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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百二十一卷目錄

　算法部彙考十三

　　算法統宗九〈盈朒章第七〉

曆法典第一百二十一卷

算法部彙考十三

《算法統宗九》盈朒章第七

盈，多也；朒，少也。此是假設有餘不足者，以求隱雜之數也。隱雜者，不見之數；顯者，可見之數。故以顯者推隱雜者。且如數人共買物，出錢多則有餘，少則不足，無可考究者。故以有餘、不足數求之，則人數物價可知矣。

歌曰

算家欲知盈不足，兩家互乘併為物。併盈不足為人實，分率相減餘為法。法除物實為物價，法除人實人數目。

法曰：置所出率與盈不足〈出率　出率〉互〈盈率不足率〉，以盈不足互乘，所出率併之，共若干為物實。另併餘不足共若干為人實。置所出率相減，餘若干為法除人實，得人數；除物實得物價。

又法：併盈不足為人實，以出率相減，餘為法除實，得人數。卻以出率乘人數，得若干。減盈增不足即得物價。

若人分物者，卻是增盈減不足，即得物數也。其盈朒互乘出率，併為物實。又併盈朒為人實。或併盈朒為人實，俱出率相減，餘為法也。其理則一作法之意也。

今有人買物。每人出銀五兩，盈六兩。每人出銀三兩，不足四兩。問：人物價各若干。

答曰：五人，物價銀一十九兩。

法曰：置盈不足〈出五兩　出三兩〉互〈盈六兩不足四兩〉，先以出五兩互乘，不足四兩，得二十兩。次以出三兩互乘，盈六兩，得一十八兩。併二位共三十八兩為物實。另併盈六兩不足四兩，共十兩為人實。卻以出五兩內減出三兩，餘二兩。為法除人實，得五為人數，除物實得一十九兩為物價。

此是盈朒互乘出率，併為實，又併盈朒為人實者。

今有人分物。每人分一十二箇，盈一十二箇。每人分一十四箇，不足六箇。問：人數及物若干。

答曰：九人物一百二十箇。

法曰：置盈不足併盈十二、不足六，共一十八箇為人實。以分十四減分十二餘二，為法除人實，得九人。卻以分一十四箇，乘人數，得一百二十六箇。內減去不足六箇，餘一百二十箇，是物數。或置九人以分一十二箇，乘得一百零八箇，內增十二，亦得物數。合問。

此是併盈朒為人實，出率相減，餘為法除人實，得人數。以分率乘之。或增盈減不足，得物數。凡分物則用增盈減不足。若買物者，則用減盈增不足。

今有買物，每人出錢八文，盈三文。每人出錢七文，不足四文。問：人數物價各若干。

答曰：七人，物價五十三文。

法曰：置盈不足，併盈三文、不足四文，共七文為人實。以出八文減出七文，餘一文。為法除人實，得七人。卻以出八文乘人數，得五十六文。內減盈三文餘五十三文是物價。或置七人以出率七文乘之，得四十九文。內增不足四文，亦得物價。合問。

此因前併盈朒為人實者，是買物也。仍前得人數，卻以出率乘之。或減盈增不足，即得物價。凡賈物者倣此。

今有人分絹。只云每人分八匹，盈一十五匹。每人分九匹，不足五匹。問：人絹各若干。

答曰：二十人，絹一百七十五匹。

法曰：置盈不足〈分八匹　分九匹〉互〈盈十五匹不足五匹〉。先以分八匹互乘不足五匹，得四十匹。次以分九匹互乘盈十五匹，得一百三十五匹。併二位，得一百七十五匹，為絹數。又併盈十五不足五共二十，為人數。合問。

