KR7a0003

卷119

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百十九卷目錄

　算法部彙考十一

　　算法統宗七〈少廣章第四中〉

曆法典第一百十九卷

算法部彙考十一

《算法統宗七》少廣章第四中立圓法歌

立圓問徑法何如，十六乘積九歸除。除此數常為實積，立方開見更何如。立圓若問周圍數，四十八乘積數軀，乘為實積用開立，即見周圍數不虛。

法曰：外周者，置積若干，以四十八乘之得若干為實。以開立方法除之，得周若要還原，以周自乘再乘以四十八除之見積。問徑置積若干以十六乘之，得若干又用九歸之，得若干為實。以開立方法除之得徑。若要還原以徑自乘再乘以九因十六除之見積。周徑下原有不盡者，或周徑自乘再乘併入不盡數，周以四十八除之見積徑，以九因十六除之見積。若問周問徑，遇有餘積不盡者。依開立方下命法命之。

今有積六萬二千二百零八尺，欲為立圓。問：徑若干。答曰：徑四十八尺。

法曰：置積尺數以十六乘之，又用九歸之得一十一萬零五百九十二尺為實，以開立方法除之，初商四十自乘得一千六百，再乘得六萬四千，除實餘實四萬六千五百九十二尺，另將初商四十以三因得一百二十為方法，列位次商八尺於初商之次，得四十八尺。就以八乘之得三百八十四尺為廉法，以方乘廉得四萬六千零八十尺，除實餘實五百一十二。另以次商八尺自乘再乘得五百六十二尺為隅法，除實恰盡得立圓徑。合問。

此問周徑如圓毬

今有積六萬二千二百零八尺，欲為立圓。問：周若干。答曰：周一百四十四尺。

法曰：置積尺以四十八乘之，得二百九十八萬五千九百八十四尺為實，以開立方法除之，初商一百尺自乘得一萬，再乘得一百萬，除實餘實一百九十八萬五千九百八十四尺，另以初商一百以三因得三百為方法，次商四十於初商之下，共一百四十。就以四十乘之得五千六百為廉法，以方乘廉得一百六十八萬，除實餘實三十萬零五千九百八十四，另以次商四十自乘再乘得六萬四千為隅法，除實餘實二十四萬一千九百八十四。再以初次商一百四十以三因得四百二十為方法，再商四尺於初次商之下共得一百四十四尺，就以四尺因之，得五百七十六為廉法。以方乘廉得二十四萬一千九百二十。除實餘實六十四，又以再商四尺自乘再乘得六十四。除實訖。合問。

凡立圓問周徑，遇數單者則有不盡。

今有立方積一萬五千六百二十五步。問：立方一面若干。

答曰：二十五步。

歸除開立方法曰：置積一萬五千六百二十五尺為實，以萬積商二十置於積前，就置二十於右下自乘得四百步與上商二十相呼，二四除實八千餘實七千六百二十五步，卻以右下四百步以三十乘之得一千二百，為法。歸除之，呼逢五進五又呼二五除一千，另置初商二十步以次商五步乘之得一百步。以三因之得三百步，以加入自乘次商五步得二十五步，共三百二十五步於右。與次商五步相呼除之，呼三五除一千五百步，又二五除一百步，又五五除二十五步，積盡以左上二十五步為立方一面之數。合問。

