KR7a0003

卷120

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百二十卷目錄

　算法部彙考十二

　算法統宗八〈少廣章第四下　商功章第五　均輪章第六〉

曆法典第一百二十卷

算法部彙考十二

《算法統宗八》少廣章第四下

分田截積法下

原有直田一坵。今從東北角截句股形，積三十八步七分二釐，其股數與句數相同。問：該田若干。

答曰：東北角各八步八分。

法曰：置截積三十八步七分二釐，倍得七十七步四分四釐為實。以開平方法除之，得截東北角各八步八分，合問。若還原，以句股自乘，折半即得。

梯田截積歌

梯田截積細端詳，倍積闊差乘最良。卻用原長為法則，歸除乘數實之行。若截大頭田積步，大闊自乘減實當。若截小頭田積步，小闊自乘併實傍。俱用開方為截闊，兩廣併來折半強。折半數來為法則，法除截積便知長。

今有梯田長九十步，西廣二十步，北廣三十八步，今

梯截小頭圖

自南邊小頭截積八百二十二步五分。問：截長闊各若干。答曰：截上長三十五步，截中闊二十七步。

法曰：置截積八百二十二步五分，倍之得一千六百四十五步，以二廣相減，餘一十八步為闊差。以乘倍積得二萬九千六百一十步。以原長九十步除之，得三百二十九步。另以小頭自乘，得四百步。併入三百二十九步，共七百二十九步為實。以開平方法除之，得截闊二十七步。就以截闊二十七步併小頭原闊二十步，共四十七步，折半得二十三步五分為法，以除截積八百二十二步五分，得截長三十五步。合問。今有梯田長九十步，小頭闊二十步，大頭闊三十八

梯截大頭圖

步。今自大頭截積一千七百八十七步五分。問：截長闊各若干。答曰：截下長五十五步，截中闊二十七步。

法曰：置截積倍之，得三千五百七十五步。以大小二闊相減，餘一十八步為闊差。以乘倍積得六萬四千三百五十步。以原長九十步除之，得七百一十五步。另以大闊三十八步自乘，得一千四百四十四步。減去七百一十五步，餘七百二十九步為實。以開平方法除之，得二十七步為截中闊。就以此闊二十七步併大頭原闊三十八步，共得六十五步。折半得三十二步五分為法。以除截積一千七百八十七步五分，得截長五十五步。合問。若作三叚分者，先截大小二頭，長併中闊，餘長即是中叚數也。或又作四五叚分者，亦先截去大小二頭長闊。再將原長內減截去二頭長數，餘長步數，併截二叚中廣。復作梯法截之是也。其斜形截法與梯形同理。如截東西兩旁積，具載難題少廣章中。

環田截積歌

環田要截外周積，倍積二周差步乘。原徑為法除見數，另以外周周自乘。以少減多餘作實，開方便得內周成。二周相減餘零數，六而取一徑分明。

今有環田外周七十二步，內周二十四步，徑八步。今

環截外圓圖

自外周截積二百八十五步。問：截中周併徑若干。

答曰：中周四十二步，截徑五步。法曰：置截積二百八十五步，倍之得

五百七十步。卻以外周減內周二十四步，餘四十八步為差步。以乘倍積五百七十步，得二萬七千三百六十步。以原徑八步除之，得三千四百二十步。又置外周七十二步，自乘得五千一百八十四步。以少減多，餘一千七百六十四步為實。以開平方法除之，得中周四十二步。以減外周七十二步，餘三十步。以六除之，得徑五步。合問。

今有環田外周七十二步，內周二十四步，徑八步。欲

環截內周圖

從內周截積九十九步。問：截中周併徑若干。

答曰：中周四十二步，徑三步。法曰：先將內外二周併之、折半，以徑

乘之，得總積三百八十四步。內減今截內積九十九步，餘二百八十五步，即是前截外周積也。

圓田截積

今有圓田中徑一十三步，今從邊截積三十二步。問：

圓田截積圖

所截弦矢各若干。

答曰：弦一十二步，矢四步。

法曰：倍積得六十四步，自乘得四千零九十六步為實。另以四因積三十

二步，得一百二十八步為上廉。又以四因徑一十三步，得五十二步為下廉。以五為負隅，用開三乘方法除之，商四步於左上為法。以乘上廉得五百一十二步。就以商四乘隅五，得二十。以減下廉五十二步，餘三十二。另以商四自乘，得一十六。以乘下廉三十二，得五百一十二。併上廉五百一十二，共一千零二十四。為下法除實，得矢四步。另置積倍之，得六十四步。以矢除之，得一十六步。減矢四步，餘得弦一十二步。合問。

今有圓田徑二十六步。今從旁截一弧矢，積一百二十八步。問：截弦矢各若干。

答曰：矢八步，弦二十四步。

法曰：倍積自乘，得六萬五千五百三十六步為實。另以四因積，得五百一十二步為上廉。又以四因徑，得一百零四步為下廉。又以五為負隅法商，得八於左上為法。以乘上廉，得四千零九十六步。又以商八乘隅五，得四十。以減下廉，餘六十四步。另以商八步自乘，得六十四步。以乘餘下廉，得四千零九十六步。併上廉共八千一百九十二步為下法。除實得矢八步也。若問求弦法，曰：置積倍之，得二百五十六步。以矢八除之，得三十二。於內減矢八步，餘得弦二十四步。合問。

弧矢法

圓徑與截矢求截弦歌

圓徑與矢求弧弦，半徑自乘立一邊。另以半徑減去矢，餘亦自乘減卻前。又餘平方開見數，倍之名即是弧弦。

假如有圓徑十寸，弧矢闊一寸。問：截弦若干。

答曰：弦六寸。

弧矢內股弦求句圖

法曰：置半徑五寸為弦，自乘得二十五寸。另以半徑五寸，減矢一寸，餘四寸為股。自乘得一十六寸。相減，餘九寸。平方開之，得三寸為句。倍之得六寸為截弧弦，即是二句相併為弦。餘皆倣此。

