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卷123

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百二十三卷目錄

　算法部彙考十五

　算法統宗十一〈難題一〉

曆法典第一百二十三卷

算法部彙考十五

《算法統宗十一》難題一序目

夫難題昉於永樂四年。臨江劉公仕隆偕內閣諸君預修大典，退公之暇，編成《難法》，附於九章通明之後。及錢唐吳信民《九章比類》，與諸家算法中詩詞、歌括、口號，總集名曰《難題》。難者，難也。然似難而實非難，惟其詞語巧捏，使算師一時迷惑莫知，措手不知。難法皆不離於九章。非九章之外，其難題惟在乎立法。立法既明，則迎刃而破，又何難之有哉。今分列《九章立法明辯》，附集雜法於統宗之後，俾好事者共覽云。

方田一〈凡七問〉

歌

昨日丈量田地回，記得長步整三十。廣斜相併五十步，不知幾畝及分釐。

答曰：二畝。

法曰：置廣斜相併五十步自乘，得二千五百步。另以長三十步自乘，得九百步。二位相減，餘一千六百步。折半，得八百步為實。以廣斜五十步為法除之，得闊一十六步。以乘長三十步，得四百八十步。以畝法二四除之。合問。〈此是句弦和〉

歌

三十八萬四千步，正長端的無差誤。六絲二忽五微闊，不知共該多少畝。

答曰：一畝。

法曰：置長三十八萬四千步為實。以闊六絲二忽五微為法乘之，得二百四十步。以畝法二四除之。合問。〈此是直田長闊間積〉

歌

一段環田徑不知，二周相併最幽微。皆知一畝無零積，一百六十不差池。三般可以見端的，只要名家仔細推。

答曰：徑三步，外周八十九步，內周七十一步。

法曰：通田一畝得二百四十步為實。另以二周相併一百六十步折半，得八十步。為法除之，得徑三步。以三步自乘，得九步。以減八十步，餘七十一步為內周。以減總一百六十，餘得外周八十九步。合問。

鳳棲梧

一叚環出余久慮。眾說分明，亦有誰人悟。忘了二周併徑步。人道二周不及為，差處七十有餘單。二步三事，通知答曰分明注。五畝二分無零數。元機奧妙堪思慕。〈題解內周不及外周七十二〉

答曰：徑一十二步，內周六十八步，外周一百四十步。

法曰：以畝法通田五畝二分得一千二百四十八步。倍之得二千四百九十六步為實。以不及七十二步，以六除得徑一十二步。為法除之得二百零八步。以減不及七十二步，餘一百三十六步，折半得內周六十八步。加不及七十二步，得外周。合問。〈此是環田問周徑〉弧矢問難，已載少廣章中，故不重述。

雙搗練

長十六，闊十五，不多不少恰一畝。內有八箇古墳墓，更有一條十字路。闊一步。每箇墓，周六步。十字路，闊一步。每畝價銀二兩五。除了墓，除了路，問君該剩多少數。

答曰：路墓共占地二分二釐五毫，〈內八墓計二十四步路計三十步〉

路墓地圖

剩地七分七釐五毫，該銀一兩九錢三分七釐五毫。

法曰：通田一畝為二百四十步。於上另置墓八箇。以每箇周六步自乘得三十六步。以十二除

之得三步。八墓共積二十四步。又十字路闊一步，長一十六步，闊一十五步二，共三十一步。除路中心一步，實三十步加八墓，共二十四步。通共占地五十四步。以畝法二四除之，得二分二釐五毫為占地數。以減去一畝，餘剩地七分七釐五毫。以每畝價銀二兩五錢乘之，得剩地價銀。合問。

