊相和之，步加入縱多一十五步。共得一百步折半得五十步，於內減去縱多一十五步，餘三十五步即是闊也。

帶縱開平方法歌〈兼商除〉

平方帶縱法為奇，下位先安縱步基。上商得數加縱內，縱方下法併為題。上下相呼除實畢，倍方不倍縱開餘。餘數續商方再倍，何愁此術不能知。

法曰：如有田積若干只，云闊不及長若干。問闊者幾何，則置田積若干為實，以不及若干為縱，列於下法以帶縱開平方法，除之實上初商，得若干下法，亦置初商若干於縱內，共得若干皆與上商相呼，除實若干餘實若干另以下法初商若干倍之〈倍方不倍縱〉。次商若干於左位初商之次下，法亦置次商若干於倍方之。次共若干皆與次商相呼，除實盡，得闊數，加不及數為長。若要還原以所商得闊若干，為實，另以所得商數〈加上縱多共若干，或減不及餘若干〉。若干乘之見積。今有田積一千七百五十步，只云長比闊多一十五步。問：長闊各若干。

答曰：長五十步。闊三十五步。

法曰：置積為實以多一十五步為縱列於下位。以帶縱開平方法除之，初商三十於左位，另於下法亦置三十。加於縱上共得四十五步，與上商相呼左三對右四呼三四除實一千二百，又左三對右五呼三五除實，一百五十另以下法，初商三十倍作六十加縱多十五，共得七十五次商五於左，位另於下法亦置五於倍方之下共八十，皆與次商五相呼，左五對右八呼五八。除實四百步，恰盡得闊三十五步，加多一十五步為長合問。

又法名減積開平方，置田積為實，於中另置不及十五步於右位，為減積。上商三十於左位，另以下法亦置三十於右為方，法以乘減積一十五步，得四百五十步，以減中實餘實一千三百步，卻以初商三十與上商三十，相呼三三減積九百，餘實四百就以方法、三十倍作六十為廉法，次商五步於左三十之次下位亦置五步以乘減積一十五步得七十五步，以減中積仍餘實，三百二十五步，卻以下位廉法六十併。入次商五步共六十五步，皆與上商五步呼五六除實，三百五五除二十五步，得廣三十五步合問。若問縱照前布列。上商五十步以乘不及十五步，得七百五十步併加前積共二千五百步，卻呼五五除實二千五百步，盡得縱合問。

今有圭田，積一百二十六步，闊不及長九步。問：長闊各若干。

答曰：長二十一步，闊一十二步。

法曰：倍田積得二百五十二步，為實以不及九步，為縱方於右上商十步，下法亦置十步於縱，九步上共一十九步，與上商十步除實一百九十步，餘六十二步，另以下法初商一十倍之，作二十次商二步於左下法，亦置二步加於縱方，九上共三十一步，皆與上商二相呼除實盡，得闊一十二步，加不及九步，得長合問。

今有句股，田積四百八十六步，只云句少弦一十八步。問：各若干。

答曰：句闊二十七步，股長三十六步，弦斜四十五步。

法曰：倍積得九百七十二步為實，以弦差一十八步折半得九步為縱，方開平方法除之得句二十七步，加差一十八步為弦，斜四十五步，另以句自乘弦自乘二數相減，餘一千二百九十六步，為實以開平方法除之，得股長三十六步合問。

今有句股田積四百八十六步，只云股少弦九步。問：各若干。

答曰：股三十六步，句二十七步，弦四十五步。

法曰：三因積得一千四百五十八步，為實。以弦差九步折半得四步五分為縱，方開平方法除之，得股長三十六步，加九步為弦四十五步。另以股自乘弦自乘二數相減餘七百二十九步為實。以開平方法除之得句闊二十七步合問。