又法：以圓徑自乘，得一百

寸為弦冪。另以圓徑減倍矢二寸，餘八寸。自乘得六十四寸為股冪。相減餘三十六寸為句冪。平方開之，得全弦六寸。

圓徑與截弦求截矢歌

圓徑與弦求截矢，半徑為弦自乘是。弧弦折半名為句，亦自乘之相減矣。餘用開方得股數，半徑減股餘者矢。

假如有圓徑十寸，弧弦長八寸。問截矢若干。

答曰：矢二寸。

弧矢內句弦求股圖

法曰：以半俓五寸為句股之弦。另以弧弦八寸折半，得四為句。各自乘、相減，餘九寸。平方開之，得股三寸。以減半徑五寸，餘二寸即矢。圓徑與截矢求截弧、背其截弦求弧背，同。術曰：先求出弦徑，除矢冪，得半弦背差。

解曰：圓之大小本於弧背之長短，係於圓之大小與矢之多寡。假如平圓十寸，平分一半，則矢長五寸。自乘得二十五寸。以徑除之，得二寸五分為半弦背。差倍之，得五寸。加入圓徑，得一十五寸為半圓周。故不論圓之大小、矢之多寡，皆準也。

弧矢求積、積求弦矢〈調寄西江月〉

一叚田禾之外東邊近有荒坵，離邊五步繫頭牛。只為繩長遊走，踐跡五分八步，如同弧矢弦。疇索長多少。是根由演立天源窮究。

原在難題少廣章中，無圖。今共圖之於此，以便檢閱併具法於後。

假如今有弧矢田積一百二十八步，離徑五步。問：矢闊、弦長各若干。

答曰：索長一十三步，弧周二十八步有零，矢闊八步，離徑五步，弧弦二十四步，圓徑二十六

步。

法曰：置積一百二十八步為實。另以此數倍之，得二百五十六步。以開平方法除之，得一十六步為法。除

弧矢求積積求弦矢圖

實得矢八步。加法十六共二十四步是弦長。折半得一十二步。自乘，得一百四十四步為實。以矢八步為法，除之，得一十八步。加矢八步，共得圓徑二十六步。若問索長，以矢八步，加離邊五步，乃是索長一十三步。合問。

弧矢求積歌

弧矢求積弧矢形，丈量之法註分明。弧矢弦長併矢步，半之又用矢相乘。

法曰：置弦二十四步，併矢八步，共三十二步。折半得一十六步。以矢八步乘之，得積一百二十八步。

積求弧弦歌

弧矢之積求弧弦，倍積以矢除為先。除來之數減去矢，餘存此即是弧弦。

法曰：置積一百二十八步，倍之，得二百五十六步為實。以矢八步為法，除之，得三十二步。減矢八步，餘得弧弦二十四步。

積求矢闊歌

積求矢闊倍為實，弦為縱方莫教遲。商於左位右併縱，前後呼除矢得宜。

法曰：置積一百二十八步，倍得二百五十六步為實。以弦二十四步於右為縱方。約初商八步於左。亦置商八步於右。縱方二十之下共三十二步，皆與上商八相呼。三八除實二百四十二，八除實一十六步，恰盡得矢八步。

弦矢求圓徑併離徑歌

弦矢求圓徑可推，半弦自乘矢除之。再加矢闊為圓徑，半之減矢離無疑。

法曰：置弦二十四步，折半，得一十二步。自乘，得一百四十四步為實。以矢八步為法除之，得一十八步。再加矢闊八步，得圓徑二十六步。復折半，得一十三步。減矢八步，餘為離徑五步。

圓徑及弧徑求離徑併矢闊歌

徑弦求離徑矢闊，圓徑弧弦各折半。各自乘減餘開方，離徑圓徑弧矢辨。

法曰：置圓徑二十六步，折半，得一十三步。自乘，得一百六十九步。另以弧弦二十四步，折半，得一十二步。自乘，得一百四十四步。二數相減，餘二十五步。以開平方法除之，得離徑五步。另以圓徑二十六步折半，得一十三步。減離徑五步，餘為矢八步。

圓徑及矢闊求弧弦歌

圓徑矢闊求弧弦，圓徑矢闊減餘存。復以矢闊乘為實，開方倍之得弧弦。

法曰：置圓二十六步，減矢八步，餘一十八步。以矢八步乘之，得一百四十四步。以開平方法除之，得一十二步。倍之得弧弦二十四步。

弧弦及離徑求圓徑歌

弧弦離徑求圓徑，弧弦折半自相乘。離徑自乘併為實，開方倍數為圓徑。

法曰：置弦二十四步，折半，得一十二步。自乘，得一百四十四步。以離徑五步，自乘，得二十五步。相併，得一百六十九步為實。以開平方法除之，得一十三步。倍之，得二十六步為圓徑。

圓徑及離徑求弧弦歌

圓徑離徑求弧弦，圓徑折半自相乘。離徑自乘減餘實，開方倍得弧弦成。

法曰：置圓徑二十六步，折半，得一十三步。自乘，得一百六十九步。以離徑五步自乘，得二十五步。相減，餘一百四十四步為實。以開平方法除之，得一十二步。倍之，得弧弦二十四步。

解曰：弧矢狀類句股。句股得直方之半。故倍其積以股除之，即得句弧背。曲倍積則長一弦而又一矢。以矢乘積、倍之，恰得一弦。一矢之數因未知矢，故以積自乘為實。約矢一度乘積，以為上廉；兩度乘徑以為下廉。併之為法，而後可以得矢。用三乘者，何也。積本平方。以積乘積是兩度平方矣。故用三乘方法開之。上廉下廉俱用四因者，何也。倍積則乘出之數為積者四，故上下廉俱四以就之。減徑者，何也。徑乃圓之全徑，矢乃截處之句。矢本減徑而得，故亦減徑以求矢。五為負隅者，何也。凡平圓之積得平方，四分之三在內者，七五在外者。二五不拘圓之大小，每方一尺。該虛隅二寸五分，其矢得四，其虛隅得一，合而為五，亦陞實就法之意也。如不倍積，廉不用四，因以一二五為隅法，亦通。或不減徑作添，積三乘方法，亦通。