此是分八匹分九匹相減，餘一為法者。雖用歸之數，亦如故。惟以大數變化，為小故不必用此法亦得。只併盈朒為人實。另併前互乘二位為絹數。

人有絹一匹，欲作帳幅。先摺作六幅，比舊帳長六寸。後摺作七幅，比舊帳短四寸。問：絹及舊帳幅長各若干。

答曰：絹長四丈二尺，舊帳幅長六尺四寸。

法曰：置先摺絹六幅以比舊帳長六寸乘之，得三尺六寸。另置七幅以短四寸乘，得二尺八寸。如盈不足列〈六幅　七幅〉互〈長三尺六寸寬二尺八寸〉，以七幅互乘長三尺六寸，得二丈五尺二寸。又以六幅互乘二尺八寸，得一丈六尺八寸，併二數，得四丈二尺為絹實。卻以七幅減去六幅，餘一幅。為法除絹實得絹長數，另併互乘長短得六尺四寸，為舊帳幅實，仍前法除之。

今有直田一段。欲截南頭賣之。只云截長六步，不足七步。截長八步，盈九步。問：截賣步數及田原闊各若干。

答曰：截賣五十五步，原闊八步。

法曰：置盈不足〈截六步　截八步〉互〈不足七步盈九步〉，先以截六步乘盈九步，得五十四步。次以截八步乘不足七步，得五十六步。併二位共得一百一十步為截積之實。卻以截賣六步八步相減，餘二步。為法除之，得截積五十五步。另以不足七步，併多九步，共得一十六步為田闊之實。仍以前法二除之，得原闊八步。合問。

兩盈兩不足歌

兩盈出率互相乘，多減少剩是物情。兩盈相減遺人實，出率相減法之名。法除物情是物價，法除人實人數稱。若問算中兩不足，與盈法例一般行。

法曰：置所出率與兩盈互乘，各得若干。以少減多，餘為物實。另以兩盈相減，餘為人實。又以出率相減，餘為法除人實，得人數。除物實得物數。

今有人買物。每人出銀三兩五錢，盈六兩。每人出三兩三錢，盈二兩八錢。問：人數物價各若干。

答曰：一十六人，物價銀五十兩。

法曰：置兩盈〈出三兩五錢　出三兩三錢〉互〈盈六兩　盈二兩八錢〉，先以出三兩五錢互乘盈二兩八錢，得九兩八錢。次以出三兩三錢互乘盈六兩，得一十九兩八錢。二數相減，餘十兩為物實。另以置六兩內減盈二兩八錢，餘三兩二錢為人實。又以出三兩五錢內減出三兩三錢，餘二錢。為法除物實得五十兩。為物價法除人實得一十六，為人數。合問。

今有人買牛。每人出銀五兩，不足四兩。每人出五兩四錢，不足二兩。問：人數物價各若干。

答曰：五人，物價銀二十九兩。

法曰：置兩不足〈出五兩　出五兩四錢〉互〈不足四兩　不足二兩〉，先以出五兩乘不足二兩，得一十兩。次以出二兩四錢乘不足四兩，得二十一兩六錢。二數相減，餘一十一兩六錢為物實。另以不足四兩，減不足二兩，餘二兩為人實。又以出五兩四錢內減出五兩，餘四錢。為法除物實得物價。就以法四錢除人實，得五為人數。合問。今有里長值月。議云每里科出銀五錢，依帳買物以辦酒席，多銀三兩五錢。每里科出四錢，亦多五錢。問：合用銀併里數若干。

答曰：三十里，用銀一十一兩五錢。

法曰：置兩盈〈出五錢　出四錢〉互〈多三兩五錢　多五錢〉，先以出五錢互乘多五錢，得二兩五錢。次以出四錢互乘多二兩五錢，得一十四兩。二數相減，餘一十一兩五錢為用銀實。另以多三兩五錢減多五錢，餘三兩為人實。再以出五錢減出四錢，餘一錢。為法除銀實即銀數除人實，即里數。合問。