今有立方積一億零二百五十萬零三千二百三十二尺。問：立方一面若干。

答曰：四百六十八尺。

歸除開立方法曰：置積為實以七千萬，該商四百尺。於左上又置四百尺於右下，自乘得一十六萬相呼一四除四千萬尺又四六除二千四百萬，餘實三千八百五十萬零三千二百三十二尺。卻以右下一十六萬尺以三乘之得四十八萬為法，歸除之，呼四三七十二少除〈因下位數不足除〉，呼四歸起一下還四呼六八除四十八。另置初商四百尺以次商六十尺乘之，得二萬四千尺以三因之，得七萬二千尺為廉法，加入次商六十尺。自乘得三千六百尺，共七萬五千六百尺。卻以次商六十尺相呼除之，六七除四十二，又五六除三十。又六六除三十六。餘實五百一十六萬七千二百三十二尺，以方法四十八萬併入兩箇廉法七萬二千。再併入隅法三箇，三千六百尺共得方法六十三萬四千八百尺為法，歸除之。呼六五八十二。呼三八除二十四，又呼四八除三十二，又八八除六十四。右下之法不用再置。所商共四百六十尺，以次商八尺乘之，得三千六百八十尺。以三因之得一萬一千零四十尺併入，再商八尺自乘得六十四尺共一萬一千一百零四尺。又以次商八尺相呼除之，一八除八萬，又一八除八千，又一八除八百，又四八除三十二尺。除實恰盡。以左上所商四百六十八尺，為立方一面之數。合問。

開立方帶縱法

今有方倉貯米五百一十八石四斗，方比高多三尺。問：方高各若干。

答曰：方一丈二尺。高九尺。

法曰：置米五百一十八石四斗，以斛法二尺五寸乘之得積一千二百九十六尺為實，以開立方帶縱除之，以方多三尺自乘得九尺為縱方，再置三尺倍之得六尺為縱廉，約積一千，商十尺。今有縱方只商九尺置於實前，另以九尺自乘得八十一尺，加入縱方九尺共九十尺為方法。另以縱廉六尺，以九尺乘之得五十四尺為廉法。二法併共一百四十四尺，於右下，以所商九尺相呼。一九除九，又呼四九除三十六。又四九除三十六。除實恰盡。以商九尺為高，加入方多三尺得方倉一十二尺。合問。

今有立方一所積一千七百八十七萬五千尺，只云高闊相等，長多闊三十六尺。問：立方高闊及長若干。答曰：長二百八十六尺，闊二百五十尺，高二百五十尺。

法曰：置積一千七百八十七萬五千尺為實，以開立方帶縱法除之，初商約得二百尺，自乘得四萬尺再乘得八百萬尺，又約二百五十尺自乘得六萬二千五百尺，再以二百五十尺乘之，得一千五百六十二萬五千尺減去積餘積二百二十五萬尺為實，另置長多三十六尺，以所商二百五十尺乘之，得九十尺。再以二百五十尺乘之得二百二十五萬尺，除實恰盡。得闊二百五十尺，加入長多三十六尺共二百八十六尺，為長數。合問。

今有立方積二萬九千八百零八尺，高比方不及一丈三尺。問：高方各若干。

答曰：高二丈三尺。方倉三丈六尺。

法曰：置積二萬九千八百零八尺為實，以開立方帶縱法除之，約實二萬商三十尺，自乘得九百尺再以三十尺乘之，得二萬七千尺，又約商三十六尺自乘得一千二百九十六尺，另置三十六尺減不及一十三尺，餘二十三尺，乘之得二萬九千八百零八尺。除實盡得方倉三十六尺，高二丈三尺。合問。

今有三乘方積二千零一十五萬一千一百二十一尺。問：一面若干。

答曰：六十七尺。

法曰：置積為實，下法常超三位，初商六十於左下法。亦置六十自乘得三千六百，再乘得二十一萬六千為隅法，與上商六十相呼。除實一千二百九十六萬餘實七百一十九萬一千一百二十一尺，乃以四乘隅法二十一萬六千，得八十六萬四千為方法。另置上商六十自乘，得三千六百。又以六因之，得二萬一千六百尺為上廉。又置上商六十以四乘得二百四十尺為下廉。次商七尺於左六十之次下法。亦置七尺自乘，得四十九尺，再以七因，得三百四十三尺為隅法。又以次商七尺乘上廉二萬一千六百得一十五萬一千二百，又以下廉二百四十用兩次七因，初次因得一千六百八十尺，二次因得一萬一千七百六十尺，以方法八十六萬四千，上廉一十五萬一千二百，下廉一萬一千七百六十。隅法三百四十三併四法共一百零二萬七千三百零三尺，皆與次商七尺相呼，除實恰盡。得一面六十七尺。合問〈此三乘方捷徑〉。一法用二次開平方法除之，亦得初一次置積數為實，以開平方法除之商得四千四百八十九尺。第二次就以此初商數為實，亦以開平方法除之，即得一面六十七尺，合問〈此又捷徑〉。

