KR9c1197

朞註筭法

　此筭略載於啓蒙傳疑。而亦多散出於先輩遺集中。然學者猶患其難解。故間因無事。推究得如此。而至如章蔀之數歲差之法。亦皆學此筭者所當講究。故因幷附著。

日日行一度。而一度九百四十分。

　此是日行一日不及天之數。而進數難於推筭。故以是爲日一日行天之度。月行作度亦同此。○啓蒙傳疑所載尹趙兩筭。自是別筭。而非原筭正法。故倂略之。

月日行十二度十九分度之七。

　　按啓蒙小註玉齋胡氏筭率。以九百四十分。而十九歸除。得四十九分四釐七毫三忽六絲八秒。(按此八秒之外。又有實餘歸未盡之八秒。啓蒙傳疑以爲棄而不用者。數無竆盡故也。然若終始棄而不用則於會朔要終之數。終有奇零不滿之筭。故今法則雖依傳疑筭法。姑置不用。而直待會朔時。迺取而作法。)而七乘之則三百四十六分三釐一毫五忽七絲六秒。此是零度排筭之正法。故啓蒙傳疑亦因其說而置筭。然會朔後通融

作筭之法則未之及。故更爲之法如左。

月與日會十九分度之七。一朔通分。得一萬□二百二十七分法。(知得零度通分則餘可迎刃而解。故以是爲先。)

　法以一朔日數二十九。乘上所得三百四十六分以下數。則得一萬□□四十三分一釐五毫七忽□四秒。次以零度四百九十九。又十九歸之則得二十六分二釐六毫三忽一絲五秒。實餘一絲五秒。又依上例姑置不用。以度之七乘所得二十六分以下數。則得一百八十三分八釐四毫二忽□五秒。通計全度零度所歸乘之筭則得一萬□二百二十六分九釐九毫九忽□九秒。而九絲一秒不足。故於是乎迺取全度歸除初姑置之筭八秒。(卽傳疑中。棄置不用之八秒。)以二十九乘之。得二忽三絲二秒。添入零度姑置之筭一絲五秒。共得二忽四絲七秒。就此十九歸而七乘之則恰得九絲一秒。迺納於全筭中則歸上滿分。(如欲從簡則不必筭至絲秒。雖止於分數。而依此作法亦得。)

　　　　　右先歸後乘法(積日)

　又法先以二十九。乘九百四十分。得二萬七千二百六十分爲實。以七乘之。得一十九萬□八百二

十□分。而十九歸之則得一萬□□四十三分一釐五毫七忽八絲九秒。實餘亦九秒。姑置不用。次以七乘四百九十九。得三千四百九十三分。而十九歸之則得一百八十三分八釐四毫二忽一絲。(若下筭連置歸之則秒位爲空。故此則止於絲。)實餘一絲亦姑置不用。通計兩次歸乘之筭。則合得一萬□二百二十六分九釐九毫九忽九絲九秒。皆成九數而一筭恒欠。故於是乃取兩次未歸姑置之筭合得一絲九秒。而十九歸之則得一秒。乃納於全筭中。則九秒數滿歸上而恰無零欠。

右先乘後歸法(通朔)

　又法置上全日七乘所得一十九萬以下數。以十九歸之。得一萬□□四十三分。而不滿法者(以法對實而法多實少者。是爲不滿。)三分則不破分作釐而留置之。次置零度七乘所得三千四百以下數。以十九歸之。得一百八十三分。而不滿法者十六分則亦不破分作釐而留置之。所留兩筭合爲十九分。乃以法十九歸之則恰得一分。於是乎通計兩次各歸之全筭。而以此一分足之則恰得。(此以上三法。全度零度各歸之法。然實餘未歸之筭則必合筭歸除而後得。○下天筭若以全度零度各置筭。而依此用法則亦同。)

捷法則以四百九十九。納於全度通分中。通得二萬七千七百五十九分。而十九歸之。得一千四百六十一。又七乘之則恰得。(先乘後歸則亦得。)

月與天會十九分度之七。一朔通分。得九千四百七十一分法。(月與天相會於二十七日三百二十七分。)

　以二十七。乘九百四十分。又納三百二十七分。通得二萬五千七百□七分。而十九歸之。得一千三百五十三分。又七乘之則恰得九千四百七十一分。

積二十九日四百九十九而與日會。月行餘筭十二歸除法。

　先以三百六十五度。乘九百四十分。而又納四分度之一二百三十五分於其中。通計得三十四萬三千三百三十五分爲實。乃以十二度。乘九百四十。得一萬一千二百八十分。是爲月行一日全度之分。又以二十九乘之。得三十二萬七千一百二十分。就實除減。又就除十九分度之七通分(卽上所得一萬□二百二十七分)數。則原筭位所餘。只有五千九百八十八分。就此餘分。十二歸除則恰得零日四百九十九分。必十二歸除者。月行於零日每分行十二分

故也。若以五千九百八十八分。還作月度。則以九百四十爲法除之。得六度零三百四十八分。度下餘分卽日法六時餘二十九分之數也。如欲得其數。以三百四十八分。又十二歸除則恰得二十九。○月行一朔之數。卽日行一歲之數也。故其數節節相合。月筭除減之餘分。與一歲日行之餘分。同得五千九百八十八分。月筭餘分作度之餘分。又與一歲作日之餘分。同得三百四十八分。又月法十九分度之七。通朔所得之數。又與一歲氣盈朔虛所合之數。同得一萬□二百二十七分。(閏數十日八百二十七分。而破日作分則一萬□二百二十七分。)

積二十七日三百二十七分而月與天會。月行餘筭十二歸除法。(月與天會。雖無用之數。而布筭者亦不可不知故倂附。)

　依日法置周天揔分(三億四萬三千三百三十五分)爲實。乃以九百四十分乘十三度。得一萬二千二百二十分。又以二十七乘之。得三億二萬九千九百四十分。就實除減。又就減十九分度之七通分。(卽上所得九千四百七十一分。)則只餘三千九百二十四分。就此十二歸除則恰得零日三百二十七分。

三百六十五度四分度之一。通融作筭。十二歸除法。

按曆家置筭。其初則固嘗取法於天。而但筭法旣立之後。則以法運天而不以法隨天。今之置筭者。例多計朔以合法。余嘗疑之。久而後乃得曆家置筭之本意。今置全度揔分三億四萬三千三百三十五分爲實。以日分二萬七千七百五十九分爲法除之。則得十二箇二萬七千七百五十九分。而餘分恰得一萬□二百二十七分。盖月不及日十二度十九分度之七。雖是一日之行度。而其數已先具於三百六十五度四分一之中者。已自如此。於是乎乃知上所得一朔日分及十九分度之七通分。皆是不可易之數。而一箇二萬七千七百五十九分者。一朔日行之本數也。十二箇二萬七千七百五十九分者。卽一朔月行全度之本數。而餘分一萬□二百二十七分。卽一朔月行十九分度七之本數也。要之日行纔到二萬七千七百五十九分。則月行已踏盡了三億四萬三千三百三十五分而其數恰盡時。日月合朔則是朔因法而得。非法因朔而得者也。近世筭家徒知計朔以合法。而不知因法以求朔。故其說終涉糢糊。苟知通