竿上安箍歌

圓圓三丈一高竿，稍尖頭徑尺二寬。今有鐵箍徑九寸，試問將來何處安。答曰：自上而下二丈二尺五寸。

法曰：置竿高三丈為實，以頭徑一尺二寸為法除之得二尺五寸。以箍徑九寸乘之，得自上而下二丈二尺五寸。上安箍只離頭七尺五寸。合問。〈此如方錐作方臺問截高〉

歌

今有直田不知畝，長闊相和十七步。平不及長廿五尺，請問田該多少數。

答曰：二分五釐，計六十步。

法曰：置相和一十七步，減不及五步，餘一十二步為長。以闊五步相乘。合問。

歌

今有直田用較除，一百二十步無餘。長闊相和該一百，問公三事幾何如。

答曰：長六十步，闊四十步，較二十步。

法曰：置較除一百二十步減長闊相和一百步，餘二十步為較。以減相和一百步餘八十步，折半得四十步為闊。加較二十得長六十。合問。

粟布二

啞子買肉歌

啞子來買肉，難言錢數目。一斤少四十，九兩多十六。試問能算者，合與多少肉。

答曰：一十一兩，每兩該錢八文。

法曰：置少四十加多十六共五十六為實。以多十六減九兩，餘七兩。為法除之，得八文。卻以九兩因之，得七十二。加多十六，共得原錢八十八文。以八歸之，得肉一十一兩。合問。

解曰：若買一斤少錢四十文，若買九兩多錢十六文。

老人問甲歌

有一公公不記年，手持竹杖在門前。借問公公年幾歲，家中數目記分明。一兩八銖泥彈子，每歲盤中放一丸。日久歲深經雨濕，總然化作一泥團。秤重八斤零八兩，加減方知得幾年。

答曰：一百零二歲

法曰：置總八斤半，以每斤三百八十四銖乘之，得三千二百六十四銖為實。以每歲一兩作二十四銖加入八銖共三十二銖，為法除之。合問。

西江月

白麪秤來四斤，使油一斤相和。今來有麪九斤多，六兩五錢不錯。已用香油和合，二斤十二無訛。再添多少麪來和，不會應須問我。答曰：添麪一斤九兩五錢。法曰：合用異乘同除法。置今有油二斤十二兩，先將十二兩化為七五於二斤之次。以乘原麪四斤得麪一十一斤為實。以原用油一斤為法除之如故。仍得實麪一十一斤減去已用麪九斤六兩五錢，餘為添麪一斤九兩五錢。合問。

梅氣清

三石五斗粟，會換芝麻三石足。又有五斗五升麻，換來小麥量八斗。今有小麥換粟米，九石六斗無零數。

解題曰：假如有粟米三石五斗換芝麻三石，又如芝麻五斗五升換折小麥八斗。今卻有小麥九石六斗要換粟米，問：該若干。

答曰：粟米七石七斗。

法曰：合用異乘同乘法。置今有小麥九石六斗以乘所問芝痲五斗五升，得五石二斗八升。再以粟米三石五斗乘之，得一十八石四斗八升為實。又用異除同除法置所換芝麻三石，以乘小麥八斗，得二石四斗。為法除之，得粟米七石七斗。合問。

解法曰：置米三石五斗為實，以換麻三石為法除之，得麻每石換米一石一斗有零。又云麻五斗五升換麥八斗。置麻五斗五升，以每石折米一石一斗併零乘之，得米六斗四升併零為實。以換麥八斗為法除之，得麥每石折米八斗有零。又云今有麥九石六斗換米，問：該幾何。置麥九石六斗，以麥每石折米八斗併零乘之，得米七石七斗。此乃用法之理，是一乘一除理之然也。蓋因除法多有畸零，數之不盡，故前法用總乘，然後用總除。真是大術矣。

西江月

甲釧九成二兩，乙釵七色相同。李銀舖內偶相逢，各欲改成器用。其子未詳所以，誤將一處銷鎔。當時悶惱李三翁，又把算師擾動。

答曰：共銷鎔八成色金四兩，甲該分二兩二錢五分，〈折足色一兩八錢〉　乙該分一兩七錢五分。〈折足色一兩四錢〉法曰：置甲金二兩折足色一兩八錢，乙金七成二兩折足色一兩四錢，併之得足色三兩二錢。以原金二共四兩歸之，得八色。就以八為法除甲一兩八錢，得甲金二兩二錢五分。亦以法八除乙一兩四錢，得乙金一兩七錢五分。合問。

歌

肆中聽得語吟吟，薄酒名醨厚酒醇。好酒一缾醉三

客。薄酒三缾醉一人。共同飲了一十九，三十三客醉醺醺。試問高明能算士，幾多醨酒幾多醇。

答曰：好酒十缾，薄酒九缾。

解曰：共三十三人飲酒一十九缾好酒，三人飲一缾薄酒，一人飲三缾。

法曰：列置問衰。〈一瓶三人〉互〈三瓶一人　十九瓶三十三人〉先以右上一瓶互乘左中一人，得一人。又以左上三人互乘右中三瓶，得九瓶。相減餘八瓶為法。另以右中三瓶互乘左下三十三人，得九十九人。另以左上三人乘右中三缾，得九缾。再乘共酒一十九缾，得一百七十一人。內減九十九人，餘七十二人為實。以法八缾除之，得薄酒九缾。以減總酒，餘得好酒十缾。合問。

