KR7a0003

卷122

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百二十二卷目錄

　算法部彙考十四

　　算法統宗十〈方程章第八　句股章第九〉

曆法典第一百二十二卷

算法部彙考十四

《算法統宗十》方程章第八

方，正也；程，數也。以諸物總併為問，去繁就簡為主。乃諸物繁亢，諸價錯雜，必須布置行列，或損益加減，同異正負，逓互遍乘，求其有等。以少減多，餘物為法，餘價為實。性實相除，得一價以推其餘。若繁雜甚者，次第求之。

正者，正數。負者，欠數。

二色方程歌

世人欲要識方程，物價俱將左右陳。右上法乘左中下，次將左上右行乘。中間相減餘為法，下位相減餘實情。法除實為右中價，得價須將右中乘。右下價內減去積，餘為實數甚分明。右上為法除下實，便為上價細推尋。

今有馬三匹，牛二頭，共價銀一百一十四兩。又馬四匹，牛五頭，共價一百六十二兩五錢。問：馬牛價各若干。

答曰：馬每匹價三十五兩，牛每匹價四兩五錢。法曰：列所問數

<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1718-18px-GJfont.pdf.jpg' />　上馬〈三匹〉為法〈先乘左〉中牛二〈乘得八〉　　下價〈一百一十四兩〉　得〈四百五十六兩〉<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1721-18px-GJfont.pdf.jpg' />　上馬〈四匹〉為法〈次乘右〉中牛五〈乘得一十五〉　　下價〈一百六十二兩五錢〉　得〈四百八十七兩五錢〉先以右行馬三為法，遍乘左行中牛五，得一十五。又以法乘左行下價一百六十二兩五錢，得四百八十七兩五錢。卻以左行馬四為法，復遍乘右行中牛二，得八。減左行乘得牛十五，餘七為法。又以左上馬四乘右下價一百一十四兩，得四百五十六兩。減左行乘價四百八十七兩五錢，餘三十一兩五錢為實。以法七除之，得牛匹價四兩五錢。卻以右行中牛二乘之，得九兩。以減右行下價一百一十四兩，餘一百零五兩為實。以右行馬三為法除之，得馬一匹價三十五兩。合問。

今有綾三尺，絹四尺，共價四錢八分。又綾七尺，絹二尺，共價六錢八分。問：綾絹各價若干。

答曰：綾每尺價八分，絹每尺價六分。

法曰：列所問數

<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1718-18px-GJfont.pdf.jpg' />　綾〈三尺〉為法〈先乘左〉　絹〈四尺〉得〈二十八〉　價〈四錢八分〉　得三兩三錢六分<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1721-18px-GJfont.pdf.jpg' />　綾〈七尺〉為法〈次乘右〉　絹〈二尺〉乘得〈六〉　　價〈六錢八分〉　乘得二兩零四分先以右行綾三為法遍乘左中下，得數。卻以左行綾七為法復遍乘右行中絹四，得二十八。減左行中得絹六餘二十二為法。又以左綾七乘右價四錢八分，得三兩三錢六分。減左行乘得價二兩零四分，餘一兩三錢二分為實。以法二十二除之，得絹每尺價六分。就以右行絹四尺乘之，共得絹價二錢四分。以減右行價四錢八分，餘二錢四分。以綾三尺為法除之，得綾每尺價八分。合問。

三色方程歌

三色方程法更奇，物價三行左作基。左右互乘須減盡，中下價餘左位宜。又列二行仍乘減，中中左中減無餘。下餘為法價餘實，法實相除下價知。

此三色方程已後，內中或有正負、同異加減者。

今有硯三箇，墨五匣，筆九枝，共價八錢一分。又硯四箇，墨六匣，筆七枝，共價八錢九分。又硯五箇，墨七匣，筆八枝，共價一兩零六分。問：硯墨筆各價若干。答曰：硯每箇八分，墨每匣六分，筆每枝三分。

法曰：列所問數

<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1718-18px-GJfont.pdf.jpg' />　硯〈三〉為法〈先乘左右〉墨〈五〉得〈二十〉　筆〈九〉得〈三十六〉價〈八錢一分〉　得三兩二錢四分<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1721-18px-GJfont.pdf.jpg' />　硯〈四〉得〈一十二〉　　墨〈六〉得〈一十八〉筆〈七〉得〈二十一〉價〈八錢九分〉　得二兩六錢七分<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1720-18px-GJfont.pdf.jpg' />　硯〈五〉得〈一十五〉　　墨〈七〉得〈二十一〉筆〈八〉得〈二十四〉價〈一兩零六分〉得三兩一錢八分先以右行硯三為法，遍乘左中二行得數。卻以中行硯四遍乘右行墨筆得數。墨得二十，筆得三十六，價得三兩二錢四分。與中行對減，餘墨二，筆十五，價五錢七分。另列右位，又以左行硯五為法，遍乘右行墨筆得數，墨二十五，筆四十五，價四兩零五分。與左行對減，餘墨四，筆二十一，價八錢七分。另列左位，再列減餘，以分左右位數。以右行墨二為法，遍乘左行筆價，得數列左位。