全度商除則不煩通朔而朔自隨之。故別爲筭法如左。

　先置周天揔分三億四萬三千三百三十五分爲實。就減零度通分一萬□二百二十七分。以其餘三億三萬三千一百□八分。十二歸除則恰得二萬七千七百五十九分。除者爲月。得者爲日。乃以日法九百四十分除之則得二十九日而餘分恰有四百九十九。

　　此筭之要。不過十二乘除而已。置日法而十二乘則爲月。置月法而十二除則爲日。此外更無餘法。盖諸家筭法。皆以日月爲各度。而若元筭正法則日月兩度。皆以九百四十分爲度。

(附)十九分作度。月與日會四乘筭法。

　　此筭雖非排筭法意。然自永樂以來。依律曆志閏法十九例。已有十九分作度之法。則亦當知所推筭。故附著於此。

　法以十九分乘三百六十五度。而又納四分度之一四分七釐五毫於其中。通得六千九百三十九分七釐五毫爲實。乃以一日月行通分二百三十五分。乘二十九日。得六千八百一十五分。就實除

減則只餘一百二十四分七釐五毫。乃以四爲法乘之則恰得四百九十九。(四乘無古法。而以意推之如此。)

七十六分作度。改定商量筭法。

　　此則本章小註陳氏筭率也。啓蒙傳疑不收載其說。故其筭隱而不章。僅有一二筭家傳其略。今所謄傳商量法是已。盖曆家置筭。固是截法。而陳氏此筭則於截法之中。又加截焉。至簡且約。更無餘法。此必曆家由來舊訣。而非其所自刱者也。但陳氏只用其數而不及其所以得數之原。雖未知論說之如何。而顧今所傳商量筭訣則得其數而昧其原。旣不知其同實異除之玅。又不知其筭餘零分恰當得十九分度之七。故於零度月法。不少槪及。而其所以爲說者。頗近牽強。此所以更閱賢知而至今晦蝕者也。要之古今文字象數。纔隔一手則久而埋沒如此。可慨也已。玆因陳說更加推究如此云。(嘗見屛谷集與人書。以七十六分法。爲偶自臆揣云。豈未及細考小註陳氏說而云爾耶。小註有兩陳氏。而此陳氏卽陳氏普也。其論月與天會之數。實用七十六筭。說見下。)

月行一度七十六分。通十二度作分則九百十二分。而十九分度之七則二十八分。

今置日分九百四十分。以七十六分爲法除之。則得十二箇七十六分。其餘分又有二十八分。而二十八分之於七十六分。恰爲十九分之七。故以此爲十九分度之七。

四分度之一。

　以九百四十分作一度。則二百三十五分。爲四分度之一。以十九分作一度。則四分七釐五毫。爲四分度之一。(以十九分而四分之。則各得四分七釐五毫。故以此爲四分度之一。)以七十六分作一度。則十九分。爲四分度之一。(以七十六分而四分之則各得一十九分。故以此爲四分度之一。)

十九分度之七。

　以九百四十分作一度則三百四十六分三釐一毫五忽七絲八秒。爲十九分度之七。以十九分作一度則單七分。爲十九分度之七。(以十九分而十九歸除則各得一分。而七其一則爲七分。)以七十六分作一度則二十八分。爲十九分度之七。(以七十六分。十九歸除則各得四分。而七其四則爲二十八分。)

　　按十九分度之七。有此三般樣。而有得失繁簡之不同。以單十九單七作度者。書傳卷首晦朔圖所用之筭。而後來筭家亦多沿襲。然布筭之法。有法有實。十九分度之七。乃法也非實也。則

以單十九作度者。是以法爲實者也。失之矣。以九百四十分。十九歸除者。胡氏之筭。此是由來排筭之正法。然其數繁密。卒難湊泊。而又必通朔計分而後無零欠。則差欠簡易。惟以七十六分作度而以餘分二十八分。當十九分度之七。則旣無以法爲實之礙。又無通分作筭之煩。而恰無零欠。又推而準諸一朔。則脗然符合於四百九十九之數。而移易他不得。其法最簡且捷。然七十六分全度之法。則自有舊說。而二十八零度之法則歷考筭家諸訣。未見有及之者。故區區臆見。恒患無考據處。及見屛谷集雜著則果有依俙說及處。始知愚見或不至甚謬。而但二十八分之爲十九分度之七。則不待乘除而後得。而屛翁必欲乘除而得之。此爲可疑耳。盖當初筭家之別立捷法如此者。乃所以舍繁就約。而又就便於零度計分之法。今以七十六分而計除二十八分。則是卽十九分度之七。又豈待別加乘除而後得耶。不論全度與零度。皆因其日分見成之數而互相準折。則無所事於乘除而自然數具。是所謂除日無歲。數車則無車

者也。秪爲十九分度七之法。若用原法舊筭則數極繁密。故爲此捷法以通之。一日所行同得九百四十分。而揔之則爲日母度。分之則爲月子度。子母相包。異呼同應。亦異矣哉。要之此筭立法之玅。全在於子母同分。亦在於子母各度。而以子求母。以母求子。則推筭之能事畢矣。如欲見一朔日分相會之數。以子度(七十六分)乘三百六十五度。更添十九(四分度之一)而以母度(九百四十分)除之。二十九日四百九十九之數見矣。如欲見一朔月行周天之數。以母度乘二十九日。又添四百九十九。而以子度除之。則三百六十五度零十九之數見矣。知得如此則雖不用二十八分零度之法。而天與日月相會之數。皆可得而推。然若直以母度九百四十分就除則十九分度七之潛伏於九百四十分之中者。人無得而知。必須以九百四十分之九百十二分。作月七十六分之十二度。又以餘分二十八分。作月七十六分度之十九分度之七。然後其數方爲微密。而但此筭非筭家之強生意智而爲此也。實自日月兩零度分母分子互乘筭法中來。而此

非明於之分筭例者。有未易領會者。故開釋如左。

　四分度之一。卽日與天會之零度。而四分爲日分母。度之一爲日分子。十九分度之七。卽月與日會之零度。而十九爲月分母。度之七爲月分子。乃以兩分母相乘(呼四九三十六)得七十六分。是爲月行一度。又以兩分子互乘兩母。而日分子單一。乘月分母十九(一九九)則得一十九分。是爲日行四分度之一。又以月分子單七。乘日分母四分(四七二十八)則得二十八分。是爲月行十九分度之七。以此推之則七十六分推步之法。本出於日月零度互乘之筭。而約得如此者。卽之分筭法所謂約繁以就簡者也。

日與月會法。

　先以七十六分。乘三百六十五度而又納四分度之一十九分於其中。通得二萬七千七百五十九分。是爲周天之度。置此爲實。乃以七十六分乘十二度。而又納十九分度之七二十八分於其中。通得九百四十分。爲法除之則二十九除之後。有零分四百九十九。是爲二十九日四百九十九。日與月會之數。