水仙子

為商出外去經營，將帶白銀去販參。為當初不記原銀錠，只記得七錢七分買六斤。腳錢便使用三分，總記用牙錢四錠，是六分中取二分。問先生販買數分明。

答曰：人參四萬三千五百斤，原銀六千兩，牙錢二百兩，腳錢二百一十七兩五錢。

解曰：每人參六斤價七錢七分，又用腳錢三分、牙錢二百兩，乃是六十分中取二分也。

法曰：置牙錢四錠，以錠率五十兩乘之，得二百兩。以六十分取二分，該得原銀六千兩。減牙錢二百兩，餘剩五千八百兩。以買參六斤因之，得三萬四千八百斤為實。卻以價七錢七分，用腳錢三分共八錢為法除之，得參四萬三千五百斤。以每六斤歸之，得七千二百五十斤。以參價七錢七分乘之，得參價五千五百八十二兩五錢。以減總銀五千八百兩，餘得腳銀。合問。

歌

二丈四長尺八闊，四兩半銀休打脫。三丈六長尺六問，該銀多少要交割。

答曰：六兩。

法曰：用異乘同除法置令長三丈六尺，闊一尺六寸相乘，得五丈七尺六寸。以乘賣銀四兩五錢，得二百五十九兩二錢為實。以原長二丈四尺，闊一尺八寸相乘，得四丈三尺二寸。為法除之。合問。

歌

足色黃金整一斤，銀匠誤侵四兩銀。斤兩雖然不曾耗，借問卻該幾色金。

答曰：八色。

法曰：置金一十六為實，另以金加銀四兩，共二十兩。為法除之。合問。

歌

足色紋銀十二兩，欲傾八成預忖量。分兩雖然添得重，入銅多少得相當。

答曰：入銅三兩。

法曰：置紋銀一十二兩，以八色歸之，得一十五兩。減去原銀一十二兩，餘三兩為入銅數。合問。

歌

一斤半鹽換斤油，五萬白鹽載一舟。斤兩內除相為換，須教二色一般籌。

答曰：各二萬斤。

法曰：置總鹽五萬斤為實，併鹽油共得二斤。半為法除之得各二萬斤。合問。

鋪金問積歌

皇城內丹墀中，周圍有八里。鋪金二寸深，方寸十六兩。秤來有一斤，不知多少數。特來問緣因。

答曰：金七百二十萬斤。

法曰：置周八里以四歸之，得每面二里。自乘得四里。又以每里三百六十步乘之，得一千四百四十步。以每步二千五百寸乘之，得三百六十萬寸。又以深二寸因之，得七百二十萬寸，即七百二十萬斤也。合問。

西江月

客向新街糴米，共量八十四石。一千二百七十知，石價盡依鄉例。雇覓小車搬運，裝錢三百三十。腳言家內缺糧食，只據原錢要米。

答曰：客米六十六石六斗七升五合，腳米一十七石三斗二升五合。

法曰：此乃就物抽分之法。置米八十四石，以價一千二百七十文乘之，得一十萬零六千六百八十文為實。另以石價併腳錢共一千六百文為法除實，得客米數。以減總米餘為腳米。合問。

衰分三

西江月

淨揀棉花彈細，相和共雇王孀。九斤十二是張昌，李德五斤四兩。紡績織成布匹，一百八尺曾量。兩家分布要明彰，莫得些兒偏向。

答曰：張昌七丈零二寸，李德三丈七尺八寸。

法曰：列各衰張昌九斤十二兩，李德五斤四兩，各以兩法通之，張得一百五十六兩，李得八十四兩。副併共得二百四十兩為法。另以織布一百零八尺乘張一百五十六兩，得張一千六百八十四丈八尺。乘李八十四兩，得李九百零七丈二尺。各自為實，以法除之。合問。

歌

趙嫂自言快績麻，李宅張家雇了他。李宅六斤十二兩，二斤四兩是張家。共織七十二尺布，二人分布鬧喧譁。借問鄉中能算士，如何分得的無差。

答曰：張宅五丈四尺，李宅一丈八尺。

法曰：置共織布七十二尺為實，併二麻張六斤一十二兩。以斤加六得一百零八兩。李二斤四兩以斤加六得三十六兩，共一百四十四兩。為法除之，每兩得五寸。以乘各出麻。合問。

誦課增倍歌

有箇學生心性巧，一部孟子三日了。每日增添一倍多，問君每日讀多少。

答曰：頭一日讀四千九百五十五字，第二日讀九千九百一十字，第三日讀一萬九千八百二十字。法曰：置〈一　二　四〉併為七衰為法，以孟子字數三萬四千六百八十五字為實。以法除之，得四千九百五十五字為頭日之數。倍之為第二日數。又倍之為第三日數。合問。