<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1718-18px-GJfont.pdf.jpg' />　墨〈二〉　筆〈十五〉　　得〈六十〉　價〈五錢七分〉　得二兩二錢八分<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1721-18px-GJfont.pdf.jpg' />　墨〈四〉　筆〈二十一〉　得〈四十〉價〈八錢七分〉　　得一兩七錢四分復以左行墨四為法，遍乘右行筆價，得數列右位。卻以左右對減，墨盡，餘得筆一十八枝為法。又以餘價得數相減，餘五錢四分為實。以法除實，得筆價每枝三分。就以筆價乘後右餘筆十五，得四錢五分。以減右行餘價五錢七分，餘一錢二分。以右行餘墨二為法除之，得墨價每匣六分。於前右行原價八錢一分內，減原筆九價二錢七分，原墨五價三錢，餘二錢四分為實。以前右原硯三為法除之，得硯價每箇八分。今有馬一匹，騾二匹，驢三匹。皆載四石二斗，至坡皆不能上。馬借騾一匹，騾借驢一匹，驢借馬一匹，方過其坡。問：三等力各若干。

答曰：馬二石四斗，騾一石八斗，驢六斗。

法曰：列所問數

<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1718-18px-GJfont.pdf.jpg' />正馬〈一〉為法〈先乘左中〉　〈借〉騾〈一〉　下空　四石二斗<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1720-18px-GJfont.pdf.jpg' />　空　正騾〈二〉　〈借〉驢〈一〉　四石二斗<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1721-18px-GJfont.pdf.jpg' />〈借〉馬〈一〉　空〈負一〉　正驢〈三〉得〈三〉　四石二斗　得四石二斗先以右行正馬一為法，遍乘左行中下得數。卻以左行借馬一為法，遍乘右行中下，得數。中得一因左行中空無減，加入負騾一。下空無數，轉乘本行下正驢三，得三四石二斗。得四石二斗，與左行減盡。又以中行正騾二遍乘左行中下得數。中加一得二，下三得六。四石二得八石四斗。再以左行中一為法，遍乘中行中下得數。中中正二得二，與左中二減盡。下一得一，加左行下六，得七。為法四石二斗。得四石二斗與左行八石四斗對減，餘四石二斗為實。以法除之，得驢匹力六斗。中行四石二斗內減借驢一匹，除六斗仍三石六斗。作騾二匹除之，得騾力一石八斗。右行四石二斗內減借中行騾一匹，除一石八斗，餘二石四斗，為馬一匹力。合問。

今有硃二斤，粉三斤，價二兩零四分。又粉五斤，丹六斤，價六錢四分。又硃三斤，丹七斤，價二兩九錢八分。問：三色各價若干。

答曰：硃每斤九錢，粉每斤八分，丹每斤四分。

法曰：列所問數

<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1718-18px-GJfont.pdf.jpg' />　硃〈二〉為法〈先乘左行〉　粉〈三〉　得〈一〉　空　價〈二兩零四分〉<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1720-18px-GJfont.pdf.jpg' />　空　粉〈五〉　丹〈六〉　價〈六錢四分〉<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1721-18px-GJfont.pdf.jpg' />　硃〈三〉　空〈負九〉　丹〈七〉得〈一十四〉價〈二兩九錢八分〉　得五兩九錢六分先以右行硃二為法，遍乘左行。得數列于左位。卻以左行硃三為法，遍乘右行粉三，得九。左空亦立負九價二兩零四，得六兩一錢三分。與左行得數五兩九錢六分對減餘，一錢六分。又以中行粉五為法，遍乘左行粉負九，得負四十五，丹十四，得七十餘價一錢六分，得八錢。再以左行負粉九為法，遍乘中行粉五，得四十五。與左行負粉對減，盡丹六，得五十四異。加左丹七十，共一百二十四為法。以中原價六錢四分，亦以負粉九乘，得五兩七錢六分。減左餘價八錢。餘四兩九錢六分為實。以法除之，得丹每斤價四分於中行。價六錢四分內減原丹六共價二錢四分，餘價四錢為實。以粉五為法除之，得粉每斤價八分。又於右行價二兩零四內除粉三斤，共減價二錢四分，餘價一兩八錢為實。以硃二斤為法除之，得硃每斤價九錢。合問。

今有鵝四隻，鴨三隻，共價七錢五分。又鵝三隻，雞四隻，共價六錢。又鴨五隻，雞六隻，共價八錢一分。問：三色價各若干。

答曰：鵝每隻價一錢二分，鴨每隻價九分，雞每隻價六分。

法曰：列所問數。

<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1718-18px-GJfont.pdf.jpg' />　鵝〈四〉為法〈先乘中行〉　鴨〈三〉中法〈乘得九〉　空　七錢五分〈中法乘得二兩二錢五分〉<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1720-18px-GJfont.pdf.jpg' />　鵝〈三〉為法〈次乘右行〉　空〈照左負九〉　　雞〈四右法乘得十六左法乘得八十〉　六錢〈右法乘得二兩四錢咸右餘一錢五分左法乘得七錢五分〉<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1721-18px-GJfont.pdf.jpg' />　空　　鴨〈五〉中法〈負九乘得四十五〉　雞〈六〉中法〈負九乘得五十四〉　八錢一分〈中法負九乘得七兩二錢九分〉先以右行鵝四為法，遍乘中行，得數雞一十六、價二兩四錢，列中位。又以中行鵝三為法，遍乘右行，得數鴨九、價二兩二錢五分，列右位。以中右對減，餘雞一十六，價一錢五分，又列中位為用。再以左行鴨五為法，復遍乘中行得數。鴨照右設立，負九得四十五。雞十六得八十，價一錢五得七錢五分，列中位。又以中行負九為法，遍乘左行，得數鴨四十五，雞五十四，價七兩二錢九分，列左位。以中左對減，鴨盡。雞中行八十加左行五十四，共一百三十四為法。以價中七錢五分加左七兩二錢九分，共八兩零四分為實。以法除之，得六分為雞一隻之價。另以左行原價八錢一分減雞六隻，共價三錢六分，餘四錢五分。以鴨五隻為法除之，得鴨價每隻九分，再以右行原價七錢五分減鴨三隻，共價二錢七分，餘四錢八分。以鵝四為法除之得鵝每隻價一錢二分。合問。