今有井不知深。先將繩摺作三條入井汲水，繩長四尺。後將繩摺作四條入井，亦長一尺。問：井深及繩長各若干。

答曰：井深八尺，繩長三丈六尺。

法曰：兩盈置繩長四尺以摺作三條通之，得一十二尺。又置長一尺以摺作四條通之，得四尺。各列置位〈三條　四條〉互〈長十二尺　長四尺〉。先以三條乘四尺，得一十二尺。又以四條乘長一十二尺，得四十八尺。二數相減，餘三十六尺為繩實。卻以三條四條相減，餘一為法除繩實，得繩長。另以前通兩盈數相減，餘八尺為井實。仍以法一除之，得井深數。合問。

此是三條四條相減餘一為法者，不必用法除，即是。

盈適足不足適足歌

盈與適足數相乘，乘數將來為物情。盈數自稱為人實，二位各列要分明。出率相減餘為法，法除物實物價真。法除人實為人數，不足適足一般行。

法曰：盈適足者置所出率于上，以盈與適足于下或以盈數互乘適足出率，得若干為物實。另以盈數為人實，又以出率相減，餘為法除人實，得人除物實得物。

一法：以盈數為人實，另以出率相減，餘為法除人實，得人數若干。卻以適足數乘之，得物數〈此乃捷徑〉。今有人買物。每人出銀二兩五錢，盈六兩。每人出銀二兩三錢，適足。問：人數物價各若干。

答曰：三十人，物價銀六十九兩。

法曰：置盈適足列〈出二兩五錢　出二兩三錢〉互〈盈六兩適足〉，只以盈六兩互乘出二兩三錢，得一十三兩八錢為物實。另以盈六兩為人實，卻以出二兩五錢減出二兩三錢，餘二錢。為法除物實，得物價。除人實，得人數。合問。一法：以盈六兩為人實，另以出率相減，餘二錢為法除人實，得三十。卻以二兩三錢乘之，亦得物價。今有人買物。每人出銀七兩不足一十四兩。每人出銀九兩適足。問：人數物價各若干。

答曰：七人，物價銀六十三兩。

法曰：置不足適足列〈出七兩　出九兩〉互〈不足十四兩適足〉，只以不足一十四兩互乘出九兩，得一百二十六兩為物實。另以不足一十四兩為人實，卻以出九兩內減出七兩，餘二兩。為法除物實得物價。除人實得人數。合問。

一法：以不足一十四兩為人實，以出率相減餘二。為法除實，得七人。以九兩乘之，得物價。

今有米換布七匹，多四斗。換九匹，適足。問：米布價各若干。

答曰：米一石八斗，布匹價米二斗。

法曰：置盈適足。以多四斗為實。另以九匹減七匹餘二匹。為法除實，得匹價米二斗。卻以適足九匹乘之，得總米一石八斗。合問。

盈朒雙套〈今述釋義于左〉

盈朒章〈盈不足，兩盈兩不足。盈適足，不足適足〉。三宗皆先賢立法正律格式。自劉氏通明，吳氏比類始增。雙套者，用分母子者，皆存于後，以便學者。

雙套法：三宗五條，布算俱分左右，二行各列上中下三位。俱先以右上左上相乘，得若干。為乘人率通法。以右上乘左中，左上乘右中，二數相減，餘若干。為法除人實、物實之法〈三宗雙套俱先如此〉。

雙套盈不足法：先用前雙套法。次以右中得數乘左下，左中得數乘右下，二數相併，為物實。以前除法除，得物數。卻以右下盈若干，左下不足若干，二數相併，為人率。先以前通法乘之，為人實。後仍以前除法除之，得人數。

雙套兩盈法：先用前雙套法。次以右中得數乘左下，左中得數乘右下，二數相減，餘為物實。以前除法除，得物數。卻以右下盈若干，左下盈若干，二數相減，餘為人率。先以前通法乘之，為人實。後仍以前除法除，得人數〈兩不足同〉。

雙套盈適足法：先用前雙套法。次以右中得數乘左下盈數，就為物實。以前除法除之，得物數。卻以左下盈若干，就為人率。先以前通法乘，為人實。後仍以前除法除之，得人數〈不足適足同〉。