月與天會法。

　以月法積數二萬七千七百五十九分爲實。以一千□一十六分爲法除之。則二十七除之後。有零分三百二十七。是爲二十七日四時強。月與天會之數。(天法一千□一十六分。見書傳小註卽陳氏說。)

　　按陳氏普以一千一十六分。爲一日月不及天之數者。只是於九百四十分中添入一箇七十六分。以當天進日一度之數。

二十八分乘九百四十分。以七十六歸除法。

　以二十八分。乘九百四十分。得二萬六千三百二十分。以七十六爲法除之。則恰得十九分度之七三百四十六分三釐一毫五忽零。與原筭法歸乘之筭合。○又以二十八分。乘四百九十九分。得一萬三千九百七十二分。以七十六除之則得一百八十三分八釐四毫零。與原筭法亦合。○又以二十八分。乘二萬七千七百五十九分。得七億七萬七千二百五十二分。而以七十六除之則亦恰得原筭法一朔十九分度之七通分一萬□二百二十七分。

　　按七十六分筭法。只是九百四十分法之約取

者也。要之日月之筭。同分異度。而日分月分。初無多寡。但日法則以一日所行團作一度。月法則以一日全分而分如其度。其爲九百四十分則同。而所以計除者不同耳。若夫天則兼統日月而無所偏主。故與日會則度日之度而以九百四十分爲一度。與月會則度月之度而以七十六分爲一度。筭家所謂日月俱不及天一度者。此之謂也。非謂月行趕天之數。眞與日同也。以筭法言之則日與月。俱以九百四十分。爲一日行天之分。而日以日度計則不及天者一度。月以月度計則不及天者亦一度故也。月以日爲軆。而同軆而異用。日與月同行。而同行而異情。朞三百筭法。盡於此矣。盖以一日全分而言之則同一九百四十九。而日月各得其數。以一朔積數而言之。則同一二萬七千七百五十九分。而日月各合其數。日外無月。月外無日。而以日呼則日應。以月呼則月應。不費纖毫氣力。而同異分合。皆從一箇塗轍中來。且其十九分度之七。潛具於九百四十分統軆之中。而以四揲之則全度得十九零度得七。而縱橫顚倒。皆有

至象。况原筭正法則日不及月而月盈日縮。陳氏此筭則月在日腹而日大月小。又自暗合於日月行天之本相。固不可但以捷法目之。而亦不害爲筭法之正。故劃爲兩圖以附。

日月兩度同實異法圖

삽화 새창열기

添一箇七十六則天

滿七十六而成度則以十九計。

未滿七十六而不成度則以七計。

四十八箇十九。

四箇七。

二十八分改定晦朔圖

삽화 새창열기

書傳卷首原圖。以與天會之數爲式。旣非朱子本意。而又以單十九作法。其於二十九日四百九十九之數。亦非當下符合之法。故改定如此。

按三歲一閏。六歲再閏。九歲三閏。至四閏則縮一年而十一歲置閏。又十四歲五閏。十七歲六閏。至七閏則又縮一年而十九歲置閏。其數皆本於此。

筭法

　先置三百六十五度四分度之一十九分於筭位。除二十九日所得度數分數則只餘六度四十三分。以七十六破度作分。則爲四百九十九。

　　附答崇伯書

　曾所示曆筭。近因無事。更加尋繹。則以月之十二箇七十六。準了日分則恰得九百十二分而餘分二十八分。則果是七十六分之十九分度之七也。此是自然相合之數。然但於日月合朔之際。日大月小。大小相合。不其艱晦矣乎。愚意則日度亦以

七十六數之如何。

旣知七十六分法。出於九百四十分準折之數。則一朔計分之法。卽一日計分之法也。何憂於艱合。若依法置筭則不待合而自合矣。日小月多。自是原筭正法。則雖以七十六分轉作日法。亦無不可。故屛谷亦嘗有是說。然但終非當初捷筭本意。必以九百四十分作日一度。七十六分作月一度。然後一日九百四十分。在日則爲一度。在月則爲十二度十九分度之七。一朔二萬七千七百五十九分。在日則爲二十九度四百九十九。在月則爲三百六十五度四分度之一。一歲三億四萬三千三百三十五分。在日則爲三百六十五度二百三十五分。在月則爲十二箇三百六十五度零十九分。而恰餘閏分一萬零二百二十七分。此是捷筭法。至簡經處。試加推筭則可知其然矣。

按七十六分法。雖是別筭。而與九百四十分法。相爲表裏。精於推筭者。自當知之矣。九百四十分法則疑黃帝以來所傳之筭。而顓頊四分曆亦用此筭。其說雜於禮記疏說中。而朱蔡兩先生用以解書傳朞三百。故其筭遂顯行於天下萬世。然古今曆家皆不用

此筭。而隨時立筭。代各異法。如漢之黃鍾曆。唐之大衍曆及近世百分曆皆是也。然類皆非自然之數。故其立法造筭。雖皆依倣此筭。而多有零欠。竊嘗妄意如欲造曆。當追復九百四十作分之法。而章蔀之數皆依此行筭。然後曆法方無差忒。而此可與知者道。難與不知者道也。

　陳氏普曰月行遲。常以二十七日千一十六分日之三百二十七而與天會。二十九日四百九十九而與日會。一月一周天者。以其與日會言也。其實二十七日有奇而周天。又二日有奇。始與日會。文公於十月交。以爲二十九日有奇而周天。又逐及於日而與日會者。盖未詳。(書傳小註)

陳氏所論固得之矣。然但以詩註二十九日周天逐及日之說。謂未詳者。恐或未然。月與日會旣在二十九日六時強。則與天會之合在二十七日四時強。朱子夫豈不知而爲此說哉。取看性理大全所載正蒙小註則已在良遂摠知中矣。嘗思之。朱子所謂周天之天。乃指太虛之天而言。非指運行之天而言也。盖太虛之天。卽曆家所謂宗動之天。而宗動之天。常靜而主動。運行之天。乃所謂經星之天。而經星之天。常

動而不息。天與日月運行一晝夜。恰到得太虛本度始發之處者。惟日爲然。而天與月則或過或不及。此朱子所以不以與天會爲周天。而必以與日會謂之周天者也。陳氏錯認朱子之意。而反疑其未詳。恐自未免未詳。

　　氣朔分齊說

　玉齋胡氏曰閏餘全日摠計二百單六日零六百七十三分。將此數於十九年內。分作七箇閏月。計三七二百一十日內。少三日二百六十七分。七閏月之中合除此三日二百六十七分。均作三箇月小盡。正恰好。故氣朔分齊。(啓蒙小註)○金農巖曰若如胡氏說則冬至入於前章晦日。合置三箇大月四箇小月。

　黃氏瑞節曰所謂氣朔分齊者。十九年合氣盈朔虛。得二百單六日。不盡六百七十三分。七閏月亦二百單六日。不盡六百七十三分。氣之分與朔之分。至十九年而皆齊。此所謂氣朔分齊爲一章也。(正蒙小註)