今有賣二牛、五羊，買十三豬，剩銀五兩。賣一牛、一豬，買三羊適足。賣六羊、八豬，買五牛，少銀三兩。問：牛、羊、豬，各價若干。

答曰：牛價銀六兩，羊價銀二兩五錢，豬價銀一兩五錢。

法曰：以賣牛為正，以買豬為負。以多為正，以少為負。列所問數<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1718-18px-GJfont.pdf.jpg' />　牛〈正〉二為法　羊〈正〉五　豬〈負〉十三　〈正〉五兩<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1720-18px-GJfont.pdf.jpg' />　牛〈正〉一　羊〈負〉三〈得負六〉　豬〈正〉一〈得正二〉　空適足<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1721-18px-GJfont.pdf.jpg' />　牛〈負〉五　羊〈正〉六〈得正十二〉　豬〈正〉八〈得正十六〉　〈負〉三兩〈得六兩〉先以右行牛正二為法，遍乘中左二行得數。卻以中行牛正一為法，復遍乘右行羊正五得正五。異加中行羊負六，共得羊負十一。豬負十三得負十三。異加中行豬正二，共得豬正十五，價正五兩得正五兩。因中行價空，無減得正五兩。再以左行牛負五為法復遍乘右行羊正五，得羊正二十五。同名加左羊正十二，共得三十七。豬負十三得豬負六十五。異減左行豬正十六，餘得豬負四十九。價正五兩得正二十五兩。異減左行負六兩，餘得負一十九兩。再以中行羊負十一為法遍乘左行羊正三十七，得羊正四百零七。豬負四十九得豬負五百三十九。價負一十九兩得價負二十兩零九錢。卻以左行羊正三十七為法復遍乘中行羊負十一，得羊負四百零七。與左行羊正四百零七異名對減盡。豬正十五得豬正五百五十五。異減左行豬負五百三十九，餘得豬正一十六為法。價正五兩得正一十八兩五錢。異減左行價二十兩零九錢，餘得正二兩四錢為實。以法除之得豬價一兩五錢。中行豬正十五。以價一兩五錢乘得二十二兩五錢。加正五兩共二十七兩五錢。以羊十一除之，得羊價二兩五錢。右行豬負十三。以價一兩五錢乘，得一十九兩五錢。加入正五兩，共得二十四兩五錢。減五羊價共一十二兩五錢，餘得一十二兩。以牛二除之得牛價六兩。合問。

四色方程歌〈附五六色倣數〉

四色方程法可誇，須存末位作根芽。諸行乘減同前例，偶與奇行認莫差。若遇奇行須減價，偶行之價要相加。加減作實須加法，減法亦須減法佳。隨問幾多繁雜色，憑斯推廣更無他。

今有瓜二箇，梨四箇，共價四分。梨二箇，桃七箇，共價四分。桃四箇，榴七箇，共價三分。瓜一箇，榴八箇，共價二分四釐。問：各該價若干。

答曰：瓜八釐，梨六釐，桃四釐，榴二釐。

法曰：列所問數。以一行、三行為奇，二行、四行為偶。<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1723-18px-GJfont.pdf.jpg' />　瓜〈二〉　梨〈四〉　空　空　價四分<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1726-18px-GJfont.pdf.jpg' />　空　梨〈二〉　<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page3935-18px-GJfont.pdf.jpg' />〈七〉　空　價四分<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1725-18px-GJfont.pdf.jpg' />　空　空　<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page3935-18px-GJfont.pdf.jpg' />〈四〉　榴〈七〉　價三分<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1722-18px-GJfont.pdf.jpg' />　瓜〈一〉　空〈負四〉　空　榴〈八〉得〈一十六〉　價二分四釐　得四分八釐先以一行瓜二為法，遍乘四行梨空。負四桃，空榴八得一十六。價二分四釐，得四分八釐。卻以四行瓜一遍乘一行梨四，得四。第四行梨空無，減桃空。價四分得四分。與四行四分八釐對減，餘八釐。次以二行梨二遍乘四行梨負四，得八桃。空榴十六得三十二。價八釐得一分六釐。卻以四行梨負四遍乘二行梨二得八。與二行梨八對減盡桃七，得二十八榴空。價四分得一錢六分。加四行一分六釐共一錢七分六釐。又以三行桃四遍乘四行桃負二十八，得一百一十二。榴三十二得一百二十八。價一錢七分六釐得七錢零四釐。卻以四行桃負二十八遍乘三行桃四，得一百一十二。與四行桃減盡榴七，得一百九十六。減四行榴一百二十八，餘六十八為法。價三分得八錢四分。減四行價七錢零四釐，餘一錢三分六釐為實。以法除之得二釐為榴價。於三行價三分內減榴七共價一分四釐，餘一分六釐。以桃四除之得四釐為桃價。於二行價四分內減七桃價，共二分八釐，餘一分二釐。以二梨除之得六釐為梨價。於一行價四分內減四梨，共價二分四釐，餘一分六釐。以二瓜除之，得八釐為瓜價。合問。