行程減等歌

三百七十八里關，初行健步不為難。次日腳痛減一半，六朝纔得到其關。要見每朝行里數，請公仔細算相還。

答曰：初日一百九十二里，次日九十六里，三日四十八里，四日二十四里，五日一十二里，六

日六里。

法曰：置三百七十八里為實，列置衰。〈一　二　四　八　十六　三十二〉併得六十三衰，為法除實得六里為第六日之數。逓加一倍。合問。

浮屠增級歌

遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增。共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈。

答曰：頂層三盞。

法曰：置共燈數為實，列置衰。〈一　二　四　八　十六　三十二　六十四〉併之得一百二十七衰。為法除實，得三為頂層燈數。各加倍，得各層燈數。合問。

三等賠償鷓鴣天

八馬九牛十四羊，趕在村南牧草場。吃了人家一段穀，議定賠他六石糧。牛一隻，比二羊，四牛二馬可賠償。若還算得無差錯，姓字超群到處揚。

答曰：馬八共賠三石，牛九共賠一石六斗八升七合五勺，羊十四共賠一石三斗一升二合五勺。

解曰：馬八隻、牛九隻、羊十四隻，共議賠穀六石。羊一分，牛二分，馬四分。

法曰：置米六石為實。另置馬八，以四因得三十二衰。牛九以二因得一十八衰。羊一十四衰併得六十四衰，為法除之，得九升三合七勺五抄，為一羊所吃賠穀數。為法遍乘各衰。先以羊一十四衰乘之，得一石三斗一升二合五勺，為羊主賠數。又以牛衰十八乘之，得一石六斗八升七合五勺，為牛主賠數。又以馬衰三十二乘之，得三石為馬主賠數。合問。

五爵分金歌

公矦伯子男，五四三二一。假有金五秤，依率要分訖。答曰：公一秤十斤，矦一秤五斤，伯一秤，子一十斤，男五斤。

法曰：置金五枰，以每秤一十五斤乘，得七十五斤為實。列公五、矦四、伯三、子二、男一，副併得一十五。為法除實得五斤，為男所得數。加五得十斤為子所得數。再加五得一秤為伯所得數。又加五得一秤零五斤為矦所得數。再加五得一秒一十斤為公所得數。合問。

八子分綿歌

九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏。次第每人多十七，要將第八數來言。務要分明依次第，孝和休惹外人傳。

答曰：長子一百八十四斤，次子一百六十七斤，三子一百五十斤，四子一百三十三斤，五子一百一十六斤，六子九十九斤，七子八十二斤，

八子六十五斤。

法曰：置七衰〈一　二　三　四　五　六　七〉併得二十八衰為實。以多十七乘之，得四百七十六。以減總綿數，餘五百二十。以八子除之，得六十五斤，為第八子數。加十七得八十二斤，為七子數。倣此遞加十七至長。合問。

九兒問甲歌

一箇公公九箇兒，若問生年總不知。自長排來爭三歲，共年二百七歲期。借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推。答曰：長兒三十五歲，次兒三十二歲，三兒二十九歲，四兒二十六歲，五兒二十三歲，六兒二

十歲，七兒一十七歲，八兒一十四歲，九兒一

十一歲。

法曰：列八衰。〈以一　二　三　四　五　六　七　八〉各以差三歲因之，為各人之衰數。長兒因得三，次兒因得六，三兒因得九，四兒因得十二，五兒因得一十五，六兒因得一十八，七兒因得二十一，八兒因得二十四。併入衰得一百零八數，以減總二百零七歲，餘九十九歲。以九人除之得一十一歲，為第九兒之年歲。次遞加三歲至長。合問。