商功章第五

商度也，商量用力之法也。此章以堅壤之率，求穿地之實。以廣、闊、高、深，求城塹溝渠之積。以車擔往來，求程途負載之功。

商功歌〈即修築〉

商功須要問工程，長闊相乘深又乘。乘此數來以為實，每日工程為法行。惟以築城別一樣，上下將來折半平。高以乘之長又續〈又以長乘之也〉，以為城積甚分明。五因其積三而一，此是堅求壤法行。穿地四因為壤積，法中仍用五歸成。

穿地四尺，為壤五尺。為堅三尺〈壤是虛土也。堅是實土也〉。穿地　求壤〈五因〉　求堅〈三因〉　皆四歸之。

壤地　求穿〈四因〉　求堅〈三因〉　皆五歸之。

堅地　求穿〈四因〉　求壤〈五因〉　皆三歸之。

城垣堤溝求積。併上下廣折半。以高深乘之。又以長乘之，得積。

方臺求積。上方自乘，下方自乘。另以上下方相乘併之。又以高乘。再以三歸之。如方窖芻童者，倍上長，加下長，以上廣乘之。又倍下長，加上長，以下廣乘之。併二數以高乘又，以六歸之。

圓臺求積。上周自乘，下周自乘。上下周相乘，併之。又以高乘。再用三十六除之。如圓窖圓錐者，下周自乘。又以高乘。再用三十六除之，如尖堆。

方錐求積。下方自乘，以高乘之，又三歸之，如圭形〈下方上尖〉。

方堡壔求積。以方自乘，又以高乘之，如方倉方柱也。圓堡壔求積。以周自乘，又以高乘之，再用十二除之，如圓倉圓柱也。

芻蕘倍下長，加上長。以廣乘之。又以高乘。用六歸之，一如屋脊上斜下平。

羨除併三廣，以深乘之，用六歸之〈上平下尖，或倍上長加下長〉。假如今有堅地，積七千五百尺。問：穿地壤土各該若干。

答曰：穿地一萬尺，壤土一萬二千五百尺。

法曰：置堅地積，以五因三歸之。為壤土積，另置壤積以四因五歸之，得穿地積。合問。

今有開河長七千五百五十尺，上廣五十四尺，下廣四十尺，深一十二尺。每日一工開三百尺。問：用工若干。

答曰：一萬四千一百九十四工。

法曰：併上下二廣、折半，得四十七尺。以深一十二尺乘之，得五百六十四尺。又以長乘之，得積四百二十五萬八千二百尺為實。以每工三百尺為法除之，即得。

今有穿渠上廣二丈四尺，下廣二丈一尺，深九尺，長三百八十四尺。每用人夫一十二名，日開積六百尺。問：該人夫幾何。

答曰：一萬五千五百五十二名。

法曰：併兩廣共得四十五尺。折半得二十二尺五寸。以深九尺乘之，得二百零二尺五寸。又以長乘之，得七萬七千七百六十尺為積。又以人夫一十二名乘之，得九十三萬三千一百二十尺為實。卻以六百尺為法除之。

今有開濠上廣七尺，下廣九尺，深四尺，長一千八百尺。每人日穿一百四十四尺，今用人夫二百名。問：幾日開畢。

答曰：二日開畢。

法曰：併上下廣，折半，得八尺。以深四尺乘之，得三十二尺。又以長乘之，得五萬七千六百尺為實。另置二百人，以每人一百四十四尺乘之，得二萬八千八百尺，為法除之。合問。

築臺歌

築臺丈尺要推詳，上長倍之加下長。上廣乘之別列位，另倍下長加上長。仍以下廣乘見數，二數共併積相當。原高乘併積為實，六歸實數積如常。

今有築直臺一所。上廣八尺，長二丈，下廣一丈八尺，長三丈，高一丈八尺。問：積若干。

答曰：六千尺。

法曰：倍上長，得四十尺。加下長共七十尺。以上廣八尺乘之，得五百六十尺。另倍下長，得六十尺。加上長二十尺，共八十尺。以下廣一十八尺乘之，得一千四百四十尺。併二數，共二千尺。以高一十八尺乘之，得三萬六千尺。以六歸之。合問。

今有築方臺，上方六尺，下方八尺，高一十二尺。問：積若干。

答曰：五千九百二十尺。

法曰：依方窖法，以上方六尺自乘，得三十六尺。下方八尺自乘，得六十四尺。又以上方乘下方，得四十八尺。併三數共一百四十八尺。以高一十二尺乘之，得一千七百七十六尺。以三歸之。合問。

一法依築臺歌，倍上方，加下方，共二十尺。以上方乘之，得一百二十尺。另倍下方，加上方，共二十二尺。以下方乘之，得一百七十六尺。併二數共二百九十六尺。以高一十二尺乘之，得三千五百五十二尺。以六歸之，亦得。

今有圓臺，上周一十八尺，下周二十四尺，高一十二尺。問：積若干。

答曰：四百四十四尺。

法曰：置上周自乘，得三百二十四尺。以下周自乘，得五百七十六尺。又以上下二周相乘，得四百三十二尺。併三數共一千三百三十二尺。以高一十二尺乘之，得一萬五千九百八十四尺為實。以圓率三十六除之。合問。此如圓窖。