今有人買物。每八人出銀七兩，盈四兩五錢。每九人出銀六兩，不足三兩。問：人數物價各若干。

答曰：三十六人，物價銀二十七兩。

法曰〈雙盈不足〉置〈右上八人　左上九人〉互〈中出七兩　中出六兩〉互〈得六十三　得四十八〉互〈下盈四兩五錢　下不足三兩〉，先以左上九人、右上八人相乘，得七十二，為乘人率通法。又以左上九人互乘右中七兩，得六十三。再以右上八人互乘左中六兩，得四十八。二數相減，餘十五。為除人實、物實法。次以左中得數四十八互乘右下盈四兩五錢，得二百一十六。又以右中得數六十三互乘左下不足三兩，得一百八十九。二數相併共四百零五為物實。以法十五除之，得銀二十七兩。卻以左下不足三兩、右下盈四兩五錢，二數相併得七兩五錢，為人實率。先以前通法七十二乘之，得五百四十，為人實。後仍以前法十五除之，得三十六人。合問。

今有人買物。每六人出銀九兩多三兩，每四人出銀七兩多六兩。問：人數物價各若干。

答曰：一十二人，物價銀一十五兩。

法曰：雙兩盈置〈右上六人　左上四人〉互〈中出九兩得三十六　中出七兩得四十二〉互〈下盈三兩　下盈六兩〉。先以左上四人、右上六人相乘，得二十四，為乘人率通法。又以左上四人互乘右中九兩，得三十六。再以右上六人互乘左中七兩，得四十二。二數相減，餘六，為除人實、物實法。次以左中得數四十二互乘右下多三兩，得一百二十六。再以右中得數三十六互乘左下多六兩，得二百一十六。二數相減，餘九十兩為物實。以前法六除之，得銀一十五兩。卻以左下多六兩、右下多三兩，二數相減，餘三兩，為人實率。先以前通法二十四乘之，得七十二為人實。後仍以前法六除之，得一十二人。合問〈雙套兩不足法倣此〉。

今有買物。每三人出銀五兩，多十兩。每五人出銀九兩，適足。問：人數物價各若干。

答曰：七十五人，物價銀一百三十五兩。

法曰：雙套盈適足置〈右上五人　左上三人〉互〈中出九兩　中出五兩得五〉互〈下適足　下盈十兩〉。先以左上三人、右上五人相乘，得十五，為乘人率通法。次以左上三人互乘右中九兩，得二十七。再以右上五人互乘左中五兩，得二十五。二數相減，餘二，為除人實物實法。次以右中得數二十七乘左下盈十兩，得二百七十兩，就為物實。以前法二除之，得銀一百三十五兩。卻以左下盈十兩就為人實率。先以前通法十五乘之，得一百五十為人實。後仍以前法二除之，得七十五人。合問〈雙套不足適足倣此〉。

取錢買物盈朒歌

取錢買物求盈朒，分子互將分母乘。乘訖卻來通物價，以錢併作物之情。互乘物價亦相併，乘子除為錢實名。買率減餘為法則，除來錢物自分明。

今有銀不知其數，欲買田。取銀三分之二買之，盈三兩。取銀五分之三買之，不足一兩。問：總銀田價各若干。

答曰：總銀六十兩，田價銀三十七兩。

法曰：先以之二互乘五分，得一十。以通不足一兩得十兩。次以之三互乘三分，得九。以通盈三兩得二十七兩。如盈朒法列位〈九十〉互〈多二十七兩少一十兩〉。先以十互乘多二十七兩，得二百七十兩。又以九互乘少十兩，得九十兩。併二位，得三百六十兩。卻以分子之二、之三相乘，得六十兩，為銀實。卻以通十、減九，餘一，為法除之，得總銀六十兩。次以多二十七兩、少十兩併之，得三十七兩，為田價實。仍以前法一除之，得田價三十七兩。合問。