長闊相和歌〈與減縱開平方法同〉

長闊相和不識情，四因積步莫差爭。和步自乘減去積，餘用開方差步名。卻將和步加差步，折半當為長數成。要知闊步如何見，長步減差闊便明。

今有直田積一千九百二十步，長闊相和九十二步。問：長闊各若干。

答曰：長六十步，闊三十二步。

法曰：置田積以四因之，得七千六百八十步，另以和步九十二步自乘得八千四百六十四步，減去因積餘七百八十四步為實，以開平方法除之得，長闊相差二十八步，加入和步九十二步共一百二十步，折半得長六十步，內減差步二十八步餘得闊三十二步合問。

又法名減縱開平方，置田積一千九百二十步為實，以相和九十二步於右為減縱，上商三十以減九十二步餘縱六十二步，與上商三十相呼，三六除實一千八百又呼，二三除六十餘實六十步，又以上商三十再減餘縱六十二，仍餘縱三十二，次商二又減縱二餘縱三十與，次商二相呼，二三除實六十合問。若先問長者，仍前布列先商長，六十減縱亦得。今有句股田積九百六十步，長闊相和九十二步。問：長闊各若干。

答曰：長六十步，闊三十二步。法曰：置田積以八因之〈或倍田積以四因同〉，得七千六百八十步，另以和步自乘得八千四百六十四步相減，餘七百八十四步，以平方開之，得長闊相差二十八步加入。和步共一百二十步，折半得長六十步，內減差步二十八餘得闊三十二。步合問。若以減縱開平方法算置積倍之得一千九百二十步，為實。以相和九十二步為減縱，如前商之即得。

長闊相差歌〈與帶縱開平方法同〉

長闊相差要識情，積數將來以四乘。差步自乘加入積，開方得數以和名，和步加差須折半，此為長數更無零以長減差便為闊，學者留心仔細尋。

今有直田積一千九百二十步，長闊相差二十八步。問：長闊各若干。

答曰：長六十步，闊三十二步。

法曰：置田積以四因之，得七千六百八十步，另以相差二十八步自乘得七百八十四步，加入積數共八千四百六十四步為實，以開平方法除之，得長闊相和九十二步，加入差步二十八共一百二十步，折半得長六十步，內減相差二十八步，餘得闊三十二步合問。

又法名帶縱開平方，置田積一千九百二十步為實，以相差二十八步為帶縱，列於右上，商三十於左，右位亦置三十加於縱，上共得五十八步，皆與上商三十相呼，三五除實一千五百又呼，三八除實二百四十餘實一百八十，另以下法初商三十倍之，得六十加差二十八共得八十八步。次商二於左三十之次下法亦置一於倍方之次，共九十步，皆與次商二相呼，二九除實一百八十，恰盡。得闊三十二步，加差二十八步得長六十步合問。如句股出積長闊相差。問答倍積用法同前。

平圓法歌

平圓之法若求周，十二乘積數可求。求徑四因三而一，開平方法以除收。

法曰：問外周者置積若干：以圓法十二乘得若干為實，以開平方法除之得周，若要還原如圓田以外周自，乘又以十二除之，見積若周下，原有不盡數者以周自乘併入，不盡，以十二除見積。問徑者置積若干，以四因三歸，得若干為實以開平方法除之，得徑算圓居方四分之三。故用四因三歸之，若要還原如圓，田以徑自乘併入不盡，數以三因四歸之見積。若問周問徑遇有餘，積不盡之數，依開平方法下命之。

今有圓田積二千三百五十二步。問：平圓周若干。答曰：周一百六十八步。

法曰：置圓田積步以十二乘之得二萬八千二百二十四步為實，以開平方法除之，初商一百於左，位於下法亦置一百為方，法呼一，一除積一萬餘積一萬八千二百二十四，就以方法一百倍之，得二百為廉，法續次商六十於左，初商一百之下右。位亦置六十於廉，法二百之下為隅，法共二百六十，皆與上商六十呼除先呼二六，除積一萬二千又呼，六六除積三千六百餘積二千六百二十四，另以右位次商六十倍作一百二十併入廉，法二百共三百二十，又為廉法再商八步，於左位初次商一百六十之。下於右位亦置八步，又為隅法於廉，法之下共三百二十八，皆與上商八呼，除先呼三八除積二千四百，又呼二八除積一百六十又，呼八八除積六百四十恰盡。今有圓田積二千三百五十二步。問：平圓徑若干。答曰：徑五十六步。