若還原置一面六十七尺，自乘得四千四百八十九尺，再乘得三十萬○○七百六十三尺，又乘之即見原積數也。

自乘再乘又乘故曰三乘。其四乘乃四次乘也。其五乘乃五次乘也。

今有田積三千三百七十五尺。問：立方面若干。答曰：面方一十五尺。

法曰：置積三千三百七十五尺為實，以開立方法除之。古法用三為廉率，約實定位，從實末位尺，十尺定尺百尺。千尺定十尺，初商一十於左下，法亦置初商一十自乘得一百，再乘得一千。除實訖餘實二千三百七十五尺，卻以下法初商一十自乘得一百。用三因為方法，又以初商一十以三因，得三十為廉。次商五尺於左，初商之次下法亦置次商五尺。自乘得二十五尺為隅法，又以次商五尺乘廉三十得一百五十為廉法，併方法三百，廉法一百五十，隅法二十五共四百七十五尺。皆與次商五尺相呼，四五除二。五七除三十五，五五除二十五，得方面一十五尺。合問。

開立方<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page3779-18px-GJfont.pdf.jpg' />開立方<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page3779-18px-GJfont.pdf.jpg' />

大段解曰：立方積形如骰子，有上下左右，前後六面。方如一段大方，積是初商方高十尺自乘再乘得一千尺。三段平廉，每段方十尺高五尺即初商十尺，自乘又以次商五尺乘，積五百尺。用三因，即三段積一千五百尺，三段長廉每段長十尺闊五尺高五尺即初商十尺，以次商五尺乘，又以次商五尺乘得每段積二百五十尺，用三因即三段積七百五十尺。一段小方隅即次商五尺，自乘再乘積一百二十五尺也。

求米倉窖盛貯歌〈每石斛法二尺五寸〉

米求倉窖要知源，斛法先除米數全。若見圓倉乘十二，方窖三因米數然。三十六乘圓窖米，各為實積定無偏。卻用立方開見約方，求長闊約為先圓數。求周為約數各將，約數自乘焉乘來。為法除實積，便見深高法更元。

今有米二千四百一十九石二斗，欲為方倉盛之。問：長闊高各若干。

答曰：長二十八尺，闊一十八尺，高一十二尺。

法曰：置米數以斛法二尺五寸乘之，得六千零四十八尺為實，以開立方法約之，得闊一十八尺，便約長二十八尺，卻以長闊相乘得五百零四尺為法，除實得高。合問。

今有米七百零五石六斗，欲作圓倉盛之。問：周圍及高各若干。

答曰：周四十二尺。高一十二尺。

法曰：置米數以斛法二尺五寸乘之，得一千七百六十四尺，再以圓法十二乘之，得二萬一千一百六十八尺為實，以開立方法約之，得周四十二尺，自乘得一千七百六十四尺為法，除實得高一十二尺。合問。今有米五百七十七石二斗，欲作方窖盛之。問：上下方及深各若干。

答曰：上方九尺。下方一十二尺。深一十三尺。

法曰：置米數以斛法二尺五寸乘之，得一千四百四十三尺，又以三因之得四千三百二十九尺為實，以開立方法約之，得上方九尺，便約下方一十二尺。卻以上方自乘得八十一尺，另以下方自乘得一百四十四尺，又以上方九尺乘下方一十二尺得一百零八尺。併三位共三百三十三尺為法。除實得深一十三尺。合問。