今有立錐，高三十二尺，下方二十四尺。問：積若干。答曰：六千一百四十四尺。

法曰：置下方自乘，得五百七十六尺。以高乘之，得一萬八千四百三十二尺為實。以三歸之。合問。

今有圓錐，高三十二尺，下周七十二尺。問：積若干。答曰：四千六百零八尺。

法曰：置下周自乘，得五千一百八十四尺。再以高三十二尺乘之，得一十六萬五千八百八十八尺為實。以圓率三十六尺除之，得積。合問。

築牆截高問今上廣歌

上下原廣數相減，餘用今高數相乘。原高為法除為積，積減下廣上廣存。

假如原築牆上廣一尺，下廣三尺，高一十二尺，今已築高九尺。問：上廣若干。

答曰：一尺五寸。

法曰：將原下廣三尺減原上廣一尺，餘二尺。以今築高九尺乘之，得一十八尺為實。以原高一十二尺為法除之，得一尺五十。卻於原下廣三尺減去一尺五寸，餘得今築上廣。合問。

一法將原下廣三尺減原上廣一尺，餘二尺。另以原高一十二尺內減今高九尺，餘三尺。以乘二尺，得六尺為實。以原高一十二尺為法除之，得五寸。加原上廣一尺，共一尺五寸。亦得。

原築牆上廣一尺，下廣三尺，高一丈二尺。今欲築高一丈五尺。問：上廣若干。

答曰：上廣五寸。

法曰：置原下廣三尺減原上廣一尺，餘二尺。另以原高一丈二尺減今高一丈五尺，餘三尺。以乘二六尺為實。以原高一丈二尺為法除之，得五寸。以減原上廣一尺，餘五寸為今上廣。合問。

築牆截下廣問今高歌〈即是截今下節〉

原今下廣數相減，餘以原高乘為實。原下廣減原上廣，餘為法除高數是。

原築牆上廣一尺，下廣四尺，高一十二尺。今只築下廣二尺一寸。問：今高若干。

答曰：七尺六寸。

法曰：置原下廣四尺減今築下廣二尺一寸，餘一尺九寸。以原高一十二尺乘之，得二十二尺八寸為實。另以原下廣四尺減原上廣一尺，餘三尺。為法除之。合問。

原築牆上廣二尺，下廣六尺，高二丈。今已築上廣三尺六寸。問：今築高若干。

答曰：一丈二尺。

法曰：置原下廣六尺內減去今築上廣三尺六寸，餘二尺四寸。以原高二十尺乘之，得四十八尺為實。另以原下廣六尺減原上廣二尺，餘四尺。為法除之，得今高。合問。

原築牆上廣十尺，下廣三十尺，高四十尺。今欲築上廣九尺。問：接高若干。

答曰：二尺。

法曰：置原高四十尺為實。另以原上廣十尺減原下廣三十尺。餘二十尺。除之，得二尺，又為實。以今欲築上廣九尺，減原上廣十尺，餘一尺。為法除之，得接高二尺。合問。

築方錐丈尺今改作方臺歌

今上方與原高乘，便為實積數分明。原下方數宜為法，法除實積截高成。

原築方錐下方二十四尺，高三十二尺，今改作方臺只用上方六尺。問：截去高若干。

答曰：截去高八尺。

法曰：置原高三十二尺，以今只用上方六尺乘之，得一百九十二尺為實。以下方二十四尺為法除之，得截去高八尺。合問。

原有方錐下方二十四尺，高三十二尺。今改作方臺。已築高二十四尺。問：今上方若干。

答曰：六尺。

法曰：置原高內減今高二十四尺，餘截去八尺。以乘下方二十四尺，得一百九十二尺為實。以原高為法除之，得上方。合問。

原有方錐下方二十四尺，高三十二尺，今改作方臺。只用上方六尺。問：今高若干。

答曰：二丈四尺。法曰：置原下方二十四尺內減今上方六尺，餘一十八尺。以原高三十二尺乘之，得五百七十六尺為實。以原下方二十四尺為法除之，得今高二十四尺。合問。

築方臺丈尺今改作方錐問接高歌

上方與高乘為實，下方內減上方積。餘積為法除實數，便見接高今丈尺。

原方臺上方六尺，下方二十四尺，高二十四尺。今改作方錐。問：接高若干。

答曰：接高八尺。

法曰：置原高二十四尺乘原上方六尺，得一百四十四尺為實。另以原下方二十四尺內減原上方六尺，餘一十八尺。為法除之，得接高八尺。合問。

原有圓錐下周七十二尺，高三十二尺。今改作圓臺，只用上周一十八尺。問：今築高若干。

答曰：二十四尺。

法曰：置原下周七十二尺，內減今用上周一十八尺，餘五十四尺。以原高三十二尺乘之，得一千七百二十八尺為實。以原下周七十二尺為法除之，得今高二十四尺。合問。

原有圓錐下周七十二尺，高三十二尺。今改作圓臺。已築高二十四尺。問：今上周若干。

答曰：一十八尺。

法曰：置原高三十二尺減今高二十四尺，餘八尺。以乘原下周七十二尺，得五百七十六尺。以原高為法除之。合問。

築堤歌

築堤之法最蹊蹺，東高倍之加西高。上下廣併乘折半，西高另倍加東高。上下廣併仍乘折，一折數併共相交。卻用原長乘為實，五歸其實積無饒。

今築堤一所。東頭上廣八尺，下廣一十四尺，高九尺。西頭上廣二十尺，下廣二十二尺，高二十一尺。東至西長九十六尺。問：積若干。

答曰：二萬八千八百尺。

法曰：倍東高九尺為一十八尺。加西高二十一尺共三十九尺。卻以東頭上下廣相併，為二十二尺。乘之得八百五十八尺。折半得四百二十九尺。另倍西高加東高共五十一尺。卻以西頭上下廣相併，為四十二尺。乘之得二千一百四十二。折半得一千零七十一。二數相併共一千五百尺。再以長九十六尺乘之，得一十四萬四千尺為實。以五歸之，得積。合問。今有甲乙二人開渠。甲日開積四百尺，乙日開積三百五十尺。先甲開七十日後令乙開。問：幾日與甲同。答曰：八十日。