今有絹三疋，添價六錢，買布十疋。又布五疋，添價一錢，買絹二疋。問：絹布價各若干。

答曰：絹疋價八錢，布疋價三錢。

法曰：如前正負術之法。〈此問可作盈不足算〉

<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1718-18px-GJfont.pdf.jpg' />　絹三〈正〉為法　布十疋〈負〉　價六錢〈正〉<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1721-18px-GJfont.pdf.jpg' />　絹二〈負〉　布五疋〈得正十五〉　價一錢〈正〉得三錢先以右行絹正三為法，遍乘左行布正五，得正一十五。價正一錢得正三錢。卻以左行絹負二為法，遍乘右行布。負十疋得正二十疋。減左行布正十五，餘五為法。價正六錢得一兩二錢。加左行三錢共一兩五錢為實。以法除實得三錢為布疋價。卻以左行布五疋，以每疋三錢乘之，得一兩五錢。加添價一錢共一兩六錢，以絹二疋除之，得絹疋價八錢。合問。

句股章第九

橫闊謂之句，直長謂之股，兩隅斜去謂之弦。此章以句股求弦之斜；句弦求股之長；以股弦求句之闊；求

句股形圖

句股中容方、容圓；求山之高、水之深、城之廣、路之遠，皆可知也。

句股之形，即今木匠曲尺之

形也。句是尺，股是尺稍，自尺頭至稍尾斜去，是弦也。

設如句三尺，股四尺，弦即五尺也。句股名義〈生變有一十三〉

句〈橫曰句〉　　　　　　句股較〈句股相減〉

句弦較〈句弦相減〉　　　句股和〈句與股併〉

句弦和〈句與弦併〉

股〈直曰股〉　　　　　　股弦較〈股弦相減〉

股弦和〈股與弦併〉

弦〈斜曰弦〉　　　　　　弦較和〈弦與句股較併〉弦和和〈弦與句股和併〉　弦和較〈弦與句股和相減〉弦較較〈弦與句股較相減〉

句股論說釋義

假如句二十七步，股三十六步，弦四十五步。

其求句，求股，求弦。容方、容圓另具圖於後。

句股之法：橫曰句，直曰股，斜之為弦。句二

十七、股三十六相減，其差九曰較。句股相併得六十三曰和。股三十六減弦四十五之差九曰股弦較。句二十七弦四十五之差十八曰句弦較。併句股共六十三，減弦四十五之差十八則曰弦和較。

弦四十五減句股之差九，其差三十六曰弦較較。股弦相併得八十一，則曰股弦和。句弦相併得

七十二，曰句弦和。句股之差九併弦共五十四，則曰弦較和。句股弦併得一百零八，曰弦和和。倍弦實〈即弦自乘倍之〉得四千零五十，減句股和，自乘得三千九百六十九，餘八十一為實，平方開之，得九為句股較。前倍弦實減句股較九，自乘得八十一，餘三千九百六十九，平方開之，得六十三為句股和。併句弦共七十二，除股自乘得一千二百九十六，得十八為句股較。即句弦之差十八，除股自乘得一千二百九十六，得七十二為句弦，和併得股弦共八十一，以除句自乘得七百二十九得九為股弦較。即股弦之差九，除句自乘得七百二十九得八十一為股弦和。句股和六十三自乘得三千九百六十九，減弦自乘得二千零二十五，餘一千九百四十四為實，以弦較較三十六除之，得五十四為弦較和。弦較和除前實，得弦較較。句股之差九自乘得八十一，以減弦自乘得二千零二十五，餘一千九百四十四為實，以弦和和一百零八除之，得十八為弦和較。弦和較除前實得弦和和。句二十七加股弦較九，共三十六即弦較較。句二十七減股弦較九，餘十八即弦和較。句加弦較和五十四共八十一即股弦和。股三十六加句弦較十八共五十四即弦較和。股三十六減句弦較十八餘十八即弦和較。股加弦較較三十六共七十二即句弦和。句股較九加股弦較九共十八即句弦較。句股較九減股弦和八十一餘七十二即句弦和。句股和六十三加股弦較九共七十二為句弦和。股弦和八十一減句股和六十三餘十八即句弦較。句股較九加句股和六十三共七十二半之為股。句股和六十三減句股較九餘五十四折半為句。股弦較九加股弦和八十一共九十，半之為弦。股弦和八十一減股弦較九餘七十二，半之為股。句弦較十八加句弦和七十二共九十，半之為弦。句弦和七十二減句弦較十八餘五十四，半之為句。弦和較十八加弦和和一百零八共一百二十六，半之為和。弦和和一百零八減弦和較十八餘九十，半之為弦。弦較較三十六加弦較和五十四共九十，半之為弦。

弦較和五十四減弦較較三十六餘十八，半之為

較。變而通之，神而明之，存乎其人焉。

句股求弦句弦求股股弦求句共歌

句股求弦各自乘，乘來相併要分明。開方便見弦之數，法術從來有見成。句弦求股要推詳，各自乘來各一張。以少減多餘作實，實求股數要開方。弦股求句皆一例，算師熟記莫相忘。

句股求弦法，曰：置句自乘，股自乘，併二數以開平方法除之，得弦數。

其句自乘，股自乘，二數併之。合弦自乘。數故用開平方法除之，即得弦斜數也。

句弦求股法，曰：置弦自乘內減句，自乘，餘以開平方除之，得股長數。

其弦自乘數內有一句，自乘一股。自乘數今減去句，自乘數餘是股自乘數。故用開平方除之，得股長數。

股弦求句法，曰：置弦自乘內減股自乘，餘以開平方除之，得句闊數。

其弦自乘有一句、一股。自乘數今減去股，自乘數餘是句。自乘數故用開平方除之，得句闊數。

今有句二十七尺、股三十六尺。問：弦斜若干。

答曰：弦斜四十五尺。

法曰：置句二十七尺自乘，得七百二十九尺。另以股三十六尺自乘，得一千二百九十六尺。二數併之得二千零二十五尺為實，乃合弦。自乘數以開平方法除之，初商四十於左，亦置四十於右。為方法左四對右四呼四，四除實一千六百尺，餘實四百二十五尺。卻以下位初商方法四十，倍作八十。為廉法次商五尺於左位，初商四十之次，亦置五於右位。廉法八十之次。為隅法左五對右八呼五，八除實四百。又左五對右五呼五，五除實二十五尺恰盡，得弦斜四十五尺。