依等算鈔歌

甲乙丙丁戊己庚，七人錢本不均平。甲乙念三七錢鈔，〈二十三兩七錢〉念六一錢戊己庚。〈二十六兩一錢〉惟有丙丁鈔無數，要依等第數分明。請問高明能算者，細推詳算莫差爭。

答曰：甲該鈔一十二兩二錢，乙該鈔一十一兩五錢，丙該鈔一十兩零八錢，丁該鈔一十兩零一錢，戊該鈔九兩四錢，己該鈔八兩七錢，庚該

鈔八兩。

法曰：置戊、己、庚三人，添一為四。以三乘之，得十二，折半，得六。減去三餘三為下差率。另以甲乙二人乘，總七人得十四。減去下差率三，餘得十一為上差率。列置戊、己、庚、甲、乙。〈三二〉互〈餘三　得六　二十六兩一錢　得五十二兩二錢　餘十一　得三十三　二十三兩七錢　得七十一兩一錢〉先以左上二互乘右中三，得六。又以左上二乘右下二十六兩一錢，得五十二兩二錢。次以右上三乘左中十一，得三十三。以減去右中六餘二十七為法。又以右上三乘左下二十三兩七錢，得七十一兩一錢。減去右下五十二兩二錢，餘一十八兩九錢為實。以法二十七除之，得七錢為一差之數。另置甲乙共鈔二十三兩七錢，加入差七錢，共二十四兩四錢，折半得一十二兩二錢為甲所得數。除差七錢，餘一十一兩五錢，是乙鈔。各減七錢得各數。

竹筒容米歌

家有九節竹一莖，為因盛米不均平。下頭三節三升九，上稍四節貯三升。惟有中間二節竹，要將米數次第盛。若是先生能算法，教君直算到天明。

答曰：第一節<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1715-18px-GJfont.pdf.jpg' />容米一升四合，第二節<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1714-18px-GJfont.pdf.jpg' />一升三合，第三節<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1717-18px-GJfont.pdf.jpg' />一升二合，第四節<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1716-18px-GJfont.pdf.jpg' />一升一合，第五節<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1724-18px-GJfont.pdf.jpg' />一升，第六節<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1732-18px-GJfont.pdf.jpg' />九合，第七節<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1731-18px-GJfont.pdf.jpg' />八合，第八節<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1728-18px-GJfont.pdf.jpg' />七合，第九節<img src='https://r.cnkgraph.com/Chars/wikipedia/commons/thumb/1/1b/GJfont.pdf/page1727-18px-GJfont.pdf.jpg' />六合。法曰：置上四節加一為五與四乘，得二十。折半得一十。減去四，餘得六，為下差率。另以下三節以總九節乘之，得二十七。減去下差率六，餘二十一為上差率。列置，〈右四　左三〉互〈餘六　得一十八　三升　得九分　餘二十一　得八十四　三升九合　得一十五分六釐〉先以左上三互乘右中六，得一十八。次以右上四互乘左中二十一，得八十四。以少減多，餘六十六為法。復以左上三乘右下三，得九分。又以右上四乘左下三升九，合得一十五分六釐。減去九分餘六分六釐，為一節之差數。卻以下三節盛米三升九合為實，以法六十六乘之，得二百五十七分四釐。以三歸之，得八十五分八釐，是第二節數。加六分六釐為第一節數，減六分六釐得七十九分一釐為第三節數。又減去六分六釐，餘七十二分六釐為第四節數。每節次第減六分六釐，得各數。以法六十六除之。合問。

原法下頭三節貯四升米不盡者多，今改為三升九合卻盡矣。

歌

一萬六百八兩銀，四箇商人依率分。原銀輪遞四六出，休將六折術瞞人。

答曰：甲四千四百零六兩四錢，乙二千九百三十七兩六錢，丙一千九百五十八兩四錢，丁一千三百零五兩六錢。

解曰：四六者乃是每兩多五。故自丁起遞用加五為衰，併之為法除實。

法曰：各列置衰，〈丁四　丙六　乙九　甲一十三衰五分〉副併得三十二衰五分為法。另以銀一萬零六百零八兩，以乘各衰。甲十三衰五分得一十四萬三千二百零八兩，乙九衰得九萬五千四百七十二兩，丙六衰得六萬三千六百四十八兩，丁四衰得四萬二千四百三十二兩。各自為實，以法各除之。合問。

歌

三千四百十兩銀，五箇為商照本分。原銀輪遞二八出，休將八折易瞞人。

答曰：甲二千五百六十兩，乙六百四十兩，丙一百六十兩，丁四十兩，戊一十兩。

解曰：二八者，乃是每兩多四。故自戊起依次遞用四，因為衰併之為法。

法曰：各列置衰，〈戊二　丁八　丙三十二　乙一百二十八　甲五百一十二〉副併得六百八十二衰為法。以所分銀三千四百一十兩為實，以法除之，得五十為一衰。以乘各衰得各人數。合問。