法曰：置甲開七十日。以每日四百尺乘，得二萬八千尺為實。卻以乙日開三百五十尺為法除之，得八十日，纔與甲同數。

今有人快行者，日行九十五里。慢行者，日行七十五里。今令慢行者先行八日。問：快行者幾日趕至追及之。行路程各若干。

答曰：快行者三十日，慢行者多八日，路程二千八百五十里。

法曰：置慢行者日行七十五里，以八日乘之，得六百里為實。以慢行減快行，餘二十里。為法除之即得。今有慢行者已去七日，後令快行者趕去。六日追至中途。及之其路程已行一千一百七十里。問：快慢每日各行若干。

答曰：快者日行一百九十五里，慢者日行九十里。法曰：置已行路程一千一百七十里為實，以六日為法除之，得快者日行一百九十五里。另將先行七日併後趕六日共一十三日，為法除總一千一百七十里，得慢行里數。合問。

今有甲乙二人行步不等。甲日行八十里，乙日行四十八里。令乙先行二百四十里，甲纔發步追之。問：幾里可及。

答曰：六百里。甲七日半，乙十二日半。

法曰：置先行二百四十里以甲日行八十里乘之，得一萬九千二百里為實。卻以甲乙日行里數相減，餘三十二里，為法除之。合問。

今有人盜馬乘去，已去三十七里，馬主方覺。追去一百四十五里不及二十三里，仍復追之。問：幾里可及。答曰：二百三十八里又一十四分里之三。

法曰：置不及二十三里以馬主追去一百四十五里乘之，得三千三百三十五里為實。另置已行三十七里減去不及二十三里，餘一十四里，為法除實二百三十八里不盡三，以法約之。

今有大都路至杭州四千二百七十五里。馬從大都往南日行一百二十里。船從杭州往北日行七十里。問：船馬幾日相會，各行若干。

答曰：二十二日半。馬行二千七百里，船行一千五百七十五里。法曰：置四千二百七十五里為實。卻併船馬日行共一百九十里，為法除之，得二十二日半又為實。各以原行里數乘之，得各行里數。

原有一夫日耘田七畝，一夫日耕三畝，一夫日種五畝。今令一夫自耘自耕自種。問：治田若干。

答曰：一畝四分七釐又七十一分之六十三。

法曰：以田為分母，夫為分子。以母互乘之，列分母分子之位〈七畝一夫　三畝一夫　五畝一夫〉。先以七畝乘三畝得二十一畝又以五畝，乘之得一百零五畝為實又以七畝，乘三畝得二十一畝。又以三畝乘五畝得一十五畝。又以五畝乘七畝得三十五畝。并之得七十一畝。為法除實得一畝四分七釐不盡六十三，以法命之。原有三女各納錦一方。長女五日完，中女七日完，小女九日完。今令三女共納錦一方。何日可畢。

答曰：二日又一百四十三分日之二十九。

法曰：以日為分母，方為分子。以三母相乘。先以五日乘七日得三十五日，又以九日乘之得三百一十五日為實。以母互乘子法〈五日長女　七日中女　九日小女〉。先以五日乘七日得三十五日，又以七日乘九日得六十三次，以九日乘五日得四十五。并之得一百四十三日。為法除實得二日不盡二十九，以法命之。

堆垛歌

缶瓶堆垛要推詳，底腳先將闊減長。餘數折來添半箇，併入長內闊乘良。再將闊搭一乘實，以三除之數相當。一面尖堆只添一，乘來折半積如常。三角果垛亦堪知，腳底先求箇數齊。一二添來乘兩遍，六而取一不差池。要知四角盤中果，添半仍添一箇隨。乘此數來以為實，如三而一法求之。

今有酒瓶一垛。底腳闊八箇，長一十三箇。問：該積若干。

答曰：三百八十四箇。

法曰：置長內減闊，餘五箇。折半得二箇半。添半箇作三箇，併入長，共一十六箇。以底腳八箇因之，得一百二十八箇。另以闊八箇添一箇作九箇，乘之，得一千一百五十二箇，以三除之。合問。

今有物靠壁，一面尖堆，底腳闊一十八箇。問：積若干。答曰：一百七十一箇。

法曰：置闊一十八箇為實。另以一十八箇加頂一箇，共一十九箇。為法乘之得三百四十二箇。折半即得。今有物一面平堆，底腳闊七箇，上闊三箇。問：積若干。答曰：二十五箇。

法曰：置底腳七箇減去上闊三箇，餘四箇。加一箇，共五箇。為法乃是五層也。另併上下闊，共得十箇為實。以法五乘之，得五十箇。折半得二十五箇。合問。堆垛圖式具左。

一面尖堆圖

右二圖用法權變，便人易曉。故立此以倣其餘。右二圖用法權變，便人易曉。故立此以倣其餘。

今有三角果一垛。底闊，每面七箇。問：該若干。

答曰：八十四箇。

法曰：置底闊七箇，另以七箇添一箇，共八箇，相乘得五十六箇。又以七箇添二箇共九箇，乘五十六箇，得五百零四箇為實。以六歸之。合問。

今有三角半堆果一垛。每面上闊五，箇底闊一十二箇。問：該若干。

答曰：三百四十四箇。

法曰：亦用三角法。先以底闊一十二箇求出全積三百六十四。另以上尖虛底闊四箇，求出虛積二十。以減全積，餘半堆，積三百四十四箇。

一法上闊五箇自乘得二十五。下法十二自乘得一百四十四。上闊五乘下闊十二，得六十。又倍下闊，得二十四。加上闊五得二十九。併四數共二百五十八為實。另以下闊十二減上闊五，餘七加一得高八。為法乘實得二千零六十四。以六除之。合問。

今有物，四面尖堆。底闊一十二箇。問：該若干。

答曰：六百五十箇。

法曰：置底闊一十二箇，另以十二加一箇共一十三箇，乘之得一百五十六箇。又以十二加半箇共一十二箇半，乘一百五十六箇，得一千九百五十箇。以三歸之。即得。

今有物一堆。橫面下闊十箇，上闊一箇，正面下闊一十二箇，上闊三箇。問：該若干。

答曰：四百九十五箇。

法曰：置正面下闊一十二箇，倍之得二十四，加上廣三，共二十七。以橫面下廣一十乘之，得二百七十。另置二百七十以橫下廣一十乘之，得二千七百。併入二百七十，共得二千九百七十。以六除之，即得。