　退溪曰分者限也。滾到十九歲則至朔同日。故曰分齊。

霽山曰若以二百單六日及六百七十三。分作七箇二十九日四百九十九除之則恰盡。於是氣盈朔虛之數。無有餘不足之分。故曰分齊。

按氣朔分齊。先儒多爲之說。而其說不同有如此。胡氏所謂三箇小月則已有農翁辨駁之論。而且一章氣朔之恰齊。自是本然之數。初不關於大小月之置。而謂均置三箇小盡月然後分齊者亦不可知。若黃氏說則尤涉牽強。盖閏朔之所以分排如此者。本出於閏分。則豈可分閏分與月朔。對立爲兩而謂之分齊乎。其末泛言氣朔之分者。似了不了。亦涉糢糊。唯退陶分限之說最爲近之。而但揆以上下文勢則亦有未盡協者。上文九百四十分之分字。皆是分數之分。則不應於此獨以分限言之。盖氣朔分齊云者。氣朔兩分。互相齊等而更無餘欠之謂也。按太初曆法則氣與朔各有大餘小餘。而兩筭幷行。互相參差。至十九年一章然後。兩筭大小餘之分。恰相齊等。假令氣法大餘三十九則朔法大餘亦三十九。氣法小餘七百單五則朔法小餘亦七百單五。是所謂氣朔分齊者也。盖氣朔分齊四字。直接上文氣盈朔虛而成文。故讀者往往只以盈虛兩分求其齊。而多強爲之

說者。然其實則不曰氣盈朔虛分齊。而必曰氣朔分齊者。非省文也。此氣朔字實摠指氣朔全分而言。非但指盈虛之分而言者也。若以這箇朔字謂只指朔虛之分而言。則上文本朔餘分三百四十八分。更無歸宿。豈可乎哉。必以本閏兩朔餘分。通融作筭。而又推而至於全分然後。其數可見。若知得大小餘推筭之法。則於分齊之數。思亦過半。○又按以十九乘一年閏分一萬□二百二十七分。則一章通分一十九萬四千三百一十三分。乃以日法除之則得二百六日零六百七十三分。以月法分之則恰得七箇二十九日四百九十九。盖只言閏分則其數固自如此。然分齊云者。本非但指閏分而言。故太初曆法以閏分七箇四百九十九。必參合於本朔餘分三百四十八之數。以爲歸上添日之筭。是豈但以閏分作法者耶。且一章分齊之筭。則其數已具於得筭之初。不在於除盡之後。而霽山說如此。亦未免可疑。豈偶未及照管得太初曆法而然歟。就考史記曆書。則可知其涯略。而其排筭之法。有注疏諸說。然其義奧晦。未易領會。故略加疏釋以附。

朔法大餘五十四。○小餘三百四十八。

一年朔分三百五十四日三百四十八分。而未滿三百六十日。故以五十四日爲大餘。以三百四十八分爲小餘。其法大餘則初置五十四筭。每年加五十四筭。滿六十則除之而留其餘筭。每至閏後次年則只加二十三筭。(法當置當年本筭五十四。又置閏朔二十九。除减六十。而從捷法故直加二十三。)而除留如上法。若纔足六十則曰無大餘。○小餘則置三百四十八筭。每年加三百四十八。滿九百四十則歸上而於大餘添一筭。留其餘。若値閏後次年則添加八百四十七分。(本筭中入閏餘分四百九十九。)滿歸存餘如上法。若纔足九百四十則曰無小餘而一筭歸上。

氣法大餘五。○小餘二百三十五。(古法則小餘八者。盖以一度作三十二分。而八爲四分之一。故以八爲小餘。然如欲見分齊之形。則不如直用二百三十五分之爲得。故改筭率如此。)

　周天三百六十五度四分度之一二百三十五。而過了三百六十之數。故五度爲大餘。二百三十五爲小餘。其法不論有閏無閏。大餘則置五筭。每歲加五。滿六十則除之。留其餘筭。若纔足六十則曰無大餘。○小餘則先置本數二百三十五。每歲加本數。若滿九百四十。則曰無小餘而一筭歸上。

按逐年排筭之法。亦略載於史記本文。而篇不完備。且覽者未易了悟。故通計一章都數。置筭如左。(四餘起數則從四筭幷無餘分之歲。十一月夜半甲子始。)

　氣法大餘五乘十九則得九十五日。而以六十除之則只餘三十五日。而下小餘成日之四筭歸附。故一章大餘三十九。○小餘二百三十五乘十九則得四千四百六十五分。以日法九百四十分除之則得四日而歸上。添其大餘四筭。故一章小餘餘筭七百單五。

　朔法大餘五十四乘十九則得一千□二十六。而除每閏次年三十一則七閏所除合爲二百一十七筭。而元筭只餘八百□九。以六十除之則餘二十九。而下小餘成日之十筭歸附。故一章朔法大餘亦三十九。○小餘三百四十八乘十九則得六千六百一十二分。閏分則一章七閏。故不以十九乘而以七乘四百九十九。得三千四百九十三分。而通計則爲一萬□一百□五。以日法除之則得十日而歸上。添其大餘十筭。故朔法一章。小餘餘筭亦七百單五。

　　一章合筭雖如右。而若不載史記本文則無以

見一章前氣朔參錯不齊之形。故略撮附此。

太初元年(十二)大餘五十四(朔)小餘三百四十八

大餘五(氣)小餘二百三十五

二年(閏十三)大餘四十八小餘六百九十六

大餘十小餘四百七十

三年(十二)大餘十二小餘六百三

大餘十五小餘七百五

四年(十二)大餘七小餘十一

大餘二十一無小餘

五年(閏十三)大餘一小餘三百五十九

大餘二十六小餘二百三十五

六年(十二)大餘二十五小餘二百六十六

大餘三十一小餘四百七十

七年(十二)大餘十九小餘六百一十四

大餘三十六小餘七百五

八年(閏十三)大餘十四小餘二十二

大餘四十二無小餘

九年(十二)大餘三十七小餘八百六十九

大餘四十七小餘二百三十五

十年(閏十三)大餘三十二小餘二百七十七

大餘五十二小餘四百七十

十一年(十二)大餘五十六小餘一百八十四

大餘五十七小餘七百單五

十二年(十二)大餘五十小餘五百三十二

大餘三無小餘

十三年(閏十三)大餘四十四小餘八百八十

大餘八小餘二百三十五

十四年(十二)大餘八小餘七百八十七

大餘十三小餘四百七十

十五年(十二)大餘三小餘一百九十五

大餘十八小餘七百單五

十六年(閏十三)大餘五十七小餘五百四十三

大餘二十四無小餘

十七年(十二)大餘二十一小餘四百五十

大餘二十九小餘二百三十五

十八年(閏十三)大餘十五小餘七百九十八

大餘三十四小餘四百七十

十九年(十二)大餘三十九小餘七百單五

大餘三十九小餘七百單五

(欲知每歲冬至何日何時則亦用此法推之。)