歌

三百六十九斤絲，出錢四客要分之。原本皆是八折出，莫教一客少些兒。

答曰：甲一百二十五斤，乙一百斤，丙八十斤，

丁六十四斤。

法曰：各列置衰，〈甲一千　乙八百　丙六百四十　丁五百一十二〉副併得二千九百五十二為法。另以所分絲三百六十九斤乘未併各衰。甲一千得三十六萬九千，乙八百得二十九萬五千二百，丙六百四十得二十三萬六千一百六十，丁五百一十二得一十八萬八千九百二十八。各自為實，以法除實，得各人絲。合問。

歌

甲乙丙丁戊，分銀一兩五。甲多戊錢三，互和折半與。答曰：甲三錢六分五釐，乙三錢三分二釐五毫，丙三錢，丁二錢六分七釐五毫，戊二錢三分五釐。

解曰：甲多戊一錢三分也。

法曰：此互和減半之法。置分銀一兩五錢為實，以例用〈一分　三分　五分　七分　九分〉併之，得二錢五分。為法除之，得六錢，乃首尾之數。於內減中多戊一錢三分，餘四錢七分，折半得戊二錢三分五釐。仍加多一錢三分，得甲三錢六分五釐。互和甲戊，共得六錢，折半得丙三錢。互和加甲三錢六分五釐，共得六錢六分五釐，折半得乙銀三錢三分二釐五毫。併丙戊共五錢三分五釐，折半得丁二錢六分七釐五毫。合問。

西江月

群羊一百四十，剪毛不憚勤勞。群中有母有羊羔，先剪二羊比較。大羊剪毛斤二，一十二兩羔毛。百五十斤是根苗，子母各該多少。

答曰：大羊一百二十隻，小羊二十隻。

法曰：置羊一百四十，以大羊剪毛一斤二加六為一十八兩。乘之得二千五百二十兩。以減共剪毛一百五十斤，亦加六為二千四百兩，餘一百二十兩為實。另以大羊毛一十八兩，減小羊毛一十二兩，餘六兩。為法除之，得小羊二十隻。以減總羊，餘得大羊一百二十隻。合問。

二果問價歌

九百九十九文錢，甜果苦果買一千。甜果九箇十一文，苦果七箇四文錢。試問甜苦果幾箇，又問各該幾箇錢。

答曰：甜果六百五十七箇該錢八百零三文，苦果三百四十三箇該錢一百九十六文。

法曰：列置，〈九個十一文〉互〈七個四文　一千個九百九十九文〉先以右上九箇互乘左中四文，得三十六箇。次以右中七箇互乘左上一十一文，得七十七文。以少減多餘四十一為長法。又以右中七箇互乘左下九百九十九文，得六千九百九十三文。再以左中四文互乘右下一千箇得四千。以少減多餘二千九百九十三文。卻以長法除之，得七十三為短法。若求甜果，以七十三乘九箇，得甜果六百五十七箇。另以七十三乘一十一文，得甜果錢八百零三文。於總果內除六百五十七，餘苦果三百四十三箇。又於總錢減去甜果錢，餘得苦果錢。合問。

均舟載鹽歌

四千三百五十鹽，大小船隻要齊肩。五百鹽裝三大隻，三百鹽裝四小船。請問船隻多少數，每隻船載幾引鹽。

答曰：大船一十八隻裝鹽三千引，小船一十八隻裝鹽一千三百五十引。

法曰：列置，〈四隻　三隻〉互〈三百　五百〉先以左上三隻互乘右下三百引，得九百。次以右上四隻互乘左下五百，得二千。併之得二千九百。為法列置三四乘得一十二隻。以乘總鹽得五萬二千二百為實。以法除之，得十八，是大小船數。先以大船鹽五百因之，得九千。再以船三隻歸之，得鹽三千引。又置小船一十八隻，以鹽三百因之，得五千四百。又以船四隻歸之，得鹽一千三百五十引。合問。

增錢剝淺歌

鄰家有客亂爭喧，相見問其所以然。二百三十六擔貨，程途遠近論船錢。九十五擔六分算，八十五擔四分還。更有五十六擔貨，二分五釐算為先。只因剝淺爭船價，二兩五錢二分添。請問高明能算士，各人分派免憂煎。

解曰：假如趙一、錢二、孫三三人共貨二百三十六擔，雇船一隻。原各以程途遠近不等，水腳多寡不同。內趙一貨九十五擔交卸甚遠，每擔船腳銀六分。錢二貨八十五擔卸處頗近，每擔船腳四分。孫三貨五十六擔程途又，近每擔船腳二分五釐。算其銀付足外，因中途剝淺貼銀二兩五錢二分，照依遠近船錢派分，各該若干。