半堆歌

半堆瓶法另推詳，上長倍之加下長。卻用上闊乘見數，下長仍倍加上長。別以下闊乘見積，下長另減上頭長。餘存三位同相併，再以高乘為實良。要知其積從何見，六而取一積該當。

今有半堆酒瓶一棧。上長二十五箇，闊一十二箇，下長三十箇，闊一十七箇，高六箇。問：積若干。

答曰：積二千四百一十箇。

法曰：倍上長加下長，以上闊乘之，得九百六十。又倍下長加上長，以下闊乘之，得一千四百四十五。併之得二千四百零五。又以下長減去上長，餘五。併入共得二千四百一十。以高乘之，得一萬四千四百六十為實。以六為法除之，即得。

今有磚一堆。長三丈，高九尺，入深四尺。每塊長一尺，闊五寸，厚二寸。問：共該若干。

答曰：一萬零八百塊。

法曰：置長三丈為實。以每塊二寸為法歸之，得一百五十塊。另以高九尺，以每塊闊五寸歸之，得一十八塊。乘之，得二千七百塊。又以入深四尺乘之。合問。

挑土計方歌〈每一方長闊各一丈，高一尺，開塘法同〉。

東西併折半，南北亦如斯。互乘為實位，深數再乘之。今有田內開土、挑泥、填基。東六丈五尺，西七丈五尺，南八丈，北九丈，深二尺。問：取泥該方數若干。

答曰：一百一十九方。

法曰：置東六丈五尺併西七丈五尺，共一十四丈。折半得七丈。又以南八丈併北九丈，共一十七丈。折半得八丈五尺。相乘得五十九丈五尺。又以深二尺乘之，得一百一十九方。合問。

量木梱〈調寄西江月〉

梱有封書模樣，

梱法不一。一名一封書，一名方梱。

深闊各倍相乘。

如闊若干，深若干，俱各加倍，以五寸為一根，即是為倍法也。

丈五除長再乘行，

如長若干，以每根長一丈五尺除之，餘數再乘。

書梱加深為定。

如一封書梱，深闊長俱乘訖。又照原深若干加之是也。

方梱須知加闊，

如方梱深闊長俱乘訖，又照原闊若干加之是也。

荒深三折倍成。

又名荒排者，異前二形，即以深三歸而一方可倍之，即一尺二根也。

闊長皆是照前因，

雖荒排闊，亦倍之。與三歸深者相乘，長亦照前丈五除者相乘。

三折一加有準。

但荒排闊深長俱乘訖。亦照深三歸而一加之。

今有一封書梱。深七尺五寸，闊四丈七尺，長九丈。問：木若干。

答曰：一萬四千八百零五根。

法曰：置深七尺五寸，以每尺二根計之，得一十五根，即倍法也。又以闊四丈七尺倍作九十四根，相乘得一千四百一十根為實。另置長九丈以每根長一丈五尺除之，得六根。為法乘實得八百四十六根。又以深七尺五寸加之，或用一七五乘亦可。合問。

今有方梱深七尺，闊五丈，長六丈。問：木若干。

答曰：八千四百根。

法曰：置深七尺倍作一十四根。又以闊五丈亦倍作一百根。相乘得一千四百根為實。另置長六丈以一丈五尺除之，得四根。為法乘實得五千六百根。又以闊五丈加之。合問。

今有荒排深二丈一尺，闊四丈四尺，長六丈。問：木若干。

答曰：八千三百七十七根六分。

法曰：置深二丈一尺，以三歸，得七尺。倍作一十四根。又以闊四丈四尺倍作八十八根。相乘得一千二百三十二根為實。另以長六丈以一丈五尺除之，得四根。為法乘之，得四千九百二十八根。又以深二丈一尺用三歸，得七尺，加之。合問。若量方圓束木法，已見前少廣章中。

右梱法雖設則，廠弊客弊或差免。但一封書併荒排法無異。其方梱所加，或闊深長不一，法難必矣。

均輸章第六

均，平也。輸，送也。此章以戶數多寡、道里遠近，而求車數粟數。以粟數高下而求僦直。以錢數多少而求傭錢。

歌曰

均輸只要一般般，不許虧民及損官。勞費程途知遠近，分毫依法要詳端。行道駕船皆一體，負挑車載重輕看。

今有銀二十二兩八錢，買黃白蠟。各要均平，其黃蠟每三斤價銀四錢，白蠟每斤價銀五錢。問：黃白蠟各若干。

答曰：各三十六斤。黃該銀四兩八錢，白該銀一十八兩。

法曰：置總銀以黃蠟三斤乘之，得六百八十四斤為實。另置黃蠟三斤以白蠟價五錢乘之，併黃蠟價四錢，共得一兩九錢。為法除之，得黃白各三十六斤。就以白蠟三十六斤以每斤五錢乘之，得價一十八兩。再置黃蠟三十六斤以價四錢乘之，得一十四兩四錢。又以蠟三斤為法除之，得價四兩八錢。合問。今有銀三十七兩八錢，糴米、麥、豆，三色各要均平。每石米價八錢，麥價六錢，豆價四錢。問：各若干。

答曰：米、麥、豆，各二十一石。

法曰：置總銀為實併米、麥、豆價共一兩八錢，為法除之，得每色二十一石之數。各以價乘之。合問。

右法不拘四色五色者，倣此推之。

今有甲、乙、丙三人以田多寡應當一年差役。甲田三十五畝，乙田二十五畝，丙田二十畝。問：各該值月若干。

答曰：甲該五箇月零七日半，乙該三箇月二十二日半，丙該三箇月。

法曰：置甲、乙、丙三人田共併得八十畝為法。另置甲田以十二月乘之，得四百二十為實。以法八除之，得五箇月零二五。卻以三十日乘二五，得七日半。又置乙田以十二月乘之，得三百為實。以法八除之，得三箇月零七五。卻以三十日乘七五，得二十二日半。又置丙田以十二月乘之，得二百四十為實。以法八除之，得三箇月。合問。