今有米七十七石二斗，欲作圓窖盛之。問：上下周及深各若干。

答曰：上周一十四尺。下周一十八尺。深九尺。

法曰：置米數以斛法二尺五寸乘之得一百九十三尺，再以圓率三十六乘之，得六千九百四十八尺為實。以開立方法約之，得上周一十四尺，便約下周一十八尺。另以上周一十四尺自乘得一百九十六尺。又以下周一十八尺自乘，得三百二十四尺，又以上周一十四乘下周一十八，得二百五十二尺，併三位共七百七十二尺為法，除實得深九尺。合問。

今有米二千四百一十九石二斗，欲造長倉盛之，只云闊一十八尺，高一十二尺。問：長若干。

答曰：長二十八尺。

法曰：置米數以斛法二尺五寸乘得六千零四十八尺為實，另以高乘闊得二百一十六尺為法，除實得長。合問。

或只云長二十八尺，高一十二尺。問：闊若干。

答曰：闊一十八尺。

法曰：仍以前實卻以長高相乘，得三百三十六尺為法，除實得闊一十八尺。合問。

今有米七百零五石六斗，欲作圓倉盛之，只云高一十二尺。問：周若干。

答曰：周四十二尺。

法曰：置米數以斛法二尺五寸乘之，得一千七百六十四尺，又以圓率十二乘之，再以高一十二尺除之，如故為實以開平方法除之，得周四十二尺。合問。今有米五百七十七石二斗，欲作方窖盛之，只云上方九尺，深一十三尺。問：下方若干。

答曰：下方一十二尺。

法曰：置米數以斛法二尺五寸乘之，得一千四百四十三尺，以三因之，得四千三百二十九尺。以深一十三尺除之，得三百三十三尺。內減上方自乘得八十一尺，餘二百五十二尺為實，以上方九尺為縱方。開平方法除之，得下方一十二尺。合問。

或云下方一十二尺，深一十三尺。問：上方若干。答曰：上方九尺。

法曰：仍以前實四千三百二十九尺，以深除之，得三百三十三尺，內減下方自乘一百四十四尺，餘一百八十九尺為實，以下方一十二為縱方，以開平方法除之，得上方九尺。合問。

今有米七十七石二斗，欲造圓窖盛之，只云上周一十四尺，深九尺。問：下周若干。

答曰：下周一十八尺。

法曰：置米數以斛法二尺五寸乘之，得一百九十三尺，又以圓率三十六尺乘之，得六千九百四十八尺。以深九尺除之，得七百七十二尺，內減上周自乘一百九十六尺，餘五百七十六為實，以上周一十四為縱方，以開平方法除之，得下周一十八尺。合問。或云下周一十八尺，深九尺。問：上周若干。

答曰：上周一十四步。

法曰：仍以前實六千九百四十八尺，以深九尺除之。得七百七十二尺，內減下周自乘得三百二十四尺，餘四百四十八尺為實，以下周一十八尺為縱方，以開平方法除之，得上周一十四尺。合問。