此兩大餘三十九。兩小餘七百五之過一章後。恰相分齊者。雖除餘之筭如此。而其實則一章之內。氣朔全分摠與之相齊。非但末筭三十九與七百五互相齊等而已。今以十九乘周天三百六十五度二百三十五而得數作日。則恰得六千九百三十九日七百單五。是爲氣法一章摠數。朔法則以十九乘三百五十四日三百四十八分而得數計其全日。又以積分作日則合得六千七百三十三日而未滿日之分餘三十二。乃入閏分積日二百單六日零六百七十三分。而通計則亦得六千九百三十九日七百單五。而氣朔全分。恰與之相齊。然則其曰分齊者。固不但指盈虛兩分。而亦非但指大小餘分而言者也。○按一章分齊三十九與七百五。乃氣朔積分所得。則乃實也非法也。而但此筭一立。遞相增減。則不待章內本筭之積。而已知這章分齊合得幾筭。然則此兩筭者乃次章以下分齊之法母也。若就前章分齊上通加三十九與七百五而減筭歸筭如例。則不勞積筭而次章以下分齊之數。皆可預推。假如第二章則三十九上添三十九而減六十加一筭。七百五上添七百五而減日分歸大餘。故次章分齊則其大餘十九。小

餘四百七十。第三章則十九上添三十九。又四百七十上添七百五。而減歸如例。故三章分齊則大餘五十九小餘二百三十五。第四章則五十九上添三十九。又二百三十五上添七百五。而又依例減歸。故四章分齊則大餘復得三十九而小餘遂無餘分。盖其所以無餘分者。以其四箇七百五。湊成三箇九百四十分。而日分適足故也。盖置一章摠數六千九百三十九日零七百五。而四乘之則恰得日二萬七千七百五十九。而恰與一朔日分合。然則一章者固氣朔分齊之數。而四章者於分齊之中。尤見其恰好者也。夫四章大餘之所以復得三十九者。置四章通日而以六十除之則可知矣。要之太初曆筭。必用六十除法者。盖將以配六十甲子。而欲知其日之所屬干支也。如欲知甲子朔夜半冬至。則不必逐章布筭。只以首四章之三十九。加於每四章之三十九。而(四章之內。次三章不變初章之零數者。小餘之分成日而歸上故也。)仍以六十除之。則每過四章。必減一筭。九減爲八(自第五章至第八章。其分齊之數。三十九及十九等筭。九減爲八。)八減爲七。(自第九章至十二章。又八減爲七。)愈轉愈減。隨減隨增。以至於四章之數廿變。則恰滿六十而無餘分。是爲章末無大餘之歲。而無大餘則小餘自隨之矣。盖

氣朔小餘之俱無餘分。則纔過四章七十六年。必一次得之。而氣朔大餘之幷無餘分。則必過八十章一千五百二十年然後始得之。是爲中元甲申甲子朔夜半冬至。而又進一倍則爲下元甲辰。又進一倍則復得上元甲子。若置筭如例而年與日皆以六十除之。則其數自如此。是所謂苟求其故則千歲之日至。可坐而致者也。意班氏所稱運筭轉曆者。其法似當如此。而但落下閎筭率則以八十一章爲回元之數。此則取合於黃鍾之數而然耳。實非曆法自然之數。故蔡西山譏其不能無差。而以爲穿鑿傅會。則章統之數。當依此行筭然後。合於天地本然之數。按太乙統宗。亦以四千五百六十年爲元統蔀章之數。

　　辨金農巖論曆法

按胡氏一章四大閏之說。農巖非之是也。然胡氏說亦有可思者。盖以首一章而言之。則胡氏果誤而農巖說得矣。以次章而言之則胡說未爲全非。而農巖說亦有未盡其曲折者矣。若以曆法小餘而言之則兩家說皆非曆法本意。盖閏之餘分入於小餘。而古今曆家皆以小餘積分。均排於本閏兩朔。未嘗以閏日餘分。必爲分排於閏朔之內。則又何大小多寡之

必較乎。豈農巖只泛言其數合如此。而不以曆法論耶。又嘗見農巖嘗論靜觀齋曆法置冬至之誤。而謂次一章冬至。合入於朔章日申時云。盖只計閏餘零分六百七十三分故也。揆以太初曆法則恐農巖此說亦失契勘。首一章之餘分。入於次一章之朔日者。不但閏餘之六百七十三分。而又有本朔餘分三十二分。故兩筭相合而七百單五。爲一章分齊之數。則次章冬至合入於酉時。不合入於申時。太史公所謂正西冬至者。卽酉時冬至之謂也。盖古曆冬至時分不出於子午卯酉。而氣法小餘二百三十五分則爲卯時冬至。四百七十分則爲午時冬至。七百單五分則爲酉時冬至。無餘分則爲子時冬至。大抵氣分則出於日法四分之一。故不論章外章內。皆出於四正。而若朔分則合本閏兩朔餘分而無定數。故一章之內。其數錯出。而不與氣分相合。必過十九歲一章然後乃與氣分相齊。而氣朔兩分同出於四正。是卽所謂分齊者也。豈農翁見近世時憲曆法冬至時分多出於寅申巳亥。而爲之說如此耶。古今曆法有異。不可以此例彼。如欲見氣朔之分章蔀之數。截然齊正處。則必須按古曆而論之然後。方不差謬。故因論分齊

之筭而附著如此。

　　附答崇伯書

　一章通年十九。通朔爲二百三十五。合四章而通計之則得九百四十朔二萬七千七百五十九日。若以九百四十朔。分置四百九十九箇大月。四百四十一箇小月。則其通分恰盡無零欠。次一章復爲子時冬至。又只以四章二十八閏論之。則其日八百二十七日弱。而一百二十八分不足。若置十五箇大閏。十三箇小閏。則其數恰盡。而其不足一百二十八分。則本朔之零分入於此。盖始一章置三箇大閏。次三章置四箇大閏。合之於本朔大小月。而爲四百九十九大月。四百四十一之小月。以是觀之則七十六分九百四十分之法。於朞數無往而不然。夫一章十九歲。卽七十六月法四分之一也。二百三十五。卽九百四十日法四分之一也。四章通年與七十六合。通朔與九百四十合。通日與一朔通分合。通閏與月法十九分之七合。通閏之日數與閏分十度零之數合。四百九十九大月與一朔二十九日零分合。四百四十一小月與三十日零分合。以此參錯進退。節節相合。而必以七

十六年爲限。則七十六分之法。可知其自然之玅。然每置大月者多小月者少。則胡氏三小四大之說。非可破之論。

以七十六年爲小限。而見得如此。可見推筭之微密。而又謂胡氏說不合全斥者。亦不爲無理。然以古今曆法考之。則猶有不盡然者。盖曆法置月。本朔則大月多而小月少。閏朔則小月多而大月少。又胡氏此說本爲第一章設。而不是次章說。則其說終涉可疑。○又按高明謂四章本朔餘分與閏餘欠數。適得相符云者得之矣。然但其措辭太簡。使覽者未易解。而又添作閏日之說與曆家說不合。盖以二十九日四百九十九分。合兩月而分置大小朔。則餘五十八分。通計一年則三百四十八分。而以十九乘之則爲六千六百一十二分。就以日法除之則恰得七日零三十二分。盖一章之內。本朔大盡之月。多於小盡之月者職此之故。而通計四章則恰得二十八日零一百二十八分。其日則與每章置閏之月數同。而其零則與四章閏分之欠數相足。亦異矣哉。盖以一章之數言之。本朔餘分三十二。閏朔餘分六百七十三。故兩分相合則爲七百單五。是爲一章小餘之終數。至四