答曰：趙一該貼一兩三錢六分八釐，錢二該貼八

錢一分六釐，孫三該貼三錢三分六釐。

法曰：置趙一貨九十五擔，以每擔船腳銀六分乘之，得五兩七錢。另以錢二貨八十五擔，以每擔船銀四分乘之，得三兩四錢。又以孫三貨五十六擔，以每擔船銀二分五釐乘之，得一兩四錢。併三數原船腳銀一十兩零五錢為法，卻以貼銀二兩五錢二分為實。以法除之，得二錢四分，乃是船腳每兩貼剝之數。就以此二錢四分為法，以乘各客船腳銀數。即得。

筆套取齊歌

八萬三千短竹竿，將來要把筆頭安。管三套五為期定，問君多少配成完。

答曰：管套各得一十五萬五千六百二十五箇，管竹五萬一千八百七十五竿，套竹三萬一千一百二十五竿。

解題：共有短竹八萬三千竿，每一竿截作筆管三箇，每一竿截為筆套五箇。問：各該用竹若干裁截配合成筆。

法曰：置竹八萬三千為實，以管三套五併作八，為法除之得一萬零三百七十五又為實。另以管三乘套五得一十五。又為法乘實得管套各得一十五萬五千六百二十五箇，列置。問管竹以三歸之，問套竹以五歸之。合問。

金毬問積歌

有箇金毬裡面空，毬高尺二厚三分。一寸自方十六兩，試問金毬多少金。

答曰：一百三十八斤一十兩零二錢四分。

解曰：金毬者，形如立圓。高尺二即圓中之徑也。厚三分者，乃中徑。之兩頭俱有，故併共厚六分。以減全徑尺二，餘得內中空徑一尺一寸四分也。其用立圓之法，自再乘畢。又用九因十六除者，何也。其平圓居方內四分之三，故用三因四歸，得積。今立圓而又多一，再乘者故。以三三如九因之，平圓四歸而一。今立圓亦再以四自乘，得一十六而除之，是也。若毬周問積，置周數以三歸，求出徑數。同法算積。

法曰：置毬高一十二寸自乘、再乘，得一千七百二十八寸。以九因十六除，得九百七十二寸，是全箇金毬之實。另置徑一十二寸，減去徑兩頭共厚六分，餘得毬中空徑一十一寸四分。亦自乘、再乘，得一千四百八十一寸五分四釐。亦以九因十六除，得八百三十三寸三分六釐為毬內空積之數。以減全毬積數，餘一百三十八寸六分四釐。以一百三十八寸變為一百三十八斤零者，用加六之法，得一十兩零二錢四分。合問。

西江月

帝城三五元宵，鰲山兩樣燈毬。都來一秤三斤油，七兩又來添湊。三兩分為四盞，四兩分作三甌。三停盞子二停甌，請問先生知否。

答曰：甌一百二十隻油十斤，盞一百八十箇油八斤七兩。

法曰：置油一秤為一十五斤。又添三斤，共一十八斤。每斤用加六法得二百八十八兩。又添七兩共二百九十五兩。以每兩二十四銖乘之，得七千零八十銖為實。另置油三兩，以二十四銖乘，得七十二銖。以四盞歸之，每盞得一十八銖。又以三停乘之，得五十四銖為盞之法。另又置油四兩以二十四銖乘之，得九十六銖。以三甌歸之，每甌得三十二銖。又以二停乘之，得六十四銖為甌之法。併甌盞二法，共一百一十八為總法。除實七千零八十銖，得六十為則。以二停因，得一百二十為甌數。以每甌油三十二銖乘之，得三千八百四十銖。以每斤三百八十四銖除之，得十斤為甌油總數。另以則六十以三停因之，得一百八十為盞總數。以每盞油一十八銖乘之，得三千二百四十銖。以每兩二十四銖除之，得一百三十五兩。以斤法一十六兩除之，呼見一無除作九，一無除起一。下還一六八除四十八餘七兩，不可除，即是八斤七兩為盞油總數。併甌總油共一十八斤七兩。合問。

以碗知僧歌

巍巍古寺在山中，不知寺內幾多僧。三百六十四隻碗，恰合用盡不差爭。三人共餐一碗飯，四人共嘗一碗羹。請問高明能算者，算來寺內幾多僧。答曰：六百二十四人，飯碗二百零八隻，羹碗一百五十六隻。