今有米五百一十八石四斗，欲造方倉盛之。問：方高各若干。

答曰：方一十二尺，高九尺。

法曰：置米數以斛法二尺五寸乘之，得一千二百九十六尺為實，以開立方法約之，得方一十二尺，卻以方一十二尺自乘得一百四十四尺為法，除實得高九尺。合問。

或云：高九尺。問：方若干。

答曰：方一十二尺。

法曰：仍以前實，以高九尺除之，得一百四十四尺，以開平方法除之，得方一十二尺。合問。

分田截積法上

直田截積歌

直田截積法尤奇，截長積步闊除之。截闊用長除且易，得其步數不須疑。

法曰：若依原長，截積則以原闊除之，若依原闊截積。則以原長除之。

直田截積，原載方田章因與圭梯等截積間隔不便觀覽，今移此以統於一。

今有直田長四十八步，闊四十步，今依原長截積七

直田截闊圖

百二十步。問：截闊若干。

答曰：闊一十五步。

法曰：置截積七百二十步為實，以原長數為法，除之即得截闊數。合問。

今有直田長四十八步，闊四十步。今依原闊截積七百二十步。問：截長若干。

直田截長圖

答曰：長一十八尺。

法曰：置截積七百二十步為實，以原闊四十步為法除之，得截長一十八步。合問。

今有方田一坵，要從東南角截一直形積三十二步，南邊闊四步。問：截東邊長若干。

答曰：截東長八步。

法曰：置截積三十二步為實，以南闊四步為法，除之

方田截直圖

得截積東長八步。合問。若東長定數，問截南闊，就以長數為法，而除截積。

今有直田長一十五步六分闊一十二步，今從東邊

直田截斜圖

截積五十四步六分，北頭要闊四步。問：截南頭闊若干。

答曰：截南頭闊三步。

法曰：置截積五十四步六分為實，以

原長一十五步六分為法，除之得截闊三步五分。此是二廣均勻之數，加倍得七步，減去北廣四步餘得截南廣三步，是也。

又法倍截積得一百零九步二分為實，以原長一十五步六分為法除之，得共截闊七步，減北廣四步，餘得截南廣三步亦得。

今有直田長一十五步，闊一十二步。今從西北角截

直截句股圖

句股形一段，積三十一步五分，原坐落西邊股長九步。問：截北邊句闊若干。

答曰：截北句闊七步。

法曰：置截積三十一步五分，倍之得六十三步，以西股長九步為法除之得截北句闊七步。合問。

今有直田積一千九百二十步，只云長六十步。問：闊若干。

答曰：闊三十二步。

法曰：置積一千九百二十步為實，以長六十步為法，除之得闊。若是只云闊三十二步，問長若干，就以闊為法，除之即得長。

今有圭田積二百二十五步，只云長三十步。問：闊若干。

答曰：闊一十五步。

法曰：置積倍之得四百五十步為實，以長為法除之，得闊。若云中長步數，倍積為實，以闊為法除之，即得。

以上二款名曰：忘長失短，與直田截積意同。

今有句股田長三十步，闊一十五步，今從尖截長一十二步。問：中廣若干。

勾股截積圖

答曰：截中廣六步。

法曰：置截長一十二步，以句闊乘之得一百八十步為實，以股長為法，除之。

又法：置句為實，以股為法，除之。每股長一步，得闊五分，以乘截長亦得。

今有斜田南廣四步，北廣十二步，長三十二步，今從中截，腰廣六步。問：截南長若干。

答曰：截南頭長八步。

斜田截積圖

法曰：置截中廣六步，減上廣四步餘二步，以乘長三十二步，得六十四步為實，卻將南北二廣相減餘八步為法除之，即得。若截下長，

置下廣減中廣，餘六步以乘，原長得一百九十二步為實，以上下二廣相減，餘八步為法除之，得截下長二十四步。合問。

今以前圖截下長二十四步。問：截中廣若干。

答曰：六步。

法曰：將下廣減去上廣四步，餘八步為實，以原長三十二步為法除之，每長一步得闊差二分五釐，就以此為法，以乘下長二十四步。得闊差六步，以減下闊一十二步，餘六步即是中廣。合問。