章則四箇七百五。湊成三日而無餘分。此太初曆法所以四章之末。必爲子時冬至者。而若其閏月大小之置則太初曆法閏大月本小。而雖近世曆法一章之內。罕見有四大閏。恐高明所云得其數而失其法。○又按一章閏法三大四小之說。亦是死法。古今曆家。皆不拘此例。要之一朔日月相會之期。恰是二十九日四百九十九。則其通分卽二萬七千七百五十九分也。以此爲一朔本數。就閏餘通分十九萬四千三百一十三分上七歸則恰得七箇二萬七千七百五十九分而無餘欠。是爲七閏之數。然其七箇四百九十九則當有所歸屬。故就考太初曆法則於置閏後次年添入四百九十九於本朔餘分三百四十八分之中。以爲歸上作日之法。而未嘗全歸於閏朔。古今曆家。雖爲法不一。而大槩遵用其法。則閏月大小朔之多寡。似不必爭執。○又按閏之餘分。不能獨行。故必附於本朔餘分。此朔法小餘之筭率也。如欲以閏分必作閏月。則四章之內。小閏月十四。大閏月亦十四。而餘分八百十二分。不滿一日。若用小餘本筭。則其滿分成日之日。多歸於本朔。而於一大一小月之外。又得五十八大月。而湊成四百九十九大月。則

豈必置四大閏而後。致其多乎。要之曉得太初曆法而後。方知其肯綮。留俟面剖。

　　歲差新法

差法之不定久矣。虞喜之五十年立筭。何承天之百年倍筭。皆有太過不及之失。而劉焯之七十五筭則幾矣而猶爲未密。其後許魯齋，玉恂，郭守敬，劉誠意所立差法。皆久則必差。終不合天象。蔡九峯以爲三代以前則曆法簡易。只隨時占候而不立差法。然古曆雖簡而實密。且歲差乃曆法之不可遺者。則豈以上古聖神之智。而不爲之立法乎。特失其傳耳。皇明曆法乃百分曆。故一歲歲差以一分五十秒立筭。今之差法。又出於泰西人云。而知曆者以爲亦不盡合云。竊嘗以九百四十分。依法作度而以意推之。則月與日一會之頃。天與日已差了一分。故一歲差法合以十二分立筭。而遇閏則添一筭。如是則過了四章七十六年九百四十朔。(四章之間。置二十八閏。故合本朔通爲九百四十朔。)與日恰差一度。疑此乃歲差之恒數也。按璣衡寶錄則其文出於皇明洪武七年甲寅。而以爲歲差之度。比堯時已過五十度。而堯時冬至則日在虛一度。洪武冬至則日在箕四度云。卽此年數而差數覩矣。就考

歷代通考則洪武甲寅。距唐堯甲辰三千七百三十一年。而以四章七十六年經之。則恰爲五十箇七十六年弱。宜其所差之度。恰過五十度。而今年甲寅去洪武甲寅又四百八十一年。則其歲差之數。又可得以推矣。但星有闊狹。度有太秒。而少差則失之。是爲難耳。要之歲差之法。不出於日與月相會之間。而朔分二萬七千七百五十九之數。卽其分限節度也。一朔差一分而計其日分則二萬七千七百五十九分也。七十六年差一度。而計其日數則亦二萬七千七百五十九日也。過一千四百六十一章則復還本度。而計其年數則亦二萬七千七百五十九年也。如欲見其年數則以七十六乘三百六十五度又四分了七十六年而得十九。以配四分度之一二百三十五分則得之矣。(一歲差十二分則十九歲幷七閏。恰差二百三十五。)先儒或以爲天軆至健。動而不息。故差無定數。然凡麗於天軆而運行不息者。皆未嘗無定數。故日月之食灾也。而精於推步者。先期指的而毫髮不差。五星行度之當遲而速當速而遲者忒也。而朱子以爲皆有常數。則况歲差而無定筭乎。蔡西山所謂天本無差者。盖謂其有定數也。區區管測。雖未敢自信。而參以日行躔度。

旣如是符合。又考之於歷代年數。應驗又如是。故姑記之。以俟知者。(康節差法。伊川以爲永不差。而筭法不傳。然大略則求之於日月交感之際。今此拙筭。亦不爲無所本矣。)

　　附律曆志八十一分法

　律曆志八十一分法。蔡西山雖以爲穿鑿傅會。然其大法則皆依倣本筭。而所差者特秒忽之間耳。族君崇伯竆經之暇。兼邃律曆之學。不以余蒙筭而喜相往復。反覆究詰之際。略有所窺測。欲明曆筭則此亦在所當究。故兼附于此。

　　答崇伯

混元起於甲子年甲子月甲子朔夜半甲子。而歷八十章一千五百二十年而次一章之始。甲申年甲子月甲子朔夜半甲子爲冬至。歷八十章一千五百二十年而次一章之始。甲辰年甲子月甲子朔夜半爲冬至。又歷八十章一千五百二十年而年月日時皆爲甲子。凡二百四十章四千五百六十年而後。與混元復會。以漢律曆志三統一元之法考之。則爲不同矣。夫律曆志以八十一章爲一統。以四千六百十七年爲一元。而經之以六十甲與四章七十六年朔日子時冬至之法。則冬至之

年月日時皆不合。未知何故。太初之曆。是壺遂落下閎輩之所推筭者。則必無差謬之理。或拙筭之不得其法耶。以其小註如淳說甲子日冬至。以八十年爲紀云者推之。而皆合此。旣合焉則一統當以八十章爲紀。而統元之數如此不可曉。指誨如何。

律曆志統元之數。則只是以會數乘朔會之數而又九之。故其數如此。然若以太初起元之數而言之。則自當依盛筭所推而後合。故如淳說如此。而本志元封七年復得攝提格之下。繼之以太歲在子。已得太初之云。則其意可知。豈高明偶未及勘照而有此云耶。當時所造雖曰太初曆。而閎平輩所治。本非太初曆。乃是律曆。則律曆自律曆。太初自太初。若以此求彼則恐不合。

　一元月數與一元年數不合。本志九會復元下註孟康說。亦欠詳備。

旣得元月之後。不知除閏之法。則無以見其恰爲四千六百一十七歲。其法以會數四十七。乘朔會之數一百三十五。則爲六千三百四十五。而又九乘之。得五萬七千一百□五。是爲一元之月數。然必須除了

十九歲七閏法月數一千七百□單一然後。方得其年數。除閏則只餘五萬五千四百□四。而十二歸除恰得四千六百一十七歲。孟康只依文說本數而不及除閏之法。

　太歲在子。已得太初。則高見的是。而終有疑晦處。前曆上元太初四千六百一十七年。至於元封七年。復得閼逢攝提格之仲冬十一月甲子朔冬至云云。夫自上元太初至元封七年四千六百一十七年。則元封一年是甲寅歲。而七年乃庚申也。十一月冬至。乃庚申之冬至也。又以爲甲子朔朝則欠了四分日之三。而以曆法紀之。當爲癸亥朔朝也。此等處推究不得。