又法：置一年計三百六十日為實，併甲、乙、丙三人田共八十畝，為法除之每畝得值月四十五日。以乘各人田數，亦得。

今有甲、乙二人往縣應役。甲該十二日一往，乙該十五日一往。問：一人何日同會。

答曰：六十日會。

法曰：置甲十二日以乙十五日乘之，得一百八十日為實。卻以乙十五日減甲十二日，餘三日，為法除之。合問。

今有官派糧八百四十石。令四縣照依田地多寡納之。甲縣田五十六畝，乙縣四十四畝，丙縣三十二畝，丁縣二十八畝。問：各該納若干。

答曰：甲三百九十四石，乙二百三十一石，丙一百六十八石，丁一百四十七石。

法曰：置列甲、乙、丙、丁四縣田數，各以官派糧八百四十乘之，各列為實。另以四縣田併之，得一百六十畝。為法以除各縣乘數即得各縣該納之數。合問。又法：置總糧為實，併四縣田為法除之，以乘各田數。亦得。

今有五縣輸粟二萬石。照人戶多少、道里遠近、價值上下而均輸之。每車載二十五石，行道一里與僦里鈔一錢。甲縣二萬零五百二十戶，粟石價二兩。乙縣一萬二千三百一十二戶，粟石價一兩，遠輸所二百里。丙縣七千一百八十二戶，粟石價一兩二錢，遠輸所一百五十里。丁縣一萬三千三百三十八戶，粟石價一兩七錢，遠輸所一百五十里。戊縣五千一百三十戶，粟價一兩三錢，遠輸所一百五十里。問：各輸粟若干。

答曰：甲七千一百四十二石三斗五升九合九勺。乙四千七百六十一石五斗七升三合二勺，該僦里鈔二十兩。丙二千七百七十七石五斗八升四合，該僦里鈔一十五兩。丁三千四百三十八石九斗一升四合，該僦里鈔二十五兩。戊一千八百七十九石五斗六升八合三勺，該僦里鈔一十五兩。

解曰：甲縣乃自輸本縣而無僦里，惟乙、丙、丁、戊四邑有之。各昭里數遠近以僦鈔一錢，因之各得僦里鈔也。

法曰：置甲縣戶數為實，以粟價二兩為法除之，得一千零二十六衰。乙縣行道二百里以每車載二十五石除之，得八錢，併粟價一兩共一兩八錢，除戶數得六百八十四衰。丙縣行道一百五十里以每載二十五石除之，得六錢併粟價共一兩八錢，除戶得三百九十九衰。丁縣行道二百五十里亦以二十五石除之，得一兩併粟價共二兩七錢，除戶得四百九十四衰。戊縣行道一百五十里亦以二十五石除之，得六錢併粟價共一兩九錢，除戶得二百七十衰。就以五衰列置五縣，再併五衰共二千八百七十三衰為法。另以賦粟二萬石以乘五縣各衰為實，以法除之。合問。

原有綾每疋價四兩一錢，絹每疋價二兩一錢。今欲將綾換絹。問：多少可均。

答曰：綾二疋一，絹四疋一。

法曰：以綾絹價相乘，得八兩六錢一分為實。以絹疋價除之，得絹數。以綾價除之，得綾數。合問。

其疋下有零者，照疋長若干加之，是也。

今有麻每石價九錢，米每石價八錢，豆每石價七錢。今三主只以價均扣算麻、米、豆數及價。問：各若干。答曰：各該價五錢零四釐，麻五斗六升，米六斗三升，豆七斗二升。

法曰：先置麻、豆價相乘，得六斗三升，退位為米數。又以米、豆價相乘，得五斗六升，退位為麻數。再以麻、米價乘之，得七斗二升，退位為豆數。各以價乘之。合問。

但相乘數多者，為賤；少者，為貴。可以辨之。

原有人挑茶九十斤行道，五百里腳銀九錢。今挑一百二十斤，行道三百里。問：該銀若干。

答曰：七錢二分。

法曰：以今挑茶一百二十斤乘今行三百里，得三百六十。又以腳銀九錢乘之，得三兩二錢四分為實。另以九十斤乘原行五百里，得四百五十里，為法除之。合問。

原雇車一輛議行道一千里，載重一千二百斤與銀七兩五錢。今重一千五百斤，行一千三百里。問：該銀若干。

各曰：一十二兩一錢八分七釐五毫。

法曰：置今重一千五百斤以，今行一千三百里乘之，得一千九百五十里。又以銀七兩五錢乘之，得一十四兩六錢二分五釐為實。以原重一千二百斤乘原行一千里為法除之。合問。

今有貨重一千六百斤，先付車主銀六兩，照前議行道一千里載重一千二百斤，價七兩五錢。問：該行道若干。

答曰：六百里。

法曰：置今付車主銀六兩以原行道一千里乘之，得六千里。又以原重一千二百斤乘之，得七千二百里為實。另以今重一千六百斤以原價七兩五錢乘之，得一十二兩，為法除之。合問。

今有道一千七百里，車主已支去銀七兩六錢五分，照前議每一千里載重一千二百斤，價七兩五錢。問：該載重若干。

答曰：七百二十斤。

法曰：置原重以原行道乘之，仍得一千二百里。又以今去銀七兩六錢五分乘之，得九兩一錢八分為實。另置今行道以原與銀七兩五錢乘之，得一十二兩七錢五分。為法除之，即得。

原有人擔物一百五十斤行道，一百三十里與腳銀二錢。今擔一百八十斤行道九十里。問：該銀若干。答曰：一錢六分六釐一毫五絲。

法曰：置今重一百八十斤乘今行道九十里，得一百六十二里。又以原腳銀二錢乘之，得三錢二分四釐為實。另以原擔重一百五十斤乘原行道一百三十里，得一百九十五斤。為法除之，即得。