今有梯田積一千五百步，北廣四十步，中長五十步。問：南廣若干。

答曰：南廣二十步。

法曰：置積一千五百步，倍之得三千步為實，以長五十步為法除之，得六十步於內，減北廣四十步餘得南廣二十步。合問。

原有斜田南廣四步，北廣十步，長一十二步。今欲增作句股樣式。問：股長出若干。

斜增為勾股圖

答曰：股長出八步。

法曰：以南廣四步乘長一十二步，為實，另以二廣相減餘六步為法，除之得尖出股長八步。合問。

圭求廣縱歌〈除圭尖即是梯形〉

梯求上廣出尖長，上闊乘縱法最良，卻將上下廣相減，餘法除之免思量。

今有上圭下梯田，上廣一尺六寸，下廣一十二尺八

圭求廣縱圖

寸，圭下正縱一十尺零五寸。問：圭尖長若干。

答曰：尖高長一尺五寸。

法曰：置正縱一十尺零五寸，以上

廣一尺六寸乘之，得一十六尺八寸為實，另以下廣一十二尺八寸減上廣一尺六寸，餘一十一尺二寸為法，除之，得圭尖長一尺五寸。合問。

圭求下廣歌

圭田若問梯下廣，圭梯併長不必想。上廣乘長為實則，尖長法除即下廣。

法曰：置圭長併梯長共一十二尺，以上廣一尺六寸乘之，得一十九尺二寸為實，以尖長一尺五寸為法，除之得下廣一十二尺八寸。合問。

圭求外梯長歌

圭田欲問外梯長，下廣減去上廣良。除以圭長乘為實，上廣法除是梯長。

法曰：以下廣一十二尺八寸減去上廣一尺六寸餘一十一尺二寸，以圭長一尺五寸乘之，得一十六尺八寸。為實以上廣一尺六寸，除之得梯正縱長一十尺零五寸。合問。

圭求中廣歌

圭求中廣要思量，卻用下廣乘尖長。正縱加入尖長數，為法除之中廣良。

法曰：置下廣一十二尺八寸，以尖長一尺五寸乘之。得一十九尺二寸為實，另以正縱一十尺零五寸。加入尖長一尺五寸，共一十二尺為法，除之得中廣一尺六寸。合問。

假如三角田一坵，三面各一十四步，今作三叚，俱要四角。問：長闊各若干。

三角截四角圓

答曰：共積八十四步。三角各得二十八步。每角計長八步，闊七步。法曰：置每面一十四步，六因七歸得中徑一十二步，另以每面一十四步，與徑一十二步，相乘得一百六十八

步，折半得積八十四步為實，以三段歸之，各得二十八步，卻以每面折半得闊七步，以歸二十八步得四步，倍之得中長八步。合問。

今有直田長一十五步，闊一十二步，今依闊截圭積

直田截圭圖

四十五步。問：截圭長若干。答曰：圭長七步五分。

法曰：置截積倍之，得九十步為實。以闊一十二步為法除之，即得。其餘

圭梯等截法俱用，開方列法於左。

圭田截積歌〈若作三段分者先截尖段下二段以作梯形截法〉

圭田截積小頭知，倍積原長以乘之，原闊歸除為實積，開方便見截長宜。仍以截長乘原闊，原長為法以除之。除來便見截闊數，法明簡易不須疑。

今有圭田長七十五步，北闊三十步，今自尖頭截積

圭截小頭圓

四百零五步。問：截長闊各若干。答曰：長四十五步，闊一十八步。法曰：置截積四百零五步，倍之得八百一十步，以原長七十五步乘

之得六萬零七百五十步，以闊三十步除之，得二千零二十五步為實，以開平方法除之，得截長四十五步就以原闊三十步乘之，得一千三百五十步為實。以原長七十五步為法除之，得截闊一十八步，合問。今有句股田股長四十步，句闊二十步，今從大頭截

勾股截積圖

積一百七十五步。問：所截長闊各若干。

答曰：截下長一十步，截上廣一十五步。

法曰：先將句股相乘，得八百折半得積四百步，減截積一百七十五步，餘積二百二十五步以作圭田，截積小頭知而筭之，置小頭積二百二十五步倍作四百五十步，以原長四十步乘之，得一萬八千步以原闊二十步。除之得九百步為實，以開平方法除之，得上尖長三十步，就以此為法以除倍積四百五十步，得截闊一十五步，另將原長減去截長三十步，餘得下長一十步。合問。

今又有圭田長七十五步，北闊三十步，今自北闊截

圭截大頭圖

積七百二十步。問：截長闊各若干。答曰：截下長三十步，闊一十八步。

法曰：置截積七百二十步倍之，得

一千四百四十步以原闊三十步乘之，得四萬三千二百步為實，以原長七十五步為法除之，得五百七十六步再以北闊三十步自乘，得九百步以減五百七十六步，餘三百二十四步為實，以開平方法除之，得截闊一十八步，併北廣三十步，共四十八步折半，得二十四步為法，除截積七百二十步得截長三十步。合問。