取考諸史紀年則元封七年實丁丑也。非甲寅非庚申。而班志說如此。無怪其推筭不得。要之太歲在子已得太初。則已得太初後五十七年。卽太初回元後加三章之數也。以太史公太初曆筭計之。則四分欠三。果如來諭所疑。此當時太史令張壽王之所抵死爭執者。而但壽王所謂日分闕三則固得矣。然若其所謂去七百單五則亦有不可知者。若全然除去每章七百單五。則又何止日分闕三而已乎。壽王之論。

亦涉糢糊。而其所以致疑者。則不爲無理。班氏乃以妄言詆之何也。雖詆其妄。而於志中特存其語者。無乃有微意存歟。

更思之。曆法一章置筭之例。大餘置三十九。小餘置七百單五。而本志筭法大餘雖同而小餘則置六十一。此所以甲子朔朝夜半冬至。不在於二百四十章。而退置於二百四十三章者也。依此置筭則自無四分闕三之碍矣。盖本志筭法。以黃鍾八十一分爲日法。故一章小餘。改七百單五爲六十一。然以九百四十分之七百單五較準。則二釐五毫加多何者。七百單五。卽九百四十分之四分三。而六十一亦八十一分之四分三強。然法當置六十分七釐五毫。而今乃直置全筭一。此其所以互相參差也。是以一章小餘用七百單五則四章之後。恰得三日而無餘分。若用六十一則四章之後。雖同得三日。而更餘一筭。本志謂四章朔餘一者。卽其數也。以其四章之末。輒餘一筭。故七百單五筭法則恰過八十章。而大餘小餘俱無餘分。若六十一筭法則八十章之末。小餘之數尙有餘分二十筭。故雖得甲子朔日。而不得爲夜半子時。必更得一章小餘六十一筭然後。湊成八十一分

而恰無餘分。故以是爲起統之首。盖必如是而後日法統法皆合於黃鍾之數。而其法亦自巧密。壽王未嘗推原其立法之意。而輕肆詆排。此其所以終歸於妄言之科。而不見白於當世者也。然其立論之意則要不可少。就考太史公曆書則其法與壽王言合。班氏曆志則一從閎平之筭。而劉歆父子又宗之。雖未知其得失如何。而其同異之所以然則有如此者。

　一章小餘之數不同。故三統之數不同者。果如尊諭。而但一章小餘之必置六十一分。未曉其筭法。乞賜開示。

以黃鍾八十一分。乘三百六十五度。又入四分度之一二十分二釐五毫。則通得二萬九千五百八十五分二釐五毫爲實。乃以一朔日分二千三百九十二分(以二十九乘八十一。又納四十三則卽一朔日分。)而十二乘之。得月法通分二萬八千七百單四分。就實除之則只餘八百八十一分二釐五毫。此一歲閏分。而亦月法十九分度之七也。如欲求一章小餘終數則以十九。乘閏分八百八十一分二釐五毫。得一萬六千七百四十三分七釐五毫。而以日法八十一除之則得二百單六日。而閏分只餘五十七分七釐五毫。又添入本朔餘分

三筭。(一年本朔餘分三十分。而以十九乘之得數。以八十一除之則恰餘三筭。)則合爲六十分七釐五毫。以此推之則六十一分中二釐五毫。恐閎平輩傅會之筭。而盖必置六十分七釐五毫然後方合於七百單五四分得三之數。而四章之無餘分二百四十章之得天元甲子。皆與九百四十分法毫髮不差。而閎平乃以六十一分置筭。其筭準於曆象。必不能無差。故蔡西山譏其穿鑿傅會者此也。

更思之。閎平等之置六十一分者。亦有由焉。盖不以渾天全度四分度之一末筭二釐五毫取準。而但求之於月法十九分度之七故也。今置一朔日分二千三百九十二分爲實。以度之七乘之而十九歸之則得八百八十一分二釐六毫。而歸未盡之筭尙餘六毫。以是而較渾天全度則一毫零加多。閎平等兼取加多之數而作筭。故章末之數恰爲六十一分。今以其法作筭則置八百以下數。(卽上一朔十九分度之七通分。而一歲閏分亦同。故一章所乘之筭直用此筭。)以一章十九乘之。得一萬六千七百四十三分九釐四毫。乃以上歸未盡之六毫。乘一章十九而十九歸之。則還得六毫。乃入於全筭中則全筭四毫數滿歸上而成分。又添入本朔餘分三筭於其中。遂以日分八十一除之。則得二百單六日而恰

餘六十一。○捷法則置一朔通分。(二千三百九十二分。)以一章十九乘之。得數然後。以七乘之。又以十九除之。則得一萬六千七百四十四分。乃以日分八十一除之則只餘五十八分。而添入本朔餘分三筭則恰得六十一分。○又法先置本朔餘分三十筭。以一章十九乘之。得五百七十分。又置四十三分。以閏七乘之。得三百□一分。而合計得八百七十一分。迺以日法八十一除之則恰餘六十一。○盖以其法置筭則有如此者。然但揆以上一朔日分歸除之數則月行之於天度四分之一。終有溢數。而一章小餘之恰滿六十一者。以其溢數之積也。夫日月相會之期。必以天度四分之一爲準。而八十一之四分一。卽二十分二釐五毫。則豈可於本度二釐五毫之外。添入月筭溢數而爲之法乎。其誤也明矣。

　按本志一朔日分置二十九日八十一分日之四十三。此則元筭法二十九日四百九十九之筭。而其所以必置四十三者。亦未曉然。

先置日分八十一。以十二乘之。得一日月分九百七十二分。又以二十九乘之。得一朔日分二萬八千一百八十八。就渾天全度(卽上二萬九千以下數)中除之。又就除

十九分度之七八百八十一分二釐五毫。則只餘五百一十六分。就此十二歸除則恰得四十三。

　一章末筭六十一分則果似差誤。而蔡西山直擧本筭八十一分。而謂之穿鑿傅會何也。

今以八十一分七乘而十九歸之。次以一朔二十九乘之得數。又以四十三分七乘而十九歸之得數後。合二筭而計之則八百八十一分二釐六毫零。而一毫零亦加多。上通朔所得之溢數。實本於此。此西山所以直斥本筭爲穿鑿傅會者也。且以八十一作分則本朔零日四十三分。不得不如此。而章末六十一分。因此而誤。西山之直斥八十一。不亦宜乎。

按律與曆。各自爲數。而不可滚合者也。閎平等必欲傅合而緣餙之。此所以不能無差者也。若愚陋生於漢元封之間。而得與於十七家課曆之列。則必與壽王同受妄言之罪。而高明亦入於株連之科可呵。嘗疑太史公亦於是時。同請改曆。而其所編曆書則一遵太初舊筭。又考曆書則於四章之末。闕大小餘分齊之數。豈所見與閎平不合。而不欲互形其得失。故微其文而爲此歟。抑或傳寫之際。有闕誤而然耶。(用太初曆法則當以甲子起元。而太史公亦以甲寅起元。不可曉。)