法曰：置積步先以四因，後用三歸得三千一百三十六步為實，以開平方法除之，初商五十於左位，亦置五十於右位，為方法左右相呼，五五除積二千五百餘積六百三十六步，卻以右位五十倍作一百為廉，法次商六於左，初商五十之次，亦置六於右廉法一百隔一位，下為隅法。共一百零六皆與上商六相呼，一六除積六百，又左六對右六呼，六六除積三十六步恰盡。

今有圓積五萬四千箇，欲為平圓。問：徑若干。

答曰：徑二百六十八箇又五百三十七箇之一百七十六。

法曰：置積數先以四因，後用三歸之得七萬二千為實，以開平方法除之，初商二百於左位於下法右位亦置二百為方，法呼二二除積四萬，餘積三萬二千。就以右位二百倍之，得四百為廉法，次商六十於左。亦置六十於右，廉法四百之次為隅法相呼四六除積二萬四千又呼六六除積三千六百餘積四千四百，卻以右位六十倍之，併入廉法共五百二十皆為廉法。又商八於左二百六十之次右位，亦置八於廉法之次，共五百二十八，皆與上商八呼，除先呼五八除積四千，又呼二八除積一百六十，又呼八八除積六十四，餘積一百七十六不盡。卻將所商數倍之再加一箇，得五百三十七，命之一百七十六，若於總內減去一百七十六加上五百三十七，便商得徑二百六十九也。

開平方通分法

今有積一千五百九十步六十四分步之一。問：平方一面若干。

答曰：三十九步又八分步之七〈即八分七釐五毫〉。法曰：置積一千五百九十步，以分母六十四分乘之，加入分子一共得一十萬零一千七百六十一分，以開平方法除之，得方面三百一十九分為實，另以分母六十四以開平方法除之，得八分為法，除之得方面三十九步不盡七，命之曰八分步之七。

今有方田一段，面方四步一十八分步之一十七。問：斜弦步、方積步各若干。

答曰：斜弦七步，方積二十四步五分。

法曰：置四步以分母一十八乘之，加入分子一十七共得八十九步，自乘得七千九百二十一步，另以分母分子相減，餘一，以乘分子十七，如故併前共得七千九百三十八步為實另以分母十八自乘得三百二十四為法，除之得二十四步五分為方積，倍之得四十九步以開平方法除之，得斜弦七步。但方面下有零分數，求積者倣此。

右商法開方歸除開方二者聽從人便。

方圓三稜總歌

方圓三稜求周數，各減總一分明布。十六乘方帶縱八，十二乘圓加縱六。十八三稜添縱九，俱用帶縱開方術。倍方不倍縱開除，何愁外周不知數。

還原束法歌

四方之束添八乘，十六歸除數頗明。圓束外周加六湊，乘來十二法除清。三角加九乘周數，十八歸除不差爭。各要臨時添一數〈即中心也〉，束積推詳數可成。今有方箭八十一根。問：外周若干。

方箭圖

答曰：外周三十二根。

法曰：〈此是八箇周中包一〉置方箭八十一根減去中心一根餘八十根。以十六乘之，得一千二百八十根為實，

於中位以八為縱列，於右位用帶縱開平方法除之。初商三十於左位下法，亦置三十於右縱八之。上共三十八左右對呼。三三除實九百，又左三對右八呼。三八除二百四十，就以下法初商三十倍作六十〈不倍縱〉，次商二於左，初商三十之次下。法亦置二於倍方之次，共得七十，左二對右七呼二七，除實一百四十恰盡。得周三十二根。合問。