今有句二十七尺、弦四十五尺。問：股長若干。

答曰：股長三十六尺。

法曰：置弦四十五尺自乘，得二千零二十五尺。內有一句、一股。自乘之數另以句自乘，得七百二十九尺。二數相減，餘一千二百九十六尺為實。是股自乘數以開平方法除之。初商三十於左位，亦置三十於右位。為方法左三對右三呼三，三除實九百餘實三百九十六尺。另以下位初商三十倍作六十。為廉法次商六尺於左三十之次。亦置六於右，廉法六十之次。為隅法左六對右六呼六，六除實三百六十。又左六對右六呼六，六除實三十六尺恰盡。得股長三十六尺。合問。

今有股三十六尺、弦四十五尺。問：句闊若干。

答曰：句闊二十七尺。

法曰：置弦四十五尺自乘，得二千零二十五尺。內有一句、一股。自乘之數另以股自乘，得一千二百九十六尺。二數相減，餘七百二十九尺為實。〈是句自乘數〉以開平方法除之，初商二十於左。亦置二十於右。為方法左二對右二呼二，二除實四百，餘實三百二十九尺。卻以下位初商二十倍作四十。為廉法次商七尺於左，初商二十之次亦置七尺於右廉法四十之次。為隅法左七對右四呼四，七除實二百八十。又左七對右七呼七，七除實四十九恰盡。得句闊二十七尺。合問。

句股容方容圓共歌

句股容方法最良，以句乘股實相當。併之句股數為法，以法除實便知方。句股容圓法可知，句弦股數併為奇。三數併來為法則，句股相乘倍實宜。法除倍實為圓數，算者詳之不用疑。

今有句股內容方，句二十七尺、股三十六尺。問：中容方面徑若干。

勾股容方圖

答曰：中容方面一十五尺有畸。法曰：置句二十七尺乘股三十六尺，得九百七十二尺為實。以句股併得六十三尺。為法除之

得中容方面徑一十五尺有畸。

今有句股容圓，句二十七尺、股三十六尺、弦四十五尺。問：中容圓徑若干。

句股容圓圖缺答曰：中容圓徑一十八尺。法曰：置句二十七尺、股三十六尺相乘，得九百七十二尺。倍之得一千九百四十四尺為實。併

句、股、弦三數共一百零八。為法除實得容圓徑一十八尺。合問。

今有句股玉一塊。長一尺二寸、闊六寸。今欲截角為方取印一顆。問：方面若干。

答曰：方面四寸。

勾股容方圖缺法曰：置句股相乘得七十二寸為實。以句股相併得十八，為法除之即得。

若以圓徑十八尺，用一尺二寸歸除，得方徑十五尺。若

以方徑十五尺，用一尺二寸乘之，得圓徑十八尺。

較求句股弦共歌〈較差也是股弦相差及句弦相差也〉

股較求股句自乘，股較自乘減句盈。減除句餘為實數，股較倍之為法行。法實相除為股數，句較求句一樣成。弦較求弦句自乘，弦較除之為實情。仍加弦較須折半，就得弦長數即成。

今有句闊二十七步，只云弦多股九步。問：股弦各若干。

答曰：股三十六步，弦四十五步。

法曰：置句二十七步自乘得七百二十九步。另以弦多股九步為股較，即以此自乘得八十一步。二位相減，餘六百四十八步為實。倍較九步得一十八步。為法除之，得股長三十六步。加較九步，得弦長四十五步。合問。

此是股較求股即股弦相差也。

一法名弦較求弦。置句自乘得七百二十九步為實。以弦較九步為法除之，得股弦和八十一步。仍加弦較九步得九十步。折半是弦長四十五步。內減較九步是股長三十六步。亦可得也。

今有葭二莖生池中。並根杪齊出水三尺，即葭一莖斜去至岸九尺，與水適平。問：水深若干。

答曰：水深一丈二尺。

股較求股圖

法曰：置去岸九尺為句，自乘得八十一尺。以出水三尺為股較，自乘得九尺。以減八十一尺，餘七十二尺為實。以較三尺倍作六尺。

為法除之，得水深一丈二尺。合問。〈水深如股葭至岸如弦〉今有句九尺，卻將弦比股有餘三尺。問：弦股各若干。答曰：弦一十五尺，股一十二尺。

法曰：以句九尺自乘，得八十一尺為實。以多三尺為法除之，得二十七尺。減去多三尺餘得二十四尺，折半得股長一十二尺。加入弦多三尺，得弦一十五尺。合問。

今有立木不知其高，索不知其長。垂索委地二尺，引

股較求股弦

索去木八尺，其索斜柱地適盡。問：木高、索長各若干。答曰：木高一丈五尺，索長一丈七尺。

法曰：置去木八尺為句，自

乘得六十四尺。以委地二尺為股較，自乘得四尺。以減六十四尺餘六十尺為實。以較二尺倍作四尺。為法除之，得木高一丈五尺。如股加較二尺，得索長一丈七尺，如弦。合問。若以弦較求弦法。置去木八尺為句，自乘得六十四尺為實。以委地二尺如弦較，為法除之得三十二尺。加弦較二尺共得三十四尺，折半，得索長一丈七尺。將弦內減去較二尺，得木高一丈五尺，即股。