取錢買物兩盈歌〈附兩朒即兩不足〉

取錢買物兩皆盈，分子互乘分母訖。以母通乘物價周，對減盈錢為物實。物價互乘少減多，乘子除為錢實積。率減零餘為法行，法實相除盡可識。

今有銀不知數，欲買鹿。取銀六分之四買之，盈二兩。取銀四分之三買之，盈三兩五錢。問：銀數鹿價各若干。

答曰：銀一十八兩，鹿價一十兩。

法曰：先以之四互乘四分，得一十六，以通盈三兩五錢，得五十六兩。次以之三互乘六分，得一十八，以通盈二兩得三十六兩。各列位〈十八　十六〉互〈盈三十六　盈五十六〉。先以十六互乘三十六，得五百七十六兩。又以十八互乘五十六，得一千零八兩。二位相減，餘四百三十二兩。卻以分子之三、之四相乘，得十二。除之得三十六，為銀實。卻以十八十、六相減，餘二，為法除之，得銀數一十八兩。另以兩盈三十六、五十六相減，餘二十，為鹿價實。仍以前法二除之，得鹿價一十兩。合問。今有官派銀不知數。依例令上等八戶，下等五戶，納之不足五兩。復令上等六戶，下等八戶，納之亦不足三兩。其銀下戶例如上戶例，十分之八。問：派銀數及各戶則例若干。

答曰：官派銀六十五兩，上戶例五兩，下戶例四兩。

法曰：先置上等八戶，以十因之，得八十戶。又置下等五戶，以八因之，得四十戶。併之，得一百二十戶。列位。次置上等六戶，以十因之，得六十戶。又置下等八戶，以八因之，得六十四戶。併之得一百二十四戶。列位〈一百二十戶　一百二十四戶〉互〈不足五兩　不足三兩〉。先以一百二十戶互乘不足三兩，得三百六十兩。又以一百二十四戶互乘不足五兩，得六百二十兩。二位相減，餘二百六十兩，為銀實。卻以戶數一百二十與一百二十四相減，餘四，為法除之，得官派銀六十五兩。另以兩不足五兩、三兩相減，餘二兩，為則例實。仍以前法四除之，得五錢，以十因之，得上等一戶則例銀五兩。另列五錢以八因之，得下等一戶則例銀四兩。合問。

取錢買物盈適足歌

取錢買物盈適足，子互乘母自相通。卻以盈錢為物實，減率留餘作法宗。取錢適足乘盈數，乘子除為錢實宮。如法除之錢可見，不足適足術相同。

假有銅錢不知數，欲買木一根。取錢二分之一買之，盈錢四文。取錢七分之三買之，適足。問：錢數木價各若干。

答曰：總錢五十六文，木價二十四文。

法曰：先以二分下之一互乘七分，得七數次。以七分下之三互乘二分，得六數。以通盈四文，得二十四文。如盈適足列位〈六七〉互〈盈二十四適足〉。先以盈二十四文為木價實，卻以六相減，餘一，為法除之，得木價二十四文。次以七互乘盈二十四，得一百六十八。卻以之一、之三相乘，得三，為法除之，得錢五十六文。合問。今有芝麻不知數。只云取麻八分之三，糶銀十兩，不足二石。取麻三分之一，糶銀八兩，適足。問：麻數及每兩該麻若干。

答曰：總麻四十八石，每銀一兩該麻二石。

法曰：先以八分下之三互乘三分，得九數。以通八兩得，七十二兩。次以三分下之一互乘八分，得八數。以通十兩，得八十兩。以八通不足二石，得一十六石。如不足過足列位〈八十兩　七十二兩〉互〈不足十六石適足〉。先以七十二互乘一十六石，得一千一百五十二。卻以之一、之三相乘，得三。除之，得三百八十四石為麻實。卻以八十兩減去七十二兩，餘八兩。為法除之，得總麻四十八石。另以不足一十六石為銀。該麻之實仍以前法八除之，得每銀一兩，該麻二石。合問。

此取錢買物數條，是帶分母之法。