今有方箭一束，外周三十二根。問：總積若干。

答曰：八十一根。

法曰：置外周三十二根於左，亦置三十二根於右，加內周八共四十相乘得一千二百八十為實，以方束法十六除之，得八十。加上中心一，共得八十一根。合問。

凡方物乃是八箇，周中包一自內之外每層加八。自外之內每層減八，故以八歸，外周即知層數，如外周三十二是四八即是四層。餘倣此。

今有圓箭一百二十七根。問：外周若干。

答曰：外周三十六根。

圓箭圖

法曰：〈此是六箇周中包一〉置圓箭一百二十七根減去中心一，餘一百二十六根。以十二乘之，得一千五百一十二根為實，於中以縱六列於右。

用帶縱開平方法除之，初商三十，於左下法亦置三十於右縱六之。上共三十六，左右相呼。三三除實九百，又呼三六除實一百八十，就以右位，初商三十倍作六十〈不倍縱〉。次商六於初商三十之，次下法亦置六於倍方之次，共七十二，左六對右，七呼。六七除實四十二，又左六對右二呼，二六除實一十二恰盡。合問。今有圓箭一束，外周三十六根。問：總積若干。

答曰：一百二十七根。

法曰：置外周三十六於左，亦置三十六於右，加內周六，共四十二。相乘得一千五百一十二為實，以圓束法十二除之，得一百二十六。加中心一。合問。

凡圓物乃是六箇周中，包一。自內之外每層加六。自外之內每層減六。故以六歸，外周即知層數。如外周三十六是六六即是六層。餘倣此。

今有三稜物九十一箇。問：外周若干。

三稜圖

答曰：外周三十六箇。

法曰：〈此是九箇周中包一〉置三稜物九十一箇減去中心一箇餘九十箇，以十八乘，得一千六百二十箇，為實。

以九為縱，列於右。用帶縱開平方法除之，初商三十於左下。法亦置三十於右縱九之，上共三十九，左右相呼，三三除實九百，又呼三九除實二百七十除實四百五十，另以下法初商三十倍作六十〈不倍縱〉。共六十九次商。六箇於左初商三十之次下，法亦置六於倍，方之次共七十五，以左六對右七，呼六七除實四百二十，又左六對右五呼五六，除實三十恰盡。合問。今有三稜物，外周三十六箇。問：總積若干。

答曰：九十一箇。

法曰：置外周三十六於左，亦置三十六於右，加內周九共四十五，相乘得一千六百二十為實，以束法十八除之，得九十，加中心一。合問。

凡三稜物乃是九箇周中包一，自內之外每層加九，自外之內每層減九，以九歸外周即知層數，如外周三十六是四九即四層。餘倣此。

假如方箭積六十四根。問：外周若干。

答曰：外周二十八根。

法曰：此是雙層者，只以方箭積為實，以開平方法除之得一面方八根，卻減去一根得七根，以四因得外周二十八根。若前方箭積八十一根，乃是單層者，若只以方箭為實，以開平方法除之得一面方九根。卻減去一根得八根，以四因亦得外周三十二根。

面方八數為雙乃八八六十四也，九數為單乃九九八十一也。此法捷徑無差，雙層單層皆可用。

演段根源開方圖解

夫算之術入則諸問，出則直田。蓋直田能致諸用而有此說，故立演段，蓋欲演算之片段也。知片段則能窮根源，既知根源而心無朦昧矣。今摘數問詳註圖解以明後學，其餘自可引而伸之，不待盡述。

直田長闊相乘，與萬象同意。

今有直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二

帶縱平方圖

步。問：長闊各若干。答曰：長三十六步，闊二十四步。

法曰：置積為實以不及十二，列於右為帶縱開平方法除之，初商二十於左下法亦置二十加於縱上，共三十二皆與上商二十相呼。除實六百四十餘實二

百二十四，卻以下法初商二十倍之，共五十二次商。四於初商二十之次下法亦置四於倍方之，次共五十六。皆與左次商四相呼除實恰盡，得闊二十四步加差一十二步，得長三十六步。合問。