今有廳門外懸簾下垂，離地五寸，引簾離閾六尺，離

弦較求弦圖

地二尺五寸。問：簾高若干。答曰：簾高一丈。

法曰：置去閾六尺為句，自乘得三十六尺。以離地二尺五寸減去原離地五寸，餘二尺為弦較。

除之得一十八尺。加弦較二尺共得二十尺，折半得簾高一丈。合問。

今有開門，去閾一尺，不合二寸。問：門廣若干。

答曰：門二扇廣九尺九寸。

股較求股圖

法曰：置去閾十寸為句，自乘得一百寸。以不合二寸折半，得一寸為股較，自乘得一寸。以減一百寸餘九十九寸為實。以較一

寸倍作二寸，為法除之得一扇門廣四尺九寸五分。如股倍之得二扇門廣九尺九寸。合問。

今有牆高一丈，斜倚二木於上。木杪與牆頭齊，其木根抵地。卻將木一根平臥於地，其木杪抵牆腳，此木根則過斜木根一尺。問：木長併去牆若干。

弦較求弦股圖

答曰：木長五丈零五寸，去牆四丈九尺五寸。

法曰：依弦較求弦。以牆高十尺為句，自乘得一百尺。以過斜木根一尺為弦較，除之如故。一百尺加較一尺，共得一百零一尺，折半，得木長五丈零五寸。如弦減過斜木一尺，餘如股至牆四丈九尺五寸。合問。

今有圓木泥在壁中，不知徑。以鋸鋸之，深一寸，鋸道

弦較求弦圖

長一尺。問：木徑若干。答曰：木徑一尺六寸。法曰：置鋸道一尺折半，得五寸為句。自乘得二尺五寸為實。以深一寸為股較，除之如故，得二尺五寸為

股。加深一寸，共得木徑二尺六寸。合問。此如圓田中截去一張矢田問原徑，同法。置鋸道一尺如弧矢之弦，折半得五寸。自乘得二尺五寸為實。以深一寸如矢，為法除之得二尺五寸。併入矢深一寸，共二尺六寸為圓木原徑，亦得。

今有圓木徑二尺六寸，鋸深入木八寸。問：鋸道長若干。

答曰：鋸道長二尺四寸。

此問與右圖式相同，今以數併注于圖內徑左，以便共覽。

法曰：以徑二尺六寸減深八寸，餘一十八寸。復以鋸深八寸乘之，得一百四十四寸為實。以開平方法除之，得一十二寸。倍之得二尺四寸。合問。

今有股長三十六步，只云弦多句十八步。問：句弦各若干。

答曰：句二十七步，弦四十五步。

法曰：置股三十六步自乘，得一千二百九十六步。另以弦多句一十八步為句較，自乘得三百二十四步。二位相減餘九百七十二步為實。倍較十八得三十六步，為法除之得句一十七步。加較一十八步得弦長四十五步。合問。〈此即句弦相差〉一法名弦較求弦。置股自乘得一千二百九十六步為實。以弦較十八步為法除之，得句弦和七十二步。仍加較一十八步，共九十步，折半得弦四十五步。內減較一十八步，餘二十七步即句之數也。

今有弦長四十五步，只云股多句九步。問：句股各若干。

答曰：句二十七步，股三十六步。

法曰：置弦四十五步自乘，得二千零二十五步。另以股多句九步為句股，較自乘得八十一步。二位相減餘一千九百四十四步。加入弦自乘得二千零二十五步。共三千九百六十九步為實，以開平方法除之，得句股相和六十三步。加入差九步，共得七十二步，折半得股三十六步。內減差九步，餘得句二十七步。合問。

今有戶高多廣六尺八寸，兩隅斜去十尺。問：高廣各若干。

答曰：高九尺六寸，廣二尺八寸。

法曰：置兩隅斜十尺如弦自乘，得一百尺。另以高多廣六尺八寸為句股較，自乘得四十六尺二寸四分。二位相減，餘五十三尺七寸六分。加入斜自乘得一百尺共一百五十三尺七寸六分為實。以開平方法除之，得句股相和一丈二尺四寸。加入差六尺八寸，共得一丈九尺二寸，折半得高九尺六寸。內減差六尺八寸，餘得廣二尺八寸。合問。〈此二條即句股相差〉

股別句弦歌〈附句別股弦即句弦和亦即股弦和〉

股別句弦股自乘，句弦自乘減股零。折半留為句實積，句弦為法最公平。法除句積為句數，句別股弦依此行。

今有竹高一丈，為風所折仆地。稍尖去根三尺。問：折

股別勾弦圖

處高若干。

答曰：高四尺五寸五分。法曰：置去根三尺如句，自乘得九尺。是以竹高一丈如股弦和，為法除之得九

寸。以減股弦和一丈，餘九尺一寸。折半，得四尺五寸五分即是折處高股也。

今有股長三十六步，只云句弦相和七十二步。問：句弦各若干。

答曰：句二十七步，弦四十五步。

法曰：置股三十六步自乘得一千二百九十六步。另以句弦和七十二步自乘得五千一百八十四步。二位相減，餘三千八百八十八步，折半得一千九百四十四步為實。以句弦七十二步為法除之，得句二十七步。以減句弦和，餘得弦四十五步。合問。