又按壽王謂閎平曆法失曆紀之數則固得之矣。而但其所以爲說者。失其肯綮而不足以服其心。盖其法六十一筭。卽七百單五之對筭。而壽王以爲全去七百單五。又四分闕三。以其法求之則未嘗闕三。而壽王只泛言其闕三。將何以服其心乎。如欲服其心而開其惑。則必須以其法而攻其法然後。方可以厭服。盖一章分齊之數。所以合氣與朔而一之者也。今以其法求之。則氣與朔不相合。若以此反詰。則彼必無辭可對。而四分闕三之誤。皆將次第破綻矣。

　　答崇伯書

所示曆筭勘訂。間不無合商處。而大槩則得之矣。落下閎八十一章法。嘗疑其傅會強合。而猶未得其眞臟。間因無事。以其法推之則果如此。試加推筭。考見其得失如何。要之壽王當日苦口爭論。决非妄言者。而自有律曆志以來。枉受此名而莫之洗。天下古今之是非難定有如此者。俯仰千古。良足一慨。此去筭釋設爲吾兩人問答者。盖因前後問答而爲之者也。然把賢做問頭和尙。得無嵬岸耶。嘗見退陶先生於龜翁。有田筭之問。又考亭之論句股法也。先設問於西山。如是作過。或不至太僭否。太玄不濟事之示。想

必有爲而發。然玄法則雖立踦贊而猶有贏不足之筭。故免不得此譏。而若向者共商之差法則恰無餘欠。若與此而幷按則寃矣。奉呵。

　本志曆法。全以日爲紀。分作三統。而不以歲與月爲紀。亦未可知也。

以六十一分。置章末之筭。則二百四十三章之間。章末之恰無餘分者。只有三日。故以此紀三統。盖用太初舊筭則恰過八十章而歲與日一齊無餘分。故以歲紀統。而人統在地統之前。本志筭率則年月恰無餘筭處。日分則尙有餘筭。故更進一章。以日分盡處爲紀。而地統在人統之前則雖欲合歲月爲紀而不可得。

按本志求冬至法。以人統歲數乘除而作大小餘別法以求之者。雖未始不合。而似涉煩拏。愚見則不必別立大小餘筭。只依太初曆大小餘本筭求之則似甚簡易。

　假令當年氣大餘五數。則五數盡處卽己巳。是爲己巳日冬至。又欲知冬至在幾日。則以朔法大餘參互。而是年朔大餘五十四。則五十四數盡處卽朔日戊午。而從戊午數至己巳則得十二數。是爲

十二日冬至。他倣此。如欲就見行曆書。豫知明年冬至。則大小餘數已具於當年冬至及朔日干支中。依法推之則得。假令是年至日干支値甲寅。則知是年氣大餘爲五十一。朔日干支値丙午。則知是年朔大餘爲四十三。就此更加氣朔兩大餘原數通計。則得明年兩大餘筭而依前作法。

左傳絳老年數說

　襄公三十年戊午二月癸未。絳縣人就食於杞。使之年則曰臣生之年正月甲子朔。四百有四十五甲子矣。其季於今三之一也。師曠曰七十三年矣。史趙曰亥有二首六身。下二如身。是其日數也。士文伯曰二萬六千六百有六旬也。○附註朱氏曰自乙巳至戊午。首末七十四年。而曰七十三年者。盖計其全數。尙未滿七十三年也。

嘗見霽山集。有語及此筭處。而未甚精密。如欲見其實數。自有捷法。盖七十三年。卽四章七十六年內。除三年之數也。其法先置四章通日二萬七千七百五十九日爲實。就除三箇三百五十四日。又除三年一閏二十九。則已得士文伯所謂二萬六千六百六旬。而零位入筭亦有當除之數。盖三年朔餘又有三箇

三百四十八。閏餘又有一箇四百九十九故也。乃取末位取二筭。破日作分。置一千八百八十分。就除二餘則恰餘三百三十七分。而全筭位所餘二萬六千六百六旬六日三百三十七分。是則盡七十三年之日數也。乃以六十除之則恰得四百四十五甲子。而其季甲子則只得二十六日零。盖其就役之日乃癸未。而癸未處甲子三分之一。故其言如此。非謂七十三年日數止於此而已。註家所謂計其全數則尙未滿七十三年者此也。此雖小數。而春秋諸賢。皆領略於立談之頃。纔聞絳老之說。則師曠便知其年數。纔聞師曠幾年之說。則史趙，士文伯便知其日數。後人則書在紙面者如是其明白。而握筭布數。尙未了㫼。古今人不相及有如此者。兒輩之讀左氏傳者。多來問此筭。故告之以此。如欲見四章除三年之數端的不差。以七十三乘三百五十四。得二萬五千八百四十二日。而又七十三年合置二十七閏。故以二十七乘小盡月二十九日。得七百八十三日。又以七十三乘每歲朔餘三百四十八。得二萬五千四百單四分。又以二十七乘每閏餘分(閏月又旣皆作小盡月則每閏餘分四百九十九。不可不計。)四百九十九。得一萬三千四百七十三分。合三

萬八千八百七十七分。乃以日法九百四十除之則得四十一日零三百三十七分。而通融計數則亦二萬六千六百六旬六日零三百三十七分。而與上除餘之數。毫髮不差。若以七十三乘周天三百六十五度二百三十五分。通計得數(全度得二萬六千六百四十五日。又乘二百三十五分。得一萬七千一百五十五分。以日法作日則得十八日二百三十五分。)則恰得二萬六千六百六旬三日零二百三十五分。盖六日與三日不同者。未滿一章之前。氣與朔不同故也。然又如欲以氣法就朔除之則復置四章通日二萬七千七百五十九日。就除三箇三百五十四日。又直除三年閏餘三十二日六百單一。(曆家除閏之例則如上所除。而此則依朞註直除三年閏餘之數。)又除三箇朔餘三百四十八。則亦與周天度所乘之日分不少差爽。註家以士文伯所言謂尙未滿七十三年日數者則是矣。而若曰實七十四年云爾則殊欠曲折。盖師曠所言則以夏正計。故四百四十五甲子。在七十三年之內。左氏所載則以周正計。故其季三之一癸未在戊午二月。然以夏正計則是月乃丁巳臘月。非戊午二月也。若反其語曰以春秋周正計則自乙巳至戊午雖七十四年。而實七十三年則似穩。(若以夏正臘月爲周正二月。則是生之歲正月亦當把做周正三月看。)

一法。置日數(二萬六千六百六十)以日法(九百四十)通之。得二千五百□六萬□四百爲實。以一朔通分二萬七千七百五十九分爲法除之。得九百零二月。不盡二萬一千七百八十二分。合不盡之數通計則爲九百零三月。(此本閏合數。)就此七乘。而(一章閏數)二百三十五歸之。(一章月數。)得二十七閏。而就減於本閏合數中。則只餘本月八百七十六。乃以十二計之則爲七十三年。又就不盡之數(二萬一千七百八十二)以九百四十作日則爲二十四日弱。如此則其就食之日癸未。在戊午二月二十四日矣。(所生之日在朔日。故自朔日而計之。)