今有直田積八百六十四步，只云長闊相差一十二步。問：長闊相和共若干。

答曰：長闊相和六十步。

法曰：置田積以四因得三千四百五十六步，另以差一十二步自乘得一百四十四步，併四因積共三千

長闊相差求和圖

六百步，乃是相和之積，用開平方法除之，得長闊相和六十步合問。若問長數加差折半即得。

演段解曰：四因積者，乃是四長四闊積居邊共三千四百五十六步，卻以相差一十二步自乘得一百四十四步，補中得相和積二

千六百步，以開平方法除之，得長闊相和六十步也。今有直田積八百六十四步，只云長闊相和六十步。問：長闊相差若干。

答曰：長闊相差一十二步。

法曰：置田積以四因得三千四百五十六步，另以相和六十步，自乘得三千六百步，卻減去四，因積三千四百五十六步餘一百四十四步，乃相差自乘，積用開平方法除之，得長闊相差一十二步。合問。

長闊相和求差圖同前。

解曰：其相和六十步，自乘積三千六百步，內有四因積四箇共三千四百五十六步，居邊有一箇相差，自乘積一百四十四步，用開平方法除之，得長闊相差十二步。

今有直田積八百六十四步，只云長闊相和六十步。問：長闊各若干。

答曰：長三十六步，闊二十四步。

法曰：置積為實，以相和六十步於右，為減縱開平方法除之，上商二十於左，就將右縱減去上商二十餘

減縱開方圖

四十，與上商二十相呼，除實八餘實六十四步，又以上商二十再減餘縱二十，仍餘縱二十次商，四步亦減餘縱二十，仍淨餘縱十六與次商四相呼，除實盡得闊二十四步，以減相和六十步，餘得長三十六步。合問。

減縱飜

解曰：若不益積便用減縱，或有不可益積者須用減縱之術，先問闊者用此。若先問長則用減縱飜積法。法曰：置積為實，以相和為減縱開平方法除之，上商三十以減縱六十餘縱三十，與上商三十相呼，合除

積九百而積實不及，乃命飜法除原積八百六十四餘負積三十六為實，再置上商三十以減餘縱三十訖。次商六步下法亦置六為隅，法與上商六呼，除負積恰盡。得長三十六步。合問。

今有方田一段，圓田一段，共積二百五十二步。只云方面圓徑適等。問：方圓徑各若干。

答曰：方面圓徑各一十二步。

法曰：置共積為實，以四因得一千零八步，併方四圓三共七為法除之，得一百四十四步。以開平方法除

方圓求徑圖

之得方面一十二步，圓徑亦同。

術曰：四因方圓共積得四箇方積，四箇圓積，其四箇圓積，恰折三箇方積。故用七除得一箇方積，以開平方法除之得方圓徑。舊法四因共積得一千零八步為實，以開平方法除

之併方四圓三共七為隅，於下法初商一十，以隅七乘得七十為方，法與上商一十相呼，除實七百餘實三百零八步，另倍方法得一百四十為廉，法次商二步以隅。七乘得十四，併入廉法一百四十共一百五十四。與次商二步相呼除實恰盡。合問。

減積帶縱開平方

今有大小方田二段，相併共積四百步，只云大方田面比。小方田面多四步。問：大小方面，併積各若干。答曰：大方面一十六步，計積二百五十六步。小方面一十二步計積一百四十四步。

法曰：置共積於中，另置大方田面，多小方田面四步自乘得一十六步，以減共積四百步，餘積三百八十四步，折半得一百九十二步為實。又另置大方面多小方面四步為縱方，以帶縱開平方法除之，初商一十於左下法亦置一十於縱方之上，共一十四步，皆與上商一十相呼，除實一百四十步餘實五十二步。卻以下法初商一十倍作二十併入縱四步共二十四步。次商二步於左初商一十之次下，法亦置二步

方積帶縱開平方圖

於縱方之次，共二十六步。皆與次商二步相呼，除實恰盡，得小方面一十二步。加四步得大方面一十六。步各以方面自乘得各積。合問。

解曰：共積是一段大方積，一段小方積。其大方積內有一段小方積，一

段大多小方自乘積如隅，又大多小的兩段長闊積如廉，每廉長即小方面數，闊即大多小數。先用大多小方步數自乘得數以減共積者，是減云。大方田一段小隅積餘積折半是一段小方積。一段長闊廉積〈就如一段直田〉。用帶縱開平方法除之，求出一段小方面數，加多步為大方數也。