一法以股自乘得一千二百九十六步為實。以句弦和七十二步為法除之，得句弦相差一十八步。仍加和七十二步共九十步，折半，得弦四十五步。內減差一十八步，餘二十七步是句。亦得。〈此乃句弦和〉今有句闊二十七步，只云股弦相和八十一步。問：股弦各若干。

答曰：股三十六步，弦四十五步。

法曰：置句二十七步自乘得七百二十九步。另以股弦和八十一步自乘得六千五百六十一步。二位相減，餘五千八百三十二步，折半，得二千九百一十六步為實。以股弦和八十一步為法除之得三十六步為股長。以減股弦和八十一步，餘四十五步為弦。合問。

今有弦長四十五步，只云句股相和六十三步。問：句股各若干。

答曰：句二十七步，股三十六步。

法曰：置弦四十五步自乘得二千零二十五步。另以句股和六十三步自乘得三千九百六十九步。二位相減，餘一千九百四十四步。再減弦自乘得二千零二十五步，餘八十一步。以開平方法除之，得句股相差九步，加入相和六十三步，共七十二步，折半，得股三十六步。內減去差九步，餘得句二十七步。合問。〈此是句股相和〉

句弦較股弦較歌〈此是句弦差又股弦差〉

句弦股較法尤精，句乘股較二來因。平方開見弦和數，和加句較股分明。股較加和句可見，算師熟記看靈扃。

今將弦比句餘四尺，復將弦比股餘二尺。問：句弦股

勾弦股較圖

各若干。

答曰：句六尺，股八尺，弦一丈。

法曰：以句較四尺乘股較二尺，

得八尺。倍之得一十六尺為實。以開平方法除之，得四尺。加入股較二尺，得六尺為句。另以四尺加入句較四尺，得八尺為股。又加入股較二尺，得一丈為弦。合問。

今有直田不知長闊，只云隅斜比長多二步，又云斜比闊多九步。問：長闊及斜各若干。

答曰：長一十五步，闊八步，斜一十七步。

法曰：置句弦較九步，以股弦較二步乘之，得一十八步。以二因之，得三十六步為實。以開平方法除之，得弦和六步。加句較九步，得股長一十五步。另以弦和六步加股較二步，得闊八步。再加句較九步，得斜弦一十七步。合問。

今有句弦和七十二步，股弦和八十一步。問：句股弦各若干。

答曰：句二十七步，股三十六步，弦四十五步。

法曰：置句弦和七十二步，以股弦和八十一步相乘，得五千八百三十二步。倍之得一萬一千六百六十四步為實。以開平方法除之，得句股弦和一百零八步。以減股弦和八十一步，餘得句二十七步。又置一百零八步內減句弦和七十二步，餘得股三十六步。又置一百零八步以減句二十七步，減股三十六步，餘得弦四十五步。〈此是句弦和又股弦和〉

今有直田積一百二十步，廣不及縱七步。問：廣若干。答曰：廣八步。

法曰：置田積一百二十步，以四因之得四百八十。以較七步自乘，得四十九步。相併得五百二十九步。以開平方法除之，得句股和二十三步。加較七步，共得三十步，折半，得股長一十五步。內減較七步，餘廣八步。

今有井不知其深。井徑五尺，直立木五尺於井上，從木末望井底，人目入徑四寸。問：井深若干。

答曰：井深五丈七尺五寸。

法曰：以井徑五尺除目入四寸，餘四十六寸。與木高五十寸相乘，得二千三百寸為容方積。以餘句四寸為法除之。

今有邑不知大小，四面居中開門。西門外三十步有

餘勾餘股求容方

木一根，出南門外七百五十步，見木。問：邑方若干。答曰：邑方三百步。

法曰：出西門三十步為餘句，出南門為餘股。相乘得

二萬二千五百步。以平方開之，得一百五十步，為半邑之方。倍之，為全邑方也。〈即句股容方〉

今有邑方二百步，四面居中開門。東門外一十五步

容方餘勾求餘股

有木一根。問：出南門若干。答曰：六百六十六步六分步之一。

法曰：半邑方為容方一百步，自乘得一萬步為實。以

東門外十五步為餘句，為法除之。合問。〈此是容方與餘句求餘股〉

求高求遠法

海島題解

魏劉徽註九章，重立差著於句股之下，以闡世術。夫度高測深，非句股之法，則無可知矣。故以重表累矩，旁求審察。其窺望海島、隔水望木，是重表也。其岸望谷深，山望津廣，是累矩也。以海島去表為之篇首。因以名之實九章之遺法也。後至唐李淳風，而續算草。宋楊輝釋名圖解，以伸前賢之美。本經題目廣遠，難於引證學者。今將孫子度影量竿，題問於前，引用詳解以驗海島之法，亦循循誘入之意。姑以一問，其餘好學者，自能觸類而考知矣。