今有空車日行七十里，重車日行五十里。今載穀至倉五日三返。問：路遠若干。

答曰：四十八里又三十六分之二十二。

法曰：置空車、重車日行里數相乘，得三百五十里。又以五日乘之，得一千七百五十里為實。另併空車、重車日行里數。以三返乘之，得三百六十，為法除之不盡二十二，以法命之。

原有人負米一石一斗二升，行三十步，日五十返。今負米一石二斗，行四十步。問：日幾返。

答曰：三十五返。

法曰：置負米一石一斗二升以行三十步乘之，得三百三十六。又以五十返乘之，得一千六百八十為實。另以今負米一石二斗以行四十步乘，得四百八十，為法除之。合問。

今有眾兄弟輩出錢買物。長兄出錢八文，次兄以下各加一文，順至小弟出錢六十文。問：兄弟輩及共錢各若干。

答曰：五十三人，共錢一千八百零二文。

法曰：以八文併入六十文共得六十八文。另置六十文於內，減去八文，餘五十二文，再加長兄一人共得五十三人。另以六十八文乘五十三人，得三千六百零四文。折半，即得。

今有中式舉人一百名。第一名官給銀一百兩。自第二名以下挨次各減五錢。問：該銀若干。

答曰：七千五百二十五兩。

法曰：置一百名減去第一名，餘九十九名。以五錢乘之，得四十九兩五錢。以減一百兩餘，五十兩零五錢，為第一百未名之數。併入第一名給一百兩，共一百五十兩零五錢。以乘一百名，得一萬五千零五十兩，折半。合問。

今有錢一文，日增一倍，倍至三十日。問：該若干。答曰：十億零七千三百七十四萬一千八百二十四文。

法曰：置錢一文以十度八因即得〈一度八因乃三日倍數，十度八因乃三十日數〉。

一法：以五度六十四乘亦得〈一度六十四乘，乃六日倍數。五度六十四乘，是三十日數〉。

一法：以三度三十二乘得數，自乘亦得〈三度三十二乘乃，十五日數，自乘即三十日也〉。

解曰：十度者，以八因十次也。五度者，以六十四乘五次也。餘倣此。

今有天干十位，地支十二位。問：干支相配若干。答曰：六十甲子。

法曰：置天干十位，以地支十二乘之，得一百二十為實。卻以天干十位減地支十二，餘二。為法除之即得。今有車一輪。輪高六尺，推行二十里。問：輸轉若干。答曰：輸轉二千次。

法曰：置二十里以里率一千八百尺乘之，得三萬六千尺為實。另以輪高六尺三，因得周一十八尺為法除之。合問。

今有人車，不知其數。凡三人共車，二車空；二人共車，九人步行。問：人車各若干。

答曰：一十五車，三十九人。

法曰：置二人以三人乘之，得六。加九人得車一十五。又以：二人乘車十五，得三十。加九人得人數。

今齋僧不知人數。初日每五人米八斗，次日每九人米七斗。凡二日共米三十二石一斗。問：僧併米各該若干。

答曰：一百三十五人，初日米二十一石六斗，次日米一十石零五斗。

法曰：置列〈五人　九人〉互〈八斗　七斗〉，另以九人乘八斗，得七十二。又以五人乘七斗，得三十五。併之得一百零七為法。另以九人五人相乘，得四十五。復乘共米三十二石一斗，得一千四百四十四石五斗為實。以法除之。合問。

今有圍兵二萬三千四百人，以布圍之，各相去五步。今圍內縮除一十六里九十步而止。問：圍兵各相去若干。

答曰：四步七分五釐。

法曰：置兵數以五步乘之，得一十一萬七千步。另以一十六里以三百六十步通之，得五千七百六十步。加零九十步，共五千八百五十步。以減上數餘一十一萬一千一百五十步，以圍兵二萬三千四百，為法除之，即得。

今有糧三千六百石。只云每石則例令三處倉上納。東倉二斗三升四合，西倉三斗四升五合，南倉四斗二升一合，依則均開。問：各倉該米若干。

答曰：東倉八百四十二石四斗，西倉一千二百四十二石，南倉一千五百一十五石六斗。

法曰：置總糧為實，以各倉則例數乘之，合問。

今有夏稅麥二百七十四石。三限催徵。初限五分六月完，中限三分半七月完，末限一分半八月完。問：各限該徵若干。

答曰：初限一百三十七石，中限九十五百九斗，末限四十一石一斗。

法曰：列置麥數三位。一位以五分乘為初限數。二位以三分半乘為中限數。三位以一分半乘為末限數。合問。

今有雞兔同籠。上有三十五頭，下有九十四足。問：雞兔各若干。

答曰：雞二十三隻，兔一十二隻。

法曰：置總頭倍之，得七十。於總足內減七十餘二十。四折半得一十二，是兔。以四足乘之，得四十八足，於總足減之，餘四十六足，為雞足。折半得二十三隻。合問。

一法：以四因總頭，減去總足，餘折半得雞。另以二因四歸總足，減總頭，餘得兔。

倍頭減足折半是兔。

不分雞兔，以雞二足乘頭數，於共足內減之，所餘者是一兔。剩二足，故折半為兔也。

四頭減足折半是雞。

不分雞兔，以兔四足乘頭數，以共足減之，所餘者，雞足也。故折半為雞。

此法名二率分身，即貴賤差分也。

今有狐貍一頭，九尾、鵬鳥一尾，九頭。只云前有七十二頭，後有八十八尾。問：二禽獸各若干。

答曰：狐貍九箇，鵬鳥七隻。

法曰：置總頭七十二以減總尾八十八，餘一十六，是二禽獸共數。以尾九因之，得一百四十四，內減總尾八十八，餘五十六，為實。另以尾九內減一頭，餘八，為法除實，得鵬鳥七隻。以減共數，餘得狐九箇。合問。