今有大中小方田三段相併，共積八百步。只云大方田面比中方田面多四步，中方田面比小方田面多四步。問：大半小方面併積各若干。

大小三方總一圖

答曰：大方面二十步，計積四百步。中方面一十六步，計積二百五十六步。小方面一十二步，計積一百四十四步。

法曰：置共積於上，另置大方面多小方面八步，自乘得六十四步。又以中方面多小方面四步自乘得一

十六步。併二數共八十步，以減共積八百步，餘積七百二十步。以三歸之得二百四十步，為實。初商一十自乘得一百步，以減實積餘實一百四十步，次商二併初商共十二，自乘得一百四十四，內除初商自乘一百餘四十四，以減餘實又餘實九十六，卻以三因得二百八十八，另併大方多中四小八共十二，倍之得二十四與初商十步，相呼一二，除二一四除四又與次商二相呼，二二除四，二四除八，得小方面十二。步加多四步得中方，面十六步又加多四步。得大方面二十步，各以方面自乘，得各積。合問。

若四段則用四歸，五段則用五歸。

假如大小圓田二段共積，只云大圓徑多小圓徑者，法置共積以四因，三歸得數仍如前方田算，或只云大圓周多小圓周者，法置共積以十二乘，得數仍如大小方田算。

假如大小立方二所共積，只云大立方面多小立方面者。法置共積另置大立方面多小立方面數，自乘再乘以減共積餘積折半為實，初商自乘再乘得數。除實訖，次商若干併入初商，共若干。自乘再乘得數內減去初商，自乘再乘數餘若干除實訖，仍餘實若干倍之，卻以大多小數併入初商。次商數共若干以初次商若干乘得數，又以大多小數乘得若干，卻以三因之。得若干除實恰盡，得小立方面數加多數得大立方面數，各以方面自乘再乘得各積立方。三所共積用三歸，若四所共積用四歸。餘倣此。

開立方法歌〈自乘為平方再乘為立方〉

自乘再乘除實積，三因初商方另列。次商遍乘名為廉，方法乘廉除次積。次商自再乘名隅，依數除積方了畢。初次三因又為方，三商遍乘倣此的。

認商歌

一千商十定無疑，三萬纔為三十餘。九十九萬不離十，百萬方為一百推。

解曰：謂如積一千步約商一十步，又如積三萬就約商三十步，又如積九十九萬步就約商九十步。如積一百萬步可約商一百步，乃自乘再乘之積而求原數也。此謂有實無法，故曰約之。

商一步　　積一步起至七步止，皆商一步。

商二步　　積八步起至二十六步止。

商三步　　積二十七步起至六十三步止。

商四步　　積六十四步起至一百二十四步止。商五步　　積一百二十五步起至二百一十五步止。商六步　　積二百一十六步起至三百四十二步止。商七步　　積三百四十三步起至五百一十一步止。商八步　　積五百一十二步起至七百二十八步止。商九步　　積七百二十九步起至九百九十九步止。商一十步　積一千步起至七千步止。

商二十步　積八千步起至二萬六千步止。

商三十步　積二萬七千步起至六萬步止。

商四十步　積六萬四千步起至一十二萬步止。商五十步　積一十二萬五千步起至二十一萬止。商六十步　積二十一萬六千步起至三十四萬止。商七十步　積三十四萬三千步起至五十一萬止。商八十步　積五十一萬二千步起至七十二萬止。商九十步　積七十二萬九千步起至九十九萬止。商一百步　積一百萬步起至七百萬步止。