假有立木不知高，日影在地長五丈。隨立一竿長一丈，在邊影長一丈二尺五寸。問：立木高若干。

答曰：木高四丈。

法曰：置立木影長五丈為實。以竿影長一丈二尺五寸為法除之。合問。

今有立木不知高，日影在地長四丈。隨立一竿長一丈，在邊影長八尺。問：木高若干。

答曰：木高五丈。

法曰：置木影長四丈為實，以竿影八尺為法除之。合問。

右二問，乃孫子度影量竿之法。

遙望木竿歌

望木須知立表竿，表離木處幾多寬。退行表後參眸望，望表斜平末與竿。表數減除人目數，餘表乘遠實相看。退行之數為法則，法實相除加一竿。

假有木不知高，從木腳量遠二十五尺立一丈表竿。表後退行五尺，用窺穴望表與木，斜平。其人窺穴高四尺。問：木高若干。

答曰：木高四丈。

法曰：以表高十足減去人目穴四尺，餘六尺。以乘表竿去木遠二十五尺，得一百五十尺為實。以退行五尺為法除之，得三十尺。加表高十尺，得木高四十尺。合問。

解曰：木高如股，〈是上節三十尺表高十尺　減人目四尺餘六尺是餘股〉末如句二十五尺，表後退行五尺是餘句，木頂斜至

股較求高之圖

表末如弦，表末斜至人目是餘弦。弦之內外分二段句股，其句中容橫股，中容直二積皆同，各一百五十尺。以餘句五尺除橫積一百五十尺，得積外之股，即木上三十尺。加表高十尺即木高四十尺，以餘股六尺。除直積一百五十尺，得

積外之句，即木至表二十五尺。〈古人以題易名若非釋名則無以知其源〉今較還原法曰：置弦內外二句股，木高四丈內除人目四尺，餘股各三丈六尺為長。以遠二十五尺加退後五尺，共三十尺為闊相乘得方積一千零八十尺。今復將弦內外二股各長三十尺，二句各闊二十五尺相乘，得方積七百五十尺。另以下句直長二十五尺、闊六尺乘之，得直積一百五十。又以右邊股直三十尺，以闊五尺乘之，得直積亦一百五十。再以餘句五尺乘餘股六尺，得積三十尺。四共亦得一千零八十尺，較之以合前數而不差也。

已上遙望木竿是一表望木也。

今立表三尺六寸，退行二尺又立表三尺。人目望其高處，二表俱與參合，自前表相去二丈五尺。問：高若干。

答曰：高一丈一尺一寸。

法曰：置遠二十五尺，加入退行二尺，共二十七尺。以二表相減餘六寸。乘之得一十六尺二寸為實。卻以退行二尺為法除之，得八尺一寸。加入後表三尺，得高一丈一尺一寸。合問。

若依前法置前表三尺六寸，減去後表三尺，即是人目數，餘六寸以。乘遠去二丈五尺，得一丈五尺為實。以退行二尺為法除之，得七尺五寸。加入前表三尺六寸，共高一丈一尺一寸。

今立表三尺，退行一尺八寸。又立表三尺六寸，人目望其二表俱對遠處參合。問：遠若干。

答曰：十尺零八寸。

法曰：置後表三尺六寸，以退行一尺八寸乘之，得六

句較求遠之圖

十四寸八分為實。卻以二表相減，餘六寸。為法除之，得一十尺零八寸，為後表相去之遠。若以前表三尺，以退行一尺八寸乘之，得五尺四寸為實。卻以二表相減，餘六寸。為法除之，得九尺為前表相去之遠也。

窺望海島歌

望島知高法術奇，立來二表並高低。表間尺數乘高數，以作實情更不疑。二表退行相減較，減餘為法以除之。更將一表相加併，海島巔高盡可知。另置表間之尺數，以乘前表退行宜。前法除之知隔水，水程遠近不差池。

假如隔水望木有竿，不知其高。立二表各長一丈，前後參直相去一十五尺。從前表退行五尺，人目四尺窺望，表與竿齊平。復從從表退行八尺窺望，亦與竿齊平。問：竿高隔水各若干。

答曰：竿高四丈，隔水廣二丈五尺。

法曰：置表高十尺減人目四尺，餘六尺。以相去一十五尺乘之，得九十為實。另以前表退行五尺減去後表退行八尺，餘三尺。為法除實得三十尺。加表高十尺，得竿高四十尺。另置相去一十五尺，以前表退行五尺乘之，得七十五尺。仍以前法三尺除之，得隔水廣二十五尺。合問。

解曰：前表是第一圖，以表望木後表是第二圖。以表望木，蓋總設人不知所以分作兩圖。其以隔水望木為問，設窺望海島為題，以重差為術。好事者引而伸

股較隔水望木之圖

〈此乃二表〉

較數，辨理

湊方式以

合，總而不

差故也。

之，以發其餘也。其前表去木遠乃小，股中容積一段。後表去木遠乃大，股中容積一段。以小容積減大容積，其餘不盡者，乃前後表兩界之中各表間積。所以古人以表高減人目四尺，餘六尺，乘為實。以前圖小餘股五尺減後圖大餘股八尺，餘三尺，為法除實得弦外之高，即木上節三十尺。加表高十尺，得木高四十尺。本是大小容積相減餘為實。以大小餘股相減，餘為法除實得弦外之高。加表高十尺為木高也。今有海島不知其高，遠立表竿三丈，退行六十丈。又

窺望海島之圖窺望海島之圖

立短表三尺。人目望其二表，俱與島峰參合。復卻退行五百丈，又立表三丈。退行六十二丈，又立表三尺。人目望其二表，俱與島峰參合。問：海島高遠各該若干。

答曰：島高三里一百三十八丈，島遠八十三里六丈。

法曰：置表高三丈減去短表三尺，即是人目數也。餘二丈七尺，以表間相去五百丈乘之，得一千三百五十丈為實。另置後表退行六十二丈減去前表退行六十丈，餘二丈。為法除之，得六百七十五丈。加入表高三丈，共六百七十八丈。以里法一百八十丈為法除之，得島高三里一百三十八丈。又置表間相去五百丈，以前表退行六十丈乘之，得三萬丈為實。亦以所餘二丈為法除之，得一萬五千丈。以里法一百八十丈為法除之，得島遠八十三里六丈。合問。