法曰：以三人、四人相乘，得一十二人。以乘總碗三百六十四隻，得四千三百六十八為實。另以三四併之，得七。為法除之，得僧數。用三歸得飯碗。用四歸得羹碗。合問。

河邊洗碗歌

婦人洗碗在河濱，試問家中客幾人。答曰不知人數目，六十五碗自分明。二人共餐一碗飯，三人共喫一碗羹。四人共肉無餘數，請問布算莫差爭。答曰：客六十人，飯碗三十隻，羹碗二十隻，肉碗一十五隻。

法曰：以二人乘三人得六人。又以四人乘之，得二十四人。以乘總六十五碗，得一千五百六十為實。另列維乘，〈得六　得一十二〉先以二乘三得六。次

以三乘四，得一十二。又以四乘二得八。併之，得二十六。為法除實，得六十人。各列以二歸，得飯碗。以三歸得羹碗。以四歸得肉碗。合問。

書生分卷歌

《毛詩》《春秋》《周易》書，九十四冊共無餘。《毛詩》二冊三人共，《春秋》一本四人呼。《周易》五人讀一本，要分每樣幾多書。就見學生多少數，請君布算莫躊躕。

答曰：《毛詩》四十本，《春秋》三十冊，《周易》二十四本，學生各經一百二十名，總計三百六十人。

法曰：列置三人、四人、五人維乘，以三人乘四人，得一十二。又以四人乘五人，得二十。又以五人乘三人，得一十五。併之，得四十七為法。另以共書九十四本在位，以《詩》三人乘之，得二百八十二本。再以《易》四人乘之，得一千一百二十八本。又以《書》五人乘之，得五千六百四十本為實。以法四十七除之，得各經學生一百二十名。列三位以三人歸之，得《詩經》四十本。以四人歸之，得《春秋》三十本。以五人歸之，得《易經》二十四本。併三經學生，共三百六十人。合問。

僧分饅頭歌

一百饅頭一百僧，大和三箇更無爭。小和三人分一箇，大小和尚得幾丁。

答曰：大和尚二十五人該饅頭七十五箇，小和尚七十五人該饅頭二十五箇。

法曰：置僧一百名為實，以三箇、一箇併得四箇。為法除之，得大僧二十五人。以每人三箇因之，得饅頭七十五箇。于總僧內減大僧，餘七十五為小僧。以三人歸之，得饅頭二十五箇。合問。

歌

一千官軍一千布，一官四匹無零數。四軍纔分布一匹，請問官軍多少數。

答曰：官二百員該布八百匹，軍八百名該布二百匹。

法曰：置官軍共一千為實，以四匹、一匹併得五匹。為法除之，得官二百員。以每員四匹因之，得布八百匹。於總官軍內減二百，餘八百名為軍。以四軍歸之，得布二百匹。合問。

歌

今有千文買百雞，五十雄價不差池。草雞每箇三十足，小者十文三箇知。

答曰：公雞八隻價錢四百文，母雞十一隻價錢三百三十文，小雞八十一隻價錢二百七十文。

原法曰：置錢千文為實，另置公雞一、母雞一，各以小雞三因之，得公雞三，母雞三，小雞三，共得九。為法除實，得十一為母雞數。不盡一，返減下法九餘八為公雞數。另列總雞一百隻，減去公雞八隻，母雞一十一隻，餘八十一隻為小雞數。各以價錢因之。合問。

又引前法置所答數。公雞八隻，增四作十二。母雞十一，減七為四小雞。八十一益三為八十四，共百雞，千文也。此乃張丘建云。雞公增四，雞母減七，雞雛益三，又細參之。仍置原數，卻將雞公八隻減四得四隻。雞母十一增七，得一十八隻。雞雛八十一減三得七十八隻。亦得百雞千文也。其一法而生三，故在變通之意也。

水仙子

元宵十五鬧縱橫，來往觀燈街上行。我見燈上下紅光映，遶三遭，數不真。從頭兒三數無零，五數時四甌不盡，七數時六盞不停。端的是幾盞明燈。

解題：初以三算之恰盡。次以五算之，餘四盞。再以七算之，餘六盞。問：共燈若干。

答曰：六十九盞。

法曰：此如孫子物不知總法也。先置三數無零，不必下五數剩四。每一下二十一數，四共該下八十四數。七數剩六。每一下十五數，六共該下九十數，併之共得一百七十四，減去滿法一百零五，餘得六十九盞。合問。