已上皆言初商首位之積，以所商自乘再乘之數。次商用法不同。

法曰：置積為實，別置一算，名曰下法。於實數之下〈自末位至首常超二位〉。約實自千至九十餘萬俱定十，及百萬後俱定百。實上商置第一位得若干下法，亦置初商若干自乘再乘得若干除實訖，餘實若干卻以三乘下法初。商若干，得若干為方。法列位次商置第一位於初商之次，得若干下法。亦置次商若干於初商之次，共得若干就以次商若干遍乘，得若干為廉，法再以方，法乘廉，得若干除實訖，餘實若干卻以次商若干自乘再乘得若干為隅。法除實盡得立方面數。若有不盡數仍前再商之，或有不盡數以法命之，何謂之命。若餘實若干不盡，卻以所商得立方數若干自乘。得若干又以三因之，得若干，另以所商得立方數若干，用三因之。得若干再添一箇，共得若干便商得多一立方數也。因此不及而為之命也〈立圓法遇有不盡者，亦倣此〉。若要還原，以立方面自乘再乘，見積。若還原遇立方原有不盡數者，以立方面自乘再乘，併入不盡數，見積。

今有物三千三百七十五尺。問：立方面若干。

答曰：立方面一十五尺。

法曰：置物三千三百七十五尺為實，約初商得一十於左下，法亦置一十於右，自乘得一百，再乘得一千。除實訖餘實二千三百七十五尺，卻以三乘下法一十得三十為方，法列位次商五尺於左，初商之次下法亦置次商五於初商一十之次，共一十五就以五遍乘之，得七十五為廉。法再以方，法三十乘廉法七十五得二千二百五十，除實訖餘實一百二十五，恰以次商五自乘再乘得一百二十五為隅，法除實恰盡。

圖缺缺圖缺

今有積一百九十五萬三千一百二十五尺。問：立方面若干。

答曰：立方面一百二十五尺。

法曰：置積尺數為實，約初商一百自乘再乘得一百萬，除實訖餘實九十五萬三千一百二十五尺，恰以三乘下法一百得三百為方，法列位次商二十於初商一百之次下位，亦置二十於初商一百之次，共一百二十。就以二十乘之，得二千四百為廉，法再以方法三百乘廉法得七十二萬。除實訖餘實二十三萬三千一百二十五尺，恰以次商二十自乘再乘得八千為隅法，除實訖餘實二十二萬五千一百二十五。另以三乘下法一百二十得三百六十，又為方法列位再商五於左初次商一百二十之下，共一百二十五，就以五乘之得六百二十五，又為廉法。再以方法三百六十乘廉法六百二十五得二十二萬五千。除實訖，再以再商五自乘再乘得一百二十五又為隅法，除實恰盡。合問。

今有積四千一百五十尺。問：立方面若干。

答曰：立方面一十六尺，又八百一十七之五十四。法曰：置積為實，初商一十自乘再乘得一千尺，除實訖餘實三千一百五十，卻以三乘下法一十得三十為方法，列位次商六尺於上，初商一十之次共一十六，就以六乘之得九十六為廉法，再以方法三十乘廉法九十六，得二千八百八十，除實訖餘實二百七十恰以次商六自乘再乘得二百一十六為隅法，除實訖餘實五十四尺不盡，以法命之，卻以所商立方一十六尺自乘得二百五十六，又以三因，得七百六十八。另以十六以三因之，得四十八。再添一箇併入共得一立方數，積八百一十七之五十四也。何謂之，命以原總數除去五十四加上八百一十七，便商得面方一十七，因此不及而為之命。

假如今有銀一萬兩。問：立方每面若干。

答曰：八寸九分三釐〈有畸難盡〉。

法曰：置銀一萬兩為實，以銀率每寸一十四兩為法，除之得七百一十四寸二分八釐，又為實以開立方法除之，初商八寸於左，亦置八寸於右為下法。自乘得六十四寸，再乘得五百一十二寸，除實訖餘實二百零二寸二分八釐。卻以三乘下法八寸得二十四寸為方法，次商九分於初商八寸之次，亦置九分於右初商，八寸之次，共八寸九分，就以九分遍乘得八寸零一為廉法，再以方法二十四寸乘廉法得一百九十二寸二分四釐，除實訖餘實十寸○○四毫。恰以次商九分自乘再乘得七寸二分九釐除實訖，餘實不盡一寸七分五釐。